2013高考数学高频考点、提分密码：第八部分 解析几何

第八部分：解析几何

一.主要结论

1.倾斜角与斜率的关系

⑴倾斜角α的取值范围：0°≤α<180° ⑵k=tan α(α≠

2

π

)

⑶当k>0时，α=arctank （锐角）； k=0时，α=0；当k<0时，α=π－arctank （钝角）

⑷直线y=kx+b 的方向向量为(1,k)，直线Ax+By+C=0的方向向量为(－B,A)，法向量为(A,B). 2.焦半径 ⑴椭圆

①|MF|=a ±ex 0 (焦点在x 轴上) 或a ±ey 0 （焦点在y 轴上） ②焦点弦长|AB|=2a ±e(x 1+x 2)或 |AB|=2a ±e(y 1+y 2) ⑵双曲线

|MF|=ex 0±a 或ey 0±a ⑶抛物线|MF|=|x 0|+

2

p 或|y 0|+

2

p

焦点弦长|AB|=p+x 1+x 2 (y 2

=2px) 3.曲线系

⑴共焦点F 1(c,0),F 2(－c,0)的椭圆或双曲线2

2

2

c

k y

k

x

-+

=1；

⑵共渐近线y=±a

b x 的双曲线系

2

22

2b

y a

x -

=λ（λ≠0）

4.弦长公式

|AB|=|

|1]4))[(1(2

212212a k x x x x k ∆+=-++=||1212x x k -+

=]4))[(11(212

212

y y y y k

-++

二.注意点

⑴设直线方程时，应注意对斜率k 是否存在进行讨论，有时为避免讨论或方便起见，可设直线方程为x=my+n ，但应注意此时直线不可能垂直于y 轴.

⑵判断两直线位置关系时，要注意对系数是否可能为零的情况进行讨论.例如直线mx+y=6与x+my+1=0垂直.

⑶直线与双曲线右支（或左支）相交于两点时，联立它们的方程，消y 得关于x 的一元二次方程，此方程应满足：

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧>>+>∆≠0000

2

121x x x x 二次项系数（或⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧><+>∆≠0000

2

121x x x x 二次项系数）

⑷直线与圆相交时弦长问题用勾股定理解较简单. ⑸椭圆

2

22

2b y a x +

=1中，a 2－b 2=c 2 (a 最大),e=

2

)(1a b a

c -=

.；

双曲线

2

22

2b

y a

x -

=1中，a 2+b 2=c 2

(c 最大),e=

2

)(1a

b a

c +=

相同的有：焦准距|

c

a

2

－c|=

c

b

2

，通径=

a

b 2

2.

⑹直线与圆锥曲线位置关系的题型，一般是先联立它们的方程，然后消y （或x ）得x(或y)的一元二次方程，要考虑到判别式△，要注意有意识地应用距离公式，夹角（或方向角）公式，韦达定理．．．．、定比分点公式、三角形面积公式等，有时还需要要用基本量思想设参数等等。有时要注意对向量条件如BM AM +=0即M 为AB 中点，BM

AM

⋅=0即∠AMB=90°；

BM

AM //即A 、M 、B 共线等的转化.

⑺涉及焦点、准线问题可考虑用第一或第二定义解题，有时还可考虑焦准距、心准距、顶准距等；涉及焦点三角形问题可考虑用解三角形知识解题；涉及顶点三角形问题可考虑用斜率公式或方向角公式解题；涉及圆锥曲线上两点的对称、弦的中点问题可考虑用韦达定理或代点相减法解题. ⑻圆的参数方程：)0,(sin cos >⎩⎨

⎧==R R y R x 为参数θθθ

椭圆的参数方程：)

0,(sin cos >>⎩⎨

⎧==b a b y a x 为参数θθ

θ