华东交大2010-2011.2《微积分Ⅱ》10级期末试题(A)与解答

___________d ) (d 2 1 0

=⎰

⎰y

y

x y x f y ，交换积分次序、

_________________cos )!

2()1(cos 3202的麦克劳林展开式为则，设、x x n x n n n ∑∞

=-=

_________

)31

(4 41

1=∑∞

=-S n n 的和级数、 ______________________0168 5的通解为微分方程、=+'-''y y y

三、计算题(每题 7 分，共 49 分)

y

z

x z y x z z z y x z y x ∂∂∂∂=-+=-+、求

，，确定设、 ) (32)32sin(2 1

4 d d 2222

2

≤+⎰⎰+y x D y x e D

y x

为圆域，其中、求二重积分

∑

∑

∞

=∞

=-12

33)2( 1

)

1( 3n n n n

n n

，判断级数的敛散性：、

的收敛域、求幂级数∑∞

=1

34n n

n x n

的通解求微分方程、)ln (ln 5x y x

y

y -=

'

的通解、求微分方程x

x y y 3

6-='

的一个特解、求微分方程156 7+=+'-''x y y y

四、综合题(每题 9 分，共 18 分)

的极值、求函数5126),(123+-+-=y x x y y x f

所围成的区域

及由直线其中，求二重积分、2 d d sin 2x y x y D y x x x

D

==⎰⎰

五、证明题(每题 8 分，共 8 分)

0 ln 22222

2

=∂∂+∂∂+=y

z

x z y x z 证明：，设

华东交通大学2010～2011学年第二学期期末考试

微积分Ⅱ评分标准

一、选择题(每题 2 分，共 10 分)

1、D ；

2、B ；

3、C ；

4、B ；

5、A

二、填空题(每题 3 分，共 15 分)

1、211f y f y '+'；⎰⎰x x y y x f x 1 0 2d ) (d 2，、；∑∞=--+0212)!

2(2)1(21 3n n

n n x n 、；4、6；

5、x e x C C y 421)(+=

三、计算题(每题 7 分，共 49 分)

1、z y x z y x z y x F 32)32sin(2) (+---+=，，令， 则

3

)32cos(6 2)32cos(4 1)32cos(2+-+-=--+=--+=z y x F z y x F z y x F z y x ，，

31=-=∂∂⇒z x F F x z ，3

2=-=∂∂⇒z y F F x z

2、原式⎰⎰

=

2

20

d d 2

r r e r π

θ⎰

-=

π

θ2 0

4

d )1(2

1e )1(4-=e π 3、(1) 因为n

n n 11

3

>

-，又

∑

∞

=2

1n n

发散，所以

∑

∞

=-2

3

1

n n n 发散

(2) 因为13131lim 3/3/)1(lim lim 11<=+=+==∞→+∞→+∞→n n n n u u n n n n n

n n ρ，所以∑∞

=13n n n

收敛 4、313lim /3)1/(3lim lim 11=+=+==∞→+∞→+∞→n n

n n a a n n n n n

n n ρ ，31 =∴R 当31-=x 时，级数∑∞=-1

)1(n n n 收敛，当31

=x 时，级数∑∞

=11n n 发散，故收敛域为)31 31[，

- 5、原方程化为x y x y y ln =

'，令x y u =分，则x x

u u u d 1

d )1(ln 1=- x x

u u u d 1

d )1(ln 1⎰⎰

=-⇒， C x u ln ln )1ln(ln

+=-⇒，通解为1+=⇒Cx xe y

6、原方程化为21x y x y -=-

'， 2)( 1)(x x Q x x P -=-=，，则通解为 )

d (d 1

2d 1C x e

x e

y x

x x

x

+⎰-⎰

=⎰---)

d (ln 2ln C x

e x e x x +-=⎰-

)d (C x x x +-=⎰)2

(2

C x x +-=

7、设b ax y +=*，把*y 代入原方程得：1)(56+=++-x b ax a

⎩⎨⎧=+-=⇒156 15b a a ⎪⎩

⎪⎨⎧==⇒2511 51b a ，故特解为251151*+=x y

四、综合题(每题 9 分，共 18 分)

1、123 622

-=+-=y f x f y x ，，解⎩

⎨⎧=-=+-01230622

y x 得)2 3( )2 3(，，，- 又y f f f yy xy xx 6 0 2==-=，，，

在点)2 3(-，处，020242

<-=>=-A B AC 且，取极大值，极大值为30)2 3(=-，f 在点)2 3(，

处，0242

<-=-B AC ，不取极值 2、⎰

⎰

=

x

x y x x x 1

2d sin d 原式 2分⎰-=1 0 d )sin (sin x x x x ⎰+-=1 0 1

0dcos cos x x x ⎰-+-=1

1

d cos )cos (1cos 1x x x x 10

sin 1x

-=1sin 1-=

五、证明题(每题 8 分，共 8 分)

22222121y x x x y x x z +=⋅+=∂∂ ，2

222

22222222)()(2y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂ 22y x y y z +=∂∂，2222222)(y x y x y z +-=∂∂⇒ 0)()(2

222

222222222=+-++-=∂∂+∂∂⇒y x y x y x x y y z x z