第三章2014稳定判据1
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第三章劳斯判据1
lim c n ) = A 其中 0〈ζ k 〈1 q +2γ =( t 拉氏反变换为 临界稳定
t→ ∞
j =1
k =1
c(t ) = ∑ Aj e
j =1
q
s jt
+ ∑ Bk e
k =1
r
−ζ k ω k t
cos(ω k 1 − ζ k )t
2
2
+∑
r
C k − Bkζ kω k
k =1
ωk 1−ζ k2
稳 定 的 摆 不 稳 定 的 摆
不论扰动引起的初始偏差有 多大，扰动取消后， 多大，扰动取消后，系统都能 够恢复到原有的平衡状态是大 够恢复到原有的平衡状态是大 范围稳定。 范围稳定。 小扰动恢复到原平衡状态， 小扰动恢复到原平衡状态， 大扰动不能恢复到原平衡状 系统为小范围稳定 小范围稳定。 态，系统为小范围稳定。 线性系统，小范围稳定， 线性系统，小范围稳定， 必然大范围稳定 大范围稳定。 必然大范围稳定。 扰动消失后， 扰动消失后，输出与原平衡 状态间存在恒定的偏差或输出 维持等幅振荡， 维持等幅振荡，系统处于临界 稳定状态。 稳定状态。 经典控制论中， 经典控制论中，临界稳定视 为不稳定。 为不稳定。
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移 行列式第一列不动第二列右移 不动第二列 对角线减 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等 5 分母总是上一行第一个元素 第一列出现零元素时， 6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε 穷小量ε代替。 一行可同乘以或同除以某正 7 一行可同乘以或同除以某正数
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
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二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理第三章
1
P75 二阶系统的 结构图
20
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
1、无阻尼情况 ( 0)
s 1 ct (t ) L [ 2 ] cos nt t 0 2 s n
等幅振 荡
特征方程有一对共轭虚根 s1,2 jn 2、欠阻尼情况 (0 1)
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
7
三.劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 例: a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 解:
判断稳定性。
s
3
a3 a2 a1a2 a3 a0 a2 a0
a1 a0 0
0 0
s2 s1 s
0
三阶系统稳定的充要条件是: ai
2019/4/2
瞬态ct (t ) e
ct (t )
t
T
, 稳态css (t ) 1(t )
css (t )
dc(t ) 1 e t /T dt t 0 T
c(t )
t 0
1 T
+
=
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
18
二.一阶系统的动态性能指标
c(t )
t 3T
(1 e
t /T
)
t 3T
1 e
3T /T
0.95
T0 T 1 K0
ts 3T
ts 是一阶系统的动态性能指标。
增大系统的开环放大系数K0 会使T 减小，使ts 减小。
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
19
第四节
二阶系统的动态性能指标
二阶标准型 或称典型二阶系 统传递函数
P75 二阶系统的 结构图
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2019/4/2
《自动控制原理》第三章
1、无阻尼情况 ( 0)
s 1 ct (t ) L [ 2 ] cos nt t 0 2 s n
等幅振 荡
特征方程有一对共轭虚根 s1,2 jn 2、欠阻尼情况 (0 1)
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
7
三.劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 例: a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 解:
判断稳定性。
s
3
a3 a2 a1a2 a3 a0 a2 a0
a1 a0 0
0 0
s2 s1 s
0
三阶系统稳定的充要条件是: ai
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瞬态ct (t ) e
ct (t )
t
T
, 稳态css (t ) 1(t )
css (t )
dc(t ) 1 e t /T dt t 0 T
c(t )
t 0
1 T
+
=
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二.一阶系统的动态性能指标
c(t )
t 3T
(1 e
t /T
)
t 3T
1 e
3T /T
0.95
T0 T 1 K0
ts 3T
ts 是一阶系统的动态性能指标。
增大系统的开环放大系数K0 会使T 减小，使ts 减小。
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第四节
二阶系统的动态性能指标
二阶标准型 或称典型二阶系 统传递函数
稳定性判据
0 （4）若 i 0 0 i为偶数 i为奇数 ，则 P 0 . in
7
三、稳定性判据： dV ( x ) 计算 V ( x ) 沿状态轨线的时间导数： V( x ) dt f [ x] xe 0 设系统： x 若存在一个李雅普诺夫函数 V ( x ) ，满足： ( x ) 0 ，则 x e 0 为李雅普诺夫意义下的稳定； (1) 若 V
2
定义： 对于 x 0 ，若：
（1） V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为正定。
（2） V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为半正定（非负定）。
（3） V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为负定。 （4） V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为半负定（非正定）。
问题1：V( x ) 应具有什么性质。（如何才能构造）
二、李雅普诺夫函数性质：
（1）是以状态向量 x ( t )为自变量的标量函数。 （∵能量只能有数量的概念） （2）若 x e 0 是系统平衡状态，则 V(x e ) V(0) 0 ， 当 x ( t ) 0 时 V( x ) 0 。 （∵能量只能为正的） （3）V ( x )对所有 x 均有连续的一阶偏导数。
p11 p P 12 p1n p12 p 22 p 2n
p11
p12
p1i
p12 i (i 1,2,, n) 为P的各阶主子行列式： i p1i
p 22 p 2i p 2i p ii
1 p11 2
p11 p12 p 21 p 22
（5） V( x ) 0 或 V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为不定。
3
根据 V ( x ) 的性质，常用二次型标量函数作为 李雅普诺夫函数：
7
三、稳定性判据： dV ( x ) 计算 V ( x ) 沿状态轨线的时间导数： V( x ) dt f [ x] xe 0 设系统： x 若存在一个李雅普诺夫函数 V ( x ) ，满足： ( x ) 0 ，则 x e 0 为李雅普诺夫意义下的稳定； (1) 若 V
2
定义： 对于 x 0 ，若：
（1） V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为正定。
（2） V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为半正定（非负定）。
（3） V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为负定。 （4） V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为半负定（非正定）。
问题1：V( x ) 应具有什么性质。（如何才能构造）
二、李雅普诺夫函数性质：
（1）是以状态向量 x ( t )为自变量的标量函数。 （∵能量只能有数量的概念） （2）若 x e 0 是系统平衡状态，则 V(x e ) V(0) 0 ， 当 x ( t ) 0 时 V( x ) 0 。 （∵能量只能为正的） （3）V ( x )对所有 x 均有连续的一阶偏导数。
p11 p P 12 p1n p12 p 22 p 2n
p11
p12
p1i
p12 i (i 1,2,, n) 为P的各阶主子行列式： i p1i
p 22 p 2i p 2i p ii
1 p11 2
p11 p12 p 21 p 22
（5） V( x ) 0 或 V( x ) 0 ，则称 V ( x ) 为不定。
3
根据 V ( x ) 的性质，常用二次型标量函数作为 李雅普诺夫函数：
第三章 控制系统稳定性的时域分析
i 1 k 1 q r
（3-1）
式中
dk nk 1 2
式（3-1）表明 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim C (t ) ，系统是 t 不稳定的。
t
该系统就是稳定的。 系统稳定的充要条件？ 设系统的闭环传递函数为
bm s m bm1 s m1 ... b0 ( s ) a n s n a n 1 s n 1 ... a0
特征方程为 如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实 数根 i 和r对共轭复数根 k nk j nk 1 2 ,则在 单位脉冲函数 (t ) 的作用下，系统输出量为
C ( s) K r (s Z j )
j 1 2 2 ( s P ) ( s 2 s nk ) i k nk i 1 k 1 q r m
an s n an1 s n1 ... a0 0
1
将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得
C (t ) i e it e k nkt ( k cos dk t C k sin dk t )
e2
计算劳斯表的各系数
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1
……
a n1a n2 a n a n3 b1 a n1
bi
系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。 用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c , d, … …e , f , g各行的系数。
（3-1）
式中
dk nk 1 2
式（3-1）表明 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim C (t ) ，系统是 t 不稳定的。
t
该系统就是稳定的。 系统稳定的充要条件？ 设系统的闭环传递函数为
bm s m bm1 s m1 ... b0 ( s ) a n s n a n 1 s n 1 ... a0
特征方程为 如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实 数根 i 和r对共轭复数根 k nk j nk 1 2 ,则在 单位脉冲函数 (t ) 的作用下，系统输出量为
C ( s) K r (s Z j )
j 1 2 2 ( s P ) ( s 2 s nk ) i k nk i 1 k 1 q r m
an s n an1 s n1 ... a0 0
1
将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得
C (t ) i e it e k nkt ( k cos dk t C k sin dk t )
e2
计算劳斯表的各系数
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1
……
a n1a n2 a n a n3 b1 a n1
bi
系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。 用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c , d, … …e , f , g各行的系数。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
快速学习奈氏图判断稳定性
F (s1 )就叫做 s11j2在 F (s)平面上的映射点。
j
j2
s1
S
s''
s'
1 0 1
Im
FS
0 0.15
0.95
Re
F (s1 )
图4-37 S平面上的点在F（S）平面上的映射
如图4—38所示，如果解析点
s1
在S平面上沿封闭曲线
（
s
s
不经过F (s)
的奇点）
按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在F (s) 平F 面(s)上的映射也是一条封闭曲
（一） G(s)H(s) 与 G(j)H(j)之间的关系
前面曾经指出，频率特性是 sj 特定情况下的传递函数。下面分两种情
况来研究 G(s)H(s) 与 G (j)H (j)之间的关系。
1、当G(s)H(s)在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分
如图4—42所示，（1） 0，s沿负虚轴变化；（2）0 ，s沿
(3)
F
在[GH]平面上的映射如图4—43中曲线（1）。
(1)
s
图4-42 Nyquist轨迹
Im
(1)
GH
(3)
k
0
K
Re
0
Im
(1)
GH
(3)
K
Re
0 0
G H
(2)
G H
(2)
(a)nm
图4-43 s 在GH平面上的映射
(b)nm
（2）当s在S平面正虚轴上变化时，s j
假设复变函数F s 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则
函数,也就是说F s 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析
j
j2
s1
S
s''
s'
1 0 1
Im
FS
0 0.15
0.95
Re
F (s1 )
图4-37 S平面上的点在F（S）平面上的映射
如图4—38所示，如果解析点
s1
在S平面上沿封闭曲线
（
s
s
不经过F (s)
的奇点）
按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在F (s) 平F 面(s)上的映射也是一条封闭曲
（一） G(s)H(s) 与 G(j)H(j)之间的关系
前面曾经指出，频率特性是 sj 特定情况下的传递函数。下面分两种情
况来研究 G(s)H(s) 与 G (j)H (j)之间的关系。
1、当G(s)H(s)在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分
如图4—42所示，（1） 0，s沿负虚轴变化；（2）0 ，s沿
(3)
F
在[GH]平面上的映射如图4—43中曲线（1）。
(1)
s
图4-42 Nyquist轨迹
Im
(1)
GH
(3)
k
0
K
Re
0
Im
(1)
GH
(3)
K
Re
0 0
G H
(2)
G H
(2)
(a)nm
图4-43 s 在GH平面上的映射
(b)nm
（2）当s在S平面正虚轴上变化时，s j
假设复变函数F s 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则
函数,也就是说F s 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析
奈奎斯特稳定性判据课件
在多变量系统和非线性系统的 分析中，奈奎斯特稳定性判据 具有重要的应用价值。
03
判据的数学模型
模型建立
01
02
03
确定系统传递函数
首先需要确定控制系统的 传递函数，包括开环和闭 环传递函数。
绘制极坐标图
将传递函数转换为极坐标 形式，以便于分析系统的 频率响应特性。
确定临界频率
根据系统的开环和闭环传 递函数，确定系统的临界 频率。
。
在生物医学工程、环境 工程等领域，利用奈奎 斯特稳定性判据研究复 杂系统的动态行为和稳
定性问题。
TH 据的未来发展
研究方向
深入研究奈奎斯特稳定性判据 的数学原理，探索其在控制系
统中的更广泛应用。
结合现代控制理论和算法， 发展新的稳定性分析方法。
研究奈奎斯特稳定性判据与其 他稳定性判据的关系，完善稳
定性理论体系。
技术发展
1
利用计算机技术和数值计算方法，提高奈奎斯特 稳定性判据的运算效率和精度。
它提供了一种有效的数学方法来分析系统的动态行为，帮助工程师预测系 统的性能和行为。
判据的应用场景
控制系统设计
在控制系统设计中，奈奎斯特稳 定性判据用于分析控制系统的稳 定性和性能。
通信系统分析
在通信系统中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号传输的稳定性 和可靠性。
信号处理
在信号处理中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号的频域特征和 系统的稳定性。
2
开发适用于不同控制系统的奈奎斯特稳定性判据 分析工具。
3
探索将奈奎斯特稳定性判据应用于非线性控制系 统的方法。
应用前景
01
02
03
在航空航天、电力、化 工等领域，利用奈奎斯 特稳定性判据优化控制 系统的设计和性能。
03
判据的数学模型
模型建立
01
02
03
确定系统传递函数
首先需要确定控制系统的 传递函数，包括开环和闭 环传递函数。
绘制极坐标图
将传递函数转换为极坐标 形式，以便于分析系统的 频率响应特性。
确定临界频率
根据系统的开环和闭环传 递函数，确定系统的临界 频率。
。
在生物医学工程、环境 工程等领域，利用奈奎 斯特稳定性判据研究复 杂系统的动态行为和稳
定性问题。
TH 据的未来发展
研究方向
深入研究奈奎斯特稳定性判据 的数学原理，探索其在控制系
统中的更广泛应用。
结合现代控制理论和算法， 发展新的稳定性分析方法。
研究奈奎斯特稳定性判据与其 他稳定性判据的关系，完善稳
定性理论体系。
技术发展
1
利用计算机技术和数值计算方法，提高奈奎斯特 稳定性判据的运算效率和精度。
它提供了一种有效的数学方法来分析系统的动态行为，帮助工程师预测系 统的性能和行为。
判据的应用场景
控制系统设计
在控制系统设计中，奈奎斯特稳 定性判据用于分析控制系统的稳 定性和性能。
通信系统分析
在通信系统中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号传输的稳定性 和可靠性。
信号处理
在信号处理中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号的频域特征和 系统的稳定性。
2
开发适用于不同控制系统的奈奎斯特稳定性判据 分析工具。
3
探索将奈奎斯特稳定性判据应用于非线性控制系 统的方法。
应用前景
01
02
03
在航空航天、电力、化 工等领域，利用奈奎斯 特稳定性判据优化控制 系统的设计和性能。
自动控制原理精品课程第三章习题解(1)
3-1 设系统特征方程式：4322101000s s Ts s ++++=试按稳定要求确定T 的取值范围。
解：利用劳斯稳定判据来判断系统的稳定性，列出劳斯列表如下：4321011002105100(10250)/(5)100s T s s T s T T s ---欲使系统稳定，须有5025102500T T T ->⎧⇒>⎨->⎩ 故当T>25时,系统是稳定的。
3-2 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为,21(),t t t 和 时，系统的稳态误差(),()().ssp ssv ssa e e e ∞∞∞和22107(1)8(0.51)(1)()(2)()(3)()(0.11)(0.51)(4)(22)(0.11)s s D s D s D s s s s s s s s s ++===++++++解：（1）根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： ()(0.11)(0.51)100.050.6110D s sz s s s =+++=++=由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。
由G(s)可知，系统是0型系统，且K=10，故系统在21(),t t t 和输入信号作用下的稳态误差分别为： 11(),(),()111ssp ssv ssa e e e K ∞==∞=∞∞=∞+ (2)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： 432()6101570D s s s s s =++++=由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且2212032143450,/16.8a a a a a a a ∆=-=>∆>=以及，因此系统是稳定的。
227(1)(7/8)(1)()(4)(22)s(0.25s+4)(0.5s 1)s s D s s s s s s ++==+++++由G(s)可知，系统式I 型系统，且K=7/8,故系统在21(),t t t 和 信号作用下的稳态误差分别为：()0,()1/,()ssp ssv ssa e e K e ∞=∞=∞=∞ (3)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： 32()0.1480D s s s s =+++=由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且21203 3.20a a a a ∆=-=>因此系统是稳定的。
3第三章 4稳定性及其判据
3、线性系统的稳定性
设一线性定常系统原处于某一平衡状态， 若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平 衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有 的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系 统为不稳定。
注意：
线形系统的稳定性取决于系统的固有特征 （结构、参数），与系统的输入信号无关。
对于稳定的线性系统，它必然在大范围内 和小范围内都能稳定。
变了两次，则系统是
s1 2 2
0
不稳定，且有两个正
s0
1
实部根。
例4、已知系统的特征方程式为S 3 2S 2 S 2 0 试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表 由于表中第一列ε上 S 3
面的符号与其下面系数 S 2 的符号相同，表示该方 S1
程中有一对共轭虚根存 S 0 在，相应的系统为（临
列劳斯表
S 4 15S 3 50S 2 20K pS 20K p 0
s4
1
50 20Kp
s3
15
20K p 0
s2
750 20K p 15
20K p
s1
750 20K 15
p
20K
p
15
20K9
(750 20K p ) /15
s0
20K p
欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值
S2
6
16
S1
8
0
3
S0
16
j 2 , j2
F(s) 2s4 12s2 16 2(s4 6s2 8) 2(s2 2)(s2 4) 0
3、赫尔维茨判据
行列式
a1 a3 a5 a7 a9
a0 a2 a4 a6 a8
系统的稳定性判据以及判据讲课文档
第43页，共44页。
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
第44页，共44页。
ZP2N
若Z=0，则闭环系统稳定，
则闭环系统不稳定
Z 0 Z为闭环特征方程正实部根的个数。
第27页，共44页。
例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳定性判 据, 判断系统的稳定性。
已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，
N 1 N 1 NNN0
ZP2N0
闭环系统稳定 。
第28页，共44页。
系统闭环不稳定。
1/T
0
1 0
0 0 0
180
第26页，共44页。
Bode图上的稳定性判据可定义为
一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数 为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相
频曲线与-π线的正负穿越之差N = N+-N-来确定, 即
s
N=0 P=1 Z=P-2N=1 闭环系统有1个右半平面 的特征根
第12页，共44页。
具有单位反馈的非最小相位系统
G(s)K/T ( s1)
试分析闭环系统的稳定性。
P=? N=?
右半侧极点数为1 P=1
逆时针绕（-1，j0）圈 数与K有关
j Im
解：（1）绘制奈氏曲线
G (j)K/(jT 1)K1jT 1T22
已知P=1 ，在L(ω)≥0时
相频曲线有一次从负到正穿越π线
N 1/2
ZP2N0
闭环系统稳定 。
第29页，共44页。
已知P=2, 在L(ω)≥0的范围 内,
N 2 N 1
N N N 2 1 1
第三章 时域分析法(3)稳定性与代数判据
由以上讨论可知：
1、仅当系统的全部特征根具有负实部时， xo (t ) 收敛，系统稳定； 2、当系统至少存在一个正实根或实部为正的复 xo (t ) 发散，系统不稳定； 根时， 3、若存在纯虚根（σk ＝0）， xo (t )等幅振荡， 系统不稳定。
通过以上讨论，我们可以得出这样的结论：
系统稳定的充分必要条件为：系统的全部特征根 具有负实部；或者闭环传递函数的极点全部在 [s]平面左半平面。（P165）
ss lim (t ) lim sE ( s )
t s 0
三、与输入有关的稳态偏差
Xi(s) + E(S) - B(S) H(s) G(s) Xo(s)
E ( s) 1 X i ( s) 1 G( s) H ( s)
ss lim (t )
t
1 lim sE ( s ) lim s X i ( s) s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
1 令K v lim sG ( s) H ( s)，则 ss S 0 Kv K v：速度无偏系数
3、抛物线输入时的稳态偏差和加速度无偏系数
1 s 3 1 s ss lim 2 S 0 1 G ( s ) H ( s ) s G(s) H (s)
1 令K a lim s G ( s) H ( s)，则 ss S 0 Ka
例5，单位反馈系统的开环传递函数为
k Gk ( s) s(0.1s 1)(0.25s 1)
试确定系统稳定的k值的范围。
3.6系统稳态误差分析与计算
一、系统的误差e(t)及偏差 (t ) 二、系统的稳态误差与稳态偏差 三、与输入有关的稳态偏差 四、系统结构对稳态偏差的影响 五、与干扰有关的稳态偏差
稳定性与代数稳定判据PPT讲稿
Thursday, June 25, 2020
7
劳斯判据
二、 劳斯稳定性判据 （一）劳斯判据
设线性系统的特征方程为 a0sn a1sn1 an1s an 0
劳斯阵的前两行由特征方程的系数组成。 第一行为1，3，5，…项系数组成， 第二行为2，4，6，…项系数组成。
劳斯稳定判据：线性系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第 一列各元素严格为正。反之，如果第一列出现小于或等于零的 元素，系统不稳定，且第一列各元素符号的改变次数，代表特 征方程正实部根的数目。
判据对新的特征多项式进行判别，即可检验系统的稳定裕量， 即相对稳定性。若新特征方程式的所有根均在新虚轴之左，则 说明系统至少具有稳定裕量 。
Thursday, June 25, 2020
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例：系统的特征方程为 2s3 10s2 13s 4 0 ，试检验系统 是否具有 1的稳定裕量。
解：首先判别系统是否稳定。 （1）所有系数均大于零。 （2）D2 a1a2 a0a3 10 13 2 4 122 0
s4 3s2 2 0 则有 (s2 1)(s2 2) 0
故系统的纯虚根为
s1,2 j
s3,4 j 2
Thursday, June 25, 2020
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例：系统特征方程为
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表，即
Thursday, June 25, 2020
16
其系数（即4和6）代替第三行全为零的元素，然后继续进行计算
Thursday, June 25, 2020
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可见，系统虽不稳定，但第一列数字元素并不变号，所以 系统没有在右半S平面的根。实际上系统有位于虚轴上的纯虚 根，可由辅助方程求得。
(优选)稳定性分析稳定性判据
一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在
30° 60°之间，而增益裕量应当大于6dB。
例: 一系统开环传递函数为：
Im
G(s)H (s) a
( a 0)
s 1
试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性
2
1
0
Re
G( j)H ( j) a j 1
当 j j0 j0 j 变
化时，系统的幅相曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
第四节 稳定裕量
人们常用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面 上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定 程度。一般来说，G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远， 则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。
一、相位裕量
增益剪切频率 c ：是指开环频率特性(jω)H(jω） 的幅值等于1时的频率，即
P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
a.若P=0，且 N=0，即曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且N=P，即曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭 环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PN
c.若曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上。
（优选）稳定性分析稳定性判 据
1
二、奈魁斯特稳定性判据
1、线性系统的特征方程
运动方程一般形式： r(t)——输入 c(t)——输出
an
d n n c(t) dt n
a n-1
d n-1n-1c(t) dt n-1
a1
dc(t) dt
a 0c(t)
30° 60°之间，而增益裕量应当大于6dB。
例: 一系统开环传递函数为：
Im
G(s)H (s) a
( a 0)
s 1
试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性
2
1
0
Re
G( j)H ( j) a j 1
当 j j0 j0 j 变
化时，系统的幅相曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
第四节 稳定裕量
人们常用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面 上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定 程度。一般来说，G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远， 则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。
一、相位裕量
增益剪切频率 c ：是指开环频率特性(jω)H(jω） 的幅值等于1时的频率，即
P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
a.若P=0，且 N=0，即曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且N=P，即曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭 环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PN
c.若曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上。
（优选）稳定性分析稳定性判 据
1
二、奈魁斯特稳定性判据
1、线性系统的特征方程
运动方程一般形式： r(t)——输入 c(t)——输出
an
d n n c(t) dt n
a n-1
d n-1n-1c(t) dt n-1
a1
dc(t) dt
a 0c(t)
3.5赫尔维茨(Hurwitz)稳定判据
3.5.2 赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据
赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据
系统特征方程的一般形式为：
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
各阶赫尔维茨行列式为：
D0 a0 D1 a1
（一般规定 ） a0 0
D2
a1 a0
a3 a2
a1 a3 a5 D3 a0 a2 a4
aa13d?ad?ad?00112aa02aaa??a1352n?1aaa135aaa??a0242n?2d3?a0a2a4d0a1a3??a2n?3n0aa??a0aa022n?413??????000??an赫尔维茨hurwitz稳定判据系统稳定的充分必要条件是
第三章 线性系统时域分析法
3Байду номын сангаас5 线性定常系统的稳定性分析和稳定判据
例：系统特征方程为： 2s4 s3 3s2 5s 10 0
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
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D(s) 2s4 s3 3s2 5s 10 0 解： 第一步：由特征方程得到各项系数
a0 ２ a1 １ a2 ３ a3 ５
第二步：计算各阶赫尔维茨行列式
a4 １０
D0 a0 2
D1 a1 1
D2
a1 a0
a3
1
a2 2
5 3
1 3 2 5 7 0
结论： 系统不稳定。
0 a1 a3
a1 a3 a5 a2n1
a0 a2 a4 a2n2
0 Dn 0
a1 a0
a3 a2n3 a2 a2n4
0 0 0 an
赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据
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例3-6 系统的特征方程如下, 判断系统的稳定性。
s 3 2s 2 s 2 0
解：列劳斯表
s 2 s 1 s s0
3
1 1 2 2
劳斯表第一列 出现零元素系 统一定不稳定
第1列各元中的上面和下面的系数符号 不变，故有一对虚轴上的根。临界稳定 将特征方程式分解，有
2
(s2 1) s 2 0
应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否 稳定，还可以方便地用于分析系统参数变化对 系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参 数范围。
2014年11月15日
第三章 自动控制系统的时域分析
例3-8 系统的闭环传递函数为。 KK WB s T1s 1T2s 1 T3s 1 K K 式中，Kk为系统的开环放大系数。试求使得系 统闭环稳定时 Kk 的取值范围 。 解：系统特征方程为
计 算 数 据
sn s n 1 s n2 s n 3
}
b1 b2
原 始 数 据
c2 c3
- 1 a1 c1 = b1 b1
1 a1 c2 b1 b1
2014年11月15日
a3 b2
a5 b3
s2 s
1
e1 f1 g1
e2
s0
1 a0 b2 a1 a1
第三章 自动控制系统的时域分析
下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通
过求解这个辅助方程得出。
2014年11月15日 第三章 自动控制系统的时域分析
例3-7 系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统 的稳定性。
s 6 2s 5 8s 4 12s 3 20s 2 16s 16 0
解：列劳斯表
s6 s5 s4 s3
５. 谢绪恺判据
系统的特征方程式： a0 sn a1sn1 an1s an 0， n 3 上式根全部具有负实部的必要条件为 其根全部具有负实部的充分条件为 1976年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条 件放宽为
0.465ai ai 1 ai 1ai 2 (i 1, 2, , n 2)
0.5
Amplitude
0.2
0
2
6 0.4 0 -0.5 0.3 -0.2 -2 4 0
0.2
-0.4 -1
-4 2 -6
0.1
-0.6
0
0
1
2014年11月15日
2 3 4 5 6 Time (sec)
-0.8
-1.5 0 5 10 15 Time (sec) 20 25 30
0
5
10
15
20 Time (sec)
s 4 2s 3 s 2 2s 1 0
解：列劳斯表
s4 s3 s1 s0 1 2 2 1 2 1 2 1 1
s2 0
系统闭环极点： -1.8832 0.2071 + 0.9783i 0.2071 - 0.9783i -0.5310
第一列元素变号两次，系统不稳定，有两个根具有正实部 2014年11月15日 第三章 自动控制系统的时域分析 。
解得根为 p1, 2 j1 ,
p3 2
2014年11月15日
第三章 自动控制系统的时域分析
c. 劳斯表的某一行所有元全为零
这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。
例如
p , p j, p j
显然，系统是不稳定的。 处理方法：利用全 0 行的上一行各元构造一个辅 助方程，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的 系数代替劳斯表中的这个全 0 行，然后继续计算
3 2 TT T s TT TT T T s 1 2 1 3 2 3 T1 T2 T3 s 1 KK 0 1 2 3
2014年11月15日
第三章 自动控制系统的时域分析
列劳斯表，整理得系统稳定的充要条件是：
T1 T2 T3 T2 T3 T1 0 Kk 2 T2 T3 T1 T1 T2 T3
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 8 20 16 0
结论：劳斯表第1列元素没变号，可
2 12 16 1 6 8 4 12 3 4 3 8 8
确定在S右半平面没有特征根。但由
于有为零行，表示在虚轴上有根。系 统临界稳定状态。 系统极点： 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 第三章 自动控制系统的时域分析 0.0000 - 1.4142i
2014年11月15日
第三章 自动控制系统的时域分析
4. 胡尔维茨判据
系统的特征方程式的标准形式：
a0 sn a1sn1 an1s an 0， a0 0
a1 a0 a3 a2 a1 a0 0 a5 a4 a3 a2 0 0 0 0 0 0 an
第三章 自动控制系统的时域分析
数学意义上的稳定概念
设线性定常系统在初始条件为零时，输 入一个理想单位脉冲 (t )， 这相当于系统在 零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，
如果当 t 趋于 ∞ 时 ， 系统的输出响应 xc(t) 收
xc (t ) 0 敛到原来的零平衡状态，即 lim t
2014年11月15日
第三章 自动控制系统的时域分析
7. 相对稳定性和稳定裕量
代数稳定判据只能给出
稳定还是不稳定
2014年11月15日
对称于原点的根还可以由辅助方程式求出。 辅助方程式为：
p(s) s 6s 8＝0
4 2
p( s) s 4 6s 2 8＝ s 2 2 s 2 4 0
由之求得特征方程式虚根为
p1,2 j 2 , p3,4 j 2
6 14 7
7
s3 s2 s1 s0
劳斯表第一列的系数变号两次，系统不稳定，有2右半面的根。
2014年11月15日 第三章 自动控制系统的时域分析
b.劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余项不全为零
处理方法：可以用一个小的正数代替它，而继续计算其余 各元，再用劳斯判据。 例3-5 系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。
据实质是一致的。
2014年11月15日 第三章 自动控制系统的时域分析
胡尔维茨稳定判据的特点：
1、不必计算可直接写出D阵．
２、只能给出系统稳定与否的信息，而不能给出 系统特征根分布情况。 ３、当n 较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加， 所以它通常只用于 n 6 的系统。
2014年11月15日
第三章 自动控制系统的时域分析
第三章
自动控制系统的时域分析
(12学时) 信息学院
二○一四年十月
2014年11月15日 第三章 自动控制系统的时域分析
3.5 自动控制系统的代数稳定判据
1、稳定的基本概念 定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离 了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够 逐渐恢复到原来的平衡状态（或达到新的平衡状 态），则称该系统是稳定的。否则，称该系统是不
稳定的。
注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只 取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
2014年11月15日 第三章 自动控制系统的时域分析
稳定与不稳定系统的示例
物理意义上的稳定概念
d
A
f
c
f
A'
A
f
A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
图c 小范围稳定系统
2014年11月15日
（不包括虚轴），即
R e [ p j ] 0
2014年11月15日
第三章 自动控制系统的时域分析
3. 劳斯稳定判据(Routh’s
stability criterion)
由以上讨论可知：判稳先求根。但是，对高 阶系统，在求根时将会遇到较大的困难。人们希 望寻求一种不需要求根而能判别系统稳定性的间 接方法，例如:直接用系数就可以判断系统的稳定 性。而劳斯判据就是其中的一种。
与劳斯表中第1列的系数比较，存在如下关系：
b1 D2 / D1 , c1 D3 / D2 , g1 Dn / Dn1
a3 a2 a1
a5 a 4 0, , D n D 0. a3
若 b1 , c1 ,
g1 均为正，则D1，D2，…，Dn自然也都为
正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判
1 8 20 16 2 12 16 0 2 12 16 0 0 0
4 2
劳斯表出现 零行系统一 定不稳定！
用为零行的上一行构造辅助方程：
p(s) s 6s 8
2014年11月15日 第三章 自动控制系统的时域分析
对辅助方程求导得：导函数为
dps 4s 3 12s ds
用导函数的系数代替行为零元继续算下去，得劳斯表
该系统就是稳定的。
2014年11月15日 第三章 自动控制系统的时域分析
五种运动状态（脉冲输入时）
xc (t ) i e
i 1 q i t
Ak e
k 1
r
k k t
sin(dk t k )
j j
j
j
j
0
0
0
0
0
Impulse Response 1 1.2
（2）劳斯判据(三种情况）：
a.劳斯表第一列所有系数均不为零
系统特征方程的全部根都在S左半平面（系
统稳定）的充分必要条件是劳斯表的第1列系