1.1.1正弦定理作业
(完整)1.1.1正弦定理(用)
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2
k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA
sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
课时作业10：1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC 等于( )A ．3－3B ．2C ．2D ．3＋32．已知△ABC 的三个内角之比为A B C ＝321，那么对应的三边之比a b c 等于( )A ．321B ．321C ．321D ．2313．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15 B ．59C ．53 D ．14．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、B ．若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12 B ．π6C ．π4 D ．π35．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是()A ．x >2B ．x <2C ．2<x <22D ．2<x <23二、填空题7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边的长为__________．8．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，c ＝2，则边a ＝________.三、解答题9．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255，求边BC 的长．10．在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝6，判断三角形解的情况．11．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ．(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ． (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．参考答案1．【答案】A 【解析】由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，即BC sin45°＝3sin75°， ∴BC ＝3×sin45°sin75°＝3×226＋24＝3－ 3. 2．【答案】D 【解析】∵⎩⎨⎧ A B C ＝321A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴ab c ＝sin A sin B sin C ＝13212＝23 1. 3．【答案】B【解析】由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴313＝5sin B ，即sin B ＝59，选B ． 4．【答案】D【解析】由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝32， ∴A ＝π3. 5．【答案】B【解析】∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°，∴c >b sin C ，又c <b ，∴此三角形有两解．6．【答案】C【解析】由题设条件可知⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2. 7．【答案】23cm【解析】∵BC sin A＝2R ， ∴BC ＝2R sin A ＝4sin60°＝23(cm)．8．【答案】1【解析】由正弦定理，得a sin A ＝c sin C，∴a ＝c sin A sin C ＝2×1222＝1. 9．解：由cos C ＝255，得sin C ＝1－cos 2C ＝55. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理，得BC ＝AC sin A sin B ＝10×3101022＝3 2. 10．解：解法一：由题意知：c sin A ＝4·sin60°＝23， ∵23>6，∴c sin A >a ，∴此题无解．解法二：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝4·326＝2>1，∴此题无解． 11．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝223， 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin C sin A＝5. 12．解：(1)由cos A ＝23，得sin A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝53cos C ＋23sin C ， ∴tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝306，cos C ＝66， ∴sin B ＝5cos C ＝306. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝2×30653＝ 3.∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×2×3×306＝52.。
课时作业29：1.1.1 正弦定理(一)
第一章解三角形§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)基础过关1.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是()A.53 B.35C.37 D.57解析sin Asin B＝ab＝53.答案 A2.在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不一定正确的是()A.sin A＞sin BB.cos A＜cos BC.sin 2A＞sin 2BD.cos 2A＜cos 2B解析A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，A正确.由于(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos A＜cos B，B正确.∵sin A＞sin B＞0，∴sin2A＞sin2B，1－2sin2A<1－2sin2B，∴cos 2A＜cos 2B，D正确.答案 C3.在△ABC中，若a＝2，b＝23，A＝30°，则B为()A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°解析 由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32，∵0°<B <180°，∴B ＝60°或120°，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析 在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ， 由正弦定理可得：a sin A ＝csin C ，即3c sin 2π3＝c sin C ，∴sin C ＝12，由于c <a ，且C ∈(0，π).故C ＝π6，则B ＝π－2π3－π6＝π6.三角形是等腰三角形，B ＝C ，则b ＝c ， 故b c ＝1. 答案 15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析 由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，又B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.答案 π36.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形.解 因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2).所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2). 7.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长. 解 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴B ＞A ＝30°， ∴B 为60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.能力提升8.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90°D.115°解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝3＋33－3＝1＋331－33，又∵0°<A <120°，∴A ＝75°，故选B. 答案 B9.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.56π解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴A ＞B ， 且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 答案 A10.在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b2sin B ＋2csin C ＝________.解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝2＋1＋4＝7. 答案 711.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________.解析 ∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴asin A ＝b－cos B.又由正弦定理a sin A ＝bsin B ，故－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4. 答案 3π412.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求a 的值.解 (1)∵B ＝π3，cos A ＝45，∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35， ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)，知sin A ＝35，又B ＝π3，b ＝3， ∴由正弦定理，得a ＝b sin Asin B ＝3×35sin π3＝65. 创新突破13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.解 (1)因为在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， 所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为B ＝2A ，所以cos B＝2cos2A－1＝1 3.所以sin B＝1－cos2B＝22 3.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝53 9.所以c＝a sin Csin A＝5.。
1.1.1正弦定理
B
CBD 90, C C c sin C sin C 2R
c O
a
C
c A b 2R sin C a b 同理， 2 R, 2R sin A sin B C/ a b c 2R sin A sin B sin C （R为外接圆半径）
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它 所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
2R
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
1、A B C 或180 ;
b sin A 3 sin 45 = = 2 ∴ a sin B sin 60
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45 ，B= 60 ，求a。
a b 解： ∵ sin A sin B
，A= 75 ，B= 60 ，求b。 （2） 在△ABC中，已知c= 3 解： ∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60 ) 45 b c 3 sin 60 3 2 c sin B ∴b 又∵ sin B sin C sin 45 2 sin C
a
B
c sin A 10 sin 45 10 2 得a = sin 30 sin C
b c 由正弦定理 sin B sin C
c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) 得 b= = sin C sin 30
课时作业13：1.1.1 正弦定理(二)
1．1.1 正弦定理(二)一、选择题1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ，又∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin B ≠0，∴sin A ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3.2．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，由此得三角形最短边的长度为() A.63 B.62 C.12 D.32答案 A解析 B ＝45°，C ＝60°，A ＝75°，故最短边为b ，由正弦定理得b ＝c sin Bsin C ＝132×22＝63.3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是() A ．[33，6] B ．(2，43)C ．(33，4 3 ]D ．(3，6]答案 D 解析 ∵A ＝π3，∴B ＋C ＝23π.∴AC ＋AB ＝BCsin A (sin B ＋sin C ) ＝332[sin B ＋sin(23π－B )] ＝23(32sin B ＋32cos B )＝6sin(B ＋π6)， ∴B ∈(0，23π)，∴B ＋π6∈(π6，56π)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]， ∴AC ＋AB ∈(3，6]．4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理得6sin 60°＝4sin B. ∴sin B ＝2>1，∴角B 不存在．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析 ∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴tan A ＝3，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3， 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，即sin C ＝1，∴C ＝π2，B ＝π6. 6．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且A ，B 为△ABC 的两内角，a ，b 为角A ，B 的对边，则此三角形为( )A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形答案 C解析 设x 1，x 2是方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根，则x 1＋x 2＝b cos A ，x 1·x 2＝a cos B . 由条件知a cos B ＝b cos A .由a ∶b ＝sin A ∶sin B 得sin A cos B ＝sin B cos A ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．7．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 为角A 的平分线，AC ＝3，AB ＝6，则AD 等于( )A ．2B ．2或4C ．1或2D ．5答案 A解析 设AD ＝x ，如图，∠DAC ＝∠DAB ＝60°.∵AC ＝3，AB ＝6，且S △ABC ＝S △ACD ＋S △ABD ， ∴12×3×6×32＝12×3x ×32＋12×6x ×32， 解得x ＝2.二、填空题8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．答案 2113解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 9．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．答案 (1， 2 ]解析 ∵a ＋b ＝cx ，∴x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)． ∵A ∈(0，π2)，∴A ＋π4∈(π4，34π)， ∴sin(A ＋π4)∈(22，1]，∴x ∈(1， 2 ]．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b＝________． 答案 2解析 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a b＝2. 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ， 因sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4. 12．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C. 证明 ∵左边＝sin 2A －sin 2B sin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B 2sin 2C ＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝cos[（B ＋A ）＋（B －A ）]－cos[（B ＋A ）－（B －A ）]2sin 2C＝－2sin （B ＋A ）·sin （B －A ）2sin 2C ＝2sin C sin （A －B ）2sin 2C ＝sin （A －B ）sin C＝右边， ∴原等式成立．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，p ＝(2a ，1)，q ＝(2b －c ，cos C )，且p ∥q .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围． 解 (1)∵p ∥q ，∴2a cos C ＝2b －c .根据正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，∴2sin A cos C ＝2sin(A ＋C )－sin C ，∴sin C ＝2cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12. 又∵0<A <π，∴A ＝π3，sin A ＝32. (2)－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2（cos 2C －sin 2C ）1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π4)． ∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π， ∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2， ∴三角函数式－2cos 2C 1＋tan C ＋1的取值范围是(－1， 2 ]．。
§1.1.1正弦定理(2)
第一章 1.1.1正弦定理（2）学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。
1．正弦定理有哪几种变形？问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数 （1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定 （2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?探究问题（一）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: （1）若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,(b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA（2）若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数。
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o探究问题（二） 利用正弦定理证明两个结论： 1、三角形内角平分线定理的证明：已知：如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-，两式相除得BD ABDC AC = 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
1.1.1正弦定理
C/
1 1 1 另证2: S absin C = bc sin A = ac sin B ∆ABC = 2 2 2
A
c
B
b
ha
1 证明： S∆ABC = aha ∵ 2
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
D
b c = , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C
a c 同理可得 = , sin A sin C
a b c 即： = = sin A sin B sinC
若三角形是钝角三角形 且角 如图2, 若三角形是钝角三角形,且角 是钝角如图 钝角三角形 且角C是 过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D, 此时也有 sin B =
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角 大角对大边，
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 一般地，把三角形的三个角A 和它们的对边a 叫做三角形的元 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形 的过程叫解三角形
a
B
N
一解
已知A、a、b；求B
(1)A < 90°时 d = asin A
d < a < b时
(完整版)1.1.1 正弦定理
第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理
学习目标
• 1. 掌握正弦定理的内容； • 2. 掌握正弦定理的证明方法； • 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
学习重点：
正弦定理的内容； 正弦定理的基本应用。
学习难点：
正弦定理的证明。
在初中阶段我们学过：在同一个三角形中，大 边对大角，小边对小角。
C 180°（A B）=105°
得 sin A a sin B 1 b2
由b c sin B sin C
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
得c bsin C 4 sin B
2 sin105 sin 45
2
62
2
A 30
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在△ABC中，R为△ABC外接圆半径，sina
A
b sin B
c sin C
k
则k为( A )
A.2R B.R C.4R D.R
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求a和b。
（保留两个有效数字）.
解 ： 根据正弦定理
ac sin A sin C
a
c sin A sin C
10sin 45 sin 30
1.1.1正弦定理(一)
第一章解三角形1．1.1正弦定理（一）一．知识归纳1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．2．在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝________，0°<A<90°，0°<B<90°；(2)a2＋b2＝________(勾股定理)；(3)sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝__________，sin B＝________，cos B ＝________，tan B＝________；(4)asin A＝________，bsin B＝________，csin C＝________.3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________，这个比值是________________________．二．典例分析知识点一已知两角和一边解三角形例1在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.三．当堂检测1.在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________.2.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c等于()A．1 B．2 C.3－1 D. 34.在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，b＝2，c＝1，B＝45°，则a＝( )A.6±22B.6－22C.6＋24D.6＋22第一章 解三角形1．1.1正弦定理（一）一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A 2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．a ＝7，b ＝8，A ＝98°D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° 二、填空题 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________. 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠B ＝60°，则C ＝________. 7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝__________. 8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________． 三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求ab的取值范围．答案详解第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)知识梳理1．元素 解三角形2．90° (2)c 2 (3)a c b c a b b c a c ba(4)c c c3.a sin A ＝b sin B ＝c sin C三角形外接圆的直径2R 例1 解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°， 所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52；c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．例2 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°， C ＝30°，c ＝2 3.例3 解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32，所以三角形有一解．(2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°， 也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22，所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解． 当堂检测 1. 6－22. π33 B [由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.] 4 C课时作业1．D [由正弦定理知D 正确．]2．B [因为a >b ，A 为钝角，所有只有一个解．]3．C [方法一 根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝45°.根据正弦定理，b ＝a sin Bsin A＝8sin 60°sin 45°＝4 6.方法二 如图，过点C 作CD ⊥AB ，由条件可知A ＝45°， 而由CD ＝a sin 60°＝b sin 45°，得b ＝4 6.]4．D [对于A ，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B ，∵a >b ，即A >B ，且A ＝150°，∴只有一解；对于C ，a <b ，即A <B ，且A ＝98°，∴无解．]5．120° [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.] 6．75°解析 由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角，∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7．30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ， 即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.8．2<x <2 2解析 因三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2.即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解． 10．解 在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知： a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求的范围是(2，3)．。
课时作业27：1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为 ( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不确定2．在△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B b，则A ＝( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶5∶6B ．6∶5∶2C ．6∶2∶5D ．不确定5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos 2A 2＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝ .7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝ .8．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝ .9．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ，试判断△ABC 的形状．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝433，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°3．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( ) A ．833B ．2393C ．2633D ．234．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A.2B ．2C ．4D ．225．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝ .6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π3，b ＝1，△ABC 的外接圆半径为1，则△ABC 的面积S ＝ .7．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A的值为 ，边长AC 的取值范围为 ． 8．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝π6，b ＝2a cosB ． (1)求B ；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．参考答案层级一 学业水平达标1．【答案】A【解析】∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .故选A.2．【答案】B【解析】因为b ＝30，c ＝15，C ＝26°，所以b >c >b sin C ，故此三角形有两解．故选B.3．【答案】B【解析】∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b， ∴cos A a ＝sin A a， ∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1.又0°<A <180°，∴A ＝45°.故选B.4．【答案】A【解析】由正弦定理，知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝2∶5∶6.故选A.5．【答案】B【解析】依题意及正弦定理，得sin C (1＋cos A )＝sin B ＋sin C ，即sin C cos A －sin B ＝sin C cos A －sin(A ＋C )＝－cos C sin A ＝0，所以cos C ＝0，因此C ＝90°，所以△ABC 是直角三角形．故选B.6．【答案】12【解析】∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3， 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，即1sin A ＝3sin π3. ∴sin A ＝12. 7．【答案】25【解析】由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A， 所以AB ＝sin C sin A·BC ＝2BC ＝2 5. 8．【答案】75°【解析】由正弦定理知a sin A ＝b sin B， 又a ＝14，b ＝76，B ＝60°，∴sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76＝22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.9．解：A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A， 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46， 由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝4(3＋1)． 10．解：由正弦定理，得 sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°，∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B ．∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1.∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°>180°，故舍去)，∴△ABC 是等腰直角三角形．层级二 应试能力达标1．【答案】B【解析】∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个．故选B.2．【答案】B 【解析】由S △ABC ＝3＝12BC ·CA ·sin C ＝12×433×3sin C ，得sin C ＝32，又C 为锐角， 故C ＝60°.3．【答案】B【解析】由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝13sin 60°＝2393.故选B.4．【答案】C【解析】根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 5．【答案】12(3－6)【解析】因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝b sin 45°， 所以3b ＝2a ， ①又因为a ＋b ＝12， ②由①②可知a ＝12(3－6)．6．【答案】32 【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B＝2R ， 得a ＝3，sin B ＝12， ∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝π6，C ＝π2， ∴S △ABC ＝12×3×1＝32. 7．【答案】2 (2，3)【解析】∵△ABC 是锐角三角形且B ＝2A ，则有⎩⎨⎧ 0<2A <π2，0<π－A －2A <π2， ∴π6<A <π4.由正弦定理，得AC sin 2A ＝1sin A， ∴AC 2sin A cos A ＝1sin A ，∴AC cos A＝2， 故AC ＝2cos A ，A ∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，∴2<AC < 3.8．解：(1)由正弦定理，得sin B ＝2sin A cos B ．∵cos B ≠0，即tan B ＝2sin A ＝1，∴B ＝π4. (2)由(1)知，在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )＝7π12.由a ＝2，得b ＝2×2×cos π4＝2 2. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.。
1.1.1正弦定理
1.1.1正弦定理正弦定理是中学数学中比较重要的一个定理，它可以用来求解任意三角形的边长和角度大小。
正弦定理是三角形学中最基本、最通用的定理之一，它的应用范围很广，并且在其他分支学科中也有很多实际应用。
在三角形ABC中，假设BC=a，AC=b，AB=c，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c。
则正弦定理的表述是：$$\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}$$其中，a、b、c分别为三角形ABC中BC、AC、AB的边长，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的内角大小，sin指的是这些角的正弦值。
正弦定理解题的基本步骤有以下几步：（1）确定三角形ABC的已知数据，包括三边和三角度数中的已知数据；（2）应用正弦定理，根据已知数据求解未知数据；（3）特别注意角度的选择，有时需要用到角的补角或余角。
以下是一些正弦定理的应用实例：例1：已知三角形的两条边及夹角，求第三边的长度。
则：由正弦定理，有：即：因为$\sin\angle C\leq 1$，所以：同理，可以求得BC的另一角度∠C。
解：设三角形ABC的第一边为AB=a，角度A为∠A，角度B为∠B，已知数据为a和∠A、∠B，要求的为第二边的长度BC=b。
所以：其中，角B的大小为：其中角C可以用第二个角度公式求得，即：（注：第二个角度公式指的是正弦公式的逆变形式，即给定三角形的两条边和夹角，则可以根据正弦公式求得未知角度。
）正弦定理不仅仅在数学中有重要的应用，它也被广泛应用于实际生活中的许多领域。
例如，它在建筑学中可以用来计算建筑物的高度和角度；在航空和航海中可以用来计算航线的长度和方向；在地理和地质学中可以用来计算地球上两个点之间的距离等等。
因此，熟练掌握正弦定理的公式和应用方法是十分必要的。
课时作业21：1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理1．在△ABC 中，一定成立的式子是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( )A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．π6或5π63．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解4．在△ABC 中，若c ＝3，C ＝60°，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝( )A ．6B ．2 3C ．2D ． 35．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝－12，则△ABC 的外接圆的半径为________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，B ＝2A ，cos A ＝63，则b ＝________．8．在△ABC 中，若B ＝π4，b ＝2a ，则C ＝________．9．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .10．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．参考答案1．【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得a sin B ＝b sin A .2．【解析】由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 3．【解析】由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．4．【解析】利用正弦定理的推论，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝c sin C ＝3sin 60°＝2.5．【解析】将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2Bcos A.因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6．【解析】由cos A ＝－12，得sin A ＝1－cos 2A ＝32，设△ABC 的外接圆的半径为R ，由正弦定理，有2R ＝asin A ＝23，即△ABC 的外接圆的半径为 3.【答案】 37．【解析】因为cos A ＝63，所以sin A ＝33，因为B ＝2A ，所以sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝223，又b sin B ＝asin A ，所以b ＝2 6.【答案】2 68．【解析】在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝2a sin π4＝2a 22＝2a ，所以sin A ＝12，所以A ＝π6或56π.因为b ＝2a ＞a ，所以B ＞A ，即A ＜π4，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝712π.【答案】712π9．解：因为c＝10，A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由asin A＝csin C，得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.由bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝56＋5 2.10．解：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，33sin 60°＝BCsin 45°，可得BC＝116，在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝116×tan 30°＝11 2.。
1.1.1正弦定理(1)
；
根据正弦定理，
；
根据ห้องสมุดไป่ตู้弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
巡视指导
归纳：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
相互交流，给出答案
边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否
浏览目标
自主学习
完成任务
明确疑问
合作学习
展示讲解推导过程
课时计划
课题
1．1．1正弦定理
课型
新授课
班别
1.5
1.6
时间
教学目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
教学过程
教学内容
及流程
教师活动
学生活动
备注
1、创设情境
如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。
思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
2、目标任务
1、理解正弦定理
2、能够应用正弦定理解决简单问题
3、个体自学
任务：
1、阅读教材p2——4。
2、明确正弦定理及其推理过程。
3、知道什么是解三角形。
四、互动交流
明确答案
交流疑问
五、展示汇报
如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD= ,则 ，
第一部分 第一章 1.1 1.1.1 正弦定理
弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边 所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
返回
π π 3．若把本例中 C＝3改为 A＝4，其他条件不变，求 C，B，b.
π 解：∵ 6sin4＜2＜ 6， ∴本题有两解． a c csin A 3 ∵sin A＝sin C，∴sin C＝ a ＝ 2 .
且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状． [思路点拨] 首先利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin 2B＋sin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的 形状．
返回
[精解详析]
a b c 法一：设sin A＝sin B＝sin C＝k， (2 分)
则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C ∵sin2A＝sin2B＋sin2C. ∴(ksin A)2＝(ksin B)2＋(ksin C)2. ∴a2＝b2＋c2. ∴A＝90° ，B＋C＝90° .
6．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
a b 解：由正弦定理，设sin A＝sin B＝k，则 a＝ksin A，b＝ksin B， ∴由 acos A＝bcos B，得：sin Acos A＝sin Bcos B. 即 sin 2A＝sin 2B. ∵2A、2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B 或 2A－π＝2π－2B. π 即 A＝B 或 A＋B＝2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
A为钝角或直角
图形
关系 ①a＝bsin A bsin A＜a 式 解的 ②a≥b 一解 ＜b 两解
a＜bsin A
a＞b
a≤b
个数
1.1.1正弦定理(一)
1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间 的距离大约为385400km，你想知道他们当时是怎 样测出这个距离的吗？
解三角形
问题1：我们知道，在任意三角形中有大 边对大角，小边对小角的边角关系．我 们是否能得到这个边、角关系的准确量 化的表示呢？ 思考：如图，已知 在△ABC中，A>B， 则a__b > . 试猜想a,b,A,B之间的 确切关系式 ？
0
添加一个什么条件，可以解三角形ABC。
例2 已知△ABC的外接圆圆心为O，半径 A , 试用R与θ表示BC。 为 R， C
O B D
A
练习：
小结：
作业： 1、P10 A1 2、探索是否有其他方法证明正弦定理。 比如向量法？
A C a b c B
如图，在Rt△ABC中，
a sin A c b sin B c a b c sin A sin B
A b C a c B
c sin C
问题2：对于一般的三角形(斜三角形)，
a b 仍然成立呢？
1.1.1正弦定理（一）
a b c (2)sin A , sin B , sin C . k k k
思考：我们利用正弦定理可以做什么？
解三角形： 已知三角形的几个元素求其他元 素的过程。
例1 已知在 ABC中，c 10, A 45 , C 30 .
0 0
思考：可以求什么？怎么求？
变式：已知在 ABC中，c 10, A 45 .
正弦定理(law of sines)： 在一个三角形 中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即 a b c sin A sin B sin C
1.1.1正弦定理
第一章 解三角形1．1.1 正弦定理一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 33．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( )A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°7．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶68．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) A ．1 B ．2C.12D ．4 9．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题10．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________.11．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 12．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 13．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.14．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.三、解答题15．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．16．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．17．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A.18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4， cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .。
1.1.1 正弦定理
a b c 1.正弦定理 sin A sin B sin C
它是解三角形的工具之一. 2.应用正弦定理可以解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及任意一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.
【拓展提升】用正弦定理进行边角互化的两种方法
（1）边化角 a c b 根据sin A= ，sin B= ，sin C= 化边为角(其中 2R 2R 2R R为△ABC外接圆的半径).
（2）角化边
根据a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C化角为边(其中R
为△ABC外接圆的半径).
O a b B c A` A
一、正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， a b c . 即 sin A sin B sin C 注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ）
(2)在△ABC中，等式asinA=bsinB总能成立.（
）
(3)在△ABC中，已知a=30，b=23，A=130°，则此三角形
பைடு நூலகம்
有唯一解.（
）
提示：(1)错误.正弦定理对于任意三角形都适用. (2)错误.由正弦定理得asinB=bsinA. (3)正确.由A=130°>90°，a=30>b=23.根据大边对大角 知，三角形有唯一解. 答案：(1)× (2)× (3)√
） C. 无解 D. 不确定
B. 两解
解答：b＞c,一解
3.（2012·福建高考）在△ABC中，已知∠BAC=60°，
1.1.1 正弦定理(A3)
鸡西市第十九中学学案
2015 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
问题 我们应用正弦定理解三角形时， 已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的 解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？
1.1.1 正弦定理(二) 学习 目标 重点 难点
1．熟记正弦定理的有关变形公式． 2．探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问 题．3．能根据条件，判断三角形解的个数．
探究 1 关系式
在△ABC 中，已知 a，b 和 A，若 A 为直角，讨论三角形解的情况．(请完成下表) a≤b a＞b
1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应注意运用大边对大角的 理论判断解的情况．2．判断三角形形状时，不要在等式两边轻易地除以含有边角的 因式，造成漏解． a b c 正弦定理： ＝ ＝ ＝2R 的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝ ； ；
1
，
小结 正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便，需要进行边角转化时，首先要考虑通过正 弦定理来实现． 训练 1 在△ABC 中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则 sin A∶sin B∶sin C 等于 ( ) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
小结 已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角， 最后由正弦定理求第三边； (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两 边． 训练 3 在△ABC 中，a＝5，B＝45° ，C＝105° ，解三角形．
1.1.1 正弦定理
已知两角和任意一边， 已知两角和任意一边， 求其他两边和一角 。 。 【例 1】 在△ABC 中，已知A = 45 ， C = 30 ， C c = 10，解三角形. 解： B =180° (A + C) =105° a b
定理的应用
c sin A 10×sin 45° ∴a = =10 2 = sinC sin30° b c = ∵ sin B sin C c sin B 10×sin 105° ∴ b= = = 5( 6 + 2 ) sin 30° sin C
a c = ∵ sin A sinC
A
c
B
【巩固练习】
6+ 2 sin 75 = 4
1.在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°， c= 3 2 ，解三角形.
答案：C = 60°, a = 3 + 3 , b = 2 3
2.在△ABC中，已知 A=30°，B=120°， b=12 ，解三角形.
答案：C = 30°, a = 4 3 , c = 4 3
回应情境 △ABC中，已知 ＝75，C＝60，AC＝100，求 中 已知A＝ ， ＝ ， ＝ ， B AB． ． c 解： = 180° (A + C) = 45° B
b c a ∵ = sin B sinC 60 b sinC 100× sin60° ∴c = = C sin B sin45° = 50 6
b
A
c
D
B
C
a
c
B
D
a b c b 同理可得 = = sin A sin B sinC sin B
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
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1.1.1正弦定理作业
1、 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）
A. 30
B. 60
C. 30或 150
D. 60或 120
2、在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）
A. 226-
B. 22
6+ C. 12+ D. 23-
3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）
A. 30,14,7===A b a ，有两解
B. 150,25,30===A b a ,有一解
C. 45,9,6===A b a ，有两解
D. 60,10,9===A c b ，无解
4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（
）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
5、在ABC ∆中， 60=A ,3=a ，则=++++C B A c
b a sin sin sin （ ） A. 33
8 B. 339
2 C. 33
26 D. 32
6、在ABC ∆中，已知 30=A , 45=C 20=a ，解此三角形。
7、在ABC ∆中，已知 30,33,3===B c b ,解此三角形。
参考答案：
1、 解析：由A b a sin 23=可得2
3
sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得2
3sin =B ，故=B 60或 120。
2、 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得2
1sin =C ，由于b c <，所以 30=C ， 105=B ，又由正弦定理
B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
4、解析：由B a b sin 323=可得2
3
sin a B b =，所以23sin =A ，即 60=A 或 120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。
5、解析：由比例性质和正弦定理可知
32sin sin sin sin ==++++A a C B A c b a 。
6、解析：由正弦定理C c A a sin sin =，即2
2
2120c =，解得220=c ， 由 30=A , 45=C ，及 180=++C B A 可得 75=B ， 又由正弦定理B
b A a sin sin =，即4262120+=b ，解得()
2610+=b 7、解析：由正弦定理C
c B b sin sin =，即C sin 332
13=，解得23sin =C ， 因为b c >，所以 60=C 或 120，
当 60=C 时， 90=A ，ABC ∆为直角三角形，此时622=+=c b a ；
当 120=C 时，
30=A ，B A =，所以3==b a 。