专题11+空间中的平行与垂直(教学案)-2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破

【2018年高考考纲解读】

高考对本内容的考查主要有：

(1)主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求

(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求

【重点、难点剖析】

1．直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2．平行关系的转化

两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．

3．直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

4．垂直关系的转化

与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．

在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.

【题型示例】

题型一空间几何体的结构及其三视图

例1. 【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

【答案】B

【变式探究】(2015·北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

解析四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝12＋12＋12＝ 3.

答案 C

【变式探究】(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.13＋2π

B.13π6

C.7π3

D.5π2

解析 该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成，其体积为V ＝π×12

×2＋12×13π

×12

×1＝2π＋π6＝13π6

.

答案 B

题型二 空间几何体的表面积

例2. 【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．

【答案】36

【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )

A.1

B.2

C.4

D.8 解析由题意知，2r·2r＋1

2

·2πr·2r＋

1

2

πr2＋

1

2

πr2＋

1

2

·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，∴r＝2.

答案 B

【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，10)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

答案 C

3.(2015·安徽，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )

A.1＋ 3

B.1＋2 2

C.2＋ 3

D.2 2 解析 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示. ∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34

×(2)2

＝2＋

3，故选C.

答案 C

题型三 几何体的体积

例3. 【2017山东，文13】由一个长方体和两个1

4

圆柱构成的几何体的三视图如图,

则该几何体的体积为 .

【答案】π2

2

+

【变式探究】【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则

1

2

V V 的值是 ▲ .

【答案】

32

【解析】设球半径为r ，则

213223423

V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 【变式探究】(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，

PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．

(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．

如图，取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3

得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2

－BE 2

＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝1

2×4×5＝2 5.

所以四面体N BCM 的体积