第二讲 旋转变换

旋转变换
【中考要求】
1．基本要求
通过具体实例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形
2．略高要求
能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转后的图形，指出旋转中心和旋转角
3．较高要求
能运用旋转的知识解决简单的计算问题；运用旋转的知识进行图案设计；与其他变换共同解决实际问题
【知识点讲解】
1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．
2．旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和方向.
3．旋转的性质：
（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
（2）对应点到旋转中心的距离相等；
（3）对应线段相等，对应角相等；
（4）旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.
4．简单图形的旋转作图：
（1）确定旋转中心；
（2）确定图形中的关键点；
（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；
（4）连结各点，得到原图形旋转后的图形.
5．旋转对称图形：
一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心.
正n边形都是旋转对称图形,其旋转中心是它们的中心,旋转角为360
n
.
圆的旋转角是任意角度.
6．中心对称图形：
当旋转角为180°时,旋转对称图形是一个中心对称图形,所以中心对称图形是旋转对称图形的特例.
【重点与难点】
重点：
（1）掌握旋转的概念及相关的对应点、对应线段、旋转中心、旋转角度等概念
（2）掌握旋转对称图形、中心对称图形的概念及性质
难点：
（1）图形旋转中相关概念、性质的灵活运用
（2）旋转对称图形中的旋转角的确定、求法
（3）学生抽象思维能力的培养
【例题讲解】
1、如下图所示，在图甲中，Rt △OAB 绕其直角顶点O 每次旋转90˚，旋转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形OABC 绕O 点每次旋转120˚，旋转二次得到右边的图形．
下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ( )
答案：D
2（深圳）、图所列图形中是中心对称图形的为（ ）
A B C D
答案：C
3、如图1，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 左0︒~90︒的旋转，那么旋转时露出的△ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化，下面表示S 与n 关系的图象大致是（ ）
答案：C
4、（浙江金华）如图2是跷跷板的示意图，支柱ＯＣ与地面垂直，点Ｏ是横板ＡＢ的中点，ＡＢ可以绕着点Ｏ上下转动，当Ａ端落地时，∠ＯＡＣ＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠Ａ’OA）是（ ）
A ．
B ．
C ．
Ｄ．
(C
1
1 图1
Ａ、80° Ｂ、60° Ｃ、40° Ｄ、20°
答案：C
5（厦门）、已知平面直角坐标系上的三个点O （0，0）、
A （－1，1）、
B （－1，0），将△ABO 绕点O 按顺时
针方向旋转135°，则点A 、B 的对应点A 1、B 1的坐标
分别是A 1（ ， ） ，B 1( ， ) .
答案：A 1 (2，0)， B 1(22，22)
6、如图3，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个
不动，另一张绕点B
顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为
23
，则这个旋转角度为________度．
答案：30
7、（绵阳）. 分析图4①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图4③
中画出其中的阴影部分.
答案：
8(黑龙江)、如图5网格中有一个四边形和两个三角形.
(1) 请你画出三个图形关于点O 的中心对称图形;
(2) 将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数; 这个整体图形至少旋转多少度与自身重合
图2
图3
9、四边形ABCD 中，∠=∠=︒===A C CD CB AD AB 9013，，，。

求四边形ABCD 的面积。

10、如图，已知等边∆ABC 中，O 是内心，扇形MON 的圆心角为120︒。

若AB cm =6，求阴影部分的面积。

【巩固练习】
1（苏州）、右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以
是（ ）
A ．900
B ．600
C ．450
D ．300
答案：C
2（河南）、下列各图中，不是中心对称图形的是（ ）
答案：B
3（丽水）、在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中，既是轴对称、又 是中心对称的图形是 ．
答案：矩形、菱形、正方形
4（泉州）、请你在右图的正方形格纸中，画出线段AB 关于点O 成中心对称的图形．
5、在如图13所示的平面直角坐标系中，已知△ABC ．
(1)将△ABC 向x 轴负半轴方向平移4个单位得到△A 1B 1C 1，画出图形并写出点A 1的坐标．
(2)以原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，画出图形并写出点A 2的坐标．
(3) △A 2B 2C 2可以看作是由△A 1B 1C 1先向右平移4个单位，然后以原点O 为旋转中心，顺时针旋转90°得到的．除此之外，△A 2B 2C 2还可以由△A 1B 1C 1怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形变换的步骤．
答案：（1）略．（2）2A 的坐标为()33-，；
（3）例如：将111A B C △沿着12B B
的方向平移个单位，然后以点2B 为旋转中心，顺时针旋转90得到222A B C △．（本题答案不惟一）
6、已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连P A 、PB 、PC ．
（1）将△P AB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置（如图15-1）．
①设AB 的长为a ，PB 的长为b （b <a ），求△P AB 旋转到△P ′CB 的过程中边P A 所扫过区域（图15-1中阴影部分）的面积；
图13
②若P A =2，PB =4，∠APB =135°，求PC 的长．
（2）如图15-2，若P A 2+PC 2=2PB 2，请说明点P 必在对角线AC 上．
解：（1）①()224
S a b π=
-阴影； ②连结PP '，证PBP '△为等腰直角三角形，从而6PC =； （2）将PAB △绕点B 顺时针旋转90到P CB '△的位置，由勾股逆定理证出90PCP '=∠，再证180BPC APB +=∠∠，即点P 在对角线AC 上．
图15-1 A B C D P P′A B C D P 图15-2。