15秋北航《微积分(下)》在线作业一答案
微积分习题册答案
(2) 函数 z = x y 在点 (2, −1) 处，当 ∆x = 0.02, ∆y = −0.01 时有全增量 ∆z = 全微分 dz = −0.2 .
(3) 设 z = f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处的全增量为 ∆z , 全微分为 dz , 则 f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处的 全增量与全微分的关系式是 ∆z = dz + o(ρ) (ρ → 0); y (4) u = arctan 在点 (1, 1) 处的 du = − 1 dx + 1 dy ; 2 2 x (5) u = (sin y )cos y ，则 du = (sin y )cos x (− sin x ln sin y dx + cos x cot y dy ) ; 1 1 (6) u = √ , 则 du = − 2 (xdx + y dy + z dz ) . 2 (x + y + z 2 )3/2 x2 + y 2 + √ z2 2. 证明： f (x, y ) = |xy | 在点 (0, 0) 处连续，fx (0, 0), fy (0, 0) 都存在，但在 (0, 0) 处不可微. 解. 因为
微
进一步, 我们有
积
分
∂u du ∂r x−a = =− 3 , ∂x dr ∂x r
练
习
册
(2) 考察偏导函数在 (0, 3) 处是否连续. 解. (1) 当 x ̸= 0 时, 由对数求导法可得 1 fx (x, y ) = x (x + y ) sin x
2 2 2
(
2 2x 1 1 + 2 − cot 2 x x +y x x
微积分下册练习题(含答案)
1、级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n s 的极限存在是级数1nn u∞=∑收敛的 充要 条件。
2、判断级数31sin 42nn nn ∞=∑的敛散性。
解：3sin 422n nn n n ≤，而1112lim 22n n n n n +→∞+=，故收敛。
3、级数1nn x ∞=-的收敛半径为r = 2 。
4、幂级数()2113nnn x ∞=-∑的收敛区间为1⎡⎣。
5、将函数()()ln 1f x x =-展开成x 的幂级数是[)234111,1,1234x x x x x -----∈-。
6、微分方程dydx=()2sin y x C =+。
7、求微分方程xy y e '-=的通解。
解：()dxdx x x y e e e dx C e x C -⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰8、微分方程sin 6y x x '''=-的通解是42123cos 4x y x C x C x C =--+++。
9、微分方程2xy y y e '''-+=的通解。
解：特征方程为220r r -+=，解得121,2r r =-=，另外特解是12xy e *=， 从而通解为21212xx x y C eC e e -=++10、微分方程()1xy y ex ''+=+的特解可设为y *=()x e ax b +。
11. 级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件是lim 0n n u →∞= .12. 交换二次积分的次序100(,)y dy f x y dx ⎰⎰=110(,)x dx f x y d y ⎰⎰ 13. 微分方程2442x y y y xe '''-+=的特解可以设为*22()x y x ax b e =+. 14. 在极坐标系下的面积元素d σ=.rdrd θ 15. 级数13121(1)n n n∞-=-∑为（ A ）.A.绝对收敛;B. 条件收敛;C.发散;D. 收敛性不确定. 16.幂级数1(1)n n n n ∞-=-∑的收敛半径为( 13R = ).17. 设sin(),xyz x y e =++求dz .解： c o s ()xy x z x y ye =++ c o s ()xyy z xy xe =++ [c o s ()][c o s ()x yx y d z x y y ed x x y xe d y=+++++18.求幂级数1(1)(1)nn n x n ∞=--∑的收敛域. 解 1R =当2x =时收敛 当0x =时发散收敛域为(0,2].19.将21()2f x x x =--展开为麦克劳林级数. 解： 21111231212x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+---⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2分()11316(1)2x x =+-+ 3分0011(1)362nn n n n x x ∞∞==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑5分10111(1)32n n n n x ∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑6分1x <7分20. 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解.解()224xdxx y eC xe dx⎰-=+⎰3分 222[2()]x x e C e d x -=+⎰4分22x Ce-=+5分将03x y ==代入上式得 1C =6分所求特解为22x y e-=+7分。
工学微积分试题-下-答案
微积分试题下解答一（每小题各5分）1。
4a b ⋅=−vv a prj b =v v ， {}7,9,4a b ×=−−−v v 2。
27:380x y z L x y z −−+=⎧⎨−++=⎩0二（每小题各5分）1．2221(,)y y dy f x y dx +−∫∫2。
122001(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx +∫∫∫三（每小题各5分）1。
22200sin (1cos 4)4I d r rdr ππθ=⋅=−∫∫ 2。
220020(32)3x I dx x y dy −=+∫∫= 3．223148sin 2y y x I dy dx y πππ+==∫∫四（每小题各5分）1。
12lim 1n n na a e ρ+→∞==<，所以级数收敛。
2。
级数条件收敛3。
收敛域为[1,3)−五（每小题各5分）1。
22440002sin 4R I d d r r dr R ππθϕϕ−=⋅=∫∫∫π 2。
822200336I dz d rdr πθπ=⋅∫∫= 六（每小题各5分） 1。
22L I ads a π==∫ 2。
224056()15I x x dx =−=−∫ 3。
122aL BA BA a DI dxdy dx ab a π+−=−=−=−∫∫∫∫∫uuu v uuu v4。
由于整个平面是单连域，且在整个平面内有一阶连续偏导数，而且(,),(,)P x y Q x y 22Q P x y x y∂∂==−+∂∂，所以是某二元函数的全微分。
322011(,)(,0)(,)33xy x u x y P x dx Q x y dy x x y xy y =+=−+∫∫3− 七1．（本题5分）22226x y R I x y R +≤=∫∫ 2．（本题5分）令是平面在旋转曲面内部分的右侧，则1∑3y =1111623234I dxdydz dxdz πππ∑+∑∑Ω∑=−=+=+=∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 3．（本题7分）令是平面1∑2y =在y =内部分上侧；3∑是平面1y =在y =内部分下侧；是2∑y =在平面1,2y y ==之间部分外侧。
微积分练习题答案
《微积分》练习题参考答案一．单项选择题 1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ） 二．填空：（每小题3分，共15分） 1． ⎪⎭⎫ ⎝⎛'--x f x x 1arcsin 1122． ()06=y 3． 12+=x y 4． 2-=y ， 0=x5． ()x e x f +='1，()c e x x f x ++=三,计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x21222lim321lim 1221=+=-+-→→x x x x x x x ()262lim 3223)21(lim 2lim -+-+⎪⎭⎫⎝⎛-∙-∞→+∞→==-=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→e e xx x x x x x x x x x x （3）x x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy313lim 3sin )1ln(lim2020=⋅=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-⋅-⋅-= （5）053=-+x y exy求=x dxdy()xyxyxy xe y ye y y y y x y e +-='⇒=-'+'+2235053又10-=⇒=y x235102=+-='-===y x xyxy x xe y ye y（三．试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。
（8分）解：()()[]22sin 1lim 000++=+++=++→b a a x b f x ()[]01lim 000=-=--→axx e f ， 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f 02=++b a ， （1）()()[][]b xa b a x b f x =++-+++='+→+22sin 1lim00()[]a xe x b a ef ax x ax x =-=++--='→→--1lim 21lim 000函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ，故b a = （2） 由（1）（2）知1-==b a四．试证明不等式：当1>x 时，()e xe 21e x e x x+<<⋅ （8分） 证：（法一）设()te tf = []x t ,1∈ 则由拉格朗日中值定理有()()()111-<-=-<-x e x e e e x e x x ξ ()x ,1∈ξ整理得：()e xe 21e x e x x+<<⋅ 法二：设()ex e x f x -=()()10>>-='x e e x f x 故()ex e x f x -=在1>x 时，为增函数，()()01=>-=f ex e x f x ，即ex e x >设()()e xe e xf x x+-=21()()()()1012121><-=+-='x x e xe e e x f x x x x 故()()e xe e xf x x+-=21在1>x 时，为减函数，()()()0121=<+-=f xe e e x f x x x ，即()e xe 21e x x +<综上，()e xe 21e x e x x+<<⋅五．设()()()()a x ax a f x f x F >--=，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。
微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
微积分--课后习题答案
习题1—1解答1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D（2）{y y x y x D ,10),(22<+<=（3）⎫⎩⎨⎧++=),(22222b y a x y xD（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限： （1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim0020==-+→→=→y yy x y x y y x yx所以极限不存在。
微积分课后题答案
微 积 分 课 后 习 题 答 案习 题 一 （A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ； （2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ； （4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ；4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2） ， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）x y =与x y lg 10=； （2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ； （6）xxy +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞- 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立； 4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）1)4lg(--=x x y ； （2）45lg 2x x y -=；（3）xx y +-=11； （4）)5lg(312x x x y -+-+-=； （5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21； （8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210,30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ； （2）x y sin 2=； （3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。
微积分北京大学出版社课后详解
2、选择适当的坐标系计算下列二重积分. （1）
∫∫ (
D
x + y )dσ ，其中 D 由坐标轴与抛物线 x + y = 1 所围.
4
解：设 x = r cos
θ , y = r sin 4 θ ， dσ = 4 cos3 θ sin 3 θ rdrdθ
y 1 0
x + y =1
2
1
x
D: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤
1 2
x
π π π 1 34 1 34 1 34 4 2 2 θ + θ θ = + θ θ = cos sin d 1 sin 2 d ) ) π ( π ( π (1 + 2sin 2θ + sin 2θ ) dθ ∫ ∫ ∫ − − − 3 4 3 4 3 4
3π
π 1 34 1 + cos 4θ ⎛ = ∫ π 1 + 2sin 2θ + ⎜ 3 −4 ⎝ 2
1⎛ 3 1 ⎞ ⎞ 4 π ⎟ dθ = ⎜ θ + 2sin 2θ + cos 4θ ⎟ π = 3⎝ 2 2 2 ⎠ ⎠−
4
（3）
∫∫
D
1 − x2 − y 2 dxdy ，其中 D 由 x 2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0 所围. 1 + x2 + y 2
解：D: 0 ≤ θ ≤
∫π
π
3
4
dθ ∫ cosθ
π π
3 4
π π π 1 1 1 3 3 cosθ dθ = rdr = ∫ π3 r 0 d θ = π π sec θ dθ ∫ ∫ r cos θ 4 4 4
14秋北航《微积分(上)》在线作业答案一试卷最新
14秋北航《微积分（上）》在线作业答案一一、单选题（共5 道试题，共30 分。
）1. 设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇( 0 ) = ( )A. 0B. 1C. 3D. 2-----------------选择：C2. 函数y=sin2x+cos4x的周期为A. πB. 2πC. 3πD. 4π-----------------选择：A3. 集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成A. {3，6，…，3n}B. {±3，±6，…，±3n}C. {0，±3，±6，…，±3n…}D. {0，±3，±6，…±3n}-----------------选择：C4. 以下数列中是无穷大量的为（）A. 数列{Xn=n}B. 数列{Yn=cos(n)}C. 数列{Zn=sin(n)}D. 数列{Wn=tan(n)}-----------------选择：5. 函数y=|x-1|+2的极小值点是( )A. 0B. 1C. 2D. 3-----------------选择：北航《微积分（上）》在线作业一单选题判断题二、判断题（共10 道试题，共70 分。
）1. 幂函数的原函数均是幂函数。
A. 错误B. 正确-----------------选择：2. 数列收敛的充分必要条件是它的任一子数列都收敛并且极限相等。
A. 错误B. 正确-----------------选择：3. 设y=f(x)在区间[0,2008]上是增函数，则在区间[0,2008]上y′存在且大于0。
A. 错误B. 正确-----------------选择：4. 函数的极限存在是函数的左右极限存在的充要条件B. 正确-----------------选择：5. 所有可去间断点属于第二类间断点。
A. 错误B. 正确-----------------选择：6. 函数y=cosx+tan2x的值域是所有实数A. 错误B. 正确-----------------选择：7. y=tan2x 是一个增函数A. 错误B. 正确-----------------选择：8. 如果f(x)在区间[a,b]上是单调函数，则f(x)在[a,b]上可积A. 错误B. 正确-----------------选择：9. 设函数f(x)在整个实数域上有定义，f(0)不等于0，且满足f(xy)=f(x)f(y),则f(x)=xA. 错误B. 正确-----------------选择：10. 周期函数有无数个周期A. 错误B. 正确-----------------选择：。
15秋北航《微积分(下)》在线作业一100分答案
C. x^2(1/4-lnx/2)+C
D. x^2(1/2-lnx/4)+C
-----------------选择：B
3.若函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内连续，则函数f(x0,y) ( )
A.在y0点连续
B.在y0点可导
C.在y0点可微
D.在y0点取得极值
A. x^2+2x+2
B. x^2-2x+2
C. x^2+6x+10
D. x^2-6x+10
-----------------选择：C
北航《微积分（下）》在线作业一
单选题判断题
二、判断题（共10道试题，共70分。）
1.多元函数u=xyz+2008的全微分du = 2008+yzdx+xzdy+xydz
A.错误
B.正确
-----------------选择：A
7.对于函数积分如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和
A.错误
B.正确
-----------------选择：B
8.任何初等函数都是定义区间上的连续函数。
A.错误
BHale Waihona Puke 正确-----------------选择：B
北航《微积分（下）》在线作业一
一、单选题（共5道试题，共30分。）
1.已知y= 4x^3-5x^2+3x-2,则x=0时的二阶导数y"=（）
A. 0
B. 10
C. -10
D. 1
-----------------选择：C
微积分(上、下)模拟试卷和答案
北京语言大学网络教育学院《微积分（上、下）》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。
一、【1为（）34、y ='y ＝（）。
[B]1x[C]不存在7、函数4334+-=x x y 的二阶导数是（）。
[A]2x [B]21218x x - [C]3249x x -[D]x 128、21lim 1xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）9、已知()03f x '=-，则()()0003limx f x x f x x∆→+∆--∆=（）函数()x xe e -+函数)y 的定[A]{[C]{12[A][[C](13、设若x n n n =0，则a n =（）15、设(,)f x y 为连续函数，且(,)(Df x y xy =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =和1x =围成的区域。
则(,)f x y 等于（）16、下列微分方程中，是可分离变量的方程是（）[A]2e -[B]e[C]2e [D]1[A]1[A][A]fn n ()()!0 [B]fx n n ()())!()f n n 0 [D]1n ![A]xy [B]2xy[C]xy+81 [D]xy+1[A]'x yy e x+= [B]'sin y y x -= [C]22'1y y x y x =+++[D]'2xy xy y e +=17、将11x+展开成x 的幂级数为（） [A]∑∞=o n nx[B]()1nn n x ∞=-∑[C]∞=+n nn 1∞n18、设xyz =，则[A][C]20、】(本大题2分，共2021、f '2223()1,+∞。
微积分下模拟试卷一至五(含答案)共5套北京语言大学网络教育学院-推荐下载
x y
）。
在(0,0)点处（
8、 z f (x, y) 在 P0 (x0 , y0 ) 处 f x (x, y) ， f y (x, y) 存在是函数在该点可微分的（
[A] 必要条件
[C] 充要条件
9、二元函数 z 5 x2 y2 的极大值点是（
[A] (1, 0)
10、下列定积分计算正确的是（
[C] 2x 2 y 5、设函数 z x2 sin 2 y ，则 z 等于（
x [A] 2x sin 2 y
[C] x sin 2 y
6、级数
n0
[A] 8/3
7、函数
2
f
[A] 极限值为 1
[C] 连续
4n
(x, y)
的和是（
[B] 2
xy , x y
0,
x y,
14、函数 f x, y y3 x2 6x 12 y 5 的极值为（
[A] 5
[B] 10
15、函数 y ex 关于 x 的幂级数展开式为（
xn
[A]
n0 n!
xn
[B]
n0 (n 1)!
16、方程 xy ln y ln x 0 所确定的隐函数 y f x的导数 dy 是（
北京语言大学网络教育学院
《微积分（下）》模拟试卷一
注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分 100 分，答题时间为 90 分钟。 4. 本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在 试题卷上不给分。
微积分参考答案
微积分参考答案微积分参考答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和求解问题的方法。
在学习微积分的过程中，我们常常会遇到各种各样的问题，需要通过计算来得到准确的答案。
在这篇文章中，我将为大家提供一些常见微积分问题的参考答案，希望能对大家的学习有所帮助。
一、导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x = 2 处的导数。
解：首先，我们可以利用导数的定义来求解这个问题。
导数的定义是函数在某一点的斜率，可以通过求函数的极限来得到。
对于函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以计算出其导数为 f'(x) = 2x + 2。
将 x = 2 代入导数公式中，得到 f'(2) = 2(2) + 2 = 6。
所以，函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x = 2 处的导数为 6。
2. 求函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数。
解：函数 g(x) = e^x 是一个指数函数，其导数等于其本身。
所以，函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 g'(0) = e^0 = 1。
所以，函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 1。
3. 求函数 h(x) = ln(x) 在 x = 1 处的导数。
解：函数 h(x) = ln(x) 是一个对数函数，其导数可以通过对数函数的导数公式得到。
根据对数函数的导数公式，我们可以计算出 h'(x) = 1/x。
将 x = 1 代入导数公式中，得到 h'(1) = 1/1 = 1。
所以，函数 h(x) = ln(x) 在 x = 1 处的导数为 1。
二、积分与定积分1. 求函数 f(x) = 2x 在区间 [0, 3] 上的定积分。
解：定积分可以理解为函数在某一区间上的面积。
对于函数 f(x) = 2x，在区间[0, 3] 上的定积分可以通过积分的定义来计算。
微积分部分习题及答案 (1)
(2) 1(x2 4x 4) dx 0
解：原式 ( x3 2x2 4x) 1 1 2 4 19
3
03
3
(3)
0
3
a2
1
x2
dx
(a为常数)
解：原式 1
a
0
3
1
1 x a
2
d
x a
1 arctan x 3
a
a0
1 arctan 3
a
a
20
11.用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分
5
(2) ln xdx 1
解
原式 x ln x 5
5
xd ln x
1
1
5 ln 5
5 x 1 dx 1x
5 ln 5 4
35
14.用分部积分法计算下列定积分
(5) 4 ln xdx
1x
解
原式 2
4
ln xd
1
x 2 ln x
4
x 2
4
1
1
xd ln x
8 ln 2 2 4 1
解
原式 1 5
1 2
(11
1 5
x
)3
d
(5
x
11)
1 5
1 2
11
5x 2
1 2
= 51 512
33
14.用分部积分法计算下列定积分
(1) 1 xexdx 0
解 原式 1 xdex 0
xex 1 1 exdx 00
( xe x
ex
)
1 0
1
34
14.用分部积分法计算下列定积分
6
22
11.用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分
北航14秋《微积分(下)》在线作业二答案
B.正确
正确答案：B
7.多元函数u=xyz+2008的全微分du = 2008+yzdx+xzdy+xydz
A.错误
B.正确
正确答案：A
7.闭区间上函数可积（积分存在）与函数可导之间既非充分也非必要条件
A.错误
B.正确
正确答案：A
8.微分的几何意义就是当横坐标改变时，切线纵坐标的改变量。（）
正确答案：D
2. g(x)=1+x,x不等0时，f[g（x）]=(2-x)/x,则f‘(0)=( )
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
正确答案：B
2.已知z= 2sin3x-5e^y,则x=0,y=1时的全微分dz=（）
A. 6dx-5edy
B. 6dx+5edy
C. 5edy
D. -5edy
正确答案：A
A.错误
B.正确
正确答案：A
4.微分方程解中不含任意常数的解称为特解。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
5.设{Xn}是无穷大量，{Yn}是有界数列，则{ XnYn }是无穷大量（）
A.错误
B.正确
正确答案：A
5.若函数在闭区间上连续，则它不一定有界。
A.错误
B.正确
正确答案：A
6.含有未知数的导数或微分的方程称为微分方程。
北航《微积分（下）》在线作业二
一,单选题
1.微分方程y'=2x+sinx的一个特解是（）
A. y=x^2+cosx
B. y=x^2-cosx
C. y=x+cosx
D. y=x-cosx
北航《微积分(下)》在线作业二标准答案
HomeWorkId：e60695c6-af68-480c-a609-bca9612763beExamTaskId：e665d485-59cd-4ab3-9a80-7736c4f5f50f北航《微积分（下）》在线作业二1：已知z=f(x，y)由隐函数xy+g(z)=0确定，其中g(z)关于z可导且导数恒大于0，则x=0，y=0时的全微分 dz =（）A：dxB：dyC：0D：dx-dy正确答案：C2：已知u= xyz，则x=0，y=0，z=1时的全微分 du =（）A：dxB：dyC：dzD：0正确答案：D3：若F'(x)=f(x)，则∫dF=( )A：f(x)B：F(x)C：f(x)+CD：F(x)+C正确答案：D4：微分方程dx-sinydy=0的一个特解是( )A：x+cosy=0B：x-cosy=0C：x+siny=0D：x+cosy=C正确答案：A5：曲线y=x^2+x-2在点(1.5，1.75)处的切线方程为( )A：16x-4y-17=0B：16x+4y-31=0C：2x-8y+11=0D：2x+8y-17=0正确答案：A6：设｛Xn｝是无穷小量，｛Yn｝是有界数列，则｛XnYn｝是无穷小量。
（）A：错误B：正确正确答案：B7：设函数y=lnsecx，则 y” = secxA：错误B：正确正确答案：A8：设｛Xn｝是无穷大量，｛Yn｝是有界数列，则｛ XnYn ｝是无穷大量（）A：错误B：正确正确答案：A9：若f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处可微。
A：错误B：正确正确答案：B10：奇函数的图像关于 y 轴对称。
A：错误B：正确正确答案：A11：幂函数的原函数均是幂函数。
A：错误B：正确正确答案：A12：微分方程解中不含任意常数的解称为特解。
（）A：错误B：正确正确答案：B13：隐函数的导数表达式中不可含有y。
（）A：错误B：正确正确答案：A14：一个二元函数在某一点可微，则函数在该点处的两个偏导数一定存在。
北师14秋《微积分(下)》在线作业答案
一,单选题1. A. 必有极值B. 必有极大值C. 必有极小值D. 不一定有极值正确答案：D2. A.B.C.D.正确答案：D3. A. 8B. 4C. 2D. -4正确答案：A4. A.B.C.D.正确答案：A5. A.B.C.D.正确答案：D6. A.B.D.正确答案：C7. A.B.C.D.正确答案：A8. A. 一定不可微B. 一定可微C. 连续D. 有定义正确答案：C9. A.B.C.D.正确答案：B10. A.B.C.D.正确答案：A11. 下列级数中，绝对收敛的是（）A.B.C.D.正确答案：C12. A.B.D.正确答案：C13. A.B.C.D.正确答案：B14. A.B.C.D.正确答案：B15. A.B.C.D.正确答案：C答：a(n+1)/an=2[n/(n+1)]^nlimn→无穷大2[n/(n+1)]^n=2(1+(-1)/(n+1))^[(-(n+1))*(-n)/(n+1)=2e^(-1)=2/e<1所以绝对收敛。
解：两边取e的指数：e^(x+y²+z)=(x+y²+z)/2对x求导：[e^(x+y²+z)]*(1+ðz/ðx)=(1+ðz/ðx)/2e^(x+y²+z)=1/2x+y²+z=-ln2两边再次对x求导：1+ðz/ðx=0；ðz/ðx=-1；解：∵齐次方程y"=y'的特征方程是r^2=r，则r1=1，r2=0∴此齐次方程的通解是y=C1e^x+C2 (C1,C2是常数)∵设原方程的解为y=Ax^2+Bx 代入原方程，得2A=2Ax+B+X ==>2A=-1，2A-B=0 ==>A=-1/2，B=-1∴原方程的一个解是y=-x^2/2-2x 故原方程的通解是y=C1e^x+C2-x^2/2-2x。
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案在学习微积分的过程中，练习题是不可或缺的一部分。
通过练习题的解答，可以巩固知识点，并提升解题的能力。
本文将提供一些微积分的练习题及其答案，以帮助读者更好地理解和应用微积分的知识。
一、函数与极限1. 计算以下极限：(1) lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)(2) lim(x→∞) (4x^3 - 2x + 1)/(3x^3 + 5x^2 - x + 2)答案：(1) 这是一个常见的极限问题，可以通过因式分解进行求解。
将被除数和除数同时因式分解，得到 (x + 1)(x - 1)/(x - 1)，可见分母中的 (x - 1) 可以约去，因此极限的结果为lim(x→1) (x + 1) = 2。
(2) 这是一个求无穷大极限的问题，可以通过比较最高次项的系数来求解。
最高次项的系数对应的是 x^3，因此极限的结果为lim(x→∞) (4x^3 - 2x + 1)/(3x^3 + 5x^2 - x + 2) = 4/3。
2. 计算以下函数的导数：(1) f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1(2) g(x) = e^x + ln(x)答案：(1) 对 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 求导，使用求导法则可得 f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 4。
(2) 对 g(x) = e^x + ln(x) 求导，使用求导法则可得 g'(x) = e^x + 1/x。
二、微分与积分1. 求下列函数的不定积分：(1) ∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx(2) ∫e^xsin(x)dx答案：(1) 按照积分的求导法则，我们可以得到∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx = (1/4)x^4 - (1/2)x^3 + 2x^2 - x + C，其中 C 为积分常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.曲线y=x^2+x-2在点(1.5,1.75)处的切线方程为( )
A. 16x-4y-17=0
B. 16x+4y-31=0
C. 2x-8y+11=0
D. 2x+8y-17=0
-----------------选择：A
5.设函数f(x-2)=x^2+1，则f(x+1)=( )
A.错误
B.正确
-----------------选择：A
7.对于函数积分如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和
A.错误
B.正确
-----------------选择：B
8.任何初等函数都是定义区间上的连续函数。
A.错误
B.正确
-----------------选择：B
A.错误
B.正确
-----------------选择：A
2.数列收敛的充分必要条件是它的任一子数列都收敛并且极限相等。
A.错误
B.正确
-----------------选择：B
3.有限多个函数的线性组合的不定积分等于他们不定积分的线性组合。
A.错误
B.正确
-----------------选择：B
9.若函数在某一点的极限存在，则它在这点的极限惟一。
A.错误
B.正确
-----------------选择：B
10.两个无穷大量的和பைடு நூலகம்是无穷大。
A.错误
B.正确
-----------------选择：A
4.如果f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上连续
A.错误
B.正确
-----------------选择：A
5.如果f(x)在区间[a,b]上是单调有界函数，则f(x)在[a,b]上可积
A.错误
B.正确
-----------------选择：B
6.若函数在闭区间上连续，则它不一定有界。
北航《微积分（下）》在线作业一
一、单选题（共5道试题，共30分。）
1.已知y= 4x^3-5x^2+3x-2,则x=0时的二阶导数y"=（）
A. 0
B. 10
C. -10
D. 1
-----------------选择：C
2.设f(x)的一个原函数是xlnx,则∫xf(x)dx等于( )
A. x^2(1/2+lnx/4)+C
A. x^2+2x+2
B. x^2-2x+2
C. x^2+6x+10
D. x^2-6x+10
-----------------选择：C
北航《微积分（下）》在线作业一
单选题判断题
二、判断题（共10道试题，共70分。）
1.多元函数u=xyz+2008的全微分du = 2008+yzdx+xzdy+xydz
B. x^2(1/4+lnx/2)+C
C. x^2(1/4-lnx/2)+C
D. x^2(1/2-lnx/4)+C
-----------------选择：B
3.若函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内连续，则函数f(x0,y) ( )
A.在y0点连续
B.在y0点可导
C.在y0点可微
D.在y0点取得极值