2018届高三12月月考数学(文)试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】=,所以故选B2. 在复平面中，复数的共轭复数，则对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】=则对应的点为，此点在第一象限.故选A3. 在等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】等差数列中，可得，则，当时，最小，又，所以当n=8或n=7时前n项和取最小值，故选B．4. 下列命题正确的是（）A. 存在，使得的否定是：不存在，使得B. 对任意，均有的否定是：存在，使得C. 若，则或的否命题是：若，则或D. 若为假命题，则命题与必一真一假【答案】A【解析】A选项命题的否定是：对任意，均有，即：不存在，使得，所以A正确；B选项命题的否定是：存在，使得，所以B错；C选项否命题中“或”应是“且”，所以C错；D选项命题A与B都是假，所以D错；故选A．5. 在平面直角坐标系中，向量，，若，，三点能构成三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若M，A，B三点能构成三角形，则M，A，B三点不共线；若M，A，B三点共线，有：，．故要使M，A，B三点不共线，则.故选B．6. 设函数，则“函数在上存在零点”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为若函数在上存在零点，又，则在(2，8)上递增，则，则，故不一定；反过来，当，得，则函数在(2，8)上存在零点，故选B．7. 若，满足约束条件，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，8. 如图，设网格纸上每个小正方形的边长为，网格纸中粗线部分为某几何体的三视图，那么该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】该几何体为由一个矩形底面、两个等腰梯形和两个等腰三角形组成侧面的几何体，其中，底面积为，两个梯形面积是，两个三角形面积是，所以表面积为.故选B．9. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求和B. 求和C. 求和D. 求和【答案】D【解析】由题意可知，算法的功能为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选D．10. 已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，若一个半径为的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为球O与正四棱锥所有面都相切，于是由等体积法知.故选B．11. 已知为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】延长交于点，由角平分线性质可知|，根据双曲线的定义，，从而．在中，因为O，H是中点，所以OH为其中位线，故，又，所以，∴.故选D．点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，结合角平分线和垂线可分析出是等腰三角形，利用双曲线的定义，三角形中位线可得出，从而建立等式，解出离心率，属于中档题.12. 已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，，于是图象如图所示，又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，所以，所以零点之和为.故选A．点睛：本题主要考查函数的零点问题，根据条件判断函数的周期性，对称性，以及利用方程和函数之间的关系进行转化是解决本题的关键．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，角,,的对边分别为,,，若，，，，则角的大小为__________．【答案】【解析】由正弦定理知，解得，又，所以为锐角，所以A=．故答案为14. 若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的渐近线方程是__________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，圆的圆心为(2，0)，半径为1，因为相切，所以，所以双曲线C的渐近线方程是：．故答案为.15. 设函数若且，，则取值范围分别是__________．【答案】【解析】由知，在递增，在递减，且最大值为因为，得b在递减区间，所以，又若，所以．故答案为16. 已知函数，且点满足条件，若点关于直线的对称点是，则线段的最小值是__________．【答案】...............即，圆心，半径即满足的条件；又点关于直线的对称点是，所以最小值为.故答案为.点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查圆的方程，点关于直线的对称点，两点间距离的最小值求法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角所对的边分别是且，；等差数列的公差 .（Ⅰ）若角及数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由得可得，又等差数列的公差=2，可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得得，设,利用错位相减法可得数列的前项和.试题解析：（Ⅰ）由题意，，又等差数列的公差．（Ⅱ）由，设，则，，相减得，则.18. 某市初三毕业生参加中考要进行体育测试，某实验中学初三（8）班的一次体育测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的涂黑，但可见部分如图，据此解答如下问题.（Ⅰ）求全班人是及中位数，并重新画出频率直方图；（Ⅱ）若要从分数在之间的成绩中任取两个学生成绩分析学生得分情况，在抽取的学生中，求至少有一个分数在之间的概率.【答案】（1）73（2）0.6【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分数在[50，60）的频率为0.008×10，和由茎叶图知分数在[50，60）之间的频数为2，得到全班人数，由茎叶图知，25个数从小到大排序第13个数是73，所以中位数是73，频率直方图见解析；（Ⅱ）将之间的4个分数编号为1，2，3，4，之间的2个分数编号为N，M，列举出在，之间的学生成绩中任取两个分数的基本事件共15个，其中，至少有一个分数在之间的基本事件共9个，故概率即可求得.试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知，分数在之间的频数为2，频率为，全班人数为；由茎叶图知，25个数从小到大排序第13个数是73，所以中位数是73，频率分布直方图如图3所示．（Ⅱ）将之间的4个分数编号为1，2，3，4，之间的2个分数编号为N，M，在，之间的学生成绩中任取两个分数的基本事件为：，共15个，其中，至少有一个分数在之间的基本事件：，有9个，故至少有一个分数在之间的概率是．19. 如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点.（Ⅰ）问：上是否存在点使得平面？请说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）可先猜测E是的中点，再证明，由题意推导出四边形AOED是平行四边形，由此能证明DE∥平面ABC；（Ⅱ）鱼被捕的概率等于1减去四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比，由此求出四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积,即可得出结果．试题解析：（Ⅰ）存在，E是的中点．证明：如图连接∵分别为的中点，∴，又，且，∴四边形是平行四边形，即平面平面，∴平面.（Ⅱ）鱼被捕的概率，由平面，且由（Ⅰ）知，∴平面，∴，又是中点，∴，因是底面圆的直径，得，且，∴平面，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底面半径为，则，，∴∶，即．20. 已知，直线的斜率之积为 .（Ⅰ）求顶点的轨迹方程；（Ⅱ）设动直线，点关于直线的对称点为，且点在曲线上，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（Ⅰ）设出点M（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为，建立方程化简即可得到点的轨迹方程，注意挖点；（Ⅱ）由题意，设点，点关于直线的对称点为，得出直线的方程为，令得，利用点在，得，，利用基本不等式可得出的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设动点，则满足：C：，又，所以，所以M点的轨迹方程C是：．（Ⅱ）由题意，设点，由点关于直线的对称点为，则线段的中点的坐标为且．又直线的斜率，故直线的斜率，且过点，所以直线的方程为：．令，得，由，得，则，又，当且仅当时等号成立，所以的取值范围为或21. 已知函数，且 .（Ⅰ）设，求的单调区间及极值；（Ⅱ）证明：函数的图象在函数的图象的上方.【答案】(Ⅰ) 当时，．(Ⅱ)详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得，则=，求导即可研究单调区间及极值；（Ⅱ）证明：函数的图象在函数的图象的上方，等价于，即，只要证得，可通过证明即可.试题解析：（Ⅰ）解：由，所以，解得，又得，所以，于是，则，由，所以的递增区间，递减区间，当时，．（Ⅱ）证明：“函数的图象在函数的图象的上方”等价于“”，即要证：，又，所以只要证．由（Ⅰ）得，即（当且仅当时等号成立），所以只要证明当时，即可．设，所以，令，解得，由得，所以在上为增函数，所以，即，所以，故函数的图象在函数的图象的上方.点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性极值问题，考查转化思想，不等式的证明问题，应熟练掌握并灵活应用这两个不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），点是曲线上的一动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（Ⅰ）设线段的中点的坐标为，由中点坐标公式得（为参数），消去参数得的轨迹的直角坐标方程为，化为极坐标方程即可；（Ⅱ）直线的方程为，得直线的直角坐标方程为，利用圆心到直线的距离与的大小判断直线与圆的位置关系是相离，所以曲线上的点到直线的距离的最大值为即得解.试题解析：（Ⅰ）设线段的中点的坐标为，由中点坐标公式得（为参数），消去参数得的轨迹的直角坐标方程为，由互化公式可得点的轨迹的极坐标方程为．（Ⅱ）由直线的极坐标方程为，得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，它表示以为圆心，2为半径的圆，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故曲线上的点到直线的距离的最大值为．23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（Ⅰ）作出函数的图象并求其值域；（Ⅱ）若，且，求的最大值.【答案】(1) 值域(2)【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论去掉绝对值得画出图像，值域易得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，利用重要不等式即可求出的最大值.试题解析：（Ⅰ）由如图5所示，值域．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵∴∴的最大值为，当且仅当时，等号成立．点睛：本题考查了分类讨论去绝对值把函数写成分段函数，画图象得值域，考查了利用重要不等式求最值，注意取等的条件.。