2019届一轮复习人教A版基本不等式及其应用课件
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人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式及其应用
4
a=3,b=3时,等号成立,因此,1-
+
4
(a+b)-5=
+
的最小值是
1-
≥2
4.
4
· =4,
突破技巧通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);
(2)把确定的定值(常数)变形为1;
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定
4
x+
+
+
1
的最小值为
-
)
A.3 2
B.2 3
C.4
3 10
D. 2
(2)已知正实数 x,y 满足
1
A.2 + 2
2
1
C.2 + 3
1
B.3 +
1
D.2 +
1
4x+3y=2,则2+1
2
3
2
2
+
1
的最小值为(
3+2
)
答案:(1)A (2)C
解析:(1)∵x>y>0,∴x-y>0,
4
∴x+
瓶定价最多为50元.
(2)设月总利润为 f(x),
则 f(x)=(x-10) 8 − ( −
0.45
15)
(−15)2
33
1 0.45
- (x-16)=- x4
突破技巧通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和
为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的
a=3,b=3时,等号成立,因此,1-
+
4
(a+b)-5=
+
的最小值是
1-
≥2
4.
4
· =4,
突破技巧通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);
(2)把确定的定值(常数)变形为1;
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定
4
x+
+
+
1
的最小值为
-
)
A.3 2
B.2 3
C.4
3 10
D. 2
(2)已知正实数 x,y 满足
1
A.2 + 2
2
1
C.2 + 3
1
B.3 +
1
D.2 +
1
4x+3y=2,则2+1
2
3
2
2
+
1
的最小值为(
3+2
)
答案:(1)A (2)C
解析:(1)∵x>y>0,∴x-y>0,
4
∴x+
瓶定价最多为50元.
(2)设月总利润为 f(x),
则 f(x)=(x-10) 8 − ( −
0.45
15)
(−15)2
33
1 0.45
- (x-16)=- x4
突破技巧通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和
为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
2019版高考数学理科一轮复习课件：§7.3 基本不等式及不等式的应用
1 x
1 3y
)
答案 C ∵lg 2x+lg 8y=lg 2,∴lg(2x· 8y)=lg 2,∴2x+3y=2,∴x+3y=1.
∵x>0,y>0,∴ + =(x+3y) ≥2+2
1 x
1 3y
1 x
3y x 1 =2+ + x 3y 3y
3y x 1 当且仅当x 3 y 时, 取? ” ,故选C. =4 x 3y 2
1 8 1 4
(1)使用基本不等式求最值,易失误的原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要
利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使满足基本不等式中 “定”“等”的条件. “正”
a 4 4b 4 1 3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则 的最小值为 ab
最大值为 ( A.0 C. 4
9
)
B.1 D.3
答案 B ∵正实数a,b,c满足a2-3ab+4b2-c=0, ∴c=a2-3ab+4b2,∴ = 2 由 + ≥2
a b 4b a ab c ab 1 , 2 = a 4b a 3ab 4b 3 b a
a 4b =4,当且仅当a=2b时取得等号, b a ab ∴当a=2b时, 取得最大值,且c=2b2, c
1 a 2 b2 4.(2016黑龙江牡丹江模拟,8)已知a>b>0,且ab=1,若0<c<1,p=logc ,q=logc ,则p,q 2 a b
2
的大小关系是 (
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第三节基本不等式及其应用课件理新人教A版03294185
值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积不一定有最大值．
思考2：已知x＞0，y＞0. ∵x＋y≥2 xy，1x＋2y≥2 x2y， ∴(x＋y) 1x＋2y ≥4 2 ，即(x＋y) 1x＋2y 的最小值为4 2 ，正确吗？ 说明理由．
提示：不正确，取等号的条件：x＝y且
1 x
＝
2 y
无解，故(x＋y)
1x＋2y
≥4 2等号不成立，即(x＋y)1x＋2y的最小值不是4 2.
正确的求法：(x＋y)
1x＋2y
＝1＋
2x y
＋
y x
＋2≥3＋2
2 .当且Leabharlann 当y＝2x时取等号，故(x＋y)1x＋2y的最小值为3＋2 2.
四基精演练
解析：选D.因为x＜0，所以－x＞0，－x＋
1 －x
≥2
1 ＝2，当且仅
当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.
3.(知识点1、2)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( C )
⇐ 源自必修五P99例1（2）
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：选C.∵x＞0，y＞0，∴x＋2 y≥ xy，
命题点2
含有等式条件的最值
[例2] [一题多解]已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最
小值为( A )
A．8
B．4
C．2
D．0
解析：解法一：(构造目标不等式法)∵x＞0，y＞0，∴xy＝
1 2
(x·2y)≤12×x＋22y2，又x＋2y＝xy，∴x＋2y≤12×x＋22y2.由x＞0，y＞ 0知x＋2y＞0，所以x＋2y≥8，∴x＋2y的最小值为8.
解析：因为ab＞0，所以
思考2：已知x＞0，y＞0. ∵x＋y≥2 xy，1x＋2y≥2 x2y， ∴(x＋y) 1x＋2y ≥4 2 ，即(x＋y) 1x＋2y 的最小值为4 2 ，正确吗？ 说明理由．
提示：不正确，取等号的条件：x＝y且
1 x
＝
2 y
无解，故(x＋y)
1x＋2y
≥4 2等号不成立，即(x＋y)1x＋2y的最小值不是4 2.
正确的求法：(x＋y)
1x＋2y
＝1＋
2x y
＋
y x
＋2≥3＋2
2 .当且Leabharlann 当y＝2x时取等号，故(x＋y)1x＋2y的最小值为3＋2 2.
四基精演练
解析：选D.因为x＜0，所以－x＞0，－x＋
1 －x
≥2
1 ＝2，当且仅
当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.
3.(知识点1、2)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( C )
⇐ 源自必修五P99例1（2）
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：选C.∵x＞0，y＞0，∴x＋2 y≥ xy，
命题点2
含有等式条件的最值
[例2] [一题多解]已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最
小值为( A )
A．8
B．4
C．2
D．0
解析：解法一：(构造目标不等式法)∵x＞0，y＞0，∴xy＝
1 2
(x·2y)≤12×x＋22y2，又x＋2y＝xy，∴x＋2y≤12×x＋22y2.由x＞0，y＞ 0知x＋2y＞0，所以x＋2y≥8，∴x＋2y的最小值为8.
解析：因为ab＞0，所以
高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理
12 y 3x x y
故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以 + = +2 (x+2y)=2+ + y x x y x y
2
4y x 4y x =4+ + ≥4+2 x y =8, x y
1 2
1
4y
x
当且仅当 = ,即x=2y时取等号. 所以 + 的最小值为8.
理数
课标版
第四节 基本不等式及其应用
教材研读
1.>0,b>0. 2
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立. (3)其中②
ab 2
ab 称为正数a,b的算术平均数,③
称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
ab (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2
2
a 2 b2 a b (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2 2 b a (4) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. a b
考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
典例1 (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
2 1 (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求 + 的最小值. x y
解析 (1)解法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2 4ab =4 ab ,
2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式课件【优质ppt版本】
解 ∵log2ab＝1，∴ab＝2， ∴2a＋b≥2 2ab＝4，当 a＝1，b＝2 时，2a＋b 的最 小值为 4.
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
高三数学一轮复习-第七章-不等式、推理与证明第四节-基本不等式及其应用课件
162 x
米，
由题意可建立总造价与x的函数关系，进而通过求函数的最值确
定x的取值．
2021/5/4
34
【解析】 (1)设污水处理池的宽为x米，则长为16x2米．
则总造价f(x)＝400×(2x＋
2×162 x
)＋248×2x＋80×162＝1
296x＋1 296x×100＋12 960＝1 296(x＋10x0)＋12 960
•答案:R>Q>P
2021/5/4
14
5．若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋ 1＝0，则1a＋4b的最小值为________．
2021/5/4
15
解析：由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，
∴该圆的圆心坐标为(－4，－1)，
∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，
c)2≥3(ab＋bc＋ca)，即13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④
由③④得
2021/5/4
a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.
32
•
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形
且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深
度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造
单位为400元/米,中间两道隔墙建造单位为248
2021/5/4
21
•【方法探究】 (1)在应用基本不等式求最值 时,要把握三个方面,即“一正——各项都是正数; 二定——和或积为定值;三相等——等号能取得”, 这三个方面缺一不可。
•(2)对于求分式型的函数最值题,常采用拆项使 分式的分子为常数,有些分式函数可以拆项分 成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数) 的形式,这种方法叫分离常数法．
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-4 基本不等式及其应用讲义 文
4．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤12
B．ab≥12
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[解析] 由 a＋b＝2 得，ab≤a＋2 b2＝1，排除 A. 当 a＝0，b＝2，ab＝0 排除 B. 又a2＋2 b2≥a＋2 b2，可得 a2＋b2≥2. 再由特殊值，排除 D.
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[跟踪演练] (2017·安徽安庆三模)随着社会的发展，汽车逐步成为人们的 代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生， 据调查某段公路在某时段内的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速 度 v(千米/时)之间有函数关系：y＝v2＋89v0＋0v1600(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最 大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数) (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时，则汽车的平 均速度应控制在什么范围内？
利用均值 不等式证明
[证明] 由 a＋b＝1，得1a＋1b＋a1b＝21a＋1b， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4， ∴1a＋1b＋a1b≥8当且仅当a＝b＝12时等号成立.
利用基本不等式证明不等式的技巧 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不 等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配 凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条 件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有 1 时，要注意 1 的代换．另外， 解题中要时刻注意等号能否取到．
此时 m＝12x＋34＋5x0≥2 2x·5x0＋34＝443， 当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收 入等于原销售收入与总投入之和．
高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第42讲 基本不等式及其应用课件 理
1.基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当_____a_＝_时b 取等号. (3)适用(shìyòng)于求含两个代数式的最值.
2021/12/13
第八页，共四十一页。
2.几个(jǐ ɡè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥_2_a_b__ (a，b∈R). (2)ba＋ab≥__2___ (a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2，(a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R). (以上不等式要根据条件合理选择其中之一) 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
考点一 利用基本不等式求最值(多维探究(tànjiū))
命题角度1 配凑法求最值
【例1－1】 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为________. (3)函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值为________.
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x_＝__y__时，x＋y 有最_小__值 2 p(简记：积定和 最小). (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当__x_＝_y__时，xy 有最_大__值p42(简记：和定积最 大).
2021/12/13
第十一页，共四十一页。
(1)当 a≥0，b≥0 时，a＋2 b≥ ab.(
)
(2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.(
)
(3)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( )
2021/12/13
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当_____a_＝_时b 取等号. (3)适用(shìyòng)于求含两个代数式的最值.
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2.几个(jǐ ɡè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥_2_a_b__ (a，b∈R). (2)ba＋ab≥__2___ (a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2，(a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R). (以上不等式要根据条件合理选择其中之一) 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
考点一 利用基本不等式求最值(多维探究(tànjiū))
命题角度1 配凑法求最值
【例1－1】 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为________. (3)函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值为________.
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x_＝__y__时，x＋y 有最_小__值 2 p(简记：积定和 最小). (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当__x_＝_y__时，xy 有最_大__值p42(简记：和定积最 大).
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(1)当 a≥0，b≥0 时，a＋2 b≥ ab.(
)
(2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.(
)
(3)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( )
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2019届一轮复习人教A版 基本不等式与绝对值不等式 课件
知识梳理
双击自测
4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式 |x|<a |x|>a a>0 a=0 ⌀ (-∞,0)∪ (0,+∞) a<0 ⌀ R
(-a,a)
(-∞,-a)∪ (a,+∞)
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. ①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c ;
· =2(当且仅当 a=b 时,等号成立).
������
������
关闭
解析
答案
-10-
知识梳理
双击自测
3.设ab>0,下面四个不等式中,正确的是( ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|; ④|a+b|>|a|-|b|. A.①和② B.①和③ C.①和④ D.②和④
a+b 2
(a>0,b>0)及其应用.
考查 2.会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不 要求 等式. 3.了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
-3-
2016 2015 2014 2013 年份 2017 基本不等式主要考查基本运算与转化化归思想,注重与函 数、充要条件、实际应用等交汇.在求函数的最值时,应特 考向 别注意等号成立的条件. 分析 绝对值不等式是最近两年中新增加的内容,并且在最近几 年的高考中考查频繁,难度也比较大.
基本不等式及其应用课件-高三新高考一轮复习(人教A版)
产的商品能全部售完.
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获
利润最大？
[自主解答] (1)因为每件商品售价为 0.05 万元， 则 x 千件商品销售额为 0.05×1 000x 万元， 依题意得当 0＜x＜80 时， L(x)＝1 000x×0.05－13x2＋10x－250＝－31x2＋40x－250； 当 x≥80 时， L(x)＝1 000x×0.05－51x＋10 x000－1 450－250 ＝1 200－x＋10 x000. ∴L(x)＝1－2310x02－＋4x0＋x－102x5000，0，0＜x≥x＜808.0，
3.算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为___2___，几何平 均数为__a_b_，基本不等式可叙述为：两__个__正__数__的__算__术__平__均__数__ __不__小__于__它__们__的__几__何__平__均__数___.
4.利用基本不等式求最值问题
[自主解答] (1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋（23－2x）2＝92， 当且仅当“2x＝3－2x，即 x＝43”时，等号成立. ∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92.
(2)y＝xx2－＋12＝（x2－2x＋1）x－＋1（2x－2）＋3 ＝（x－1）2＋x－2（1 x－1）＋3 ＝(x－1)＋x－3 1＋2≥2 3＋2. 当且仅当 x－1＝x－3 1，即 x＝ 3＋1 时，等号成立.
3. 已 知 函 数
f(x)
＝
x2＋ax＋11 x＋1
新高考一轮复习人教A版1.1 集合课件(49张)
【教材梳理】
1. 元素与集合 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A； 如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及其记法：
意.
综上所述，a＝2. 故选 C.
(2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的取
值范围是
()
A. (－∞，2]
B. (2，4]
C. [2，4]
D. (－∞，4]
解：当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2；
当 B≠∅时，若 B⊆A，如图所示，
(2)(2021 重庆实验外国语学校高三开学考试)已知集合 A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，集
合 B＝{x||x|<2}，则 A∩B 的子集个数为
()
A. 4
B. 5
C. 7
D. 15
解：因为集合 A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|－2<x<2}，所以 A∩B＝{0，1}，所以
A∩B 的子集个数为 22＝4. 故选 A.
【常用结论】
5. 子集的传递性：A⊆B，B⊆C，则 A⊆C. 6. 子集个数：集合{a1，a2，…，an}的子集有 2n 个，非空子集有 2n－1 个，非空真子集有 2n －2 个. 7. 元素个数：记含有限个元素的集合 A，B 的元素个数为 card(A)，card(B)，则：card(A∪B) ＝card(A)＋card(B)－card(A∩B). 8. 德摩根定律：又称反演律，即∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB). 9. 五个关系式：A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA 以及 A∩(∁UB)＝∅是两两等价的.
2019高考数学一轮复习_7.2 基本不等式及其应用课件 文
C. 3
D. 2
∴y= ������(4-2������) = 2 · ������(2-������) ≤ 2 ·������+22-������ = 2,
当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号.
5.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运
费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总
解析:由 32x-(k+1)·3x+2>0,解得 k+1<3x+32������.
∵3x>0,∴3x+32������≥2 2(当且仅当 3x=32������,
即 x=log3 2时,等号成立),
∴3x+32������的最小值为 2 2.
又当 x∈R 时,32x-(k+1)3x+2>0 恒成立,
2.利用基本不等式求最值
已知 x>0,y>0,
(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最 小 值
是 2 ������(简记:积定和最小).
(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最 大 值
是������2
4
(简记:和定积最大).
-4-
知识梳理 考点自测
考点一
考点二
考点三
-10-
思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些? 解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明 的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、 配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件; 若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的 联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注 意等号能否取到.
人教A版(2019)高中数学《基本不等式》免费课件1
例2、已知ab 0，求证：b a 2, ab
并指出等号成立的条件。
证明： 由ab 0，有 b 0, a 0 ab
由基本不等式 2，有 b a 2 b a 2 a b ab
b a 2当且仅当b a ,
ab
ab
即b a 0时等号成立
人教A版（2019）高中数学《基本不等 式》免 费课件 1（公 开课课 件）
人教A版（2019）高中数学《基本不等 式》免 费课件 1（公 开课课 件）
练习、
若0 x 1,求当x取何值时，x(1 x)的值最大。
解：
x 0,1 x 0
x(1 x) x 1 x 1 22
当且仅当x 1 x,即x 1 时等号成立 2
当x 1 时，x(1 x)有最大值1
2
2
人教A版（2019）高中数学《基本不等 式》免 费课件 1（公 开课课 件）
2 调和平均数： 1 1
ab
平方平均数： a2 b2 2
2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
人教A版（2019）高中数学《基本不等 式》免 费课件 1（公 开课课 件）
例1、 已知实数 a,b，判断下列不等式中 哪些是一定正确的？
(1) a b ab 2
(3)a2 b2 ab
当且仅当a b时等号成立。
基本不等式2
算术平均数
对任意正数a,b,有 a b 2
仅当a b时等号成立。
证明： 由基本不等式1
ab，当且
几 何 平 均 数
a b ( a )2 ( b)2 2 a b 2 ab
当且仅当 a b时等号成立。
a b ab，当且仅当a b时等号成立。 2
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基本不等式及其应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解（2）(1 + )(1 +
∵ > 0, >
4
∴5+
4
)
4
4
0,所以
>
0, >0
+ ≥9
4
当且仅当
=
4
=1+ + +4=5+
时取等. 所以最小值为9
+
解：
因为 > 0, > 0, > 0
∴2 + 2 ≥ 2, 2 + 2 ≥ 2
2
5
+ + 因为x>0,y>0,所以
2
当且仅当x=y时取等
9
所以2 + 的最小值为
2
>
0,
>
0,所以 +
1
2
= +2+ + =
≥2
∙
=2
解：
2 2( + )
2
+ =
+ =2+
+ ≥2+2 2
(当且仅当 = 2y时取等)
+
+
所以 2 2 2 = 2 2 2 2 ≤
+2 +
+ + +
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(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0；
(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0
＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.
2.线性规划相关概念
名称 约束条件 意义 由变量x，y组成的一次不等式
(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.
√
解析
答案
√解析答案题型三线性规划的实际应用问题
师生共研
跟踪训练 (1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域 (用
阴影部分表示)，应是下列图形中的
解析 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，
√
解析
答案
√
解析
由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与
kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直.
①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.
2.最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，
有时唯一，有时有多个.
1
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题组二 教材改编
√
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表 示直线x－y＋2＝0的左上方部分， 故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.
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解析
答案
3.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米； 投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米. 现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域 的交集.( √ ) (2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方. ( × ) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1 ＋ C)(Ax2 ＋ By2 ＋ C)>0 ，异侧的充要条件是 (Ax1 ＋ By1 ＋ C)(Ax2 ＋ By2 ＋ C)<0.( √ )
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(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的.( × ) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( √ ) (7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴 上的截距.( × )
线性约束条件
目标函数
由x，y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式组
欲求 最大值 或 最小值 的函数
线性目标函数
可行解
关于x，y的 一次 解析式
线性约束条件 满足 的解
可行域
最优解
所有可行解 组成的集合
使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题
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解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题
多维探究
典例 (2017· 黄冈模拟 ) 在平面直角坐标系中，已知平面区域 A ＝ {(x， y)|x ＋ y≤1 ，且 x≥0 ， y≥0} ，则平面区域 B ＝ {(x ＋ y ， x － y)|(x ， y)∈A} 的面 积为
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解析
答案
√
解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，
由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，
1
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解析
答案
－1
解析 先根据约束条件画出可行域， 如图中阴影部分所示， 当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最 大值的点(x，y)有无数个， ∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.
3.重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成 实线. (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点， 则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.
【知识拓展】
1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
即符合要求.
②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求.
解析
答案
题型二
求目标函数的最值问题
多维探究
√
解析 答案
√
解析
答案
－6
解析
答案
思维升华
(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2) 当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题， 常见代数式的几何意义有
第七章 不等式
§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.二元一次不等式表示的平面区域
一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＝0 ；
式组表示为____________________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨 数，x和y的单位是百吨)
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解析
答案
题组三 易错自纠 4.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 A.(0,0) C.(－1,3) √ B.(－1,1) D.(2，－3)
解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
√
解析
答案
√
解析 答案
思维升华 (1)求平面区域的面积 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形 (如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边 形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可. (2) 利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数 形结合的方法求解.
(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0
＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.
2.线性规划相关概念
名称 约束条件 意义 由变量x，y组成的一次不等式
(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.
√
解析
答案
√解析答案题型三线性规划的实际应用问题
师生共研
跟踪训练 (1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域 (用
阴影部分表示)，应是下列图形中的
解析 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，
√
解析
答案
√
解析
由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与
kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直.
①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.
2.最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，
有时唯一，有时有多个.
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题组二 教材改编
√
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表 示直线x－y＋2＝0的左上方部分， 故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.
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解析
答案
3.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米； 投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米. 现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域 的交集.( √ ) (2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方. ( × ) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1 ＋ C)(Ax2 ＋ By2 ＋ C)>0 ，异侧的充要条件是 (Ax1 ＋ By1 ＋ C)(Ax2 ＋ By2 ＋ C)<0.( √ )
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(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的.( × ) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( √ ) (7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴 上的截距.( × )
线性约束条件
目标函数
由x，y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式组
欲求 最大值 或 最小值 的函数
线性目标函数
可行解
关于x，y的 一次 解析式
线性约束条件 满足 的解
可行域
最优解
所有可行解 组成的集合
使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题
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解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题
多维探究
典例 (2017· 黄冈模拟 ) 在平面直角坐标系中，已知平面区域 A ＝ {(x， y)|x ＋ y≤1 ，且 x≥0 ， y≥0} ，则平面区域 B ＝ {(x ＋ y ， x － y)|(x ， y)∈A} 的面 积为
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答案
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解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，
由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，
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答案
－1
解析 先根据约束条件画出可行域， 如图中阴影部分所示， 当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最 大值的点(x，y)有无数个， ∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.
3.重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成 实线. (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点， 则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.
【知识拓展】
1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
即符合要求.
②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求.
解析
答案
题型二
求目标函数的最值问题
多维探究
√
解析 答案
√
解析
答案
－6
解析
答案
思维升华
(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2) 当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题， 常见代数式的几何意义有
第七章 不等式
§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.二元一次不等式表示的平面区域
一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＝0 ；
式组表示为____________________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨 数，x和y的单位是百吨)
1
2
3
4
5
6
解析
答案
题组三 易错自纠 4.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 A.(0,0) C.(－1,3) √ B.(－1,1) D.(2，－3)
解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
√
解析
答案
√
解析 答案
思维升华 (1)求平面区域的面积 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形 (如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边 形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可. (2) 利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数 形结合的方法求解.