第三章 三角恒等变换 章末质量评估(人教A版必修4)

第三章 三角恒等变换 章末质量评估(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．cos 230°－sin 230°的值是( )． A.12 B.－12 C.32D.－32解析 cos 230°－sin 230°＝cos 60°＝12. 答案 A2．已知sin α＝35且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．－34 B.34 C ．－32D.32 解析 ∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34. ∴sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝－32. 答案 C3．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是( )． A.π2 B.π C ．2πD.4π 解析 f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故T ＝2π2＝π.答案 B4．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )．A ．－3 B.－13 C ．3D.13 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.答案 D5．已知cos 78°约等于0.20，那么sin 66°约等于( )． A ．0.92 B.0.85 C ．0.88D.0.95解析 ∵cos 78°＝sin 12°≈0.20，∴sin 66°＝cos 24°＝1－2sin 212°≈1－2×(0.20)2＝0.92. 答案 A6．若cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2的值为( )． A ．2 B.－2 C ．±2D.±12解析 ∵cos θ＝－35，且180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－2. 答案 B7．函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象________得到．( )． A ．向右移动π12个单位 B ．向左移动π12个单位 C ．向右移动π6个单位 D ．向左移动π6个单位解析 ∵g (x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x ，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴f (x )可以由g (x )向右移动π12个单位得到．答案 A8．(2012·余姚高一检测)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形 B.等腰三角形 C ．直角三角形D.等腰直角三角形解析 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形． 答案 C9．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )． A.3365 B.6365 C ．－3365D.－6365解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， 由sin β＝－513得cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.答案 A10．(2012·日照高一检测)当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )． A ．1B.±1C. 3D.－1解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋34sin x cos x ＝34＋12sin 2x . 当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1. 答案 A11．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则角α＋β的大小为( )． A.π6 B.－2π3 C.π6或－5π6D.－π3或2π3解析 由题意，知tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4>0，∴tan α<0，tan β<0.又∵－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<α<0，－π2<β<0，－π<α＋β<0. 又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝－2π3.答案 B12．(江苏连云港模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．m <1 B.m >－3 C ．m <3D.m >1解析 f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B 1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立． ∵0<B <π，∴0<sin B ≤1. ∴－1<2sin B －1≤1，故m >1. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．(2012·杭州高一检测)若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________. 解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z . 答案 k π－π4，k ∈Z14．(2012·台州高一检测)已知a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 从大到小的关系是________．解析 a ＝sin 14°＋cos 14°＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2·sin 60°.因为59°<60°<61°，所以a <c <b ，即b >c >a . 答案 b >c >a15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°.∴当α＝60°时，x ＋y 有最大值2. 答案 216．(2012·长沙高一检测)关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2 x 1－tan x 的值．解 sin 2x －2sin 2x1－tan x＝cos x ·2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x＝sin 2x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1＝－2×925＋1＝725. 18．(本小题满分12分)求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°.解cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°＝cos 40°＋sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°＝cos 40°＋cos 40°·2sin (10°＋30°)cos 10°2cos 220°＝cos 40°＋12cos 220°＝ 2.19．(本小题满分12分)(2012·哈尔滨高一检测)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β. 证明 ∵tan(α－β)＝sin 2β，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β，∴tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.∴tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β ＝2tan 2β.20．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos 2A 的值． 解 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π. ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35. ∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45， cos(A ＋C )＝－35. ∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝725.∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625.21．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)． (1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，即tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. (2)∵tan α＝－13，α∈(0，π)， ∴sin α＝110，cos α＝－310. ∴f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x . ∴f (x )的最大值为 5.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.(2)∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )单调递增，∴当x ＝π6时，f (x )的最大值等于m ＋3.⎧m＋3<4 m＋2>－4，解得－6<m<1.当x＝0时，f(x)的最小值等于m＋2.由题设知⎩⎨。