华东交大2010-2011.2《微积分Ⅱ》10级期末试题(A)与解答
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___________d ) (d 2 1 0
=⎰
⎰y
y
x y x f y ,交换积分次序、
_________________cos )!
2()1(cos 3202的麦克劳林展开式为则,设、x x n x n n n ∑∞
=-=
_________
)31
(4 41
1=∑∞
=-S n n 的和级数、 ______________________0168 5的通解为微分方程、=+'-''y y y
三、计算题(每题 7 分,共 49 分)
y
z
x z y x z z z y x z y x ∂∂∂∂=-+=-+、求
,,确定设、 ) (32)32sin(2 1
4 d d 2222
2
≤+⎰⎰+y x D y x e D
y x
为圆域,其中、求二重积分
∑
∑
∞
=∞
=-12
33)2( 1
)
1( 3n n n n
n n
,判断级数的敛散性:、
的收敛域、求幂级数∑∞
=1
34n n
n x n
的通解求微分方程、)ln (ln 5x y x
y
y -=
'
的通解、求微分方程x
x y y 3
6-='
的一个特解、求微分方程156 7+=+'-''x y y y
四、综合题(每题 9 分,共 18 分)
的极值、求函数5126),(123+-+-=y x x y y x f
所围成的区域
及由直线其中,求二重积分、2 d d sin 2x y x y D y x x x
D
==⎰⎰
五、证明题(每题 8 分,共 8 分)
0 ln 22222
2
=∂∂+∂∂+=y
z
x z y x z 证明:,设
华东交通大学2010~2011学年第二学期期末考试
微积分Ⅱ评分标准
一、选择题(每题 2 分,共 10 分)
1、D ;
2、B ;
3、C ;
4、B ;
5、A
二、填空题(每题 3 分,共 15 分)
1、211f y f y '+';⎰⎰x x y y x f x 1 0 2d ) (d 2,、;∑∞=--+0212)!
2(2)1(21 3n n
n n x n 、;4、6;
5、x e x C C y 421)(+=
三、计算题(每题 7 分,共 49 分)
1、z y x z y x z y x F 32)32sin(2) (+---+=,,令, 则
3
)32cos(6 2)32cos(4 1)32cos(2+-+-=--+=--+=z y x F z y x F z y x F z y x ,,
31=-=∂∂⇒z x F F x z ,3
2=-=∂∂⇒z y F F x z
2、原式⎰⎰
=
2
20
d d 2
r r e r π
θ⎰
-=
π
θ2 0
4
d )1(2
1e )1(4-=e π 3、(1) 因为n
n n 11
3
>
-,又
∑
∞
=2
1n n
发散,所以
∑
∞
=-2
3
1
n n n 发散
(2) 因为13131lim 3/3/)1(lim lim 11<=+=+==∞→+∞→+∞→n n n n u u n n n n n
n n ρ,所以∑∞
=13n n n
收敛 4、313lim /3)1/(3lim lim 11=+=+==∞→+∞→+∞→n n
n n a a n n n n n
n n ρ ,31 =∴R 当31-=x 时,级数∑∞=-1
)1(n n n 收敛,当31
=x 时,级数∑∞
=11n n 发散,故收敛域为)31 31[,
- 5、原方程化为x y x y y ln =
',令x y u =分,则x x
u u u d 1
d )1(ln 1=- x x
u u u d 1
d )1(ln 1⎰⎰
=-⇒, C x u ln ln )1ln(ln
+=-⇒,通解为1+=⇒Cx xe y
6、原方程化为21x y x y -=-
', 2)( 1)(x x Q x x P -=-=,,则通解为 )
d (d 1
2d 1C x e
x e
y x
x x
x
+⎰-⎰
=⎰---)
d (ln 2ln C x
e x e x x +-=⎰-
)d (C x x x +-=⎰)2
(2
C x x +-=
7、设b ax y +=*,把*y 代入原方程得:1)(56+=++-x b ax a
⎩⎨⎧=+-=⇒156 15b a a ⎪⎩
⎪⎨⎧==⇒2511 51b a ,故特解为251151*+=x y
四、综合题(每题 9 分,共 18 分)
1、123 622
-=+-=y f x f y x ,,解⎩
⎨⎧=-=+-01230622
y x 得)2 3( )2 3(,,,- 又y f f f yy xy xx 6 0 2==-=,,,
在点)2 3(-,处,020242
<-=>=-A B AC 且,取极大值,极大值为30)2 3(=-,f 在点)2 3(,
处,0242
<-=-B AC ,不取极值 2、⎰
⎰
=
x
x y x x x 1
2d sin d 原式 2分⎰-=1 0 d )sin (sin x x x x ⎰+-=1 0 1
0dcos cos x x x ⎰-+-=1
1
d cos )cos (1cos 1x x x x 10
sin 1x
-=1sin 1-=
五、证明题(每题 8 分,共 8 分)
22222121y x x x y x x z +=⋅+=∂∂ ,2
222
22222222)()(2y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂ 22y x y y z +=∂∂,2222222)(y x y x y z +-=∂∂⇒ 0)()(2
222
222222222=+-++-=∂∂+∂∂⇒y x y x y x x y y z x z