有关三角形极值点的两个命题
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2004 年第 4 期
19
有关三角形极值点的两个命题
王 璐 李 纯 毅
(天津市耀华中学实验四年 (3) 班 ,300040)
本文给出两个关于三角形边的命题.
命题 1 到三边不等的三角形三边距离
之和最小的点是此三角形最大边所对顶点.
命题 2 到三角形三边距离的平方和最
小的点是此三角形重心的等角共轭点.
最大边所对顶点.
对于 P 在 △ABC 之外的情况易证.
下面证明命题 2.
证明 :题设同命题 1. 由柯西不等式 ,有
4 S2 = ( ax + by + cz) 2
≤( a2 + b2 + c2 ) ( x2 + y2 + z2 )
]
x2
+
y2
+
z2
≥
a2
4 S2 + b2 +
c2
,
内 接 正 三 角 形 最
注 : △ABC 内两点 D 、E 互为等角共轭点
的充分必要条件是 , ∠DAB = ∠EAC , ∠DBC
= ∠EBA , ∠DCA = ∠ECB .
先证明命题 1.
证明 : 设 △ABC 内 一 点 P 到 三 边 BC 、
AC 、AB 的距离分别为 x 、y 、z ,并设 BC = a ,
AC = b , AB = c , S △ABC = S . 则有
ax + by + cz = 2 S .
①
不妨设 a > b > c ,则
2 S = ax + by + cz ≤ax + ay + az = a ( x + y + z) .
所以
,
x
+
y
+
z
≥2 S
a
.
上式等号成立的条件为 y = z = 0. 故 ax
= 2 S , x 为边 BC 上的高线长. 从而 , P = A 为
sin (θ+α) 取最小值 , p 取最大值 ,且
pmax = g2sinacα. 其中 , g 、α值分别由式 ②、式 ③确定. 此时 ,
m
=
-
2 ac gsin α
+
a 或 a.
内接正三角形最大时的位置 ,见图 4 、图
5.
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
20
中等数学
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
m=
-
2 ac gsin α
+
a.
百度文库
内接正三角形最
图3
大时的位置 ,见图 3. (3) 若 ∠B = ∠C 或β= 60°,则有
b2 + c2 - 2 ab = 0
或 3 b - 3 a - c = 0. 从而 ,sin α= sin (α+β) . 又 0°≤θ ≤β, 所 以 , 当 θ = 0°或 β 时 ,
大时的位置 ,见图 2.
(2) 若 60°< β ≤
120°,且 ∠B < ∠C ,此
时 ,可 以 证 得 sin α <
sin (α+β) .
图2
证明略.
又由于 0°≤θ ≤β, 所 以 , 当 θ = 0°时 ,
sin (θ+α) 取最小值 , p 取最大值 ,且
pmax = g2sinacα. 其中 , g 、α值分别 由式 ②、式 ③确 定. 此 时,
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有关三角形极值点的两个命题
王 璐 李 纯 毅
(天津市耀华中学实验四年 (3) 班 ,300040)
本文给出两个关于三角形边的命题.
命题 1 到三边不等的三角形三边距离
之和最小的点是此三角形最大边所对顶点.
命题 2 到三角形三边距离的平方和最
小的点是此三角形重心的等角共轭点.
最大边所对顶点.
对于 P 在 △ABC 之外的情况易证.
下面证明命题 2.
证明 :题设同命题 1. 由柯西不等式 ,有
4 S2 = ( ax + by + cz) 2
≤( a2 + b2 + c2 ) ( x2 + y2 + z2 )
]
x2
+
y2
+
z2
≥
a2
4 S2 + b2 +
c2
,
内 接 正 三 角 形 最
注 : △ABC 内两点 D 、E 互为等角共轭点
的充分必要条件是 , ∠DAB = ∠EAC , ∠DBC
= ∠EBA , ∠DCA = ∠ECB .
先证明命题 1.
证明 : 设 △ABC 内 一 点 P 到 三 边 BC 、
AC 、AB 的距离分别为 x 、y 、z ,并设 BC = a ,
AC = b , AB = c , S △ABC = S . 则有
ax + by + cz = 2 S .
①
不妨设 a > b > c ,则
2 S = ax + by + cz ≤ax + ay + az = a ( x + y + z) .
所以
,
x
+
y
+
z
≥2 S
a
.
上式等号成立的条件为 y = z = 0. 故 ax
= 2 S , x 为边 BC 上的高线长. 从而 , P = A 为
sin (θ+α) 取最小值 , p 取最大值 ,且
pmax = g2sinacα. 其中 , g 、α值分别由式 ②、式 ③确定. 此时 ,
m
=
-
2 ac gsin α
+
a 或 a.
内接正三角形最大时的位置 ,见图 4 、图
5.
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20
中等数学
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m=
-
2 ac gsin α
+
a.
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内接正三角形最
图3
大时的位置 ,见图 3. (3) 若 ∠B = ∠C 或β= 60°,则有
b2 + c2 - 2 ab = 0
或 3 b - 3 a - c = 0. 从而 ,sin α= sin (α+β) . 又 0°≤θ ≤β, 所 以 , 当 θ = 0°或 β 时 ,
大时的位置 ,见图 2.
(2) 若 60°< β ≤
120°,且 ∠B < ∠C ,此
时 ,可 以 证 得 sin α <
sin (α+β) .
图2
证明略.
又由于 0°≤θ ≤β, 所 以 , 当 θ = 0°时 ,
sin (θ+α) 取最小值 , p 取最大值 ,且
pmax = g2sinacα. 其中 , g 、α值分别 由式 ②、式 ③确 定. 此 时,