1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)

定义域和值域： 定义域和值域：
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数 y = sin x
值域： ， 定义域： 定义域：R 值域：[-1，1] y
1
π
2
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
O
π
2
π
−1
3π 2
2π5π 2Fra bibliotek3πx
余弦函数 y = cos x
x π (3)y = 2sin( − ) , 2 6
解：（1）∵
3cos( x + 2π ) = 3cos x
∴ 由周期函数的定义知道，原函数的周期为 2π
（2）∵
sin 2( x + π ) = sin(2 x + 2π ) = sin 2x
∴ 由周期函数的定义知道，原函数的周期为
π
（3）∵
2sin[ 1 ( x + 4π ) − π ] 2 6
正弦函数、 正弦函数、余弦函数的性质 （一）
探究
y
1
−3 5 π π − 2
−2π 3π
− 2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数的图象
y
1
O
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
余弦函数的图象
问题：它们的定义域和值域分别是什么？ 问题：它们的定义域和值域分别是什么？
注意点： 注意点：
要求对于定义域中的每一个值x, 1、存在性——要求对于定义域中的每一个值x,均 存在性 要求对于定义域中的每一个值x,均 f(x+T)=f(x)。 有f(x+T)=f(x)。 周期函数的周期不止一个， 2、非唯一性——周期函数的周期不止一个，例如， 非唯一性 周期函数的周期不止一个 例如， 周期。 周期。
+ 2kπ，（k ∈ Z）时，(sin x) max = 1；
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
y = cos x( x ∈ R )
2π
5π 2
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
当且仅当 x = 2kπ，（k ∈ Z）时， (cos x) max = 1； 当且仅当 x = π + 2kπ，（k ∈ Z）时，(cos x) min = −1.
π
2
(k ∈ Z )
周期性： 周期性：
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
y
1
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数的图象 （1）图象特征：图象从Ｘ轴看等距离重复出现； 图象特征：图象从Ｘ轴看等距离重复出现； 的整数倍时， （2）数值特征：当自变量x每增加 2π 的整数倍时，函数值重 数值特征：当自变量x 复出现。 复出现。 定义：若存在一个非零常数 非零常数T 使得当x取定义域内的每 （3）定义：若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每 f(x)为 一个值时 都有f(x+T)=f(x) 成立，则称函数f(x) 周期函数； 一个值时，都有f(x+T)=f(x) 成立，则称函数f(x)为周期函数； 叫做这个函数的周期 周期． 非零常数 T叫做这个函数的周期． （4）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最 最小正周期： 小的正数，则称这个最小的正数为函数的最小正周期。 小的正数，则称这个最小的正数为函数的最小正周期。
= 2sin[( 1 x − π ) + 2π ] 2 6
= 2sin( 1 x − π ) 2 6
∴ 由周期函数的定义知道，原函数的周期为4π
f(x)=sinx
y
1 π 2π 3π 4π
f(x)= cosx
y
1
图 象
-2π
-π
o
-1
x
-2π
-π
o
-1
π
2π 3π
4π
x
定义域 值 域
R [−1,1] −
x = 2 kπ +
π
R [−1,1] −
x = 2 kπ ( k ∈ Z )
2
(k ∈ Z ) 时
时
ymax=1
最 值
x = 2 kπ −
π
2
ymax=1
(k ∈ Z ) 时 x = 2 kπ + π ( k ∈ Z ) 时
ymin= −1
ymin= −1
x = kπ +
f(x)= 0
x = kπ ( k ∈ Z )
−1
3π 2
3π
x
练习
判断下列等式是否成立？ 判断下列等式是否成立？
(1)2cos x = 3
3 >1 cos x = 2
1 sin x = ± 2
×
∈ [ −1,1]
1 (2)sin x = 2
2
√
例1、求下列函数的最大值及取得最大值时自 、 变量x的集合 的集合： 变量 的集合：
⑴y = 3 cos x； ⑵y = 2 − sin x; 3 (3) y = − cos x. 2
值域： ， 定义域： 定义域：R 值域：[-1，1]
| sin x |≤ 1
| cos x |≤ 1
正弦、 正弦、余弦函数的最值 y
1
y = sin x( x ∈ R)
π
2
−3 5 π π − 2
−2π 3π
−
−π
−
π
2
O
π
当且仅当 x =
π
2
2 π 当且仅当 x = − + 2kπ，（k ∈ Z）时， (sin x) min = −1. 2 y
2π , 4π , 6π ,L 和 − 2π , −4π , −6π L 都是正弦函数的
3、周期函数不一定存在最小正周期。例如f(x)=c 周期函数不一定存在最小正周期。例如f(x)=c 正弦函数的和余弦函数的的最小正周期为
2π
例1 求下列三角函数的周期：
(1)y=3cos x , (2)y= sin 2x , x∈R x∈R x∈R