第八章 稳恒磁场

讨 论：
1）在匀强磁场中，一段载流导线受磁场作用具有受力的 ）在匀强磁场中， 等同于一段载流直导线； “形状无关性” —— 等同于一段载流直导线； 形状无关性” 2）在匀强磁场中，一闭合载流线圈所受合磁力为零。 ）在匀强磁场中，一闭合载流线圈所受合磁力为零。
稳恒磁场
dq e 2 r
毕奥—萨伐 毕奥 萨伐 尔定律 磁场的叠加 原理 磁场的高斯 定理 安培环路 定理
dE =
4πε 0 r
dB =
µ0 Idl × er 4π r 2
场强叠加 原理 静电场的 高斯定理 高斯定理 安培环路 定理
E = ∫dE
B = ∫ dB
∫∫ S E ⋅ d S = ∑ q内 ε 0
讨 论：
1）两个等量异号电荷的同速率反向运动，其磁效应相同； ）两个等量异号电荷的同速率反向运动，其磁效应相同； 2）作圆周运动的点电荷在圆心处的磁场： ）作圆周运动的点电荷在圆心处的磁场：
µ0 qv µ0 qω B= = 2 4π R 4π R
R
q
v
8(15)
七、磁场对运动电荷的作用
F L = qv × B
θ2
Idl
l
θr
a
θ1
统一积分变量
l = a cot(π − θ ) = − a cot θ
P
r = a csc(π − θ ) = a csc θ ,
dl = a csc 2 θ dθ
µI ⇒ dB = 0 sin θ dθ 4π a
∴ B = ∫θ
θ2
1
µ0 I sin θ dθ 4π a
即
µ0 I (cos θ1 − cos θ 2 ) B= 4π a
y
dF y
dFx = IBdl cos θ = IBR cos θ dθ
⇒ Fx = ∫ IBR cos θ dθ = 0
0
dF
dFx
π
I
dFy = IBdl sin θ = IBR sin θ dθ
⇒ Fy = ∫ IBR sin θ dθ = 2 IBR
0
θ O
R dl
x
8(20)
π
∴ F = 2 IBR j
2）圆心处（x = 0）： ）圆心处（ ）：
B=
µ0 I
2R
µ0 R 2 I
2 x3
3）远离线圈处 ( x ≫ R ) : ） 对照： 对照：E =
ql 2πε 0 x
3
B=
µ0 pm µ0π R 2 I = = 3 2π x 2π x 3
=
2πε 0 x
pe
3
2 定义： 定义：pm = ISen = I π R en
r>R r≤R
L
r
B
讨 论：若电流均匀分布在导线表面层上
∫
µ0 I B ⋅ d l = B ⋅ 2π r = 0
r>R r<R
B
µ0 I 2π R
µ0 I 2π r ∴B = 0
r>R r<R
O
R
r
8(14)
六、运动电荷的磁场
µ0 qv × er 一个粒子定向移动产生的磁场： 一个粒子定向移动产生的磁场： B = 4π r 2
8(8)
三、稳恒磁场的高斯定理
en
Φ m = ∫∫ B ⋅ d S
dsθ
B
磁感线从闭合面穿出 磁感线从闭合面穿入
Φm > 0
Φm < 0
磁场的高斯定理： 磁场的高斯定理：
∫∫ B ⋅ d S = 0
8(9)
讨 论：
1）磁场的高斯定理通过数学语言表明磁场是一种“无源 ）磁场的高斯定理通过数学语言表明磁场是一种“ 场”，无论在磁场的什么点上，磁感应线既不能起始， 无论在磁场的什么点上，磁感应线既不能起始， 也不能终止，磁场线是无头无尾的闭合曲线。 也不能终止，磁场线是无头无尾的闭合曲线。
B = ∫dB
8(2)
例8-1：分析载流直导线的磁场。 ：分析载流直导线的磁场。
在载流直导线上取一电流元矢量，由毕-萨定律 萨定律： 解：在载流直导线上取一电流元矢量，由毕 萨定律： 方向始终垂直向内
dB =
dB =
µ0 Id l × er 4π r2
⇒
可直接积分
µ0 Idl sin θ µ Idl sin θ ⇒B=∫ 0 4π r2 4π r2
dB =
µ 0 R 2 dI
2r
3
=
µ 0 nIR 2 dl
2r 3
dl = − R csc 2 β d β , r = R csc β
∵ l = R cot β ,
1 ∴ dB = − µ0 nI sin β d β 2
1 ⇒ B = µ0 nI (cos β 2 − cos β 1 ) 2
β1 r β
第八章
一、 毕 — 萨定律
恒定电流的磁场
Idl
µ 0 Idl × r µ 0 Idl × e r dB = = 3 4π r 4π r2
I
r
dB
P
er
讨 论：
1） d B 的方向由右手定则确定，大小为：dB = ） 的方向由右手定则确定，大小为：
µ0 Idl sin θ 4π r2
8(1)
µ0 Idl × er 的比较 1 dq e 与 dB = 2） dE = ） 2 r 4πε 0 r 4π r2
∫L E ⋅ d l = 0
∫∫ S B ⋅ d S = 0
∫L B⋅ dl = µ0 ∑I内
8(11)
安培环路定理
∫ L B ⋅ d l = µ 0 ∑ I内
讨 论：
1）安培环路定理表明稳恒磁场是一种“非保守场”。 ）安培环路定理表明稳恒磁场是一种“非保守场”
与L铰链的电流 铰链的电流
2）I内的内涵 ）
右手定则） ——洛伦兹力公式 （右手定则） 洛伦兹力公式
讨 论： 比较 F L = qv × B 与 F e = q E
1） Fe ）
E , FL ⊥ B
2）对给定的q， Fe 的大小仅取决于 的大小； ）对给定的 ， 的大小仅取决于E的大小 的大小； 的运动速度的大小有关。 F L 的大小还与 q 的运动速度的大小有关。 3） Fe 既可改变速度方向，也可改变速度大小，可做功； ） 既可改变速度方向，也可改变速度大小，可做功；
2、带电粒子在匀强电场中的运动 、 +
F e = qE = m dv —— 匀变速运动 dt
+q
Fe
v0 F
v0
e
E
初速度与加速度方向一致 —— 匀变速直线运动 初速度与加速度方向不一致 —— 匀变速曲线运动
8(17)
3、带电粒子在匀强磁场中的运动 、 1） v0 ）
——等速率运动 等速率运动
B : F L = 0 ⇒ 匀速直线运动
相同点： 相同点：大小均反比于 r 2 ，正比于各自的场源 —— dq , Idl 不同点： 不同点：方向上 dE 在大小上还与 有关。 er , dB ⊥ er ；dB在大小上还与θ有关。
二、毕 — 萨定律的应用
µ0 Idl × er dB = µ Idl × er 4π r2 ⇒ B = ∫ 0 L 4π r2
=∫
Idl
µ0 Idl R µ0 IR ⋅ 2π R ⋅ = 2 4π r r 4π r 3
r
R
O
dB⊥
dB
x
θ
P dB x
即
B=
µ0 IR 2
2( x 2 + R 2 )3 2
8(5)
讨 论：
B=
µ0 IR 2
2( x 2 + R 2 )3 2
1）各点 B 的方向与 I 的方向成另一种右手螺旋关系。 ） 的方向成另一种右手螺旋关系。
⇒
在垂直面内以电流中心轴上 点为圆心的圆周上各点 B
大小均相等 方向沿切向
⇒ 取同心圆为
安培回路
8(13)
∫
µ0 I B ⋅ d l = B ⋅ 2π r = 2 2 µ0 I π r π R
r>R r≤R
R
µ0 I 2π r ∴B = µ0 I r 2π R 2
β2
R
A1
P
dB
A2
l dl
8(7)
讨论
1 B = µ0 nI (cos β 2 − cos β 1 ) 2
若 L ≫ R （螺线管可视为无限长），则 螺线管可视为无限长）， ），则
(a) 中间区域轴线上各点： B = µ0 nI 中间区域轴线上各点：
1 (b) 边缘区域轴线上各端点： B = µ0 nI 边缘区域轴线上各端点： 2
例题8-9）一段半径为R的半圆形导线 通有电流I， 的半圆形导线， 例8-5:（书P364例题 ）一段半径为 的半圆形导线，通有电流 ， （ 例题 放在均匀磁场 B 中，磁场与导线平面垂直，求磁场作用在半圆形 磁场与导线平面垂直， 导线上的力。 导线上的力。
解：取 Id l ，则 d F = Id l × B ⇒ dF = IBdl
穿过以L为边界的任一曲面的电流 穿过以 为边界的任一曲面的电流
3）所谓正电流就是与L的绕行方向成右手螺旋关系的电流。 ）所谓正电流就是与 的绕行方向成右手螺旋关系的电流 的绕行方向成右手螺旋关系的电流。 4）虽然 ∫ B ⋅ d l 只取决于 ∑ I 内 ，但 B 是与所有电流有关的。 ） 是与所有电流有关的。 5）安培环路定理只适用于闭合的稳恒电流。 ）安培环路定理只适用于闭合的稳恒电流。
v⊥
θ
v0
v