05 第五节 矩阵的初等变换
第五节 矩阵的初等变换
第五节 矩阵的初等变换一：矩阵的初等变换与初等矩阵（一）定义1；定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换1）对换矩阵A 的i ，j 两行，记作j i r r ↔ （获得的矩阵记作)(j i r r A ↔），称为对换；2）用数0≠k 乘矩阵的第i 行，记作i kr （获得的矩阵记作)(i kr A ），称为倍乘；3）把矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上去，记作i j kr r +（获得的矩阵记作)(i j kr r A +）， 称为倍加。
类似地，可定义矩阵的初等列变换，并依次记为（4）j i C C ↔获得的矩阵记作)(j i C C A ↔）（5）i kC （获得的矩阵记作)(i kC A ）（6）i j kC C +（获得的矩阵记作)(i j kC C A +初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。
2：定义2；若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作A ~B 。
3：定义3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵三种初等行变换对应着三种初等矩阵（1）对换单位矩阵E 的i , j 两行j i r r ↔，所得初等矩阵记为)(j i r r E ↔例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=↔001010100)(313r r E （2）用非零数k 乘单位矩阵E 的第i 行i kr ，所得初等矩阵记为)(i kr E例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001)2(33r E3）把单位矩阵E 的第i 行的k 倍加到第j 行上i j kr r +，所得初等矩阵记为)(i j kr r E +，例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+100010031)3(213r r E注：三种初等列变换也对应着三种初等矩阵，易知（1）)(j i r r E ↔=)(j i C C E ↔（2）)(i kr E =)(i kC E （3）)(i j kr r E +=)(j i kC C E +故同一个初等矩阵既可以由一次初等行变换获得也可以由一次初等列变换获得。
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
矩阵是数学中重要的概念，它可以用来描述和分析复杂的现实环境。
矩阵的初等变换是矩阵的一种变换，它可以帮助我们去处理复杂系统中的相关问题。
下面我们就来详细的讨论一下矩阵的初等变换。
矩阵的初等变换是指对矩阵中元素进行变换的一种操作，它通常用于将复杂系统分解成更加简单的矩阵。
可以通过这种变换来替换矩阵中不同的元素，达到更好的效果。
矩阵的初等变换一般是通过变换行或列，也可以通过更改元素的位置来实现。
矩阵的初等变换包括交换行、换列、乘法变换、加法变换等。
交换行是指将两个行的元素进行替换，常用于将矩阵分解成较小的矩阵。
换列也是将矩阵的两列元素进行替换，可以将矩阵分解成较小的矩阵。
乘法变换是指将某一行的每个元素都乘以一个非零常数，用来调整矩阵的行列。
加法变换指将某一行元素乘以一个非零常数，然后将结果加到另一行，以调整矩阵的行列。
矩阵的初等变换也可以应用在矩阵运算中，它可以分解复杂的矩阵，使复杂矩阵变得更易于运算，大大提高了运算效率。
另外，矩阵的初等变换还可以用来求解线性方程组、矩阵的迹、行列式等，从而解决复杂的问题。
矩阵的初等变换可以说是矩阵运算的核心技术，它对于解决复杂的数学问题有着至关重要的作用。
它可以帮助我们在复杂系统中发现重要的规律，有助于我们更加有效地分析和处理复杂系统中存在的问题。
综上所述，矩阵的初等变换是一种用来处理复杂问题的重要技术，对于解决复杂的数学问题有着重要的作用。
矩阵的初等变换的技术操作，可以帮助我们更加有效地分析复杂的系统，发现重要的规律，有助于我们更好地分析和处理复杂的问题。
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵是数学中一种重要的数据结构，它可以用来描述和探究物理、金融、社会学和数学科学等各个领域的问题。
矩阵的初等变换是一种常见的矩阵操作，可以将矩阵进行变换，获得新的矩阵。
本文将简要介绍矩阵的初等变换，并通过实例阐述它的定义和相关技巧。
首先，要讨论矩阵的初等变换，需要先理解矩阵的概念。
矩阵是一种数学结构，由行列式组成，用来表示特定系统的数据。
矩阵由数字、向量或符号组成，可以用来描述线性方程和向量空间等，是线性代数的基础。
矩阵的初等变换是指使用一些基本的算术操作将矩阵改变为新的矩阵的过程。
特别地，它可以使用行变换、列变换、行列式变换和折叠操作等技巧。
矩阵的行变换是一种将矩阵的行作为基准，通过添加和减少某一行的某一项，以改变矩阵的值的操作。
例如，给定一个矩阵A，其中有5行，将第2行乘以2和第3行加上第2行可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 9B=A+2*R2+R31 2 3 4 54 7 10 13 167 11 15 19 234 5 6 7 85 6 7 8 9行变换可以将矩阵转换为更容易进行操作的形式，如简化矩阵的行列式计算，将矩阵进行分配等。
列变换是一种将矩阵的列作为基准，对矩阵进行添加、减少或替换元素操作，以实现变换的操作。
例如，给定一个矩阵A，其中有7列，通过乘以2，减去第4列和第5列，可以得到新的矩阵B，即： A：1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 9B=A+2*C1-C4-C51 2 3 2 1 0 72 3 4 -2 -3 5 83 4 5 -2 -3 6 9列变换可以用于转换特定的矩阵形式，如获得对称矩阵、对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵等。
行列式变换通常指的是改变矩阵的行或列，以改变矩阵的行列式的值。
例如，给定一个矩阵A，其中有相同的元素，将第1行减去第2行，第3行减去第2行，可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 41 2 3 41 2 3 4B=A-R20 0 0 00 0 0 00 0 0 0行列式变换可以用来计算行列式的值，也可以用于转换矩阵的特定形式，如转置、依赖度等。
线性代数矩阵的初等变换及其性质
行最简形矩阵：
4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3 3
B5
0
0
00
0
c3 c4
c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c3
1 0 0 0 0
0
0
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 (A b)= 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
交换(A b) 的第1行与第2行
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
00
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
例 1 用初等行变换化为行简化阶梯形
12 3 45
12 3 45
~ A= 2 4 6 8 10
例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形
1 A 0
0
0 1 0
8 1 0
0 0 1
1
B
0 0 0
0 1 0 0
2 0 0 0
1 0 0 0
0 0 10
0 1 1 0 C 0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 2 0 3 D 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
Henan Agricultural University
四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
Henan Agricultural University
三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
线性代数课件--05矩阵的初等变换与初等矩阵-PPT精品文档
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵是数学中非常重要的概念，它可以表示多维数据，而且它可以用来解决各种数学问题。
矩阵有个重要的概念是初等变换，它可以帮助我们更容易地解决矩阵中所存在的各种数学问题。
矩阵的初等变换是矩阵这个概念的基础。
矩阵的初等变换是指对矩阵中元素的基本操作，可以将一个矩阵的某一列或某一行的元素变成另一矩阵中的某一列或某一行的元素。
可以将一个矩阵分解成一系列的初等变换，然后将它们合在一起。
初等变换是一种矩阵运算，只能通过初等变换将一个矩阵变换为另一个矩阵，而不能通过简单的数学运算将一个矩阵变换为另一个矩阵。
矩阵的初等变换的基本操作有四种，分别为交换行，乘以标量，加减倍行，以及合并多个行。
交换行指的是将矩阵中的两行进行交换，乘以标量指的是将矩阵中的某一行的每个元素都乘以一个标量。
加减倍行指的是在矩阵中选择某一行，并将它的每个元素都加或减另一行中每个元素的倍数。
最后是合并多个行，指的是将矩阵中的多行求和，也就是将多行求和到另一行。
矩阵的初等变换可以为矩阵运算提供重要的帮助，可以用它们来将复杂的矩阵运算转换为比较容易的简单矩阵运算。
它们可以帮助我们快速解决复杂的数学问题，同时也可以帮助我们理解矩阵运算的基本原理和操作。
矩阵的初等变换可以应用于许多不同领域，如线性代数、技术数学、信号处理、机器学习等。
它们可以用于解决许多不同领域中存在的各种数学问题。
例如，在线性代数中，可以用初等变换来求解各种线性方程组；在技术数学中，可以用初等变换来解决微分方程；在信号处理中，可以用初等变换来分析和处理信号；在机器学习中，可以用初等变换来求解最优化问题等。
综上所述，矩阵的初等变换是不可缺少的，是矩阵运算的基础。
它们在许多不同领域中都有应用，可以帮助我们快速解决复杂的数学问题。
因此，学习和研究初等变换对于我们对矩阵运算的理解是非常重要的。
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。
线性代数第五讲 矩阵的初等变换及其性质
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质一、初等矩阵及其性质在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的秩等基本知识点。
本章我们将学习一些矩阵的“变换”的概念，主要介绍矩阵的初等变换及其性质。
矩阵的初等变换指的是将一个矩阵通过某种方式变化成另外一个矩阵的运算。
初等变换可以分为三种：交换矩阵的某两行或某两列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列，再加到另一行或另一列上。
这三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
对于任意一个矩阵A，我们可以进行一系列的初等变换，从而将A变换成标准形。
标准形主要有三种：行简化阶梯形矩阵、列简化阶梯形矩阵和对角矩阵。
从定义可以看出，行简化阶梯形矩阵和列简化阶梯形矩阵都是初等矩阵形式，是矩阵的标准形。
初等矩阵的定义：如果矩阵B是A通过一次初等变换得到的，则称矩阵B为矩阵A的初等矩阵。
我们前面已经学习过，矩阵的逆是一个重要的概念。
下面我们就来发现一个有趣的性质：一个矩阵是可逆矩阵，当且仅当它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
定理1：矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
以上两个定理的证明可以参考矩阵论相关的课程。
二、矩阵的等价关系在学习矩阵的初等变换时，我们介绍了三类变换，也就是矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
我们可以使用这三类变换将一个矩阵变换成另一个矩阵。
如果对于任意的矩阵A、B，B可以通过一系列的初等变换变成A，那么我们就称A和B是等价的。
性质1：等价关系具有反身性、对称性和传递性。
性质2：如果一个矩阵可以通过初等变换化为一个标准形，则标准形是唯一的。
性质3：如果一个矩阵可逆，则它和单位矩阵等价。
性质4：如果A、B等价，则r(A)=r(B)。
三、矩阵的秩和特殊矩阵在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的秩的定义和性质。
矩阵的秩是矩阵实际所包含的信息量，因此秩是矩阵的一个重要特征。
矩阵的秩与矩阵的初等变换
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
11 上一页 下一页 返 回
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
Ck m
Ck n
个.
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
2 上一页 下一页 返 回
定义5.2 矩阵 A 中不为零子式的最高阶数称为 矩阵 A 的秩，记作 R( A) 或r( A). 规定：零矩阵的秩等于零，即R(o) 0. 由定义5.2可得下列结论； 1、 R( AT ) R( A).
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
10 上一页 下一页 返 回
当A ri rj B或 A ri B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr Dr ,
因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri rj B时，分三种情况讨论：
7 上一页 下一页 返 回
二、矩阵的初等变换
定义12 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 互换两行（互换i, j 两行,记作ri rj）；
2以数 0 乘以某一行
（第 i 行乘 ,记作 ri）
3 把某一行各元素乘 后加到另一行对应
的元素上去（第 j 行乘 加到第 i 行上去， 记作ri rj）.
R( A) R(B). 综上,若 A 经初等变换变为 B,则 R( A) R(B).
证毕
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。
矩阵 初等变换
矩阵初等变换矩阵初等变换：线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，它通过对矩阵进行一系列特定的操作，可以改变矩阵的性质和形态。
矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。
二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换，使得矩阵的性质发生改变。
矩阵初等变换包括三种类型：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以非零常数加到另一行（列）上。
三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
通过对矩阵进行初等变换，可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵，从而可以直接得到方程组的解。
2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。
通过对矩阵进行一系列的初等变换，可以将原矩阵转化为单位矩阵，同时对应的初等变换作用于单位矩阵上，从而得到原矩阵的逆矩阵。
3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵，通过对其进行一系列的初等变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。
同时，通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。
四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的，即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换，可以得到原矩阵。
2. 保持行（列）线性关系矩阵初等变换保持行（列）之间的线性关系不变，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的行（列）之间的线性组合关系保持不变。
3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的秩保持不变。
5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律，包括交换律、结合律和分配律。
六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
例如，对于如下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式：1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质
行倍乘会改变矩阵的元素值，但不会改变矩阵的秩。
行倍加
定义
行倍加是指将矩阵中的某一行的所有元素加上另一个行的对应元素。
性质
行倍加会改变矩阵的元素值，但不会改变矩阵的秩。
03
矩阵的初等列变换
定义与性质
定义
矩阵的初等列变换是指通过三种基本操作（列交换、列倍乘、列倍加）对矩阵进 行变换。
性质
初等列变换不改变矩阵的秩，且与行变换具有相似的性质，如可逆性、结合性和 分配性。
线性代数第五讲矩阵的初 等变换及其性质
目录
• 矩阵的初等变换 • 矩阵的初等行变换 • 矩阵的初等列变换 • 矩阵的初等变换的应用
01
矩阵的初等变换
定义与性质
定义
矩阵的初等变换是指通过三种基本操 作（交换两行、某行乘以非零数、某 行加上另一行的倍数）将矩阵变为标 准型。
性质
初等变换不改变矩阵的秩，且矩阵经 过初等变换后，其等价标准型是唯一 的。
列交换
总结词
列交换是指交换矩阵中的两列。
详细描述
通过交换矩阵中的两列，可以得到一个新的矩阵。这种变换在解决线性方程组时非常有用，可以改变系数矩阵 的顺序，使其更容易进行后续的行变换。
列倍乘
总结词
列倍乘是指将矩阵中的某一列乘以一个非零常数。
详细描述
列倍乘是指将矩阵中的某一列乘以一个非零常数。
列倍加
具体来说，可以通过消元法或迭代法等算法，对方程组的增广矩阵进行初等行变换或列变换，将其化为阶梯形 矩阵，然后回代求解。
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要性质，它 反映了矩阵中线性无关的行或列的个 数。通过矩阵的初等变换，可以求得 矩阵的秩。
具体来说，可以通过将矩阵化为阶梯 形矩阵或行最简形矩阵，然后数矩阵 中非零行的个数，得到矩阵的秩。
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
矩阵是数学中一种重要的术语，它可以被用作容器来储存数学模型，也可以被利用来描述各种物理系统。
矩阵有很多有趣的性质，其中一个重要的是矩阵可以实施初等变换。
初等变换是指在不改变矩阵行列式值的情况下，通过在矩阵中对元素应用一系列简单的操作，来转换矩阵的形式。
矩阵的初等变换可以分为基本变换和非基本变换两类。
基本变换是指通过变换矩阵中的一行或一列，来转换矩阵的形式，而不改变矩阵行列式值，其常见的操作形式有：乘以一个非零常数、行交换、加上一行乘以常数的另一行和删除行或列等。
而非基本变换是指在不改变矩阵的行列式值的情况下，将矩阵变换为上三角形或下三角形，其中需要执行的操作是行列式消元。
矩阵的初等变换具有重要的实用价值，它可以帮助我们解决多种复杂的数学问题，尤其是求解线性方程组，可以使用矩阵的初等变换将其变换为直观的形式，从而更容易求解。
此外，矩阵的初等变换也可以帮助我们找出矩阵的逆，计算行列式和计算特征值等。
此外，矩阵的初等变换也可以用作图论中的算法，如图的深度优先搜索者的多重着色中，可以利用矩阵的初等变换来消除多余的着色区分，以使图的多重着色尽可能地简单。
在机器学习中，矩阵的初等变换也有重要的应用，比如在特征抽取中，可以利用初等变换变换矩阵，从而减少维数，节省计算资源，提高计算效率。
总之，矩阵的初等变换是一个实用且重要的数学工具，它可以帮助我们解决不同类型的数学问题，也可以在机器学习中被应用，起到优化计算的作用。
《线性代数》第五节初等变换初等矩阵
1
1
0
1
1
Rij
Cij
1
1
0
1
1
第i行 第j行
1
1
Ri ( ) Ci ( )
1
第i行
1
1
1
第i行
Rij
(k
)
C
ji
(k
)
k1
第j行
1
行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵
初等变换与初等矩阵有以下定理表出的一些性质
定理7 对 m n 矩阵 A , 做一次行 (列) 初等变换
3 y1
y3 10
解 注意到这两个方程组具有全同的
利用分块技巧，可将其看成单个矩阵方
乍看起来，对于 n×n 方程组 Ax = b ，先求出
解 A-1 b 与用行初等变换法直接算出解 A-1 b 除了增
证明 充分证性明 若充分A 性可表示若成A有可限表个示初成等有阵限的 定理 13乘积n（阶不矩妨阵乘均A积为看非（作退不为化妨行阵均初的看等充作阵分为）必行，则要初可条等将件阵A是）看，则作
可通过对是A对作单有位限阵次是I行对作(单有列位限)初阵次等行I变作初换有等后限变化次换成行的单初结位等果阵变，. 换因
例 18 证明方阵
1 3 7
A
2
4 3
3 7 2
是非退化阵，并算出其逆阵.
解
例 19 (一种密码法)密码法是信息编码与解码的
技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。 先在 26 个英文字母与数字间建立起一一对应， 例如可以是
A B… Y Z
…
1 2 … 25 26 若要发出信息action，使用上述代码，则信息的编 码是：1，3，20，9，15，14 . 可写成两个向量 [1 3 20 ]T、 [9 15 14 ]T, 现任选一可逆阵，
矩阵的初等变换分布图示初等变换例1阶梯形矩阵定理1例2
第五节 矩阵的初等变换分布图示★ 初等变换 ★ 例1 ★ 阶梯形矩阵 ★ 定理1 ★ 例2 ★ 例3★ 初等矩阵 ★ 定理2 ★ 例4 ★ 求逆矩阵的初等变换法（定理3）★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8★ 用初等变换法求解矩阵方程B AX =★ 例9 ★ 例10★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题2-5内容要点一、矩阵的初等变换在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算， 把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换.定义1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换j i ,两行,记作j i r r ↔);(2) 以一个非零的数k 乘矩阵的某一行(第i 行乘数k ,记作k r i ⨯); (3) 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行(第j 行乘k 加到i 行,记为j i kr r +).把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把r 换成c ). 初等行变换与初等列变换统称为初等变换.注:初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型相同.例如，变换j i r r ↔的逆变换即为其本身；变换k r i ⨯的逆变换为k r i 1⨯；变换j i kr r +的逆变换为j i r k r )(-+或j i kr r -.定义2 若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 等价, 记为B A ~（或B A →）.注：在理论表述或证明中，常用记号“~”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“→”.矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性 A A ~;(2) 对称性 若B A ~,则A B ~;(3) 传递性 若B A ~,C B ~,则C A ~.一般地, 称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;(2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）.一般地, 称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵： (1) 各非零行的首非零元都是1；(2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零.一般地，矩阵A 的标准形D 具有如下特点：D 的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.定理1 任意一个矩阵n m ij a A ⨯=)(经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵.0011)()()()(⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯-⨯--⨯r n r m r r m r n r r O O O E r r A 行列注: 定理1的证明也实质上给出了下列结论:定理1' 任一矩阵A 总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 并进而化为行最简形矩阵.根据定理1的证明及初等变换的可逆性,有推论 如果A 为n 阶可逆矩阵, 则矩阵A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵E , 即.~E A二、初等矩阵定义3 对单位矩阵E 施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换分别对应着三种初等矩阵. (1) E 的第j i ,行(列)互换得到的矩阵列列列行j i j i j i E ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101111011),((2) E 的第i 行(列)乘以非零数k 得到的矩阵列行i i k k i E ;11))((⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= (3) E 的第j 行乘以数k 加到第i 行上,或E 的第i 列乘以数k 加到第j 列上得到的矩阵列列列行j i j i k k ij E .1111))((⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=命题1 关于初等矩阵有下列性质：(1) ),(),(1j i E j i E =-; ));(())((11--=k i E k i E )).(())((1k ij E k ij E -=- (2) ;1|),(|-=j i E ;|))((|k k i E =1|))((|=k ij E定理 2 设A 是一个n m ⨯矩阵, 对A 施行一次某种初等行(列)变换, 相当于用同种的)(n m 阶初等矩阵左（右）乘A .三、求逆矩阵的初等变换法在第二章第三节中, 给出了矩阵A 可逆的充要条件的同时, 也给出了利用伴随矩阵求逆矩阵1-A 的一种方法, 即,||1*1A A A =- 该方法称为伴随矩阵法.对于较高阶的矩阵, 用伴随矩阵法求逆矩阵计算量太大, 下面介绍一种较为简便的方法初等变换法定理3 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以表示为若干初等矩阵的乘积.因此，求矩阵A 的逆矩阵1-A 时，可构造矩阵n n 2⨯矩阵 )(E A,然后对其施以初等行变换将矩阵A 化为单位矩阵E ，则上述初等变换同时也将其中的单位矩阵E 化为1-A ，即)(E A −−−−→−初等行变换)(1-A E 这就是求逆矩阵的初等变换法.四、用初等变换法求解矩阵方程B AX =设矩阵A 可逆，则求解矩阵方程B AX =等价于求矩阵 B A X 1-=，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵)(B A ，对其施以初等行变换将矩阵A 化为单位矩阵E ，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵B 化为B A 1-，即 )(B A −−−−→−初等行变换)(1B A E -. 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程B AX =的方法.同理, 求解矩阵方程,B XA = 等价于计算矩阵,1-BA 亦可利用初等列变换求矩阵1-BA . 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1BA E B A 初等列变换.例题选讲矩阵的初等变换例1 (E01) 已知矩阵,37413741174316923⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=A 对其作如下初等行变换: 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=37413741174316923A 31r r ↔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------374169231743137411413123r r r r r r +-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0000330100143103741 2310r r + ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000143000143103741记作.B这里的矩阵B 依其形状的特征称为行阶梯形矩阵.例2 用初等变换化矩阵.0321050713541420⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---- 为标准形. 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----032105071354142021r r ↔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0321050713400541 151323r r r r ++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1050105022110420541131254c c c c +- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10501050221104200012322)1(c c c +-⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0500500110020001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000020001.000000000010001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛例3 (E02) 将矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210253143212A 化为标准形.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210253143212A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111011103212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------111011100002 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000011100001 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000100001例4 (E03) 设有矩阵=A ,110211103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-而)2,1(3E =,100001010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛))2(31(3E =,102010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则A E )2,1(3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001010.110103************⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-即用)2,1(3E 左乘,A 相当于交换矩阵A 的第1与第二行. 又 ))2(31(3AE ,112215105102010001110211103⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=即用))2(31(3E 右乘,A 相当于将矩阵A 的第3列乘2加于第1列.求逆矩阵的初等变换法例5 把可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=023111021A 分解为初等阵的乘积.解 对A 进行如下初等变换: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--023111021122c c -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--08313100112r r + ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-083130001133r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-08013000123c c ↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-800310001233c c -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-800010001381c ⎪⎭⎫⎝⎛-.100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 与每次初等交换对应的矩阵分别为:=1P ,100011001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2P ,103010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3P ,8/100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- =1Q ,100010021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2Q ,010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3Q ,100310001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 其中i P 为行变换的初等矩阵,i Q 为列变换的初等矩阵，其逆矩阵分别为:=-11P ,100011001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-12P ,103010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-13P ,800010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- =-11Q ,100010021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-12Q ,010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-13Q ,100310001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛于是111213131211------=Q Q Q P P P A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-800010001103010001100011001.100010021010100001100310001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅例6 (E04) 设,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求1-A .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100343010122001321)(E A 131232r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1036200125200013212321r r r r -+ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111100012520011201323152r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111100563020231001 )1()2(32-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11110025323010231001.111253232311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∴-A例7 (E05) 已知矩阵,523012101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A 求1)(--A E .解 ,523012101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-623002100A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-100623010002001100)(E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100623001100010002 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---001100100623010002 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0011001006230210001 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----001100214303100210001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----001100214330100210001 .001214330210)(1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-∴-A E例8 求下列n 阶方阵的逆阵:),,,2,1(0,21n i a a a a A i n=≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= A 中空白处表示为零.解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11121na a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111a a a n n,/11/11/11112⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a n 所以 ./1/1/1121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-a a a A n用初等变换法求解矩阵方程B AX =例9 (E06) 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A解 若A 可逆，则.1B A X -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=343431312252321)(B A 131232r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1226209152052321 2321r r r r -+ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------311009152041201323152r r r r -－⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----311006402023001 )1()2(32-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛311003*********－－，.313223⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=X例10 (E07) 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A解 把所给方程变形为,)(A X E A =-则.)(1A E A X --=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-010110312302022021)(A EA 32122r r r r ↔-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----332340010110022021 )1(4323-÷+r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--31200001011002202132r r + ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312100302010022021212r r - ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312100302010022021，即得.312302622⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=X例11 求解矩阵方程,2X A XA +=其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011324A .解 先将原方程作恒等变形:A XA 2+=A X =-2,)2(A E A X =-由于=-E A 2,121011322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 而,01|2|≠-=-E A 故E A 2-可逆.从而.)2(1--=E A A X =⎪⎭⎫ ⎝⎛-A E A 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---321011324121011322 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----324011321122011321 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------964331641522311001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------964631641122011001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------9121469116811100011001.9122692683100010001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----- 即=X .9122692683⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----课堂练习1.化矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A 为矩阵的标准形式.2.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A 的逆矩阵.3.已知n 方阵,1000110011102222⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= A 求A 中所有元素的代数余子式之和∑=n j i ij A 1,.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同理, 求解矩阵方程 等价于计算矩阵 亦可利用初等列变换求矩 阵. 即
.
例题选讲
矩阵的初等变换 例1 (E01) 已知矩阵 对其作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，在
化为行最简形矩阵，最后化为标准型. 解
这里的矩阵依其形状的特征称为行阶梯形矩阵.
例2 用初等变换将下列矩阵化为对角阵: 解
例3 (E02) 将矩阵化为标准形.
解
例4 (E03) 设有矩阵而 则 即用左乘相当于交换矩阵的第1与第二行. 又 即用右乘相当于将矩阵的第3列乘2加于第1列.
求逆矩阵的初等变换法 例5 (E04) 设 求. 解
例6 (E05) 已知矩阵 求. 解
例7 求下列n阶方阵的逆阵: A中空白处表示为零.
解
所以 用初等变换法求解矩阵方程
例8 (E06) 求矩阵, 使, 其中 解 若可逆，则 ，
例9 (E07) 求解矩阵方程 其中 解 把所给方程变形为则 ，即得
例10 求解矩阵方程其中. 解 先将原方程作恒等变形:
由于 而故可逆. 从而
即
课堂练习
1.化矩阵为矩阵的标准形式. 2.求矩阵的逆矩阵.
因此，求矩阵的逆矩阵时，可构造矩阵矩阵 ,
然后对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等变换同时也 将其中的单位矩阵化为，即
这就是求逆矩阵的初等变换法.
四、用初等变换法求解矩阵方程 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵
， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其 施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中 的单位矩阵化为，即
第五节 矩阵的初等变换分布图示 Nhomakorabea★ 初等变换
★ 例1
★ 阶梯形矩阵
★ 定理1 ★ 例2 ★ 例3
★ 初等矩阵
★ 定理2
★ 例4
★ 求逆矩阵的初等变换法（定理3）
★ 例5
★ 例6
★ 例7
★ 用初等变换法求解矩阵方程
★ 例8
★ 例9
★ 例10
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题2-5
内容要点
一、矩阵的初等变换
(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号
中把换成).
初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
注:初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型相同.
例如，变换的逆变换即为其本身；变换的逆变换为；变换的逆变换
为或.
定义2 若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵, 则称矩阵与等价, 记为
三、求逆矩阵的初等变换法 在第二章第三节中, 给出了矩阵可逆的充要条件的同时, 也给出了利 用伴随矩阵求逆矩阵的一种方法, 即 该方法称为伴随矩阵法. 对于较高阶的矩阵, 用伴随矩阵法求逆矩阵计算量太大, 下面介绍一 种较为简便的方法初等变换法
定理3 阶矩阵可逆的充分必要条件是可以表示为若干初等矩阵的乘 积.
在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上
（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算， 把行列式的某些性质
引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩
阵上就是矩阵的初等变换.
定义1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);
(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);
（或）.
注：在理论表述或证明中，常用记号“~”，在对矩阵作初等变换运
算的过程中常用记号“”.
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:
(1) 反身性 ;
(2) 对称性 若,则;
(3) 传递性 若,,则.
一般地, 称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵: (1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方; (2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标 随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）. 一般地, 称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵： (1) 各非零行的首非零元都是1； (2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零. 一般地，矩阵的标准形具有如下特点：的左上角是一个单位矩阵， 其余元素全为0. 定理1 任意一个矩阵经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩 阵 注: 定理1的证明也实质上给出了下列结论: 定理 任一矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 并进而化为行最简形矩阵. 根据定理1的证明及初等变换的可逆性,有 推论 如果A为n阶可逆矩阵, 则矩阵A经过有限次初等变换可化为单 位矩阵E, 即
二、初等矩阵 定义3 对单位矩阵施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换分别对应着三种初等矩阵. (1) 的第行(列)互换得到的矩阵 (2) 的第行(列)乘以非零数得到的矩阵 (3) 的第行乘以数加到第行上,或的第列乘以数加到第列上得到的矩 阵 命题1 关于初等矩阵有下列性质： (1) ; (2) 定理2 设是一个矩阵, 对施行一次某种初等行(列)变换, 相当于用同 种的阶初等矩阵左（右）乘.