第6章 简单的表达式
第6章 数列与数学归纳法(6.4-6.8)
6.4数学归纳法例题精讲【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【参考答案】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k Λ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）． 当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立． 综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n n nαααααα=L ．【参考答案】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=过关演练1． 等式22222574123 (2)n n n -+++++=（ ）．A ． n 为任何正整数时都成立B ． 仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2． 用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 ．3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，nna b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是 ．4． 若*1111...()23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2n nS n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为 ． 5． 若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．6． 利用数学归纳法证明22nn >，第一步应该论证 ． 7． 数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为 ． 8． 用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．9． 用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)n nn +++++=； （2）222123+++ (2)1(1)(21)6n n n n +=++； （3）333123+++ (3)221(1)4n n n +=+． 10． 在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*n N ∈，若数列{}n a 前n项和为n S ，求证：3n S n =．6.5数学归纳法的运用例题精讲【例1】已知11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=（1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明【参考答案】 解：（1）151,101,61,315432====a a a a （2）)1(2+=n n a n ， 证明：（1）当n=1时，11=a 成立；（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)1(2+=k k a k ，则当n=k+1时，⇒+=++121)1(k k a k S )2)(1(2222]1)1[(2221122++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*N n ∈，)1(2+=n n a n 成立。
第6章 放大电路的频率响应
讨论一
为什么波特图开阔了视野？同样长度的横轴， 为什么波特图开阔了视野？同样长度的横轴，在 单位长度不变的情况下，采用对数坐标后， 单位长度不变的情况下，采用对数坐标后，最高频 率是原来的多少倍？ 率是原来的多少倍？ O 10 10 20 30 102 103 40 50 104 105 60 106 f lg f
' ' C π = C π + Cµ
β0
rb'e
≈
I EQ UT
＝？
二、电流放大倍数的频率响应
1. 适于频率从0至无穷大的表达式
& Ic & β= & Ib
U CE
' ' 因为k = − g m RL = 0， 所以 C π = C π + Cµ
& β=
& g mU b'e 1 & U b'e [ + jω (Cπ + Cµ )] rb'e
Vi -
ω0
图06.01RC低通电路
1 Av = 1+ ( f
f0 = fH =
fH
)2
1 2πRC
ϕ = −arctg( f f ) H
由以上公式可做出如图06.02所示的RC低 通电路的近似频率特性曲线：
Av = 1 1+ ( f
fH
)2
ϕ = −arctg( f f ) H
图06.02 RC低通电路的频率特性曲线
讨论二
电路如图。 电路如图。已知各电阻阻 静态工作点合适， 值；静态工作点合适，集电 极电流I 极电流 CQ＝2mA；晶体管的 ； rbb’=200Ω，Cob=5pF， ， ， fβ=1MHz,β0=80。 。 试求解该电路中晶体管高 频等效模型中的各个参数。 频等效模型中的各个参数。
第6章 相量法
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) j 3 4 ( 2) 5 4
i2(t) 10cos(100 t 2)
j 5 4 2 3 4
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10cos(100t 1050 )
i2(t) 10sin(100 t 150 ) j 300 (1050 ) 1350
duC dt
uC
u(t )
i
+R
u
_
C L
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos(w t 1 ) i2 2 I2 cos(w t 2 )
正弦稳态电路特点： 若所有激励为频率相同的 正弦量，则线性电路响应 为同频率的正弦量。
6.1 正弦量
ui1, i
i2
角频率： w
a2b2 ) j(a2b1 b12 b22
a1b2 )
c1
jc2
c1
a1b1 b12
a2b2 b2 2
c2
a2b1 b12
a1b2 b22
6.2 复数
4.复数乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A1 A2 A1 e j1 A2 e j2
*无线通讯频率：30 KHz - 3×104 MHz
6.1 正弦量
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
初相位：最大值与纵轴之间的
角度，与计时起点有关。
规定： ||
最大值点在 纵轴的左边
最大值点在 纵轴的右边
推迟到达 最大值点
提前到达 最大值点
【例】已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式；
第6章习题解答
根据题意，可知：平面波的角频率ω = 18π ×106 rad s ；波数 k = 1π rad m 3
由此得出
频率： f = ω = 9×106 Hz ； 2π
相速： vp = f λ = 54 ×106 m s
波长： λ = 2π = 6m k
能流密度矢量为
S
=
E
×
H
=
ex
1 η
sin2 (18π
e
z
A/m
(3)当t = 10−8 s 时，为使电场强度为最大正值，应有
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2π ×108 t − 4π x + π = 2π ×108×10−8 − 4π x + π = ±2nπ
36
36
解之得的电场强度最大正值的位置在
（V/m）
f = c = 3×108 = 45 ×108 = 1.43×109 （Hz） λ π /15 π
于是可知
H = −e y 3π cos(9 ×109 t + 30z) （A/m）
E = e x 360π 2 cos(9 ×109 t + 30z) （V/m）
6-4 在自由空间中，某电磁波的波长为 0.2m。当该波进入到理想电介质后，波长变为 0.09m。
x = 13 m 3 n = 13 m nλ 82 8
(n = 0,1,2L)
6-9 某电台发射 600KHz 的电磁波，在离电台足够远处可以认为是平面波。设在某一点 a， 某瞬间的电场强度为10−4 V/m，求该点瞬间的磁场强度。若沿电磁波的传播方向前行 100 m，到达另一点 b，问该点要迟多少时间，才具有10−4 V/m 电场。
第6章 射流泵
295第六章 射流泵6.1 概述射流泵是一种流体机械，它是以一种利用工作流体的射流来输送流体的设备。
根据工作流体介质和被输送流体介质的性质是液体还是气体，而分别称为喷射器、引射器、射流泵等不同名称，但其工作原理和结构式基本相同。
通常把工作液体和被抽送液体是同一种液体的设备称为射流泵。
射流泵的工作原理如图6-1所示。
工作液体从动力源沿压力管路1引入喷嘴2，在喷嘴出口处由于射流和空气之间的粘滞作用，把喷嘴附近空气带走，使喷嘴附近形成真空，在外界大气压力作用下，被抽送液体从吸入管路3被吸上来，并随同高速工作液体一同进入喉管4内，在喉管内两股液体发生动量交换，工作液体将一部分能量传递给被抽送液体。
这样，工作液体速度减慢，被抽送液体速度渐加快，到达喉管末端两股液体的速度渐趋一致，混合过程基本完成。
然后进入扩散管5，在扩散管内流速渐降低压力上升，最后从排出管6排出。
工作液体的动力源可以是压力水池，离心泵及其它类型泵或压力管路。
如果对断面I-I 和Ⅱ-Ⅱ平面列伯诺利方程，并经简化后得到在喉管入口前形成的真空度⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ξ+-π=404221s d 1D 1g q 8H(6-1)图6-1 射流泵的工作原理１，压力管路 ２，喷嘴 ３，吸入管路 ４，喉管５，扩散管 ６，排出管式中q---- 动力源提供给喷嘴的流量（m3/s）；1D ---- 压力管直径(m);d---- 喷嘴直径(m);---- I-I和Ⅱ-Ⅱ断面之间局部阻力系数。
由上述工作过程看出，射流泵内没有运动部件，所以它具有结构简单，工作可靠，无泄露，有自吸能力，加工容易和便于综合利用等优点。
在很多技术领域，采用射流泵技术可以使整个工艺流程和设备大为简化，并提高其工作可靠性。
特别是在高温、高压、真空、强辐射及水下等特殊工作条件下，更显示出其独特的优越性。
目前射流泵技术在国内外已被应用于水利、电力、交通、冶金、石油化工、环境保护、海洋开发、地质勘探、核能利用、航空及航天等部门。
第6章：理想p-n结的电流-电压方程
n
? Lp ； W p ? Ln ， （ 这 里 的
N 型中性半导体的长度和 P 型中
8
性半导体的长度； L 和 L 分别表示少子电子和少
n p
子空穴 的扩 散长 度） 。则 离空 间电 荷区 边缘 很远 的 地 方，过剩的少数载流子一定 由
于复 合 的 作 用而 趋 于 零 。 这样 有：
bi
− Va ) 。此 时 ， 热 平衡
状态的扩散力与电场力平衡被打乱。阻止多数载流子
4
空间电荷区的电场力被削弱，势垒高度降为 e ( V
bi
− Va )
。
N 区中的多子电子被注入到 P 区，变成了 P 区的少子； P 区中的多子空穴被注入到 N 区， 变 成了 N 区的少 子。 其能带图如图 3 所示。 在外加正向偏压时，空间 电荷区边缘附近产生了过剩的少子。只要外加正向 电压存在，穿越空间电荷区的载流子注入就一直持续， P-N 结内就会在外加电压的作用下形成电流。正向偏 压时，（6.4）式中的 V 可由 (V
bi
型半导体导带的势
垒高度是V 。 这 个 势垒 高 度 阻止了 N 型半导体导
bi
带中存在的高密度电子向 P 型半导体导带的导带 流动 ， 维 持 了 P-N 结两侧各自区域载流子之间的 分布平衡。 当 P 区相对于 N 区施加正电压 V 时，P-N 结内的势垒
a
高度就会降低，势垒高度降为 (V 穿过
图 6.1 显示了热平衡状态 P-N 结边缘附近载流子的 分布。
图 6.2 是热平衡状态下的 P-N 结的导带能量图。 冶 金 结 ( x = 0) 左 边 是 P 型 半 导 体 的 导 带 ； 冶 金 结 右
离散数学讲义(第6章)
18
6-2 分配格（续）
定理：如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算 对交运算一定可分配。反之亦然。
定理：每个链是分配格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个分配格，则对任意的a，b，c A，如果有a b = a c且a b = a c，则b=c。
19
6-2 分配格（续）
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA，当b ≤ a时，有： a (b c) = b (a c) 则称〈A， ≤ 〉是模格。
5
6-1 格的概念（续）
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
6
6-1 格的概念（续）
代数系统
设〈A， ≤ 〉是一个格，如果在A上定义两个二元运 算和，使得对于任意的a，bA，ab等于a和b的最小 上界，ab等于a和b的最大下界，那么就称〈A， ， 〉 为由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算， 分 别称为并运算和交运算。
定理：分配格一定是模格。
21
6-3 有补格
定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素aA，对 任意的xA，都有a ≤ x， 则称a为格〈A， ≤ 〉的全下界。记作 0。 定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素bA，对 任意的xA，都有x ≤ b， 则称b为格〈A， ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数（续）
定理：对布尔代数中的任意两个元素a，b，有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义：具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
26
新高考数学 第6章 第1讲 数列的概念与简单表示法
第六章 数列
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MING SHI DIAN BO
由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化
通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式___a_n_＝__f_(n_)___ 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝__a_1_＋__a_2_＋__…_＋__a_n__叫做数列{an}的前n 项和
第六章 数列
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知识点二 数列的表示方法
第六章 数列
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当 n＝6 时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得 a6＝－32； 所以 S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63. 解法二：因为 Sn＝2an＋1，所以当 n＝1 时，a1＝2a1＋1，解得 a1＝ －1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以 an＝2an－1，所 以数列{an}是以－1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＝－2n－1，所 以 S6＝－1×1－12－26＝－63.
第六章 数列
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4．(选修2P9T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成 的数列的一个通项公式an＝__5_n_－__4_.
第六章 数列
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题组三 走向高考
5．(2020·浙江，11,4 分)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶
初中化学方程式总结(第1-6章)
化学方程式（第1—6章）实验室制取氧气 文字表达式 高锰酸钾−−→−加热锰酸钾 + 二氧化锰 + 氧气 化学方程式4O 2KMn ∆42O Mn K +2O Mn + ↑2O 文字表达式氯化钾 + 氧气 化学方程式 3O 2KCl ∆2MnO KCl 2 + ↑23O文字表达式 过氧化氢−−−→−二氧化锰水 + 氧气 化学方程式 22O 2H 2MnO O 22H +↑2O木炭燃烧 文字表达式 碳 + 氧气−−→−点燃 二氧化碳 化学方程式 C + 2O 点燃 2CO硫燃烧 文字表达式 硫 + 氧气−−→−点燃 二氧化硫 化学方程式 S + 2O 点燃 2SO镁燃烧 文字表达式 镁 + 氧气−−→−点燃 氧化镁 化学方程式 Mg 2 + 2O 点燃 2MgO实验现象 发出耀眼的白光，放热，生成白色粉末状固体。
红磷燃烧 文字表达式 磷 + 氧气−−→−点燃 五氧化二磷 化学方程式 P 4 + 25O 点燃 52O 2P 铁丝在空气中不燃烧。
铁丝在纯氧中燃烧 文字表达式 铁 + 氧气−−→−点燃 四氧化三铁 化学方程式 Fe 3 + 22O 点燃 43O Fe实验现象 剧烈燃烧，火星四射，放热，生成黑色固体。
铜和氧气反应 文字表达式 铜 + 氧气−−→−加热 氧化铜 化学方程式 Cu 2 + 2O ∆ 2CuO实验现象 红色固体逐渐变成黑色。
汞和氧气反应 文字表达式 汞 + 氧气−−→−加热 氧化汞 化学方程式 Hg 2 + 2O ∆ 2HgO电解水 文字表达式 水 −−→−通电 氢气 + 氧气化学方程式 O H 22 通电 ↑22H + ↑2O 氢气燃烧 文字表达式水氧气氢气点燃−−→−+ 化学方程式 O H O H 22222点燃+实验室制取氢气 药品 锌和稀硫酸 反应原理： 化学方程式↑+=+2442H ZnSO SO H Zn C CO CO 2之间的反应，写出化学方程式（碳三角，煤炉反应）① 碳充分燃烧22CO O C 点燃+ ②碳不充分燃烧 CO O C 222点燃+ ③ CO 燃烧 2222CO O CO 点燃+ ④ 碳还原CO 2 CO CO C 22高温+氢气还原氧化铜 文字表达式水铜氧化铜氢气加热+−−→−+ 化学方程式O H C CuO H 22u +∆+ CO 还原氧化铜 文字表达式 二氧化碳铜氧化铜一氧化碳加热+−−→−+化学方程式2u u CO C O C CO +∆+ 碳还原氧化铜 文字表达式二氧化碳铜氧化铜碳高温+−−→−+ 化学方程式 ↑++2u 2u 2CO C O C C 高温实验室制取二氧化碳 药品 大理石（或石灰石）和稀盐酸石灰石或大理石的主要成分 碳酸钙（CaCO 3） 稀盐酸 HCl 气体的水溶液反应原理：化学方程式 ↑++=+22232CO O H CaCl HCl CaCO发生装置 固液常温型收集装置 向上排空气法 ，如何验满： 将燃着的木条放在集气瓶口，若熄灭，则已满。
新教材高中物理第6章圆周运动1圆周运动学案新人教版必修第二册
1．圆周运动学习目标：1.[物理观念]通过研究,认识匀速圆周运动,知道它是变速运动。
2.[科学思维]理解线速度、角速度、周期、转速的概念,会对它们进行定量计算。
3.[科学思维]掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系,并会解决有关问题。
4.[科学思维]掌握处理传动问题的基本方法。
阅读本节教材,回答第23页“问题”并梳理必要知识点。
教材第23页“问题”提示：(1)大、小齿轮用链条连接,边缘上的点速度大小相等,故运动的一样快；(2)离转轴越远运动的越快。
(3)比两点运动快慢,可以从以下三个角度分析：①比较两点单位时间内通过的弧长；②比较两点与圆心的连线在单位时间内扫过的圆心角；③比较两点运动一周所需时间的长短。
一、圆周运动及线速度 1．圆周运动的概念运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动,称为圆周运动。
圆周运动为曲线运动,故一定是变速运动。
2．线速度(1)定义：做圆周运动的物体,通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。
用v 表示。
(2)表达式：v ＝ΔsΔt,单位为米/秒,符号是m/s 。
(3)方向：线速度是矢量,物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。
(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量,当Δt 很小时,其物理意义与瞬时速度相同。
(5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等,这种运动叫作匀速圆周运动。
[注意] 匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动,它的线速度方向时刻在变化,因而匀速圆周运动不是匀速运动,严格地说,应该将其称为匀速率圆周运动。
1．定义：如图所示,物体在Δt 时间内由A 运动到B 。
半径OA 在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt 之比叫作角速度,用符号ω表示。
2．表达式：ω＝ΔθΔt。
3．国际单位：弧度每秒,符号rad/s 。
在国际单位制中角的度量单位为“弧度”,在利用公式ω＝ΔθΔt计算角速度时,Δθ的单位是“弧度”。
360°＝2π弧度。
数学物理方程学习指导书第6章拉普拉斯方程的格林函数法
第6章 拉普拉斯方程的格林函数法在第4、5两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法.本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法.先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式.6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法在第3章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程22222220.u u uu x y z∂∂∂∇≡++=∂∂∂作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件.至于边界条件，如第一章所述有三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题.（1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ (或记作Ω)上连续，在Ω内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即.u f Γ= (6.1)第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题，或简称狄氏问题.4.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题.拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知.（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任一点处法向导数un∂∂存在，并且等于已知函数f 在该点的值： .uf n Γ∂=∂ （6.2） 这里n 是Γ的外法向矢量.第二边值值问题也称牛曼（Neumann ）问题.以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解.这样的问题称为内问题.在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法.例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件,u f Γ=这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布，象这样的定解解问题称为拉普拉斯方程的外问题.由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于在电学上总是假定在无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加一个条件*）lim (,,)0(r u x y z r →∞==（6.3）（3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，当点(,,)x y z 趋于无穷远时，(,,)u x y z 满足条件(6.3)，并且它在边界Γ上取所给的函数值.u f Γ= （6.4）（4）牛曼外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它的闭曲面Γ的外面部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，在无穷远处满足条件(6.3)，而且它在Γ上任一点的法向导数'un ∂∂存在，并满足 ,'uf n Γ∂=∂ （6.5） 这里n '是边界曲面Γ的内法向矢量.下面我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题.6．2 格林公式为了建立拉普拉斯方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则线面积分中奥-高公式的直接推论.设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 是在Ω+Γ上连续的，在Ω内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立如下的奥-高公式*）从数学角度讲，补充了这个条件就能保证外问题的解是唯一的，如果不具有这个条件，外问题的解可能不唯一.例如，在单位圆Γ外求调和函数，在边界上满足1=Γu.容易看出，及1),,(1≡z y x u22221),,(zy x z y x u ++=都在单位圆外满足拉普拉斯方程，并且在单位圆Γ上满足上述边界条件.P Q R d x y z Ω⎛⎫∂∂∂++Ω ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ [cos(,)cos(,)cos(,)],P n x Q n y R n z dS Γ=++⎰⎰ (6.6)其中d Ω是体积元素，n 是Γ的外法向矢量，dS 是Γ上的面积元素.下面来推导公式(6.6)的两个推论.设函数(,,)u x y z 和(,,)v x y z 在Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的二阶偏导数.在(6.6)中令,,,v v v P uQ u R u x y z∂∂∂===∂∂∂ 则有2()u v u v u v u v d d x x y y z z ΩΩ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇Ω+++Ω ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ,vudS nΓ∂=∂⎰⎰ 或2().vu v d u dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.7） (6.7)式称为第一格林(Green)公式.在公式(6.7)中交换,u v 位置，则得2().uv u d v dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.8） 将(6.7)与(6.8)式相减得到22().v u u v v u d u v dS n n ΩΓ∂∂⎛⎫∇-∇Ω=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （6.9） (6.9)式称为第二格林公式.利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质. (i)调和函数的积分表达式所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域边界Γ上的法向导数沿Γ的积分来表达调和函数在Ω内任一点的值.设0000(,,)M x y z 是Ω内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值，为此，构造一个函数1v r == （6.10）函数1r除点0M 外处处满足拉普拉斯方程，这函数在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用，通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解.由于1v r=在Ω内有奇异点0M ,我们作一个以0M 为中心，以充分小的正数ε为半径的球面,εΓ在Ω内挖去,εΓ所包围的球域K ε得到区域K εΩ-（图6-1），在K εΩ-内1v r=是连续可微的.在公式(4.9)中取u 为调和函数，而图6-1取1v r=，并以K εΩ-代替该公式中的Ω，得 221111(),K u r u u d u dS r r n r n εεΩ-Γ+Γ⎡⎤⎛⎫∂ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎢⎥∇-∇Ω=-∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ （6.11） 因为在K εΩ-内2210,0.u r∇=∇=而在球面εΓ上221111,r r n r r ε⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-==∂∂ 因此22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰其中u 是函数u 在球面εΓ上的平均值.同理可得22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰ 此外u n ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭是un ∂∂在球面εΓ上的平均值，将此两式代入(6.11)可得 11440.u u u dS u n r r n n εππεΓ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 现在令0,ε→由于00lim ()u u M ε→=（因为(,,)u x y z 是连续函数），0lim 40u n επε→⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭（因为(,,)u x y z 是一阶连续可微的，故un∂∂有界）则得 000111()()(),4MM MM u M u M u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂⎢⎥=--⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ (6.12)此外为明确起见，我们将r =记成0MM r .(6.12)说明，对于在Ω+Γ上有连续一阶偏导数的调和函数u ，它在区域Ω内任一点0M 的值，可通过积分表达式(6.12)用这个函数在区域边界Γ上的值及其在Γ上的法向导数来表示*）.(ii)牛曼内问题有解的必要条件设u 是在以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取u 为所给的调和函数，取1v =，就得到0udS nΓ∂=∂⎰⎰(6.13) 由(6.13)可得牛曼内问题u f nΓ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭有解的必要条件为函数f 满足*）上面的推导是假定点),,(0000z y x M 在区域Ω内，如果0M 在Ω外或0M 在边界Γ上，我们也可用同样方法推得另外两个式子，把它们合并在一起可得⎰⎰Γ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΓΩ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-。
流体力学第6章流体运动微分方程
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
《土力学与地基基础》学习指导书-第6章
第6章土的抗剪强度6.1 学习要求学习要点：掌握库伦定律及强度理论；掌握抗剪强度的测定方法。
了解饱和粘性土的抗剪强度及应力路径。
重点和难点：土的抗剪强度指标的测定，土的强度理论。
6.2 学习要点1. 土的抗剪强度理论★库伦公式土的抗剪强度表达式(库伦公式)为：无黏性土 ϕστtan f = (6-1) 黏性土 ϕστtan f +=c (6-2) 式中 f τ——土的抗剪强度(kPa) ;σ——剪切滑动面上的法向总应力(kPa)；c ——土的黏聚力(kPa) ;ϕ——土的内摩擦角(°)。
c 、ϕ统称为土的抗剪强度指标(参数)。
在στ-f 坐标中(图6-1)，库伦公式为一条直线，称为抗剪强度包线。
ϕ为直线与水平土力学与地基基础学习与考试指导·2· 轴的夹角，c 为直线在纵轴上的截距。
土的抗剪强度不仅与土的性质有关，还与试验时的排水条件、剪切速率、应力状态和应力历史等许多因素有关，其中最重要的是试验时的排水条件。
★抗剪强度的总应力法和有效应力法根据太沙基的有效应力概念，土体内的剪应力只能由土的骨架承担，因此，土的抗剪强度f τ应表示为剪切破坏面上的法向有效应力σ'的函数，即ϕσϕστ'-+'=''+'=tan )(tan f u c c(6-3) 式中 c '、ϕ'——分别为有效黏聚力和有效内摩擦角，统称为有效应力强度指标，对无性土，c '=0;σ'——剪切滑动面上的法向有效应力;u ——孔隙水压力。
因此，土的抗剪强度有两种表达方法，一种是以总应力σ表示剪切破坏面上的法向应力，其抗剪强度表达式为式(6-1)和式(6-2)，称为抗剪强度总应力法，相应的c 、ϕ称为总应力强度指标(参数)；另一种则以有效应力σ'表示剪切破坏面上的法向应力，其表达式为式(6-3)，称为抗剪强度有效应力法， c '、ϕ'称为有效应第6章 土的抗剪强度 ·3·力强度指标(参数)。
第6章 一阶电路4)
+ _E
uC
RC
uC () [uC (0 ) uC ()] e
可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
t
三要素法的证明：
一阶电路的数学模型是一阶微分方程 , 解的一般形式为
t
f (t ) f () Ae
1.5mA
第二阶段:(K:12) K R1 1k 1 2
稳态值 R1 3 C
i
+ 1k R3 2k E1 _ 3V + R2 E2 _ 5V
uC
i
R3 + _ E2 R2
uC
R2 u c ( ) E2 R1 R2 R3 2.5 V
E2 i ( ) R1 R2 R3 1.25 mA
t
uC (0-)=U0
=RC
由初始值定A
稳态响应
uC' = US 暂态响应 uC Ae
t
uC U S Ae
uC (0+)=A+US=U0
A=U0 - US
1. 全响应 = 强制分量(稳态响应)+自由分量(暂态响应)
uC U S (U 0 U S )e
K(t=0)
R
R
i
C uC – +
=
+
+u –
uC (0-)=U0
uC U S (1 e
零状态响应
t
) U 0e
t
(t 0)
零输入响应
uc US
全响应
第6章 第2讲 动能定理及其应用 2023年高考物理一轮复习(新高考新教材)
判断 正误
1.如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做功一定为零.
(√ ) 2.物体在合外力作用下做变速运动时，动能一定变化.( × ) 3.物体的动能不变，所受的合外力必定为零.( × )
4.合力对物体做正功，物体的动能增加；合力对物体做负功，物
体的动能减少.( √ )
方法技巧 提升关键能力
例10 (多选)放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作 用，在0～6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系 图像分别如图甲、乙所示.下列说法中正确的是(g取10 m/s2)
√A.0～6 s内拉力做的功为140 J
B.物体在0～2 s内所受的拉力为4 N C.物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数
正确；
因为物体做变加速运动，所以运 其他图像与动能定理的结合
例9 (2018·江苏卷·4)从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间 后落回地面.忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是
√
小球做竖直上抛运动，设初速度为v0，则v＝v0－gt 小球的动能 Ek＝12mv2，把速度 v 代入得 Ek＝12mg2t2－mgv0t＋12mv02， Ek与t为二次函数关系，故A正确.
体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至
最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(重力加速度大小为g)
√A.12mv02－μmg(s＋x)
B.12mv02－μmgx
C.μmgs
D.μmg(s＋x)
根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为 Wf＝μmg(s＋x)，由动能 定理可得－W 弹－Wf＝0－12mv02，则 W 弹＝12mv02－μmg(s＋x)，故选项 A 正确.
第六章 组合逻辑电路题库
1．“与非”门逻辑表达式为：见0得1，全1得0。
（对）2．“与非”门逻辑表达式为：见0得0，全1得1。
（错）3.“与”门的逻辑功能是“有0出0，全1出1”。
（对）4.“与”门的逻辑功能是“有1出1，全0出0”。
（错）5.“异或”门的功能是“相同出0，不同出1”。
（对）6.“异或”门的功能是“相同出1，不同出0”。
（错）7.或非逻辑关系是“有1出0，全0出1”。
（对）8.或非逻辑关系是“有0出1，全1出0”。
（错）9.“同或”门的功能是“相同出0，不同出1”。
（错）10.“同或”门的功能是“相同出1，不同出0”。
（对）11.或逻辑关系是“有0出0，见1出1”。
（错）12.或逻辑关系是“有0出1，全1出0”。
（错）13.或逻辑关系是“有1出1，全0出0”。
（对）14．因为A+AB=A，所以AB=0（错）15．组合逻辑电路的输出状态仅取决于输入信号状态。
（对）16．组合逻辑电路的输出状态不仅仅取决于输入信号状态。
（错）17．译码电路的输出量是二进制代码。
（错）18．译码电路的输入量是二进制代码。
（对）19．编码器、译码器为组合逻辑电路。
（对）20.逻辑电路中，一律用“1”表示高电平，用“0”表示低电平。
（错）21.常用的门电路中，判断两个输入信号是否相同的门电路是“与非”门。
（错）22.常用的门电路中，判断两个输入信号是否相同的门电路是“或非”门。
（错）23.常用的门电路中，判断两个输入信号是否相同的门电路是“同或”门。
（对）24.常用的门电路中，判断两个输入信号是否相同的门电路是“异或”门。
（对）25.由分立元件组成的三极管“非”门电路，实际上是一个三极管反相器。
（对）26.用四位二进制代码表示1位十进制数形成二进制代码称为BCD码。
（对）27.逻辑代数又称布尔代数。
（对）28.逻辑变量只有0和1两种数值，表示事物的两种对立状态。
（对）29.逻辑函数常用的化简方法有代数法和卡诺图法。
（对）30.任何一个逻辑函数的表达式一定是唯一的。
第6章弹性力学的平面问题
2
+
∂y
2
4
=0
有
x d f d f1 d f2 d f + x 4 + 4 +2 2 = 0 4 2 dy dy dy dy
4
值上式都满足， 由于对于任何 x值上式都满足，所以各次 幂的系数都应为零 即
x
d4 f d4 f1 d4 f2 d2 f = 0, = 0, +2 2 = 0 4 4 4 dy dy dy dy
2 2 2
本构方程
τxy 1 ' εx = （ x − µσy） εxy = σ ' E 2G 1 ' εy = （ y − µσx） σ ' E
材料常数
E ’ E = E 1− µ2
平 应 面 力 平 应 面 变
µ ’ µ = µ 1− µ
平 应 面 力 平 应 面 变
代入平面问题本构方程可以得到： 将 ϕ代入平面问题本构方程可以得到： ∂2ϕ ∂2ϕ εx = E ’ 2 −µ ’ 2 y ∂ x ∂
εy εxy
∂2ϕ ∂2ϕ =E ’ 2 −µ ’ 2 x ∂ y ∂ 1 ∂2ϕ =− ⋅ 2 G ∂ ∂ x y
将上式代入应变协调方程
6.3 平面问题应力函数
在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为： 在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为：
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 ∂x ∂y
由平衡方程有
∂ τ yx ∂σ y ∂ τ xy ∂σ x =− (1) =− (2) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂A ∂A =σx =− yx τ 引入 ∂y ∂x
第二讲：语法入门2
不允许对存储器变量值部分选择或位选择。例如，
– Dram [60] [2] 不允许。 – Dram [60] [2:4] 也不允许。
在较大的表达式中，中间结果的长度如何确 定？在Verilog HDL中定义了如下规则：
– 表达式中的所有中间结果应取最大操作数的长
度（赋值时，此规则也包括左端目标）。 – wire [4:1] Box, Drt; wire [1:5] Cfg; – wire [1:6] Peg; wire [1:8] Adt; – assign Adt = (Box + Cfg) + (Drt + Peg) ;
6.2.6 归约操作符 归约操作符在单一操作数的所有位上操作，并产 生1位结果。归约操作符有:
– . & ( 归约与) //如果存在位值为0, 那么结果为0；如果 – – – – – –
存在位值为x或z，结果为x；否则结果为1。 . ~& ( 归约与非) //与归约操作符&相反。 . | ( 归约或) //如果存在位值为1，那么结果为1；如果 存在位x或z，结果为x；否则结果为0。 . ~| ( 归约或非) //与归约操作符|相反。 . ^ ( 归约异或) //如果存在位值为x或z，那么结果为x； 如果操作数中有偶数个1, 结果为0；否则结果为1。 . ~^ (归约异或非) //与归约操作符^正好相反。 假定, A = ‘b0110; B = ’b0100; 那么: |B 结果为1 ； & B 结果为0；~ &A 结果为1 ;
高三物理人教版一轮教师用书第6章第1节动量动量定理含解析
第章 动量1．考纲展示：动量、动量定理Ⅱ 动量守恒定律及其应用Ⅱ 弹性碰撞和非弹性碰撞Ⅰ 实验：验证动量守恒定律．2．考纲变化：本章内容是模块3－5中的部分内容，考纲要求从2017年起由原来的“选考内容”调至“必考内容”．3．考情总结：本章内容是考纲要求由原来的“选考内容”调至“必考内容”．调整后的第一次命题，考查点为动量守恒定律、动量定理的应用，题型为选择题．4．命题预测：调至“必考内容”后，命题热点仍然集中在动量与能量、动量与牛顿运动定律的综合应用方面，也可能与电场、磁场、电磁感应综合命题，难度可能是中等难度以上或较难．5．2017年考题分布第一节 动量 动量定理(对应学生用书第104页)[教材知识速填]知识点1 动量1．定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，通常用p 来表示． 2．表达式：p ＝m v .3．单位：kg·m/s.4．标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同．5．动量、动能、动量变化量的比较易错判断(1)物体的动能变化时动量一定变化．(√)(2)两物体的动量相等，动能也一定相等．(×)(3)动量变化的大小，不可能等于初、末状态动量大小之和．(×)知识点2动量定理1．冲量(1)定义：力和力的作用时间的乘积叫做这个力的冲量．公式：I＝Ft.(2)单位：冲量的单位是牛·秒，符号是N·s.(3)方向：冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向相同．2．动量定理(1)内容：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化．(2)表达式：Ft＝Δp＝p′－p.(3)矢量性：动量变化量的方向与合外力的方向相同，可以在某一方向上应用动量定理．易错判断(1)动量定理描述的是某一状态的物理规律．(×)(2)物体所受合外力的冲量方向与物体末动量的方向相同．(×)(3)物体所受合外力的冲量方向与物体动量变化的方向相同．(√)[教材习题回访]考查点：动量变化量的理解1．(沪科选修3－5P10T3)质量为5 kg的小球以5 m/s的速度竖直落到地板上，随后以3 m/s的速度反向弹回．若取竖直向下的方向为正方向，则小球动量的变化为()A．10 kg·m/s B．－10 kg·m/sC．40 kg·m/s D．－40 kg·m/s[答案] D考查点：动量和动能的比较2．(粤教选修3－5P9T5)下列关于物体的动量和动能的说法，正确的是() A．物体的动量发生变化，其动能一定发生变化B．物体的动能发生变化，其动量一定发生变化C．若两个物体的动量相同，它们的动能也一定相同D．动能大的物体，其动量也一定大[答案] B考查点：动量定理的应用3．(粤教版选修3－5P9T4)在没有空气阻力的条件下，在距地面高为h，同时以相等初速度v0分别平抛、竖直上抛、竖直下抛一质量相等的物体m，当它们从抛出到落地时，比较它们的动量的增量Δp.有()A．平抛过程较大B．竖直上抛过程最大C．竖直下抛过程较大D．三者一样大[答案] B考查点：动量定理的应用4．(人教版选修3－5P11T2改编)在光滑水平面上，原来静止的物体在水平力F的作用下，经过时间t、通过位移l后，动量变为p、动能变为E k.以下说法正确的是()A．在F作用下，这个物体若经过位移2l，其动量将等于2pB．在F作用下，这个物体若经过时间2t，其动量将等于2pC．在F作用下，这个物体若经过时间2t，其动能将等于2E kD．在F作用下，这个物体若经过位移2l，其动能将等于4E k[答案] B(对应学生用书第105页)1．冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的，如果力的方向在作用时间内不变，冲量的方向就跟力的方向相同．如果力的方向在不断变化，如绳子拉物体做圆周运动时绳的拉力在时间t内的冲量，这时就不能说力的方向就是冲量的方向．对于方向不断变化的力的冲量，其方向可以通过动量变化的方向间接得出．2．冲量是过程量，说到冲量必须明确是哪个力在哪段时间内的冲量．3．冲量和功(1)冲量反映力对时间积累的效应，功反映力对空间积累的效应．(2)冲量是矢量，功是标量．(3)冲量的正、负号表示冲量的方向，功的正、负号表示动力或阻力做功．[题组通关]1．甲、乙两个质量相等的物体，以相同的初速度在粗糙程度不同的水平面上运动，甲物体先停下来，乙物体后停下来，则()A．甲物体受到的冲量大B．乙物体受到的冲量大C．两物体受到的冲量相等D．两物体受到的冲量无法比较C[由题设可知两物体动量的变化量相等，据动量定理，两物体受到的冲量是相等的．两物体不同时停下，是因为受到的合力(即摩擦力)的大小不相等，即两接触面的动摩擦因数不相等．可知正确答案为C.]2．在一光滑的水平面上，有一轻质弹簧，弹簧一端固定在竖直墙面上，另一端紧靠着一物体A，已知物体A的质量m A＝4 kg，如图6-1-1所示．现用一水平力F作用在物体A上，并向左压缩弹簧，F做功50 J后(弹簧仍处在弹性限度内)，突然撤去外力F，物体从静止开始运动．则当撤去F后，弹簧弹力对A物体的冲量为()【导学号：84370253】图6-1-1A．20 N·s B．50 N·sC．25 N·s D．40 N·sA[弹簧的弹力显然是变力，因此该力的冲量不能直接求解，可以考虑运用动量定理：I＝Δp，即外力的冲量等于物体动量的变化．由于弹簧储存了50 J的弹性势能，我们可以利用机械能守恒求出物体离开弹簧时的速度，然后运用动量定理求冲量．所以有：E p＝12m v2，I＝m v.由以上两式可解得弹簧的弹力对A物体的冲量为I＝20 N·s.故选A.]图象法：如图所示，该图线与时间轴围成的内的冲量．根据动量定理求变力冲量．1．动量定理的理解(1)方程左边是物体受到的所有力的总冲量，而不是某一个力的冲量．其中的F可以是恒力，也可以是变力，如果合外力是变力，则F是合外力在t时间内的平均值．(2)动量定理说明的是合外力的冲量I合和动量的变化量Δp的关系，不仅I合与Δp大小相等而且Δp的方向与I合方向相同．(3)动量定理的研究对象是单个物体或物体系统．系统的动量变化等于在作用过程中组成系统的各个物体所受外力冲量的矢量和．而物体之间的作用力(内力)，由大小相等、方向相反和等时性可知不会改变系统的总动量．(4)动力学问题中的应用．在不涉及加速度和位移的情况下，研究运动和力的关系时，用动量定理求解一般较为方便．不需要考虑运动过程的细节．2．用动量定理解释的两类现象(1)物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小．(2)作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小．[多维探究]考向1用动量定理解释生活现象1．玻璃杯从同一高度落下，掉在水泥地面上比掉在草地上容易碎，这是由于玻璃杯与水泥地撞击过程中()A．玻璃杯的动量较大B．玻璃杯受到的冲量较大C．玻璃杯的动量变化较大D．玻璃杯的动量变化较快D[玻璃杯从相同高度落下，落地时的速度大小是相同的，落地后速度变为零，所以无论落在水泥地面上还是草地上，玻璃杯动量的变化量Δp是相同的，又由动量定理I＝Δp，知受到的冲量也是相同的，所以A、B、C 都错．由动量定理Ft＝Δp得F＝Δp/t，落到水泥地面上，作用时间短，动量变化快，受力大，容易碎，D对．]2．把重物压在纸带上，用一水平力缓缓拉动纸带，重物跟着纸带一起运动；若迅速拉动纸带，纸带就会从重物下抽出，这个现象的原因是()A．在缓缓拉动纸带时，纸带给重物的摩擦力大B．在迅速拉动纸带时，纸带给重物的摩擦力小C．在缓缓拉动纸带时，纸带给重物的冲量大D．在迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量大C[缓缓拉动纸带时，所用时间较长，摩擦力对物体的冲量大，故选项C 正确．]考向2用动量定理求平均作用力3．高空作业须系安全带，如果质量为m的高空作业人员不慎跌落，从开始跌落到安全带对人刚产生作用力前人下落的距离为h(可视为自由落体运动)，此后经历时间t安全带达到最大伸长，若在此过程中该作用力始终竖直向上，则该段时间安全带对人的平均作用力大小为()A.m2ght＋mg B.m2ght－mgC.m ght＋mg D.m ght－mgA[设高空作业人员自由下落h时的速度为v，则v2＝2gh，得v＝2gh，设安全带对人的平均作用力为F，由动量定理得(mg－F)·t＝0－m v，解得F＝m2ght＋mg.]4．一个质量为0.18 kg的垒球，以25 m/s的水平速度飞向球棒，被球棒打击后反向水平飞回，速度大小为45 m/s，若球棒与垒球的作用时间为0.01 s．球棒对垒球的平均作用力的大小为()A．450 N B．810 NC．1 260 N D．360 NC[取垒球飞向球棒的方向为正方向初动量p＝m v＝0.18×25 kg·m/s＝4.5 kg·m/s末动量p′＝m v′＝－0.18×45 kg·m/s＝－8.1 kg·m/s由动量定理得垒球所受到的平均作用力为F＝p′－pΔt＝－8.1－4.50.01N＝－1 260 N.即所求平均作用力大小为1 260 N，方向与所选的正方向相反．](多选)在光滑水平面上有两个质量均为2 kg的质点，质点a在水平恒力F a＝4 N作用下由静止开始运动4 s，质点b在水平恒力F b＝4 N作用下由静止开始运动4 m，比较这两质点所经历的过程，可以得到的正确结论是()A．质点a的位移比质点b的位移大B．质点a的末速度比质点b的末速度小C．力F a做的功比力F b做的功多D．力F a的冲量比力F b的冲量小AC[质点a的位移x a＝12at2＝12·F am t2＝4×422×2m＝16 m．由动量定理F a t a＝m v a，v a＝F a t am＝4×42m/s＝8 m/s，由动能定理得F b x b＝12m v2b，v b＝2×4×42m/s＝4 m/s.力F a做的功W a＝F a×x a＝4×16 J＝64 J，力F b 做的功W b＝F b×x b＝4×4 J＝16 J．力F a的冲量I a＝F a t a＝4×4 N·s＝16 N·s，力F b的冲量I b＝Δp b＝m(v b－0)＝2×(4－0) N·s＝8 N·s.综上可得A、C选项正确．][母题](2016·全国Ⅰ卷)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g.求：(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．[题眼点拨]①“悬停在空中”表明水对其冲击力的大小等于其重力大小；②“竖直方向水的速度变为零”显示水的动量变化大小是解题的突破口．[解析](1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则Δm＝ρΔV ①ΔV＝v0SΔt ②由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为ΔmΔt＝ρv0S. ③(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v.对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得12(Δm)v2＋(Δm)gh＝12(Δm)v20④在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为Δp＝(Δm)v ⑤设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有FΔt＝Δp ⑥由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得F＝Mg ⑦联立③④⑤⑥⑦式得h＝v202g－M2g2ρ2v20S2. ⑧[答案](1)ρv0S(2)v202g－M2g 2ρ2v20S2迁移1 动量定理与图象的结合1．(多选)(2017·全国Ⅲ卷)一质量为2 kg 的物块在合外力F 的作用下从静止开始沿直线运动．F 随时间t 变化的图线如图6-1-2所示，则( )图6-1-2 A ．t ＝1 s 时物块的速率为1 m/sB ．t ＝2 s 时物块的动量大小为4 kg·m/sC ．t ＝3 s 时物块的动量大小为5 kg·m/sD ．t ＝4 s 时物块的速度为零 AB [由动量定理得：t ＝1 s 时，v 1＝F 1Δt 1m ＝2×12 m/s ＝1 m/st ＝2 s 时：p 2＝F 1Δt 2＝2×2 kg·m/s ＝4 kg·m/st ＝3 s 时：p 3＝F 1Δt 2＋F 2Δt 3＝2×2 kg·m/s －1×1 kg·m/s ＝3 kg·m/s t ＝4 s 时：F 1Δt 2＋F 2Δt 4＝m v 4v 4＝2×2－1×22m/s ＝1 m/s 选项A 、B 正确．]一个质量为3 kg 的物体所受的合外力随时间变化的情况如图所示，那么该物体在6 s 内速度的改变量是( )A ．7 m/sB ．6.7 m/sC ．6 m/sD ．5 m/sD [F -t 图线与时间轴围成的面积在量值上代表了合外力的冲量，故合外力冲量为I ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋12×2×4－12×1×2N·s ＝15 N·s. 根据动量定理有I ＝m Δv ，Δv ＝I m ＝153 m/s ＝5 m/s.故本题选D.]迁移2 动量定理与多过程问题的结合2.如图6-1-3所示，在光滑水平面上并排放着A 、B 两木块，质量分别为m A 和m B .一颗质量为m 的子弹以水平速度v 0先后穿过木块A 、B .木块A 、B 对子弹的阻力恒为F f .子弹穿过木块A 的时间为t 1，穿过木块B 的时间为t 2.求：(1)子弹刚穿过木块A 后，木块A 的速度v A 和子弹的速度v 1分别为多大？(2)子弹穿过木块B 后，木块B 的速度v B 和子弹的速度v 2又分别为多大？【导学号：84370254】图6-1-3 [题眼点拨] ①“并排放着A 、B 两木块”要想到子弹穿过A 的过程中，A 、B 共同运动；②“阻力恒为F f ”及“时间t 1”“时间t 2”．[解析](1)从子弹刚进入A 到刚穿出A 的过程中：对A 、B ：由于A 、B 的运动情况完全相同，可以看作一个整体F f t 1＝(m A ＋m B )v A ，所以v A ＝F f t 1m A ＋m B对子弹：－F f t 1＝m v 1－m v 0，所以v 1＝v 0－F f t 1m .(2)子弹刚进入B 到刚穿出B 的过程中：对物体B ：F f t 2＝m B v B －m B v A所以v B ＝F f (t 1m A ＋m B ＋t 2m B )对子弹：－F f t 2＝m v 2－m v 1，所以v 2＝v 0－F f (t 1＋t 2)m. [答案](1)F f t 1m A ＋m B v 0－F f t 1m(2)F f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1m A ＋m B ＋t 2m B v 0－F f (t 1＋t 2)m迁移3 动量定理在风力作用中的应用3．一艘帆船在湖面上顺风航行，在风力的推动下做速度为v 0＝4 m/s 的匀速直线运动．若该帆船在运动状态下突然失去风力的作用，则帆船在湖面上做匀减速直线运动，经过t ＝8 s 才可静止．该帆船的帆面正对风的有效面积为S ＝10 m 2，帆船的总质量约为M ＝936 kg.若帆船在航行过程中受到的阻力恒定不变，空气的密度为ρ＝1.3 kg/m 3，在匀速行驶状态下估算：(1)帆船受到风的推力F 的大小；(2)风速的大小v .[解析](1)风突然停止，帆船只受到阻力f 的作用，做匀减速直线运动，设帆船的加速度为a ，则a ＝0－v 0t ＝－0.5 m/s 2根据牛顿第二定律有－f ＝Ma ，所以f ＝468 N则帆船匀速运动时，有F －f ＝0解得F ＝468 N.(2)设在时间t 内，正对着吹向帆面的空气的质量为m ，根据动量定理有－Ft ＝m (v 0－v )又m ＝ρS (v －v 0)t所以Ft＝ρS(v－v0)2t解得v＝10 m/s.[答案](1)468 N(2)10 m/s。
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6.2.1 .与[ ]运算符 6.2.2 EL中的变量 6.2.3 EL中的符号常量 6.2.4 EL中的保留字 6.2.5 EL中的运算符 6.2.6 EL中的函数
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6.2.1 .与[ ]运算符
EL提供 . 和 [ ] 两种运算符来存取数据。以下 两种情况两者会有差异： （1）当要存取的属性名称中包含一些特殊字符， 如 . 或 — 等，就一定要使用 [ ]。 （2）需要动态取值时，要用 [ ] ，因为 . 无法做 到动态取值。
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6.2.2 EL中的变量
1.
2.
EL存取变量数据的方法 ： 没有指定范围的JSP容器会先从page范围找。 假如找不到，再依序到request、session、 application范围。 直接指定要取出哪一个范围的变量. 从不同范围取变量值举例 见课本表6-1 。
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6.1.2 EL用于动态文本(续)
课本例exa6_4.jsp中使用 <jsp:useBean>标准动作创建一个JavaBean， 然后使用EL表达式读出Bean的属性值。运行 结果见课本图6-7所示。
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6.2表达式语言语法
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6.1.1 EL用于静态文本
在课本例exa6_1.jsp中静态文本<H2>中包含 一个EL表达式${12.5e4}，exa6_1.jsp： <html><body> <h2>商品价格是 ${12.5E4}.</h2> The value of 2 plus 5 is: <h1>${2 + 5}</h1> </body><html> 例 exa6_1.jsp运行结果见课本图6-2所示
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6.2.5 EL中的运算符(续)
运算符 说明 运算符 +，<或lt >或gt <=或le >=或ge 说明 加法， 减法 小于 大于 小于 等于 大于 等于 运算符 ==或eq !=或ne &&或and || 或or 说明 等于
！或not 布尔取 反 empty * /或div 检查空 值 乘法 除法
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6.2.1 .与[ ]运算符(续)
[ ] 运算符的意义 ：假设有一个 EL：${A[B]} （1）当A的值为null时，它会回传null。 （2）当B的值为null时，它会回传null。 （3）当A的值为Map类型时， 若!A.containsKey(B)为真，则回传null；否则 回传A.get(B)。
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6.1.1 EL用于静态文本(续)
exa6_3.jsp关键代码： <%@page isELIgnored="false" %> <h1>启用/禁用表达式语言</h1> <form method="post" action="expressionexample.jsp"> <b> ${'名字: '}<input type="text" value="${'请输入您的名字'}"/> </b><br /> <b> ${'姓氏: '}<input type="text" value="${'请输入您的姓氏'}"/> </b><br /> <input type="submit" name="Submit" value="${'提交表单'}"> <input type="reset" value="${'重置表单'}"> </form>
说明
取得Page范围的属性名称所对应的值 取得Request范围的属性名称所对应值 取得Session范围的属性名称所对应的值 取得Application范围的属性名称所的值 如同ServletRequest.getParameter(String name)回传String类型的 值 如同ServletRequest.getParameterValues(String name)。回传String []类型的值 如同ServletRequest.getHeader(String name)回传String 类型的值 如同ServletRequest.getHeaders(String name)。回传String []类型 的值 如同HttpServletRequest.getCookies( ) 如同ServletContext.getInitParameter(String name)。回传String 类型的值
在课本例exa6_5.jsp中color、size、 textclr、foregr为符号常量，并被赋值。使用 JSP的pageContext隐含对象将它们存为页面 的属性，并使用EL表达式的隐含对象 pageScope将它们传给标记的属性，运行结果 见图6-8所示。
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6.2.3 EL中的符号常量
表达式语言中可以使用符号常量，它类似于 Java中final说明的常量。使用符号常量的目的 就是减少代码维护代价。 EL表达式定义的符号常量见表6-2所示。
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6.2.3 EL中的符号常量(续)
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6.1表达式语言简介
EL语法结构： ${EL expression} 所有EL都是以 ${ 为起始、以 } 为结尾, EL expression为指定表达式。如： ${er.sex}，意思是：从 Session范围中取得用户性别。 EL的语法比传统JSP脚本更为方便、简洁。
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6.2.6 EL中的函数(续)
举例说明： 1. 写一个类Function.java，它的方法必须是静 态的，代码见课本exa6_7。 2. 其中定义的两个静态方法需要在functions.tld 中加以说明 。 3. 需要在web.xml中描述functions.tld。 4. 在JSP页面function.jsp中使用这两个函数 。
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6.1.1 EL用于静态文本(续)
2. ${'${'}......}，如果在EL表达式中出现${'${'}， 则EL表达式输出“${”，并把“}”后面的表达 式看成字符串输出。
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6.1.1 EL用于静态文本(续)
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6.3 EL中的隐含对象
6.3.1与范围有关的隐含对象 6.3.2 与输入有关的隐含对象 6.3.3 其他隐含对象
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6.3 EL中的隐含对象(续)
EL 隐含对象总共有11 个，在JSP 脚本和EL表 达式中可用 ，这11 个隐含对象分成三类： 1. 与范围有关的隐含对象：applicationScope、 sessionScope、requestScope、pageScope 2. 与输入有关的隐含对象：param paramValues 3. 其他隐含对象：cookie、header、 headerValues、initParam、pageContext
禁用EL表达式的问题： “${”和“}”成为EL表达式专用符号。但有时 可能不需要它们作为EL表达式专用符号，而 是作为一般符号。这时需要使用 <%@ page isELIgnored=“true” %>禁用EL表 达式。
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6.1.1 EL用于静态文本(续)
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第 6章 简单的表达式
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第六章 简单的表达式
6.1表达式语言简介 6.2表达式语言语法 6.3 EL中的隐含对象 6.4 小结
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6.1表达式语言简介
6.1.1 EL用于静态文本 6.1.2 EL用于动态文本
isELIgnored属性的默认值随着Web服务器的 不同版本而不同，本书用的Tomcat 5.0.28默 认为“false”。 课本例exa6_3.jsp中isELIgnored属性为 “false”或设为默认值的运行结果见课本图6-5 所示，禁用的运行结果见课本图6-6所示。
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6.3 EL中的隐含对象(续)
隐含对象
PageContext PageScope RequestScope sessionScope applicationScope param paramValues