6.三角形内角(2)
冀教版数学七年级下册9.2《三角形的内角和外角》教学设计2
冀教版数学七年级下册9.2《三角形的内角和外角》教学设计2一. 教材分析冀教版数学七年级下册9.2《三角形的内角和外角》是学生在掌握了三角形的基本概念、性质的基础上，进一步研究三角形的内角和外角的性质。
本节内容通过探究三角形的内角和外角，培养学生的观察、思考、归纳能力，为后续学习三角形的不等式、多变形几何等知识打下基础。
本节课的内容在整体教材中起到承上启下的作用，既是对前面知识点的巩固，又是为后面知识的学习做铺垫。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念、性质，对三角形有了初步的认识。
但学生在学习过程中可能对内角和外角的概念、性质理解不够深入，对内角和外角之间的联系和转化还不够明确。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，采用适当的教学方法，引导学生深入理解三角形的内角和外角的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的内角和外角的性质，能够运用内角和外角的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的观察能力、动手能力、归纳能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：三角形的内角和外角的性质。
2.难点：内角和外角之间的联系和转化。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入内角和外角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生观察、思考、交流，激发学生的学习兴趣，培养学生自主探究的能力。
3.小组合作学习：通过小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力，提高学习效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示三角形的内角和外角的性质。
2.教学素材：准备一些三角形图形，用于引导学生观察、操作。
3.教学视频：寻找相关教学视频，帮助学生更好地理解内角和外角的性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入三角形内角和外角的概念，激发学生的学习兴趣。
《三角形的内角》三角形PPT(第2课时)
思考 如果一个都不知道，或只知道1个角，你能知道
三角形各角的度数吗？
新课导入
课堂小结
三角形内角和定理：三角形内角和为 180°。
为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅
助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
推论 直角三角形的两个锐角互余。
反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。
B
C
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
A
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵
∠C =90°，
∴
∠A +∠B =90°．
B
C
直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可
以写成Rt△ ABC．
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与
（ ）
新课导入
三角形内角和定理的辨析
例题
若一个三角形三个内角度数的比为 2︰3︰4，那么这
个三角形是( B )
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .等边三角形
例题
(1)一个三角形中最多有 1 个直角.
(2)一个三角形中最多有 1 个钝角.
(3)一个三角形中至少有 2 个锐角.
60°
x =18°
x =30°
新课导入
例题+变式：根据三角形内角和定理求角度
归纳 ①直接计算： 直接利用三角形的内角和180°进行计算．
②形题数解：
设某一个角为x（或将某一个角视为未知数），其余
的角用x的代数式表示，从而根据题意列出方程(组)求
解，这就是“形题数解”．
初中数学《三角形内角和定理2》
当堂检测
3.如图, AB ∥ CD,∠ABP=125°，∠D=110°， 则∠ P=___1_5_°.
当堂检测
4. 如图,
(1)∠BFC是_______的外角，也是______的外角; (2)∠A=42°,∠ACE=18°,∠ABD=28°,求∠BFC的度数.
解：∵∠BEC是△AEC的一个外角 ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60° ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角 ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60° ∴ ∠BFC=88°
M A
∴∠PMB=∠PQC=40°
∵∠MPN是△PNQ的一个外角
∴∠MPN=∠PND+∠PQC
C
∵∠PND=75°
N
∴∠MPN=75°+40°=115°
B P
QD
学以致用
三角形三个外角的和是360 ° (每个顶点处只取一个外角)
例2 如图∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC三个外角，
它们的和是多少？
评价量规
合格+2：能在图形中准确找出三角形外角，会描述外角定理的几何语言。 良好+3：会用规范的几何语言证明外角定理，并能严谨地描述外角定理的
文字内容及几何语言。 优秀+5：熟练掌握外角定理的证明、文字叙述以及几何语言，并能在探究
过程中积极发表自己的看法，出现问题能及时纠正和反思。
典例精析
例1 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
CD
E
三角形一共有6个外角，每一个顶点处有两个外角， 是一对对顶角，它们相等。
【最新版】八年级数学上册课件：11.2.1 三角形的内角(第2课时)
直角三角形
第1题图 第2题图
课堂检测
11.2 与三角形有关的角/
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一
个锐角的度数是（B ）
A．40°
B．50° C．60°
D．70°
5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ D ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A–∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
人教版 数学 八年级 上册
11.2 与三角形有关的角/
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角(第2课时)
导入新知
11.2 与三角形有关的角/
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二
的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因
而是不可能的. 在这个家里，我 是永远的老大.
素养考点 1 利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数
例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D
有什么关系？
AB
方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D.
方法二B=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D.
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
归纳总结
直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）
A
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． B
C
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
探究新知
北师版小学四年级数学下册《认识三角形和四边形》第4课时 探索与发现：三角形的内角和(2)
二、新知探究1.出示回题1:猜一猜，可能是什么三角形?引导学生读题，理解题意。
师:谁来说说图意?生:图中有一个三角形，已知其中的两个角分别是60°和40°，让我们猜猜是什么三角形，要根据三个角的情况来判断。
师:请同学们自由猜一猜，在小组里说一说自己的理由。
教师巡视指导，收集学生的想法。
师:只知道两个角的度数，能不能判断是什么三角形?学生小组讨论，发表自己的见解。
生:必须知道三角形中最大的角是什么角。
师:已知这个三角形的两个角分别是60°和40°，求第三个角的度数如何计算?预设生:180°-60°-40=80°。
(板书)师:这是个什么三角形?你是怎么判断的?生:这个三角形中的最大的角是80，是锐角，这是一个锐角三角形。
(板书)2.出示问题2:你还能猜出是什么三角形吗?师:你能根据情境图中的信息，猜出是什么三角形吗?说说你的想法。
独立思考后，全班交流。
预设：180°－60°＝120°可能是钝角三角形，也有可能是锐角三角形或直角三角形，还有可能是等边三角形。
[设计意图]通过学生自主探究解决问题的方法，展示研究结果，和其他学生形成成果共享，有利于突出教学重点，突破难点，让学生亲历知识的形成过程，最终形成数学结论，能更好地理解和掌握知识，同时通过交流数学知识藴藏的规律，用到的数学思想，增强学生学习数学的兴趣。
三、巩固练习1.出示随堂练习第1题。
学生独立完成，同桌互说。
2.出示填出下面各角的度数。
看谁算得准，全班交流思考过程。
3.挑战自我：探索四边形内角和。
四、课堂总结师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?。
《三角形内角和定理》第2课时示范公开课教学课件【北师大数学八年级上册】
归纳
三角形的外角应具备的条件：
(1)角的顶点是三角形的顶点； (2)角的一边是三角形的一边； (3)另一边是三角形中一边的延长线.
要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)， ∠B=∠C (已知)， ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
2．如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于 ( ) A.26° B.63°C.37° D.60°
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=91°，∴ ∠BFC=119°.
解：
F
A
C
D
E
B
三角形内角和定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角. 注意：每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
教科书 第183页习题7.7 第2、3题
三角形内角和定理第2课时
准备好了吗？一起去探索吧！
三角形内角和定理
1.了解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个定理.2.能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识.
人教版八年级上册数学课时课件 第十一章 三角形 三角形的内角(第2课时)
数学
8年级/上
第十一章 三角形
学习新知
检测反馈
学习新知
1.观察图形，找出 图中所包含的直角 三角形； 2.回顾已学习的直 角三角形知识，如： 直角三角形及相关 概念——直角边、 斜边等.
一、直角三角形的表示方法
三角形ABC表示△ABC，直角三角形应该
如何表示呢？
直角三角形可以用符号“Rt△”
检测反馈
1．一个三角形三个内角之比为1：1：2，则三角形 的形状是 等腰直角三角形 .
解析：设三角形三个内角度数分别为x，x， 2x，则x+x+2x=180°，解得x=45°，所以三 角形三个内角分别为45°，45°，90°，故此 三角形为等腰直角三角形.
2．直角三角形两锐角的平分线所成的夹角的度数
4.如图所示，从观测点C处看高山顶点A的 仰视角为30°，走进一段距离后再在D处观 测仰视角为45°，请你求出从A处观测 C、 D两处视角∠CAD的度数.
解析：过点A作AB⊥CD的延长线于点B，
构造直角三角形，然后利用直角三角形中
两个锐角互余求角∠CAB和∠DAB的度数，
再利用角的差即可求出∠CAD.
画一个直角三角形ABC，其中∠C= 90°，用量 角器分别量出∠A、∠B的度数，并且求出∠A+∠B的
值.
通过对问题的计算你发现∠A和∠B
有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余.
结合图形你能写出已知、求证和证明吗？
证明过程
A
已知：Rt△ABC， ∠C= 90°
求证： ∠A+∠B= 90°. C
B
证明：如图，在Rt△ABC中． ∵∠A+∠B +∠C=180°,
参照直角三角形性质的几何推理过程，判定 定理几何推理过程又该怎样表示呢？
完整版三角形的内角和与外角和关系基础知识讲解
三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解【学习目标】1理解三角形内角和定理的证明方法；2•掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3•能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题【要点梳理】要点一、三角形的内角和1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180° •2. 结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系.要点二、三角形的外角1 •定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角•如图，/ ACD是△ ABC的一个外角.L L)要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线.(2 )三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角.2. 性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据•另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质.3. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360° .要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180° ,可推出三角形的三个外角和是360°.【典型例题】类型一、三角形的内角和1 .证明：三角形的内角和为180° .【答案与解析】解：已知：如图，已知△ ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180° .••• AB // CD （已作），••• /仁/A （两直线平行，内错角相等）/ B=/ 2 （两直线平行，同位角相等） 又•••/ ACB+/ 1 + / 2=180°（平角定义）， •••/ ACB+/ A+/ B=180。
八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角教学设计（新版北师大版）一. 教材分析本节课的主要内容是三角形的外角性质。
学生已经学习了三角形的内角和定理，对三角形的内角有了深入的理解。
在此基础上，引入三角形的外角性质，既是对学生已有知识的巩固，也是对知识体系的拓展。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形有了一定的认识。
但是，对于三角形的外角性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解并掌握三角形的外角性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的外角性质，能运用外角性质解决一些简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的观察能力、操作能力、猜想能力和验证能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 教学重难点1.重点：三角形的外角性质。
2.难点：三角形的外角性质的证明和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法、合作学习法等，引导学生主动探究，合作交流，从而掌握三角形的外角性质。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、粉笔、三角板等。
2.学生准备：笔记本、尺子、三角板等。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过回顾上节课的内容，引导学生复习三角形的内角和定理。
然后，提出问题：“同学们，你们知道三角形还有一个重要的性质吗？那就是三角形的外角。
”从而引出本节课的内容。
2. 呈现（10分钟）教师通过课件或黑板，呈现三角形的外角性质，让学生初步感知。
3. 操练（15分钟）教师引导学生通过观察、操作，尝试证明三角形的外角性质。
学生在操作过程中，可以发现三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。
4. 巩固（10分钟）教师通过一些例子，让学生运用外角性质解决实际问题，巩固所学知识。
5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考：三角形的外角性质有哪些应用？可以解决哪些问题？从而拓展学生的知识视野。
八年级数学——三角形复习
第十一章三角形一.知识要点1. 三角形的分类（1）按边分类：（2）按角分类：2. 三角形的边的关系三角形任意两边的和第三边；三角形任意两边的差第三边.3. 三角形的三种重要线段三角形的高线、中线、角平分线.5. 三角形的内、外角性质内角性质：三角形三个内角的和为°.外角性质：（1）三角形的一个外角等于（2）三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角；（3）三角形的外角和等于360°.6. 三角形的稳定性：三角形的三边长度确定后，三角形的大小、形状7. 多边形及其内角和（1）n边形的内角和：°（2）多边形的外角和等于°（3）多边形的对角线：①从n边形的一个顶点作对角线有：条；②n边形共有：条对角线.（4）正多边形：多边形叫做正多边形.二、基本图形三、基本练习1. 已知三角形的三边分别为14，4x 和3x ，则x 的取值范围是______________．2. 在△ABC 中，若︒=∠-∠︒=∠-∠60,15B C A B ，则=∠C ___________．3. 直角三角形两个锐角的平分线所形成的角为 __________ 度．4. 等腰三角形一边等于5，另一边等于2，则周长是 ．5. 在△ABC 中， 若∠C +∠A = 2∠B ， ∠C -∠A = 80︒， 则∠B= ___________， ∠A 的邻补角为 _________．6. 已知：如图， 在△ABC 中， ACB ABC ∠=∠，BD ⊥AC 于D ， ∠A = 80︒，则∠DBC = _______．7. 如果一个多边形的所有对角线的条数是它边数的5倍，此多边形的边数为___． 8. 一个三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，第三边的长为奇数，则第三边的长为________．9. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是_____． 10. 已知：在△ABC 中，AB =AC ，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，则边AB 、BC 的长分别为 ． 11. 如右图，AC ⊥BC 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，DE ⊥BC 于E 点， 下列说法中不．正确的是（ ） A ．AC 是△ABE 的高 B ．DE 是△BCD 的高 C ．DE 是△ABE 的高 D ．AD 是△ACD 的高 12. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ， 2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ． 2cm ，3cm ，6cmDEDABCD D CBAAC ABCBABCD第6题图第11题图13. 如图，五边形ABCDE 中，AE //CD ，︒=∠135A ，︒=∠155C ， 则=∠B （ ）A ． ︒60B ．︒70C ．︒80D ．︒9014. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置， 下列结论正确的个数是（ ）： （1）∠1＝∠2 ； （2）∠3＝∠4； （3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°． A ．1 B ．2 C ．3 D ．415. 多边形的边数由22边增加到23边，它的内角和增加多少度（ ） A ．90° B ．270° C ．180° D ．360° 16. 如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两个外角平分线的交点，如果2:3:=∠∠CNB CMB ， 则∠CAB 的度数为（ ）A ．36°B ．42°C ．54°D ．60°17. 一个三角形三边之比为 3 : 4 : 5， 则这个三角形三边上的高之比为（ ） A ．3 : 4 : 5 B ．5 : 4 : 3 C ．20 : 15 : 12 D ．10 : 8 : 218. 一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则另一个为（ ） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形19. 已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线分别相交于G 1, G 2, G 3, … , G n -1，试猜想：∠BG n -1C 与∠A 的关系．(其中n 是不小于2 的整数) 首先得到：当n = 2时，如图3，∠BG 1C = ______________， 当n = 3时，如图4，∠BG 2C = _____________，第14题图第13题图第16题图……如图5，猜想 ∠BG n -1C = ___________________ ．20.已知一个三角形的三条边的长分别为n +2，n +6，3n ． (1)n +2______n +6；(填“>”，“=”或“<”) (2)若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；(3)若这个三角形的三条边都不相等，且n 为正整数，直接写出n 的最大值．21. 如图，△ABC 中，点D 在AB 上，AD =31AB ．点E 在BC 上， BE =41BC ．点F 在AC 上，CF =51CA ．已知阴影部分（即△DEF ） 的面积是25cm 2．求△ABC 的面积．(写出简要推理)ABC G 1图3ABC G 1G 2 图4 ……ABCG 1G 2G n -1…图5ABCDEF22. 阅读下面材料：2019年4月底，“百年器象--清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”(图①)，它见证了中国人民解放军海军的发展历程．六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪(图②)按照一定的观测步骤(图③显示的是其中第6步)读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标．请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论(两次反射原理)．已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行(即BC//AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω，观测角为∠SDM．(请注意小贴士中的信息)求证：∠SDM=2ω．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程(后续证明无需标注理由)．证明：∵BC//AE，补全证明过程：∴∠C=∠EAC(______).∵∠EAC=ω，∴∠C=ω(______).∵∠SAN=∠CAD(______)，又∵∠BAC=∠SAN=α(小贴士已知)，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2α．∵∠FBA是△______的外角，∴∠FBA=∠BAC+∠C(______).即β=α+ω．23. 如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线．(1) ∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE的度数；(2) 若B-∠有怎样的数量关系？说明理由．C∠∠，则∠DAE与BC∠>(3) 若点A在AD上移动到点F，FE⊥BC于E，其它条件不变，那么∠EFD与∠C、∠B是否还有(2)中的结论？试说明理由．(如图2)图1 图2BA1BDC24. 已知△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1 .(1) 如图1，写出∠A1与∠A之间的数量关系.(2) ∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与∠A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、……、A n，请写出∠A n与∠A的数量关系.(3) 如图(2)，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A A1 的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并加以证明.图1 图225.已知△ABC，过点B作DE⊥BC于点B，过点C作FH//DE．(1)BC与FH的位置关系是______；(2)如图1，点M在直线DE和FH之间，连接BM，CM.若∠ABM=14∠ABD，∠ACM=14∠ACF，∠BAC=72°，求∠BMC的度数；(3)若∠ABE和∠ACH的平分线交于点N，在图2中补全图形，用等式表示∠BNC与∠BAC的数量关系，并证明．26. 在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M．(1)如图1，点E在线段DC上，若∠A=90°，∠M=α．①∠AEF=______；(用含α的式子表示)②求证：BD//ME；(2)如图2，点E在DC的延长线上，EM交BD的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明．图1 图227．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°．（1）如图1，点M 在线段CB 上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B 作BD ⊥AM ，交AM 延长线于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交AB 于点E ，交AMA 于点F ．判断∠ENB 与∠NAC 有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；（2）如图2，点M 在线段CB 的延长线上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B 作BD ⊥AM 于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交BA 延长线于点E ，交MAA 延长线于点F ．①依题意补全图形；②若∠CABA=45°，求证：∠NEA =∠NAE ．图1 图2N28. 已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM 与直线AB交于点E.过点A作AF//CE，AF与BC所在的直线交于点F．(1)如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明：∠ABD=∠CAF；(2)若∠BAC=80°，∠BMC=120°．①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．第 11页共 11页。
2022-2023学年七年级数学下册课件之三角形的内角和外角 第二课时(冀教版)
3 如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角
形一定是( C )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
4 下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A : ∠B : ∠C＝1 : 2 : 3；
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③∠A＝90°－∠B；④∠A＝ 2∠B＝ 3 ∠C.能确定△ABC 是直
角三角形的条件有( D )
3 如图，在△ABC 中∠BAD=∠CAD，∠B=64°，∠C=55°， 请各用两种方法求∠ADB 和∠ADC 的度数.
解：方法一：在△ABC 中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－ 55°＝61°，因为∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝ ∠CAD＝ 1 ∠BAC＝30.5°.在△ABD 中，∠BAD＋
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
如图，在△ABC 的边BC 的延长线上取点D，E，连接AD，AE，
则下列式子中正确的是( C )
A．∠ACB＞∠ACD B．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3 C．∠ACB＞∠2＋∠3
D．以上都正确
易错点：忽略外角的性质中“不相邻”这一条件.
1 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角 形类型的是( C )
解：能分成两个直角三角形，折的方法是沿三角形的一条高折；不能分 成两个锐角三角形.如图.与原来的三角形纸片一边相交的折痕把原 来的三角形纸片分成了两部分，形成了两个新三角形纸片，因为 ∠1和∠2是邻补角，它们的和是180°，所以如果其中一个角是直角， 那么另一个角也一定是直角；如果其中一个角是锐角，那么另一个 角一定是钝角.
分别为36°，72°，72°.
第6课时 与三角形有关的角(2)——三角形的内角(2)
＝90°＋12∠A.
谢谢！
115° 120° 125°
7.如图，在△ABC 中，BO、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线. (2)试猜想∠BOC 与∠A 之间存在怎样的数量关系，并证明你的猜想.
解：∠BOC＝90°＋12∠A.证明如下： ∵BO、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线 ∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB. ∵∠ABC＋∠ACB＝180－∠A. ∴∠BOC＝180°－∠1－∠2＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)
5.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是边 BC 的高， 则图中互余的角有( C ). A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对
6.已知，如图，∠BEF、∠EFD 的平分线交于点 P，∠P＝90°.
求证：AB∥CD.
证明：∵∠PEF＋∠EFP＋∠ P ＝180°， ( 三角形内角和定理 )，
∴∠PEF＋∠EFP＝180°－∠ P ＝180°－90°＝90°.
∵EP 平分∠BEF，FP 平分∠EFD
∴∠BEF＝2∠ PEF ，
∠EFD＝2∠ EFP ， ∴∠BEF＋∠EFD＝2(∠PEF＋∠EFP)＝ 180°. ∴AB∥CD( 同旁内角互补，两直线平行 ).
7.如图，在△ABC 中，BO、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线. (1)填写下面的表格：
4.如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，B 岛在 A 岛的北偏东 85° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 55°方向.从 C 岛看 A、B 两岛的视 角∠ACB 是多少度？
解：过C点作CF∥AD. ∴∠2＝∠1＝50° ∵CF∥AD，AD∥BE. ∵CF∥BE. ∴∠3＝∠4＝55° ∴∠ACB＝∠2＋∠3＝50°＋55°＝105° 答：视角∠ACB为105°.
八年级上册数学人教版课时练《 三角形的内角》 试题试卷 含答案解析(2)
《第十一章三角形11.2.1三角形的内角》课时练一、选择题1．下列条件中，能判定△ABC 为直角三角形的是（）．A ．∠A=2∠B-3∠CB ．∠A+∠B=2∠C C ．∠A-∠B=30°D ．∠A=∠B=13∠C 2．如图，在△ABC 中，∠B=70°∠C=40°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的度数是（）A ．15°B ．16°C ．70°D ．18°3．如图，//AB CD ，EG 平分BEF Ð，若62FGE Ð=°，那么∠EFC 的度数为（）A ．114°B ．108°C ．98°D ．124°4．两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF Ð=Ð=°，45E Ð=°，30C Ð=°，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD Ð的大小为（）A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．82.5°5．如图，点D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，CD ，BE 相交于点F ，现给出下面两个结论，①当CD ，BE 是ABC 的中线时，BFC ADFE S S =四边形△；②当CD ，BE 是ABC 的角平分线时，1902BFC A Ð=°+Ð，下列说法正确的是（）A ．只有①正确B ．只有②正确C ．①②都正确D ．①②都不正确6．如图，△EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分∠EFG ，交线段EG 于点H ，若∠AEF ＝36°，∠BEG ＝57°，则∠EHF 的大小为（）A ．105°B ．75°C ．90°D ．95°7．如图，ABC 中，∠ACB =90°，沿CD 折叠CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A =24°，则∠EDC 等于（）A ．42°B ．66°C ．69°D ．77°8．如图所示，含30°角的三角尺放置在长方形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在长方形的边上，若16FGC Ð=°，则AEF Ð等于（）A ．106°B ．114°C ．126°D ．134°9．如图，AB ∥CD ，点P 在AB ，CD 之间，∠ACP ＝2∠PCD ＝40°，连结AP ，若∠BAP =α，∠CAP ＝α+β．下列说法中正确的是（）A ．当∠P ＝60°时，α＝30°B ．当∠P ＝60°时，β＝40°C ．当β＝20°时，∠P ＝90°D ．当β＝0°时，∠P ＝90°10．如图，90BAC ACD Ð=Ð=°，ABC ADC Ð=Ð，CE AD ^，且BE 平分ABC Ð，则下列结论：①//AD CB ；②ACE ABC Ð=Ð；③ECD EBC BEC Ð+Ð=Ð；④CEF CFE Ð=Ð；其中正确的是（）A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．①②③④二、填空题11．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，且ACB BAD Ð=Ð，AE 平分CAD Ð，交BC 于点E ，过点E 作EF AC ，分别交AB 、AD 于点F 、G ．则下列结论：①90BAC Ð=°；②AEF BEF Ð=Ð；③BAE BEA Ð=Ð；④2B AEF Ð=Ð，其中正确的有_____．12．如图，三角形ABC 中，D 是AB 上一点，F 是BC 上一点，E ，H 是AC 上的点，EF 的延长线交AB 的延长线于点G ，连接DE ，DH ，DE ∥BC ．若∠CEF ＝∠CHD ，∠EFC ＝∠ADH ，∠CEF ：∠EFC ＝5：2，∠C ＝47°，则∠ADE 的度数为__．13．如图，BF 是∠ABD 的角平分线，CE 是∠ACD 的角平分线，BF 、CE 交于点G ，如果∠BDC ＝120°，∠BGC ＝100°，则∠A 的度数为________度．14．如图，三角形纸片ABC 中，65,75A B °°Ð=Ð=，将C Ð沿DE 翻折，使点C 落在ABC 外的点C ¢处．若120Ð=°，则2Ð的度数为_________．15．如图，己知//CD GH ，点B 在GH 上，点A 为平面内一点，AB AD ^，过点A 作,AF CD AE ^平分FAD Ð,AC 平分FAB Ð，若180,4ABC GBC ACB FAE °Ð+Ð=Ð=Ð，则ABG Ð=__________．三、解答题16．如图所示，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=20°，∠C=80°，求∠EAD 的度数．17．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝124°，∠D ＝118°，∠BCD 的角平分线CF 交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ，连接CF ，求∠F 的度数．18．如图，直线m 与直线AB 、直线CD 分别交于A 、C 两点，直线AB 与直线CD 之间的点P 在直线m 右侧，给出下列信息：①AP 平分BAC Ð；②CP 平分ACD Ð；③AP CP ^；④50ACD Ð=°．（1）若//AB CD ，______．求BAP Ð的度数；（请在上述信息中选择两个信息填入补全题目并完成解答，填序号）（2）在（1）的情况下，过点A 任作一条与直线CD 相交的直线，交点记作Q ．①若ACQ 为直角三角形，求PAQ Ð的度数；②直接写出ACQ 为钝角三角形时，BAQ Ð的取值范围．19．如图，在ABC 中，90,BAC AD BC Ð=°^于点,D AE 平分,50DAC B ÐÐ=°，求BAD Ð和AEC Ð的度数．20．已知，//AB CD ，直线MN 分别与AB ，CD 交于点E 、F ．（1）如图1，AEF Ð和EFC Ð的角平分线交于点G ，AEG Ð的角平分线EH 与CFG Ð的角平分线FH 交于点H ．①填空：G Ð=______°；②求出EHF Ð的度数；（2）如图2，AEF Ð和EFC Ð的角平分线交于点G ，点H ，K 在直线AB ，CD 之间，且满足AEG m AEH Ð=Ð，CFG m CFH Ð=Ð，BEG n BEK Ð=Ð，DFG n DFK Ð=Ð，（其中m ，n 为常数且1m >，1n >），请用m ，n 的代数式直接表示EKF Ð与EHF Ð的数量关系．21．如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）如果∠A ＝80°，求∠BPC 的度数；（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC 、∠NCB 的平分线交于点Q ，试探索∠Q 、∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如三个内角分别为20°，40°，120°的三角形是“倍角三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）△AOB（填“是”或“不是”）倍角三角形；（2）若△AOC为“倍角三角形”，求∠OAC；（3）若△ABC为“倍角三角形”时，求∠ACB的度数．23．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O 重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG 的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．参考答案1．D 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．D 9．B 10．D 11．①③④12．76°13．8014．100°15．22.5°16．30°17．93°18．（1）①④，∠BAP =65°；（2）①25°；②∠BAQ 的取值范围为：0°<∠BAQ <40°或90°<∠BAQ <130°或130°<∠BAQ <180°．19．∠BAD =40°，∠AEC =115°20．（1）①90°；②45°；（2）3n EHF EKF mÐ=Ð．21．（1）130°；（2）1902Q A Ð=°-Ð；（3）60°或120°或45°或135°22．（1）是；（2）30°或90°或80°或40°；（3）60°或90°或100°或135°或50°23．（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°。
人教版数学八年级上册11 三角形的内角 (2)教案与反思
11.2 与三角形有关的角知人者智，自知者明。
《老子》棋辰学校陈慧兰11.2.1 三角形的内角【知识与技能】1.掌握三角形的内角和定理.2.能写出已知、求证，并能用作辅助线的方法证明三角形内角和定理.3.能运用三角形内角和定理进行简单的证明或计算.【过程与方法】先通过实验得出三角形内角之和等于180°的直观结论，再由此得到启发，用过三角形的一个顶点作平行线的方法证明三角形的内角和定理.最后运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算.【情感态度】本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.【教学重点】本节的重点是三角形的内角和定理.【教学难点】证明三角形的内角和定理.一、情境导入，初步认识问题1 在纸上画一个三角形，并将它的内角剪两个下来，与第三个角拼在一起，观察三个角的和是多少？问题2 怎样证明三角形内角的和等于180°？【教学说明】全班学生分组实验，约8分钟交流成果，得出“三角形的内角和等于180°”这个直观结论.由实验过程中的拼合过程得到启发，引导同学们运用所学的知识证明“三角形内角和等于180°”.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考 1.对一个命题进行证明的一般格式是怎样的？2.除教材以外还有其它方法证明这个结论吗？3.对一个真命题为什么还要证明呢？【归纳结论】1.对一个命题的证明的一般格式是：（1）画出图形，根据图形写出已知和求证.（2）写出证明过程.2.除教材以外，还可以用如下作辅助线的方法证明三角形的内角和定理.（延长BC至D，过C作CE∥AB）3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.4.一个命题是否正确，需要经过理由充足，使人信服的推理才能得出结论，这样的推论过程叫做“证明”.观察、试验等是发现规律的重要途径，而证明则是确认规律的必要步骤.5.辅助线在几何证明中发挥巨大的作用，今后我们会经常遇到这个“朋友”.三、运用新知，深化理解1.如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（）A.60°B.50°C.45°D.40°2.在△AC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.3.如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于O，∠A=50°，求∠BOC的度数.4.如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数.5.如图，AD 、CE 是△ABC 的角平分线，AD 、CE 交于点O.求证：∠AOC=90°+12∠B.【教学说明】本环节由学生独立思考、自主完成，再进行交流讨论，最后教师给予指导和总结.初学证明，让学生会证明的逻辑性和严谨性.【答案】1.D2.解：∠A ∶∠B ∶∠C=1∶3∶5，设∠A=x,∠B=3x,∠C=5x,由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=x+3x+5x=180°解得x=20°,则3x=60°,5x=100°,即∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.3.解：由三角形内角和定理有∠B+∠C=180°-∠A=130°，∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB ）=18°-21（∠B+∠C ）=115°. 4.解：∠A=180°-∠B-∠C=0°，∠BAE=∠CAE=21∠A=30°. ∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°，则∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°.∠AEC=180°-∠C-∠CAE=105°.5.证明：由三角形内角和定理得∠B+∠+∠C=180°即∠+∠C=180°-∠B ，∠AOC+∠DAC+∠ECA=180°即∠DAC+∠ECA=180°-∠AOC ，又∠DAC=21∠A ，∠ECA=21∠C ∴180°-∠AOC=21（180°-∠B ） 即∠AOC=90°+错误!未指定书签。
人教版八年级上册 三角形的内角第二课时课件
C
=180°-45°-90°=45°
Hale Waihona Puke ∴∠ACB=∠ACD-∠BCD
=60°- 45° =15°
A
B
D
三、研学教材 知识点二 直角三角形的两个锐角的关系
1、直角三角形可以用符号__R_t_△__ 表 示，直角三角形ABC可以写成 _R_t_△__A_B_C___.
三、研学教材
知识点二 直角三角形的两个锐角的关系
三、研学教材
认真阅读课本第12页到第14页 的内容，完成下面练习并体验 知识点的形成过程。
三、研学教材
知识点一 三角形内角和定理的应用 例2 如右下图，C岛在A岛的北偏东50°方 向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B 岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的 视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的 视角是多少度？
三、研学教材
2、已知：如图，△ABC中，∠A+∠B=90°. A 求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵∠A+∠B+∠C=__1_8_0__°
（ 三角形内角和定理 ） 又∵∠A+∠B=90°
B
C
∴∠C=180°-___9_0__°=___9_0__°
∴△ABC是__直__角___三角形
结论: 有两个角互余的三角形是__直__角__三角形
=180°- 60°- 30°=90° ：
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A、B两岛的视角是90°.
三、研学教材 知识点一 三角形内角和定理的应用
解：过点C画CF//AD ∠CAD=50°∠CBE=40° ∴∠1=∠CAD=50° ∵CF//AD, AD//BE ∴CF//BE ∴∠2=∠CBE=40° ∴∠ACB=∠1+∠2=50°+40°=90°
人教版数学八年级初二上册 三角形的内角 (2) 名师教学教案 教学设计反思
课题11．2．1 三角形的内角学习目标1、探索并掌握三角形内角和定理2、会用三角形内角和进行角度的计算教学过程一、新课导入1、三角形内角和是°2、在纸上画一个三角形,并将它的内角剪下,试着拼拼看3、与同伴交流有哪些不同的拼图方法二、自学指导（一）自学指导一探讨三角形内角和定理的证明1.在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,就得到一个平角。
试试看。
在这个操作过程中,你能发现证明思路吗？（图1）（图2）2.证明思路:把三角形的三个角转化到一个顶点处,利用平角定义得出结论。
（二）自学指导二完成三角形内角和定理证明三角形内角和定理:三角形三个内角的和是已知:△ABC求证:∠A+∠B+∠C=180°证明:过点作（辅助线通常画成）巩固练习:（1）在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=_ ___,（2）在△ABC中,若∠A=80°,则∠B＋∠C= ____（3）在△ABC中,若∠B＋∠C=140°,则∠A=自学指导三例题学习例1:如图,在△ABC中,∠BAC=700,∠C=500,BD是△ABC的角平分线,求:∠ABD的度数。
AD例2:如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B 岛的北偏西40°方向,从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？三、巩固练习、拓展提高1.(1) 已知∠A =80°,∠B=50°,则∠C =(2) 已知∠A =80°,∠B—∠C＝40°,则∠C =(3) 已知∠A:∠B:∠C=1:3:5,求∠A、∠B、∠C的度数？2.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=36°,则∠A的度数是3.如图,DB是△ABC的高,AE是角平分线,∠BAE=26°,则∠ABD的度数是．伊宁市23中八年级数学作业纸知识巩固（一）选择题1、以下列各组数为边长,不能组成三角形的是（ ）。
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自学教材12、13页例1及例2，思考下列问题：
1、审题，理解题意。 2、独立思考，找出解题思路或遇到的问题。 3、独立写出解题过程或将遇到的问题再重点 考虑。 4、看例题的解答过程，和自己的进行比较， 找出自己的不足和改进方法。 总之，看例题不能从头看到尾，必须要有自 己的思维后再看结果，这样才是高效的学习例 题的方法。
例2 如下图所示：C岛在A岛的北偏东50° 方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在 B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛 的视角∠ACB是多少度？
1、你还可以求出例1中哪些角的度数？ （要简单地说一下理由 答过程。
课本第13面“练习”1、2
正确回答问题2的得
问题1：三角形的内角和定理是什么内容？ 问题2：在定理的证明过程中，主要用了什么方法？
运用了哪些学过的结论？
方法：用作平行线的方法将三个内角凑在一起。 运用的结论：平行线的有关性质、平角的定义。
1、进一步巩固三角形内角和定理。 2、能应用三角形内角和定理解题。 3、进一步规范解答题的解题格式。
自学教材12页至13页，思考下列问题：
1、例1中“∠ADB=180º － ∠B－∠BAD”这一 步的依据是什么？ 2、例2中“C岛在A岛的北偏东50º”，是指哪个 角是50º ？ 3、例2中从B岛看A、C两岛的视角是哪个角？( 再举个例子！) 4、例2中“AD∥BE”的依据是什么？生活中还 有这样的例子吗？ 5、例2中哪一步用到了三角形内角和定理？其 他几步的依据分别是什么？