2015高等数学(上)经管复习提纲

高等数学（上）复习提纲

一 基本概念（定义）

1 函数---基本初等函数，复合函数，反函数，分段函数、积分上限函数、隐函数、参数式

2 单调，有界，周期，奇偶，上凸，下凸----

3 连续，可导，可微，可积-----------（联系）

4 极值、极值点、最值、最值点--------(求法)

5 驻点、零点、间断点、切点、拐点、曲率----（判断方法）

6 渐近线、切线、法线-------（判断方法）

7 极限，无穷小，无穷大------------- （定义）

8 等价无穷小，同阶无穷小，高阶无穷小

9 平均（值）？？，边际（？？）

二 基本运算

1 求极限------先判断类型、后化简凑型、再进行运算

记住：基本初等函数的极限、重要极限 重要极限⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+1sin lim )11lim(x x e x x ---扩展形式⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=+11lim 1)1ln(lim x e x x x -----？

1） 四则运算、有界函数乘无穷小还是无穷小

2） 等价无穷小代换------（基本等价式）

3） 洛必达法则-----（判断类型）

4） 泰勒公式---------（确定阶数）

5） 夹逼定理----------（用已知求未知）

6） 单调有界必有极限---（*数列--）

7） 定积分法-----（积分和类型）

极限应用：1）判断分段函数在分段点处的连续性、可导性

2）求曲线的渐近线

3）求函数的间断点并判断其类型

4）确定某函数中的参数的值，使函数极限存在、连续、可导等类型

2 求导数、求微分-----先化简、后求导，由外而内、逐层操作.

1）基本公式导数公式、反函数的导数-------必须熟练

2）四则运算法则-------

3）复合函数求导---基本复合类型函数的求导公式，由外而内，逐层求导

4）隐函数求导--------方程两边对x 求导，把y 看成x 的函数

5）参数方程求导---------y 的微分与x 的微分之比

6）积分上限函数求导------套对公式

7）高阶导数--------找规律

8）分段函数求导----分段求，分段点处用定义

9）微分形式不变性-----复合函数的微分，逐层微分

导数应用：1） 判断函数的单调性、凸性

2） 求极值、最值

3） 求曲线？的切线方程、法线方程

4） 求曲线上某点处的曲率

3 求积分---先判断类型、后化简凑型、再运算

不定积分基本公式-----要熟练

第一类换元法----观察被积函数，寻找可凑的积分因子

第二类换元法---几个固定样式的换元方法

有理函数的积分、无理函数的积分、三角函数的积分---通过典型题目，记住方法

定积分基本公式牛顿-莱布尼茨定理

定积分的换元法------换元要换限

分部积分法----选合适的u 、v ，

分段函数求积分----分段求，被积函数带绝对值的----积分限选取的技巧，

积分应用：1）求平面图形的面积

2）求旋转体的体积、截面已知的立体体积

3）求平面曲线弧长

4）求功

三 基本定理（记住条件和结论）

1 闭区间上连续函数的性质

2 极限与无穷小的关系定理

)0lim (A )()(lim =+=⇔=ααx f A x f

3 函数极限与数列极限的关系定理（海涅定理）

函数极限存在的四个性质：唯一性、局部有界、局部保号、局部保序

4 中值定理

扩展的拉格朗日中值定理、积分中值定理

定理应用：证明等式、不等式

证明等式----主要思路是：从结论出发、观察等式特点，通过适当的化简、变形，找到适

合函数，然后借助微分中值定理或积分中值定理进行证明---验证函数满足某定理的条件，

然后得出相应的结论。

证明不等式----主要思路是：根据已给的不等式，选择合适的函数及相应的区间，利用单

调性，凸性，最值等结论进行证明