第三章 函数极限
ch3-3 函数极限存在的条件
设数列{xn } U ( x0 ; )且 lim xn x0 . n 则由定义知，对上述 0, 存在N 0, 使得当n, m N时有xn , xm U ( x0 ; ),
从而有 f ( xn ) f ( xm ) .
于是, 按数列的柯西收敛准则, 数列{ f ( xn )}的极限存在, 记为A, 即 lim f ( xn ) A.
n
' '' ' 或找到两个都以x0为极限的数列{xn }{xn }, 使 lim f ( xn )与 n '' lim f ( xn )都存在而不相等，则 lim f ( x)不存在. n x x0
归结原则可用来证明函数极限不存在和利用 已知函数的极限求数列极限.
例1
证 明 极 限 i msi n l
对于任给 0, 存在正数 ( ' ), 使得对任何x' , x '' U 0 ( x0 ; ) 都有 | f ( x ' ) f ( x '' ) | .
证 必 要 性 设 l i m f ( x ) A, 则 对 任 给 的 0, 存 在
x x0
正 数( ), 使 得 对 任 何 U ( x0 ; )有 f ( x ) A x
相应于数列极限的单调有界定理，单侧极限也有相应
的定理，以x x0 为例叙述并证明如下：
0 定理3.10(修改) 设f 为定义在U ( x0 )上的递增（减）有下（上）界
函数, 则右极限 lim f ( x)存在.
x x0
证 设f 在U ( x0 )上递增有下界,
xU ( x0 )
数学分析第三章函数极限
第三章 函数极限教学目的：1.使学生牢固地成立起函数极限的一样概念，把握函数极限的大体性质；2.明白得并运用海涅定理与柯西准那么判定某些函数极限的存在性；和，并能熟练运用；4.明白得无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准那么的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生成立起函数极限的准确概念；会用函数极限的概念证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生慢慢成立起函数极限的δε-概念的清楚概念。
会应用函数极限的δε-概念证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-概念及其应用。
一、 温习：数列极限的概念、性质等 二、 教学新课： （一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义,的直观意义.概念 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.概念函数极限的“”概念.几何意义.用概念验证函数极限的大体思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．概念：单侧极限的概念及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 假设存在, 那么有=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生把握函数极限的大体性质。
教学要求：把握函数极限的大体性质：唯一性、局部保号性、不等式性质和有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
数学《函数极限》讲义
第三章 函数极限1. 教学框架与内容 教学目标① 掌握各种函数极限的分析定义，理解邻域语言描述函数极限定义, 能够用定义证明函数极限.② 掌握函数极限的性质和计算函数的极限.③ 掌握函数极限的归结原则和单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．④ 掌握两个重要极限：0sin lim 1;x x x→= 1lim 1 e.x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⑤ 掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学内容① 当 ∞→x ；∞+→x ；∞-→x ； 0x x →；+→0x x ； -→0x x 时函数极限的分析定义, 邻域语言描述函数极限定义, 分析定义证明和计算简单的函数极限．② 函数极限的性质, 如唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，复合函数极限, 用这些性质计算函数的极限．③ 函数极限的归结原则；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．④ 两个重要极限0sin lim 1;x x x →= 1lim 1e x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的证明，利用两个重要极限计算函数极 限与数列极限．⑤ 无穷小量与无穷大量，高阶无穷小量，同阶无穷小量，等阶无穷小量． 2. 重点和难点① 各种函数极限的分析定义.② 函数极限的局部性质, 局部的 δ（的大小）不仅与ε有关，而且与点0x 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．③ 函数极限的归结原则以及应用；函数极限的柯西准则． ④ 与两个重要的函数极限有关的计算与证明． ⑤ 熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算． 3. 研究性学习选题●两个重要极限的应用查找资料，列出两个重要极限的一些应用.● 复合函数极限举出复合函数极限存在和不存在的例子, 寻找极限存在条件.● 等价无穷小的代换举出例子, 说明等价无穷小何时可以代换.4. 研究性学习选题，写学习笔记■ 数列极限与函数极限的区别与联系.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习布置的三个选题(选最好的两个计分) 合计30分.● 两个重要极限的应用（计15分）● 复合函数极限（计15分）● 等价无穷小的代换（计15分）◎学习笔记计50分.§1 函数极限概念一、x →∞时函数的极限以()n a f n =的极限引入定义在[,)a +∞上函数()f x 当x →+∞时的极限.()0,,:().lim ()0,,:().n x a f n a N n N f n a f x A X x X f x A εεεε→+∞=→⇔∀>∃>-<=⇔∀>∃>-<定义1设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数()X a ≥, 使得x X >时()f x A ε-<,则称f 当x →+∞时以A 为极限, 记作lim ()x f x A →+∞= 或 () ()f x A x →→+∞.几何意义 (画图)(分析定义)任给0ε>.对平面上平行于x 轴的两条直线,y A y A εε=-=+,围成以y A =为中心线宽为2ε的带形区域, X ∃,当x X >(在x X =的右方) 曲线()y f x =全部落在上述带形区域之中.类似给出lim ()x f x →-∞, lim ()x f x →∞定义. lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→+∞=⇔∀>∃>∀>-<; lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→-∞=⇔∀>∃>∀<--<; lim () 0, 0, ||, ()x f x A X x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>∀>-<.(简要作图说明几何意义)说明结论 lim ()x f x →∞存在⇔lim ()x f x →+∞与 lim ()x f x →-∞都存在且相等.例1 1) 用定义验证: 1lim0x x→∞=.2) lim arctan , lim arctan 22x x x x ππ→-∞→+∞=-=(从而lim arctan x x →∞不存在).例2 验证: 222lim 22x x xx →∞+=-.以邻域语言重新叙述上述定义记(){,},(){,},U x x X U x x X +∞=>-∞=<-(){,}U x x X ∞=>, 其中X 为 充分大的正数lim ()0,():():()(,)x f x A U x U f x U A εε→+∞=⇔∀>∃+∞∈+∞∈; (),(),():()()U A U x U f x U A ⇔∀∃+∞∈+∞∈; (),(),(())()U A U f U U A ⇔∀∃+∞+∞⊂.lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →-∞=⇔∀∃-∞∈-∞∈. lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →∞=⇔∀∃∞∈∞∈. 二、0x x →时函数的极限考察函数21,2,()0,2.x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 当2x →时的极限.定义 2 ()εδ- 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,A 为定数, 若对任给的0ε>, 存在正数'()δδ<使得00||x x δ<-<时, 有|()|f x A ε-<, 则称f 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作lim ()x x f x A →= 或 0() ()f x A x x →→.以邻域形式改写并与x →∞时统一起来.0lim ()0,0,0,()x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<; 00000,(),():()(,)U x x U x f x U A εε⇔∀>∃∈∈; 0000(),(),():()()U A U x x U x f x U A ⇔∀∃∈∈.几何意义 作图说明例3 01) lim x x c c →=;02) lim x x x x →=;003) lim sin sin x x x x →=;04) lim |1)x xx →=<.注 1 考察函数f 在0x x →时的极限是在0x 的某去心邻域上考察的,也就是说f 在0x 处的极限存在与否(或极限值为多少)与f 在0x 处是否有定义或值0()f x 为多少均无关.注 2 εδ-定义中的δ相当于数列极限N ε-定义中的N , 其依赖于ε. 三、单侧极限 (为什么讨论单侧极限?)考察 20,1,()0.1,x x f x x x ≤⎧+=⎨>-⎩ 在0x =处的极限.定义3 设f 在0''00(,){:0}U x x x x δδ+=<-<(或0''00((,){:0})U x x x x δδ-=-<-<内有定义,A 为定数. 若对任何的0ε>,存在正数'()δδ<, 使得00x x δ<-<(或00x x δ-<-<)时, 有 ()f x A ε-<.则称数A 为函数f 当x 趋于0x +(或0x -)时的右(左)极限, 记作 0lim ()x x f x A +→= (或0lim ()x x f x A -→=)或 0(), ()f x A x x +→→ (0(), ()f x A x x -→→).右极限与左极限统称为单侧极限, 也可分别记为00(0)lim ()x x f x f x +→+=; 00(0)lim ()x x f x f x -→-=. 00lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε+→=⇔∀>∃><-<-<; 00000,(),(): ()U x x U x f x A εε++⇔∀>∃∈-<;0000(),(),(): ()()U A U x x U x f x U A ++⇔∀∃∈∈.0lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε-→=⇔∀>∃>-<-<-< 0000(),(),():()()U A U x x U x f x U A --⇔∀∃∈∈几何意义 作图说明定理 000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==. 例411) lim 0x -→=.2122) lim1x x x x →+--不存在.例5 设f 在0x 的某邻域内有定义并且单调, 则1) 0lim ()x x f x +→, 0lim ()x x f x -→存在;2) 若0lim ()x x f x →存在, 则00lim ()()x x f x f x →=.习 题1. 验证下列极限1) 1lim sin 0x x →+∞=2) 1lim )2x x →+∞=3) 22322lim 31x x x x →∞+-=- 4) 211lim 12x x x →=+ 5) lim ()n n x ax a n N →=∈ 6) 00lim cos cos x x x x →=7) lim 0x →+∞=8) 053x →=2. 若0lim ()x x f x A →=，则0lim |()|||x x f x A →=. 当且仅当A 为何值时？反之也成立.3. 叙述0lim ()x x f x A →≠.4．讨论下列函数在0→x 时的极限或左,右极限.1) ;)(x x x f = 2) []x x f =)(; 3) ⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=.01,00,02)(2x x x x x f x5. 设2,1,(),1,,1,x x f x A x x B x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩则当,A B 为何值时, 1lim ()x f x →存在.6. 设lim ()x f x A →+∞=, 证明.)1(lim 0A xf x =+→7. 证明: 对Riemann 函数)(x R , ,0)(lim 0=→x R x x 0 [0,1]x ∀∈.§2 函数极限性质在前面我们共讨论了六种类型的极限1) lim ()x f x →+∞2) lim ()x f x →-∞ 3) lim ()x f x →∞4) lim ()x x f x → 05) lim ()x x f x +→ 06) lim ()x x f x -→ 虽然形式不一样,但在本质上是一样的,它们的定义可用邻域语言统一为000(,,,,,)X x x x +-=∞+∞-∞00lim ()(), (), ():()()x Xf x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈.因而上述六种类型的极限性质是一样的,下面我们仅以0lim ()x x f x →为例, 讨论函数极限性质(请注意与数列极限性质比较). 一、函数极限性质定理 (唯一性) 若0lim ()x x f x →存在,则此极限是唯一的. 定理 (局部有界性) 若0lim ()x x f x →存在,则f 在0x 的某去心邻域00()U x 内有界.定理 (局部保号性) 若0lim ()0x x f x A →=>(0<),则对任何正数r A <(r A <-), 存在00()U x ,使得一切00()x U x ∈有()0f x r >>(()0f x r <-<).注 1 一般取2A r =(或2A r =-). 推论 若0lim ()0x x f x A →=≠,则存在00()U x ,使得对任何00()x U x ∈, ()0f x ≠.定理 (保不等式性) 若0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →存在,且在某邻域0'0(,)U x δ内有 ()()f x g x ≤, 则 0lim ()lim ()xx x xf xg x →→≤.注 2 若定理3.5中条件仅为()()f x g x <, 则未必有00lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.定理 (迫敛性) 设0lim ()lim ()x x x xg x h x A →→==且在0x 的某去心邻域中 ()()()g x f x h x ≤≤,则0lim ()x x f x →存在且0lim ()x x f x A →=.定理 (四则运算) 设0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=, 则 1) 0lim(()())x x f x g x →±存在,且 0lim(()())lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→±=±=±;2) 0lim ()()x x f x g x →⋅存在且 0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→⋅=⋅=⋅;3) 当0, ()0B g x ≠≠时, 0()lim ()xxf xg x →存在且 000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x A g x B g x →→→==.二、利用极限性质解题 例1 求下列极限.41) lim (tan 1)x x x π→⋅-; 3325272) lim 325x x x x x →∞++++;31133) lim()11x x x →--++; 710114) lim 1x x x →--;015) lim x x x →⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦; 16) x →;7) lim x →+∞; 8) x →∞;19) x →010) x →?]x →=;0111) lim 1n x x x x →⋅+; 2112) lim 1n x x x x n x →++⋅⋅⋅+--.例2 求满足下列条件的, A B .2211) lim[()]0;1x x Ax B x →+-+=-2222) lim 7;4x x Ax B B x →++=--33) lim .3x A B x →=-三、复合函数的极限期望结论 0lim ()x x f x a →=,lim ()y a g y b →=⇒0lim (())x x g f x b →=. 但这个结论未必成立.例 3 1,0,0, 0,0.y f g y ≠⎧==⎨=⎩ 有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==,而0lim (())0x g f x →=. 例 4 1()sin (0)f x x x x =≠, 1,0,()0,0.y g y y ≠⎧=⎨=⎩ 则有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==. 而1,1,(())0,1,x n g f x x n ππ≠⎧=⎨⎩= 0lim (())x g f x →不存在. 定理 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=, 则00lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.定理 (变量代换) 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y ag y b →=, 且在0x 的某一邻域中()f x a ≠, 则lim (())x x g f x b →=.例 5 假设已知01lim 1,limln 0x x x e x →→==,0lim ()0x x f x a →=>,0lim ()x x g x b →=, 求证: 0()lim ()g x b x x f x a →=.习 题1. 利用四则运算性质求下列极限1) limx ; 2) 0x →;3) 0x →0x →;5) lim x →+∞; 6) limx →+∞7) lim 0)x aa +→>; 8) 276390(36)(53)lim(21)x x x x →+∞++-.2. 求 1)sin limx x x x →+∞-; 2)2sin lim 4x x x x →∞⋅-; 3)x ; 4)x →. 3. 试给出函数f 的例子,使0)(>x f 恒成立, 而在某一点0x 处有0)(lim 0=→x f x x . 这与极限的局部保号性有矛盾吗？ 4．设.)(lim 0A x f x x =→,.)(lim 0B x g x x =→1) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f <, 问是否必有B A <成立? 为什么? 2) 证明: 若B A >, 则在某)(00x U 内有)()(x g x f >.5. 证明：若30lim ()x f x →存在，则0lim ()x f x →存在且300lim ()lim ()x x f x f x →→=.6. 证明: 若0lim ()x x f x A →=,则022lim[()]x x f x A →=.反之呢?7. 证明: 若()0f x ≥,0lim ()x x f x →存在,则0limx x →=8．求下列极限(其中n 为正整数):1) ;11lim 0n x x x x+-→ 2) ;11lim 0n x x x x ++→ 3) .1lim 21--+++→x nx x x n x4) ;11limxx nx -+→ 5) []x x x ∞→lim. 9．若)(lim 20x f x →存在, 试问是否有)(lim 0x f x →=)(lim 20x f x →成立?§3函数极限存在条件本节仍以0lim ()x x f x →为例, 介绍函数极限存在的两个充要条件. 一、归结原则(Heine 定理)----函数极限与数列极限关系定理 (归结原则) 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则lim ()x x f x →存在⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在. ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在且相等.注 1 Heine 归结原则反映了离散型与连续型变量之间的关系,也就是说可以把函数极限归结于数列极限来处理.例 1 利用数列极限性质证明函数极限的迫敛性.注 2 Heine 归结原则是证明函数极限不存在的强有力的工具. 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x 使lim ()n n f x →+∞不存在,或找到两个以0x 为极限的数列{}'nx ,{}"nx 使'lim()n n f x →+∞和"lim ()n n f x →+∞都存在但不相等,则0lim ()x x f x →不存在.例 2 1) 证明: 01limsin x x →不存在.2) Dirichlet 函数在R 上处处不存在极限.注3 若对单侧极限, Heine 归结原则可减弱为{}n x 单调趋于0x . [为什么?]例3 若f 在0x 的某去心邻域00()U x +有定义, 则0lim ()x xf x +→存在⇔ 对任何以0x 为极限的递减数列{}'n x ⊂00()U x +有lim ()n n f x →+∞存在且相等.对应单调有界数列必有极限, 函数极限类似有定理 设f 是定义在00()U x 上的单调有界函数,则0lim ()x x f x +→和0lim ()x x f x -→均存在.注4 此时若00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=, 则0lim ()x x f x →存在,又若还有f 在0x 处有定义, 则00lim ()()x x f x f x →=. (与第一节例5比较) 例 4 设f 在[,)a +∞上单调, 则lim ()x f x →+∞存在⇔f 在[,)a +∞上有界. (比较数列情形)注 5 根据归结原则,若lim ()x f x →+∞存在,n x →+∞, 则lim ()n n f x →∞存在. [此结论有何作用? 反之何时成立?]例 5 若()f x 是周期函数, lim ()0x f x →+∞=, 则()0f x ≡.二、Cauchy 准则定理 (Cauchy 准则) 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则0lim ()x x f x →存在''"000, 0 (), ,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈, 有 '"()()f x f x ε-<.注 6 (Cauchy 准则的否定)例 6 用Cauchy 准则证明01limsin x x →不存在.例 7 叙述lim ()x f x →+∞存在的Cauchy 准则. [与数列Cauchy 准则比较]习 题1. 叙述lim ()x f x →+∞的归结原则,并应用其证明lim sin x x →+∞不存在.2. 叙述lim ()x f x →+∞不存在的Cauchy 准则,并应用其证明lim sin x x →+∞不存在.3. 直接用极限定义证明lim sin x x →+∞不存在.4．设f 为定义在),[+∞a 上的增(减)函数. 证明: )(lim x f x +∞→存在的充要条件是f 在),[+∞a 上有上(下)界.5．设f 在)(00x U 内有定义, 证明: 若对任何数列)(}{00x U x n ⊂且0lim x x n n =∞→,极限)(lim n n x f ∞→都存在, 则所有这些极限都相等.6. 设f 在)(00x U 上的递增函数.证明:)0(0-x f 和)0(0+x f 都存在,且)(sup )0()(000x f x f x U x -∈=-, )(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+.7．设f 为)(00x U -内的递增函数. 证明: 若存在数列)(}{00x U x n -⊂, 0n x x →, 使得A x f n n =∞→)(lim , 则有A x f x f x U x ==--∈)(sup )0()(0008. 证明: 若f 为周期函数, 且lim ()x f x A →+∞=, 则().f x A ≡§4 两个重要极限一、0sin lim1x xx→=证明:例 1 0tan 1) lim 1x x x→= sin 2) lim x xx ππ→--0sin 53) lim sin 3x x x → 201cos 4) lim x xx →-0arcsin 5) lim x x x → sin sin 6) lim x a x ax a→--例 2 0sin 1) lim x x x→ 12) lim sin x x x →∞⋅13) lim sinx x x →⋅ 30tan sin 4) lim x x xx →-5) x → [分析上述极限形式0]二、1lim(1)xx e x→∞+= 或 10lim(1)x x x e →+=.分析上述形式 1∞, ()()1lim (1)()f x f x e f x →+∞+= 或 1()()0lim (1())g x g x g x e →+= . 例 3 1) lim(1)xx k x→∞+ 102) lim(12)x x x →+csc 03) lim(13sin )xx x →- 53234) lim 21xx x x -→∞-⎛⎫ ⎪+⎝⎭215) lim(cos )x x x → 0ln(1)6) limx x x→+017) lim x x e x→-思考为什么称0sin lim 1x x x →=和1lim(1)x x e x→∞+=为两个重要极限?习 题1. 求下列极限.1) 1lim sin x x x →+∞⋅ 2) 2cos lim 2x xx ππ→-3) 30tan sin lim x x x x →- 4) 0arctan limx xx→ 5) 22sin sin lim x a x a x a →-- 6) 201cos lim x x x →-7) 0x →2lim(1)xx x -→∞- 9) cos 0lim(1tan )x x x →+ 10) 0ln(12)limx x x→+11) 01lim x x e x→- 12) 2332lim ()31x x x x -→+∞+-13) lim (1)x x x βα→+∞+ 14) sin 01lim(1)x x x→+15) 0lim{lim[cos cos cos ]}22n x n x xx→→+∞⋅⋅⋅2. 利用归结原则求下列极限. 1) lim sinn nπ2) 211lim(1)nn n n →∞++ 3. 利用两个重要极限求下列极限.1) 330sin lim sin x x x → 2) 22cos 2cos3lim (2)x x x x ππ→-- 3) 2cos3limcos x xxπ→4) 0csc cot lim x x x x →-5) 1lim sin x x x →∞⋅ 6) 25lim()6x x x x +→∞++ 7) 2lim(cos )x x a x→∞ 8) 111lim x x x -→§5 无穷大量与无穷小量一、无穷小量定义1 设f 在某00()U x 有定义,若0lim ()0x x f x →=,则称f 为当0x x →时的无穷小量.记作 0()(1), ()f x x x ο=→.若函数g 在某00()U x 内有界,则称g 为0x x →时的有界量. 记作0()(1), ()g x O x x =→.例1 3, sin , 1cos x x x -是0x →时的无穷小量1x -→时的无穷小量.21sin ,x x x 为x →∞时的无穷小量, sin x 为x →∞时的有界量, 1sinx 为0x →时的有界量, 1sin x为x →∞时的无穷小量.性质1 两个(类型相同的)无穷小量之和,差,积仍是无穷小量. 性质2 无穷小量必为有界量.无穷小量与有界量之积仍是无穷小量.例2 011) lim sin0x x x →⋅= 能否写成001lim limsin 0x x x x→→=⋅=注意1lim sin 1x x x →∞⋅=; sin lim0x xx →∞=.22) lim sin(2)01n n n n →∞⋅+=+.注1 无穷小量不是很小的数,而是极限为0的函数 (无穷小量与极限的关系)lim ()()x x f x A f x A →=⇔-为0x x →时的无穷小量.两个无穷小量收敛到0的速度有快有慢,这个就是阶的问题. 二、无穷小的阶无穷小量指极限为0的函数.其和差积均是无穷小量,但其商就不一定了,如22000sin sin sin lim 1,lim 0,lim x x x x x x x xx →→→===∞. 这实际上说明了一个问题,不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢------这本质上就是无穷小的阶的不同.设0x x →时, ()(1), ()(1)f x g x οο==(都是无穷小).1. 若0()lim 0()x xf xg x →=, 则称当0x x →时, f 为g 的高阶无穷小量,或称g 为f 的 低阶无穷小量.记作0()(()), ()f x g x x x ο=→例3 1) 0x →时, 2,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅均是无穷小且1(),(0)k k x x x ο+=→. 01cos 2) lim0x xx→-=; 1cos (), (0)x x x ο-=→.2. 若存在正数,0K L >, 使得在某00()U x 上()()f x K Lg x ≤≤ 则称f 与g 为0x x →时的同阶无穷小量. 特别地, 0()lim0()x x f x c g x →=≠,f 与g 必为同阶无穷小量.(为什么?) 例4 201cos 11) lim2x x x →-= 01sin (2sin )2) lim x x x x →⋅+不存在. 但1sin (2sin )13x x x ⋅+≤≤， x 与1sin (2sin )x x⋅+为0x →时的同阶无穷小量. 3. 当 0()lim 1()x xf xg x →=时,则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小, 记作 ()~()f x g x , 0()x x → 注2 若无穷小量f ,g 满足()()f x Lg x ≤,00()x U x ∈, 则 记作 ()(())f x O g x =,0()x x →例 5 21) 1cos ()x O x -= 211cos ~2x x -(0)x → 2) sin ~,(0)x x x → 1~,(0)x e x x -→ ln(1)~,(0)x x x +→11~,(0)2x x → 注3 在上述定义中注意f ,g 首先都要求是无穷小量,若只有0()lim 1()x xf xg x →=,不能 说就有()~()f x g x ,0()x x →(原因在于()f x ,()g x 未必是无穷小量). 注4 并不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较,如2x 与1sin x x⋅. 下面的定理说明等价无穷小在求极限过程中的作用.定理 设f ,g ,h 在00()U x 有定义,且()~()f x g x ,0()x x →1) 若0lim ()()x x f x h x A →⋅=, 则0lim ()()x x g x h x A →⋅=; 2) 若0()lim ()x xh x B f x →=, 则0()lim ()x x h x B g x →=.例6 0arctan 1) lim sin 4x x x → 30tan sin 2) lim x x xx →-03) x →014) lim (1cos )sin 2x x x →-121cos 05) lim(1sin )xx x -→- sin 6) limsin x mxnxπ→*117) lim ln x x x x x→-注5 上面的定理说明,在求极限时,对乘除法可以用等价无穷小代换, 但对 加减法千万不能直接用等价无穷小代换.例7 1) 确定α,x α与sin 22sin x x -α(0)x →.2) 0,~x p +→⇒= . 例8 设已知0()ln(1)sin lim21x x f x x A →+=-, 则20()lim x f x x →= .思考 对加减法何时可以运用等价无穷小代换? 三、无穷大量 (由邻域语言引入)定义2 设函数f 在某00()U x 内有定义,若对任给的0G >,存在0δ>, 使得当0000(,)(())x U x U x δ∈⊂时,有()f x G >. 则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞.记作lim ()x x f x →=∞. 若上式()f x G >换作()f x G >(或()f x G <-),则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞(或-∞),分别记作0lim ()x x f x →=+∞(或0lim ()x x f x →=-∞). 定义3 对于自变量x 的某种趋向, 以,,∞+∞-∞为非正常极限的函数都称为 无穷大量. 例9 220011lim, lim , lim x x x x xx →→→∞=+∞=∞=+∞易见若f 为0x x →时的无穷大量,则f 为00()U x 上的无界函数,但无界函数未必为无穷大量.如()sin f x x x =⋅在[0,)+∞上无界,但不是无穷大量.原因在于 f 在[,)a +∞上无界0,[,)G G x a ⇔∀>∃∈+∞时有()G f x G >.f 在[,)a +∞上()x →+∞时无穷大量0,,,()G X a x X f x G ⇔∀>∃>∀>>.性质 1) 同号无穷大之和积仍是无穷大.2) 同号无穷大之差(异号无穷大之和)未必为无穷大.无穷大量与无穷小量之间的关系.定理 1) 设f 在00()U x 内有定义且不为0, 若f 为0x x →时的无穷小量,则1f为0x x →时的无穷大量. 2) 若g 为0x x →时的无穷大量, 则1g为0x x →时的无穷小量.[归纳各种形式函数极限(二十四种)00lim ()(),(),(),()().x Xf x a R U a U X x U X f x U a *→=∈⇔∀∃∈∈四、曲线的渐近线由平面解析几何,双曲线22221x y a b -=有两条渐近线0x y a b ±=.下面讨论一般曲线的渐近线问题(作图)定义4 若曲线l 上的动点P 沿曲线无限地远离原点时, 点P 与某定直线L 的 距离趋于0,则称直线L 为曲线l 的渐近线.下面我们主要讨论曲线()y f x =在什么条件下,存在斜(水平)渐近线与垂直渐近线(y kx b =+与0x x =)以及怎样求渐近线方程?现假设曲线()y f x =有渐近线方程y kx b =+,则曲线l 上的动点P 到渐近线距离cos ()()PN PM f x kx b α==-+则由渐近线的定义,当x →∞时, 0PN →,即 lim[()()]0x f x kx b →+∞-+= 或 lim (())x f x kx b →+∞-= (1) 又 ()1()limlim (())0lim x x x f x f x k f x kx k x x x→∞→∞→+∞-=-=⇒= (2)则若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+,则k 可由(1),(2)式确定,反之若由(1),(2)式求得k ,b ,则y kx b =+即为()y f x =的渐近线方程.若函数()y f x =满足0lim ()x x f x →=∞,则称()y f x =有垂直渐近线方程0x x =. 例8. 1) 求3223x y x x =+-的渐近线方程.2) 求曲线y =的渐近线方程.1. 利用等价无穷小代换求下列极限.1) 0x x → 2) 30sin[sin(sin )]limx x x →3) 0x → 4) 20ln cos lim ln(1)x xx →+5) 0x →x →2. 求下列极限.1) ln 1lim x e x x e→-- 2) lim x x x a x a x a →-- 3) 10lim()x xx x e →+ 4) 087lim 65x x x x x →--3.~(0)x x αβ→,求,αβ的值. 4.~()x x α→+∞,求α的值, 又0x +→呢? 5. 若0()~()()f x g x x x →,则0()()(())()f x g x g x x x ο-=→.6. 求曲线221()x x f x x+-=及()arctan f x x x =的渐近线.7. 分别求出满足下述条件的常数a 与b :1) 0)11(lim 2=--+++∞→b ax x x x ; 2) 0)1(lim 2=--+--∞→b ax x x x ; 3) 0)1(lim 2=--+-+∞→b ax x x x .8. 设x x x f cos )(=，试作数列1) }{n x 使得∞→n x )(∞→n ，0)(→n x f )(∞→n ； 2) }{n y 使得∞→n y )(∞→n , +∞→)(n y f )(∞→n ； 3) }{n z 使得∞→n z )(∞→n , -∞→)(n z f )(∞→n .一、函数极限(24种) 六种极限过程 四种极限值.000,,,,,X x x x +-=+∞-∞∞ A :有限数, ,,+∞-∞∞00lim ()(),(),():()()x Xf x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈ 六种极限过程四种极限值例 000lim ()0,0,(,),()x x f x a R x U x f x a εδδε-→=∈⇔∀>∃>∈-< lim ()0,0,,()x f x a M x M f x a εε→+∞=⇔∀>∃>>-< lim ()0,0,,()x f x M X x X f x M →-∞=∞⇔∀>∃><-> 否定0000lim ()0,0,(,),()x x f x a x U x f x a δδεδδε→≠⇔∃>∀>∃∈-≥ 注 函数在某0x 处的极限与函数在0x 处的性质无关.二、极限存在条件(以0x x →为例)1. 必要条件: 0lim ()x x f x →存在0δ⇒∃>,f 在00(,)U x δ上有界. 2. 充分条件: f 在00()U x -递增有上界⇒0lim ()x x f x -→存在. 3. 充要条件: 1) 0lim ()x x f x →存在⇔0lim ()x x f x -→,0lim ()x x f x +→存在且相等. 2) (Cauchy 准则) 0lim ()x x f x →存在 ''"000,0(),,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈时,有'"()()f x f x ε-<.3) (Heine 定理) 0lim ()x x f x →存在 ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在且相等. 三、函数极限性质1) 唯一性 2) 有界性 3) 保号性 (保不等式) 4) 迫敛性 5) 四则运算6) 复合函数. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=则0lim (())()x x g f x g a →=. 7) 变量代换. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y ag y b →=,且在某00()U x ,()f x a ≠, 则 0lim (())x x g f x b →=.四、两个重要极限1.(00型) 0sin lim 1x x x →= 变形1lim sin 1x x x →∞⋅=,201cos 1lim 2x x x →-= 2.(1∞型) 1lim(1)x x e x →∞+= 变形0ln(1)lim1x x x →+=,01lim 1x x e x →-=,0(1)1lim x x xαα→+-=. 五、无穷小的阶与等价无穷小设00lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==,00(), ()0x U x g x ∀∈≠. 1) 0x x →时, f 是比g 的高阶无穷小0()lim 0()xxf xg x →⇔=. 2) 0x x →时, f 与g 是同阶无穷小(),0,0()f x M L M Lg x ⇔∃><≤≤特别地, 0()lim0()x x f x c g x →=≠⇒f 与g 为同阶无穷小. 3) 若0()lim 1()x xf xg x →=,则称f 与g 为等价无穷小. 常见的等价无穷小. 六、求极限的方法(型) 1) 观察极限值, 用定义验证.2) 初等变形(因式分解,分子(母)有理化,消去“零”因子). 3) 变量代换.4) 利用已知极限,特别是利用两个重要极限(凑). 5) 利用无穷小等价代换(乘除形式). 6) 利用极限性质,特别是迫敛性（两边夹）. 7) 利用()0, ()f x a g x b →>→,则()()g x b f x a →. 七、证明极限不存在的方法1) 用极限定义验证任一实数都不是极限值2) (Cauchy 准则) '"0000,0,,(,)x x U x δδεδδ∃>∀>∃∈但'"0()()f x f x δδε-≥.⇔(无穷形式的否定是什么?)3) 证明00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠或有一单侧极限不存在. 4) 利用Heine 定理.找一个子列…或两个子列… 八、渐近线 (垂直渐近线与斜渐近线)九、举例例1 求下列极限(两边夹).011) lim []x x x +→; 012) lim []x x x -→; 3) lim ()x f x A →+∞=, 则[()]lim x x f x A x→+∞⋅=;4) 设1,0,a k >>求证lim 0kx x x a→+∞=.例2 求下列极限.1) ])[(lim 3x x x --→ ； 2) 11)1]([lim -→++x x ；3) )))(())(((lim x b x a x b x a x ---++∞→ ;4) 22limax x x -+∞→ ； 5) 22limax x x --∞→ ；6) 3301111lim x x x x x --+--+→ ； 7) n m x n x m n m x ,),11(lim 1---→为正整数.例3 求下列极限(变量代换).ln 1) lim (0)a x xa x →+∞> 12) lim x x x →+∞013) lim x x a x→- 4) lim 1)(0)n n a →+∞>例4 设lim n n a →∞=+∞, 证明: 1) 121lim()n n a a a n→+∞++⋅⋅⋅+=+∞2) 若0(1,2)n a n >=⋅⋅⋅, 则n =+∞. 并利用其求极限.1) lim n ln !2) lim n n n→+∞例5 设00lim (), lim ()x x x x f x A g x B →→==, 则 0lim max{(),()}max{,}x x f x g x A B →=, 0lim min{(),()}min{,}x x f x g x A B →=例6 设f 在[,]a b 上严格单调,且lim ()(),[,].n n x f x f b x a b →+∞=∈ 则lim n x x b →∞=.例7 设函数f 在(0,)+∞上满足方程(2)()f x f x =,且lim ()x f x A →+∞=, 证明: (), (0,)f x A x ≡∈+∞.例8 设函数f 在(0,)+∞上满足2()()f x f x =,且0lim ()lim ()(1)x x f x f x f +→+∞→==, 则()(1), (0,)f x f x ≡∈∞.例9 设函数f 在(,)a +∞上的任一有限区间(,)a b 内有界,并满足lim (1)()x f x f x A →+∞+-=. 证明: ()lim x f x A x→+∞=.。
函数的极限
恒有
则称 A 为f(x) 当 x 时的极限。 记作 lim f(x) ＝A 或 f(x) A （x ）
x
y
例如
1 lim 0 x x
证明
1 y x
o
x
1 证明： lim 0. x x
证:
1 1 0 x x
即 就有
故 0 , 欲使 取X
1
,
因此
注:
1 y 0 为 y 的水平渐近线 . x
返回
sin x 例 1 证明 lim ＝0 . x ＋ x 证： 0 ，欲使
sin x 1 sin x 0 x x x 1 1 只要 x 2 ， 故可取 X 2 ，当 x X 时 sin x 恒有 0 x sin x lim ＝0 成立# x ＋ x
发 散
1 , 2 , , n ,
＋ （n ）
n 1
1 , - 1 , 1 , - 1 , , - 1
,
数列极限的定义：
若数列
及常数 a 有下列关系 :
0 , 正数 N , 当 n > N 时, 总有 xn a
则称该数列
n
x x0
对上述 , 0，当 0 x x0 时，
即 x U ( x0 , ) ，恒有
o
f ( x) A
即 0 A f ( x) A
即 f ( x ) 0 成立。
类似可证 A 0 的情形，同学们不妨试 一试。
返回
x 1 例 2 当 x 时， y＝ 2 1 ，问X如何取值， x 3 可使 x＞X 时恒有 y - 1＜0.01 ？
高数一知识点
第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。
当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。
二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==- 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==- 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
数学分析第三章 函数极限
f (x)
sgn x
1 0
x 0, 1, x 0
x 0;
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0
x
x 0
表示x
x 的过程. 0
x0
x0
x0 x
点x0 的去心 邻域, 体现x 接近x0 程度.
x
.
" M"定义 lim f ( x) A x
0,M 0,使当x M时,恒有 f (x) A .
几点注记
(1) x M表示比Ｍ大的所有实数, 而不仅仅是某些
正整数n。lim f (x) A意味着: A的任意小邻域内,含 x 有f 在 的某个邻域内的全部函数值。
(2)
lim f (x) A的邻域描述： ,U (),
2 sin x x0 2
sin x x0 2
x x0
任给 0, 存在 , 当0 x x0 时,
cosx cosx0 x x0 成立,
lim
xx0
c
os
x
cos
x0
.
x2 1 2
例5 证明
lim
x1
2x2
x
1
3
证明:当x 1时
x2 1 2 x 1 2 x 1 2x2 x 1 3 2x 1 3 32x 1
1 x x 0(x x 0) 时函数极限的 定义
定义２ 设函数 f (x)在点x0 的某个空心邻域
U0 x0 ; 内有定义，Ａ为定数，若对
0, ( ) 0 ，当 0 | x x0 | 时，有
| f (x) A |
第三节 函数极限存在的条件
∃δ > 0(< δ ′),使得对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ ),有 f ( x′) − f (x′′) < ε . 由于xn → x0 (n → ∞ ),
对上述的δ > 0,∃N > 0 ,使得当n , m > N时有xn , xm ∈ U 0 ( x0 ,δ ),从而有
附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！ 附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！
从而有 f ( x n ) − A < ε,
故 lim f ( x n ) = A.
n→ ∞
10
[充分性] 对任何数列{xn } ⊂ U 0 (x0 ,δ ′)且 lim xn = x0 ,有 lim f (xn ) = A
下面利用反证法推出：lim f ( x ) = A .
x → x0
n →∞
x ∈ U 0 (x0 ,δ )有 f ( x ) − A < ε .于是对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ )有 2
x → x0
f ( x′) − f ( x′′) ≤ f ( x′) − A + f ( x′′) − A < ε + ε = ε . 2 2
2
充分性:
设数列{xn } ⊂ U 0 ( x0 ,δ )且 lim xn = x0 .按假设，对 ∀ε > 0 ,
注2. 若能找到 f ( x )当x → x0时的子列{ f ( xn )}发散，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
注3. 若能找到 f ( x )当x → x0时的两个子列{ f (xn )}、f ( yn )}二者均收敛， {
但极限值不相等，则 lim f ( x )不存在 .
函数极限概念
x 情形 :
lim f ( x) = A
x
0, $M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x 情形 : lim f ( x) = A x
0, $M 0,使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x
x
x
例1 证明lim 1 = 0.
x x
证 0, 取M = 1 ,
则当 x M时有
1 0 = 1 1 =,
x
xM
y
O
x
所以lim 1 = 0. x x
例2 证明:1) lim arctan x = p ; 2) lim arctan x = p .
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
M 0, x M 表示x 的过程.
一般地,当 x趋于时函数极限的精确定义如下：
定义1 设 f 定义在[ a,)上的函数，A为定数.若对任给的 0,存在 正数M( a) ,使得当 xM 时有 f (x)A , 则 称函数 f 当 x 趋
x
2
x
2
证 任 给 0 ,由于
arctan
x
p
2
等价于 - - p arctan x p ,
2
2
而此不等式的左半部分对 任何 x
x都的成变立化,所范以围只。要为考此察,先其限右制半部分p
2
则有
x
tan
p
2
=
tan
第三章 函数极限
函数极限概念
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第3章 函数极限与连续函数【圣才出品】
的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}成立
。
（2）Heine 定理的另一表述
，且
存在的充分必要条件是：对于任意满足条件
且
xn≠x0（n=1，2，3，…）的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}收敛。
5．单侧极限
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第 3 章 函数极限与连续函数
3.1 复习笔记
一、函数极限 1．函数极限的定义 设函数 y=f（x）在点 x0 的某个去心邻域中有定义，即存在 ρ>0，使
如果存在实数 A，对于任意给定的 ε>0，可以找到 δ>0，使得当
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则称当
时，
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是有界量，记为
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若又存在 ，当 在 的某个去心邻域中，成立
则称当
时，
与 是同阶无穷小量。
（3）若
，称当
时， 与 是等价无穷小量，记为
2．无穷大量的比较
设
是两个变量，当
时它们都是无穷大量，讨论 的极限情况。
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（3）函数极限
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存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 ε>0，存
在 X>0，使得对一切 x′，x″>X，成立
二、连续函数 1．连续函数的定义 （1）在某点处连续 设函数 f（x）在点 x0 的某个邻域中有定义，并且成立
①若 f（x）>g（x）成立。
②推论
高三数学函数的极限
n
1-x2n 1+x2n x
(0 x )的连续性,并作出函数图象
例5：已知 lim x2 mx 2 n,
x2 x 2
求 m, n
例6：f (x) 为多项式，且
f (x) 4x3
f (x)
lim
1, lim
5
x
x2
x0 x
求 f (x)
小结 ：有限个函数的和（或积）的极
D. -1
( B)
2.下列结论正确的是
A. lim (1)x 0
x 3
C. lim (1)x 0
x 2
B. lim 10x 0 x
D. lim 2x 0 x
(D)
例1（优化Ｐ206）例１求下列各极限
(1)
lim(
x2
4 x2
4
x
1
) 2
(2) lim( (x a)(x b) x) x
lim f (x) C .
x x0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
； 中秋节的由来50字：
；
康明白妻子の顾虑,他不多解释,叮嘱妻子守着儿子,房子卖出去这件事暂时别跟任何人说,然后就走了.路过一间杂货店他买了一样东西放在黑色手提包里,然后直接开车去梅林村.刚好是傍晚,店门关了一半,何玲一家大小正在屋里悠闲自在地吃饭看电视.至于周叔夫妇,二老回云岭村盯着
函数极限存在条件
但 由 (2 )知 ,ln i m f(x n ) A ,矛 盾 .
定理3.10 设 f为 定 义 在 U 0(x0)上 的 单 调 有 界 函 数 ,
由 于 xn x0(n ), 对 上 述 的 0 , N 0 , 使 得 当 n , m N 时 有
xn,xmU0(x0;), 从 而 有 f(xn)f(xm ).
于 是 按 数 列 的 柯 西 收 敛 准 则 , 数 列 { f ( x n ) } 的 极 限 存 在 , 记 为 A ,
设 f 在 U ( ) 内 有 定 义 . 则 l i m f ( x ) 存 在 的 充 要 条 件 是 : x
对 任 何 含 于 U ( )内 的 无 上 界 数 列 { x n } ,只 要 ln i m x n , 那 么 ln i m f(x n )必 存 在 ,且 任 何 这 样 的 数 列 的 极 限 都 相 等 .
.
充 分 性 设 数 列 { x n } U 0 (x 0 ;)且 ln i m x n x 0 .
按 假 设 , 0 , 正 数 ( ) , 使 得 对 任 何 x , x U 0 ( x 0 ;) 有
f(x)f(x) .
易 见 {zn}U0(x0;)且lnimzn x0,仍 如 上 所 证 ,{f(zn)} 也 收 敛 .
于 是 , 作 为 { f(z n )} 的 两 个 子 列 , { f(x n ) } 与 { f(y n ) } 必 有 相 同 的 极 限 .
1-6章数学分析课件第3章函数极限3-1
f ( x ) → A ( x → x0 ).
x +1 2 1 例5 证明 lim . = x →1 x 1 2 2
分析 对于任意正数 ε ,要找到 δ > 0, 当 0 < | x 1 | < δ 时, 使
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x +1 2 1 = x 1 2 2
1 1 x+1+ 2 2 2
x 1
x→∞
f ( x ) 定义在 ∞ 的一个邻域内，则 的一个邻域内，
的充要条件是： lim f ( x ) = A 的充要条件是：
x→ ∞
lim f ( x ) = lim f ( x ) = A.
x→ +∞
例如
π π lim arctan x = , lim arctan x = , x → ∞ 2 x →+∞ 2
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1 = 0. 例4 求证 lim 2 x →∞ 1 + x
证 对于任意正数 ε , 可取 M =
1
ε
, 当 x > M 时, 有
1 1 0 < 2 <ε, 2 1+ x x
所以结论成立. 所以结论成立.不难得到: 从定义 、2 、3 不难得到 定理 3.1
x → x0
右极限与左极限统称为单侧极限, 为了方便起见， 右极限与左极限统称为单侧极限 为了方便起见， 有时记
f ( x0 + 0) = lim+ f ( x ) , f ( x0 0) = lim f ( x ).
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在上面例题中 需要注意以下几点： 在上面例题中, 需要注意以下几点： 题中 1. 对于 δ , 我们强调其存在性 换句话说 对于固定 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定 的 ε , 不同的方法会得出不同的δ , 不存在哪一个更 好的问题. 好的问题 那么比它更小的正 是不惟一的, 2. δ 是不惟一的 一旦求出了δ , 那么比它更小的正 数都可以充当这个角色. 都可以充当这个角色 是任意的,一旦给出 它就是确定的常数. 一旦给出,它就是确定的常数 3. 正数 ε 是任意的 一旦给出 它就是确定的常数
数学分析3.3函数极限存在的条件
x>x0
时，有
A-ε<f(x)≢f(x0)<A+ε，∴
lim f(x)=A.
x→+∞
其充分性得证。
3、(1)叙述极限 lim f(x)的柯西准则；
x→−∞
(2)根据柯西准则叙述 lim f(x)不存在的充要条件，并应用它证明 lim sinx不存在.
x→−∞
x→−∞
解：(1)设函数 f 在某 U(-∞)内有定义。 lim f(x)在的充要条件是：任给ε>0，存
1(≢δ
’)，
使当 0<|x-x0|<δ 1 时，|f(x)-A|<ε.
设{xn}⊂U⁰(x0;δ
’)且
lim
n →∞
xn
=x0，则对δ
1，有 N>0，使当 n>N
时，有 0<|xn-x0|<δ
1，
从而有|f(xn)-A|<ε.
∴ lim f
n →∞
xn
=A.
[充分性]若{xn}⊂U⁰(x0;δ ’)且 nli→m∞xn=x0，则对∀δ >0(≢δ ’)，有 N>0，
x →x 0
注：1、事实上，在证明充分性时，∵对任何 x’, x”∈U⁰(x0;δ )有|f(x’)- f(x”)|<ε；
∴所有的 xn∈U⁰(x0;δ )看作数列{xn}，则数列{f(xn)}的极限存在，记为：nli→m∞f xn =A.
则对{xn}中所有当
n→∞以
x0
为极限的子列{x’n}也有
lim f
从而有 A+ε>f(x)>f(x1)>A-ε，即|f(x)-A|<ε，∴f(x0-0)=A= sup f x ；
1-4_函数的极限(讲稿)
sin x 明 = 0. 例1 证 lim x→∞ x
1 sin x sin x < 1 证 ∵ < = ε, −0 = x X x x
1 ∀ε > 0, 取 X = , 则 x > X时 有 当 恒 ε
sin x − 0 < ε, x
sin x 故lim = 0. x→∞ x
X与 意 定 正 ε有 任 给 的 数 关
x→x0 −0 − ( x→x0 )
右极限
, ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使 x0 < x < x0 + δ时 当 有 恒 f ( x) − A < ε.
作 记 lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A.
x→x0 +0 + ( x→x0 )
{x 0 < x − x0 < δ} ={x −δ < x − x0 < 0}∪{x 0 < x − x0 < δ}
3
1 1 ⇒| x |> 3 ⇒ 只要 | x | > 2ε 2ε
1 故 取X = 3 , 则 | x |> X 时, 2ε
3
1+ x 1 − < ε 成立， 3 2 2x
3
1+ x 1 即lim = . 3 x→∞ 2x 2
2、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 过程中,对应 问题:函数y = f (x)在x → x0 的过程中 对应 数 值A. 函 值f (x)无 趋 于 定 限 近 确 值
பைடு நூலகம்
理 定 : lim f ( x) = A ⇔ x→ ∞
→ ∞
x→+∞
高等数学：第三节 函数的极限
21/41
例5 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x) A x2 1 2 x 1 ,
x1 任给 0, 要使 f ( x) A , 只要取 ,
则当0 x 1 时,就有
x2 1 2 ,
x1
x2 1
lim
2.
x1 x 1
类比数列极限的定义，可用如下的数学语言刻画 “自变量无限增大”、 “函数无限接近于A”: x X 表示x 的过程;
f ( x) A 表示 f ( x) A 可任意小.
4/41
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
24/41
例6
证明 lim
x2
1 .
x2 x2 4 4
条件放大法
证 因为x 2，故不妨假设 x 2 1,即1 x 3,
x2 1 1 x2 1 x2 x2
x2 4 4 4 x 2 4 1 2 12
第三节 函数的极限
一、自变量趋向无穷时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结、思考题、作业
1/41
数列极限：un f (n), n N un a : n 时，f (n) a 函数极限：y f ( x) y A :自变量x的某个变化过程中时，
相应函数值f ( x)无限接近于A 自变量无限变化方式的差异：
6/41
20. x 情形 : lim f ( x) A x
定义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
高等数学第3章第1节函数极限的概念
第三章 函数极限§1 函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势．此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞．但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？为此，考虑下列函数:1,0;()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、x →+∞时函数的极限１．引言设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如 1(),f x x x=无限增大时，()f x 无限地接近于０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势．我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. 2. x →+∞时函数极限的定义定义１ 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数．若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限．记作lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.３．几点注记 （１）定义１中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n ． （２） lim ()x f x A →+∞=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈（３）lim ()x f x A →+∞=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域．“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内．如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内． （４）现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作， lim ()x f x A →-∞=或()()f x A x →→-∞，lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：lim ()x f x A →-∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，lim ()x f x A →∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<．（５）推论：设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==．４．利用lim ()x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例例１ 证明 1lim0x x→∞=. 例２ 证明 １）lim 2x arctgx π→-∞=-；２）lim 2x arctgx π→+∞=.二、0x x →时函数的极限１．引言上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ．本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，．现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列． 先看下面几个例子：例１ ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）例２ 24()2x f x x -=-.（()f x 是定义在0(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）例３ 1()f x x=.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →） 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势．我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0lim ()x x f x A →=．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了．即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<．此即0lim ()x x f x A →=．２．00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义 定义２ 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()00;Ux δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.3．说明如何用εδ-定义来验证这种类型的函数极限 ４． 函数极限的εδ-定义的几点说明：（１）|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出．（２）ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的．为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的．这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了．以便通过ε寻找δ，使得当00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立．这即ε的第二特性——暂时固定性．即在寻找δ的过程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2,2εε 均为任意正数，均可扮演ε的角色．也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤） (3) δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小．但是，定义中是要求由00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,23δδ等等比δ还小的正数均可满足要求，因此δ不是唯一的．这即δ的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑f 在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”．（５）定义中的不等式00||x x δ<-<00(,)x U x δ⇔∈；|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈．从而定义２⇔0,0εδ∀>∃>，当00(,)x U x δ∈时，都有()(;)f x U Aε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()00(,)(;)f U x U A δε⊂． （６）εδ-定义的几何意义．例１．设24()2x f x x -=-，证明2lim ()4x f x →=.例２．证明 １）00lim sin sin x x x x →=；２）00lim cos cos x x x x →=.例３．证明 22112lim 213x x x x →-=--.例４．证明 0x x →=0(||1)x <.练习：１）证明 311lim31x x x →-=-; ２）证明 65lim 6x x x→+∞+=. 三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如21,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩或函数在某些点仅在其一侧有定义，如2()0f x x ≥．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论1()f x 在0x →时的极限．要在0x =的左右两侧分别讨论．即当0x >而趋于０时，应按21()f x x =来考察函数值的变化趋势；当0x <而趋于０时，应按1()f x x =来考察函数值的变化趋势；而对2()f x ，只能在点0x =的右侧，即0x >而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念． ２．单侧极限的定义定义３ 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义，Ａ为定数．若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00x x x δ<<+时有|()|f x A ε-<, 则称数Ａ为函数f 当x 趋于0x 时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→或0(0)f x A +=．类似可给出左极限定义（00(;)U x δ-，00x x x δ-<<，0lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→或0(0)f x A -=）.注：右极限与左极限统称为单侧极限． ３．例子例5 讨论sgn x 在0x =的左、右极限．例6 1±处的单侧极限．４．函数极限0lim ()x x f x →与00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→的关系．定理３.１ 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：10lim ()0x f x →=．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知0lim sgn x x →不存在．２）0(0)f x +，0(0)f x -，0()f x 可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3， 7。
数学分析3.1函数极限概念
第三章 函数极限 1 函数极限概念一、x 趋于∞时的函数极限定义1：设f 为定义在[a,+∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限， 记作：lim x→+∞f (x )=A 或f(x)→A(x →+∞).定义1的几何意义如右上图：正数ε越小时，一般x=M 越大；f(x)的图象右边落在x=M 与y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里。
设f 为定义在U(-∞)或U(∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x<-M 或|x|>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于-∞或∞时以A 为极限，记作：lim x→−∞f (x )=A 或f(x)→A(x →-∞)；lim x→∞f (x )=A 或f(x)→A(x →∞).lim x→∞f (x )=A lim x→+∞f (x )=lim x→−∞f (x )=A.例1：证明limx→∞1x=0.证：任给ε>0，取M =1ε，则当|x|>M 时，有|1x −0|=1|x|<1M =ε，∴lim x→∞1x=0.例2：证明(1)lim x→−∞arctan x =−π2；(2)lim x→+∞arctan x =π2.证：(1)任给ε>0，要使|arctan x −(−π2)|<ε，即-ε−π2<arctan x<ε−π2， ∵arctan x ≥−π2>-ε−π2，∴只须使arctan x<ε−π2，即x<tan (ε−π2)= -tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x<-M 时， 便有|arctan x −(−π2)|<ε，∴lim x→−∞arctan x =−π2.(2)任给ε>0，要使|arctan x −π2|<ε，即π2−ε<arctan x<ε+π2， ∵arctan x ≤π2<ε+π2，∴只须使arctan x>π2−ε，即x>tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x>M 时， 便有|arctan x −π2|<ε，∴lim x→+∞arctan x =π2.注：∵lim x→−∞arctan x =−π2≠π2=lim x→+∞arctan x ，∴lim x→∞arctan x 不存在。
函数的极限知识点总结
函数的极限知识点总结一、函数极限的定义1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x自变量趋于x0时，函数f(x)以A为极限（或者以A收敛），记作lim(x→x0)f(x)=A。
2. 函数极限概念解释：函数的极限就是描述了当自变量趋于某一特定的常数时，函数的值随之趋于的一个确定的常数。
3. 极限的图像解释：函数f(x)的极限lim(x→x0)f(x)=A，表示当x自变量在点x0的邻域内取值时，函数图像与直线y=A的距离可以任意小。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
二、函数极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值是唯一的。
即如果lim(x→x0)f(x)=A1，又有lim(x→x0)f(x)=A2，那么A1=A2。
2. 有界性：若函数f(x)在x0附近有极限，那么它在x0附近是有界的。
即存在一个正数M>0，使得当x自变量在点x0的邻域内取值时，总有|f(x)|<M。
3. 保序性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值保持不变。
即如果lim(x→x0)f(x)=A，且f(x)≤g(x)，那么lim(x→x0)g(x)也存在，并且lim(x→x0)g(x)≤A。
4. 逼近性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在x0附近与它的极限可以任意接近。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
三、函数极限的运算规律1. 四则运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且A，B存在，那么有lim(x→x0)[f(x)± g(x)]=A±B，lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B，lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。
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第三章 函数极限一、单选题（每题2分）1、 1、 设=)(x f 则)(lim 0x f x →不存在的原因是（）A 、f （0）无定义B 、)(lim 0x f x -→不存在C 、)(lim 0x f x +→不存在 D 、)(lim 0x f x -→与)(lim 0x f x +→都不存在2、下列各运算过程中正确的是（）A 、2114limxx x -→=∞=-→→)1(lim 4lim 211x xx x B 、=→xx x 1sinlim 0x x 0lim →x x 1sinlim 0→=0C 、=→xx x 1sinlim 0111sinlim 0=→xx x D 、 =∞→xx x 1sinlim 111sin lim =∞→xx x3、若22lim222=--++→x x bax x x ，则必有（）A 、a=2 b=8B 、a=2 b=5C 、a=0 b=-8D 、a=2 b=-84、设x xx +-=11)(φ，31)(x x -=ϕ，则当1→x 时（） A 、φ是ϕ是等价无穷小 B 、φ是较ϕ高阶无穷小 C 、φ是ϕ是同阶无穷小 D 、φ是较ϕ低阶无穷小5、设)(lim 0x f x +→=2，lx f x =-→)(lim 0，又x xx f x ⋅→)(lim 0不存在，则l =（） A 、-2 B 、1 C 、0 D 、26、对0>∀M 总存在0>X ，当X x -<时，M x f -<)(则（） A 、∞=-∞→)(limx f x B 、-∞=∞→)(limx f x C 、-∞=-∞→)(lim x f x D 、+∞=+∞→)(lim x f x7、当+∞→x 时，下列变量为无穷大的是（）A 、xx21+ B 、2e x C 、123++x x xD 、x x sin8、当0→x 时，下列无穷小中不与x 等价的是（）A 、x sinB 、)1tan 1(2-+xC 、xx e e -- D 、)1ln(2x x ++9、设)(x f 定义域有),(+∞-∞，若对每一个正数k ，存在0>δ，使得当δ<<x 0时，kx f >)(，则（）A 、kx f x =→)(lim 0B 、∞=→)(lim 0x f xx 1sinx>0 x x 1sinC 、k x f x =∞→)(limD 、∞=∞→)(lim x f x10、下列结论中错误的是（）A 、100010- B 、当0→x 时，x x 1sin2是无穷小C 、∞→x 时，x x cos 是无穷大D 、+→0x 时，x ln 不是无穷小 答案：1、C2、D3、D4、C5、A6、C7、C8、C9、B 10、C 二、判断题（每题2分） 1、如果)(limx f x ∞→存在，则)(x f 必有界。
（ ）2、若0)(lim >=-∞→A x f x ，则必存在0>M ，使当M x -<时，恒有Ax f A23)(2<<（ ）3、若)(limx f x x →与)()(limx g x f x x →都存在，则)(lim 0x g x x →必存在。
（ ）4、若Ax f a x =→)(lim ，则A x f a x =→)(lim ，反之也成立。
（ ）5、⇔=→A x f xx )(lim对)(0∞→→∀n x x n 有A x f n x =∞→)(lim 。
（ ）6、设)(x D 为狄利克雷函数，R x ∈0，则)(lim 0x D x x →不存在。
（ ）7、无穷小量与有界量乘积仍是无穷小量。
（ ）8、无穷大量与有界量乘积仍是无穷大量。
（ ） 9、无穷大量必是无界理，无界量也必是无穷大量。
（ ）10、∞=∞→)()(lim x g x f x ，0)(lim =∞→x f x 则∞=∞→)(lim x g x （ ） 答案：1、×2、√3、×4、×5、√6、√7、√8、×9、× 10、√ 三、填空题（每空2分）1、+∞=+→)(lim 0x f x 的定义是：对0>∀M ，总有0>∃δ，使当 时，有 。
2、)(x f ~)(x g )(a x →，则)()(x g x f -是比)(x g 的无穷小。
3、x x f 2sin)(=，x x g 1)(=，当∞→x 时均有无穷小，则)(x f 与)(x g 是 无穷小。
4、x x x f --+=11)(，x x g =)(，当0→x 时，0)(→x f ，0)(→x g ，则=→)()(limx g x f x5、变量y 以A 为极限的充要条件是变量y 可以表示为 之和6、如果Ax f x x =→)(lim，且在0x 的某邻域内0)(>x f ，则A7、)(limx f ax →存在δδε<-<∀>∃>∀⇔''''0:,,0,0x a x x 与 时，8、Ax f x =→)(lim 0，则=∞→)1(limx f x9、A x f A x f x x -⇔=→)()(lim是当0x x →时的10、)(limx f x x →存在的充要条件是其左、右极限答案：1、δ<-<00x x M x f >).(2、高阶3、同阶4、25、A 与无穷小6、≥7、δ<-<''0x a ε<-)()('''x f x f8、A9、无穷小量 10、存在且相等四、计算题（每题5分） 1、12)1323(lim -+∞→-+x x x x解：12)1323(lim -+∞→-+x x x x =12)1331(lim -+∞→-+x x x令133-=x t 则tt x 33+=且0lim =+∞→t x于是原极限=312)1(lim -→++tx t=31021)1(lim ])1[(lim -→→+⋅+++t t t t x=2e 2、xx nx n x )(lim -++∞→ （n 为正整数）解：xx nx n x )(lim -++∞→=xx nx n )21(lim -++∞→=nnnn x x n x n 22)21(lim ∙+-+∞→-+=nnn x x n x n2212])21[(lim +-+∞→-+=nnnx x nx n n x n 2212])21()21[(lim -+⋅-+-+∞→=nnnnx x nx n nx n )21(])21[(lim 22-+⋅-+-+∞→=12⨯n e=ne23、1212)(11-+=x x x f 求)(lim 0x f x +→与)(lim 0x f x -→解：)(lim 0x f x +→=1212lim 11-++→x x x =1211211lim 11=-++→xx x)(l i m 0x f x -→=1212lim 110-+-→x x x =11212lim110-=-+--→-+yy y4、xxx x sin tan 1tan 1lim--+→解：分子有理化后再约去x sin ，得原式=)tan 1tan 1(sin tan 2limx x x xx -++→ =1)tan 1tan 1(cos 2lim=-++→x x x x5、15865lim223+-+-→x x x x x 解：15865lim223+-+-→x x x x x =)5)(3()2)(3(lim3----→x x x x x =21)5()2(lim3-=--→x x x6、4sin lim2-∞→x xx x 解：)4()4sin (022-≤-≤x xx x x而4lim2=-∞→x x x由迫敛性定理知4sin lim2=-∞→x x x x或者： 04lim2=-∞→x xx 而x sin 为有界量)(∞→x根据无穷小量与有界量之积仍为无穷小量得 原极限=07、114sin lim-+→x x x 解：114sin lim0-+→x x x =xxx x 4sin )11(lim++→=xx x x 44sin )11(4lim 0++→=⋅++→)11(lim 40x x xx x 44sin lim→=88、xxx x sin 1sinlim2→解：x xx x sin 1sinlim2→=xx xx x sin 1sin lim→=10sin lim1sinlim 0==→→xx x x x x9、x xx -→ππsin lim解：x xx -→ππsin lim=tt t )sin(lim-→π=1sin lim=→tt t10、2321lim4--+→x x x解：2321lim4--+→x x x =)321)(4()2)(82(lim4++-+-→x x x x x=3212lim24+++→x x x =3439242=++⨯五、证明题（每题5分）1、设),(0b a x ∈，在],[b a 上恒有)()(0x f x f ≤，且0)()(limx x x f x f x x --→存在，试证)()(lim00=--→x x x f x f x x证明：],[b a x ∈∀ )()(0x f x f ≤0)()(0≤-∴x f x f当],[b a x ∈，且0x x <时 0)()(00≥--x x x f x f0)()(lim 0x x x f x f x x --→存在， ∴)()(lim00≥---→x x x f x f x x当0x x >时，)()(00≤--x x x f x f∴)()(lim 000≤--+→x x x f x f x x从而)()(lim00=--→x x x f x f x x2、设A x f x =+∞→)(lim ，证明A x f x =+→)1(lim证明：由lim()0,0x f x A X ε→+∞=⇒∀>∃>，当x X >时，ε<-A x f )(今设10Xδ=>，于是当10x X <<时，1u Xx =>则ε<-=-A x f A u f )1()(即A x f x =+→)1(lim3、若A x f x =+∞→)(lim，则0X ∃>，使x X >时，)(x f 有界证明：⇒=+∞→A x f x )(lim对0>∀ε，取1=ε0X ∃>，当x X >时，1)(<-A x f即1)(1)(+<⇒<-A x f A x f即f 在x X >时，)(x f 有界4、设Ax f x x =→)(lim，Bx g x x =→)(lim 0，证明B A >时，则在某)(00x ⋃内有)()(x g x f >，（用δε-语言证之） 证明：Ax f x x =→)(lim，Bx g x x =→)(lim 0，且B A >则对0>∀ε取2>-=B A ε01>∃δ，100δ<-<x x2)(B A A x f -<-22)(B A B A A x f +=-->∴02>∃δ，200δ<-<x x2)(B A B x g -<-22)(B A B A B x g +=-+<∴取{}21,m in δδδ=则δ<-<00x x 时)(2)(x g B A x f >+>5、设∞→x ，证明)(32323x O x x =+ 证明：2)32(lim 32lim323=+=+∞→∞→xxxx x x∴)(32323x O xx =+ 6、设A x f x x =→)(lim，Bx g x x =→)(lim 0，且在00'(,)U x δ内)()(x g x f ≤则B A ≤（用δε-语言证之）证明：Ax f x x =→)(lim，Bx g x x =→)(lim 0，则对0>∀ε分别0,021>>∃δδ当100δ<-<x x ε->A x f )( 200δ<-<x x ε+<B x g )({}'21,,m in δδδδ=，则当δ<-<00x x 时 εε+<≤<-B x g x f A )()(ε2+<⇒B A 由ε的任意性，得B A ≤7、证明：若)(limx f x x →存在，则极限是唯一的 证明：设A x f x x =→)(lim，Bx f x x =→)(lim则对0>∀ε分别0,021>>∃δδ使当100δ<-<x x ，有2)(ε<-A x f200δ<-<x x ，有2)(ε<-B x f取{}21,m in δδδ=，则当δ<-<00x x 时 ))(())((B x f A x f B A ---=-Bx f A x f -+-≤)())((εεε=+<228、用定义证明639lim23=--→x x x证明：当2≠x 时3636396)(2-=-+=---=-x x x x x f∴对0>∀ε取εδ=，当δ<-<30x 时ε<-6)(x f∴639lim23=--→x x x9、证明xx sin lim +∞→不存在证明：当πn x 2=时，xx cos lim +∞→=02cos lim =+∞→πn x 当22ππ+=n x 时，xx cos lim+∞→=1)22cos(lim=++∞→ππn x∴xx cos lim+∞→不存在)(limx f x +∞→的归结原则：设f 定义在],[+∞a 上，则)(lim x f x +∞→存在⇔对{}),[+∞⊂∀a x x且+∞=+∞→n x x lim，)(limn x x f +∞→存在且相等10、设)(x f ~)(x g )(0x x →时，证明))(()()(x f o x g x f =- 证明： )(x f ~)(x g )(0x x →∴1)()(lim 0=→x g x f x x∴)()()(limx f x g x f x x -→011]1)()()()([lim 0=-==-=→x f x g x g x f x x∴))(()()(x f o x g x f =-。