2015高考数学优化指导专题4
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题4_第1讲_等差数列和等比数列(含答案)
第1讲 等差数列和等比数列考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列热点一 等差数列例1 （1）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7（2）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________． 思维启迪 (1)利用a 1＋a 7＝2a 4建立S 7和已知条件的联系；(2)将a 3，a 6的范围整体代入． 思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ，可利用方程思想； (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a nm －n(m，n ∈N *)；④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．（1）已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64（2）在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( ) A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0 B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0 C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0 D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0热点二 等比数列例2 （1）(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝__________. （2）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1思维启迪 (1)列方程求出d ，代入q 即可；(2)求出a 1，q ，代入化简． 思维升华 (1){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m q n －m ；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)．(2)等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.（1）已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8（2）在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7热点三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. （1）求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；（2）将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1，代入公式求出a n 和S n ；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值． 思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便． (2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算．2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3．等差、等比数列的单调性 （1）等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列． （2）等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论（1）若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．（2）若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }仍为等比数列．（3）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…，成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)q a 2－a 1＝q .（4）等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，其公差为q k . 等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒（1）应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．（2）三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac.真题感悟1．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．32．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 押题精练1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 013<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则a 2 013>0 D ．若a 4>0，则a 2 014>02．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n .若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84D ．1892．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．543．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．64．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014等于( )A ．16B ．－16C ．6D ．－66．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )， Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( ) A ．2 011 B ．－2 011 C ．0 D ．1 二、填空题7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________.8．(2014·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______. 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________. 10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 三、解答题11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.（1）求数列{b n }的通项公式；（2）数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．12．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{c n }，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n＋a n ＋1＝2n .（1）求证：{a n }为准等差数列； （2）求{a n }的通项公式及前20项和S 20.13．(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．例1 (1)C (2)(－3,21) 变式训练1 (1)A (2)C 例2 (1)1 (2)D 变式训练2 (1)D (2)B 例3 解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－(12)m ]1－12＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)． 变式训练3 (1)解 ∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2，∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n ＋1－2×log 222n＋3－2＝(2n －1)(2n ＋1)，1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12(n ∈N *)． 即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．C 2．8 1．C 2．(－8，－7)3．解 (1)当n ≥2时，由题设知4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4，∴a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3， 由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1，∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. ∵等比数列{b n }的公比q ＝a 5a 2＝2×5－13＝3，∴等比数列{b n }的通项公式为b n ＝3n .(2)T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32，∴(3n ＋1－32＋32)k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立，令c n ＝2n －43n ，c n －c n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－2(2n －7)3n ，当n ≤3时，c n >c n －1；当n ≥4时，c n <c n －1.∴(c n )max ＝c 3＝227，∴k ≥227.CDCBDA 7．3 8．50 9．6 10．2×⎝⎛⎭⎫32n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2)11．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以b n ＝b 1·q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3，即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.(2)证明 由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．12．(1)证明 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，① ∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)， ∴{a n }是公差为2的准等差数列． (2)解 已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)， ∴a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .∴由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．∴当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋(n2－1)×2＝n －a ，当n 为奇数时，a n ＝a ＋(n ＋12－1)×2＝n ＋a －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数.S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20) ＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×(1＋19)×102＝200.13．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第4课时
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第八章
平面解析几何
5．若圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点，则实数 k
(－ 3， 3) ． 的取值范围是____________
解析：由题意知
2 1＋ k
2
>1，解得－ 3<k< 3.
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第八章
平面解析几何
直线与圆的位置关系
(1)(2013· 高考陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1 外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( B ) A．相切 B．相交
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第八章
平面解析几何
1．(2012· 高考安徽卷)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数a的取值范围是( C ) A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：由题意知，圆心为(a，0)，半径 r＝ 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半 |a－0＋1| 径，即 ≤ 2，∴ |a＋1|≤ 2. 2 ∴－3≤a≤1.
代数法：两圆方程 联立组成方程组的 解的情况 无解 ________ 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 ____________
无解 __________
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第八章
平面解析几何
1． (2012· 高考山东卷)圆 (x＋ 2)2＋ y2＝ 4 与圆 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 9 的位置关系为 ( B ) A．内切 C．外切 B．相交 D．相离
几何法 d____ < r d____ ＝ r d____ > r
代数法 Δ____0 > Δ____0 ＝ Δ____0 <
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科选修4-4第1课时
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选修44 坐标系与参数方程
[解析 ](1)由 ρ＝2cos θ ，得 ρ2＝ 2ρcos θ ，化为直角坐标方 程为 x2＋ y2－ 2x＝0，即(x－ 1)2＋y2＝ 1，其垂直于极轴的两 π 条切线方程为 x＝0 和 x＝ 2，相应的极坐标方程为 θ＝ 2 (ρ∈ R)和 ρcos θ ＝ 2. π (2) 射 线 θ ＝ 的 普 通 方 程 为 y ＝ x(x≥0) ， 代 入 4 x＝ t＋ 1， 2 得 t －3t＝0，解得 t＝ 0 或 t＝3. 2 y＝（ t－1） ， 当 t＝ 0 时， x＝ 1， y＝ 1，即 A(1，1)； 当 t＝ 3 时， x＝ 4， y＝ 4，即 B(4，4)． 5 5 所以 AB 的中点坐标为 2， 2 .
xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极 坐标．
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选修44 坐标系与参数方程
2. 直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位． 设 M 是平面内的任意一 点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x， y)和(ρ，θ )， 2 ＋ y2 2 x x ＝ ρ cos θ ρ ＝ ________ y 则 ， . ( x ≠ 0) y＝ ρsin θ tan θ ＝ _____________ x
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选修44 坐标系与参数方程
(2)(2012· 高考湖北卷)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极 π 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线 θ＝ 与 4
x＝ t＋ 1， 曲线 2(t 为参数)相交于 A， B 两点，则线段 AB y＝（ t－1）
5，5 2 2 ． 的中点的直角坐标为 __________
2015届高考数学(理科)二轮配套课件：专题四_第3讲_推理与证明
平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；
解析 正比，
平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成
而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，
V1 1 所以＝ ＝ . V2 27
答案 1 27
ex－e－x (2)已知双曲正弦函数 shx＝ 和双曲余弦函数 2 ex＋e－x chx ＝ 与我们学过的正弦函数和余弦函数有 2 许多类似的性质， 请类比正弦函数和余弦函数的和角 ．． 或差角 公式， 写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类 ．．． ．． 似的正确结论________.
被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，
由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件.
答案 D
归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，
通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然
后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问
思 题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广 维 泛的应用 . 其思维模式是 “ 观察 —— 归纳 —— 猜 升 华 想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想
第二次坐在 2 号位上，第三次坐在 4 号位上，第四次坐 在3号位上，第五次坐在1号位上， 因此小兔的座位数更换次数以4为周期， 因为 202 ＝ 50×4 ＋ 2 ，因此第 202 次互换后，小兔所在 的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同， 因此小兔坐在2号位上，故选B. 答案 B
1 1 1 (2)已知 f(n)＝1＋ ＋ ＋„＋ (n∈N*)，经计算得 f(4)>2， 2 3 n n＋2 n * 5 7 f (2 )> ( n ≥ 2 ， n ∈ N ) f(8)> ，f(16)>3，f(32)> ，则有______________________. 2 2 2
2015高考数学优化指导第4章 第6节
3．用 s i n α，c o s
α α 表示 t a n 2.
1－c o s α α s i n α t a n 2＝ ＝ s . i n α 1＋c o s α
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第四章 三角函数、解三角形
判断下面结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) α 1．当 α 是第一象限角时，s i n ＝ 2 1－c o s 2．对任意角 α，t a n ＝ 2 1＋c o s
2α
1－c o s 2
α .( )
)
α 都成立．( α
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第四章 三角函数、解三角形
3 ．半角的正余弦公式是由倍角的余弦公式逆求而得到 的．( ) x＋bc o s ) x＝ a2＋b2s i n( x＋φ)中，φ 的取
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4． 在△ABC 中， t a n π A． 4 π C． 3
B＝－2， t a n 3π B． 4 π D． 6
1 C＝3， 则 A 等于(
)
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第四章 三角函数、解三角形
( 2 ) ( 2 0 1 4 · 安庆模拟 )已知 c o s c o s2 α π ＝________. s i n 4＋α
2015高考数学优化指导第4章 第1节
又由①各边都加上 π， 3π 得 2 ＋2kπ＜π－α＜2π＋2kπ(k∈Z)． ∴π－α 是 第 四 象 限 角 ． 同理可知 π＋α 是 第 一 象 限 角 ．
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第四章 三角函数、解三角形
1．利 用 终 边 相 同 的 角 的 集 合 可 以 求 满 足 某 些 条 件 的 角 ， 解题时先写出与这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过 对集合中的参数 k 进行赋值可求得所需角． 2． 已 知 角 α的 终 边 位 置 ， 确 定 形 如 α kα，k π±α 等形式的角 α kα， k π±α 等
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第四章 三角函数、解三角形
三角函数的定义
(1)(2014· 东北三校模拟 )已知角 2α 的顶点在原 点， 始边与 x 则 tan
1 轴非负半轴重合， 终边过点 －2，
3 ， 2α∈[0,2π)， 2
内终边
θ 与 角的终边相同的所有角为________． 3 2 20 34 6 解析： π， π， π 与 π 角终边相同的角的集合是 7 21 21 7
6 θθ＝ π＋2kπ，k∈Z， 7 θ θ 2 2 ∴与3角终边相同的角可表示为3＝7π＋3kπ，k∈Z. ∴在[ 0 , 2 π ) θ 2 20 34 内终边与3角终边相同的角为7π，21π，21π.
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第四章 三角函数、解三角形
4．诱导公式(一) sinα ，cos(α＋k·2π)＝ ______ cosα，tan sin (α＋k·2π)＝_______
2015高考数学(文)二轮专题复习课件：考前增分策略_专题四 应考秘诀
如方程的解，不等式的解集，函数的定义域、值域、最大
值或最小值，线段长度，角度大小等．
由于填空题和选择题相比缺少了选项的信息，所以高考题
中的填空题多数是以定量型问题出现的．
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者
填写给定的数学对象的某种性质，近几年出现了定性型且
具有多重选择性的填空题． 三是条件与结论开放型．填空题是近几年数学高考命 题改革的试验田，创新型的填空题不断出现．因此，我们 在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准 备．
于较难题，且大多数题的解答过程可用特殊方法快速解决．
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，也
更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选项中有且仅
有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字， 尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选项两方面提供 的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解 法，以便快速智取．一般来说，能定性判断的，就不再使用 复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解 法；能使用间接法解的，就不必采用直接法解；对于明显可
随堂讲义•第二部分
专题四
考前增分策略
应考秘诀
一、进入考场摆正心态，充分利用答题前的几分钟
进入考场后，摆正心态是我们决胜高考的前提，我们
可以从两个方面入手来试着摆正心态．一是要以平常心去
面对它，把它当作一次平时的练习考试，时刻提醒自己： 精神紧张是没有用的，患得患失是没有用的，只有心平气 和地进入考场，平心静气地答题，才能考出自己的真实水 平；二是不要给自己定一个理想的分数线，许多考生在高
分．确保运算准确，力求一次成功．
(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重 要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分．可以说，有 什么样的解题策略，就有什么样的得分策略． 具体做法有：①缺步解答．将压轴题分解成一系列的
【优化探究】2015届高考数学(人教A版·文科)总复习word版含详析：选4-4 1 坐标系 能力提升]
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一、选择题1．将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫3，π6 B.⎝⎛⎭⎫2，7π6 C.⎝⎛⎭⎫－2，7π6 D.⎝⎛⎭⎫2，π6 解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6.所以点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6 答案：B2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1,0)D ．(1，π)解析：该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2，故选B. 答案：B3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线解析：∵(ρ－1)(θ－π)＝0，∴ρ＝1或θ＝π.ρ＝1表示以极点为圆心、半径为1的圆，θ＝π表示由极点出发的一条射线，∴C 选项正确．答案：C4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为( ) A ．2 B. 4＋π29C.1＋π29D. 3解析：由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.答案：D5．点M ，N 分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN |的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：ρsin θ＝2化为普通方程为y ＝2，ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0即(x －1)2＋y 2＝1，圆(x －1)2＋y 2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y ＝2的距离减去半径，即为2－1＝1，故选A.答案：A6．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2D ．2 3 解析：ρ＝4sin θ化成普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理得切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝22，故选C. 答案： C 二、填空题7．(2013年高考江西卷)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2 θ＝ρsin θ，即ρsin 2 θ－sin θ＝0.答案：ρsin 2 θ－sin θ＝08．(2014年华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫4，π3到曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析：依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋(3)2＝2. 答案：29.如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.解析：利用正弦定理求解． 如图，设P (ρ，θ)为直线上任一点，在△OPM 中，|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 56π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρ12. ∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，即f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.答案：1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ 三、解答题10．已知圆的极坐标方程为： ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解析：(1)原方程变形为： ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0. x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.(2)圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，所以x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 所以x ＋y 的最大值为6，最小值为2.11．(2014年玉溪一中模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系． (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎫4，π2化为直角坐标，得P (0,4)． 因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0， 所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为 (3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋22， 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 12．(能力提升)(2013年高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. (2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)(1,3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以a ＝－1，b ＝2.。
2015高考数学优化指导第4章 第5节
一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (Cα－β) (Cα＋β) cos αcos β－sin αsin β cos (α＋β)＝______________________
sin αcos β－cos αsin β (Sα－β) sin (α－β)＝ ______________________ sin (α＋β)＝ ______________________ sin αcos β＋cos αsin β (Sα＋β)
5．不存在实数 α，使 t a n2
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第四章 三角函数、解三角形
【答案及提示】 1．√ 由公式可知 α，β 是任意角． π π 2．√ 当 α＝0，β＝2时，s i n (0＋2）＝s i n0 3．× 由 c o s π ＋B＞2知 c o s ＜s i n Ac o s Ac o s B－s i n As i n As i n π ＋s i n 2.
x( s i n
x＋c o s
x)的 最 大 值 和 最 小 正 周
B． 2＋1，π D． 2＋1,2π
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第四章 三角函数、解三角形
解析：选 B 2x＋1＝ 2sin
y＝ 2cos
xsin
x ＋ 2cos2x ＝sin
4 α＝－ ， 5 α－c o s2 α＝2 s i n αc o s α－( 2 c o s
2
31 α－1)＝－ . 25
2015高考数学二轮复习学案：专题4 数列
专题4 数列一、解答题1、设等差数列}{n a 的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若__ __. 答案：18解析：11468,42820,a d a d +=+=则解得：144618a d +=．2、等比数列}{n a 中，a n >0，且a n +2=a n +a n +1，则数列的公比q = ．解析：21q q =+，又有0q >，解得． 3、设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1()n n b a n N +=+∈，若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中，则q = ． 答案：32-解析：n a 的连续四项只能为24,36,54,81--．4、已知数列{}n a 满足1125,24n n a a a n +=-=，则当n ＝________时，n a n取得最小值．答案：3解析：迭加得2254n a n n =-+，2514n a n n n=+-，n =3时取得最小值． 5、函数2y x =（x >0）的图像在点()2,k k a a 处的切线与x 轴交点横坐标为1,k a +其中*k ∈N .若116,a =则135a a a ++的值是_______________. 答案：21解析：切线22()k k k y a a x a -=-，解得12kk a a +=，∴135a a a ++=164121++=． 6、数列{}n a 满足()221221, 2, 1cos sin 1,2,3, (22)n nn n a a a a n ππ+⎛⎫===++= ⎪⎝⎭． 则n a = .答案：2212n n n a n n ⎧⎪=⎨+⎪⎩为偶为奇解析：对n 分奇偶讨论得．7、数列{}n a 中，111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na ++==∈++，则数列{}n a 的前2012项的和为 ．答案：20122013解析：1111(1)n n n a na +-=+． 8、已知等差数列5，472，374，……，记第n 项到第n +6项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ． 答案：5解析：4057n na -=，56110a a a +++=，∴n =5时，n T 最小为0.9、已知数列{}n a 满足12a =，()*111n n na a n N a ++=∈-，则12320092010...a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=_____． 答案：-6解析：周期为4. 10、数列,,141,1}{22221211n n nn n a a a S a a a a +++==+=+ 记满足若3012m S S n n ≤-+对任意*N n ∈恒成立，则正整数m 的最小值是 . 答案：10解析：可得21{}na 为等差，2143n a n =-，又得21{}n n S S +-递减，∴31115930mS S -=+≤，∴正整数m 的最小值为10.11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，下列为真命题的序号为 ．①20092009S =；②20102010S =；③20092a a <；④20092S S <．答案：②③解析：∵3()2010f x x x =+为奇函数，∴220092010110,2010a a S -+-=∴=，∴②正确； 又∵()f x 为增函数，∴22009a a >，∴③正确．2009210062007S S a -=，∵2009(1)(1)f a f ->-，∴20090a >，∵22009a a >，∴{}n a 递减，∴20060a >．∴④错误． 12、设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和，记2117,n nn n S S T n N a ++-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大值，则0n = .答案：4解析：n n T =-，当且仅当4n =取最小值． 13、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝x (x ∈N *)，a n ＋2＝|a n ＋1－a n |，若前2 010项中恰好有666项为0，则x ＝____________．答案：8或9解析：将2a x =，依次取1、2、3、4、5、6、…，分别写出数列，可以看到数列均从某一项开始出现110110110，而当x =8或9时，能满足题中要求． 14、已知函数()()cos ,sin ,f x x g x x ==记()()22111112222nnn nk k k k n S f g n n ππ==---⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，12...m m T S S S =+++，若11,m T <则m 的最大值为________．答案：5 解析：()21112n k k f n π=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，()12k n n π--⎛⎫⎪⎝⎭=-1，122nn S =+，1212m mT m =+-，∴m 的最大值为5.二、解答题15、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知()*122.n n a S n +=+∈N（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为n d 的等差数列． ①求证：()*123111115 (16)n n d d d d ++++<∈N ； ②在数列{}n d 中是否存在不同的三项,,m k p d d d （其中m 、k 、p 成等差数列）成等比数列？若存在求出这样的三项；若不存在说明理由． 解析：（1）解：123n n a -=⨯；（2）①解：1(1)n n n a a n d +=++，则1431n n d n -⨯=+，11143n n n d -+=⨯，错位相减法得153(25)151616316n n n T +=-<⨯． （3）设2km p d d d =，1112434343()111k m p k m p ---⨯⨯⨯=+++． ∵2k m p =+，∴2k mp =，则k m p ==与题意矛盾，∴不存在．16、已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 为常数，且1a ≠-），21242n n a a n n -=+-+（2n ≥），数列{}n b 的首项21,(2)n n b a b a n n ==+≥．（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 为等比数列，求实数a 的值； （3）当0a >时，求数列{}n a 的最小项．解析：（1）22211(1=2(1)4(1)2(1)n n n b a n a n n n ++=++++-++++）=2222n n a n b +=(2)n ≥，又∵2440b a =+≠，∴{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列．（2）21(44)22n n a n b a n -=⎧=⎨+≥⎩，111(1)(24)(1)(24)2n n n a n S a a a a n ++=⎧==+-+⎨+-+≥⎩，n N +∈． ∵{}n S 为等比数列，∴2213S S S =得43a =-， 代入检验得123n n S +=-，12n n S S +=．∴43a =-．（3）222(44)2,2n n n a b n a n n -=-=+-≥，121a a =+符合．∴22(44)2,n n a a n n N -+=+-∈．21(44)221n n n a a a n -+-=+--， 得2121a a a -=-，3241a a a -=-，4381a a a -=+，∵0a >，∴3n ≥时10n n a a +->，∴最小项在123,,a a a 中产生．当104a <<时，最小项为3a ；当1142a <<时，最小项为2a ；当14a >时，最小项为1a ； 当14a =时，最小项为23,a a ；当12a =时，最小项为12,a a ．17、已知无穷数列{a n }中，a 1，a 2，…，a m 是首项为10，公差为－2的等差数列；a m＋1，a m ＋2，…，a 2m 是首项为12，公比为12的等比数列（其中 m ≥3，m ∈N *），并对任意的n ∈N *，均有a n ＋2m ＝a n 成立． （1）当m ＝12时，求a 2010； （2）若a 52＝1128，试求m 的值；（3）判断是否存在m （m ≥3，m ∈N *），使得S 128m ＋3≥2010成立？若存在，试求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）m =12时，周期为24，∵2010248318=⨯+，∴2010181a a ==．（2）∵711()1282=，∴等比数列至少有7项，一个周期至少有14项， ∴52a 可能是第一、二、三周期中的项．若52a 在第一个周期，则527m a a +=，∴45m =； 若52a 在第二个周期，则5237m a a +=，∴15m =； 若52a 在第三个周期，则5257m a a +=，∴9m =； ∴m =9或15或45.（3）1283212364m m S S a a a +=+++，∵221111()2m m S m m f m =-++-= ∴11(1)()2(5)2m f m f m m ++-=--+，当5m ≤时，(1)()f m f m +>，6m ≥时，(1)()f m f m +<∴6m =时，2m S 有最大值633064∴1283m S +有最大值为636430242007201064⨯+=<，∴无解．18、对于给定数列}{n c ，如果存在实常数q p ,命名得q pc c n n +=+1对于任意*N n ∈都成立，我们称数列}{n c 是“M 类数列”．（1）若)(23,2*N n b n a n n n ∈⋅==，数列}{},{n n b a 是否为“M 类数列”？若是，指出它对应的实常数q p ,，若不是，请说明理由； （2）证明：若数列}{n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++也是“M 类数列”； （3）若数列}{n a 满足t N n t a a a n n n ),(23,2*11∈⋅=+=+为常数，求数列}{n a 前2009项的和，并判断}{n a 是否为“M 类数列”，说明理由． 解析：（1）数列{}n a 满足12n n a a +=+，存在1,2p q ==，∴是“M 类数列”； 数列{}n b 满足12n n b b +=，存在2,0p q ==，∴是“M 类数列”； （2）证明：∵{}n a 是“M 类数列”，∴1n n a pa q +=+，21n n a pa q ++=+ 则有211()2n n n n a a p a a q ++++=++． ∴1{}n n a a ++也是“M 类数列”，对应的常数为p ，2q ．（3）解：20091234520082009()(+)S a a a a a a a =++++++=20102(24)t +-． 若{}n a 是“M 类数列”， 设1n n a pa q +=+ 则11()2n n n n a a p a a q +-+=++1(36)20n tp t q --+=对n N +∀∈恒成立．∴360pt tq =⎧⎨=⎩． 当2,0p q ==时，12n n a a +=，此时{}n a 是“M 类数列”，t =1；当0,0t q ==时，1n n a a +=-，此时{}n a 是“M 类数列”．∴0t =或1.专题4 数列一、解答题1、设等差数列}{n a 的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若__ __.2、等比数列}{n a 中，a n >0，且a n +2=a n +a n +1，则数列的公比q = ．3、设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1()n n b a n N +=+∈，若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中，则q = ．4、已知数列{}n a 满足1125,24n n a a a n +=-=，则当n ＝________时，n a n取得最小值．5、函数2y x =（x >0）的图像在点()2,k k a a 处的切线与x 轴交点横坐标为1,k a +其中*k ∈N .若116,a =则135a a a ++的值是_______________.6、数列{}n a 满足()221221, 2, 1cos sin 1,2,3, (22)n nn n a a a a n ππ+⎛⎫===++= ⎪⎝⎭．则n a = . 7、数列{}n a 中，111,()2(1)(1)nn n na a a n N n na ++==∈++，则数列{}n a 的前2012项的和为 ．8、已知等差数列5，472，374，……，记第n 项到第n +6项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ．9、已知数列{}n a 满足12a =，()*111n n na a n N a ++=∈-，则12320092010...a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=_____．10、数列,,141,1}{22221211n n nn n a a a S a a a a +++==+=+ 记满足若3012m S S n n ≤-+对任意*N n ∈ 恒成立，则正整数m 的最小值是 .11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，下列为真命题的序号为 ．①20092009S =；②20102010S =；③20092a a <；④20092S S <．12、设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和，记2117,n nn n S S T n N a ++-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大值，则0n = .13、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝x (x ∈N *)，a n ＋2＝|a n ＋1－a n |，若前2 010项中恰好有666项为0，则x ＝____________． 14、已知函数()()cos ,sin ,f x x g x x ==记()()22111112222nnn nk k k k n S f g n n ππ==---⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，12...m m T S S S =+++，若11,m T <则m 的最大值为________．二、解答题15、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知()*122.n n a S n +=+∈N（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为n d 的等差数列． ①求证：()*123111115 (16)n n d d d d ++++<∈N ； ②在数列{}n d 中是否存在不同的三项,,m k p d d d （其中m 、k 、p 成等差数列）成等比数列？若存在求出这样的三项；若不存在说明理由．16、已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 为常数，且1a ≠-），21242n n a a n n -=+-+（2n ≥），数列{}n b 的首项21,(2)n n b a b a n n ==+≥．（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 为等比数列，求实数a 的值； （3）当0a >时，求数列{}n a 的最小项．17、已知无穷数列{a n }中，a 1，a 2，…，a m 是首项为10，公差为－2的等差数列；a m＋1， a m ＋2，…，a 2m 是首项为12，公比为12的等比数列（其中 m ≥3，m ∈N *），并对任意的n ∈N *，均有a n ＋2m ＝a n 成立． （1）当m ＝12时，求a 2010； （2）若a 52＝1128，试求m 的值；（3）判断是否存在m （m ≥3，m ∈N *），使得S 128m ＋3≥2010成立？若存在，试求出m 的值；若不存在，请说明理由． 18、对于给定数列}{n c ，如果存在实常数q p ,命名得q pc c n n +=+1对于任意*N n ∈都成立，我们称数列}{n c 是“M 类数列”．（1）若)(23,2*N n b n a n n n ∈⋅==，数列}{},{n n b a 是否为“M 类数列”？若是，指出它对应的实常数q p ,，若不是，请说明理由； （2）证明：若数列}{n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++也是“M 类数列”； （3）若数列}{n a 满足t N n t a a a n n n ),(23,2*11∈⋅=+=+为常数，求数列}{n a 前2009项的和，并判断}{n a 是否为“M 类数列”，说明理由．。
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科选修4-4第2课时知能演练轻松闯关
[基础达标]1．(2014·武汉市高三模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝1＋4t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin(θ＋π4)，则直线l 被曲线C 截得的弦长为________．解析：直线l 化为普通方程是2x －y ＋1＝0，曲线C 化为直角坐标方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心(1，1)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|2－1＋1|5＝255，故直线l 被曲线C 截得的弦长为l ＝2r 2－d 2＝22－⎝⎛⎭⎫2552＝2305.答案：23052．(2014·黄冈市高三调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则C 1与C 2的交点个数为________．解析：曲线C 1，C 2化为直角坐标方程为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故C 1与C 2的交点个数为2.答案：23．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________． 解析：直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2.∵l 1与l 2垂直，∴⎝⎛⎭⎫－k2×(－2)＝－1⇒k ＝－1.答案：－14．(2012·高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22<3，故直线与圆的交点个数是2.答案：25．(2014·陕西宝鸡质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝－22t(t为参数)．以Ox 为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝5(0≤θ≤π2)，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．解析：依题意，曲线C 1为直线，方程为x －y －1＝0，曲线C 2为圆x 2＋y 2＝5的四分之一，联立两曲线方程，求解可得交点为(2，1)．答案：(2，1)6．(2014·湖北省高三高考模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝1＋2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________．解析：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝1＋2t (t 为参数)化为直角坐标方程为x －y ＋1＝0，曲线C ：ρcos 2θ＝sin θ化为直角坐标方程为y ＝x 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝x2消去y 得x 2－x －1＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－1，则y 1y 2＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1.故OA →·OB →＝0.答案：07．(2014·安徽合肥市质量检测)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－（64）2＝102. 答案：1028．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θy ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________． 解析：曲线C 1为(x －2)2＋(y －5)2＝1，曲线C 2为x 2＋y 2＝1，所以，圆心距d ＝3，所以，|AB |max ＝5.答案：5[能力提升]1．(2014·湖北省高三模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ.则C 1与C 2的位置关系是________．(在“相交、相离、内切、外切、内含”中选择一个你认为正确的填上)解析：曲线C 1的参数方程化为普通方程是x 2＋(y －1)2＝1，曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，因为|C 1C 2|＝1＝r 2－r 1，所以C 1与C 2内切．答案：内切2．已知圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋my ＝22t(t 是参数)．若直线l 与圆C 相切，则实数m 的值为________．解析：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.又由⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消去t ，得x －y －m ＝0，∵直线l 与圆C 相切，∴|2－m |2＝2，∴m ＝2±2 2. 答案：2±2 2 3．(2014·武汉市调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________．解析：直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )可转化为y ＝－3x ，曲线C 1：ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，曲线C 2：ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，由此可得A (－3，3)，B ⎝⎛⎭⎫－32，32，∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫－3＋322＋⎝⎛⎭⎫3－322＝ 3.答案： 3 4．(2014·武汉市高三调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－ty ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________．解析：直线⎩⎨⎧x ＝－ty ＝3t(t 为参数，t ∈R )化为直角坐标方程是y ＝－3x ，曲线C 1：ρ＝4sin θ化为直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：ρ＝2sin θ化为直角坐标方程是x 2＋(y －1)2＝1.数形结合易知，|AB |＝ 3.答案： 35．(2014·湖北八市调研)设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝a ＋3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线l 2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝a ＋3t (t 为参数)⇒3x －y ＋a －3＝0，ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0⇒3x －y －4＝0，由平行线间的距离公式可得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.答案：9或－11 6．(2014·江西南昌市模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0，则直线l 截圆C 所得的弦长为________．解析：圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，可化为的一般方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0可化为直角坐标系下方程为3x －y＝0，圆C 的圆心(3，1)到直线l ：3x －y ＝0的距离d ＝1，由垂径定理可得弦长为29－1＝4 2.答案：4 2 7．(2012·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：因为0≤θ≤π2，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－22t )2＋(－22t )2＝5，且⎩⎨⎧1－22t ≥0－22t ≥0，即t 2－2t －4＝0(t ≤0)，所以t＝－2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，所以曲线C 1与C 2的交点坐标为(2，1)．答案：(2，1) 8．(2013·高考广东卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝sin α，(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1y ＝sin α(α为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1y ＝sin α(α为参数)。
江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：规范练4实际应用问题
规范练(四) 实际应用问题1．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 (1)每吨平均成本为yx (万元)． 则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2 x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元． 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．2．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋5(0＜x ＜6)，14 (x ≥6)，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得：L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2，0＜x ＜6，11－x ，x ≥6，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k2－8＋2， 解得k ＝18.(2)当0＜x ＜6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x]＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x )＝188－x ，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．3．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )； (2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？ 解 (1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝ －120 000(x －475)2＋34532， 故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532.故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．4．如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，AD ∥EF ，且点A ，D 在上，设∠AOD ＝2θ.(1)求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2)当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值． 解 (1)设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ.当0<θ<π3时(如图1)，AB ＝4cos θ＋2，AD ＝2×4sin θ，S ＝AB ×AD ＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1)．当π3≤θ<π2时(如图2)，AB ＝2×4cos θ，AD ＝2×4sin θ， 故S ＝AB ×AD ＝64sin θcos θ＝32sin 2θ.综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧16sin θ(2cos θ＋1)，0<θ<π3，32sin 2θ， π3≤θ<π2.(2)当0<θ<π3时，求导得S ′＝16[cos θ(2cos θ＋1)＋sin θ(－2sin θ)]＝16(4cos 2θ＋cos θ－2)．令S ′＝0，得cos θ＝33－18.记区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3内余弦值等于33－18的角为θ0(唯一存在)．列表：又当π3≤θ<π2时，S ＝32sin 2θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当θ＝θ0即cos θ＝33－18时，矩形的面积最大．。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题4_第2讲_数列求和及综合应用(含答案)
第2讲 数列求和及综合应用考情解读 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题；2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1．数列求和的方法技巧 （1）分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． （2）错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． （3）倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． （4）裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.常见的裂项公式： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k )；③1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)；④1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．2．数列应用题的模型（1）等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． （2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．（3）混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．（4）生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．（5）递推模型：如果容易找到该数列任意一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题．热点一 分组转化求和例1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 思维启迪 (1)根据表中数据逐个推敲确定{a n }的通项公式；(2)分组求和．思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝(12)n (n ∈N *)．（1）求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}(n ∈N *)都是等比数列；（2）若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，令b n ＝(3－T 2n )·n ·(n ＋1)，求数列{b n }的最大项．热点二 错位相减法求和例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)， （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＝na n ＋1－a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，n ∈N *，证明：T n <2.思维启迪 (1)n >1时，S n ＝2S n －1＋n 两式相减得{a n }的递推关系式，然后构造数列求通项； (2)先利用错位相减法求出T n ，再放缩．思维升华 错位相减法求数列的前n 项和是一种重要的方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .热点三 裂项相消法求和思维升华 裂项相消法适合于形如{1a n ·a n ＋k}形式的数列，其中{a n }为等差数列．已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝19a n －1a n(n ≥2)，b 1＝13，求数列{b n }的前n 项和S n .例3 已知等差数列{a n }，公差d >0，前n 项和为S n ，S 3＝6，且满足a 3－a 1,2a 2，a 8成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝1a n ·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n 的值．思维启迪 (1)利用方程思想可确定a ，d ，写出{a n }；(2)利用裂项相消法求T n .热点四 数列的实际应用例4 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M 的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M 的价值为上年年初的75%. （1）求第n 年年初M 的价值a n 的表达式；（2）设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年年初对M 更新，证明：必须在第九年年初对M 更新．思维启迪 (1)根据题意，当n ≤6时，数列{a n }是等差数列，当n ≥7时，数列{a n }是等比数列，分别写出其通项公式，然后进行合并即可；(2)先对n 进行分类，表示出A n ，利用数列的单调性质确定其最佳项，并与80比较大小，确定n 的值．思维升华 解答数列应用题，与函数应用题的求解过程类似，一般要经过三步：(1)建模，首先要认真审题，理解实际背景，理清数学关系，把应用问题转化为数列问题；(2)解模，利用所学的数列知识，解决数列模型中的相关问题；(3)释模，把已解决的数列模型中的问题返回到实际问题中去，与实际问题相对应，确定问题的结果．设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额地分成n 次付清，若每期利率r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是( )A ．a n (1＋r )n 元B ．ar (1＋r )n (1＋r )n －1元C ．a n (1＋r )n －1元 D ．ar (1＋r )n －1(1＋r )n －1元1．数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：（1）a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).（2）递推关系形如a n ＋1－a n ＝f (n )，常用累加法求通项． （3）递推关系形如a n ＋1a n＝f (n )，常用累乘法求通项．（4）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q (p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，常用待定系数法．可设a n＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列．（5）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n＋1转为用迭加法求解．2．数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：（1）错位相减法求和时，将问题转化为等比数列的求和问题求解． （2）并项求和时，将问题转化为等差数列求和．（3）分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解．提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n ＋1项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．3．数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在解题中的主要思路：①首先构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解.真题感悟1．(2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则：（1）a 3＝________；（2）S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.2．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. （1）证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.押题精练1．如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________．2．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则该医院30天入院治疗甲流共有________人． 3．已知数列{b n }满足3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，且b 1＝3. （1）求数列{b n }的通项公式；（2）已知a n b n ＝n ＋12n ＋3，求证：56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．数列{a n }共有5项，其中a 1＝0，a 5＝2，且|a i ＋1－a i |＝1，i ＝1,2,3,4，则满足条件的不同数列的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1 080 D ．3 1053．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 0134．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－1，S 100＝5 B ．a 100＝－3，S 100＝5 C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝25．数列{a n }的通项公式a n ＝n cosn π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A ．1 006 B ．2 012 C ．503 D ．06．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012等于( )A ．4 0242 013B ．4 0182 012C ．2 0102 011D ．2 0092 010二、填空题7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________.8．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n (n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.9．设S n ＝12＋16＋112＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，且S n ＋1·S n ＋2＝34，则n 的值是________．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，不等式S 2n －S n >m16恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为_______________． 三、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．12．(2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 13．某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克．若做广告宣传，广告费为n (n ∈N *)千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出b2n 千克．（1）当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量S ； （2）试写出销售量S 与n 的函数关系式；（3）当a ＝50，b ＝200时，要使厂家获利最大，销售量S 和广告费n 分别应为多少？例1 解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3.故a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3.当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.变式训练1 (1)证明 因为a n a n ＋1＝(12)n ，a n ＋1a n ＋2＝(12)n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12.又a 1＝1，a 2＝12，所以数列a 1，a 3，…，a 2n －1，…，是以1为首项，12为公比的等比数列；数列a 2，a 4，…，a 2n ，…，是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由(1)可得T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－(12)n 1－12＋12[1－(12)n ]1－12＝3－3(12)n ，所以b n ＝3n (n ＋1)(12)n ，b n ＋1＝3(n ＋1)(n ＋2)(12)n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝3(n ＋1)(12)n (n ＋22－n )＝3(n ＋1)(12)n ＋1(2－n )，所以b 1<b 2＝b 3>b 4>…>b n >…，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝92.例2 （1）解 ∵S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ≥2)，① 又S 2＝2S 1＋2，a 1＝S 1＝1，∴a 2＝3，∴a 2＋1a 1＋1＝2，∴当n ＝1时，①式也成立，∴a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)证明 ∵a n ＝2n －1，∴b n ＝n (2n 1－1)－(2n－1)＝n 2n 1－2n ＝n2n ， ∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， ∴两式相减，得T n ＝2(12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1)＝2－12n －1－n 2n <2.变式训练2 解 (1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n－1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．例3 解 (1)由S 3＝6，得a 2＝2.∵a 3－a 1,2a 2，a 8成等比数列，∴(2d )·(2＋6d )＝42， 解得d ＝1或d ＝－43，∵d >0，∴d ＝1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)T n ＝11·3＋12·4＋13·5＋…＋1n (n ＋2)＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)]＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2). 变式训练3 解 (1)根据题意a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，所以a 4，a 7是方程x 2－8x ＋15＝0的两根，且a 4<a 7，解得a 4＝3，a 7＝5. 设数列{a n }的公差为d ，由a 7＝a 4＋(7－4)·d ，得d ＝23.故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝3＋(n －4)·23＝2n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝19a n －1a n ＝19·2n －13·2n ＋13＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， 又b 1＝13＝12(1－13)，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1.即数列{b n }的前n 项和S n ＝n2n ＋1.例4 (1)解 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，故a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ， 当n ≥7时，数列{a n }从a 6开始的项构成一个以a 6＝130－60＝70为首项，以34为公比的等比数列，故a n ＝70×(34)n－6，所以第n 年年初M 的价值a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×(34)n －6，n ≥7.(2)证明 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝S nn ＝120－5(n －1)＝125－5n ≥95>80，当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝570＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．因为A n ＝S nn ＝780－210×(34)n －6n ，A 8＝780－210×(34)28≈82.734>80，A 9＝780－210×(34)39≈76.823<80，所以必须在第九年年初对M 更新．变式训练4 B1．(1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 2．证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.1．n 2－2n ＋3 2．2553．(1)解 因为3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，所以b n ＋1b n ＝3(n ＋1)n.则b 2b 1＝3×21，b 3b 2＝3×32，b 4b 3＝3×43，…，b n b n －1＝3×nn －1， 累乘，可得b n b 1＝3n －1×n ，因为b 1＝3，所以b n ＝n ·3n ，即数列{b n }的通项公式b n ＝n ·3n .(2)证明 因为a n b n ＝n ＋12n ＋3，所以a n ＝n (n ＋1)2n ＋3·3n .因为1a n ＝2n ＋3n (n ＋1)·13n ＝3(n ＋1)－n n (n ＋1)·13n ＝(3n －1n ＋1)·13n ＝1n ·13n －1－1n ＋1·13n ，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝(1·130－12·131)＋(12·131－12＋1·132)＋…＋(1n ·13n －1－1n ＋1·13n )＝1－1n ＋1·13n .因为n ∈N *，所以0<1n ＋1·13n ≤16，所以56≤1－1n ＋1·13n <1，所以56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1.BBDAAA 7．480 8．4 9．5 10．5 11．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16. ∵a 3－a 2＝8，∴a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3)4.∵1S n ＝4n (n ＋3)＝43⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋3， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝43⎝⎛⎭⎫1－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3 ＝43⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229， ∴正整数k 的最小值为3.12．解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)． 当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)13．解 (1)当广告费为1千元时，销售量S ＝b ＋b 2＝3b 2.当广告费为2千元时，销售量S ＝b ＋b 2＋b 22＝7b4.(2)设S n (n ∈N )表示广告费为n 千元时的销售量， 由题意得S 1－S 0＝b2，S 2－S 1＝b22，…… S n －S n －1＝b2n .以上n 个等式相加得，S n －S 0＝b 2＋b 22＋b 23＋…＋b2n ，即S ＝S n ＝b ＋b 2＋b 22＋b 23＋…＋b 2n ＝b [1－(12)n ＋1]1－12＝b (2－12n )，n ∈N .(3)当a ＝50，b ＝200时，设获利为T n ，则有T n ＝Sa －1 000n ＝10 000×(2－12n )－1 000n ＝1 000×(20－102n －n )，设b n ＝20－102n －n ，则b n ＋1－b n ＝20－102n ＋1－n －1－20＋102n ＋n ＝52n －1，当n ≤2时，b n ＋1－b n >0；当n ≥3时，b n ＋1－b n <0. 所以当n ＝3时，b n 取得最大值， 即T n 取得最大值，此时S ＝375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为375千克和3千元．。
2015高考数学优化指导第6章 第4节
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数学（文用）
第六章 数 列
【 答 案 及 提 示 】 1．√ 2．√ 3．√ 4．× 当 a＝1 时 不 能 用 错 位 相 减 法 求 和 ， 故 不 正 确 ． 5．√
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解析：2n－1 因为 q＝an－an－1＝－2，b1＝a1＝－1，所以 bn＝b1qn 1＝(－1)×(－2)n 1，所以|bn|＝|(－2)n 1|＝2n 1，即数列
－ － － －
1－2n {|bn|}是公比为 2 的等比数列，所以|b1|＋|b2|＋„＋|bn|＝ ＝ 1－2 2n－1.
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第六章 数 列
3．(课本习题改编)等差数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1， 其前 n 项和为 A．120 C．75
解 析 ： 选C 2)，
Sn Sn ∴ ＝n＋2.∴数列 n 的前 10 项的和为(1＋2＋„＋10)＋ n
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数学（文用）
第六章 数 列
2 ． (2014· 郑州一中模拟 ) 已知数列 {an} 中， an ＝－ 2n ＋
1，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a1，
则|b1|＋|b2|＋„＋|bn|＝________.
或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相 加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的． 六、并项求和法 一个数列的前 n项和中，如果可两两结合求解，则称之 为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)的类型，求和时可采用两项 合并求解． 例如， Sn ＝ 1002 － 992 ＋ 982 － 972 ＋„＋ 22 － 12 ＝ (100 ＋
2015高考数学一轮配套课件：专题四(第四篇)
建立平面直角坐标系，如图所示，
y
则 A(1,0)，B－12， 23，
设 由∠O→ACO＝Cx＝Oα→Aα∈ ＋y0O，→B23π，得，则cCos(cαo＝s αx，－s12iyn，α)，
α
x
sin α＝ 23y，
第十六页，编辑于星期五：十四点 十一分。
所以
x＝cos
α＋
3 3 sin
α，y＝2
3
3 sin
α，
所以 x＋y＝cos α＋ 3sin α＝2sinα＋π6，
又 α∈0，23π， 所以当 α＝π3时，x＋y 取得最大值 2. 法二 依题意，|O→C |＝1，则|O→C |2＝1，
y
α
x
又 O→C ＝xO→A＋yO→B，|O→A |＝|O→B |＝1，〈O→A ，O→B 〉＝120°， ∴x2·O→A 2＋y2·O→B 2＋2xyO→A·O→B ＝1， 因此 x2＋y2＋2xycos 120°＝1，xy＝x2＋y2－1.
第十四页，编辑于星期五：十四点 十一分。
3、(1)△ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O，且 2 O→A ＋
A→B ＋A→C ＝0,|O→A |＝|A→B |,则 C→A ·C→B ＝( )．
3 A.2
B. 3
C．3
D．2 3
倒计时
解(1) 由 2 O→A ＋A→B ＋A→C ＝0，
A
得 2 O→A ＋O→B －O→A ＋O→C －O→A ＝0，
a·a－b a·b－a a·a－b a·b－a A. |a－b| B. |a－b| C. |a－b|2 D. |a－b|2
解析 由A→D＝λA→B，∴|A→D|＝λ|A→B|. 又∵|A→D|＝|a|cos A
2015高考数学优化指导第4章 第5节
第四章 第五节1.sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A ．2B ．22C ．2D ．12解析：选D sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，故选D.2．(2014·石家庄模拟)定义运算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ef ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ae ＋bf ce ＋df ，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1415，已知α＋β＝π，α－β＝π2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin α cos αcos α sin α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos βsin β＝( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤00B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤01 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 解析：选A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin α cos αcos α sin α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos βsin β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin (α＋β)cos (α－β)＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin πcos π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.故选A. 3．(2014·长春高三模拟)如果α为第二象限角且sin α＝154，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝( )A.2 B ．－2 C ．22D ．－22解析：选B ∵α为第二象限角且sin α＝154， ∴cos α＝－14，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(cos α＋sin α)2cos α(cos α＋sin α)＝222cos α＝－ 2.故选B.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ＋⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝3⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1.故选C. 5．(2014·镇江一中模拟)已知3π4＜α＜π，sin αcos α＋cos αsin α＝－103，则5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π2的值为( )A.26B ．－26C ．－526D ．526解析：选C 由sin αcos α＋cos αsin α＝－103得3 tan 2α＋10tan α＋3＝0，结合3π4＜α＜π得tan α＝－13，所以5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11 cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝5×1－cos α2＋4sin α＋11×1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526.故选C.6．已知直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan (α＋β)＝( )A ．－73B ．73C ．57D ．1解析：选D 依题意得tan α＝2，－3tan β＝1，所以tan β＝ －13，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，故选D. 7．(2014·东北三校模拟)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin (α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B ．255C.2525或255D ．255或－2525解析：选A 由题意可知0＜α＜α＋β＜π，而余弦函数在(0，π)上为减函数，可得cos (α＋β)＜cos α，因而cos (α＋β)只能为－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525，选A.8．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：7π15 由已知可得cos4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12. 即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.9．(2014·湖北重点中学统考)若θ∈⎣⎡⎦⎤5π4，3π2，则1－sin 2θ－1＋sin 2θ可化简为________．解析：2cos θ 当θ∈⎣⎡⎦⎤5π4，3π2时，π≤θ－π4≤5π4， ∴sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4≤0. 又3π2≤θ＋π4≤7π4， ∴sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＜0. 故1－sin 2θ－1＋sin 2θ＝|sin θ－cos θ|－|sin θ＋cos θ| ＝(cos θ－sin θ)＋(cos θ＋sin θ)＝2cos θ.10．(2014·山东师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－5π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫7π6＋α，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π12的值为________．解析：13由sin ⎝⎛⎭⎫α－5π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫7π6＋α得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－π＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π12＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4＝2－11＋2×1＝13. 11．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的 值．解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 12．(2014·黄山模拟)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105，则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．(2014·吉林实验中学质检)2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)1＋cos 10°的值为( )A ．1B ．12C ．2D ．45解析：选C ∵1＋3tan 10°＝1＋3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 40°cos 10°，1＋cos 10°＝2cos 5°，∴原式＝2sin 50°＋sin 80°·2sin 40°cos 10°2cos 5°＝2(sin 50°＋sin 40°)2cos 5°＝22cos 5°2cos 5°＝2.故选C.2．(2014·湖北重点中学统考)若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B ．110C ．1或110D ．1或10解析：选C 由条件得tan (α＋β)＝1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1整理得lg 2a ＋lg a ＝0，解得lg a ＝0或lg a ＝－1， 所以a ＝1或110.故选C.3．(2014·成都模拟)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos (α＋β)的值为____．解析：－210由53sin α＋5cos α＝8得，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，由已知得sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝22， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝－22. ∴cos (α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋⎝⎛⎭⎫β＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＋ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝－210. 4．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2 ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425，又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.。
专题4 等式与不等式综合(含基本不等式)(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编
专题04等式与不等式综合（含基本不等式）考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1不等式的性质（10年5考）2019·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷、2016·浙江卷、2016·北京卷、2016·全国卷、2015·浙江卷1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系2.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”，能正确处理常数“1”求最值，能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值，能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值3.本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
考点2解不等式（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·上海卷、2023·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷、2018·全国卷、2017·天津卷、2015·江苏卷、2015·广东卷考点3基本不等式（10年4考）2024·北京卷、2021·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷2020·全国卷、2015·四川卷、2015·陕西卷2015·湖南卷、2015·福建卷考点01不等式的性质1．（2019·全国·高考真题）若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │2．（2018·全国·高考真题）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab+<<D ．0ab a b<<+3．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A ．21log ()2aba ab b +<<+B ．21log ()2a b a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+<D ．21log ()2aba b a b +<+<4．（2016·浙江·高考真题）已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则A ．(1)(1)0a b --<B ．(1)()0a a b -->C ．D ．(1)()0b b a -->5．（2016·北京·高考真题）已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．110x y->B ．sin sin 0x y ->C ．11()()022x y -<D ．ln ln 0x y +>6．（2016·全国·高考真题）若1a b >>，01c <<，则A ．cc a b <B ．c cab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a b c c<7．（2015·浙江·高考真题）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点02解不等式1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．（2024·上海·高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020·全国·高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}5．（2019·全国·高考真题）设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)6．（2019·天津·高考真题）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为.7．（2018·全国·高考真题）已知集合{}220A x x x =-->，则R A =ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥8．（2017·天津·高考真题）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．47[,2]16-B ．4739[,1616-C．[-D．39[]16-9．（2015·江苏·高考真题）不等式224xx-<的解集为.10．（2015·广东·高考真题）不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示）考点03基本不等式1．（2024·北京·高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+2．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．2y 22x x-=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020·全国·高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．325．（2015·四川·高考真题）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为A ．16B ．18C ．25D ．8126．（2015·陕西·高考真题）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q=<D ．p r q=>7．（2015·湖南·高考真题）若实数,a b 满足12a b+=ab 的最小值为A B ．2C ．D ．48．（2015·福建·高考真题）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于A ．2B ．3C ．4D ．5。
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1
B．7 秒 钟 D．9 秒 钟
n秒 钟 ， 则 1＋21＋22＋…＋2n
－
≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴n≥7.∴至 少 需 要 7秒 钟 ． 故 选 1－2
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B.
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专题四 数列的综合应用
n＋2 个数组成公差
1 的 前 n项 和 Tn . dn
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专题四 数列的综合应用
解 ： ①由 an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)， 得 an＝2Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)， 两式相减得：an＋1－an＝2an， 即 an＋1＝3an(n∈N*，n≥2)， ∵{an}是等比数列，∴a2＝3a1，又 a2＝2a1＋2，∴2a1＋2 ＝3a1，∴a1＝2， ∴an＝2×3n－1.
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数学（ 文用）
专题四 数列的综合应用
能在具体的问题情境中识别数列的 考纲要求 等差关系或等比关系，并能用相关
知识解决相应的问题.
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专题四 数列的综合应用
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专题四 数列的综合应用
1 ．设数列 {an} 是公差大于 0 的等差数列， a3 ， a5 分别是
方程 x2 － 14x ＋ 45 ＝0的两个实根，则数列 {an} 的通项公式是 an＝______.
解析：2n－1 设等差数列{an}的公差为 d，(d>0)由题意知
a3＋a5＝14 a3a5＝45 a1＋2d＝5 ∴ a1＋4d＝9 a3＝5 解得 a5＝9 a1＝1 解得 d＝2 a3＝9 或 a5＝5
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解 ：( 1 ) 设 等 差 数 列 {an}的 公 差 为 d， 由 题 意 知
2a1＋2d＝8， 2a1＋4d＝12， a1＝2， 解 得 d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. na1＋an n2＋2n ( 2 ) 由( 1 ) 可 得 Sn＝ ＝ ＝n(n＋1)． 2 2 因 为 a1，ak，Sk＋2 成 等 比 数 列 ， 所 以 a2 k ＝a1Sk＋2.
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具体解题步骤可用框图表示如下：
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专题四 数列的综合应用
3．数列应用题常见模型． (1)等差模型：如果增加 (或减少)的量是一个固定量，该 模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定
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专题四 数列的综合应用
( 2 ) ( 2 0 1 4 · 长 沙 联 考 )设 等 比 数 列 {an}的 前 n项 和 为 Sn ， 已 知 an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)． ①求 数 列 {an}的 通 项 公 式 ； ②在 an 与 an＋1 之 间 插 入 n个 数 ， 使 这 为 dn 的 等 差 数 列 ， 求 数 列
三、数列的实际应用
1 ．数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应 用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等．
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2．解答数列应用题的步骤．
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．
4 ．数列 1,1 ＋ 2,1 ＋ 2 ＋ 22,1 ＋ 2 ＋ 22 ＋ 23 ，…， 1 ＋ 2 ＋ 22 ＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1 020，那么n的最小值是( A．7 C．9 B．8 D．10 )
n 1 － 2 － 解析：选 D 1＋2＋22＋…＋2n 1＝ ＝2n－1，∴Sn＝ 1－2
∴(2k2)＝2(k＋2 ) ( k＋3)， 即 k2－5k－6＝0， 解 得 k＝6 或 k＝ － 1(舍去)， 因 此 k＝6.
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数列与函数、方程、不等式的综合问题
3 (2013· 天津高考 ) 已知首项为 的等比数列 {an} 2 的前 n 项和为 Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(舍去)，
.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
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2．(2014·连云港质检)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，
a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数 列，则q的最小值是________．
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②由①知 an＋1＝2×3n，an＝2×3n－1. 4×3n－1 ∵an＋1＝an＋(n＋1 ) dn，∴dn＝ ， n＋1 1 1 1 1 2 3 4 则 Tn ＝ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ d1 d2 d3 dn 4×30 4×31 4×32 n＋1 n－1， 4×3 n＋1 1 2 3 n T＝ ＋ ＋…＋ n－1＋ n. 3 n 4×31 4×32 4×3 4×3 ① ②
3．(课 本习 题 改 编 )有 一 种 细 菌 和 一 种 病 毒 ， 每 个 细 菌 在 每 秒 钟 杀 死 一 个 病 毒 的 同 时 将 自 身 分 裂 为 2个 ， 现 在 有 一 个 这 样
的 细 菌 和 100 个 这 样 的 病 毒 ， 问 细 菌 将 病 毒 全 部 杀 死 至 少 需 要 ( ) A．6 秒 钟 C．8 秒 钟
解析： 3 3 由题意知 a3＝q，a5＝q2，a7＝q3 且 q≥1，a4
＝a2＋1，a6＝a2＋2 且 a2≥1，那么有 q2≥2 且 q3≥3. 故 q≥ 3，即 q 的最小值为 3. 3 3
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a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( A．26 C．212 B．29 D．215 )
解析：选 C
f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x
－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7) ∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.故选 C.
的数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关 系不固定，随项的变化而变化，应考虑是an是an＋1的递推关 系，还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．
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n＋1 2 2 1 1 1 ①－②得3Tn＝ ＋ ＋ ＋ …＋ － 4×30 4×31 4×32 4×3n－1 4×3n 1 1 1 － － n 1 3 n＋1 5 2n＋5 1 1 3 ＝2＋4× 1 －4×3n＝8－ 8×3n ， 1－3 2n＋5 15 ∴Tn＝ － . 16 16×3n－1
等比 数列
二 项起 (1)都强调从第____ 每一项与前一项的关系； (2)结果都必须是同一个 常数 ； ______ (3)数列都可由a1，d或 a1，q确定
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二、 数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成 立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相 关问题．
2 中， 2a3 － a 7 ＋ 2a11 ＝ 0. 数列 {bn} 是等比数列，且 b7 ＝ a7 ，则
log2(b6b8)的值为( A．2 C．8
) B．4 D．16
2 解析：选 B 由 2a3－a2 ＋ 2 a ＝ 4 a － a 7 11 7 7＝0，得 a7＝4，故 2 log2(b6b8)＝log2b7 ＝log2a2 7＝log216＝4.故选 B.
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解：设等比数列{an} 的公比为 q，因为－2S2，S3,4S4 成 等 差 数 列 ， 所 以 S3＋2S2＝4S4－S3，即 S4－S3＝S2－S4， 可 得