【高考状元】数学错题本：第4章导数及其应用易错题含解析

解得 x0 2 ，所以切线方程为 y=21x+32． 注意：导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上． 【纠错训练】 已知函数 f ( x ) x bx ax d 的图象过点 P（0，2） ，且在点 M（－1，f（－1） ）处的切线 方程为 6 x y 7 0 ，求函数 y f ( x ) 的解析式； 解析：由 f ( x ) 的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以 f ( x ) x bx cx 2,
' '
且开口向下；则 f ( x ) 在 ,2 上递减，在 2,0 上递增，在 0, 递减；故选 A． 【纠错训练】函数 y f x 的导函数 f ( x ) 的图象如右图所示，则函数 y f x 的图象可能是（ ）
【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有 D 符合．
3
单调递增，但是 f ( x ) 0 ，因此 f ( x ) 0 是函数 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件． 【正解】充分不必要 【纠错训练】若函数 f ( x ) ax x 在 R 上为减函数，求实数的取值范围． 【解析】由 f ( x )=3ax 1 0 在 R 上恒成立，
易错点 4 ．遗忘复合函数求导公式 【例 4】函数 【错解】
y x e1cos x
的导数为
．
y e1cos x
【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对 自变量的导数，即 y x yu u x ． 【正解】 y e
1 cos x
x e1cos x e1cos x xe1cos x 1 cos x e1cos x
xe1cos x sin x 1 x sin x e1cos x
易错点 5．切线问题中忽视切点的位置致错 【例 5】已知曲线 f ( x ) 2 x 3 x ，过点 M (0,32) 作曲线 f ( x ) 的切线，求切线方程． 【错解】由导数的几何意义知 k f (0) 3 ，所以曲线的切线方程为 y 3 x 32 ．
我的高考数学错题本
第 4 章 导数及其应用易错题
易错点 1．误解导函数与单调区间的关系 【例 1】 f ( x ) 是 f ( x ) 在区间 [ a, b] 的导函数，则“在区间 (a, b) 内 f ( x ) 0 ”是“ f ( x ) 在该区间内单调递增” 的________条件． 【错解】充要 【错因】一般地，由 f ( x ) 0 能推出 f ( x ) 为增函数，反之，则不一定．如函数 f ( x ) x 在区间 ( , ) 上
是 f ( x) x 3 3x 2 3x 2.
3
【错因】点 M (0,32) 根本不在曲线上，忽视切点位置致错． 【 正 解 】 设 切 点 坐 标 为 N ( x0 , 2 x0 3 x0 ) ， 则 切 线 的 斜 率 k f ( x0 ) 6 x0 3 ， 故 切 线 方 程 为
3 2 2 3 2 y (6 x0 3) x 32 ，又因为点 N 在切线上， 所以 2 x0 3 x0 (6 x0 3) x0 32 ，
3 2 3 2
f ( x) 3 x 2 2bx c. 由在 M (1, f (1)) 处的切线方程是 6 x y 7 0 ，知
3 2b c 6, 6 f (1) 7 0,即f (1) 1, f (1) 6. 2b c 3, 即 解得 b c 3. 故所求的解析式 1 b c 2 1. b c 0,
2 3
∴当 a 0 时， f ( x ) 1 0 ，满足题意； 当a 0，

a0
12a 0
，解得 a 0 ．
综上所述， a 0 ．
易错点 2 ．误解“导数为 0”与“有极值”的逻辑关系 【例在 x 1 处有极值 10，求 a , b 的值．
当
所以 a 3, b 3 ．
易错点 3．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 【例 3】 已知函数 f（x）的导函数 f x 的图像如左图所示，那么函数 f x 的图像最有可能的是
【错解】选 B, C, D 【剖析】概念不清，凭空乱猜 【正解】由导函数的图像，可得：当 x ,2 0, 时， f ( x ) 0 ，当 x 2,0 时， f ( x ) 0 ，
3 2 2
【错解】由 f (1) 10, f (1) 0 解得 a 4, b 11或a 3, b 3 ． 【错因】对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把 f ( x0 ) 为极值的必要条件当作充要条件． 【正解】 f ( x ) 3 x 2ax b ，依题意得
2
f (1) 10 a 4 a 3 ，解得 或 ， f (1) 0 b 11 b 3
当
a 4 2 时， f ( x ) 3x 8 x 11 (3x 11)( x 1) ，所以 f ( x ) 在 x 1 处取得极值； b 11 a 3 2 2 时， f ( x ) 3x 6 x 3 3( x 1) ，此时 f ( x ) 在 x 1 无极值． b 3