[初中教育]第三章运输问题
初二数学运输问题
初二数学运输问题
摘要：
一、初二数学运输问题简介
1.运输问题的背景和实际意义
2.初二数学运输问题的基本内容
二、运输问题的基本模型和解决方法
1.基本模型：产销平衡模型
2.基本解决方法：线性规划
三、初二数学运输问题在生活中的应用
1.货物运输调度
2.交通路线规划
3.资源分配优化
四、初二数学运输问题的拓展思考
1.运输问题的变形和扩展
2.运输问题与其他数学领域的关联
正文：
初二数学运输问题涉及到货物运输、交通路线规划等实际问题，通过数学方法对其进行建模和求解，具有重要的实际意义。
运输问题属于线性规划的一个子领域，主要研究如何在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最优值。
运输问题的基本模型是产销平衡模型，即在多个产地和销地之间进行货物
运输，要求满足供需平衡和运输容量约束。
解决运输问题的基本方法是线性规划，将问题转化为求解线性方程组，通过计算得到最优解。
在生活中，初二数学运输问题有着广泛的应用。
例如，在货物运输调度中，通过运输问题的求解，可以有效地安排运输车辆的行驶路线和货物装载方案，提高运输效率。
在交通路线规划中，运输问题可以帮助我们找到最佳的道路使用方案，减少交通拥堵。
此外，运输问题还可以应用于资源分配优化等方面。
初二数学运输问题作为线性规划的一个实际应用，可以帮助学生更好地理解线性规划的基本思想和方法。
通过对运输问题的拓展思考，学生可以尝试解决一些变形和扩展的运输问题，进一步锻炼自己的数学思维能力。
ch3运输问题.ppt
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用 线性规划法中的单纯形法来解决。但是： 1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 形表太大； 2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0， 会使问题更加复杂。 以上两个原因使得我们不得不利用运输 问题的特点设计出它的特殊解法——表 上作业法。
表上作业法
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
有一个平衡关系式
ai bj ）
所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量
为m+n-1个。
3.m+n－1个变量组构成基变量的充要条件是它不
包含任何闭回路。一条回路中的顶点数一定是偶数。
【定理1】设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数为m+n-1。
求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。
1．闭回路法求检验数 求某一非基变量的检验数的方法是：在基 本可行解矩阵中，以该非基变量为起点，以基变量为其它顶点， 找一条闭回路，由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号+、 -、+、-、…，以这些符号分别乘以相应的运价，其代数和就是 这个非基变量的检验数。
第三步：调整运量，即换基。选一个变量出基，对原运量进行 调整得到新的基可行解，转入第二步。
初始基础可行解—西北角法
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
14
左上角法(亦称西北角法)是优先从运价表的左上角的变量赋值，当行或列分
配完毕后，8再在表中余下4部分的左上角2赋值，依次类7推，直到右下角元素分
配个完变2毕量． 作当基出变现量同，8时以分保配 证完最一后1行的3和基一变列量时数，等仍于6然m+应n在－打1“×”的位2置7上选一
第三章运输问题习题及答案(2012春)
运输问题习题1．甲、乙、丙三个城市每年分别需要煤炭320、250、350吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量为A ——400万吨，B ——450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)。
见表1：由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0~30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
2．已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表2和表3。
（1） 从A 2→B2的单位运价C 22在什么范围内变化时，上述最优调运方案不变？提示: 只需检验数220σ≥（2） A 2→B4的单位运价C 24变为何值时，有无穷多最优调运方案。
提示: 检验数242424()c u v σ=-+=03．试分析分别发生下列情况时,运输问题的最优调运方案及总运价有何变化.(a) 单位运价表第i 行的每个ij c 都加上一个常数λ;对于任意基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (b) 单位运价表第j 列的每个ij c 都加上一个常数λ; 对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=又由于其它列的位势不改变，因而检验数也不改变 也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (c) 单位运价表所有ij c 都乘上一个常数λ。
对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λλ==，那么基变量的检验数等于***()()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλλλσ=-+=--= 因此，当0λ≥时检验数的符号没有改变，因而最优调运方案没有变化；而0λ<时检验数的符号改变，因而最优调运方案变化。
第三章 运输问题 运筹学 PPT课件
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
初二数学运输问题
初二数学运输问题在当今社会，运输问题无处不在，它涉及到我们的日常生活、工作、学习等方方面面。
特别是在物流、交通、生产制造等领域，运输问题显得尤为重要。
而在初二数学中，我们也会遇到一些与运输相关的问题，这些问题通常涉及到最优化和线性规划的思想。
解决这些问题的过程不仅有助于提升我们的数学应用能力，还可以培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。
问题一：水果运输问题水果是人们日常生活中的重要食物之一，其产地和销售地可能相隔甚远。
为了确保水果的新鲜度和品质，运输过程中需要考虑许多因素。
例题：某水果产地有苹果和梨两种水果待运，总重量分别为300吨和400吨。
现有三种不同型号的货车可供选择，每辆货车可承载的重量和运费如下：货车型号可承载重量（吨）运费（元/公里）A型 10 800B型 20 1200C型 30 1600从水果产地到销售地的距离为1000公里，目标是选择最经济的货车型号组合，将水果全部运往销售地。
分析：解决此问题需要综合考虑货车的可承载重量和运费，通过计算每种货车型号的总运费，选择总运费最低的组合。
这需要用到线性规划的相关知识。
问题二：煤炭运输问题煤炭是我国的重要能源之一，其运输过程涉及到大量的成本和资源。
如何合理规划运输路线和方式，降低运输成本，是煤炭运输中的关键问题。
例题：某煤炭企业有A、B、C三个煤矿，分别年产煤炭10万吨、20万吨和30万吨。
有三个不同的销售地D、E、F，分别需要煤炭5万吨、15万吨和25万吨。
各煤矿与销售地之间的距离以及运输费用如下表所示：起点-终点A煤矿B煤矿C煤矿D销售地 200公里，6元/吨300公里，7元/吨400公里，8元/吨E销售地 150公里，5元/吨250公里，6元/吨350公里，7元/吨F销售地 350公里，9元/吨450公里，10元/吨550公里，12元/吨目标是制定一个运输方案，使得总运输费用最低。
这同样涉及到线性规划的相关知识。
问题三：学生春游问题除了生产和物流领域，运输问题在我们的日常生活中也经常出现。
第3章 运输问题
第三章运输问题一、选择1、运输问题在用表上作业法计算得时候,用闭回路法进行调整检验时，通过任一空格可以找到( )闭回路A、惟一Ｂ、多个 C、零个Ｄ不能确定2、在产销不平衡得运输问题中,如果产大于销，我们(Ｂ )把她变成一个产销平衡得运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法3、最小元素法得基本思想就就是( Ｄ)。
Ａ依次供应B全面供应 C 选择供应D就近供应4、运输问题中在闭回路调整中,使方案中有数字得格为( C ）。
A m Ｂ n C m+ｎ D m+n-１5、在表上作业法中,调运方案中有数字得格为( C )Ａm＋n B ｍ-n Ｃｍ+n-1 D m*n6、运输问题得数学模型中,包含有(D）变量。
A ｍ+n Ｂｍ-n C m+n－1 Ｄm*n７、运输问题得数学模型中,包含有（A)个约束条件。
A ｍ+nB m-n Ｃｍ+n-１ D m*n8、运输问题得数学模型中,系数矩阵中线性独立得列向量得最大个数为(C)Ａｍ+n B m－n C ｍ＋ｎ-1 Dｍ＊n9、运输问题得解中得基变量数一般为(C )A ｍ+ｎB ｍ-nC m+n-1D m*ｎ1０、运输问题中，在检验数表上所有检验数都(C ),此时运输表中给出得方案就就是最优方案。
A大于零B等于零C大于等于零D小于零11.在产销不平衡得运输问题中,如果销大于产时,可以在产销平衡表上( A),把她变成一个产销平衡得运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法１2、运输问题数学模型得特点之一就是( ）Ａ一定有最优解Ｂ不一定有最优解C 一定有基可行解Ｄ不一定有基可行解1３、运输问题得数学模型得约束条件得系数矩阵得元素由()组成。
A 0B1Ｃ0,1Ｄ不确定1４、二、填空1、求解不平衡得运输问题得基本思想就是(设立虚供地或虚需求点,化为供求平衡得标准形式) 。
2、运输问题中求初始基本可行解得方法通常有(最小元素法）、(伏格尔法）两种方法。
运筹学 第三章 运输问题
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
《运筹学》第三章 运输问题
销量 3 6 5 6
A1 A2 A3
销量
B1 B1 B3 B4
2 1
6
5
3 3
3656
产量
7 4 9
精品课件
24
例：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 2 6 A2 3 (1) 2 (-1) 5 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 6 5
B1 B2 B3 B4 产量
(3) 在进行调运方案改进时，若沿闭合回路出现多个可作为 调出变量的数字格（即闭回路上的数字格最小值有多 个），此时，任选一个为调出变量，其余的填0，保证调 整后的调运方案中仍有m+n-1个数字格。
精品课件
23
例：
B1 B1 B3 B4 产量
A1 (0) (2) 5 2 7 A2 3 (2) (1) 1 4 A3 (9) 6 (12) 3 9
产 销 平 衡 表
单 位 运 价 表
精品课件
7
一般模 型表示 (ai=bj)
精品课件
8
三、模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
最大独立方程数：m+n-1 3.系数列向量结构：
0
Pij= 1 ——第i个分量
1 ——第m+j个分量 0
…… …
精品课件
9
······
······
x11 x12 ······ x1n x21 x22 ······ x2n ,············, xm1 xm2 ······ xmn
第3章 运输问题
精品课件
1
3.1 运输问题的典例和数学模型 3.2 运输问题的求解方法：表上作业 法 3.3 几类特殊的运输问题
运输问题模型与性质
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例3-1 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地 Ai到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
三、运输问题的求解方法
1、单纯形法（为什么？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用 的更简洁、更方便的方法
ai bj
i1
j 1
产销平衡条件
二、运输问题的特点与性质
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1 , xm2 ,xmn
1 1 1
111
m行
1
1
1
1
1
1
n行 1
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31,, xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1, xm2 ,xmn
关系：
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
注意：列向量Pij =(0,…,0,1,0,…,0,1,0,…0)T中两 个元素1分别处于第i行和第m+j行，直接计算 即可得到结果。
第三章运输问题
第三章运输问题第三章运输问题本章内容重点：●运输问题与有关概念●运输问题的求解—表上作业法●运输问题应⽤—建模第⼀节运输问题模型及有关概念问题的提出：⼀般的运输问题就是要解决把某种产品从若⼲个产地调运到若⼲个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定⼀个使得总的运输费⽤最⼩的⽅案。
例4.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所⽰，问：应如何调运可使总运输费⽤最⼩？解：产销平衡问题：总产量 = 总销量设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t. x11+ x12 + x13 = 200x21 + x22+ x23 = 300x11 + x21 = 150x12 + x22 = 150x13 + x23 = 200xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）系数矩阵1 1 1 0 0 00 0 0 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1模型系数矩阵特征1.共有m+n⾏，分别表⽰各产地和销地；m n列，分别表⽰各决策变量；2.每列只有两个 1，其余为 0，分别表⽰只有⼀个产地和⼀个销地被使⽤。
⼀般运输问题的线性规划模型及求解思路：⼀般运输问题的提法：假设 A1, A2,…,Am表⽰某物资的m个产地；B1,B2,…,Bn表⽰某物资的n个销地；si 表⽰产地 Ai的产量；dj表⽰销地 Bj的销量；cij表⽰把物资从产地 Ai运往销地 Bj的单位运价（表4-3）。
如果s1 + s2+ … + sm= d1+ d2+ … + dn则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。
⾸先讨论产销平衡问题。
表4-3 运输问题数据表设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，根据这个运输问题的要求，可以建⽴运输变量表（表4-4）。
三章节运输问题说课讲解
i1
j1
ui vj cij
i 1,2,...m
j 1,2,...n ui , vj符号不限
考虑原问题变量xj的检验数为：
j cj zj cj C B B 1 P j cj Yj P
Pij ei emj
二、表上作业法
则运输问题变量xij的检验数为： ij cij zij cij YPij
cij (u1,u2,...u,m,v1,v2,...v,n)Pij
6
6
13
19
12 13
二、表上作业法 第三章
2、解的最优性检验－－对偶变量法
mn
原问题 min z
Cijxij
i1 j1
n
xij ai
i 1,2,...m
j1
m
xij bj
j 1,2,...n
i1
xij 0 i 1,2,...,m; j 1,2,...,n
设其对偶变量为：
Y ( u 1 ,u 2 ,.u .m ,.v 1 ,,v 2 ,.v .n ) .,
1 .. 1
. .. . .. 1 .. 1
1
1
1
.
.
.
m行 n行
1
1
1
第i个 第m+ j个
系数列向量：A i j (0 ,.0 .,1 .,0 ,,.0 .,1 .,0 ,,.0 .)T .,
Pij ei emj
一、运输问题及其数学模型 第三章
由此可知，运输问题具有下述特点： (1)约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2)约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这 对应于每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n 个约束方程中也出现一次；
初二数学运输问题
初二数学运输问题（中英文实用版）【引言】初二数学运输问题，作为数学课程中的一部分，旨在培养学生解决实际问题的能力。
运输问题是一种典型的应用题，涉及到线性方程组的求解。
本文将详细介绍初二数学运输问题的基本概念、解题方法以及实际应用案例，希望能为广大师生提供帮助。
【初二数学运输问题的基本概念】运输问题是指在一定条件下，合理分配各个产地或销售地的货物数量，以达到总体利润最大或成本最小的目标。
在初二数学中，运输问题通常用线性方程组表示。
一般来说，运输问题具有以下特点：1.产地和销售地的数量是固定的。
2.各产地到各销售地的运输成本是不同的。
3.各产地和各销售地的需求和供应量是确定的。
【解题方法】解决运输问题的常用方法有：穷举法、图解法、线性规划法和网络流法等。
其中，线性规划法是最为常用的方法。
线性规划的基本思想是将问题转化为一个目标函数和一组约束条件的线性组合，然后利用线性规划求解器求解。
【实际应用案例分析】案例：某企业有A、B两个生产基地，分别生产产品1和产品2。
现在有三个销售地C、D、E。
各产地和销售地的运输成本如下：A→C：30元/件A→D：40元/件A→E：50元/件B→C：40元/件B→D：50元/件B→E：60元/件C销售地需求量为800件，D销售地需求量为1000件，E销售地需求量为1200件。
求最小成本下的生产与运输方案。
解：设A生产产品1的数量为x1，生产产品2的数量为x2；B生产产品1的数量为y1，生产产品2的数量为y2。
则目标函数为：最小成本= 30x1 + 40x2 + 50(800 - x1) + 40y1 + 50y2 + 60(1200 - y1 - y2)约束条件为：x1 + y1 = 1000 （A产地产品总量不超过1000件）x2 + y2 = 1000 （A产地产品总量不超过1000件）800 - x1 >= 0 （C销售地需求量不低于800件）1000 - x2 >= 0 （D销售地需求量不低于1000件）1200 - y1 - y2 >= 0 （E销售地需求量不低于1200件）【总结与建议】初二数学运输问题不仅可以帮助学生巩固线性方程组的知识，还能培养他们解决实际问题的能力。
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B1 3 11 9
B2 3
B3 4
B4 10 3 8
产量
A1
1 A2 7 2
7
4
3
4 3 10
1
5 5
A3 销量
6 6
3 6
9 20
空格（非基变量）的检验数σ11 ＝ 3－3＋2－1＝1＞0
B1 3 ＋1 11 A1 A2 A3 销量
B2
1 －1 9 3 7 4 3
6 6
B4 3 －1 10 4 3 2 ＋1 8 1 10 5 3 5 6
5
2 1 3
7 4 9
0 7 1
1 6 1 1 1 1
3
6
6
销量
3
5
6
20
Байду номын сангаас 例： Vogel说明
A1 B1 99 B2 99 B3 99 B4 4 5 95
罚数
5
8
7 3
A2
A3
9
4 6
2
10 5
1
6
5
8
1
1
7
6
二、方案的最优性检验－－闭回路法
闭回路――从一个非基变量（空格）出发，由水平或垂直直线组 成的一条封闭折线，该折线的其余顶点都为基变量（数学格）。 任一非基变量的闭回路是唯一的。
1
A2 7 x21
2
x23 10 x33 5
A3 销量
x31 3
9 20
建立LP数学模型： 标函数 Min Z=3x11+11x12+3x13+10x14 +x21+9x22+2x23+8x24 +7x31+4x32+10x33+5x34 s.t.产量约束： x11+x12+x13+x14=7 (1) x21+x22+x23+x24=4 (2) x31+x32+x33+x34=9 (3) x11+ x21 + x31 =3 (4) x12+ x22 + x32 =6 (5) x13+ x23 + x33 =5 (6) x14+ x24 + x34 =6 (7) xij0，i=1,2,3,4，j=1, 2, 3
第二讲 表上作业法
表上作业法
表上作业法是一种特殊的单纯形法，其基本思路与 其他数学规划一致，即 第一步，给出初始方案（初始可行解）； 第二步，对得到的方案进行最优性检验，若为最优 则停止，否则转入下步； 第三步，调整方案，得出新的方案，其目标函数值 应优于前一方案，然后回到第二步。
一、初始方案的确定－－西北角法
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
产地
A1 A2 A3
运价表（单位：百元/千吨）
设产地Ai到销地Bj的调运量为xij，运量平衡表为： B1 3 A1 x11 B2 11 x12 9 x22 4 x32 6 3 x13 B3 B4 10 x14 8 x24 5 x34 6 产量 7 4
B3
产量 7 4 9 20
以空格（A1，B1）为例，A1至B1本来没有运量，现试作调整如下： 调 整 运费变化 （A1，B1）处增加1吨 增加3元 （A1，B3）处减少1吨 减少3元 （A2，B3）处增加1吨 增加2元 （A2，B1）处减少1吨 减少1元 上述调整后，总运费σ11＝3－3＋2－1＝1，增加了1元
中心思想：从运量平衡表的“西北角”（左上角）的变量开 始（从x11开始），给予尽可能大的运量。
B1
3 A1 1 A2 11
B2
3
B3
B4 10
8
产量
7
3
9
4
2
2
7 4
3 6
2
10 5
4
A3 销量
3
5 6
6
9 20
此时，Z0=33+411+29+22+310+65=135
最小元素法
基本思路：就近调运，即在运费最低的路段开始，将尽可能 多的运量分配给运费最低的路段。
运输问题模型的特点
3、运输问题一定有最优解 一方面，任何使产销平衡的调运方案都是可行方案， 这样的方案一定能找到，即运输问题的可行域必定 存在； 另一方面，由于cij≥0，则Z≥0，而目标函数是极小 化的，则Z有界。
4、运输问题代表了一大类问题，除调运以外，还有 资源分配、材料配方、工作指派、投资分析、工作 地布置和农作物布局等，是LP体系中形成最早，至 今应用最成功的分支。主要的求解方法是表上作业 法（是一种特殊的单纯形法）。
B1
3 A1 1 A2 7 A3 销量 9 11
B2
3
B3
B4 10
产量
7 4
4
2 8
3
3
4 10
1
5
6
3 6 5 6
3
9 20
此时，Z=43+310+31+12+64+35=86
沃格尔Vogel近似法
行罚数：一行中的：次小单位运价－最小单位运价 基本思想：如果某行的罚数大，则不按该行最小单位运价安排 运输，就会造成运费的较大损失，这种损失可能会大于不按全 局最小单位运价安排运输的损失。 B1 3 A1 1 A2 7 A3 11 9 4 B2 3 2 10 B3 B4 10 8 5 产量 行罚数
B1
B2
B3
3
A1 ＋1
11
＋2
3
4
B4 10 3
产量 7 4 9 20
1
A2 3
9
＋1
2
1
8
－1
7
A3 销量
4 10
3 6 6
10 12
5
5
3 6
存在σ24＜0，不是最优解。
位势法（对偶变量法）
B1 3 A1 1 A2 3 9 2 1 10 6 6 5 B2 11 B3 3 4 8 4 B4 10 3 7
第三章 运输问题
教学大纲
一、基本要求： 1、掌握运输问题数学模型的基本特点； 2、熟练掌握最小元素法求初始可行解； 3、了解西北角法、Vogel法； 4、熟练掌握最优性检验方法中的一种： 闭回路法，位势法，初等变换法； 5、熟练掌握用闭回路法调整方案； 6、掌握退化解、产销不平衡、断路及最大化问题的处理思想。
销量约束：
非负约束：
运输问题模型的特点
1、对于一个m=3，n=4的运输问题，共有mn=12个 变量，m+n=7个约束方程；s.t.均由“＝”连接，且 找不到单位矩阵。 2、运输问题基变量共有m+n-1＝6个 基变量数应为m+n个，但，产销平衡，造成前m 个供应地约束和后n个需求地约束是线性相关的，即 有一个约束方程可以用其余的约束方程表示。
二、重点：表上作业法
三、难点：表上作业法
第一讲 运输问题 数学模型及其特点
[例3-1]某建材公司下设三个水泥厂A1、A2、A3，各厂每月产量 分别为A1——7千吨，A2——4千吨，A3——9千吨；现要将三 个厂生产的水泥分别运往四个建筑工地B1、B2、B3、B4，各工 地月需求量为B1——3千吨，B2——6千吨，B3——5千吨， B4——6千吨。已知各厂到各工地的单位运价如表，问应如何 调运才能在满足各工地需求条件下，使总运费最少？ 销地