工程力学3—力系的平衡条件和平衡方程

Fyi 0 M O ( Fi ) 0 Fxi 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。

2 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即 n
M
i 1
i
0
思考： 从力偶理论知道，一
M
O R
力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力 P 为什么能与 M 平 衡呢？
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶矩为
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N B
60 300N 0.2
N A N B 300 N
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,
这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
F Ptg
NB P cos
r 2 (r h) 2 0.577 又由几何关系： tg r h
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
第3章 力系的平衡条件与平衡方程
1 平面汇交力系的平衡条件与平衡方程 2 平面力偶系的平衡条件与平衡方程
3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
4 简单的刚体系统平衡问题 5 考虑摩擦时的平衡问题 6 结论与讨论
1 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
第3章 力系的平衡条件与平衡方程
受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力， 作为对工程构件进行强度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。 本章将在平面力系简化的基础上，建立平衡力系的平衡条件 和平衡方程。并应用平衡条件和平衡方程求解单个构件以及由 几个构件所组成的系统的平衡问题，确定作用在构件上的全部 未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。 “平衡”不仅是本章的重要概念，而且也工程力学课程的重要 概念。对于一个系统，如果整体是平衡的，则组成这一系统的 每一个构件也平衡的。对于单个构件，如果是平衡的，则构件 的每一个局部也是平衡的。这就是整体平衡与局部平衡的概念。
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。
M AC RC d 0.255RC ( N.m)
M
i
0
M AC M 0
RC 3137N
3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
m Pb sin FAy a m P sin (a b) FB a
A
m
B C FB
FAy
例题3
悬臂式吊车结构中 AB为吊车大梁， BC为钢索， A 、处为固定铰链支座， B 处为铰链约束。已知起 重电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之 间的距离很小， F P 可视为集中力作用在大梁上 ) ， 梁的重力为FQ。已知角度θ=30º 。
FR 0 M O 0
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 FR M O M O ( Fi )
3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3. 2 平衡方程
( Fx )2 ( Fy ) 2 , M O M O ( Fi ) 由于 FR
所以
A
例1
a
b
P
Fx 0 : FAx qb 0
q
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 :
1 2 M A Pa qb 0 2
解之得： MA
P FAx
A FAy
q
FAx qb
FAy P
2 M A Pa 1 qb 2
例22 求图示梁的支座反力。 例
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
1 平面汇交力系的平衡方程
FR ( Fxi ) ( Fyi ) 0
2 2
Fxi 0
Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
[例2] 已知 P=2kN
求SCD , RA
解:
1. 取AB杆为研究对象
RAcos SCD cos450 0
Y 0 P RA sin SCD sin450 0
4. 解方程 由EB=BC=0.4m， 解得：
EB 0.4 1 t g AB 1.2 3 0 P cos 45 SCD 4.24 kN ； R A SCD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos
P A m a B
解：以梁为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx P cos 0
C
b
Fy 0: FAy FB P sin 0
M A (F ) 0: FB a P sin (a b) m 0
解之得： P FAx
FAx P cos
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。