华东交大2010-2011.2《微积分Ⅱ》10级期末试题(A)与解答

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___________d ) (d 2 1 0

=⎰

⎰y

y

x y x f y ,交换积分次序、

_________________cos )!

2()1(cos 3202的麦克劳林展开式为则,设、x x n x n n n ∑∞

=-=

_________

)31

(4 41

1=∑∞

=-S n n 的和级数、 ______________________0168 5的通解为微分方程、=+'-''y y y

三、计算题(每题 7 分,共 49 分)

y

z

x z y x z z z y x z y x ∂∂∂∂=-+=-+、求

,,确定设、 ) (32)32sin(2 1

4 d d 2222

2

≤+⎰⎰+y x D y x e D

y x

为圆域,其中、求二重积分

=∞

=-12

33)2( 1

)

1( 3n n n n

n n

,判断级数的敛散性:、

的收敛域、求幂级数∑∞

=1

34n n

n x n

的通解求微分方程、)ln (ln 5x y x

y

y -=

'

的通解、求微分方程x

x y y 3

6-='

的一个特解、求微分方程156 7+=+'-''x y y y

四、综合题(每题 9 分,共 18 分)

的极值、求函数5126),(123+-+-=y x x y y x f

所围成的区域

及由直线其中,求二重积分、2 d d sin 2x y x y D y x x x

D

==⎰⎰

五、证明题(每题 8 分,共 8 分)

0 ln 22222

2

=∂∂+∂∂+=y

z

x z y x z 证明:,设

华东交通大学2010~2011学年第二学期期末考试

微积分Ⅱ评分标准

一、选择题(每题 2 分,共 10 分)

1、D ;

2、B ;

3、C ;

4、B ;

5、A

二、填空题(每题 3 分,共 15 分)

1、211f y f y '+';⎰⎰x x y y x f x 1 0 2d ) (d 2,、;∑∞=--+0212)!

2(2)1(21 3n n

n n x n 、;4、6;

5、x e x C C y 421)(+=

三、计算题(每题 7 分,共 49 分)

1、z y x z y x z y x F 32)32sin(2) (+---+=,,令, 则

3

)32cos(6 2)32cos(4 1)32cos(2+-+-=--+=--+=z y x F z y x F z y x F z y x ,,

31=-=∂∂⇒z x F F x z ,3

2=-=∂∂⇒z y F F x z

2、原式⎰⎰

=

2

20

d d 2

r r e r π

θ⎰

-=

π

θ2 0

4

d )1(2

1e )1(4-=e π 3、(1) 因为n

n n 11

3

>

-,又

=2

1n n

发散,所以

=-2

3

1

n n n 发散

(2) 因为13131lim 3/3/)1(lim lim 11<=+=+==∞→+∞→+∞→n n n n u u n n n n n

n n ρ,所以∑∞

=13n n n

收敛 4、313lim /3)1/(3lim lim 11=+=+==∞→+∞→+∞→n n

n n a a n n n n n

n n ρ ,31 =∴R 当31-=x 时,级数∑∞=-1

)1(n n n 收敛,当31

=x 时,级数∑∞

=11n n 发散,故收敛域为)31 31[,

- 5、原方程化为x y x y y ln =

',令x y u =分,则x x

u u u d 1

d )1(ln 1=- x x

u u u d 1

d )1(ln 1⎰⎰

=-⇒, C x u ln ln )1ln(ln

+=-⇒,通解为1+=⇒Cx xe y

6、原方程化为21x y x y -=-

', 2)( 1)(x x Q x x P -=-=,,则通解为 )

d (d 1

2d 1C x e

x e

y x

x x

x

+⎰-⎰

=⎰---)

d (ln 2ln C x

e x e x x +-=⎰-

)d (C x x x +-=⎰)2

(2

C x x +-=

7、设b ax y +=*,把*y 代入原方程得:1)(56+=++-x b ax a

⎩⎨⎧=+-=⇒156 15b a a ⎪⎩

⎪⎨⎧==⇒2511 51b a ,故特解为251151*+=x y

四、综合题(每题 9 分,共 18 分)

1、123 622

-=+-=y f x f y x ,,解⎩

⎨⎧=-=+-01230622

y x 得)2 3( )2 3(,,,- 又y f f f yy xy xx 6 0 2==-=,,,

在点)2 3(-,处,020242

<-=>=-A B AC 且,取极大值,极大值为30)2 3(=-,f 在点)2 3(,

处,0242

<-=-B AC ,不取极值 2、⎰

=

x

x y x x x 1

2d sin d 原式 2分⎰-=1 0 d )sin (sin x x x x ⎰+-=1 0 1

0dcos cos x x x ⎰-+-=1

1

d cos )cos (1cos 1x x x x 10

sin 1x

-=1sin 1-=

五、证明题(每题 8 分,共 8 分)

22222121y x x x y x x z +=⋅+=∂∂ ,2

222

22222222)()(2y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂ 22y x y y z +=∂∂,2222222)(y x y x y z +-=∂∂⇒ 0)()(2

222

222222222=+-++-=∂∂+∂∂⇒y x y x y x x y y z x z

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