提高梁弯曲强度的措施16习题分析

（2）合理选择截面形状 北宋李诫于公元1100年著《营造法式》一书中 指出:从圆木中锯出的矩形截面，其合理高宽 比为h/b＝1.5。
T.Young (英)于1807年著« 自然哲学与机械技术
讲义» 一书中指出：矩形木梁的合理高宽比为
h 2 时，强度最大 b h 3 时，刚度最大 b
R b
h
（2）合理选择截面形状
塑 性 材 料
1、中性轴尽可能是横截面的对称轴。
2、在横截面面积相等的情况下，尽量选择 抗弯截面系数大的截面。
D1 z
Wz1
当
D
3 1
32
D1 / 2;
D12
4
a 2时, a
a a
z
Wz 2
bh 2 ( D1 / 2)3 1.18Wz1 6 6
2 D1
4
z
2a 0.8 1.6a 时, a2 1.05D1
2 2 2 2
Wz 5 4.57Wz1
0.8a2 a2
工字形截面与框形截面类似
z
1.6a2 2a2
组合截面
y
D1
z
a a
z
2a1 a1
z
0.8D
D
z
1.6a2 2a2
z
z y
0.8a2 a2
总结: 为了充分发挥材料的性能，应尽可能将 材料放置在离中性轴较远的地方。
解：图a所示胶合方式下，由图可知：

* FN 2



' a
' a
* FN 1
dx
b (c)
h FS b b h 2 2 FS a I z 2 4I z
图b所示胶合方式下，由图可知：
a
FS b h
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力 强度条件(中性轴为横截面对称轴时)
max
M max [ ] Wz
降低最大弯矩(或局部加强弯矩较大的粱 段)，提高抗弯截面系数，都能有效降低 梁的最大正应力，从而提高粱的承载能 力，使梁的设计更为合理。
(1) 合理配置梁的载荷和支座 合理地配置梁的载荷
* FN 2
4I z
' b
' b

* FN1 b-2
(d)
h FS b 2 b 2 h 2 2 FS b I z 2 4I z
习题 5-22
5.4 提高梁弯曲强度的措施
hmin
F
3F 4b[ ]
按以上公式确定出的梁的外形，就是厂房建筑 中常用的鱼腹梁。
(3) 合理设计梁的外形
若设想把梁分成若干狭条，然后叠置起来， 并使其略微拱起，这就成为车辆上经常使用的 叠板弹簧。
叠板弹簧实际为等强度梁
较难题：对于图中的吊 车大梁, 跨度为5 m，现 因移动载荷 F 增加到 50 kN, 在20a号工字钢梁的 中段用两块横截面为 120 mm10 mm而长度 2.2 m的钢板加强，横截 面尺寸如图所示。已知 许 用 弯 曲 正 应 力 [] ＝ 152 MPa, 许用切应力 [] ＝ 95 MPa 。 试 校核 此梁的强度。
脆性材料 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最 好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变 形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的 危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。 如下图：
Z

（2）合理选择截面形状 对于用木材制成的梁 , 虽然材料的拉、压强度 不等 , 根据制造工艺的要求仍多采用矩形截面。
从型钢表中查得 20a 工 字 钢 的 惯 性 矩 为 2370 cm4 -8 I z 2370 10
A 1.4 m
M
220 10 2 12 2 10 120 ( ) 10 2 2
z 120
此处略去了加强板对其自 身形心轴的惯性矩。
200
5020 10 -8 m 4
2.2 m
F
10
z
120
200
解：加强后的梁是阶 梯状变截面梁。所以 要校核
2.2 m
F 位于跨中时跨中截面 上的弯曲正应力
F 移至未加强的梁段在截 面突变处的正应力 F靠近支座时支座截面 上的切应力
F
10
z
120
200
1 校核F位于跨中时的正应力
F D C 2.2 m 5m B
M max 62.5 kN m
10
F
抗弯截面系数
A 1.4m
D
C 2.2m 5m
B
Iz -6 3 Wz 456 10 m ymax
M
max
M max 62.5 10 -6 Wz 456 10
3
z
137MPa [ ]
[]＝152 MPa, []＝95 MPa
120
200
10
2 校核突变截面处的 正应力，也就是校核 未加强段的正应力强 度 该截面上的最大弯矩为
2 2
d WZ 令 0 db h 2 2 2 h 2b b
F=5 kN，a=1.5 m，[σ]=10 MPa 2、确定圆木直径 d
M m ax Fa 7.5kN m
F
A
F
D
C
B
a
a
a
max
M max [ ] WZ
d b
h
3 M max 7.5 10 WZ 6 [ ] 10 10
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当
2 D1
4
2a 时, a1
2 1
2 D1 4
2a 1
Wz 3
4a bh 6 6
2
3 1
z
1.67Wz1
a1
0.8D
D
z
4 有D 1.67 D1
令
D12

[ D 2 (0.8D) 2 ]
4
,
Wz 4
D3
32
(1-0.8 ) 2.75Wz1
4
当
1 bh [( 2b ) 2 b ] 75 10 4 m m 3 WZ 6 6
2 2
2
b 131m m d h b 3b 227mm
(3) 合理设计梁的外形 为了节约材料， 减轻自重, 也可改变截面尺寸，在弯矩较大 处采用较大截面，在弯矩较小处 采用较小截面。这种截面沿轴线 变化的梁， 称为变截面梁。
M D 50.4 103 6 Wz 237 10
梁不能满足正应力强度条件。怎么办呢？
为此应将加强板适当延长 。
3 校核阶梯梁的切应力 F靠近任一支座时，支 座截面为最不利载荷 位置
FA A 1.4m
F D C
FB
B
2.2m 5m
FS,max
FS,max F
FS图
请同学们自行完成计算。
例1 矩形截面简支梁由圆形木材刨成， 已知F=5 kN，a=1.5 m，[σ]=10 MPa，试
确定此矩形截面h/b的最优比值，并计算
所需圆木的最小直径d。
F
A
F
D
C
B
a
a
a
d b
h
一 h/b的最优比值
h b d
2 2
2
2
d b
h
b(d b ) bh WZ 6 6
2 2
d 3b 0
F A l/2 l B
l 4
副梁
F/2
F
F
F/2
l
2
l
4
M
M
q
合理地设置支座位置 受均布载荷的简支梁
A l
B
M
0.125ql2
M max
ql 2 0.125ql 8
C a A l
2
q B a
当两端支座分别向跨 中移动 a＝0.2l 时
M
D
0.025ql2
M max 0.025 ql
2
0.02ql2 0.02ql2
变截面梁
等强度梁
如变截面梁各横截面上的 最大正应力都相等，且都等 于许用应力，就是等强度梁。
F
l/2
l/2
b
例如：宽度 b 保持不变而高度可变化的矩形截 面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度 h(x) 可按正应力强度条件求得。 梁任一横截面上最大正应力为 F )x ( M ( x) ( x) max 2 2 [ ] W ( x) bh ( x) / 6 求得
Fab MD 50.4 kN m l
FA A 1.4 m
F D C 2.2 m 5m
FB B
M
从型钢表中查得20a工字钢
W z 237 cm
3
FA
F D 1.4m C 2.2m 5m
FB B
W z 237 cm
max
3
A
231 MPa [ ] 152 MPaM`
3Fx h( x) b[ ]
F
l/2
l/2
b
3Fx h( x) b[ ]
但靠近支座处， 应按切应力强度条件确定截 面的最小高度
求得
3 FS 3 F / 2 max [ ] 2 A 2 bhmin 3F hmin 4b[ ]
(3) 合理设计梁的外形
3Fx h( x) b[ ]