高考文数热点题型和提分秘籍 专题23 等比数列及其前n项和(含答案解析)

【高频考点解读】 1.理解等比数列的概念．

2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

4.了解等比数列与指数函数的关系． 【热点题型】

题型一 等比数列基本量的运算

例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )

A.152

B.314

C.334

D.172

(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4

(2)设等比数列{a n }的公比为q(q≠0)，则⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1q 3

－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2

－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12

.

所以⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝1，

q ＝2或⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝－16，q ＝1

2

.

故a 3＝4或a 3＝－4.

【提分秘籍】

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

【举一反三】

(1)已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )

A.3312 B ．31

C.314

D ．以上都不正确

(2)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．

答案 (1)B (2)－1

2

(2)因为等差数列{a n }的前n 项和为 S n ＝na 1＋

－2

d ，

所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6. 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，

所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，解方程得a 1＝－1

2.

题型二 等比数列的性质及应用

例2、(1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.

(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝31

32

，则公比q ＝________. 答案 (1)51 (2)－1

2

解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 2

4， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，

所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×

5＝51. 又a n >0，所以a 4＋a 8＝51. (2)由S 10S 5＝31

32，a 1＝－1知公比q≠1，

则可得S 10－S 5S 5＝－132

.

由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－1

2.

【提分秘籍】

(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．

(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

【举一反三】

(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________. (2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. (3)设数列{a n }、{b n }都是正项等比数列，S n 、T n 分别为数列{lga n }与{lgb n }的前n 项和，且S n T n ＝n

2n ＋1

，则logb 5a 5＝________. 答案 (1)3∶4 (2)1024 (3)9

19

解析 (1)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9

－S 6)，

将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34

.

(2)方法一 a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q·a 1q 2·a 1q 3

＝a 41·q 6

＝1，①

a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15

＝a 41·q 54＝8，②

②÷①：a 41·q

54

a 41·q

6＝q 48＝8⇒q 16＝2，

又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43

＝a 41·q 166

＝a 41·

q 6·q 160 ＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1024.

方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p ， 设T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1， T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8， ∴T 4＝T 1·p 3＝1·p 3＝8⇒p ＝2. ∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44 ＝T 1·p 10＝210＝1024. (3)由题意知S 9T 9

＝

1·a 2·…·a 91·

b 2·…·b 9

＝lga 95lgb 95＝lga 5lgb 5

＝logb 5a 5＝9

19

.

题型三 等比数列的判定与证明

例3、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n. (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．