2018年中考压轴题汇编因动点产生的平行四边形问题含答案

1.4 因动点产生的平行四边形问题

成都市中考第28年题例1 20172－2ax－3a（a＜＝ax0）与x轴交于A、B两点1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yyy轴负半轴交于点C，与抛物线的＝kxb：在点B的左侧），经过点A的直线l与A（点＋另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

5，求a的面积的最大值为的值；E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE点（2）4

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理

由．

图1 备用图

例2 2017年陕西省中考第24题

2＋bx＋c经过A(－3,0)和Bx如图1，已知抛物线C：y＝－(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

图1

例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题

2＋bx＋c经过A(0, 1)、y1，已知抛物线＝－xB(4, 3)两点．如图（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐

标．

图1

例4 2017年福州市中考第21题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径

长．

图1 图2

例5 2017年烟台市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以2＋bx ＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点＝A为顶点的抛物线yaxB运动，同时动点Q 从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的

值．

图1

例6 2017年上海市中考第24题

3的图象与y轴交于点A，点M已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数3x?y?43的图象上，且MO＝MA．二次函数在正比例函数xy?

22 M．c＋的图象经过点Ay＝x、＋bx AM的长；（1）求线段2）求这个二次函数的解析式；（在上述二次函数的C轴上，且位于点A下方，点（3）如果点B在y3是菱形，的图象上，且四边形ABCD图象上，点D在一次函数3x?y? 4 的坐标．求点C

1

图

例7 2017年江西省中考第24题

2沿x轴翻折，得到抛物线c将抛物线c，如图1：所示．3x?3y??21（1）请直接写出抛物线c的表达式；2（2）现将抛物线c向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x1轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物2线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理

由．

1图

1.4 因动点产生的平行四边形问题答案

成都市中考第28题2017年例1

2－2ax－3a（a＜0）与如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝axx轴交于A、B两点yy轴负半轴交于点Cb与的直线l：，与抛物线的＝kx（点A在点B的左侧），经过点A＋另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

5，求a的值；是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为（2）点E4

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理

由．

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC时，△ACE的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正

半轴运动，观察点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上．

思路点拨

1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．

2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．

满分解答

2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－（1）由y＝ax1, 0)．

由CD＝4AC，得x＝4．所以D(4, 5a)．D由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．

（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．

22－3ax－4＝y－yaxa．，那么axF3x设E(, ax－2ax－a)，(x,＋a)EF＝FE11 ＝S由S＝－

S)?xx(?)?xEF(xEF CEFAEFACE△△△CAEE22

11132522，＝＝＝ax?)ax?4a)?EF(x?x)a(ax(?3AC82222252525 ．ACE的面积的最大值为．解方程，得得△???aa?a?5488 AD为分类标准，分两种情况讨论：x＝1，以(－1, 0)、D(4, 5a)，（3）已知A P QD．，对角线AP＝QP为矩形的边，那么AD//，AD＝QP①如图2，如果AD 4．，得x＝－x－x＝x－x由QDPQA )．－4, 21a＝21a．所以Q(＝－x4时，y＝a(x

＋1)(x－3)当．(1, 26a)y＝26a．所以Py由y－y＝－y，得PPADQ222222 a)＝8．＝QD＋，得2(16＋(26a)由AP77262)???(1，a Pa．此时＝1．．所以整理，得777 互相平分且相等．与

PQ3，如果AD为矩形的对角线，那么AD②如图．a)．所以Q(2,－3x＝x＋x，得x＝2＋由

x QAPQD．a)a．所以P(1, 8y＝y＋y，得y＝8由y＋PAPDQ222222．＋(11＋(5a)a由AD＝＝PQ1，得5)124)?(1，a．此时＝1．所以P．整理，得4??a2

3

图 1 图图2

考点伸展

．n)第（3）题也可以这样解．设P(1,n?5aAMDN5 QPD2，当AD时矩形的边时，∠＝90°，所以．，即①如图??35aMDNP?22aa53?3?53)?(1,n ．解得Q．所以．所

以P)?4,(aaa733?a?．所以1)((x＋x－3)，得．a代入Q将y＝a21)(?4,?

7aa ．3a)，当3AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－②如图1a2?3QKAG AQD由∠＝90°．，即．解得，得???a?2?33?a5aKDGQ

例2 2017年陕西省中考第24题