常微分方程 第三讲：齐次方程

2
二、变量可分离方程的微分形式
变量可分离方程的微分形式是指
M (x)N( y)dx P(x)Q( y)dy 0, (3) 这里x, y的地位是平等的。 显然若P(x)Q( y) 0,则（3）化为
dy M (x) N ( y) . dx P(x) Q( y)
西
当N( y)P(x) 0时,(3)两端同除以N( y)P(x)直接化为
若f (x, y) 0 f (x, y),对任意 0均成立，
则：f (x, y) x0 f (1, y ) g( y )恰为齐次方程。
x
x
西
南
科
技
大
学
Next
理
学
院
11
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解
令u

y， x

dx xy

y2

dy 2y2
. xy
解
dy dx

2y2 x2 xy
xy y2

2 1
y 2
x


y x
y


y
2
,
x x
令u y , x
则 dy xdu udx,
西 南 科
u

xu

2u 2 1u

u u2

x du dx

3u2 2u u3 1 u u2
(b) a1 a2 0(或者b1 b2 0)时，
西 南
(c)
a1 a2
b1 b2
0,即：a1=a2，b1=b2时，
科 技 大 学 理 学 院
其中： a1 a2
b1 b2
a1b2 a2b1,
17
例: 求 dy x y 1 的通解. (P21, eg2.) dx x y 3
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
dx g(u) du 0,
西
x u[ f (u) g(u)]
南
科 技 大 学 理
通解为
ln |
x | u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C.
学
院
6
四、齐次方程
1.定义：形如 dy f ( y ) 的微分方程称为 dx x
则
dy

xdu

udx，
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
西 南 科 技 大 学
微分方程的解为 sin y ln x C . x
理
学
院
12
例2
求解微分方程
x2
南
科 技 大 学
M (x) dx Q( y) dy 0. P(x) N(y)
理
学
院
3
三、可化为变量可分离方程的方程
(1) dy f (ax by c) dx
(2)
dy dx

1 x2
f (xy)
dy
y
(3) xf ( )
dx
x2
西
南
科
技
大
学
理
学
院
4
归纳总结( y：2 我x们y2 )可dx以借(x助2 于yx其2 )它dy变换0,， 将某些形y(式1) 的 方1程化为变量可分离方程。
练习： 试求解微分方程： dy x y dx
西 南 科
思考：求方程 f (xy)ydx g(xy)xdy 0 通解。
技
大
学
理
学
院
5
例：求方程 f (xy)ydx g(xy)xdy 0 通解.
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)x du ydx 0, x
x
x
例3.求解一阶非线性微分方程：
x2
dx xy
y2

dy 2 y2 xy .
西
例4.求解一阶非线性微分方程：
南
科
x
x
技 大 学
(xye y y2 )dx x2e y dy 0
理
学
院
10
归纳总结：齐次方程的数学特征？？？
dy f (x, y) g( y ).
dx
x
f(x,y)满足 什么条件？
dx
a2 x b2 y
西 南 科 技 大 学
记： a1 a2
b1 b2
a1b2 a2b1,
理
学
院
15
(II)当c12 c22 0, 0时, 线性方程组：
aa12xx
b1y c1 0 b2 y c2 0
有唯一解：xy

x0 y0
分离变量法得
X 2(u2 2u 1) C, 即Y 2 2XY X 2 C, 将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C,
西
南
科 技
或 x2 2xy y2 2x 6 y C1.
由32hh

3k 2k

7 8

0 0

h k

2 , 1
令 X 2, Y 1
dY dX

2X 3X

3Y 2Y

2 3
3Y X
2Y
,
X
西 南 科
令u Y X

3 2u 2(1 u2
)
du

dX X
技
大
学
理
学
院
22
两边同时积分得
,
技
大
学 理
若u(u 1)(u 2) 0,则
学
院
13
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
西
南
科 技
在u 0,1, 2时，u(u -1)(u - 2) 0,试讨论可能丢失的特解。
大
学
理
学
院
14
五、第二类可化为齐次的方程
形如 dy f ( a1x b1y c1 )的微分方程
dx
a2 x b2 y c2
(I)当c1 c2 0时,方程变为齐次方程：
dy f ( a1x b1 y )
dx
代入原式 u x du f (u), dx
西 南
即 du f (u) u .
dx
x
科
技
大
学
理
学
院
可分离变量的方程
8
当 f (u) u 0时,
得

f
du (u)
u

ln C1 x ,
即
x Ce(u) , （ (u)
du ） f (u) u
将 u y 代入, x
4
y5

4
y 5dy

2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f (x)dx
分离变量法
西
南 科
设函数G( y)和F(x) 依次为 g( y) 和 f (x) 的原
技
大 学
函数, G( y) F(x) C (**) 为微分方程的解.
理
学
院
西
南
科
技
大
学
理
学
院
24
六、小 结
齐次方程: dy f ( y ). dx x
齐次方程的解法: 令 u y . x
西
可化为齐次方程的方程
令

x y

X Y

x0 y0
.
南
科 技
** 借助于一些变量代换，可将某些形式
大 学
的方程化为可求解的方程。
理
学
院
25
作业: P22 T1.(2)(4)(6), T2
1 u (1 u)5

CX 4 ,
变量还原后得通解
x2 y2 3 C( x2 y2 1)5 ( x2 2)4 .
西
南
科
技
大
学
理
学
院
23
拓展思维训练题：
试求具有性质： x(t s) x(t) x(s) 1 x(t)x(s)
的函数 x(t), 已知 x '(0) 存在。
第三讲 齐次方程
一、上节回顾：变量可分离方程
可化为变量可 分离方程的方程
二、齐次方程
三、可化为齐次的方程
西
南 科
四、小结
技
大
学
理
学
院
1
一、可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f (x)dx（*）(或 dy f (x)g( y)) dx
的方程，称为可分离变量的微分方程。
例如
dy

2x2
7x 8y
.
解
ydy 2 x2 3 y2 7

xdx

3x2

2y2

, 8

d d
( (
y x
2 2
) )

2x2 3x2

3 2
y2 y2

7 8
,
令 x2, y2,
西
南 科 技
d 2 3 7 ,
大 学
d 3 2 8
理
学
院
21
再令 x 2z u
du 6 , dx 3 2u
西 南
两边积分后得 3u u2 6x C,
科
技
大 学
变量还原得 3( x 2sin y) ( x 2sin y)2 6x C.
理
学
院
20
思考题：
求解微分方程
y

2 x 3 3 xy2 3x2 y 2y3
西
南
科
技
大
学
理
学
院
26
大
学
理
学
院
19
例 求解微分方程
( x 2sin y 3)dx (2x 4sin y 3)cos ydy 0
解 ( x 2sin y 3)dx (2x 4sin y 3)d(sin y) 0
令 sin y z dz x 2z 3 , dx 2x 4z 3
我们如果作变量代换：Y齐X 次yx方程yx00
西 南 科
则原方程可变为： dY f ( a1X b1Y )
技 大
dX
a2 X b2Y
学
理
学Βιβλιοθήκη Baidu
院
16
(III)当c12 c22 0, 0时,分以下情况讨论： (a) a1 b1 0(或者a2 b2 0)时，
解
1 1

2 0,
11
方程组
x x

y y
1 3
0 0,
x0 1, y0 2,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得:
西 南 科
dY X Y , 令u Y ，
技 大
dX X Y
X
学
理
学
院
18
方程变为 u X du 1 u , dX 1 u
一阶齐次微分方程，简称齐次方程.
eg1: dy x y
dx x y
西 南 科 技 大 学 理
eg2 : dy

x2

y2 sin
y x
dx x2 y2 cos y
学 院
x 7
齐次方程的求解思路：
作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du ,
dx
得通解
x

(
Ce
y) x
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
西 南 科
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
技
大
学
理
学
院
9
例1. 求解微分方程 x2 dy xy y2（. P17 eg1） dx
例2. 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.