高考数学同步练习：第五章 第二节 等差数列及其前n项和 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练

1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝3

4，则a 1＝( )

A ．－1

B ．0 C.14

D.12

解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝3

2.∴公差

d ＝a 4－a 22＝1

2.∴a 1＝a 2－d ＝0.

答案：B

2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2

D ．4

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

⎝⎛⎭⎫8a 1＋8×72d －⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－2，d ＝2.

故选A. 答案：A

3．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( ) A ．3,7,9,15,100 B ．4,10,12,34,100 C ．5,11,16,30,100

D ．4,10,13,43,100

解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99

n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可

能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34, 100，故选B. 答案：B

4．(2018·武汉市模拟)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9＝( ) A ．25 B ．27 C ．50

D ．54

解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 2＝3a 4－6，所以a 1＋d ＝3(a 1＋3d )－6，所以a 5＝a 1＋4d ＝3，故S 9＝9a 5＝27. 答案：B

5．(2018·昆明市检测)已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝

a 2，则a 8＝( ) A ．12 B ．13 C ．14

D ．15

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，解得d ＝2，d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D. 答案：D

6．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，

S 2n －1＝38，则n 等于__________． 解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即

a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：10

7．(2018·长春模拟)《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金菙(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金菙重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”答案是________．

解析：由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2， 则S 5＝(a 1＋a 5)×52＝(4＋2)×52＝15，

∴金杖重15斤． 答案：15斤

8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，则数列{a n }的公差为________． 解析：由S 5＝5a 4－10，得5a 3＝5a 4－10，则公差d ＝2. 答案：2

9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1

a n (n ∈

N *)．

(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

解析：(1)证明：∵b n ＝1

a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，

∴b n ＋1＝1a n ＋1

＝1

a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ，

∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1

a n

＝2.

又∵b 1＝1

a 1

＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．

(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝1

2n －1.

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝

1

2n －1

. 10．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3

5

. (2)由(1)知，b n ＝[

2n ＋3

5

]． 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋3

5<2，b n ＝1；

当n ＝4,5时，2≤2n ＋3

5<3，b n ＝2；

当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋3

5<4，b n ＝3；

当n ＝9,10时，4≤2n ＋3

5

<5，b n ＝4.

所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

B 组——能力提升练

1．(2018·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．－109 C ．－181

D ．121

解析：设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.

答案：B

2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2.则数列{1

a n a n ＋1}的前n 项和的最大值为( )

A.24143

B.1143