高考文数热点题型和提分秘籍 专题23 等比数列及其前n项和(含答案解析)
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【高频考点解读】 1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系. 【热点题型】
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )
A.152
B.314
C.334
D.172
(2)在等比数列{a n }中,若a 4-a 2=6,a 5-a 1=15,则a 3=________. 答案 (1)B (2)4或-4
(2)设等比数列{a n }的公比为q(q≠0),则⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q 3
-a 1q =6,a 1q 4-a 1=15,两式相除,得q 1+q 2=25,即2q 2
-5q +2=0,解得q =2或q =12
.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 1=1,
q =2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1=-16,q =1
2
.
故a 3=4或a 3=-4.
【提分秘籍】
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
【举一反三】
(1)已知正项数列{a n }为等比数列,且5a 2是a 4与3a 3的等差中项,若a 2=2,则该数列的前5项的和为( )
A.3312 B .31
C.314
D .以上都不正确
(2)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.
答案 (1)B (2)-1
2
(2)因为等差数列{a n }的前n 项和为 S n =na 1+
-2
d ,
所以S 1,S 2,S 4分别为a 1,2a 1-1,4a 1-6. 因为S 1,S 2,S 4成等比数列,
所以(2a 1-1)2=a 1·(4a 1-6),解方程得a 1=-1
2.
题型二 等比数列的性质及应用
例2、(1)在等比数列{a n }中,各项均为正值,且a 6a 10+a 3a 5=41,a 4a 8=5,则a 4+a 8=________.
(2)等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,若S 10S 5=31
32
,则公比q =________. 答案 (1)51 (2)-1
2
解析 (1)由a 6a 10+a 3a 5=41及a 6a 10=a 28,a 3a 5=a 2
4, 得a 24+a 28=41.因为a 4a 8=5,
所以(a 4+a 8)2=a 24+2a 4a 8+a 28=41+2×
5=51. 又a n >0,所以a 4+a 8=51. (2)由S 10S 5=31
32,a 1=-1知公比q≠1,
则可得S 10-S 5S 5=-132
.
由等比数列前n 项和的性质知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,且公比为q 5, 故q 5=-132,q =-1
2.
【提分秘籍】
(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q ”,可以减少运算量,提高解题速度.
(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
【举一反三】
(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6∶S 3=1∶2,则S 9∶S 3=________. (2)在等比数列{a n }中,若a 1a 2a 3a 4=1,a 13a 14a 15a 16=8,则a 41a 42a 43a 44=________. (3)设数列{a n }、{b n }都是正项等比数列,S n 、T n 分别为数列{lga n }与{lgb n }的前n 项和,且S n T n =n
2n +1
,则logb 5a 5=________. 答案 (1)3∶4 (2)1024 (3)9
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解析 (1)由等比数列的性质:S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列,于是(S 6-S 3)2=S 3·(S 9
-S 6),
将S 6=12S 3代入得S 9S 3=34
.
(2)方法一 a 1a 2a 3a 4=a 1·a 1q·a 1q 2·a 1q 3
=a 41·q 6
=1,①
a 13a 14a 15a 16=a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15
=a 41·q 54=8,②
②÷①:a 41·q
54
a 41·q
6=q 48=8⇒q 16=2,
又a 41a 42a 43a 44=a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43
=a 41·q 166
=a 41·
q 6·q 160 =(a 41·q 6)·(q 16)10=1·210=1024.
方法二 由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为p , 设T 1=a 1·a 2·a 3·a 4=1, T 4=a 13·a 14·a 15·a 16=8, ∴T 4=T 1·p 3=1·p 3=8⇒p =2. ∴T 11=a 41·a 42·a 43·a 44 =T 1·p 10=210=1024. (3)由题意知S 9T 9
=
1·a 2·…·a 91·
b 2·…·b 9
=lga 95lgb 95=lga 5lgb 5
=logb 5a 5=9
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.
题型三 等比数列的判定与证明
例3、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n +S n =n. (1)设c n =a n -1,求证:{c n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.