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吉林省长春2016-2017学年高二下学期期末考试数学试题-含答案

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中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析

中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

吉林省长春市吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

吉林省长春市吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学学科试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列函数中是增函数的为（ ）A. B. C. D.2. 命题“”的否定为（ ）A.B.C.D.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知二项式系数和为256，则的展开式中常数项为（ ）A. 1120B. C. 70D. 5. 函数的图象大致是（ ）的()f x x=-()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2f x x=()f x =0m ∃∈N N m ∀∉N Nm ∀∈N N0m ∃∈N N0m ∃∉N N0x y >>11x y x y->-12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1120-70-()2221x xf x x--=-A. B.C. D.6. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：）A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时7. 某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的位置安排方式有（ ）A. 36种B. 42种C. 48种D. 52种8. 已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），lg20.3≈()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭3222先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）A B. C. D. 10. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ）A. B.C.D. 11. 已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________.13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数）.1A 2A B 13()5P A =11()50P B =()1950P B A =22()11P A B =0,0a b >>21a b +=18ab ≤218a b+≤≤3a b +≤()f x R 112f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x []0,1302f ⎛⎫⎪⎝⎭-<403f ⎛⎫>⎪⎝⎭(3)0f <202403f ⎛⎫>⎪⎝⎭{}{}22230,0,M x x x N x x ax x =--<=-<∈Z M N ⋂a W f (,)(1,2,...,8)i i W f i =f W kf cW =,c k ln i i x W =ln i i y f =8x =5y =821214ii y==∑ 7.4y bx=+ k µi y (1,2,...,8)i =µ()8210.28i ii y y =-≈∑2R ≈µ()()221211==-=--∑∑ni ii n ii y y R y y14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是_____四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为．（1）求，的值；（2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望．16. 数列满足．（1）求通项公式；（2）若，求的前项和．17. 设函数两个极值点分别为．（1）求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.（1）若为的中点，证明：平面平面；（2）若，，线段上的点满足，且平面与平面，求实数的值.的的()f x R (2)2()f x f x -=[)2,0x ∈-()2(2)f x x x =-+[),x m ∈+∞3()4f x ≤m p ()01q p q <<<31015p q X X ()E X {}n a 321212222n n a a a a n -+++⋯+={}n a n nnb a ={}n b n n T ()21ln 2f x x x x ax =--()1212,x x x x <a ()12a x x λ<+λe 271828= ．P ABCD -ABCD AB CD P 90ABC ∠=︒PA PD AD ==PC PB =O AD POC ⊥ABCD 60CDA ∠=︒112AB CD ==PD M DM DP λ= PCB ACM λ19. 已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.C 22221x y a b+=0a b >>x C 0l 220x y +-=C A B ()2,3P C E F E P PE PF0l M EMA FMA ∠=∠M吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学学科试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】①. ②. 【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1），（2）分布列略，【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）【19题答案】【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）存，在(2,)+∞0.3-0.983[,)2+∞12p =35q =()72E X =2n n a =222n nn T +=-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(]0,22322143x y +=1,13PEPF ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭43,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题一、单选题1．已知复数(其中i 是虚数单位)，则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ）1i iz +=A ．(1，1)B ．(1，-1)C ．(-1，1)D ．(-1，-1)【答案】B【分析】利用复数的除法求得复数，然后利用几何意义求得z 在复平面内对应的点的坐标.z 【详解】复数，1i i z +=()21i i 1ii +==-则z 在复平面内对应的点的坐标是(1，-1)，故选：B.2．幂函数的图象过点，则（ ）()f x x α=12⎛ ⎝(2)f =AB ．C ．D212【答案】A【解析】先求得，然后求得的值.α()2f 【详解】由于幂函数的图象过点，所以，()f x x α=12⎛ ⎝12111222αα⎛⎫⎛⎫==⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，所以()12f x x=()1222f ==故选：A3．下列函数定义域为且在定义域内单调递增的是 ()0,∞+()A ．B ．C ．D ．xy e=1πy log x=-y =12y log x=【答案】B【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，，为指数函数，其定义域为R ，不符合题意；xy e =对于B ，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递增，符合题意；1ππy log x log x=-=()0,∞+对于C ，，不符合题意；y =[)0,∞+对于D ，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递减，不符合题意；12y log x=()0,∞+故选B ．【点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及对数函数的性质，属于基础题．4．若集合，，则下列结论正确的是（ ）{}21A x x =-<{}(1)(4)0B x x x =--≥A ．B ．C ．D ．A B ⋂=∅A B =R A B ⊆R B A⊆ 【答案】A【分析】解不等式求得集合A 、B ，然后逐一验证所给选项即可．【详解】，{}{}{}2112113A x x x x x x =-<=-<-<=<<，，{}{}(1)(4)014B x x x x x x =--≥=≤≥或{}R14B x x =<< ，选项A 正确；A B ⋂=∅，选项B 错误；{}34A B x x x ⋃=<≥或不是的子集，选项C 错误；A B ，选项D 错误．R A B⊆ 故选：A ．5．为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规1111D C B A ABCD 划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地ABCD 21000m 2m 5m 面积最小时，则核心喷泉区的长度为（ ）1111D C B A BCA ．B ．C ．D ．20m 50m 100m【答案】B【解析】设，得到的值，进而求得矩形面积的表达式，利用基本不等式求得面BC x =CD 1111D C B A 积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时的长.BC【详解】设，则，所以BC x =1000CD x =11111000(10)(4)A B C D S x x=++，100001040(4x x =++10401440≥+=当且仅当，即时，取“”号，100004x x =50x ==所以当时，最小．50x =1111A B C D S 故选:B ．【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.6．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12πA ．B ．5212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先将函数中x 换为x-后化简即可.24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭12π【详解】化解为2(124y x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.7．设是直线，是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）l αβ､A ．若，则.B ．若，则.,∥∥l l αβαβ∥,l l αβ⊥∥αβ⊥C ．若，则.D ．若，则.,l αβα⊥⊥l β ,l αβα⊥∥l β 【答案】B【分析】根据各选项中线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断线面、面面关系即可.【详解】对于A ，若，，则可能平行、相交，A 错误；//l αl //β,αβ对于B ，若，过的平面且，则，而即，又，则，B //l αl γm γα= //l m l β⊥m β⊥m α⊂αβ⊥正确；对于C ，若，，则或，C 错误；αβ⊥l α⊥l //βl β⊂对于D ，若，，则或或线面相交，D 错误.αβ⊥//l αl //βl β⊂故选：B 8．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）()2,1a =()3,1b =-A ．B ．向量在向量上的投影向量是//a ba bC ．D ．与向量方向相同的单位向量是24a b += a【答案】D【分析】利用向量平行的坐标表示判断A ；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断a bB ；应用向量数量积运算律求判断C ；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断2a b+ a D.【详解】A ：由，故不成立，错；211(3)⨯≠⨯-//a bB ：由，错；1||cos ,2||||||b a b b a a b bb b b ⋅⋅=⋅=-C ：，则，错；2222445204025a b a a b b +=+⋅+=-+=25a b += D ：与向量方向相同的单位向量是，对.a||a a = 故选：D9．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论正确的是A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线CD ⊥平面PAC【答案】D【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案.【详解】因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，所以A 答案不正确．过点A 作PB 的垂线，垂足为H ，若平面PAB ⊥平面PBC ，则AH ⊥平面PBC ，所以AH ⊥BC.又PA ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AB ，这与底面是正六边形不符，所以B 答案不正确．若直线BC ∥平面PAE ，则BC ∥AE ，但BC 与AE 相交，所以C 答案不正确．故选D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．10．已知函数若方程f （x ）=m 有4个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且()()22log 113816,3x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（）（x 3+x 4）=（ ）1211+x x A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】画出f （x ）的图象，由对称性可得x 3+x 4＝8，对数的运算性质可得x 1x 2＝x 1+x 2，代入要求的式子，可得所求值．【详解】作出函数f （x ）的图象如图，()221138163log x x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+⎪⎩，＜，＞f （x ）＝m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，可得x 3+x 4＝8，且|log 2（x 1﹣1）|＝|log 2（x 2﹣1）|，即为log 2（x 1﹣1）+log 2（x 2﹣1）＝0，即有（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝1，即为x 1x 2＝x 1+x 2，可得（）（x 3+x 4）＝x 3+x 4＝8．1211x x +故选C ．【点睛】本题考查分段函数的图象和应用，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题．二、填空题11．求值:______．sin 75cos 75︒⋅︒=【答案】.14【详解】分析：直接应用正弦函数的二倍角公式即可.详解： sin75cos75︒⋅︒=011sin150.24=故答案为.14点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知sin cos sin cos αααα+-，sin *cos αα22sin cos 1αα+=一求三.12．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试1213图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．【答案】56【分析】根据独立事件的乘法公式和概率的性质求解.【详解】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A ，B ，C ，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D ，则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，1()()2P A P B ==1()3P C =D A B C = D ，D ABC =所以，1121()()(((2236P D P ABC P A P B P C ====；5()1(6P D P D =-=故答案为：.5613，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为，r ，侧面积，解得，r=r =所以，圆锥的高h =设球半径为R ，球心为，其过圆锥的轴截面如图所示，O 由题意可得，，即，解得222()R h R r-+=22)3R R +=R =所以，．34R 3V π==故答案为：．三、双空题14．直线：截圆的弦为，则的最小值为l 10mx y -+=224640x y xy ++-+=MN MN __________，此时的值为__________．m 【答案】21【分析】设圆心到直线的距离为，则l dd然后由MN =MN ==进而利用均值不等式可求解【详解】可化简为，224640xy x y ++-+=22(2)(3)9x y ++-=设圆心到直线的距离为，则l d dMN====，当时，有最小值，当时，没===m>MNm<MN有最小值，所以，当且仅当时，等号成立，此时，1=mm1m=故答案为：①2；②1【点睛】关键点睛：解题关键在于求出MN==答案，属于中档题四、解答题15．某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；(3)估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.【答案】(1)0.01a=(2)众数为，平均数为7575.5(3)84【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；可得，()0.020.0250.035101a a++++⨯=（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，()0.020.0250.035101a a ++++⨯=解得.0.01a =（2）解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，75平均数为.0.1550.2650.35750.25850.19575.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，所以75%分位数为.0.75(0.10.20.35)8010840.25-+++⨯=16．在中，ABC222.b c a +=（1）求的值；cos A （2）若，，求的值.2B A=b =a 【答案】（1）2）.cos A =2【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；cos A （2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.sin B a 【详解】（1）因为在中，，所以，ABC 222b c a +=222c 2os b ca A cb =+=-=（2）由（1）知，，所以02A π<<sin A ==因为，所以2B A=sin sin 22sin cos 2B A A A ====又因为，由正弦定理，可得B =sin sin a bA B =sin 2.sin b Aa B===17．设为奇函数，a 为常数．131()log 1axf x x -=-（1）求a 的值．（2）若，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．[2,4]x ∀∈1()3xf x x m⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.1a =-89m <【解析】（1）由奇函数的性质，代入运算后可得，代入验证即可得解；()()0f x f x -+=1a =±（2）转化条件为对于恒成立，令131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-[2,4]x ∀∈，结合函数的单调性求得即可得解.()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪()min g x 【详解】（1）因为为奇函数，131()log 1axf x x -=-则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()21231log 01ax x -==-则，所以即，()22111ax x -=-21a =1a =±当时，，不合题意；1a =()11331()log log 11xf x x -==--当时，，由可得或，满足题意；1a =-131()log 1x f x x +=-101xx +>-1x >1x <-故；1a =-（2）由可得，1()3xf x x m⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-则对于恒成立，131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-[2,4]x ∀∈令，()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪因为函数在上单调递减，12111x y x x +==+--[2,4]所以函数在上单调递增，131log 1xy x +=-[2,4]所以在上单调递增，所以，()g x [2,4]()()1min 32log 182993g x g -===+所以.89m <【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.18．如图，在正方体中，棱长为2.1111ABCD A B C D -（1）证明：；1AC BD ⊥（2）求二面角的平面角的余弦值.1D AC B --【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连结交于点O ，证明平面，利用线面垂直的性质定理即可证明BD AC AC ⊥1BDD ；1AC BD ⊥（2）连结，证明是二面角的平面角.利用由余弦定理求出的111AD CD OD 、、1BOD ∠1D AC B --1BOD ∠大小即可.【详解】（1）连结交于点O ，在正方形中，，BD AC ABCD AC BD ⊥平面，平面，1DD ⊥ ABCD AC ⊂ABCD ，，，平面，1AC DD ∴⊥1DD BD D = 1DD BD ⊂1BDD 平面，又平面，.AC ∴⊥1BDD 1BD ⊂ 1BDD 1AC BD ∴⊥（2）连结.111AD CD OD 、、在正方体中，，O 是线段的中点，，1111ABCD A B C D -11AD CD =AC 1D O AC ⊥在中，，，ABC AB BC =BO AC ⊥是二面角的平面角.1BOD ∴∠1D AC B --在中，1BOD △2BD BO ====1BD ===1OD ===由余弦定理得:1cos BOD ∴∠==即二面角的平面角的余弦值为1D AC B --。

二项式定理(1)

二项式定理(1)

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)

2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)
f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
13.
设由方程组
y + xyz
z+x =1
=
0
确定的隐函数
y
=
y(x)
及
z
=
z(x)，求
dy dx ,
dz dx
.
14.
设连续函数
f (x)
满足方程
f (x)
=
ˆ
3x
f
() t d t + e2x,
求
f (x).
¨(
0
3
)
(
)
15. 计算曲面积分 I = x2 − yz d y d z + y2 − zx d z d x + 2z d x d y, 其中 Σ
xOy ydx
平面上一条简单光滑的正向闭曲线，原点在其所围闭区域之外，则
=
【】
C x2 + 4y2
(A) 4π
(B) 0
(C) 2π
(D) π
6. 微分方程 xy′′ − y′ = 0 满足条件 y′(1) = 1, y(1) = 0.5 的解为
【】
(A) y = x2 + 1 44
(B) y = x2 2
1,
√ − ¨x
⩽
y
⩽
√x}，则正确的选x 项为
¨
【】
(A) f (y)g(x) d x d y = 0
(B) f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0

2016届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(2014.07)

2016届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(2014.07)

吉林省长春市十一中高二下学期期末考试语文试题【全品试卷综析】本次试题为长春市十一高中2013-2014学年度高二下学期期末考试语文试题，作为期末试题，该卷有以下特色：本试卷共分基础、阅读、写作三部分。

基础题涉及成语、实词和教材部分，不管是哪一部分都紧扣教材内容，大部分完全来自教材内容。

阅读部分分为文言文阅读和现代文阅读，题目设置仿照高考题型。

只是现代文阅读出了《公主与美洲狮》《老八样》两篇小说阅读，明显为了考查高二小说的掌握情况。

作文难度不大，关键是立意，角度选好应该不难下笔。

作为高二期末考试试题，题目难度不大，但容量很大，与教材联系紧密，充分考查了考生的学习情况。

在题型的设置上不够全面，比如改错、表达题都未涉及。

总之，这是一份分量较重的期末检测题。

试题说明：本试卷共基础、阅读、写作三部分，满分150分，考试时间150分钟。

请将客观试题答案填涂在答题纸相应位置处；主观试题答案誊写到答题纸相应位置处，串位置及超出答题区域答题均不给分。

第Ⅰ部分基础知识（30分）一、成语部分。

（10分，每小题1分）1.下列加点的成语，使用不正确的一项是（）A．2014巴西世界杯期间，为了方便人们按图索骥．．．．，不遗漏每一场比赛的观看，报纸特别登出了转播时间表。

B．西昌是攀西地区的交通枢纽和物资集散地，也是攀西资源综合开发的重点区域，不．言而喻．．．，这里开发潜力巨大，具有广阔的发展前景。

C．现在少数媒体放着有重要新闻价值的素材不去挖掘，反倒抓住某些明星的一点逸闻就笔走龙蛇．．．．，这种做法真是令人费解。

D．这些人简直不可理喻．．．．，没有票硬要进来，终于被工作人员赶出去了。

【全品知识点】本题考查考生正确使用成语的能力，能力层次为E级（表达应用）。

【全品答案解析】答案：C 解析： A项“按图索骥”意为“索，找；骥，良马。

按照画像去寻求好马。

比喻墨守成规办事；也比喻按照线索去寻求”。

B项“不言而喻”意为“喻，了解，明白。

2022-2023学年吉林省长春市高中高二下学期第二学程考试数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省长春市高中高二下学期第二学程考试数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省长春市高中高二下学期第二学程考试数学试题一、单选题1．如图所示的Venn 图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若A B A B ⊗，，则（ ）{}21,,4A x x n n n ==+∈≤N {}2,3,4,5,6,7B =A B ⊗=A ．B ．C ．D ．{}2,4,6,1{}2,4,6,9{}2,3,4,5,6,7{}1,2,4,6,9【答案】D 【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂A A B ⋃A B ⋂.A B ⊗【详解】由韦恩图可知，，()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂因为，，{}{}21,,41,3,5,7,9A x x n n n ==+∈≤=N {}2,3,4,5,6,7B =则，，因此，.{}1,2,3,4,5,6,7,9A B = {}3,5,7A B = {}1,2,4,6,9A B ⊗=故选：D.2．过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）()()ln f x x =-A ．B ．C ．D ．y x =-2e y x=-1e y x=-e y x=-【答案】C【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.【详解】因为，所以，()ln()f x x =-()1f x x '=设所求切线的切点为，则，00(,())x f x ()001f x x '=由题知，，解得，所以切线斜率为，()00000ln ()1x f x x x x -==0e x =-()1e e k f '=-=-故所求切线方程为.1e y x=-故选：C.3．已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，根据变量x 与y 的相关数据，计算得则y 关于x 的线性回归方程为（ ）77772111128,1078,140,4508ii ii i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,.ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑A ．B ．ˆ7126y x =-ˆ7126yx =+C ．D ．ˆ5121yx =+ˆ5121yx =-【答案】B【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解.ˆˆ,b a 【详解】由题中的数据可知，4,154x y ==所以.7172217450874154196714071628ˆ7i ii ii x y xyb xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑所以.15474126ˆˆa y bx =-=-⨯=所以y 关于x 的线性回归方程为.ˆˆˆ7126ybx a x =+=+故选：B.4．据统计，某工厂所生产的一类新型微电子芯片的厚度X （单位：）服从正态分布，μm (),4N μ且. 如果芯片的厚度高于，那么就带要对该芯片进行复检. 若该工()()25311P X P X ≥+≥=32μm 厂此芯片日产量平均为10000片，那么每天需要进行复检的产品大约有（ ）（附：若X （单位：）服从正态分布，则，μm ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-<≤+=，.）()220.9545P X μσμσ-<≤+=()330.9973P X μσμσ-<≤+=A ．228件B ．455件C ．1587件D ．3173件【答案】A【分析】根据正态分布的对称性，即可求得的值和，从而求出10000片中每天需要进μ()32P X ≥行复检的产品.【详解】因为，所以，()()25311P X P X ≥+≥=()()()3112525P X P X P X ≥=-≥=<即与关于对称，则，25X =31X =X μ=2531282μ+==因为，所以，又因为，24σ=2σ=232μσ+=()()()1223222P X P X P X μσμσμσ--<<+≥=≥+=10.95452-=，所以件，10.95452-=0.02275=100000.02275227.5228⨯=≈所以每天需要进行复检的产品大约有件，228故选：A.5．已知是定义在R 上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则()f x ()f x ()'f x ()'cos f x x≥的解集为（ ）()sin f x x≥A ．B ．C ．D ．[)π,-+∞[)π,+∞π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)0,∞+【答案】D【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则，()()sin g x f x x=-()()''cos g x f x x=-因为 所以. 是增函数，()'cos f x x ≥，()()0g x g x '≥，因为是奇函数，所以，，()f x ()00f =()()00sin 00g f =-=所以的解集为，即≥的解集为；()0g x ≥[)0,∞+()f x sin x [)0,∞+故选：D.6．，当时，都有，则实数的最大值为（ ）[]12,1,e x x ∀∈12x x <()1122lnx a x x x <-aA ．B ．CD ．121e 1e【答案】B 【分析】依题意对，当时恒成立，，1122ln ln x ax x ax -<-[]12,1,e x x ∀∈12x x <()ln h x x ax=-，则问题转化为在上单调递增，求出函数的导函数，则在上恒成立，[]1,e x ∈()h x []1,e ()0h x '≥[]1,e 参变分离可得的取值范围，即可得解.a 【详解】因为，当时，都有，[]12,1,e x x ∀∈12x x <()1122lnx a x x x <-即，即，1212ln ln x x ax ax -<-1122ln ln x ax x ax -<-令，，则恒成立，()ln h x x ax =-[]1,e x ∈()()12h x h x <即在上单调递增，()ln h x x ax=-[]1,e 又，所以在上恒成立，()1h x ax '=-()10a x h x =-≥'[]1,e 所以在上恒成立，因为在上单调递减，1a x ≤[]1,e ()1g x x =[]1,e 所以，所以，即实数的最大值为.()()min 1e e g x g ==1e a ≤a 1e 故选：B7．某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用表示获奖的人数，那13ξ么（ ）()()E D ξξ+=A ．B ．C ．D ．224225104225815112225【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解.【详解】设印有“环保会徽”图案的卡片有张，则“绿色环保标志”图案的卡片有张，n 10n -由题意可知，所以从盒中抽取卡片两张获奖的概率为，2210C 16C 3n n ⇒==22104221010C C 2C C 15n -==由于服从二项分布，即，所以，ξ24,15B ξ⎛⎫~⎪⎝⎭()()221322444151515225E D ξξ+=⨯+⨯⨯=故选:A 8．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒()22ln f x ax x x=-+12,x x ()()1212f x f x x x t+<++成立，则实数t 的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[)1,-+∞[)5,-+∞[)22ln 2,-+∞[)1ln 2,-+∞【答案】B 【分析】恒成立，等价于恒成立.由()()1212f x f x x x t+<++()()()1212t f x f x x x >+-+有两个不同的极值点结合韦达定理可得，其中()f x ()()()1212f x f x x x +-+21ln 2a a =---，后构造函数，利用导数求出其最值即可得答案.102a <<()211ln 202h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭【详解】因为不等式恒成立，所以恒成立．()()1212f x f x x x t+<++()()()1212f x f x x x t+-+<.()()22210-+'=>ax x f x x x 因为函数有两个不同的极值点，()22ln f x ax x x=-+12,x x 所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得．22210ax x -+=1212Δ48010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩102a <<则()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦.21ln 2a a =---设，，故在上单调递增，()211ln 202h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭()220-'=>a h a a ()h a 102a <<故，所以．又注意到满足题意，因此实数t 的范围是． ()152⎛⎫<=- ⎪⎝⎭h a h 5t >-5t =-[)5,-+∞故选：B【点睛】关键点睛：本题涉及恒成立问题与由函数极值点求参数范围，难度较大.本题所涉字母较多，关键为找到间的关系，得到关于a 的表达式.12,,ax x ()()()1212f x f x x x +-+二、多选题9．下列各结论正确的是（）A ．“”是“”的充要条件0xy >0xy >B ．2C ．命题“”的否定是“”21,0x x x ∀>->21,0x x x ∃≤-≤D ．“一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件2y ax bx c =++()1,00a b c ++=【答案】AD【详解】根据符号规律可判断A ；根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B ；根据全称命题否定形式可判断C ；结合二次函数图象与性质可判断D.【分析】解：⇔，故A 正确;0xy >0x y >，令，则，y 3t =≥1y t t =+且在区间上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，最小值为，故B 错误；)[3,∞+110333+=命题“”的否定是“”，故C 错误；21,0x x x ∀>->21,0x x x ∃>-≤一元二次函数的图象过点显然有，反之亦可，故D 正确.2y ax bx c =++()1,00a b c ++=故选：AD10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，3%15%25%．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列60%A =i B =i (1i =23)结论正确的有（ ）A ．B ．()0.03P A =31()1ii P B ==∑C ．D ．12()()P B A P B A =123()()(|)P B A P B A P B A +=【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A ：因为，故A 错误；()0.050.150.030.250.030.600.033P A =⨯+⨯+⨯=对于B ：因为，故B 正确；13Σ()0.150.250.601i i P B ==++=对于C ：因为，111()(|)0.050.155(|)()0.03322P B P A B P B A P A ⋅⨯===，222()(|)0.030.255()()0.03322|P B P A B P B A P A ⋅⨯===所以，故C 正确；12()()P B A P B A =对于D ：由上可得，125()()11P B A P B A +=又因为，故D 错误，333()(|)0.030.606(|)()0.03311P B P A B P B A P A ⋅⨯===故选：BC ．11．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法()01p p ≤≤()f p 中正确的是（ ）A ．三局就结束比赛的概率为B ．的常数项为3()331p p +-()f p C ．函数在上单调递减D ．()f p 10,2⎛⎫⎪⎝⎭13328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A 选项；进而求出期望值X X ，即可判断BCD 选项.()f p 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，X X 3,4,5所以，()()3331P X p p ==+-，()()()3131334C 1C 1P X p p p p ==-+-，()()22245C 1P X p p ==-因此三局就结束比赛的概率为，则A 正确；()331p p +-故()()()()()332313122334314C 1C 15C 1f p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦，432612333p p p p =-+++由知常数项为3，故B 正确；()03f =由，故D 正确；111133361232168428f ⎛⎫=⨯-⨯+⨯+=⎪⎝⎭由，()()()322243663321441f p p p p p p p =-++=---'，所以，01p ≤≤ 22441(21)20p p p --=--<令，则；令，则，∴()0f p '>102p ≤<()0f p '<112p <≤则函数在上单调递增，则C 不正确.()f p 10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：ABD.12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）e ()xx f x =-()ln g x x x =-A ．在上是增函数(ln )f x (1,)+∞B ．，不等式恒成立，则正实数a 的最小值为1x ∀>()2()f ax f lnx ≥2eC ．若有两个零点，，则()g x t=1x 2x 122x x +<D ．若，且，则的最大值为()()12(2)f x g x t t ==>210x x >>21ln t x x -1e【答案】ABD 【分析】A 选项，由题，，判断在上的单调性即可；()()ln ln f x x x g x =-=()1,x ∈+∞()g x ()1,+∞B 选项，由单调性，；()f x ()()22max 2ln ln ln x f ax f x ax x a x ⎛⎫≥⇔≥⇒≥ ⎪⎝⎭C 选项，由有两个零点，，构造函数应用极值点偏移可解；()g x t=1x 1x D 选项，因，及在上单调递增，结合B 选项分析可判断选项.()()1232，f g <<()()f xg x ，()1,+∞【详解】对于A 选项，，.()()ln ln f x x x g x =-=()1,x ∈+∞又当时，，则在上是增函数，故A 正确；()1,x ∈+∞()1110x g x x x -'=-=>()ln f x ()1,+∞对于B 选项，时，，又为正实数，所以，又时，，1x >2ln 0x >a 0ax >0x >()e 10x f x '=->所以在单调递增，故，即.()f x ()1,+∞()()22ln ln f ax f x ax x ≥⇔≥max 2ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，知，所以在上递增，在上递减，所以()2ln xx x ϕ=()222ln x x x ϕ-'=()x ϕ()1,e ()e,+∞，()()max 2e e x ϕϕ==得正实数的最小值为，故B 正确；a 2e 对于C 选项，有两个根，，等价于函数有两个零点，.()g x t=1x 2x ()g x t -1x 2x 注意到，则在上单调递减，在上单调递增，()111x g x t x x -'⎡⎤-=-=⎣⎦()g x t -()0,1()1,+∞因函数有零点，则.()()1101g x t g t t t ⎡⎤-=-=-<⇒>⎣⎦m i n 设，1201x x <<<令，，()()()2h x g x g x =--()0,1x ∈因为，()()()2h x g x g x '''=+-所以，()()()()()22111222x x x h x g x g x x x x x ----'''=+-=+=--当时，，单调递减；01x <<()0h x '<()h x 所以在上单调递减，所以，即当时，，()h x ()0,1()()10h x h >=01x <<()()2g x g x >-由题意，，，且在上单调递增，()()()2112g x g x g x =>-21x >121x ->()g x ()1,+∞所以，即．故C 错误；212x x >-122x x +>对于D 选项，由AB 选项分析可知，在上单调递增，()()f xg x ，()1,+∞又，，()()()122f x g x t t ==>()()11233ln 32e ，fg =-<=-<则.由，即，即有，2131x x >>>()()12f x g x =12ln 1222e ln e ln x x x x x x -=-=-()()12ln f x f x =又，在上单调递增，所以，即，所以121ln 1x x >>，()f x ()1,+∞12ln x x =12e x x =，1211ln ln ln e x t t tx x x t ==--其中.由B 选项分析可知，，其中时取等号，则，2t >2ln 2e x x ≤e x =1211ln ln ln 1e e x t t t x x x t ==≤--其中时取等号，所以，故D 正确.e x =21max ln 1et x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题转化为求最值.对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.三、填空题13．花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________．【答案】/350.6【分析】使用条件概率进行计算即可.【详解】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”，A =B =则积事件“两束花都是郁金香”，AB B ==事件中样本点的个数为，A ()222322C C C 5n A =++=积事件中样本点的个数为，AB ()23C 3n AB ==∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为.()()()35n AB P B A n A ==故答案为：.3514．若两个正实数x ，y恒成立，则实数m的取值1+=26m m >-范围是____________．【答案】28m -<<的最小值，进而求解即可.2616m m-<【详解】由于，所以,0,0x y >>88=≥+取等号，故，解得，64,4x y ⇒==2616m m -<28m -<<故答案为：28m -<<15．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.3()3f x x x =-2(,8)a a -a 【答案】[)2,1-【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解.3()3f x x x =-【详解】，令得，2()33f x x '=-()0f x '=1x =±时，时，，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞()0f x '>(1,1)x ∈-()0f x '<所以在和上单调递增，在上单调递减，()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-若函数在上有最小值，则其最小值必为，3()3f x x x =-2(,8)a a -(1)f 则必有且，解得，21(,8)a a ∈-3()3(1)2f a a a f =-≥=-21a -≤<故答案为：.[)2,1-16．已知是函数在其定义域上的导函数，且，，若函数()f x '()f x ()()1e xf x f x +'-=()21e f =在区间内存在零点，则实数m 的取值范围是______．()()()()2ln 20e x mf x g x mx x m =-+->()0,∞+【答案】[)1,+∞【分析】先根据及得到，利用同构得到()()1e xf x f x +'-=()21e f =()1e xf x x +=有解，构造，得到，故()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦()e 1=--t g t t ()0min e 10g t =-=，参变分离得到在有解，令，求导得到其单调性，()1ln 0x mx -+=1e x m x -=()0,x ∈+∞()1e x h x x -=极值和最值情况，得到答案.【详解】，所以，()()1ex f x f x +'-=()()e e xf x f x '-=故，所以，为常数，()e e x f x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()e e x f x x c =+c 因为，又，故，()21e f =()e 1ef c =+0c =所以，()1e xf x x +=若在区间内存在零点，()()()()2ln 20e x mf x g x mx x m =-+->()0,∞+则在区间内存在零点，()12e ln 20e x x m mx x x +-+-=()0,∞+整理得，()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦设，则，()e 1=--t g t t ()e 1t g t '=-令得，当时，，单调递增，()0g t '=0=t 0t >()0g t '>()e 1=--t g t t 当时，，单调递减，0t <()0g t '<()e 1=--t g t t 所以在处取得极小值，也是最小值，，()e 1=--t g t t 0=t ()0min e 10g t =-=故时，成立，()1ln 0x mx -+=()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦即存在，使得有解，即有解，()0,x ∈+∞()1ln 0x mx -+=1e x m x -=令，则，()1e x h x x -=()()12e 1x x h x x --'=当时，，当时，，1x >()0h x '>01x <<()0h x '<故在上单调递减，在上单调递增，()1e x h x x -=()0,1()1,+∞故在处取得极小值，也是最小值，()1e x h x x -=1x =又，故，()11h =()1h x ≥所以，故实数m 的取值范围.m 1≥[)1,+∞故答案为：[)1,+∞【点睛】方法点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数()f x ()f x '的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若，则构造，()()0f x f x +'>()()e x g xf x =⋅若，则构造，()()0f x f x '->()()x f x g x =e 若，则构造，()()0f x xf x '+>()()g x xf x =若，则构造.()()0f x xf x '->()()f xg x x =四、解答题17．设等比数列的前项和为，公比，.{}n a n n S 1q >2316,84a S ==(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和为.{}n n a +n n T 【答案】(1)；4nn a =(2).214423n n n n T ++-=+【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分组求和即可求解.【详解】（1）解：，解得，121111684a q a a q a q =⎧⎨++=⎩11644()144a a q q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或舍；4n n a ∴=（2）1231424344nn T n =++++++++ 1231234444nn =+++++++++(1)4(14)214n n n +-=+-.214423n n n n T ++-∴=+18．民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁≥19年龄＜40岁10总计40(1)请完成答题卡上的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“编织巧手”与“年22⨯0.010α=龄”是否有关；(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．参考公式：，其中．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.841 6.6357.879【答案】(1)填表见解析；认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010(2)815【分析】（1）根据题意补全列联表，计算，并与临界值对比分析；2χ（2）先根据分层抽样求各层的人数，结合古典概型分析运算.【详解】（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁≥19524年龄<40岁61016总计251540零假设为：“编织巧手”与“年龄”无关联．0H 根据列联表中的数据，经计算得到，()220.010401910657.111 6.63524162515x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此0.010α=0H 推断犯错的概率不大于0.010．（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．从这6人中随机抽取2人的情况有种，2615C =其中符合条件的情况有种，1142C C 8=故所求概率．815P =19．已知函数()322f x x ax b=-+(1)当时，求的极值；3a =()f x (2)讨论的单调性；()f x(3)若，求在区间的最小值.0a >()f x []0,1【答案】(1)，()f x b=极大值()1f x b=-+极小值(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时在R 上单调递增；0a =()f x 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()3min 2,3,0327a b a f x a b a -+≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；（2）求导函数，分，，讨论可得结果；()2(3)f x x x a '=-0a >0a =a<0（3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值.3a ≥0<<3a 【详解】（1）当时定义域为R ，3a =()3223f x x x b=-+且，()()26661f x x x x x '=-=-所以当或时，当时，0x <1x >()0f x ¢>01x <<()0f x '<所以在处取得极大值，在处取得极小值，()f x 0x =1x =即，；()()0f x f b ==极大值()()11f x f b==-+极小值（2）函数定义域为R ，则，()322f x x ax b=-+()()26223f x x ax x x a '=-=-令，解得或，()0f x '=0x =3ax =①当时，则当或时，，0a >0x <3ax >()0f x ¢>当时，，03ax <<()0f x '<所以的单调增区间为，，单调减区间为；()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当时，恒成立，所以在R 上单调递增；0a =()0f x '≥()f x③当时，当或时，，当时，，a<03a x <0x >()0f x ¢>03ax <<()0f x '<所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时在R 上单调递增；0a =()f x 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，即时在上单调递减，13a≥3a ≥()f x []0,1所以在上的最小值为，()f x []0,1()()min 12f x f a b ==-+若，即时，在单调递减，在单调递增，013a <<0<<3a ()f x 0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在的最小值为，()f x []0,1()3min327a a f x b⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭所以.()3min2,3,0327a b a f x a b a -+≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩20．某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”.参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；1316甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为.23(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.【答案】(1)2881(2)分布列见解析；72【分析】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，由题意确定的可能取值，求出每个值对应的概ξξ率，即可得答案.（2）确定随机变量X 的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望.【详解】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，则甲在“四人赛”中累计得分不低于6分包含了ξ或或或.9ξ=8ξ=7ξ=6ξ=；311(9)327P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭；223111(8)C 339P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭；3211331111(7)C C 3636P ξ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32313311111111(6)A C 33636354P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯++⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率，1111111427965427P =+++=故甲能进入“挑战答题”活动的概率.1214228327381P P =⨯=⨯=（2）随机变量X 的所有可能取值为，2345,,,；；3237510C C 1(2)C 12P X ===2337510C C 5(3)C 12P X ===；.1437510C C 5(4)C 12P X ===57510C 1(5)C 12P X ===所以X 的分布列如下表所示：X2345P112512512112所以.15517()2345121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21．已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点2222:1(0)x y E a b a b +=>>E 到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆的方程；E (2)设直线交于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四(:0l y kx m k =+≤≤E ,M N O OM ON 边形在椭圆上，求的取值范围.,OMPN P E OP【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程，结合可解；222a b c =+（2）设，利用韦达定理结合四边形为平行四边形可的点P 坐()()()112200,,,,,M x y N x y P x y OMPN 标，然后结合点P 在椭圆上可解.【详解】（1）由题可知12221a b a c ⎧⨯⨯⨯=⎪⎨⎪-=⎩，1ab a c ⎧=⎪⇒⎨-=⎪⎩所以，即，()22212a a c -=()212a a c +=所以，2(2a a 1)12-=所以，因为，()()222360a a a -++=0a >所以2，所以=a 1,c b ==所以椭圆的方程为：.E 22143x y +=（2）联立，消去，化简整理得：，22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=需满足，()())222222Δ6443441248(340k m k mk m =-+-=+->设，由韦达定理可()()()112200,,,,,M x y N x y P x y 知：.122834km x x k +=-+则以为邻边作平行四边形，,OM ON OMPN 则，()()1122,,OP OM ON x y x y =+=+()0120121228,34km x x x y y y k x x k ∴=+=-=+=++26234mm k +=+由于点在椭圆上，所以，P C 2200143x y +=即()()2222222161213434k m m k k +=++化简得：，经检验满足22434m k =+(2Δ4834k =+-)20m >又OP =====由于，2034315k k ≤≤∴≤+≤所以，213543k ≤+1≤所以231934435k ≤-≤+OP ≤≤所以的取值范围为.OP 22．已知函数.()()ln 1f x x x x λ=--(1)当时，，求的取值范围；1x ≥()0f x ≥λ(2)函数有两个不同的极值点（其中），证明：()()()21g x f x x xλλ=-+-12,x x 12x x <；12ln 3ln 4x x +>(3)求证：.()*1111ln21232n n n n n +++⋯+<∈+++N 【答案】(1)(],1-∞(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由，利用导数研究函数单调性，转化为当，恒成立问题；()10f =1x ≥()0f x '≥（2）函数极值点，是的两个零点，要证，等价于证，()g x 12,x x ()g x '12ln 3ln 4x x +>12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证.（3）由（1）可知，则有，类似于数列求和的裂项相消法可1ln x x x ->11x n =+()1ln 1ln 1n n n <+-+证.【详解】（1）函数，，且，()()ln 1f x x x x λ=--()ln 1f x x λ'=+-()10f =①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立；1λ≤1x ≥()0f x '≥()f x ()0f x ≥②当时，令，得，1λ>()ln 10f x x λ+'=-=1ex λ-=当时，此时单调递减，故，不满足题意；)11,ex λ-⎡∈⎣()0f x '≤()f x ()()10f x f ≤=综上可知：.1λ≤即的取值范围为.λ(],1-∞（2）由，故，()()()221ln g x f x x x x x x xλλλλ=-+-=-+-()ln 121ln 2g x x x x xλλ-='=+--因为函数有两个不同的极值点（其中），故.12,x x 12x x <1122ln 2,ln 2x x x x λλ==要证：，只要证：.12ln 3ln 4x x +>()1212124ln 3ln 2623x x x x x x λλλ<+=+=+因为，于是只要证明即可.120x x <<12423x x λ>+因为，故，1122ln 2,ln 2x x x x λλ==1212ln ln 2x x x x λ-=-因此只要证，等价于证，121212ln ln 43x x x x x x ->-+()1212124ln 3x x x x x x -<+即证，令，等价于证明，12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+12(01)x t t x =<<()41ln 3t t t -<+令，()()()()()22224119116109ln (01),3(3)(3)(3)t t t t t t t t t t t t t t t t ϕϕ----+'=-<<=-==++++因为，所以，01t <<()0t ϕ'>故在上单调递增，所以，得证.()t ϕ()0,1()()10t ϕϕ<=（3）由（1）可知当时，，故，1x >()()ln 10f x x x x =-->1ln x x x ->令，所以，所以，11x n =+111ln 111n n n n n ⎛⎫+>= ⎪++⎝⎭()1ln 1ln 1n n n <+-+，ln2ln ln2n n =-=所以.1111ln21232n n n n +++⋯+<+++【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

2016_2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题与答案

2016_2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题与答案

试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的、号填写清楚，并粘好条形码。

请认真核准条形码上的号、和科目。

3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域作答。

答在本试卷上无效。

5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016-2017年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x＞2}，A∩B=（）A．[﹣1，3]B．（2，3]C．[﹣1，+∞）D．（2，+∞）2．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=1+2i，则z=（）A．﹣2i B．C．i D．3．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样4．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π5．（5分）已知等比数列{a n}各项均为正数，公比为q，满足a n+1＜a n，a2a8=6，a4+a6=5，则q2=（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．4B．8C．14D．188．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．B．2C．D．﹣49．（5分）若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a为（）A．﹣1或B．1或3C．﹣2或6D．0或4 10．（5分）有5人排成一排照相，其中有男、女医生各1人，男、女教师各1人，男运动员1人，若同职业的人互不相邻，且女士相邻，则不同的站排方式共有（）A．28B．30C．48D．6011．（5分）已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣x2=1D．﹣=112．（5分）定义在R上的函数f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（）A．B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C．D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若，则=．14．（5分）设向量=（1，），=（m，），且•=2，则实数m=．15．（5分）在多项式（1+x+x2）（1﹣x）10的展开式中，x10项的系数是．16．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC﹣c=2a，a=3，且AC边上的中线长为，则c=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（Ⅰ）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．18．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足=m（m∈R），若二面角E﹣AD﹣C 的余弦值为，求实数m的值．19．（12分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，P是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）作直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x=0处的极小值为2，求a，b的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+ln（x+1），当x≥0时，g（x）≥1+b，求a的取值范围．请考生在22～23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺序为P，Q，R，S，求||PQ|﹣|RS||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）求证：．2016-2017学年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x＞2}，A∩B=（）A．[﹣1，3]B．（2，3]C．[﹣1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，∵B=（2，+∞），∴A∩B=（2，3]，故选：B．2．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=1+2i，则z=（）A．﹣2i B．C．i D．【解答】解：∵（2﹣i）z=1+2i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+2i），5z=5i．则z=i．故选：C．3．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【解答】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．4．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：∵AB=，BC=，AC=2，∴PA=1，PC=，PB=2以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=π故选：B．5．（5分）已知等比数列{a n}各项均为正数，公比为q，满足a n+1＜a n，a2a8=6，a4+a6=5，则q2=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a4a6=a2a8=6，a4+a6=5，等比数列{a n}各项均为正数，解得a4=3，a6=2，∴q2==，故选：D．6．（5分）已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【解答】解：∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，由f（lgx）＞f（1），f（1）=f（﹣1）得：﹣1＜lgx＜1，∴＜x＜10，故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．4B．8C．14D．18【解答】解：第一次，k=2，S=20﹣2=18，不满足条件k＞5，第二次，k=4，S=18﹣4=16，不满足条件k＞5，第三次，k=8，S=16﹣8=8，满足条件k＞5，输出S=8，故选：B．8．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．B．2C．D．﹣4【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，令z=0得x+2y=0，显然当平行直线x+2y=0过点A（2，0）时，z取得最小值为2；故选：B．9．（5分）若直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a为（）A．﹣1或B．1或3C．﹣2或6D．0或4【解答】解：圆（x﹣a）2+y2=4的圆心坐标为（a，0），半径为2，圆心（a，0）到直线x﹣y﹣2=0的距离d=，又直线x﹣y﹣2=0被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，∴2，即，解得a=0或a=4．故选：D．10．（5分）有5人排成一排照相，其中有男、女医生各1人，男、女教师各1人，男运动员1人，若同职业的人互不相邻，且女士相邻，则不同的站排方式共有（）A．28B．30C．48D．60【解答】解：先把两名女性捆绑在一起看做一个整体，和另外的3名男性全排列，有A22A44=48种，其中女医生和男医生相邻或女教师和男教师相邻的有4A33=24种，女医生和男医生相邻且女教师和男教师相邻2A22=4，故同职业的人互不相邻，且女的必须相邻的站法种数为48﹣24+4=28，故选：A．11．（5分）已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣x2=1D．﹣=1【解答】解：可设直线l：y=k（x+1），⊙B：x2+y2﹣2x=0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，d==1，解得k=±，直线l的方程为y=±（x+1），联立x2+y2﹣2x=0，解得x=，y=±，即D（，±），由题意可得渐近线方程为y=±x，设双曲线的方程为y2﹣x2=m（m≠0），代入D的坐标，可得m=﹣=．则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（）A．B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C．D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）【解答】解：构造函数g（x）=∴g′（x）=，∵恒成立，∴2f′（2x）＞ln2f（2x）恒成立，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上为增函数，∴g（1）＞g（0）＞g（﹣1），∴＞＞，∴f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2），故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若，则=．【解答】解：∵，可得：sin（α+）=，∴sin（α+）=1，可得：α+=2kπ+，k∈Z，解得：α=2kπ+，k∈Z，∴=sin（2kπ++）=sin（+）=（）=．故答案为：．14．（5分）设向量=（1，），=（m，），且•=2，则实数m=﹣1．【解答】解：∵向量=（1，），=（m，），且•=2，∴=m+3=2，解得实数m=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）在多项式（1+x+x2）（1﹣x）10的展开式中，x10项的系数是36．【解答】解：（1+x+x2）（1﹣x）10=（1﹣x3）•（1﹣x）9=（1﹣x3）•（1﹣9x+…+x6﹣x7+x8﹣x9），∴x10的系数为﹣1•（﹣）==36．故答案为：36．16．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC﹣c=2a，a=3，且AC边上的中线长为，则c=5．【解答】解：∵2bcosC﹣c=2a，∴cosC=，由余弦定理可得cosC=，∴=，∴b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，①取AC中点D，连接BD，在△CBD中，cosC==∴9+b2﹣c2=2（9+﹣），②把①代入②，化简可得：c2﹣3c﹣10=0，解得：c=5或c=﹣2（舍去），可得：c=5三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（Ⅰ）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．【解答】解：（Ⅰ）甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2，4，4，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为．（Ⅱ）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有5种，故甲胜的概率P1=，同理乙胜的概率P2=．因为P1=P2，所以此游戏公平．18．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足=m（m∈R），若二面角E﹣AD﹣C 的余弦值为，求实数m的值．【解答】证明：（Ⅰ）连结A1C∩AC1于F，则F为AC1的中点，连结DF，则A1B∥DF，∵DF⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．解：（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，则EN⊥AD，∴∠ENM为二面角E﹣AD﹣C的一个平面角，设EM=h，则=，∴CM=，∴AM=2﹣，∵，∴MN=，∴EN2=EM2+MN2=h2+（1﹣）2，∵cos，故=，解得h=，此时，点E为A1C的中点，∴m=1．19．（12分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休””为事件A，则P（A）==．（II）X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==．P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列如下：∴E（X）=0+1×+2×+3×=．20．（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，P是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）作直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆E的标准方程为，（a＞b＞0），由题意知e==，①设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n（m＞0，n＞0），则有m+n=2a，②以线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，∴n2+（2c）2=m2，③又由．∴9mncos∠F1PF2=1，即9mn==1，即n2=，n=，由①②③解得：a=3，c=2，则b2==1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）假设存在直线l，则依题意得l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+b，设M（x1，y1），N（x1，y1），则，消去y，整理得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣9=0，x1+x2=，△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣9）=36（k2﹣b2+9），则=﹣=﹣，∴b=，将上式代入判别式，由△＞0，可得k2﹣（）2+9＞0，解得k ＞或k＜﹣，则直线l倾斜角的取值范围为．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x=0处的极小值为2，求a，b的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+ln（x+1），当x≥0时，g（x）≥1+b，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣a，若f（x）在x=0处的极小值为2，则，解得：；（Ⅱ）g（x）=f（x）+ln（x+1）=e x﹣ax+b+ln（x+1），当x≥0时，g（x）≥1+b，即e x﹣ax+ln（x+1）≥1在x∈[0，+∞）恒成立，令h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），（x≥0），则h′（x）=e x+﹣a，记m（x）=e x+﹣a，则m′（x）=e x﹣，当x≥0时，e x＞1，≤1，此时m'（x）≥0，h'（x）在（0，+∞）上递增，h'（x）≥h'（0）=2﹣a，a≤2时，h′（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上递增，故h（x）≥h（0）=1成立；a＞2时，∃x0∈（0，+∞），使得h（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故h（x）min=h（x0）＜h（0）=1，不合题意，故a≤2．请考生在22～23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺序为P，Q，R，S，求||PQ|﹣|RS||的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0，∵曲线，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为：y2=4x．（Ⅱ）设四点在C上的排列顺序为P，Q，R，S，其参数分别为t1，t2，t3，t4．曲线C的参数方程（t为参数）代入抛物线方程y2=4x，可得：3t2﹣8t﹣32=0．△1＞0，可得t1+t4=．曲线C的参数方程（t为参数）代入圆的方程可得：t2+t=0．△2＞0，可得t2+t3=﹣1．∴||PQ|﹣|RS||=|（t2﹣t1）﹣（t4﹣t3）|=|（t2+t3）﹣（t1+t4）|=|1+|=．故答案为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）求证：．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，不等式f（x）≥2，即|x﹣1|+|2x﹣1|≥2．x＜时，不等式可化为1﹣x+1﹣2x≥2，解得x≤0，∴x≤0；时，不等式可化为1﹣x+2x﹣1≥2，解得x≥2，∴x无解；x＞1时，不等式可化为x﹣1+2x﹣1≥2，解得x≥，∴x≥；综上所述，不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|≥|a﹣x|+|x﹣|≥|a﹣|．。

2021-2022学年吉林省长春市第二中学、东北师大附中高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2022学年吉林省长春市第二中学、东北师大附中高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2022学年吉林省长春市第二中学、东北师大附中高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．集合{}Z 04P x x =∈≤<，{}216M x x =≤，则P M ⋂=（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2,3,4C ．{}04x x ≤<D ．{}04x x ≤≤【答案】A【分析】求出集合P 、M ，利用交集的定义可求得结果.【详解】{}{}Z 040,1,2,3P x x =∈≤<=，{}{}21644M x x x x =≤=-≤≤，因此，{}0,1,2,3P M ⋂=. 故选：A.2．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1n n S a n =-+∈N ，则10S =（ ）A ．552B ．511512C ．511512-D ．10231024【答案】D【分析】令1n =可求得1a 的值，当2n ≥时， 由1n n S a =-+可得111n n S a --=-+，两式作差推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出10a 的值，即可得解. 【详解】当1n =时，1111a S a ==-+，可得112a =， 当2n ≥时， 由1n n S a =-+可得111n n S a --=-+， 上述两个等式作差可得1n n n a a a -=-+，可得112n n a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为12，公比也为12的等比数列，则91010111222a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，因此，1010110231110241024S a =-+=-=. 故选：D.3．两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）A ．74、75B ．52、53C ．47、48D ．38、39【答案】C【分析】计算出靠近左侧窗口的座位号、靠近右侧窗口的座位号所形成的等差数列的通项公式，逐项判断可得出合适的选项.【详解】由题意可知，靠近左侧窗口的座位号形成以1为首项，公差为4的等差数列{}n a ， 则()14143n a n n =+-=-，则{}n a 各项均为奇数， 令4347k a k =-=，解得252k =，不合乎题意； 靠近右侧窗口的座位号形成以4为首项，公差为4的等差数列{}n b ，则()4414n b n n =+-=，则{}n b 各项均为4的倍数，令448n b n ==，可得12n =， 故只有C 选项合乎题意. 故选：C.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则（ ）A ．()()()161718f f f <-<B ．()()()181617f f f <<-C ．()()()161817f f f <<-D ．()()()171618f f f -<<【答案】D【分析】推导出函数()f x 是周期函数，且周期为8，以及函数()f x 在区间[]22-,上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出()16f 、()17f -、()18f 的大小关系. 【详解】由题意可知()()()84f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期函数，且周期为8， 则()()160f f =，()()171f f -=-，()()182f f =，因为奇函数()f x 在区间[]0,2上是增函数，则该函数在区间[]2,0-上也为增函数，故函数()f x 在区间[]22-,上为增函数，所以()()()102f f f -<<，即()()()171618f f f -<<.故选：D.5．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买8克黄金，售货员先将4克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将4克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（ ） A ．等于8克 B ．大于8克 C ．小于8克 D ．不能确定【答案】C【分析】设天平的左右臂长分别为,m n (m n ≠)，第一次加黄金x 克，第二次加黄金y 克，则根据物理知识可得4m xn =，4my n =，根据基本不等式可得8x y +>克.【详解】设天平的左右臂长分别为,m n (m n ≠)，第一次加黄金x 克，第二次加黄金y 克， 则根据物理知识可得4m xn =，且(4)(4)y m x n +=+，即4my n =，所以444()48m n m n x y n m n m +=+=+≥⨯，当且仅当m n =时等号成立， 因为m n ≠，所以等号不成立，所以8x y +>克. 故选：C6．市场上某种商品由三个厂家同时供应，甲厂家的供应量是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家的供应量相等，且甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为2％，2％，4％，则市场上该商品的次品率为（ ）． A ．0.035 B ．0.05C ．0.025D ．0.075【答案】C【分析】利用条件概率公式和全概率公式即可求得市场上该商品的次品率. 【详解】设1A ，2A ，3A 分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品，B 表示取到次品， 由题意得()10.5P A =，()()230.25P A P A ==，()10.02P B A =，()20.02P B A =，()30.04P B A =，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.50.020.250.020.250.040.025=⨯+⨯+⨯=故选：C7．已知函数()213,222,x x x af x x x a ⎧--+≤⎪=⎨⎪->⎩无最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()1,0-C ．()0,∞+D ．(),1-∞-【答案】D【分析】根据题意作出函数()f x 的图象，根据二次函数的性质，数形结合判断临界点即可求解.【详解】解：由题可知，当x a ≤时，213()22f x x x =--+，其对称轴为1x =-，当1a ≥-时，函数213()22f x x x =--+有最大值为(1)2f -=，当1a <-时，函数213()22f x x x =--+有最大值为213()22f a a a =--+，当x a >时，()2f x x =-，在(,)a +∞单调递减，故()()2f x f a a <=-，因为函数()f x 无最大值，故当1a ≥-时，需满足22a <-，解得1a <-，不符合题意， 当1a <-时，需满足213222a a a --+<-，解得1a <-，3a >（舍去）.综上，实数a 的取值范围是(,1)-∞-. 故选：D.8．已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】D【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-， 设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->， 故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>， 所以115sin cos 55>，故c a >综上，c a b >> 故选：D. 二、多选题9．相关变量x ，y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点()1021,，根据剩下数据得到线性归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r ．则（ ）A ．12r r =B ．12r r <C ．12r r >D ．()12,1,0r r ∈-【答案】CD【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可.【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以1r ，20r <． 因为剔除点()1021,后，剩下点的数据更具有线性相关性，2r 更接近1， 所以2110r r -<<<． 故选：CD ．10．在二项式6332x x 的展开式中，正确的说法是（ ）A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32【答案】BCD【分析】利用二项式展开式通项可判断A 选项；利用各项系数和可判断B 选项；利用二项式系数的性质可判断C 选项；求出奇数项的二项式系数和可判断D 选项.【详解】二项式63312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()62633166311C C 22k kk kkk k T x xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于A 选项，令6203k-=，可得3k =，故常数项是第4项，A 错； 对于B 选项，各项的系数和是6111264⎛⎫-= ⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，展开式共7项，第4项二项式系数最大，C 对； 对于D 选项，奇数项二项式系数和为5232=，D 对. 故选：BCD.11．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1、2、3、4、5，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．()124P X == B ．()()3P X k P X =≤=()1,2,3,4,5k = C ．()2E X = D ．()1D X =【答案】ABD【分析】设1Y X =-，则1~4,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别计算出概率，计算出方差后可判断各选项．【详解】设1Y X =-，依题意，1~4,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，对于A 选项，()()4141121C 24P X P Y ⎛⎫====⋅= ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，()()()41411C 1,2,3,4,52k P X k P Y k k -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭， 由二项式系数的性质可知()14C 1,2,3,4,5k k -=中，24C 最大，则()()()31,2,3,4,5P X k P X k =≤==，B 对；对于C 选项，()()114132E X E Y =+=⨯+=，C 错；对于D 选项，()()21412D X D Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，D 对.故选：ABD.12．若存在λ，μ使得()222121212x x x x x x λμ++≥+对于任意非负实数12,x x 恒成立，则下列选项正确的是（ ） A ．若0λ=，则μ的最大值为12B ．若0λ>，则μ的最小值为-1C ．“μ的最大值为1”的充要条件是“2λ≥”D ．若4λ=-，则μ的最大值为12-【答案】ACD【分析】根据题意，分离参数μ，即122112212x x x x x x x x λμ++≤++，设12212x x t x x =+≥，即212t λμ-≤++，对于不同的λ值，逐项进行分析即可.【详解】解：对于A ，当0λ=时，原式等价于2221212()x x x x μ+≥+，若12,x x 至少有一个等于0，则不等式2221212()x x x x μ+≥+对任意非负实数12,x x 恒成立的充要条件是1μ≤，若12,x x 均非零，即120,0x x >>，则2221212()x x x x μ+≥+，即12221221221212122122x x x x x x x x x x x x x x μ++≤=++++，设12212x x t x x =+≥，此时1221122121222x x x x t x x t t x x +==-++++的值域为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以，综上12μ≤，μ的最大值为12，故A 项正确. 对于B ，若0λ>，则原式()222121212x x x x x x λμ++≥+对任意0μ≤恒成立，此时μ可取任意负数，故B 项错误；对于C ， 若12,x x 至少有一个等于0，则不等式2221212()x x x x μ+≥+对任意非负实数12,x x 恒成立的充要条件是1μ≤，若12,x x 均非零，则222121212()x x x x x x λμ++≥+，即1222121221221212122122x x x x x x x x x x x x x x x x λλμ++++≤=++++， 设12212x x t x x =+≥，此时1221122121222x x x x t x x t t x x λλλ+++-==+++++，当2λ≥时，值域为21,14λ-⎛⎤+ ⎥⎝⎦，故μ的最大值为1， 当2λ<时，值域为21,14λ-⎛⎤+ ⎥⎝⎦，故μ的最大值为2114λ-+<，故C 项正确； 对于D ，由C 项可知，当4λ=-时，μ的最大值为21142λ-+=-，故D 项正确.故选：ACD. 三、填空题13．某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()2950,25N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过950小时的概率为______．【答案】380.375【分析】根据正态分布可得个电子元件的使用寿命超过950小时的概率为12P =，利用独立事件的乘法公式即可求解.【详解】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(950,25)N 得：三个电子元件的使用寿命超过950小时的概率为12P =， 设A ={超过950小时时,元件1、元件2至少有一个正常},B ={超过950小时时,元件3正常}，C ={该部件的使用寿命超过950小时}则21()1(1),()2P A P P B =--=， ∵事件,A B 为相互独立事件，事件C 为,A B 同时发生的事件,∴313()()()()428P C P AB P A P B ===⨯=.故答案为：38.14．已知,x y 之间具有线性相关关系，若通过10组数据()(),1,2,,10i i x y i =得到的回归方程为ˆ 2.15yx =-+，且10120i i x ==∑，则101i i y ==∑__________. 【答案】8【分析】依据回归方程ˆ 2.15yx =-+过点(),x y ，即可求得101i i y =∑的值. 【详解】依题意知，20210x ==，因为回归方程为ˆ 2.15yx =-+， 所以可以计算出 2.150.8y x =-+=，所以101100.88.i i y ==⨯=∑ 故答案为：815．不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式0ax cbx c+≤-的解集为______． 【答案】()[),48,-∞+∞【分析】根据20ax bx c ++>的解集求出a b c 、、的关系，再化简不等式0ax cbx c+≤-，求出它的解集即可．【详解】解：因为20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则0a <，且对应方程的根为-2和4， 所以242b a -=-+=，248ca=-⨯=-，且0a <， 不等式0ax c bx c+≤-可化为8028ax a ax a -≤-+,则8028x x -≤-+，即804x x -≤-， 解得4x <或8x ≥． 故答案为()[),48,-∞+∞．16．已知函数()f x 的定义域和值域均为()0,+∞，()f x 的导函数为fx ，且满足()()()23f x f x f x '<<，则()()20212022f f 的范围是______．【答案】32e ,e --（） 【分析】构造函数23()()(),()e e x xf x f xg xh x ==，利用导数可得22021220223202132022(2021)(2022)(2021)(2022),e e e e f f f f ⨯⨯⨯⨯<>，即可求解.【详解】解：令23()()(),()e ex x f x f x g x h x == ，则23()2()()3()()0,()0e e x xf x f x f x f xg xh x --'=='''><22021220223202132022(2021)(2022)(2021)(2022),e e e ef f f f ⨯⨯⨯⨯∴<> 23,(2021)(2021)e e ,(2022)(2022)f f f f --∴<>即()()20212022f f 的范围是32e ,e --（）. 故答案为：32e ,e --（） 四、解答题17．已知函数()()24ln 1f x ax x =-+，a 为常数．(1)若()f x 在1x =处有极值，求实数a 的值；(2)若()f x 在[]2,3上是减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由已知可得()10f '=，可求得a 的值，再利用导数分析函数()f x 的单调性，可得结果；（2）由题意可知()4201f x ax x '=-≥+对任意的[]2,3x ∈恒成立，由参变量分离法可得()21a x x ≥+，即可求得实数a 的取值范围.【详解】(1)解：函数()()24ln 1f x ax x =-+的定义域为()1,-+∞，()421f x ax x '=-+， 由题意可得()1220f a '=-=，解得1a =，所以，()()24ln 1f x x x =-+，()()()2124211x x f x x x x -+'=-=++， 当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 所以，函数()f x 在1x =处取得极小值，合乎题意. 综上所述，1a =.(2)解：由题意可知()4201f x ax x '=-≥+对任意的[]2,3x ∈恒成立，则()21a x x ≥+，因为函数()21y x x =+在[]2,3上单调递减，故21233a ≥=⨯. 故实数a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18．在等差数列{}n a 中，62210a a -=，且前5项和515S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设12nin i i T a ==∑，求n T ．【答案】(1)n a n =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得n T .【详解】(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则62151291051015a a a d S a d -=+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==，()11n a a n d n ∴=+-=.(2)解：由题意可得1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，①则()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅，②①-②可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，因此，()1122n n T n +=-⋅+.19．政府为了吸收更多对环境保护的投入资金，拟发行“稳健型”和“风险型”两种投资债券，根据长期收益率市场预测，投资“稳健型”债券的年收益()y f x =与投资额x 成正比，其关系如图1，投资“风险型”债券的年收益yg x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种债券的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)某企业预计拿出40万元资金，全部用于这两种债券投资，请问如何分配资金投入能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())102g x x x =≥ (2)投资“稳健型”债券36万元，投资“风险型”债券4万元，年收益最大为5.5万元. 【分析】（1）设函数解析式()1f x k x =，()g x k x =1x =即可求出12,k k 的值，即可得函数解析式；（2）设投资“稳健型”债券x 万元，则投资“风险型”债券40x -万元，年收益为y 万元，则()(40)y f x g x =+-，代入解析式，换元求最值即可.【详解】(1)解：依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x x =≥， ∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())102g x x x ≥. (2)解：设投资“稳健型”债券产品x 万元，则投资“风险型”债券为()40x -万元，年收益为y 万元， 依题意得：()()40y f x g x =+-， 即)14004082x y x x =-≤≤，令40t x =- 则240x t =-，0,210t ⎡∈⎣，则24082t ty -=+()2111282t =--+，0,210t ⎡∈⎣， 所以当2t =，即36x =万元时，收益最大，max 5.5y=万元.故投资“稳健型”债券36万元，投资“风险型”债券4万元，年收益最大为5.5万元. 20．北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯；制成石墨烯发热膜．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B 材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．(1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据0.01α=的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关；单位：次A材料B材料合计试验成功试验失败合计(2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为12，第三环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元．试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)列联表见解析，认为试验结果与材料有关(2)石墨烯发热膜的定价至少为2.2万元/吨，才能实现预期的利润目标 【分析】（1）由题中数据列出列联表，计算卡方后判断（2）分析X 的取值后，由概率的乘法公式计算，得出分布列后求数学期望，确定售价 【详解】(1)根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 单位：次零假设为0H ：试验结果与材料无关．计算可得()220.01100452030512 6.63575255050x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，依据0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为试验结果与材料有关． (2)设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为X 万元． 易知X 的可能取值为0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5．()2021210C 236P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121210.1C 233P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2221210.2C 236P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2021110.3C 2312P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121110.4C 236P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2221110.5C 2312P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，则X 的分布列为修复费用X 的期望()11111100.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标． 21．某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A ，B ，C 三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A 桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B 桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C 桶，奖励游客面值90元的景区消费券； 投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．(1)向A 桶投球3次，每次投进的概率为p ，记投进2次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；(2)游客甲投进A ，B ，C 三桶的概率分别为000133,,21020p p p ，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由． 【答案】(1)023=p (2)游客甲选择向B 桶投球更有利；理由见解析【分析】（1）根据概率公式求得概率()f p ，利用导数求得最大值点0p ； （2）求出游客投进A ，B ，C 三桶纯收入的期望，比较可得．【详解】(1)3次向A 桶投球投进2次的概率()()22323C 133f p p p p p =-=-+．2()96=-'+f p p p ．令()0f p '=，得23p =． 当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<．∴()f p 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，∴所以()f p 的最大值点023=p ．(2)由（1）得游客甲投进A ，B ，C 三桶的概率分别为111,,3510．设投进A 桶的纯收入为X 元，1210()10(10)333=⨯+-⨯=-E X ；设投进B 桶的纯收入为Y 元，14()50(10)255=⨯+-⨯=E Y ；设投进C 桶的纯收入为Z 元，19()80(10)11010=⨯+-⨯=-E Z ； 因为()()()<<E X E Z E Y所以游客甲选择向B 桶投球更有利．22．已知函数()()1ln f x a x x x =-+，a ∈R ． (1)若()212e 1e ef '=-++，求函数()f x 的单调区间： (2)当1≥x 时，()1e xf x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由()212e 1e ef '=-++可求得a 的值，再利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的单调增区间和减区间；（2）令()()()11e 1ln e x x g xf x a x x x --=-=-+-，1≥x ，只需()max 0g x ≤，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()g x 的单调性，验证()0g x ≤对任意的1≥x 能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】(1)解：因为()()1ln f x a x x x =-+，该函数的定义域为()0,∞+，()()1ln 1a x f x a x x-'=++， 所以，()()2e 112e 1211e e e ea a f a a -=++=-++'=-+，解得1e a =. 此时()ln 1111ln 1e e e e x x f x x x x -⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭， 令()1ln 1e t x x x=++-，其中0x >，()2110t x x x '=+>，所以，函数()t x 在()0,∞+上单调递增，且10e t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当10e x <<时，()0t x <，则()0f x '<；当1ex >时，()0t x >，则()0f x '>.所以，函数()f x 的减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)解：令()()()11e 1ln e x x g xf x a x x x --=-=-+-，1≥x ，只需()max 0g x ≤，可得()()11ln 1e x a x g x a x x --'=++-，1≥x ， 记()()11ln 1e x a x h x a x x--=++-，1≥x ，则()1211e x h x a x x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，1≥x ， ①当0a ≤时，()0h x '<，则函数()()h x g x '=在[)1,+∞上为增函数， 所以，()()10g x g ''≤=，所以，函数()g x 在[)1,+∞上为减函数，所以，()()10g x g ≤=，此时当1≥x 时，()1e xf x -≤恒成立；②当102a <≤时，令()()p x h x '=，则()12312e 0x p x a xx -⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，故函数()h x '在[)1,+∞上单调递减，所以，()()1210h x h a ''≤=-≤，同①可知，当1≥x 时，()1e xf x -≤恒成立；③当12a >时，由②可知，函数()h x '在[)1,+∞上为减函数，所以，()()1210max h x h a ='-'=>，构造函数()1ex m x x -=-，其中x ∈R ，则()1e 1x m x -'=-，当1x <时，()0m x '<，此时函数()m x 单调递减，当1x >时，()0m x '>，此时函数()m x 单调递增，所以，()()10m x m ≥=，则1e x x -≥，所以，()1221111e x h x a a x x x x x -⎛⎫⎛⎫'=+-≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()21111114442041641648h a a a a a a a ⎛⎫'≤+-=+-<+-< ⎪⎝⎭， 所以，存在()01,4x a ∈使得()00h x '=，当01x x <<时，()0h x '>，此时函数()()h x g x '=在()01,x 上单调递增， 此时()()10g x g ''>=，则函数()g x 在()01,x 上单调递增， 此时()()10g x g >=，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，注意到()10g =，转化为端点效应问题，只需分析函数的单调性即可.。

2016-2017学年吉林省长春联考高一下期末数学理科试卷(有答案)

2016-2017学年吉林省长春联考高一下期末数学理科试卷(有答案)

2016-2017学年吉林省长春联考高一（下）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共计12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（4分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．2．（4分）已知，则a10=（）A．﹣3 B．C．D．3．（4分）在锐角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°4．（4分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．5．（4分）在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）6．（4分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．7．（4分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．838．（4分）已知x，y是正数，且，则x+y的最小值是（）A．6 B．12 C．16 D．249．（4分）对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2，则a＜b；④；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．611．（4分）若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞）D．（∞，2]12．（4分）已知方程（x2﹣mx+2）（x2﹣nx+2）=0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m﹣n|=（）A．1 B．C．D．二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）不等式＞1的解集是．14．（4分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17=．15．（4分）在△ABC中，面积，则∠C等于．16．（4分）设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值是．三、解答题（共56分，需要写出必要的解答和计算步骤）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．18．（10分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．已知a1+a3=16，S4=28．（1）求数列{a n}的通项公式（2）当n取何值时S n最大，并求出这个最大值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（﹣cosB，sinC），=（﹣cosC，﹣sinB），且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．20．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+acosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．21．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：a n=+++…+，求数列{b n}的通项公式；（3）令c n=（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．2016-2017学年吉林省长春联考高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共计12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（4分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．【解答】解：S===．△ABC故选B．2．（4分）已知，则a10=（）A．﹣3 B．C．D．【解答】解：∵，，…写出几项发现数列是一个具有周期性的数列，且周期是3，∴，故选B．3．（4分）在锐角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°【解答】解：锐角△ABC中，由正弦定理可得=，∴sinA=．∵B=45°，a＞b，再由大边对大角可得A＞B，故B=60°，故选：B．4．（4分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，=S△OBA+S△OCA∴S四边形OBAC=．故选：C．5．（4分）在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）【解答】解：因为，所以，化简得；x2+3x＜4即x2+3x﹣4＜0即（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，故选A．6．（4分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，=故选：D7．（4分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．83【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，∴第三个n项的和为：=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．8．（4分）已知x，y是正数，且，则x+y的最小值是（）A．6 B．12 C．16 D．24【解答】解：x+y=（x+y）（+）=1+9++≥10+2=10+6=16，当且仅当x=4，y=12时取等号，故x+y的最小值是16，故选：C9．（4分）对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2，则a＜b；④；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①根据不等式的性质可知若a＞b，c＜0，则ac＞bc或ac＜bc，∴①错误．②当c=0时，ac2=bc2=0，∴②错误．③若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＜b成立，∴③正确．④当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴④错误．⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd＞0成立，∴⑤正确．故正确的是③⑤．故选：B．10．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选：C11．（4分）若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞）D．（∞，2]【解答】解：不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，恒成立，合题意．当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范围为（﹣2，2]．故选B．12．（4分）已知方程（x2﹣mx+2）（x2﹣nx+2）=0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m﹣n|=（）A．1 B．C．D．【解答】解：设这四个根为x1，x2，x3，x4，公比为p其所有可能的值为，，，，由得x1x2x3x4=4，即，则p6=64⇒p=±2．当p=2时，四个根为，1，2，4，且，4为一组，1，2为一组，则+4=m，1+2=n，则；当p=﹣2时，不存在任两根使得x1x2=2，或x3x4=2，∴p=﹣2舍去．故选B．二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）不等式＞1的解集是{x|﹣2＜x＜﹣} ．【解答】解：不等式，移项得：＞0，即＜0，可化为：或，解得：﹣2＜x＜﹣或无解，则原不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}．故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣}14．（4分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17=34．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a7a11+a8a10=2e4，∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则a8a10=e4，∴lna1+lna2+…lna17=ln（a1a2…a17）=34，故答案为：34．15．（4分）在△ABC中，面积，则∠C等于45°．【解答】解：由三角形的面积公式得：S=absinC，而，所以absinC=，即sinC==cosC，则sinC=cosC，即tanC=1，又∠C∈（0，180°），则∠C=45°．故答案为：45°16．（4分）设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值是3．【解答】解：∵，∴f（1﹣x）==∴f（x）+f（1﹣x）=∴f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）=6×=3故答案为：3三、解答题（共56分，需要写出必要的解答和计算步骤）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：18．（10分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．已知a1+a3=16，S4=28．（1）求数列{a n}的通项公式（2）当n取何值时S n最大，并求出这个最大值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3=16，S4=28．∴2a1+2d=16，4a1+d=28，联立解得：a1=10，d=﹣2．∴a n=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．（2）令a n=12﹣2n≥0，解得n≤6．∴n=5，或6时，S n取得最大值，为S6==30．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（﹣cosB，sinC），=（﹣cosC，﹣sinB），且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（﹣cosB，sinC），=（﹣cosC，﹣sinB），∴，即，∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，可得cos（B+C）=，…（4分）即，结合A∈（0，π），可得．…（6分）（Ⅱ）∵△ABC的面积==，∴，可得bc=4．…（8分）又由余弦定理得：=b2+c2+bc，∴a2=（b+c）2﹣bc=16﹣4=12，解之得（舍负）．…（12分）20．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+acosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由bsinA+acosB=0及其正弦定理可得：sinBsinA+sinAcosB=0，sinA≠0，∴sinB+cosB=0，即tanB=﹣1，又0＜B＜π，∴B=．（2）由余弦定理，可得=≥2ac+ac，∴ac≤=2（2﹣），当且仅当a=c时取等号．∴S=sinB≤=﹣1，△ABC故△ABC面积的最大值为：﹣1．21．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：a n=+++…+，求数列{b n}的通项公式；（3）令c n=（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*），∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．∴a n=2n．（2）数列{b n}满足：a n=+++…+，∴n≥2时，a n﹣a n﹣1==2．∴b n=2（3n+1）．n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．∴b n=2（3n+1）．（3）c n===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为A n，则A n=3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3A n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2A n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，可得A n=．∴数列{c n}的前n项和T n=+．。

2023-2024学年吉林省长春市五校高二下学期期末联考数学试卷(含答案)

2023-2024学年吉林省长春市五校高二下学期期末联考数学试卷(含答案)

2023-2024学年吉林省长春市五校高二下学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x(x−3)<0}，B ={x|0<x−1<3}，则A ∩B =( )A. {x|−3<x <4}B. {x|−1<x <0}C. {x|1<x <3}D. {x|−4<x <3}2.“a >b ≥0”是“b +1a +1>ba ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.小明和小红两名高考生高考完之后计划暑假假期分别从北戴河，白石山，金山岭长城，承德避暑山庄，邯郸七步沟五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有( )A. 36种B. 60种C. 64种D. 82种4.函数f(x)=e x +2sin x1+x 2在x =0处的切线斜率为( )A. 1B. 2C. 3D. 45.已知随机事件A ，B 满足P(A)=23，P(B)=35，P(A|B)=13，则P(B|A)=( )A. 35B. 310C. 25D. 156.已知离散型随机变量X 的分布列为X −101P121316且Y =12X +2，则D(Y)=( )A. 1B. 518C. 59D. 5367.对于数据组(x i ,y i )(i =1,2,⋯,n)，如果由线性回归方程得到的自变量x i 的估计值是y i ，那么将y i −y i 称为样本点(x i ,y i )处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到下表所示数据.若某商品销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的线性回归方程为y =−20x +a ，且样本点(8.4,82)处的残差为2，则m =( ) 单价x/元8.28.48.68.8销量y/件848278mA. 66B. 68C. 70D. 728.若等式4b=(b+1b)2(b>1)成立，则b的取值范围为( )A. (2,4)B. (1,2)C. (4,5)D. (5,6)二、多选题：本题共3小题，共18分。

人教A版2019届高中数学选修2-1专题特色训练01：解密命题充分必要性之含参问题_含答案

人教A版2019届高中数学选修2-1专题特色训练01：解密命题充分必要性之含参问题_含答案

专题01 解密命题充分必要性之含参问题一、选择题1．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】若“01x ≤≤”是“()(20x a x a ⎡⎤--+<⎣⎦）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A . ][01,)-∞⋃+∞（，B . []1,0-C . ()1,0-D . ()(),10,-∞-⋃+∞【答案】C点睛：设,p q 对应的集合分别为,A B ，则有以下结论： （1）若p q 是的充分条件，则A B ⊆； （2）若p q 是的充分不必要条件，则A B ；（3）若p q 是的充要条件，则A B =。

根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。

2．【上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三期中】若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，分别是1x 、2x ，则“12122{1x x x x +>>”是“两根均大于1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要.【答案】B【解析】若121,1x x >>，则12122{ 1x x x x +>>，但是1214,2x x ==,满足12122{ 1x x x x +>>，但不满足121,1x x >>。

所以是必要不充分条件。

选B . 【点睛】若p q ⇒，则p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件，若存一个0p ，使p 成立，但q 不成立，则p 不是q 的充分条件，q 也不是p 的必要条件。

3．【山东省菏泽第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （ ）A .B .C .D .【答案】B【解析】由题意可得q :x <-1或x >2,由是的充分不必要条件，得，选B .4．【江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中2018届高三上学期第一次月考】“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A . m >B . m >0C . 0<m <1D . m >1【答案】B5．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】函数()2log ,0{ 2,0xx x f x a x >=-+≤有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）A .112a << B . 102a << C . 0a < D . 0a ≤或1a > 【答案】C【解析】∵当0x ＞ 时， 1x = 是函数f x （） 的一个零点； 故当0x ≤ 时， 20x a -+＜ 恒成立；即2x a ＜ 恒成立，故0a ＜； 故选C ．6．【山东省淄博市淄川中学2018届高三上学期第一次月考】已知m ∈R ，“函数y =2x+m ﹣1有零点”是“函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数y =2x+m ﹣1有零点，则： 12x m =-存在实数解，即函数12xy =-与函数y m =有交点，据此可得： 1m <，函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数，则01m <<,据此可得：“函数y =2x+m ﹣1有零点”是“函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.7．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】“1a =- ”是“函数()f x x a =+ 在[)3,+∞ 上单调增函数”的 ( )．A . 充分非必要条件.B . 必要非充分条件.C . 充要条件.D . 既非充分也非必要条件.【答案】A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 8．【广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测】若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A .B .C .D .【答案】D 【解析】∵函数 的图象不过第三象限，∴m ﹣≥﹣1，解得m ≥﹣．∵“m ＞a ”是“函数 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，3∴a ＜﹣．则实数a 的取值范围是．故选：D ． 点睛： 函数的图象不过第三象限，可得：m ﹣≥﹣1，解得m 范围．由“m ＞a ”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出．9．【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】“1a ≤”是“函数()241f x x ax =-+在区间[)4,+∞上为增函数”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件【答案】A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据二次函数的单调性求出a 的取值范围是解决本题的关键． 二、填空题10．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空：“a =0”是“函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数”的_____． 【答案】充要条件【解析】当0a =时，函数()2f x x =是偶函数，反过来函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数，则()()()222f x x ax x ax f x x ax -=--=-==+ ，则0ax =对x R ∈恒成立，只需0a =，则“a =0”是“函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数”的充要条件.11．【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研】“0m >”是方程2x x m +-=有实根的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既非充分也非必要”) 【答案】充分不必要【解析】由方程20x x m +-=有实根，得：0≥，即14m 0+≥，解得： 1m 4≥-“0m >”显然能推得“1m 4≥-”，但“1m 4≥-”推不出“0m >”∴“0m >”是方程20x x m +-=有实根的充分不必要条件12．【江苏省常州市横林高级中学2017~2018学年第一学期月考】若()f x 是R 上的增函数，且()()14,22f f -=-=，设(){}|13P x f x t =++<， (){}|4Q x f x =<-，若“x P ∈”是“x Q ∈的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________． 【答案】()3,+∞13．【甘肃省武威市第六中学2018届高三上学期第二次阶段性过关考】设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a ≠， q ：实数x 满足2260{ 280x x x x --≤+->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________； 【答案】(]1,2【解析】P 为真时， 22{|430},A x x ax a =-+<当a >0时， {},3A a a =；当a <0时， {}3,A a a =.Q 为真时， {}2260{|{ }2,3280x x B x x x --≤==+->.因为p 是q 的必要不充分条件，则A B ⊇≠，所以当a >0时，有2{33a a≤<，解得12a <≤；当a <0时，显然A B ⋂=∅，不合题意. 综上所述：实数a 的取值范围是(]1,2.14．【江苏省连云港市2016-2017学年高二下学期期末】已知“()()23x t x t ->-”是“2340x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是_________. 【答案】(][),71,-∞-⋃+∞ 【解析】记()(){}()(){}2330{|P x x t x t x x t x t x x t =--=---=<或3}x t >+{}()(){}{}2|340|410|41Q x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<， p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P ≠⊂，所以34t +≤或1t ≥，解得7t ≤-或1t ≥，所以m 的取值范围是(][),71,-∞-⋃+∞.三、解答题15．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p ：x ∈A ，且A ={x |a ﹣1＜x ＜a +1}，命题q ：x ∈B ，且B ={x |x 2﹣4x +3≥0} （Ⅰ）若A ∩B =∅，A ∪B =R ，求实数a 的值； （Ⅱ）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解析】试题分析：首先化简集合B ，根据A ∩B =∅，A ∪B =R ，说明集合A 为集合B 在R 下的补集，根据要求列出方程求出a ,第二步从集合的包含关系解决充要条件问题，p 是q 的充分条件说明集合A 是集合B 的子集，根据要求列出不等式组，解出a 的范围.16．【山东省菏泽第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知224:8200,:1p x x q x m --≤≤-. （1）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】（1）⎡⎣（2）][(),33,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：首先分别求出命题p 与q 所表示的范围，再根据小推大原则转化为集合与集合间的子集关系，其中（2）利用互为逆否命题，可转化为p 是q 的充分不必要条件，再求m 的范围。

吉林省长春市2022届数学高二下期末考试试题含解析

吉林省长春市2022届数学高二下期末考试试题含解析

吉林省长春市2022届数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( ) A ．335B ．338C ．217D ．以上都不正确【答案】A 【解析】设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率即P(A|B).又()()()211244164222020,C C C C P AB P A P B C C +===， 由公式()()()24211441663|641635P AB C P A B P B C C C ====++⨯. 本题选择A 选项.点睛：条件概率的求解方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则()()(|)n AB P B A n A =.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得()()(|)n AB P B A n A =.2．平面α 与平面β 平行的条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行 B ．α内的任何直线都与β平行C ．直线a α⊂ ，直线b β⊂ ，且//,//a b βαD ．直线//,//a a αβ ，且直线a 不在平面α内，也不在平面β内 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中平面与平面平行的判定方法，逐一分析题目中的四个结论，即可得到答案． 【详解】平面α内有无数条直线与平面β平行时，两个平面可能平行也可能相交，故A 不满足条件；平面α内的任何一条直线都与平面β平行，则能够保证平面α内有两条相交的直线与平面β平行，故B 满足条件；直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥α，则两个平面可能平行也可能相交，故C 不满足条件； 直线a ∥α，a ∥β，且直线a 不在α内，也不在β内，则α与β相交或平行，故D 错误； 故选B. 【点睛】本题考查的知识点是空间中平面与平面平行的判定，熟练掌握面面平行的定义和判定方法是解答本题的关键．3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.62c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】B 【解析】 【分析】由函数()y f x =为R 的偶函数，得出该函数在[)0,+∞上为减函数，结合性质()f x =()f x 得出()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，比较4log 7、2log 3、 1.62的大小关系，结合函数()y f x =的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系． 【详解】由函数()y f x =为R 的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，则该函数在[)0,+∞上为减函数，且有()()f x f x =，则()4log 7a f =，()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，()1.62c f =， 222442log 3log 3log 9log 7==>，且2 1.622log 3log 222<=<，1.6242log 3log 7∴>>，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为减函数，所以，()()()1.6242log 3log 7f f f <<，因此，c b a <<，故选B ．【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较大小，考查中间值法比较指数式和对数式的大小关系，再利用函数单调性比较函数值大小时，要结合函数的奇偶性、对称性、周期性等基本性质将自变量置于同一单调区间，结合单调性来比较大小关系，考查分析问题的能力，属于中等题． 4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）①cos ()y x x R =∈是周期函数；②三角函数是周期函数；③cos ()y x x R =∈是三角函数 A ．②③① B ．②①③C ．①②③D ．③②①【答案】A 【解析】 【分析】根据“三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”→“结论”，分析即可得到正确的顺序. 【详解】根据“三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”→“结论”，可知： ①cos ()y x x R =∈是周期函数是“结论”； ②三角函数是周期函数是“大前提”； ③cos ()y x x R =∈是三角函数是“小前提”； 故“三段论”模式排列顺序为②③①. 故选：A 【点睛】本题考查了演绎推理的模式，需理解演绎推理的概念，属于基础题.5．双曲线2212x y -=的渐近线方程是A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．y =【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程求得,a b ，由渐近线方程为by x a=±求得结果. 【详解】由双曲线方程得：a =1b =∴渐近线方程为：2b y x x a =±=±本题正确选项：B 【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题.6．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】计算出样本的中心点，将该点的坐标代入回归直线方程可得出的值。

【解析】吉林省长春外国语学校2017-2018学高二下学期期末考试数学(文)试题

【解析】吉林省长春外国语学校2017-2018学高二下学期期末考试数学(文)试题
6. 曲线 在 处的切线的倾斜角是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角.
详解：因为 ，所以
所以曲线 在 处的切线的斜率为
因此倾斜角是 ，
选B.
7. 已知函数 ，则 ( )
A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数
因为 ，所以 ，
因此
当且仅当 时取等号
选
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 （ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由三角形面积公式可得 ，再由余弦定理可得 ，最后结合正弦定理即可得结果.
详解：根据三角形面积公式得， ，得 ，则 ，即 ， ，故正确答案为C.
点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.

2016-2017学年北师大版七年级数学下册期末试题及答案

2016-2017学年北师大版七年级数学下册期末试题及答案

2016-2017学年北师大版七年级数学下册期末试题及答案2016-2017学年度第二学期期末测试题七年级数学本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷共2页，满分为36分；第Ⅱ卷共6页，满分为84分。

本试题共8页，满分为120分。

考试时间为120分钟。

答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷（选择题共36分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.下列各式计算正确的是（）A．x+x=2xB．xy^4/48=x^3yC．x^2=x^5D．(-x)^5=(-x)^82.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )A.(4x-3y)(-3y-4x)B.(2x-y)(2x+y)C.(a+b-c)(-c-b+a)D.(-x+y)(x-y)3.PM2.5是大气压中直径小于或等于0.xxxxxxxm的颗粒物，将0.xxxxxxx用科学记数法表示为（）A．0.25×10^-5B．0.25×10^-6C．2.5×10^-5D．2.5×10^-64.如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（）A、45°B、55°C、65°D、75°5.在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间t（时）变化的图象（全程）如图所示。

有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时甲跑了10千米，乙跑了8千米；③乙的行程y与时间t的关系式为y=10t；④第1.5小时，甲跑了12千米。

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区高二下学期期中数学试题一、单选题1．某运动物体的位移与时间满足，则它在时的瞬时速度等于（ ）(m)s (s)t ()24s t t t =-+1t =A ．B ．C ．D ．3m /s 2m /s1m /s0m /s【答案】B【分析】根据导数的物理含义，对求导，即可求得答案.()24s t t t=-+【详解】由可得，()24s t t t=-+()24s t t '=-+故，即物体在时的瞬时速度等于，(1)2s '=1t =2m /s 故选：B 2．已知等差数列中，，，则为（ ）{}n a 25a =435a =3a A ．20B ．30C ．45D ．50【答案】A【分析】根据等差中项性质即可求得答案.【详解】由题意等差数列中，有，{}n a 3243240,20a a a a =+=∴=故选：A3．曲线在点处的切线方程为（ ）32y x x =-()1,1--A ．B ．30x y ++=20x y -+=C ．D ．20x y +-=20x y ++=【答案】D【分析】求导，由导数求解斜率，由点斜式即可求解.【详解】由得，所以处的切线斜率为，32y x x =-223y x '=-()1,1--11x k y =-'==-所以在点处的切线方程为 ，()1,1--()()1120y x x y --=-+⇒++=故选：D4．某班开展一次小组探究活动，需要从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言，则不同选法的种数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．20【答案】C【分析】根据组合的含义以及组合数的计算，可得答案.【详解】由题意知从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言，则不同选法的种数是,25C 10=故选：C5．下列函数中，在上为增函数的是（ ）()0,∞+A ．B ．sin y x x=-ln y x x =-C ．D ．e xy x=-1y x x=+【答案】C【分析】求出函数的导函数，利用导数研究函数的单调性，即可判断.【详解】对于A ：，则，则在定义域上单调递减，故A sin y x x =-cos 10y x '=-≤sin y x x =-R 错误；对于B ：，则，所以当时，当时，ln y x x =-111x y x x -'=-=1x >0'>y 01x <<0'<y 即函数在上单调递减，在上单调递增，故B 错误；()0,1()1,+∞对于C ：，则，当时，所以函数在上单调递增，故C 正确；e xy x =-e 1xy '=-0x >0'>y ()0,∞+对于D ：，则，当时，当时，1y x x =+()()222211111x x x y x x x -+-'=-==1x >0'>y 01x <<0'<y 即函数在上单调递减，在上单调递增，故D 错误；()0,1()1,+∞故选：C6．若数列的前项和为，且满足，，则（ ）{}n a n n S 11a =132n n n a a ++=⨯7S=A ．61B ．253C ．1021D ．4092【答案】B【分析】通过给出的关系式求出数列的通项公式，即可求出的值.{}n a 7S 【详解】由题意，，N n *∈在数列中，前项和为，，，{}n a n n S 11a =132n n n a a ++=⨯∴，即，1122222n n n nn n a a +++=⨯+=+()1122n nn n a a ++-=--∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}2n na-121a -=-1-∴即，()1211n n n a --=-⨯-()()21N nn n n a *=+-∈∴，()()()()7127277127212212121141325312S a a a ⨯-=++=+-++-+++-=-⨯+⨯=- 故选：B.7．函数的图象大致为（ ）()1e xf x x-=A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用定义域可排除AB ，用导数讨论函数在上的单调性可排除D.(,0)-∞【详解】易知函数的定义域为，在x <0时，f （x )>0,故AB 错误；()f x {|0}x x ≠当时，，所以0x <()1e xf x x -=-()11122e e (1)e 0x x x x xf x x x -----'=-=>所以函数在上单调递增，故D 错误.()f x (,0)-∞故选：C 8．函数的定义城为，，对任意，，则的解集为()f x R ()16f =x ∈R ()2f x '<()24f x x >+（ ）A ．B ．{}1x x >{}1x x <-C ．D ．{}0x x <{}1x x <【答案】D【分析】由已知条件构造函数，由的单调性可得的解()()24,g x f x x x =--∈R()g x ()24f x x >+集.【详解】令，则，()()24,g x f x x x =--∈R ()()2,g x f x x ''=-∈R 因为，所以，所以在上单调递减.()2f x '<()0g x '<()g x R 又因为，所以即的解集为.()()11240g f =--=()0g x >()24f x x >+{}1x x <故选：D.二、多选题9．已知数列的首项，且满足，下列结论中正确的是（ ）{}n a 11a =121n n a a +=+A ．数列是等比数列B ．数列是等比数列{}n a {}1n a +C ．D ．数列的前6项的和为12021nn a =-{}n a 【答案】BCD【分析】计算数列前三项可判断A ；利用，构造等比数列，可判断B ，C ；结合C112(1)n n a a ++=+的结果以及等比数列前n 项和公式可判断D.【详解】由题意数列的首项，且满足，则，{}n a 11a =121n n a a +=+233,7a a ==则，故数列不是等比数列，A 错误；3212a a a a ≠{}n a 由得，，否则与矛盾，121n n a a +=+112(1)n n a a ++=+10n a +≠11a =则，则数列是等比数列，B 正确；1121n n a a ++=+{}1na +由B 分析知数列是等比数列，首项为，公比为，{}1n a +112a +=2q =则，C 正确；1122,21n nn n a a -+=⨯∴=-数列的前6项的和为，D 正确，{}n a 61262(12)(21)(21)(21)612012--+-++-=-=- 故选：BCD 10．已知等比数列的前项和为，下列选项中正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则B ．若，则10a >20a >20a >20220S >C ．若，则D ．若，则10a >30a >30a >20230S >【答案】CD【分析】根据等比数列通项公式、前项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.n 【详解】对于A ：若，，则，故A 错误；10a >0q <120a a q =<对于B ：若，又，所以与同号，20a >21a a q=1a q 当，时，10a >1q =2022120220S a =>当时，，1q ≠()20221202211a q S q-=-若，时，，所以，故B 错误；10a <1q =-10q ->202210q -=20220S =对于C ：因为，，所以，故C 正确；10a >0q ≠2310a a q =>对于D ：若，即，则，，当时，30a >2310a a q =>10a >0q ≠1q =2023120230S a =>当时，由于，，所以，故D 正确；1q ≠20232023111q S a q -=⋅-10a >2023101q q ->-20230S >故选：CD 11．已知函数，下列结论中正确的是（ ）()sin 2cos xf x x =+A ．是奇函数B ．在上单调递增()f x ()f x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．在上单调递减D ．的最大值为()f x π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 12【答案】AB 【分析】根据奇函数定义判断A 选项，根据函数的导函数正负判断单调性可以判断B,C 选项，()f x 再根据最值判断D 选项.【详解】,是奇函数,A 选项正确;()()()()sin sin ,R2cos 2cos x xf x f x x x x---===-∈+-+ ()f x \,()()()()222cos 2cos sin 2cos 12cos 2cos x x xx f x x x +++'==++,单调递增,B 选项正确;()()22cos 102cos x f x x +'=>+()12π2π2cos 10,cos ,,,233x x x f x ⎛⎫+>>-∈- ⎪⎝⎭单调递减,C 选项错误;()2π4π,,33x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,D 选项错误.()max2π3f x f ⎛⎫===⎪⎝⎭故选:AB.12．已知函数，下列结论中正确的是（ ）()2sin πx f x x x=--A ．B ．方程的实数根为0，，()()πf x f x -=-()0f x '=π2-π-C ．是的极小值点D ．方程有四个实数根0x =()f x ()0f f x =⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【分析】直接化简可判断A ；求导，将的实数根问题转化为()()π,f x f x --()0f x '=的图象交点问题可判断B ；利用的图象判断符号，从而2cos ,1xy x y π==+2cos ,1πxy x y ==+()f x '可得的单调性，可判断C ；根据极值和单调性作出的图象，结合图象可判断方程()f x ()f x 解得个数，判断D.()0f f x =⎡⎤⎣⎦【详解】因为()()()()222π2πππsin ππsin πππx x x f x x x x x --+-=----=---+，2sin πx x x=--+()()()22sin sin ππx x f x x x x x --=--+=--+所以，A 正确；()()πf x f x -=-令，即，()2cos 10πx f x x =--='2cos 1πxx =+作函数的图象如图，由图可知有3个交点，2cos ,1πx y x y ==+2cos ,1πxy x y ==+，故B 正确；()()π0π02f f f ⎛⎫=-=-= '⎪⎭'⎝'由图可知，或时，，所以，单调递增，πx <-π02x -<<πcos 12x x >+()0f x ¢>()f x 当或时，，所以，单调递减，ππ2x -<<-0x >πcos 12xx <+()0f x '<()f x 所以在处有极大值，C 错误；0x =()f x 因为，()()()22πππππππsin ππ00,sin 1π224π24f f f ⎛⎫⎛⎫-=--+==-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合单调性可得的草图如图，()f x 所以由可得或()0f f x =⎡⎤⎣⎦()0f x =()πf x =-解得或，()0f x =0x =πx =-因为，ππ1π,24f ⎛⎫-=->- ⎪⎝⎭()2π2ππf -=-<-()π2ππf =-<-所以存在，使得()()122π,π,0,πx x ∈--∈()()12πf x f x ==-即存在连个解()πf x =-()()122π,π,0,πx x ∈--∈所以有四个实数根，D 正确.()0f f x =⎡⎤⎣⎦故选：ABD三、填空题13．在的展开式中，含项的系数是________．()61x -3x 【答案】20-【分析】根据题意，得到其通项公式，即可得到结果.【详解】由题意可得，其通项公式为，()16C rrr T x +=-令，则，3r =()3336C 20x x-=-所以含项的系数是.3x 20-故答案为:20-14．已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为{}n a 2312a a a ⋅=4a 12a 54123a a a⋅⋅________．【答案】/0.12518【分析】设公比为,首项为，列出方程求得，即可求得答案.,0q q ≠11,(0)a a ≠1,a q【详解】由题意数列为等比数列，设公比为,首项为,{}n a ,0q q ≠11,(0)a a ≠故，即,2314125224a a a a a ⋅=⎧⎪⎨+=⨯⎪⎩23113112522a q a a q a ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得，则，故，11,24a q ==212a =3123218a a a a ⋅⋅==故答案为：1815．若，设表示的整数部分，表示的小数部分，如，．已知数列0x >[]x x {}x x []2.12={}2.10.1=的各项都为正数，，则________．{}n a 1a=[]{}11n n n a a a +=+2023a =【答案】40444044【分析】根据， 表示的含义，即可代入求解 ，通过规律即可归纳求解.[]x {}x 23,,a a 【详解】由，1a =[]{}21111112a a a=+====，[]{}[]{}321211122224a a a a a ⎡=+=+=++=+=⎣，[]{}[]{}431311144426a a a a a ⎡=+==++=+=⎣依次类推知，所以，[]{}112n n n a a n a +=+=2023220224044a =⨯=故答案为：404416．已知函数，对任意的，且，恒有()2321ln 2f x x x x ax =-+-()12,0,x x ∈+∞121x x <，则实数的取值范围是_________．()21211f x x f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭a 【答案】(,0]-∞【分析】不等式变形为，将问题转化为在区间上单()212111f f x xx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<21()ln 2g x x x x ax =-+-()0,∞+调递增，进而转化为问题，然后参变分离转化为求函数最值问题可得.()0g x '≥【详解】对任意的，且，恒有，()12,0,x x ∈+∞121x x <()21211f x x f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于对任意的，且，恒有，()12,0,x x ∈+∞211x x <()212111f f x xx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<等价于在区间上单调递增，23221ln 12()ln 2x x x ax g x x x x ax x -+-==-+-()0,∞+等价于，即在区间上恒成立，()ln 10g x x x a --+'=-≥ln 1a x x -≥+-()0,∞+记，则，()ln 1h x x x =+-11()1xh x x x -'=-=易知，当时，，单调递增，当时，，单调递减，01x <<()0h x '>()h x 1x >()0h x '<()h x 所以当时，取得最大值，1x =()h x (1)ln1110h =+-=所以，即.0a -≥0a ≤故答案为：(,0]-∞四、解答题17．已知等差数列中，，．{}n a 23a =78a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．11n n n b a a +={}n b n n T【答案】(1)1n a n =+(2)1122n T n =-+【分析】（1）由等差数列的性质计算即可求解公差，进而可求通项，（2）由裂项相消即可求解.【详解】（1）由，可得公差，所以23a =78a =7215a a d -==()2211na a n n =+-⨯=+（2），()()111111212n n n b a a n n n n +===-++++所以121111111123341222n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18．已知函数．()22e xf x x =(1)求曲线在处的切线方程；()y f x =1x =(2)求的极值．()f x 【答案】(1)224e 3ey x =-(2)极大值，极小值()211e f -=()00f =【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；（2）利用导数求得极值点，代入计算，即可求得答案.【详解】（1）由题意 可得,()22e xf x x =()()221e xf x x x '=+则，，()2e 14f '=()21e f =则切线方程为，即.22e 4e (1)y x -=-224e 3e y x =-（2）令或，()()2e 0,021x f x x x x '=∴+===1x -当时，，当时，，当时，，1x <-()0f x ¢>10x -<<()0f x '<0x >()0f x '<故在单调递增，在单调递减，在单调递增，()f x (,1)-∞-(1,0)-(0,)+∞故在处取得极大值，在处取得极小值()f x =1x -()211e f -=0x =()00f =19．如图，已知六面体ABCDPE 的面ABCD 为梯形，，，，AB CD ∥AB AD ⊥2AB =，棱平面ABCD ，，，，F 为PD 的中点．4CD AD ==PA ⊥PA BE ∥4PA =2BE=(1)求证：平面；//AF PBC (2)求二面角的大小．D PC E --【答案】(1)证明见解析；(2)；2π3【详解】（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则O xyz -()()()()()()()0,0,0,0,2,0,4,0,0,0,0,4,2,0,2,0,2,2,4,4,0,A B D P F E C 所以(0,2,4),(4,2,0),(2,0,2),BP BC AF =-==设平面的法向量为，BPC (),,m x y z =则，令，解得，故，240420y z x y -+=⎧⎨+=⎩1x =2,1y z =-=-()1,2,1m =-- 又，又平面,所以平面.0AF m ⋅=AF ⊄PBC //AF PBC （2）由(1)得(4,0,4),(4,4,4),(0,2,2),DP PC PE =-=-=-设平面的法向量为，PEC (),,n x y z =则，令，解得，故，4440220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩1y =0,1x z ==()0,1,1n =设平面的法向量为，PDC (),,i a b c =则，令，解得，故，4440440a b c a c +-=⎧⎨-+=⎩1a =0,1b c ==()1,0,1i = 所以，1cos ,2n i n i n i⋅===⋅又二面角为钝角，故二面角的大小为.D PCE --D PC E --2π320．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列．{}n a n n S 12n a n S (1)证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；{}n a {}n a (2)若，设，求数列的前项和．22log n n b a =-nn n b c a ={}n c n n T 【答案】(1)证明见详解，()12*1222n n n a n --=⨯=∈N (2)32n n n T -=【分析】（1）首先通过求出，再利用得到，进而证明122n n S a =-1a 1n n n a S S -=-12(2)nn a n a -=≥为以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到其通项公式．{}n a 12（2）通过和得到，然后利用错位相减法化简可得．22n n a -=42n b n =-21(42)()2n n c n -=-⨯【详解】（1）由题可得，当时，，122n n S a =-1n =112a =当时，，整理得，即2n ≥1122nn n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=12(2)nn a n a -=≥∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，{}n a 12∴()12*1222n n n a n --=⨯=∈N（2）由题意可得：2222log 2lo 2g 42n n n b a n -=-=-=-所以，则有21(42)2n n n n b c n a -==-⋅10121211112()0()(2)()(42)()2222n n n T c c c n --=++⋅⋅⋅=⨯+⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯0121111112()0()(2)((42)(22222n n T n -=⨯+⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯由错位相减得()()()()()101221111111122222422222222n n n T n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯+-⨯+⋯+-⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111211()1124(2)(42)()2()122212n n n n n n n -----=+-⨯--⨯=⨯=-所以32n n n T -=21．椭圆：的离心率为，且过点．C ()222210x y a b a b +=>>12()2,0A (1)求椭圆的方程：C (2)若直线与椭圆交于异于点A 的两点M ，N ，且，求面积的最大值．l C 0AM AN ⋅=AMN 【答案】(1)22143x y +=(2)14449【分析】（1）利用椭圆过点代入，求出，根据离心率的公式，求出，结合的关系()2,0A a c ,,a b c 式，从而求出椭圆的方程.C （2）分类讨论直线斜率直线存在与否的情况，联立方程，利用韦达定理及向量数量积的公式，弦l 长公式和点到直线的距离公式，求出面积，利用求函数最值的方法，即可求出面积AMN AMN 的最大值．【详解】（1）因为椭圆：过点，把代入椭圆方程得，C ()222210x y a b a b +=>>()2,0A ()2,0A 2221a =所以，2a =又因为椭圆：的离心率为，所以，C ()222210x ya b a b +=>>121c =则，所以椭圆的方程为.b ==C 22143x y +=（2）设点直线的距离为，，()2,0A l d 1122(,),(,)M x y N x y 因为，所以，()2,0A 1221,(2,)(2,)AM AN x x y y =-=-因为，所以，0AM AN ⋅=1212(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=--+= ①当直线斜率不存在时，设直线为：，代入可得，l l x m =22143x y +=22143m y +=即，，，||y =2123(1)4m y y =--12x x m ==代入可得，1212(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=--+= 2(2)(2)3(104m m m ----=化简得，解得或，271640m m -+=27m =2m =直线：与椭圆交于异于点A ，则（舍去），所以，lx m =C 2m=27m =,1224||||7N M y y -====点直线：的距离，()2,0A l 27x =212277d =-=所以.112412144||227749AMN S MN d ==⨯⨯= ②当直线斜率存在时，设直线为：，l l y kx t =+联立可得，22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(43)84120k x ktx t +++-=则，()22222Δ84(43)(412)192481440kt k t k t =-+-=-+>，；212241243t x x k -+=+122843kt x x k -=+因为，即，1212(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=--+=1212122()40x x x x y y -+++=又，2212121212()()()y y kx t kx t k x x kt x x t =++=+++所以22121212*********()42()4()x x x x y y x x x x k x x kt x x t -+++=-++++++，221212(1)(2)()40k x x kt x x t =++-+++=所以，即，222224128(1)(2)404343t kt k kt t k k --+⋅+-⋅++=++2271640t kt k ++=解得或，27t k=-2t k =-当时，直线过点A （不合题意，舍去），2t k =-2(2)y kx t kx k k x =+=-=-当时，符合题意. 27t k=-因为12|||MN x x =-======点直线：的距离；()2,0A l y kx t =+d ===所以11||22AMNS MN d == =因为，即，所以，22192481440k t ∆=-+>22219248()14407k k ∆=--+>R k ∈因为，则，AMNS = 243(3)k u u +=≥234u k -=所以AMN S ====因为，所以，3u ≥103u <≤，即.7214424949AMN S =<=⨯= 14449AMN S < 综上①②面积的最大值为．AMN 14449【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是：一是考虑斜率存在与否，分类讨论；二是利用韦达定理结合点线距表示出面积表达式.22．已知函数．()()1ln R f x a x a x =-∈(1)，恒成立，求实数的取值范围．[)1,x ∀∈+∞()1f x ≥-a (2)若存在两个不等正实数，，，且，求实数的取值范围．1x 2x ()()12f x f x =122x x +=a 【答案】(1)[)0,∞+(2)(),1-∞-【分析】（1）分类讨论解决恒成立问题，恒成立及反例否定解题；（2）根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数再应用零点存在定理求解即可.【详解】（1），定义域为，()()1ln R f x a x a x =-∈()0,∞+则，[)1,x ∞∈+()2211a ax f x x x x +'=+=当单调递增, ,故恒成立.()()210,0,ax a f x f x x +'≥=>()()11f x f ≥=-当()2101,,1,ax a f x x x +'>≥-=≥ 当时，单调递增；当时，单调递减，10x a <<-()()0,f x f x '>1x a >-()()0,f x f x '<,不合题意舍；()()max 11,f x f x f x a ∞∞⎛⎫=->-→+→- ⎪⎝⎭，()f x 当单调递减；,不合题意舍.()()211,,110,ax a f x ax a f x x +'<-=+<+<()()11f x f ≤=-所以，.0a ≥（2）设，由得，则，，120x x >>()()12f x f x =121211ln ln a x a x x x -=-121212ln x x x a x x x -=0a ∴>又，，122x x +=2212121212122ln x x x x x a x x x x x -∴==-设，则，121x t x =>12ln a t t t =-令，则，且，()()12ln 1g t t a t t t =-->()2221t at g t t ++'=-()10g =由题意可知，函数在区间上有零点，()y g t =()1,+∞()22210t at g t t ++'==-函数在上有一个实根，，解得.∴()y g t '=()1,+∞2t ()2Δ440,1220a g a '=->=-->1a <-当单调递增，，当单调递减，()()()21,,0,x t g t g t '∈>()()210g t g >=()()()2,,0,x t g t g t '∈+∞<，应用零点存在定理()1,2ln t g t t a t t →+∞=--→-∞()()020,,0x t g x ∈+∞=综上，实数的取值范围为.a (),1-∞-。

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长春外国语学校2016-2017学年第二学期期末考试高二年级数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( )A ．{1,3, 5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7} 2．i 是虚数单位，复数ii-131-＝( ) A ．i +2 B ．i -2 C ．i 21+- D ．i 21-- 3．函数)35lg(lg x x y -+=的定义域是 ( )A ． C ．4． 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( ) A ．y ＝ln(＋2) B ．y ＝1+-x C ．y ＝x )21( D ．x x y 1+=5．下列关系式中，成立的是 ( )A ．4log 5110log 3031>⎪⎭⎫⎝⎛>B ． 10log 514log 3103>⎪⎭⎫⎝⎛>C ．03135110log 4log ⎪⎭⎫⎝⎛>>D ．0331514log 10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>6 有下列四个命题：(1)若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； (2)全等三角形的面积相等”的否命题；(3)“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； (4)不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A (1)(2)B (2)(3)C (1)(3)D (3)(4)7．函数2)(-+=x e x f x的零点所在的一个区间是 ( ) A ． )1,2(--B ．)0,1(-C ． )1,0(D ．)2,1(8．已知函数)(x f 满足)()()(b f a f b a f +=⋅且,)3(,)2(q f p f ==则)36(f 等于（ ） A. )(2q p + B. )(q p p + C. 22q p D. 22q p + 9．函数y ＝)1cos sin +x x （的导数是 ( )A ．x x cos 2cos -B ．x x sin 2cos +C ．x x cos 2cos +D ．x x cos cos 2+ 10．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.294eB. 22eC. 2eD. 22e11．若偶函数f ()在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg )的解集是 ( )A ．）（10,0B ）（10,101 C ）（+∞,101 D ),10(1010+∞ ），（12．函数f ()＝2＋ln 2的图象大致为( )第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13．函数()1,(0)()(2),0x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩，则)3(-f _________.14．若＝4＋3i ，则z|z |＝ . 15．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是 .16．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 . 三、解答题：共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分) 已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围18.(本小题满分12分)已知)(x f 为定义在[]2,2- 上的奇函数，当[]0,2-∈x 时，函数解析式a x x x f +-=23)(2)(R a ∈． (1)写出f ()在[]2,0上的解析式； (2)求f ()在[]2,2-上的值域．19. (本小题满分12分)设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．20. (本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关？附：))()()((2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（）21. (本小题满分12分)在直角坐标系Oy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．22. (本小题满分12分) 已知函数)(ln 21)(2R a x a x x f ∈+=． (1)若()x f 在[]e ,1上是增函数，求a 的取值范围； (2)若e x a a ≤≤=,1,证明：332)(x x f <.长春外国语学校2016-2017学年第二学期高二年级期中考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题第二部分13. 214.i 5354- 15. 32π16.034=--y x 第三部分17. 解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或{}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或而,p q A⌝⇒∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩18．解 (1)∵f ()为定义在[]2,2-上的奇函数，且f ()在＝0处有意义，∴f (0)＝0，即f (0)＝a ＝0.∴a ＝0. 设∈，则－∈．∴f (－)＝x x 23)2+-（. 又∵f (－)＝－f ()，∴－f ()＝x x 232+.∴f ()＝x x 232--.= (2)当∈，f ()＝169432322—）（-=x x x -，∴1)2()(max ==f x f∵是奇函数)(x f ,[]1,1)(-的值域为x f . 19．解：（1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．20.解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)由列联表中数据，得2观测值为 ＝－2200×300×70×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关．21.解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：2＋y 2＝4.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：2＋y 2＝4，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝α＋cos α2－16>0，t 1＋t 2＝－α＋cos α，t 1·t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又α∈．22．解：(1)∵x a x x f +=）(' ,且在上是增函数,∴xax x f +=）('≥0恒成立， 即2x a -≥在上恒成立, ∴a≥1 （2）证明：当a=1时，xax x f +=）(' ∈． 令F()=22232ln 2132(x x x x x f -+=-）, ∴0)21)(1(21)(22≤++-=-+=xx x x x x x x F ,∴F() 在上是减函数， ∴F()≤F(1)03221<=- ∴∈时，232)(x x f < .。

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