第六章(4) 曲线测设

8.7 103 mm
4．圆曲线参数方程 坐标系同前：
xi R sin i m yi R(1 cosi ) P
式中：i
180
R
(li
l0 ) 0
0
l0 2R
β、m、p为缓和曲线参数
若αi以弧度表示，并顾及
0
l0 2R
，则有：
i
li
l0 R
0
li
l0 R
l0 2R
li
0.5l0 R
y li3 li7
li11
6Rl0 336R3l03 42240R3l05
实际应用中，取：
x li
li5 40R 2 l02
y li3 6Rl0
显然，上式是交错级数，且各项的绝对值又依次递减，故 其截断误差可按下式估算：
Rn1x
l 2n1
0
(2n)!(2R)2n
(4n
1)
Rn1 y
2
q 2T L
（二）主点里程计算 ZY里程＝JD里程－T YZ里程＝ZY里程＋L QZ里程＝ZY里程＋L/2 JD里程＝QZ里程＋q/2＝ZY里程＋T
例. 如图,已知铁路线路转点ZD的里程为K125+032.58 ，
其它已知数据如表中所列，试计算各主点的里程。
点号
ZD JD1 JD2
表1 曲线资料
代入上式得：
xi
R sin(li
0.5l0 R
)m
yi
R1 cos(li
0.5l0 R
)
p
上式按台劳级数展开，略去高次项有:
xi
li
0.5l0
(li
0.5l0 )3 6R2
m
yi
(li
0.5l0 )2 2R
(li
0.5l0 )4 24 R3
p
（二）缓和曲线主点测设
1．主点里程计算：
（2）坐标计算
xi R sin i
yi R(1 cosi )
i
Li
•180
R
（3）测设方法？ 优点：各点测设相互独立，不产生误差积累 缺点：检核条件少
4、极坐标法 根据仪器点和待测点的坐标，计算距离和方位角，
然后直接测设的方法，是目前应用最广泛的方法。 5、RTK法（坐标转换）
二、复曲线测设 两条或两条以上半径不同的同向圆曲线组成的曲线称为复 曲线。 切基线法 JD1～JD2为切基线，GQ为主副曲线的公切点
ZH点里程=JD里程-T
HY里程=ZH点里程+l0 QZ里程=HY点里程+l/2
YH里程=HY里程+l
HZ里程=YH里程+l0 JD里程=QZ点里程+q/2（检核用）
2．测设步骤： 1）以R、l0为引数，查表得HY、YH点坐标值x0、y0 2）将仪器置于JD点，沿切线方向量出切线长T得ZH和HZ两点。
R c L
式 中 ： c—— 螺 旋 曲 线 参 数 ， 称为曲率半径变化率 R′——任意点的曲率半径 在缓和曲线与圆曲线的交点， 其曲率半径应等于圆曲线半径
c＝R′l＝R.ls ls——缓和曲线全长 2、缓和曲线要素及参数 当圆曲线两端加入缓和曲线后，圆曲线 应内移一段距离P，这时曲线加长m值,内 移圆曲线在我国采用移动圆心的方法
（4）将仪器迁至HY点上，以ZH
或 HZ 定 向 ， 使 水 平 度 盘 读 数 为
360°-（β0-δ0） （5）转动照准部使水平度盘读
数为零，此时视线方向即为HY点的
切线方向 ；
（6）再转动望远镜δ1角，在 视线方向量出L1即得圆曲线上的 点，同理可得其它点，直到QZ
（7）同理再将仪器置于HZ、
dx dl • cos
dy dl • sin
式中：β为l的函数 根据弧长与半径的关系有：
d dl l.dl
R C
对上式积分得： l 2
2C
缓和曲线上任意点的坐标为：
x
l
cos .dl
l cos( l 2 ).dl
0
0 2C
y
l
sin .dl
l
sin(
l2
).dl
0
0 2C
1．切线支距法 以ZH点（或HZ点）作为坐标原点，过ZH点的切线及半径分 别为x轴和y轴。利用综合曲线上各点的x、y坐标测设曲线。
xi
li
0.5l0
(li
0.5l0 )3 6R2
m
yi
(li
0.5l0 )2 2R
(li
0.5l0 )4 24 R3
p
2．偏角法
利用方向和距离交会的方法来放样曲线点。
2
α,R——线路转向角和圆曲线
曲线长：
L
R( 20
180
)
2l0
外
点：
E
(R
P) sec
R
2
切曲差：q 2T L
半径 l0——缓和曲线长度 m——加设缓和曲线后使切线
增加的距离 P——加设缓和曲线后圆曲线
相对于切线的内移量
β0——HY点（或YH点）的缓和曲线角度（缓和曲线角， 过HY点切线与过ZH点的切线的交角）
YH可放出另半条曲线（此时偏角
的拨动方向是反拨）
注意：在测设中随时检查与各主
点的符合程度，若在闭合差内可 进行分配处理
四、困难地段的曲线测设 由于地形复杂，使得线路交点，曲线主点不能设站，或放 样视线受阻，必须采用其它方法进行放样
（一）虚交 是指线路交点JD不能设桩或安置仪器，此时可选用副交点 的方法去解决 步骤：
(2n
l 2n2
0
1)!(2 R) 2 n1
(4n
3)
［例］已知某曲线设计时选配的圆曲线半径R = 200 m，
缓和曲线长l0 = 70 m，若n=2试按上式估算坐标计算的截 断误差。
[解]
R3 x
705 4!4004
1000 9
3.0 101 mm
R3 y
706 5!4005
1000 11
QZ2
DK126+780.63
+L2/2
111.29
YZ2
DK126+891.92
检核计算：
ZY1
DK125+920.72
+2T1
289.22
DK126+209.94
-q
7.68
YZ1
DK126+202.26
ZY2 +2T2
-q YZ2
DK126+669.35 226.32
DK126+895.67 3.75
曲线测设
曲线种类
平曲线（圆曲线、缓和曲线、回头曲线等） 曲线
竖曲线
圆曲线：具有一定半径的圆弧；分单圆曲线、复曲线。 缓和曲线：曲率半径从无穷逐渐变到圆曲线半径R。 回头曲线：有时线路一次改变方向180度以上，设置回 头曲线。 竖曲线：连接不同坡度曲线。
圆曲线的测设
1 主点测设 2 详细测设
主点测设：在地面上标定出不同线型的分界点及曲中点。 曲线详细测设：测设出具有一定密度的线路中线点。
加缓和曲线后曲线的变化
我国采用的方法：
圆曲线R半径不变, 圆心内移, 插入缓和曲线
变化1：
圆心移动
变化3：
R
变化2：
曲线总长 度增加l0
圆曲线减
短l0
（1）有缓和曲线的主点
由原来的三个增加到五个：
ZH（直缓点） HY（缓圆点）
QZ（曲中点） YH（圆缓点）
HZ（缓直点）
切线长：T
m
(R
P)
tan
3）将仪器转动（90°-α/2）量 E得QZ点 4）根据x0、y0由JD沿切线方向分 别量T- x0得(HY)′、(YH)′点， 过该两点作切线的垂线，在线上 量出y0，即得HY和YH点。
如果采用全站仪进行测设，可按上式计算各主点坐标（一般 有程序），通过坐标计算出角度，直接进行测设。 （三）缓和曲线详细测设
按级数展开上式，并积分得：
x
l
l5 40C 2
l9 3456 C 4
y l l 4 l 6C 336 C 3 42240 C 5
将C=R.l0代入得：
x
li
li5 40 R 2l02
li9 3456R4l04
铁路或汽车专用公路设计 中，圆曲线半径一般要大 于200m，因此式中的n值 通常取2
θ
（1）在切线上选定A、B两点作为副 交点，并测出αA、 αB及AB间的距离SAB
（2）解算ΔABC求出SAC和SBC （3）由A、B分别沿切线方向量出 （T-SAC）或（T-SBC）即得ZY和YZ点
（4）计算AD边长和与AC的夹角
AD AC2 CD2 2AC.CD.cos AC2 E2 2AC.E.cos
i
1 2
i
Li •180
2R
弦长：ci 2R sin i
Li——曲线长度，可根据里程确定 （2）施测方法 1）将仪器置于ZY，后视JD，转动δ角 2）顺视线方向量出c1，即得1点 3）转动照准部，使度盘读数为2点偏角 值，顺视线方向由1点量出c1与视线相 交得2点 注意：在测设中一般采用等弧长设置， 即Li是等量增加的 2、切线支距法 （1）原理 以曲线起点ZY（或YZ）为原点，以切线 作x轴，过原点的曲线半径为Y轴，计算 出待测点的坐标X、Y进行测设的方法。
l12 6Rl0
: l22 6Rl0
l12 : l22
上式表明，各点的偏角值与该 点距起点的曲线长的平方成正 比，且等于该缓和曲线转角的 三分之一。
当取整桩测设时，有：li=il1（i=2……n） 各 偏 角 为 ： δ2=22δ1 ， δ3=32δ1 ， δ4=42δ1 ， …… δn=n2δ1= δ0
12.65
3.75
里程推算：
ZD
DK125+032.58
+（D1-T1）
888.14
ZY1
DK125+920.72
+L1/2
140.77
QZ1
DKI26+061.49
+L1/2
140.77
YZ1
DK126+202.26
+（D2-T1-T2）
467.09
ZY2
DK126+669.35
+L2/2
111.28
(1)偏角和距离的计算
1）缓和曲线
如图所示，i点为缓和曲线上任意一点，i点与ZH点的连线与
切线的夹角即为该点的偏角δI，由于δI较小，故：
i
yi xi
li3 6li Rl0
li2 6Rl0
1 . li2 3 2Rl0
1 3
i
x li
li5 40R2l02
li
y li3 6Rl0
0
1 3
0
1 :2
（四）圆曲线的详细测设(其它点的测设)
测设方法：
（1）偏角法
（2）切线支距法
（3）弦线支距法 （4）弦线偏距法
（5）极坐标法 （6）RTK法
1、偏角法
（1）原理
采用圆曲线上切线与弦线的夹角δi
为对应圆心角的一半，通过圆的关系求
出弦切角和弦线长度，进行测设的方法：
i
1 2
i
Li •180
2R
弦长：ci 2R sin i
原曲线半径R （m）
转向角α （°’ ”）
500
32 15 43
500
25 30 16
水平距离D （m）
1032.75
724.86
点号
JD1 JD2
表2 曲线要素计算表
切线长T 曲线长L 径外矢距E 切曲差q
（m） （m）
（m）
（m）
144.61 281.54
20.49
7.68
113.16 222.57
圆曲线的测设
一、圆曲线的测量三要素：圆曲线的起点ZY，中 点QZ和终点YZ
放样元素 （1）曲线半径R （2）偏角（即曲线转向角）α （3）切线长T （4）曲线长L （5）外点矩E（6）切曲差q
2、各要素计算 R为设计确定，α是线路定测时确定的
T R • tan
2
L 源自文库• • R
180
E R(sec 1)
（2）圆曲线偏角计算
由于测设时一般将仪器安置在HY点（或YH点）上，各偏角都 是该点与HY点（或YH点）的连线与过 HY点的切线所夹的角，其偏角为
i
li .180
2R
2．测设步骤：
（1）按上述公式计算偏角
（2）将仪器置于ZH点上，以JD定向并将度盘归零
（3）拨δ1角，在视线上量l1得1，继续转动δ2角，由1点量 取l1与视线相交得2点（或直接从ZH点量l2得2点），依次放 出各点，最后放出HY点，检查是否相符
β0
Y
R
ZH
P
m
y0 x0
5.切垂距 m = x0 Rsinβ0
缓和曲线偏角
0
arctg
y0 x0
1 3
0
δ0
b0
7.缓和曲线反偏角 X b0 = β0 δ0
0
l0 2R
•
m l0
l
3 0
2 240 R2
p
l
2 0
l04
l02
24 R 2688 R3 24 R
3、缓和曲线参数方程 以ZH点为原点，过ZH点缓和曲线切 线为x轴，ZH点上缓和曲线的半径为 y轴的坐标系。
步骤： （1）计算T1，T2 （2）在JD1安置仪器测出ZY和GQ （3）在JD2安置仪器测出GQ和YZ，并 检核GQ的正确性 （4）其余曲线点可用前面的方法测 出
三、缓和曲线的测设 在直线与圆曲线间插入一段半径由∞逐渐变化到R的曲线， 这种曲线称为缓和曲线。 形式：螺旋线（回旋线，我国采用）、三次抛物线、双纽线 等 （一）缓和曲线参数及应用公式 1、螺旋线的基本公式 特征：曲线上任意一点的曲率半径与该点至起点的曲线长成 反比，即：
DK126+891.92
（三）主点放样 步骤： （1）仪器安于JD点，瞄准线路前进方向的后方，沿视线方向 量切线长T，即得ZY点 （2）同理瞄准前进方向，在视线上量T可得YZ点
（ 3 ） 后 视 YZ （ ZY ） 转 拨 β ＝ （ 180º-α ） /2 ， 沿 视 线 方向量出E，即得QZ
（ 4 ） 在 ZY （ 或 YZ ） 上 安 置 仪器，检查∠JDZYYZ是否为 α/2 ， 和 ∠ JDZYQZ 是 否 为 α/4