电子科大 微波技术与天线 第二章第1部分

U(z) = Aejβz + Be− jβz
入射波与反射波
沿（-z）方向 传播的电压 电压入射波
U(z) = Aejβz + Be− jβz
+z） 沿（+z）方向 传播的电压 电压反射波
相应的电流
dU( z) = jωLI ( z) dz
U(z) = Ae− jβz + Aejβz 1 2
1 dU( z) I ( z) = jωL dz
第二章 微波传输线
2.1 长线的概念 长线效应 威廉●汤姆逊
1824年，生于爱尔兰 1846年，任格拉斯哥大学，自然哲学教授 1848年，提出绝对热力学温标 1892年，封为开尔文勋爵
开尔文
大西洋海底电缆
2.1 长线的概念 长线效应 1856年 1856年，由大西洋电报公司出资开始铺设 铺设完成后，发现信号反射十分严重！ 铺设完成后，发现信号反射十分严重！ 开尔文经过仔细研究发现当线长和波长可 以相比拟或者超过波长时， 以相比拟或者超过波长时，我们必须计及 其波动性，这就是所谓的长线效应 其波动性，这就是所谓的长线效应
U ( z) Z0 = + I ( z)
+
U− ( z) Z0 =− − I ( z)
注意： 传输线特性阻抗的大小， 注意： 传输线特性阻抗的大小，取决与传输线本身 的物理参数 （有些传输线特性阻抗也与频率相关） 问题 总电压比上总电流，代表什么？
例： 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间 同轴线内导体半径为a 外导体半径为b 由相对介电常数为ε 相对磁导率为μ 的介质填充， 由相对介电常数为εr，相对磁导率为μr的介质填充， 求其特性阻抗。 求其特性阻抗。 解：
和均匀平面波类比
d U( z) + β2U( z) = 0 dz2 d2I ( z) + β2I ( z) = 0 dz2
2
u r r d E 2u +k E = 0 2 dz ur u 2 u d H 2 ur +k H = 0 2 dz
2
β =ω LC
电压的一般解为： 电压的一般解为：
k =ω εµ
相移常数 β
β
每单位长度传输线上， 每单位长度传输线上，单向波的相位变 化值
U(z,t) = A cos(ωt + βz +ϕA ) + B cos(ωt −βz +ϕB ) 1 I ( z) = Z ( A cos(ωt + βz +ϕA ) − Bcos(ωt −βz +ϕB ) ) 0
长线的定义 长线 短线 几何长度大于或接近于波长的传输线 几何长度小于波长的传输线
50Hz A 短线 B
300MHz
长线
1m
传输线方程及其解
在微波电路中， 在微波电路中，电压和电流不仅随时间 变化、而且随空间位置变化。 变化、而且随空间位置变化。 定义 电压u和电流i为位置和时间的函数 电压u和电流i 位置和时间的函数
令Δz
0，得
∂u ∂i = Ri + L ∂z ∂t ∂i ∂u = Gi + C ∂z ∂t
上式为均匀传输线的传输线方程（或电报方程） 上式为均匀传输线的传输线方程（或电报方程）
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有 如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，
u(z,t) = R U(z)ejωt e i(z,t) = R I(z)ejωt e
相速度 传输线上单向波等相位面行进的速度
等相位面方程 对时间求微分
ωt + βz +ϕA = C
d (ωt + βz +ϕA ) = 0 dt dz ω+ β = 0 dt dz ω vp =− = dt β
相速度： 相速度：
u = u(z,t) i = i(z,t)
传输线方程及其解
（a）分布参数电路
（b）线元∆z的等效电路 线元 的等效电路
传输线方程及其解 传输线方程的建立
线元Δ 上的电压降为： 线元Δz上的电压降为：
∂i u ( z + ∆z, t ) − u ( z, t ) = Ri + L ∆z ∂t 线元Δ 上的电流降为： 线元Δz上的电流降为： ∂u i ( z + ∆z, t ) − i ( z, t ) = Gu + C ∆z ∂t
I (z) =
1 ( Ajβejβz −Bjβe− jβz ) jωL
β =ω LC
C I ( z) = ( Aejβz −Be− jβz ) L
类比于均匀平面波
令： 则：
L Z0 = C
1 I ( z) = ( Aejβz − Be− jβz ) Z0
Z0为传输线的特性阻抗 U(z) = Aejβz + Be− jβz 1 传输线方程的通解为： 传输线方程的通解为： I ( z) = ( Aejβz − Be− jβz ) Z0 A与B的确定需要具体的边界条件
1 1 jβz U(z) = (UL + Z0IL ) e + (UL −Z0IL ) e− jβz 2 2 I ( z) = 1 (UL + Z0IL ) ejβz − 1 (UL −Z0IL ) e− jβz 2Z0 2Z0 1 + 令： U = (UL + Z0IL ) ejβz ——电压的入射波 电压的入射波 2 1 − U = (UL − Z0IL ) e− jβz ——电压的反射波 电压的反射波 2 1 + jβz I = 电流的入射波 (UL +Z0IL ) e ——电流的入射波 2Z0 1 − − jβz——电流的反射波 电流的反射波 I =− (UL −Z0IL ) e 2Z0
式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z 式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z 只与 处的电压或电流的复值。 处的电压或电流的复值。
∂u ∂i = Ri + L ∂z ∂t ∂i ∂u = Gi + C ∂z ∂t
dU( z) = (R+ jωL)I ( z) dz dI ( z) = (G+ jωC)U( z) dz
终端条件下， 终端条件下，传输线方程的解
U(z) = Aejβz + Be− jβz 1 I ( z) = ( Aejβz − Be− jβz ) Z0
U(0) = A+ B =UL
由终端条件可得： 由终端条件可得：
联立求解得： 联立求解得：
1 I ( 0) = ( A− B) = IL Z0 1 1 A= (UL + Z0IL ) B = (UL − Z0IL ) 2 2
Z0 = L C
查表2-1-1，计算同轴线分布电感与分布电容 查表2 µ b 分布电感： 分布电感： L = ln 2π a b 分布电容： C = 2πε ln 分布电容： a 特性阻抗： 特性阻抗： Z0 = L C = 1 µ ln b 2π ε a
仅与传输线自 身参数有关
波长和相移常数
波长 在同一时刻传输线上相位差为2 在同一时刻传输线上相位差为2π的两点 间的距离 (ωt +βz1 +ϕA ) −(ωt +βz2 +ϕA ) = 2π 2π ( z1 − z2 ) = λp =
对于无耗传输线（即：R=0，G=0），这时方程为： 对于无耗传输线（ R=0 G=0 这时方程为：
dU( z) = jωLI ( z) dz dI ( z) = jωCU( z) dz
其波动方程
d2U( z) + β2U( z) = 0 dz2 d2I ( z) + β2I ( z) = 0 dz2
传输线的特性参量
特性阻抗
1 1 jβz U(z) = (UL + Z0IL ) e + (UL −Z0IL ) e− jβz 2 2 I ( z) = 1 (UL + Z0IL ) ejβz − 1 (UL −Z0IL ) e− jβz 2Z0 2Z0
传输线上入射波电压与入射波电流之比 传输线上入射波电压与入射波电流之比 入射波电压与入射波
端接条件有三种： 端接条件有三种：
终端边界条件： 终端边界条件： 始端边界条件： 始端边界条件： 已知终端的电压U 和电流I 已知终端的电压UL和电流IL 已知始端的电压U 和电流I 已知始端的电压U0和电流I0
信号源和负载条件：已知信号源电动势Eg、 信号源和负载条件：已知信号源电动势Eg、内阻 Eg Zg和负载阻抗 和负载阻抗Z 抗Zg和负载阻抗ZL
特解的三角函数形式
1 1 jβz U(z) = (UL + Z0IL ) e + (UL −Z0IL ) e− jβz 2 2 I ( z) = 1 (UL + Z0IL ) ejβz − 1 (UL −Z0IL ) e− jβz 2Z0 2Z0
U (z) =UL cos βz + jILZ0 sin βz UL I ( z) = j Z sin βz + IL cos βz 0