二次根式的非负性
八年级数学《二次根式的非负性》课件
《教材精习》 P3
“达标精练”
1—8题
求xyz的值。
(-5)×2×(-2)=20
3、已知 ：a b 6与 a b 8 互为相反数， 求： a,b的值。
4.若 a 5 (2b 3)2 =0，则 ab2 =_____。
5.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1 ，你能求出a及 a+b 的值吗？
6、已知 1 有意义,那A(a, a )在 二 象限.
华东师大版《数学 ·九年级（上）》
第22章 二次根式 §22.1 二次根式
第二课时 二次根式的非负性
回忆
⑴什么叫做二次根式？
形如 a 的式子叫做二次根式
⑵二次根式有意义的条件是什么？
对于二次根式来说，被开方数a必须是一个非负 数，即a≥0。即，当被开方数为非负数时，二次根式 才有意义。
当a是一个代数式时，依据a≥0来确定被开方数 中所含字母的取值范围。
a
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
7.若x、y为实数，且 y
x2 1 1 x2 x x 1
求 x y3 的平方根。
x2 1 0
解：由二次根式的非负性，得 1 x2 0
解得：xx
1 1
∴ x=1
x 1 0
∴ y 0 0 1 1 ∴ x y3 1 1 3 3
11 2
2
∴ x y3 的平方根是 3
填空： (1) 当 a 0 时， a 0； (2) 当 a 0 时， a 0；
你能得出什么结论？
二次根式的非负性
a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
归纳
当a＞ 0时，a表示a的算术平方根，因此 a＞ 0;
当a 0时，a表示0的算术平方根，因此 a 0 这就是说
二次根式乘除法则
二次根式乘除法则1. 二次根式的定义与性质二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式可以表示为分数形式，即a的平方根除以b的平方根，其中a和b是正实数。
下面是一些二次根式的性质： - 乘法性质：√a * √b = √(a * b) - 除法性质：√a / √b = √(a / b)，其中b不等于0 - 同底数相加减：√a ± √b = √(a± b)2. 二次根式的乘法法则a) 同底数相乘当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相乘，并将底数保持不变。
例如：√2 * √3 = √(2 * 3) = √6b) 不同底数相乘当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相乘，并合并为一个二次根式。
例如：√2 * √6 = √(2 * 6) = √12 = 2√33. 二次根式的除法法则a) 同底数相除当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相除，并将底数保持不变。
例如：√6 / √2 = √(6 / 2) = √3b) 不同底数相除当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相除，并合并为一个二次根式。
例如：√12 / √2 = √(12 /2) = √64. 二次根式乘除法的综合运用a) 乘法与除法的结合运算在一个表达式中同时使用乘法和除法时，我们可以先进行乘法运算，再进行除法运算。
例如：(√3 * √5) / (√2 * √4) = (√15) / (√8)b) 化简复杂的二次根式当一个二次根式较为复杂时，我们可以通过化简来简化计算。
例如：√(18/9) = (√18) / (√9) = (√2 * √9) / (√3 * √3) = (3√2) / 3 = √25. 实际问题中的应用二次根式乘除法经常在解决实际问题中被使用。
下面是一些实际问题的例子：a) 计算面积和体积当计算图形的面积或体积时，我们经常会遇到涉及二次根式乘除法的问题。
例如，计算一个圆的面积可以使用公式A = πr²，其中r是圆的半径。
二次根式与实数之间的关系
二次根式与实数之间的关系根据数学的定义，二次根式是指一个数的平方根，表示为√a，其中a为非负实数。
实数是对现实生活中的数量进行抽象的数学概念，包括有理数和无理数。
二次根式与实数之间存在着密切的关系，本文将探讨这种关系。
1. 二次根式的定义二次根式是指一个实数的平方根。
对于非负实数a，√a表示a的正平方根，即满足b² = a的实数b。
例如，√4 = 2，因为2² = 4。
二次根式可以表示为分数形式或小数形式，如√9 = 3，或√2 ≈ 1.414。
2. 二次根式的性质二次根式具有一些重要的性质，这些性质与实数之间的关系密切相关：- 非负实数的二次根式均为实数。
例如，√9 = 3是一个实数。
- 负实数没有实数的二次根式。
例如，对于-9来说，不存在一个实数b，使得b² = -9。
- 实数的二次根式满足乘法性质。
即若a和b都是非负实数，则√(ab) = √a × √b。
3. 二次根式与有理数的关系有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。
二次根式与有理数之间的关系如下：- 若一个非负实数的平方是一个有理数，那么它的二次根式就是一个有理数。
例如，√4 = 2，4是一个有理数，因此2也是一个有理数。
- 若一个非负实数的平方不是一个有理数，那么它的二次根式就是一个无理数。
例如，√2是一个无理数，因为2的平方不是一个有理数。
4. 二次根式与无理数的关系无理数是不能表示为两个整数的比值的数，包括无理代数数和无理超越数。
二次根式与无理数之间的关系如下：- 像√2、√3这样的二次根式是无理数。
它们无法用有限小数或循环小数形式表示。
- 无理数的二次根式仍然是无理数。
例如，√(√2) = (√2)^(1/2) =2^(1/4) 是一个无理数。
综上所述，二次根式与实数之间存在着重要的关系。
实数的二次根式可以是有理数或无理数，具体取决于实数的平方是否是一个有理数。
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一：二次根式的非负性
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一（含答案）二次根式的非负性【方法技巧】 a 表示非负数a 算术平方根，它具有双重非负性：（1）二次根式的结果是非负数，即a ≥ 0.（2）二次根式的被开方数是非负数，即a ≥0.一、利用二次根式的非负性求范围1. 二次根式4-x 有意义，则实数x 的取值范围是 .2. 若m m -=-1)1(2 ， 则m 的取值范围是 .二、利用二次根式的非负性化简3. 若a>2，则=+---12)2(22a a a . 4.化简：yy 1-- ＝ . 5.当 x<0时，化简 ： xx x x 24422-+-＝ 6.实数在数轴上的位置如图所示，化简：222)()2()2(b a b a ++--+三、利用二次根式的非负性求值7. 若| x+y-1|+0102=+-y x , 则4y-3x 的平方根是8. 311+=-+-a a a 求a 值。
9. 若433+---=x x y ， 求222244()2(y xy x y xy x +-++-的值.10. 已知实数x 、y 满足,0256102=+++-y x x ，求2020)(y x +的值.b-2-112参考答案1.∵ x-4≥0 ∴x ≥42.∵0)1(2≥-m 1.∴1-m ≥0 ∴m ≤1 3. ∵a >2 ∴=+---12)2(22a a a 22)1()2(---a a =1)1()2(-=---a a 4.∵01≥-y ∴y <0 ∴ y y y y y -=-=--215.∵x<0时x x x x x x x x x x x 1)2(2)2()2(244222-=--=--=-+-6. 如图可知:a+2>0 b-2<0 :a+b>0∴a b a b a b a b a 2)()2()2()()2()2(222=++--+=++--+ 7. ∵| x+y-1|≥0 ,0102≥+-y x∴ | x+y-1|＝0且 0102=+-y x∴ x+y-1＝0，2x-y+10=0解之得： x= -3 , y=4 , ∴4y-3x =25,则4y-3x 的平方根是58. 由，1≥a ,有321111+==-+-=-+-a a a a a a3=a 9. 由433+---=x x y 得4,3==y x O x ba -2-112321)2()(44()2(222222=+=-+-=+-++-y x y x y xy x y xy x 10. 1)y x (,6y ,5x ,0)6(y )5x (,025*********=+∴-===++-=+++-所以有：得：由y x x。
八年级下册数学二次根式
八年级下册数学二次根式八年级下册数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。
在这里，我们将为大家详细介绍二次根式的相关内容，包括定义、性质、简化、运算和应用等方面。
一、定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a$是一个非负实数。
其中$\sqrt{a}$是该非负实数的二次根，也就是说，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$。
二、性质1. 二次根式的值为非负实数。
2. 二次根式与绝对值的运算具有相同的性质，即$|\sqrt{a}|=\sqrt{a}$。
3. 如果$a>b>0$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$。
4. 如果$a>b\geq0$，则$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
三、简化1. 若$a$为完全平方数，则$\sqrt{a}$可被化简为一个整数。
2. 若$a$为非完全平方数，则$\sqrt{a}$需保留在根号内。
3. 要注意化简后的二次根式是否符合原式。
四、运算1. 加减法：$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\sqrt{a\pm2\sqrt{ab}+b}$。
2. 乘法：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（其中$b$不能为零）。
五、应用二次根式在各个领域中均有广泛应用，例如：1. 数学中的勾股定理、三角函数等概念均涉及二次根式。
2. 物理中常见的速度、加速度、力等量的平方根也是二次根式。
3. 工程领域中还涉及到诸如距离、面积、体积等二次根式的运用。
以上就是关于八年级下册数学二次根式的详细介绍。
希望本文能帮助大家更好地理解这一知识点，提高数学学习成绩。
二次根式有意义的取值范围
二次根式有意义的取值范围二次根式是数学中一个重要的概念，它指的是以平方根为基础的数学表达式。
在解题过程中，我们常常需要考虑二次根式有意义的取值范围。
本文将从二次根式的定义、二次根式的性质以及二次根式的应用等方面进行探讨，以帮助读者更好地理解二次根式的取值范围。
首先，我们来回顾一下二次根式的定义。
二次根式是含有根号的代数式，其中根号下是一个非负实数，通常用√表示。
例如，√x表示非负实数x的平方根，√(2x+3)表示非负实数2x+3的平方根。
在一般情况下，二次根式是一个复杂的代数表达式，需要根据特定的条件来确定其有意义的取值范围。
其次，我们来探讨二次根式的一些基本性质。
首先，二次根式是非负实数的平方根，因此二次根式的取值范围是大于等于零的实数集合[0,+∞)。
其次，二次根式是一个函数，其定义域是使得根式下的表达式非负的实数集合。
例如，√x的定义域是x≥0，而√(2x+3)的定义域是2x+3≥0。
根据二次根式的定义和性质，我们可以得出以下结论：对于二次根式√x，当x≥0时，二次根式有意义；而当x<0时，二次根式无意义。
同样地，对于二次根式√(2x+3)，当2x+3≥0时，二次根式有意义；而当2x+3<0时，二次根式无意义。
接下来，我们来讨论一些常见的二次根式应用。
首先是二次根式的化简。
当二次根式中的被开方数可以被分解为两个平方数的乘积时，可以利用平方根的性质将其化简。
例如，√9=3，√25=5等。
其次，当二次根式出现在数学问题中时，我们需要根据问题的条件来确定二次根式的取值范围。
例如，在解方程的过程中，我们需要根据方程的定义域来确定二次根式有意义的取值范围。
最后，二次根式在几何问题中也有着重要的应用。
例如，在计算三角形的边长、面积等问题中，经常会用到二次根式。
综上所述，二次根式有意义的取值范围取决于根式下的表达式是否为非负实数。
在解题过程中，我们需要根据条件确定二次根式的取值范围，并利用二次根式的性质进行化简和计算。
第16章二次根式知识点
第十六章 二次根式1、二次根式的概念： 一般地，形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 是被开方数。
2、二次根式成立的条件：被开方数是非负数，即a ≥03、二次根式的性质：（1）二次根式具有双非负性，即 a ≥0且a ≥0（2）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即（ a ）2=a （a ≥0）此性质正用可进行二次根式的平方运算，逆用可以将一个非负数变形为平方形式，进而利于在实数范围内分解因式（3）一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，即 a (a ＞0)=0(a=0)= |a| -a(a ＜0)4、代数式定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
5、二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
（系数和系数相乘做积的系数）符号语言：0,0)a b =≥≥也可以简单记成：非负数的算术平方根的积等于积的算术平方根。
6、法则推广：0,0,0,,0)a b c n ⋅⋅⋅=≥≥≥⋅⋅⋅≥7、积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
符号语言：0,0)a b =≥≥8、公式的推广：0,0,0,0)a b c d=≥≥≥≥9、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
（系数和系数相除做商的系数）符号语言：0,0)=≥>a b10、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
符号语言：0,0)=≥>a b11、最简二次根式：进行二次根式的计算，结果要化为整式或最简二次根式。
即运算结果要满足：①被开方数不含分母；（被开方数不含小数；）②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含二次根式。
12、化简二次根式一般方法：（重难点）。
①如果被开方数是分数（小数）或分式，运用商的算术平方根性质将其化成②如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先把被开方数分解因式，运用积的算术平方根性质把能开得尽方的因数或因式开出来。
第01讲二次根式的性质
第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。
初中数学中的“非负数”问题正规版
初中数学中的“非负数”问题(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）初中数学中的三个“非负数”问题巴州区大和小学李平：636031我们知道：绝对值、偶次方、二次根式都是一个“非负数，即≥0，≥0（n为整数）、。
我们称其具有非负性。
这三条性质常作为求解很多实数问题的隐含条件，对于解答“0+0=0”形的代数问题非常重要，要求学生要熟练掌握。
一、绝对值的非负性例1若m、n满足，则－ｍ·ｎ= 。
解：∵，又∴3m－６＝０ｎ+４＝０∴ｍ＝２ｎ＝－４∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８。
例2若，求：的值解：∵，又∴a－１＝０ａｂ－２＝０∴ａ＝１ｂ＝２原式＝＝＝１－＝二、偶次幂的非负性例３已知，求：⑴；⑵解：∵，又∴ｘ－２＝０３－ｙ＝０∴ｘ＝２ｙ＝３∴⑴＝＝８⑵＝三、二次根式的非负性例4 已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．例5 若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．例6 已知实ａ满足，求ａ-2021的值．解：由ａ-20210，得ａ2021。
故已知式可化为ａ-2021+=ａ，∴=2021，两边平方并整理，得：ａ-2021＝2021．例7 在实数范围内，求代数式的值．解：考虑被开方数，得从而，又，故＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．例8 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝＝.由上面八道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂、二次根式的非负性通常都是作为隐含条件出现的。
解答这类问题的一般思路是：①先根据绝对值、偶次幂、二次根式的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。
初中数学二次根式的性质
初中数学二次根式的性质
二次根式具有多种性质，以下是其中一些主要的性质：
1.非负性：对于任意的实数a，如果a≥0，那么√a是一个非
负数。
也就是说，二次根式的结果总是非负的。
这个性质在二次根式的运算中非常重要，因为它可以帮助我们确定结果的符号。
2.定义域：二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负
数。
也就是说，如果我们要对一个数进行开方运算，那么这个数必须是大于或等于0的。
否则，二次根式就没有意义。
3.运算性质：二次根式满足一些基本的运算性质，如加法、
减法、乘法和除法。
这些性质与整数的运算性质类似，但需要注意的是，二次根式的运算结果可能需要进行化简。
4.化简性质：在二次根式中，我们可以利用一些公式和性质
进行化简。
例如，我们可以利用平方差公式将√(a^2 -
b^2)化简为√a^2 - √b^2，或者利用完全平方公式将√(a^2 + 2ab + b^2)化简为√(a + b)^2。
以上是二次根式的一些主要性质，这些性质在解二次根式方程和不等式，以及进行二次根式的运算时都非常重要。
二次根式非负性的应用
二次根式非负性的应用
泰东实验学校 刘荣淦
我们知道对于二次根式（a ≥0）, a 均具有非负性，即≥0，≥0。
本文就二次根式非负性的应用举例一二。
一、 确定被开方数中字母的取值
例1 如果a -+-=0，那么
+= （苏科教材九上76页习题） 分析：由于a ≥0，
≥0且+=0 可知：
-=0，=0， 所以a-3=0,2-b=0,
解得a=3,b=2进而代入可求代数式的值。
二次根式的非负性还通常与绝对值以及平方数的非负性结合使用，当几个非负数的和为0，那么这几个非负数的取值均为0，从而可确定相关字母的值为解题创造条件。
例2 若
x ++ x =0，求x+y 的值。
分析：由于
x -≥0，x ≥0，且x + =0
所以
x +=0，=0， 故
x +，x-y-2=0从而解得x=3,y=2, 所以x+y=4.
二、 确定被开方数中字母的取值范围
例3
2=1—a,求a 的取值范围
解法一：因为2=1a -， 所以1a -=1—a ，得a-1≤0,
所以a ≤1
2≥0，
2
=1—a ，
所以1—a ≥0，
即a ≤1. 由上述两个解法不难比较发现，解法二更加简便，此法是利用二次根式的非负性确定字母的取值范围，下面再举几例加以说明。
例4
若求a 的取值范围
，
所以a-3≥0，
即a≥3
例5 若，求a的取值范围
，
因为2-a+3+a=5,
（2-a）+(3+a),
，
从而2-a≥0且3+a≥0，
故-3≤a≤2。
二次根式中的“双非负性”
二次根式中的“双非负性”作者：***来源：《初中生世界·八年级》2020年第08期在二次根式a中，存在两个非负的性质。
一是被开方式a≥0，这是因为负数没有平方根的缘故。
它是所有二次根式有意义的先决条件，具有很强的隐蔽性。
我们在解题时，稍不留神就会掉入陷阱里。
二是二次根式的值a≥0，这是因为a表示a的算术平方根的缘故。
它是所有关于二次根式的等式成立必须要尊重的事实，是检验运算结果是否合理的重要依据。
这两条非负性质在“二次根式”这一章中既是重点又是难点，具有非常重要的地位，理解它是我们学好这一章节内容的前提。
下面让我们一起走进二次根式的双非负世界。
一、直接用双非负性解决问题1.利用a中的a≥0解决问题。
例1已知x、y满足x-3+5y+2=0，求x-y的值。
【解析】通过观察等式的结构我们可以发现：等式左边是两个二次根式的和，右边刚好为0。
我们知道，互为相反数的两个数的和等于0，但根据a≥0可知x-3≥0，5y+2≥0，在它们都不为负的情况下，只有x-3=0且y+2=0时原等式才成立，则x-3=0，y+2=0，所以x=3，y=-2，则x-y=3-（-2）=5。
2.利用a中的a≥0解决问题。
例2已知x、y满足x-3+53-x=y+2，求x+y的值。
【解析】观察式子的结构，左边仍是两个二次根式的和，但右边是y+2，不为0，故例1的思路不再适用。
我们经过进一步细细观察后发现：等式左边的两个根式的被开方式x-3和3-x刚好互为相反数。
根据a中a≥0可得x-3≥0且3-x≥0，可知只有x=3（两个不等式联列成的不等式组的解集）时，这两个不等式才同时成立。
把x=3代入x-3+53-x=y+2便可得y=-2，所以x+y=3+（-2）=1。
【点评】例1和例2都是通过一个等式解出包含两个未知数的特殊方程。
它们的形式存在相似之处。
我们首先要通过观察等式的特征辨别出题目的类型，然后根据题型选择具体的解法。
二、二次根式的双非负性对与它相等的代数式的约束所有与二次根式相等的代数式都必须要保持与这个二次根式符号的一致性，如公式“a2=|a|”和“（a）2=a（a≥0）”。
二次根式与三次根式
二次根式与三次根式根式是数学中常见的一种表达形式，它表示一个数的平方根或立方根。
在数学中，二次根式和三次根式是两种重要的根式形式。
接下来，我们将详细介绍这两种根式并探讨它们的特点与应用。
一、二次根式二次根式是指一个数的平方根，它可以用√a的形式表示，其中a为非负实数。
具体而言，如果一个数x满足x^2=a，那么就可以表示为x=√a。
在二次根式中，我们需要注意以下几个重要的概念和性质：1. 平方根的性质：如果a和b都是非负实数，则有以下性质成立：- √(a*b) = √a * √b- √(a/b) = √a / √b2. 二次根式的化简：有时候，我们需要将一个二次根式进行化简。
例如，√8可以化简为2√2，即8的平方根等于2与2的平方根的乘积。
3. 二次根式的运算：当我们进行二次根式的加减乘除运算时，可以运用化简、合并同类项等方法进行简化。
例如，√2 + √8可以化简为3√2，即2的平方根与8的平方根的和为3倍的2的平方根。
二、三次根式三次根式是指一个数的立方根，它可以用³√a的形式表示，其中a为实数。
具体而言，如果一个数x满足x^3=a，那么就可以表示为x=³√a。
在三次根式中，我们需要注意以下几个重要的概念和性质：1. 立方根的性质：对于任意实数a和b，我们有以下性质成立：- ³√(a*b) = ³√a * ³√b- ³√(a/b) = ³√a / ³√b2. 三次根式的化简：类似于二次根式，有时候我们需要将一个三次根式进行化简。
例如，³√27可以化简为3，即27的立方根等于3。
3. 三次根式的运算：三次根式的加减乘除运算也可以通过化简和合并同类项等方式进行简化。
例如，³√2 + ³√8可以化简为³√10，即2的立方根与8的立方根的和等于10的立方根。
综上所述，二次根式和三次根式在数学中具有重要的地位和应用。
二次根式的非负性
二次根式的非负性
二次根式是一种数学表达式，它的非负性表明它的结果永远是非负的。
二次根式的非负性可以用几何图形来说明，它的图像是一个“U”字形，它的曲线永远向上，从而保证了它的结果永远是非负的。
二次根式的非负性也可以用数学证明的方式来证明。
假设一个二次根式的形式为
ax^2+bx+c，那么它的结果永远是非负的，只要a>0，b^2-4ac>0，那么它的结果永远是非负的。
二次根式的非负性可以应用到很多场景中，例如在工程学中，它可以用来计算物体的加速度和动量，在经济学中，它可以用来计算投资的收益率，在生物学中，它可以用来计算细胞的生长速率等等。
二次根式的非负性是一个重要的数学特性，它可以应用到很多领域，为我们提供了很多方便。
知识卡片-二次根式的非负性
二次根式的非负性
能量储备
● 在二次根式a 中，a 的取值必须满足a ≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. ● a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，由算术平方根的定义可知a ≥0. 通关宝典
★ 基础方法点
方法点1：二次根式a 具有双重非负性，即a ≥0，a ≥0.
方法点2： 二次根式隐含的非负性的条件的应用.
例：已知实数x ，y 满足y ＝√x −1+√1−x −2，求(x ＋y )2的值．
分析：要求代数式(x ＋y )2的值，只需要求出x ，y 的值即可．考虑到已知条件中的两个二次根式的被开方数正好互为相反数，根据其非负性可求出x 的值，进而求出y 的值．
解：由{x −1≥0，1−x ≥0，
得x ＝1.把x ＝1代入y ＝√x −1+√1−x −2，得y ＝－2.所以(x ＋y )2＝(1－2)2＝1.
蓄势待发
考前攻略
● 常见的非负数有|a |、a 2n (当a ＝0时，n 为正整数；当a ≠0时，n 为整数)．当几个非负数的和为0时，这几个非负数分别等于0.二次根式的非负性常与绝对值的非负性、偶次幂的非负性结合在一起进行考查，如：若a ＋|b |＝0，则a ＝0，b ＝0；若a ＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0；若|a |＋b ＋c 2＝0，则a ＝0，b ＝0，c ＝0.
● 考查二次根式的非负性，常与偶次幂的非负性、绝对值的非负性相结合命题，题目以选择题、填空题为主．
完胜关卡。