概率论模拟试卷一

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概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。

正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。

三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。

概率论与数理统计模拟试卷和答案

北京语言大学网络教育学院《概率论与数理统计》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。

请监考老师负责监督。

2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。

3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。

4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。

一、【单项选择题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、设A,B 是两个互不相容的事件，P （A ）>0 ，P （B ）>0，则（）一定成立。

[A] P （A)＝1－P （B ） [B] P （A │B)＝0 [C] P （A │B )＝1[D] P （A B )＝02、设A,B 是两个事件，P （A ）>0 ， P （B ）>0 ，当下面条件（）成立时，A 与B 一定相互独立。

[A] P(A B )＝P （A ）P （B ） [B] P （AB ）＝P （A ）P （B ） [C] P （A │B ）＝P （B ）[D] P （A │B ）＝P(A )3、若A 、B 相互独立，则下列式子成立的为（）。

[A] )()()(B P A P B A P = [B] 0)(=AB P [C])()(A B P B A P = [D])()(B P B A P =4、下面的函数中，（）可以是离散型随机变量的概率函数。

[A] {}11(0,1,2)!e P k k k ξ-=== [B] {}12(1,2)!e P k k k ξ-=== [C] {}31(0,1,2)2k P k k ξ=== [D] {}41(1,2,3)2k P k k ξ===--- 5、设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为了使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，则下列个组中应取（）。

概率论(模拟卷)

第1页，共3页一、单项选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1.随机变量Y X ,相互独立是)()()(Y E X E XY E =成立的 [ ] (A ) 充分必要条件； (B ) 充分非必要条件；(C ) 必要非充分条件； (D ) 非充分非必要条件.2.设随机变量X 的概率密度为)(x f X ，32+-=X Y , 则Y 的概率密度为 [ ] (A ))23(21y f X -； (B ) )23(21-y f X ；(C ) )23(21--y f X ； (D ) )23(21yf X --.3.在伯努利试验中，设每次试验成功的概率为p , 失败的概率为)10(1<<-p p ，则在第n 次成功之前恰失败m 次的概率 [ ] (A ) m n n m n p pC)1(111----+；(B )mn p p )1(-；(C )mn m mn p p C)1(-+；(D ) mn n m n p p C)1(11---+.4.已知随机变量X 服从标准正态分布即X ～)1,0(N 且, 9332.0}5.1{=≤X PY ～)2,3(2N ,则(06)P Y << 的值为 [ ](A ) 8664.0； (B ) 0664.0； (C ) 8664.1； (D ) 9332.0.5.若随机变量X , Y 相互独立，则必有 [ ](A ) )()(),(y f x f y x f Y X ≡； (B ) |(|)()X Y Y f x y f y =； (C ) )()(),(y F x F y x F Y X ≡； (D ) ()()P X P Y =.二、填空题（共5小题，每题3分，满分15分）1.设~(,)X B n p ，且12)(=X E ,8)(=X D ，则p = .2.设二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其它010,104),(y x xy y x f ==)(Y X P .3.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则{}=<<5.00X P .4.设X 与Y 相互独立，且均服从区间]3,0[上的均匀分布，则{}=≤1),m ax (Y X P .5.设随机变量X 和Y 的相关系数为9.0，若4.0-=X Z , 则Y 与Z 的相关系数为 .三、计算题（本题满分10分）某箱装有100件产品，其中一，二和三等品分别为80,10和10件，现在从中随机抽取一件，）（其他等品若抽到记3,2,1,0,1=⎩⎨⎧=i iX i (1) 求随机变量),(21X X 的联合分布列. （2) 求),(21X X 的相关系数ρ.四、（本题共4 小题，每题10分，满分40分）……………………………………答………………答……第2页，共3页1已知随机事件C B A ,,满足，,21)|(=A B P ,31)|(=A C B P 计算)|(AB C P .2.设工厂A 和工厂B 的产品次品率分别为01.0和02.0，现从由A 和B 的产品分别占 %60和%40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品属于A 生产的概率.3.设随机变量X 与Y 独立，分别服从参数为0>λ和0>μ的指数分布，求Y X Z -=的概率密度.4. 设二维型随机变量),(Y X 服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线01=++y x 所围成的区域，求（1）)23(Y X E +-.（2）),21(Y X Cov .……………答…………………………………第3页，共3页五、（本题满分10分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.其他e ,0,0,),(x y y x f x（1）求X ，Y 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y .（2）计算}1{<+Y X P .（3）问X 与Y 是否相互独立？并说明理由..六、（本题满分10分）设二维型随机变量),(Y X 的概率密度为其它,10421),(22≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=y x yx y x f（1）求)|(|x y f X Y . （2）求条件概率}21|43{=≥X Y P .…………。

概率论期末模拟题

模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1、设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解若AB 为零概率事件，其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解所求事件的对立事件为“3次都不成功”，其概率为3p ，故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立的是（） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解由连续型随机变量概率密度的定义可知，)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数，且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ，所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续，且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π，则=Y （）)1,0(~N(A) 23+X (B) 23+X (C) 23-X (D) 23-X解 X 的数学期望3-=EX ，方差2=DX ，令23+=X Y ，则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关，则下列等式中不成立的是（）(A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)( (C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解因为0=ρ，故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ，DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(，但无论如何，都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N X n (C))(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~n N X ，),0(~n N X n ，)1(~-⋅n t SXn ，只有C 选项成立.本题应选C.7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（）不是总体期望μ的无偏估计量 (A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解由无偏估计量的定义计算可知，∑=ni iX1不是无偏估计量，本题应选A.8、在假设检验中，记0H 为待检假设，则犯第一类错误指的是（） (A) 0H 成立，经检验接受0H(B) 0H 成立，经检验拒绝0H(C) 0H 不成立，经检验接受0H (D) 0H 不成立，经检验拒绝0H 解弃真错误为第一类错误，本题应选B. 二.填空题（每空2分，共14分）1、同时掷三个均匀的硬币，出现三个正面的概率是________，恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布，且31,3==DX EX ，则X 的概率密度为________. 解设],[~b a X ，则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a ， 4=b ，所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布， Y 服从参数为4的指数分布，则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6||{Y X P ________. 解根据切比雪夫不等式，12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P .5、假设随机变量X 服从分布)(n t ，则21X 服从分布________（并写出其参数）.解设)(~n t nZY X =，其中)1,0(~N Y ，)(~2n Z χ，且)1(~22χY ，从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本，对总体方差DX 进行估计时，常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11.三.(本题６分)设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，求)|(B A P . 解由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率，(2) 若任取一个零件是废品，它为第二台车床加工的概率.解设21,A A 分别表示第一台，第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1，2，2，3，从袋中任取一球后，不放回再取一球，分别以Y X ,记第一次，第二次取得球上标有的数字，求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解（1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ，21)2(==X P ，41)3(==X P .41)1(==Y P ，21)2(==Y P ，41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ，故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ，试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ，从而41=A ;(2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时，0)(=y F Y ;当0≤y 时，)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，所以，两边关于y 求导可得，.e 4121e 4121e 41)(y yyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间，各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i )，X 表示购买该种商品的人数，则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品，依题意，由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DXEX X P n X P 997.0)240600(=-Φ≈n . 查正态分布表得75.2240600=-n ，解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球，黑球数与白球数之比为R . (1) 从罐内任取一球，取得黑球的个数X 为总体，即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其中有m 个白球，求比数R 的最大似然估计值. 解（1） X 1 0 PR R +1 R+11即RR R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=，两边取对数，)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=，两边再关于R 求导，并令其为0，得011=+-∑Rnx i ，从而∑∑-=iixn xRˆ，又由样本值知，m n x i-=∑，故估计值为1ˆ-=mn R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽6件，测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137；B 批:0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141. 已知元件电阻服从正态分布，设05.0=α，问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ，15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H . 检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时），由05.0=α，查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α，15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ，由于2/2/1ααF F F <<-，故不能拒绝10H ，即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H .统计量62221SS Y X T +-=)10(~t （在0H 成立时），查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得148.160000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ，因为2/||αt T <，故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件，则C B A 表示（） (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生解本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ，187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +，)2,1(~--N Y X ，故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量，且6.0,1,4===XY DY DX ρ，则=-)23(Y X D （） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ，6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则2X 的数学期望是（）(A) λ (B)λ1(C) 2λ (D) λλ+2解 222)(λλ+=+=EX DX EX ，本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本方差，记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（）(A) 1/1--=n S X t μ (B) 1/2--=n S X t μ (C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ，)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ，再由t 分布的定义知，本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本，X 为样本方差，则总体方差2σ的矩估计量是（）(A) X (B) ∑=-ni i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解本题应选D.8.在假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小解本题应选B.二.填空题（每空2分，共14分）1.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有1件是不合格品，则另外1件也是不合格品的概率为________.解设A 表示两件中有一件不合格品，B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布，则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且6.0}40{=<<X P ，则}0{<X P =________. 解 2=μ，即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布，其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0，1，0，1，1，0，1，1，则样本均值是________，样本方差是________.解由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布，现从X 中随机抽取10个样本，根据测得的结果计算知27101=∑=i ix，那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ. 6.设总体) ,(~2σμN X ，且2σ未知，用样本检验假设00μμ=：H 时，采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球，25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球.现在从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它是取自Ⅰ号盒中的概率.解设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取球，B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342;(2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f ，对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π地次数，求2Y 的数学期望.解 21d 2c o s 21)3(3==>⎰πππx x X P ，)21 ,4(~B Y ，从而5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分）设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P ，所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ; (3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ，92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm ，均方差为0.05，规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格，试求产品合格的概率.解设i X 表示第i 部分的长度，10,,2,1 =i ，X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ，0025.0=i DX ，且∑==101i iXX ，20=EX ，025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知，产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数，求θ的极大似然估计.解设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，当0,,,21>n x x x 时，似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ，两边取对数，∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ，关于θ求导，并令其为0，得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ，从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下: 东支:230.01=x ，1337.021=n s ， )9(1=n西支:269.02=x ，1736.022=n s ， )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ，90.4)8 ,7(025.0=F ，) 1315.2)15(0025.0=t解本题是在未知方差，又没有说明方差是否相等的情况下，要求检验两总体均值是否相等的问题，故首先必须检验方差是否相等，在相等的条件下，检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=，统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n sn s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，接受0H ，即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分）设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x ，故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分，共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 . 解设A 表示一次射击中击中目标，依题意，四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ，解得31)(=A P ，从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ，B 独立，且p A P =)(，q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布，已知==)1(X P )2(=X P ，则λ= . 解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ，从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ，Y 具有同一分布律，且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 .解 Z 的可能取值为0，1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P . 43411)1(=-==Z P . 5.设随机变量X ，Y 的方差分别为25=DX ，36=DY ，相关系数4.0=XY ρ，则),(Y X Cov = . 解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在，总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ，则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ，μ未知，检验2020σσ=H ：，应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分，共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放，则4本外文书放在一起的概率为（） (A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解本题应选C.2.若事件B A ,相互独立，则下列正确的是（） (A) =)|(A B P )|(B A P(B) =)|(A B P )(A P(C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解由独立性的定义知，==)()|(A P B A P )(1A P -，故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，且6.1=EX ，28.1=DX ，则n ，p 的值为（） (A) n =8，p =2.0 (B) n =4，p =4.0 (C) n =5，p =32.0(D) n =6，p =3.0解由6.1=np ，28.1)1(=-p np ，解得n =8，p =2.0，本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ，其概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，则有（） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -，),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F ， ),(∞+-∞∈x解 2=EX ，故其密度函数关于2=x 对称，故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=，则下列式子正确的是（） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解由)(Y X D +)(Y X D -=，可得0),cov(=Y X ，从而可知X 与Y 不相关，故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，令=Y 212)(σ∑=-ni iX X，则~Y （）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本，可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解由无偏估计的定义及期望的性质知，2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ，故A 选择正确，同理验算其他选项，B ，C ，D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ，若进行假设检验，当（）时，一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知，检验2σ=20σ(B) μ已知，检验2σ=20σ(C) 2σ未知，检验 μ=0μ(D) 2σ已知，检验μ=0μ解本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆，甲车床的产量是乙车床的5.1倍，甲车床的废品率为%2，乙车床的废品率为%1，现随机抽取一根螺杆检查，发现是废品，问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解设21,A A 分别表示螺杆由甲，乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障获利润5万元，发生两次故障获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，问一周内期望利润是多少？解设X 表示一周中所获的利润，其分布律为:X0 5 10P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ，Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 061 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ，Y 的边际分布；(2) 判断X ，Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3 P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xyd e d )1(1210211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P . 解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ，)0(0)e (lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++，从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度，即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ，求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ，从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分，问在显著水平05.0下，是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解假设0H :70=μ，选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t ， (0H 为真时)在05.0=α下，查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t .另一方面，计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ，从而接受原假设，即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元，样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元，假设年存款余额服从正态分布，试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解此题要求检验21μμ=，由于t 检验必须在方差相等的条件下进行，因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=，统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，拒绝0H ，即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布，λ为未知参数，⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===0)()()]([x x X P x T TX T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ，所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分，共20分)1.设)(A P =0.4，)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布，即)1.0,5(~B X ，则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中，若至少有一次击中的概率为6437，则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解由784.0)(=≥a X P 知，10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论，有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解令t x =-2，则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π，这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中，n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值，则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ，Y 是二维随机向量，DX ，DY 都不为零，若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ，这时X 与Y 是关系.解完全相关.8.若),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和方差，则SnX )(μ-服从分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，X 与Y 相互独立.从X ，Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本，样本均值分别为Y X ,，则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为____________.解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分，共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在，由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( ) (A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解本题应选C.2.B A ,为随机随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ，则( ).(A) 5.0,1-==B A (B) 1,5.0=-=B A (C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A解令1d )(10=+⎰x B Ax ，127d )(10=+⎰x x B Ax ，解得5.0,1==B A ，故本题应选D.4.若随机变量X 与Y 不相关，则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P解本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ，且αα=>)},({21n n F F P ，则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次，记事件:=1A {掷第一次出现正面}，=2A {掷第二次出现正面}，=3A {正、反面各出现一次}，=4A {正面出现两次}，则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立，本题应选C.三.计算题(每小题８分，共48分)1.某厂由甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%.现从该厂产品中任意抽取一件，求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品，求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式， 0.09;(2) 运用贝叶斯公式， 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件，第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ，以X表示三个零件中合格品的个数，求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX ， (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ，故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ，2σ为未知参数，n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值，求2σ的最大似然估计.解似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x nx nL ，两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ，关于2σ求导，并令其为零，得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n ，从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ，Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x 求: (1) X 与Y 之间是否相互独立，判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P .解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =，故X 与Y 相互独立，因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.3415.某人乘车或步行上班，他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布，如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次，以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P . 6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时，))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度，⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分，共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率等于0.2，用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i )，则∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数，且80=EX ，64=DX ，故由中心极限定理知，)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝，生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=ni i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H . 采用统计量2221S n σχ-=，在0H 成立时，)9(~22χχ.由1.0=α，查得临界值325.3)9(295.022/1==-χχα， 919.16)9(205.022/==χχα，由样本值算得03.10165.1602≈=χ，由于22/222/1ααχχχ<<-，所以不拒绝0H ，即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ，对任意的R x ∈，满足:)()(x f x f -=，)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ，有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(.证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-aax x f x x f x x f a F 0d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21(令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。

概率论与数理统计模拟考试题-附答案

概率论与数理统计模拟考试题1（15分）、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？解：设321,,A A A 分别表示任选一件产品由甲、乙、丙车间生产，B 表示任选一件产品为次品。

则%25)(1=A P ，%35)(2=A P ，%35)(3=A P ，%5)|(1=A B P ，%4)|(2=A B P ，%2)|(3=A B P 。

（1）由全概率公式可得：)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= %2%35%4%35%5%25⨯+⨯+⨯= 0345.0=全厂产品的次品率为3.45%。

（2）由贝叶斯公式可知：362.00345.0%5%25)()|()()()()|(1111≈⨯===B P A B P A P B P B A P B A P任选一件产品发现为次品，则此次品为甲车间生产的概率为0.362。

2（15分）设某次考试考生成绩服从正态分布，且152=σ。

从中随机抽取36位考生的成绩，算得66.5,X =问在0.05α=时，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?解：由题可假设70:70:10≠=μμH H由于152=σ，不妨选取检验统计量为：nX Z /σμ-=又0.05α=，96.1025.02==z z α，则拒绝域为：96.1||>z根据条件可计算检验统计量的绝对值为96.1422.5|36/15705.66||/|>≈-=-n X σμ因此，拒绝0H ，接受1H ，认为这次考试全体考生的平均成绩不为70分。

3（15分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. 求μ的置信度为0.95的置信区间。

考研数学三概率论与数理统计(大数定律和中心极限定理)模拟试卷1

考研数学三概率论与数理统计（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(总分：86.00，做题时间：90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

</B>(总题数：10，分数：20.00)1.设随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立，S n =X 1 +X 2+…+X N，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时S N近似服从正态分布，只要X 1，X 2，…，X N（分数：2.00）A.有相同期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，…，X n独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在。

选项(A)不成立，因为X 1，X 2，…，X n有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．2.假设随机变量X 1，X 2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…B.X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…C.X 1，2X 2，…nX n,…√解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X 1，…，X n，…，还是X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…；X 1，2X 2，…，nX n，…以及X 1，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EX n =λ，DX2λ，．因此四个备选答案都n =λ，E(X n +n)=λ+n，D(X n +n)=λ，E(nX n )=nλ，D(nX n )=n满足第二个条件；第三个条件是方差DX 1，…，DX n，…有公共上界，即DX n＜c，c是与n无关的常数．对于(A)=DX n =λ＜λ+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =λ＜λ+1；对于(C)：D(nX n )=n 2 DX n =n 2λ没有公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．3.设随机变量序列X 1，…X n，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时学期望，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.服从同一连续型分布，一∞＜x＜+∞)．解析：解析：辛钦大数定律要求：{X n，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．4.设X n表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）√C.F α (4，3)．D.F 1-α (4，3)．解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1一α=P{X≤x}=P{X＜x}= 所以=F 1-α(4，3)，即因此选(A)．6.设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N(0，2 2 )的简单随机样本，记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4x2，其中a，b为常数．已知Y～χ2 (n)，则4 )（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X i～N(0，2 2 )且相互独立，所以X 1 -2X 2～N(0，20)，3X 3—4X 4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ2(2)；(2)当b=0，或a=0，时，Y～χ2 (1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．7.设X 1，X 2，…，X n是来自标准正态总体的简单随机样本，S 2为样本均值和样本方差，则（分数：2.00）服从自由度为n一1的χ2分布．D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布．√解析：解析：显然，(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X 1，X 2，…，X n相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．8.设随机变量X～t(n)(n＞1)，（分数：2.00）A.Y～χ2 (n)．B.Y～χ2 (n一1)．C.Y～F(n，1)．√D.Y～F(1，n)．解析：解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X 2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X 2～F(1，n)，则～F(n，1)．因此～F(n，1)，故应选(C)．9.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t α满足P{X≤t α }=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t 1-b．C.t b．√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}= 根据题设定义P{X≤t α }=1一α，可知应选(D)．10.假设总体X的方差DX存在，X 1，…，X n是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，则EX 2的矩估计量是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：按定义，EX 2的矩估计量是由于所以EX 2的矩估计量，选(D)．二、填空题(总题数：20，分数：40.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1。

概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。

概率论期末模拟试卷

1.设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =，1()3P C =，求(|)P AB C . 【答案】34. 【分析】本题考查随机事件的运算、互不相容与对立的概念、概率与条件概率的性质与计算.【解析】()()()3(|)()1()1()4P ABC P AB ABC P AB P AB C P C P C P C -====--.2.已知事件,,A B C 满足条件()()()1/4P A P B P C ===, ()0P AB =,()()1/6P AC P BC ==, 求事件,,A B C 全不发生的概率。

【解】已知()0P AB =, 由0)()(0=≤≤AB P ABC P , 得0)(=ABC P .再由三个事件的加法公式得)()()()(C P B P A P C B A P ++=⋃⋃12/5)()()()(=+---ABC P CA P BC P AB P ,最后, 由德摩根公式与对立事件的概率公式得=)(C B A P 12/7)(1)(=⋃⋃-=⋃⋃C B A P C B A P .3.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率p ；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率q . 【解】(1) 全概率公式.令1A ,2A 和3A 分别表示所选取的一箱中有2,1,0只残次品. 令B 表示顾客购买该箱玻璃杯. 于是,8.0)(1=A P ,1.0)()(32==A P A P ,1)|(1=A B P ,54)|(4204192==C C A B P ,1912)|(4204183==C C A B P . 用全概率公式, 得943.0)|()()|()()|()()(332211=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P .(2) 贝叶斯公式.用贝叶斯公式, 得848.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P .4.设随机变量X 服从参数为(2,)p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为(3,)p 的二项分布. 若{1}5/9P X ≥=，求{1}P Y ≥. 【解】二项分布. 计算概率.由已知, 有{1}P X ≥=9/512=-p . 于是, 3/2=p . 所求为{1}P Y ≥=27/1913=-p .5.若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=, 求{0}P X <.【解】3.05.0)2()0()2(}220{}42{=-Φ=Φ-Φ=<-<=<<σσσσX P X P ，所以，8.0)2(=Φσ，故 {0}P X <=2.08.01)2(1)2(}22{=-=Φ-=-Φ=-<-σσσσX P .6.设随机变量X 的概率密度为,0,()=0,0,x X e x f x x -⎧≥⎨<⎩, 求随机变量XY e =的概率密度()Y f y .【答案】 ()Y f y 21,1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩.【分析】本题考查连续型随机变量函数的概率密度. 【解析】公式法：函数xy e =在区间0x >时是单调递增函数，确定y 的取值范围(1,)+∞，其反函数ln x y =，于是由公式得随机变量X Y e =的概率密度()Y f y (ln )|(ln )|,10,X f y y y '>⎧=⎨⎩其他.21,1,0, 1.y yy ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩7.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=-其它,01,1,2),(13y x e x y x f y, 求边缘密度)(x f X 与)(y f Y , 并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.【答案】 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,2)(3x x x x f X ，⎩⎨⎧<≥=-1,01,)(1y y e y f y Y .X 与Y 相互独立.【分析】本题考查二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和独立性的概念.【解析】由联合概率密度求边缘概率密度.首先由联合概率密度分段计算)(x f X . 当时1<x ，0)(=x f X . 当1≥x 时，)(x f X ⎰+∞-=1132dy e xy32x =. 再计算)(y f Y . 当时1<y ，0)(=y f Y . 当1≥y 时，)(y f Y ⎰+∞-=1132dx e xy y e -=1. 于是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,2)(3x x xx f X ，⎩⎨⎧<≥=-1,01,)(1y y e y f y Y . 最后讨论独立性. 当1<x ，或时1<y , =),(y x f )(x f X 0)(=y f Y . 当1≥x ，且1≥y 时, =),(y x f )(x f X )(y f Y ye x-=132. 因此, 随机变量Y X ,相互独立.8.设01~1233X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,101~111333-Y ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 且P X Y 22()1==,求(1) 求()X ,Y 的概率分布；（2）Z=XY 的概率分布.（2）Z XY 101~111333-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 【分析】本题考查二维离散型随机变量求概率分布及函数的分布. 【解析】（1）P X Y P X Y 2222()1()0==⇒≠=P X Y P X Y P X Y {0,1}{0,1}{1,0}0==-+==+===（2）随机变量Z XY =取值1,0,1-. 计算函数的概率分布, 得P Z P X Y 1{1}{1,1}3=-===-=P Z P X Y P X Y {0}{0,1}{0,0}====-+==P X Y P X Y 1{0,1}{1,0}3+==+===P Z P X Y 1{1}{1,1}3=====即Z XY 101~111333-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.9.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为x y x y f x y 2,01,01,(,)0,.--<<<<⎧=⎨⎩其他求Z X Y =+的概率密度Z f z ()，【解析】和的概率密度公式为⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(.根据概率密度非零的区域, 只须考虑固定区间10<<x ,可变区间10<-<x z . 即z x z <<-1. 由1,0;1,01==-z z 得关键点2,1,0，于是,⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-=⎰⎰-其他,021,)2(10,)2(11z z z dx z z dx z .即 222,01()(2),120,2Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩.10.随机变量,,X Y Z 相互独立，其中X 在[0,6]上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布, Z 服从参数为3的泊松分布.记23U X Y Z =-+,求，EU DU . 【答案】 10,34..【分析】考查常见分布的数学期望、方差.【解析】由题设 ~[0,6]X U ，~(1)Y E ，~(3)Z P ，所以 3,1,3EX EY EZ ===，3,1,3DX DY DZ ===由,,X Y Z 相互独立和数字特征的性质EZ EY EX EU 32+-= 1033123=⋅+⋅-= DZ DY DX DU 94++=3439141236=⋅+⋅+=.11.设随机变量X 服从标准正态分布~(0,1)X N ，求2(e )XE X .【答案】 22e .【分析】本题考查正态分布及其数字特征的计算. 【解析】由函数的数学期望公式22(2)22222(e )e d e d x x X xE X x x x -+∞+∞---∞-∞==⎰⎰.而2(2)2d x x -+∞--∞⎰是服从正态分布(2,1)N 的数学期望，所以 22(e)2e XE X =.12.设随机变量X 和Y 的分布在以点(1,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求随机变量Z X Y =+的方差. 【答案】 118DZ =. 【分析】本题考查二维随机变量函数的数字特征的计算.【解析】方法一：利用二维随机变量函数的数字期望的公式计算，三角形区域{(,)|01,01,1}D x y x y x y =≤≤≤≤+≥ (,)X Y 的概率密度为2,(,),(,)0,(,)x y D f x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩若若；；22()()DZ E Z EZ =-. 其中()()(,)d d DEZ E X Y x y f x y x y =+=+⎰⎰;11142()3xdx x y dy -=+=⎰⎰，222()[()]()(,)d d DE Z E X Y x y f x y x y =+=+⎰⎰.11201112()6xdx x y dy -=+=⎰⎰，所以 221()()18DZ E Z EZ =-=. 13.设12,,,n X X X L 为来自正态总体2(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，统计量211n i i T X n ==∑，求ET .【答案】 22μσ+.【分析】本题考查统计量的数字特征.【解析】因为总体2~(,)(0)X N μσσ>，所以2222()()E X EX DX μσ=+=+，于是 221111()()n n i i i i ET E X E X n n ====∑∑222211()n i n ==+=+∑μσμσ.14.设12,,,n X X X L 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，求ET . 【答案】 2np .【分析】本题考查统计量的数字特征.【解析】因为12,,,n X X X L 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，所以()E X EX np ==，2()E S DX npq ==，于是222()()()ET E X S E X E S np npq np =-=-=-=.15.设总体X 的概率密度为22,2(,)30,xx f x θθθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，其中θ为未知参数，12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单样本，若21ni i c x =∑是2θ的无偏估计，求c .【答案】25c n=. 【分析】本题考查的是点估计与估计量的评选标准. 【解析】因为2222111[]()()()nn niii i i E cXc E X c E X ncE X ======∑∑∑而 32222225()(,)32x E X x f x dx dx θθθθθ+∞-∞===⎰⎰，所以2215[]2ni i E cX nc ==∑θ，由无偏性2252nc θθ=，因此25c n=.16.设总体X 的概率密度为(1),01,()0,x x f x θθìï+<<ï=íïïî其他. 其中1θ>-是未知参数. 12,,,n X X X …为来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量.【答案】矩估计量11121ˆ11ni i ni i X n X n θ==-=-åå，最大似然估计量1ˆ1ln ni i nX θ==--å.【分析】本题考查的是连续型总体的点估计问题. 【解析】矩估计：总体X 的数学期望为110120()d (1)d 11.22EX x f x x x xx θθθθθθθ+?+-?+==+++=?++蝌令11A μ=，即12X θθ+=+，解得211X X θ-=-.因此θ的矩估计量为11121ˆ11ni i nii X n X n θ==-=-åå.最大似然估计：设12,,,n x x x …是相应于样本12,,,n X X X …的一组观测值，则似然函数为()()()1211(),,,;(1),01,1,2,,0,n nii n ni L L x x x f x x x x i n θθθθ===ìï+?<=ï=íïïî×Õ……其他.…当01(1,2,,)i x i n <<=…时，()0L θ>，且1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++å，令1dln ()ln 0d 1ni i L nx θθθ==+=+å，解得θ的最大似然估计值为1ˆ1ln nii nx θ==--å.于是θ的最大似然估计量为1ˆ1ln nii nX θ==--å.。

《概率论》模拟试卷

《概率论》模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共15分）1、把9本书任意放在书架上，则其中指定的4本书放在一起的概率为 ..________11~5.______25.013.002104.____)2(____,123.____3.07.022=>========+==-=）（），则，（、设随机变量）（则，）（，）（，已知，，取值为、设随机变量全部可能）（的指数分布，则服从参数为、设随机变量）（，则）（，）（为随机事件，且、、设X P N X X P X P X P X D X E X AB P B A P A P B A σλ二、选择题（每小题3分，共15分）.0421231302010),(),(313232)(.3.022*******)(121}2{1不独立与）（）（）（）（）（）；（）（）（）（独立；与）（），则必有（），（，已知，、设随机变量）（；）（；）（；）（）（则其它，）的联合密度为：，、设（）（；）（；）；（或）次，则最有可能失败（，每次投中的概率为、某人独立地投篮三次）（；）（；；）（）（点数之和一次，则、掷两颗均匀的骰子各Y X D Y E X E XY E C Y D X D XY D B Y X A Y X Cov Y X D C B A a y x y x a y x f Y X D C B A D C B A P ====⎩⎨⎧<<<<+==≤5、设随机变5、量X ～B (n , p),且E(X) = 0.6, D(X) = 0.48,则n , p 的值为( )(A) n = 2 , p= 0.2 ; (B) n = 6 , p = 0.1 ; (C) n = 3 , p = 0.2 ; (D) n = 2 , p = 0.3 .三、从1，2，…，10共十个数字中任取一个，假定每个数字都以101的概率被取中，取后还原，先后取出7个数字，试求下列事件概率：（1） 7个数字全不相同；（2）不含10与1；（3）10恰好出现两次；（4）至少出现两次10。

概率论模拟题及答案

p( A0
B)
=
p( A0 ) p(B p(B)
A0 )
= 0.413
24.设 X 为一年内投保人的死亡数, (1) 则 X ～ B(10000,0.006)
(2)公司的年利润为 Y=120000-1000X, 由于 EX=np=60,DX=npq=0.24,根据中心极限定理,可得 Z = X − EX 近似～ N (np,, npq) ,于是有:
F(x)=
⎧A + Be −2x ⎨
⎩0
x>0 其它
求 : (1)A,B 的值; (2) p(−2 < x ≤ 2) ;(3) X 的概率密度函数.
四.计算题(II) 20.设随机向量(X ,Y)的联合密度为
f
(
x,
y
)
=
⎧4xy
⎨ ⎩
0
0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ x ≤ 1 其它
求 (1) p( X < Y ) ; (2). X 与 Y 的协方差 cov( X ,Y ) .
DX
p(Y ≥ 60000) = p( X ≤ 60) = p( X − 60 ≤ 0) = Φ(0) = 0.5 0.24
六,证明题(满分 5 分)
因为 E( X − C)2 − DX = E( X 2 − 2CX + C 2 ) − (EX 2 − (EX )2 )
= E( X )2 − 2CEX + C 2
(6).0.96; (7).14; (8).( µ, σ 2 ); (9).-1; (10). nσ 2 n
二, 选择题 11.C;12.A;13.B;14.B;15.D 三,计算题(I) 16. 因为 A 与 B 相互独立,所以

概率论模拟试卷1及参考答案

信息来源：网络付姿祯搜集整理概率论与数理统计模拟试卷一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) r n rr n p p C --)1(； (c) 1111)1(+-----r n r r n p pC ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6 5. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) )(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-；(ｃ) )1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-.二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为,当时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？（%5=α）（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表：标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t参考答案一. 判断题（10分，每题2分）是非非非是 . 二. 选择题（15分，每题3分）（ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f yY ； 3.0.9772 ；4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f XY；5. ),1(m F6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分)2. ⎩⎨⎧>=-其他0)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他)(y e y f y Y μμ (1分) 0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分)0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(1 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze nn z X X E nz i 222121|||)(|σσπ-∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn122-=σ令=）分（2)1(2-=n n k π5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.0==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量 )1(~)(222512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或 711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内， [711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP 2q pq 2 2p (2分))0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；Y)1P+Z=PpqP；XYZ=X2()1=)1(,1+=(2==YP+ZX=YP；XZpqP=()2(=)0)0=+=,2(2=X+ZPPYY=P.XZp(3=()2()1=)1=,2=+=X+与Z相互独立. (5分) 所以Y。

概率论试题和答案Word版

试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。

２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。

３．已知互斥的两个事件满足，则___________。

４．设为两个随机事件，，，则___________。

５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。

每小题2分，共20分）1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。

(A) 取到2只红球(B) 取到1只白球(C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。

(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设A、B为随机事件，则（）。

(A) A (B) B(C) AB (D) φ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。

(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D)5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。

(A) (B)(C) (D)6. 设相互独立，则（）。

(A) (B)(C) (D)7.设是三个随机事件，且有，则（）。

(A) 0.1 (B) 0.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。

(A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3(C) 5 p2(1–p)3 (D) 4 p2(1–p)39. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。

(A) (B)(C) (D)10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。

(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤ 1(C) P (A) + P (B) –P (C) ≥ 1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 袋中装有5个白球，3个黑球。

概率论模拟试卷一

概率论与数理统计模拟试卷1一、简答题（不要求给出解题过程）（6分×6） 1、设B A ,为两个随机事件，b B P a A P ==)(,)(，则 1）若B A ,互不相容，则=⋃)(B A P ； 2）若B A ,相互独立，则=⋃)(B A P ； 3）若B A ,相互对立，则=⋃)(B A P 。

2、B A ,为两个随机事件，61)|(31)()(===B A P B P A P ，，则=)|(B A P ；=)|(A B P 。

3、某商场经营三种品牌的空调机，上个月内分别售出520、220和105台。

根据以往的统计资料，该三种品牌空调的返修率分别为0.25%、0.33%和0.56%。

则上个月售出的这批空调总的返修率将为。

一位顾客所买的一台空调要求返修，则他买的是第三种品牌的概率为。

4、随机变量X 的分布列为15.035.040.010.06420PX则2)2(-=X Y 的分布列为，以及EY = ；DY = 。

5、一种易耗品的使用寿命服从参数5=θ（年）的指数分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001)(x x e x f x θθ则能连续使用八年以上的可能性为。

单位里用了800件这种物品，则其中能使用八年以上的件数不小于180件的概率为。

（用)(x Φ表示。

）6、设总体),,,(),,(~212n X X X N X σμ为来自总体X 的随机样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差。

则~/nX σμ- ；~/nS X μ- ；~)1(22σSn - 。

二（12分）某港区每天到达的万吨船数量服从参数为2的Possion 分布。

若Y 表示五天内到达船舶不超过2条的天数，试写出Y 的概率分布。

三（20分）设),(Y X 为连续型随机变量，其联合密度为⎩⎨⎧∈=其他),(),(2D y x ykx y x f其中D 为由x y x y -=+=2,2和0=y 围成的区域，试求1）系数k ； 2）Y X ,的边缘分布密度； 3）Y X ,是否独立； 4）试求}2{≤+Y X P 。

概率论摹拟卷1~6及答案

3、设随机变量
X
的密度函数为
f
(x)

2x,

0,
0 x 1
用 Y 表示对 X 的三次独立重复观
其它
察中事件{X 1 }出现的次数，则 P{Y=2}___________. 2
4、设 X~N（1，4），Y~N（0，16），Z~N（4，9），X、Y、Z 相互独立，则 U=4X+3Y-Z 的概率密度是___________.E（2U-3）=___________.D（4U-7）=___________.
,
.求：（1）参数；（2）
上服从均匀分布，（1）求
以上？（取显著性水平＝0.05）
,
和
＋
。
，已知这批木材小头直径的标
；（3）
的联
的相
[模拟试卷 2]
一、(14 分)已知 50 只铆钉中有 3 只是次品，将这 50 只铆钉随机地用在 10 个部件上。若每个部件用 3 只铆钉，问 3 只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？
二、（12 分）设随机变量 X 的分布列为的分布列。
三、（10 分）设二维随机变量
合概率密度（2）求
四、（12 分）设
关系数（其中 a、b 是不全为零的常数）。
在矩形
关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。
பைடு நூலகம்
,
，且与相互独立，试求
五、（12 分）设从大批发芽率为 0.9 的种子中随意抽取 1000 粒，试求这 1000 粒种子中至少有 880 粒发芽的概率。
六、（12 分）设总体的概率密度为
七、（12 分）设服从
是取自总体的简单随机样本。求：（1）的矩估计量；（2）的方差

概率论与数统计模拟卷1

《概率论与数理统计》模拟卷1一、选择题（每题3分，共计18分） 1、下述说法中正确的是（）。

（A ）如A 为一事件，且()0P A =，则A =∅（B ）如B 为一事件，且()1P B =，则B S = （C ）如C S =，则()1P C =（D ）如,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =+2、随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,5.021,4.01,0x x x x x F ，则{}5.25.1≤<X P =（）。

（A ）（B ）（C ）（D ）3、在假设检验中，若1H 为备择假设，则称（）为犯第一类错误。

（A ）1H 为真，接受1H （B ）1H 不为真，接受1H （Ｃ）1H 为真，不接受1H（Ｄ）1H 不为真，不接受1H4、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知,2σ未知，54321,,,,X X X X X 是X 的一个样本,则下列表达式中不是统计量的是（）。

（A ）54321X X X X X ++++（Ｂ）()12345min ,,,,X X X X X （Ｃ）∑=5122i i X σ（Ｄ）μ+++321X X X5、正态总体),(2σu N 的方差2σ的置信度为α-1的置信区间为（）。

（A ）222212211()(),()()n S n S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭（B ）22221221111()(),()()n Sn S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭（C ）222211111()(),()()n S n S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪--⎝⎭（D ）2222111()(),()()n S n S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪⎝⎭6、对于任意随机变量Y X ,，若)()()(Y E X E XY E =，则（）。

（A ）)()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ （C ）Y X ,一定独立（D ）Y X ,不独立二、填空题（每题3分，共计18分）1、掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是。

概率论模拟试题1解答

一、选择题（每题3分，共18分）1. 打靶 3 发，事件表示“击中i发”，i = 0， 1， 2， 3。

那么事件表示 ( )。

( A ) 全部击中； ( B ) 至少有一发击中；( C ) 必然击中； ( D )击中3发2.设离散型随机变量x的分布律为则常数A应为 ( )。

( A )； ( B ) ； (C) ； (D)3. 现有5个灯泡的寿命独立同分布且( i=1，2， 3，4，5 ) ，则5个灯泡的平均寿命的方差( ) 。

( A ) 5b; ( B ) b; ( C ) 0.2b; ( D ) 0.04b4．设分别为随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（）。

5．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X +Y ,则随机变量U与V也（）。

（A）不独立；（B）独立；（C）相关系数不为零；（D）相关系数为零。

6．当事件A与事件B同时发生时，事件C必发生，则（）。

答案：B B C A D B二、填空题（每题3分，共18分）1．甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是___3/4___。

2．设X和Y为两个随机变量，且，则。

5/73．设随机变量X与Y独立，,且，则。

80/2434．设X，Y是两个相互独立同服从正态分布的随机变量，则E(|X-Y|)=__2____。

5．设随机变量X的密度函数，Y表示对X的5次独立观察终事件出现的次数，则DY=___35/64___。

6.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为____189/256_____________。

三、（12分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82%,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求：( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率;( 2 )若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？答案：设( i= 1，2， 3 ) 分别表示居民为肥胖者，不胖不瘦者，瘦者B ：“居民患高血压病”则，，，，由全概率公式由贝叶斯公式，四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。

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模拟题一一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）1．设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ). (A) B A 是C 的子事件; (B)AB C =;(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 3. 设X 为随机变量，且2()0.7,()0.2,E X D X ==则式一定成立：A ．13{}0.222P X -<<≥ B．{0.6P X ≥ C．{00.6P X <<≥ D．{00.6P X <<≤4. 设12,,,(1)n X X X n >是来自总体(0,1)N 的一个样本，,X S 分别为样本均值和标准差，则成立。

A. (0,1)XN B. (0,)nX N nC.221(1)ni i X n χ=-∑ D.(1)X t n S-5. 设12,,,(1)n X X X n >是来自总体2(,)N μσ的一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有是2σ的无偏估计。

A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X n μ=--∑ C. 211()1n i i X X n =--∑ D. 211()1n i i X n μ=-+∑二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）1.已知,5.0)(=A P ()0.2P AB =， 4.0)(=B P , 则 (1) )(AB P = ; (2) )(B A P -= ;(3) )(B A P ⋃= ; (4) )(B A P = .2.若(0,1),()XN x x ϕΦ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则ϕ（0）= ；(0)Φ= ；{0}P X == ；{0}P X <= ；{0}P X >= 。

3.随机变量X 的概率密度函数为,0,()0,0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，则()E X = ;()D X = 。

4.若(1,3),(2,4)XN Y N 且X ，Y 相互独立，23Z X Y =-，则()E Z = ；()D Z = 。

5.若22()n χχ，则有2()E χ= ；2()D χ= 。

三、解答题（共2题，每题5分，共计10分）1.观察某地区未来5天的天气情况, 记i A 为事件: “有i 天不下雨”, 已知),()(0A iP A P i =.5,4,3,2,1=i 求下列各事件的概率:（1）5天均下雨; (2) 至少一天不下雨2. 一道单项选择题，列有4个答案，学生A 知道正确答案的概率为p ，而乱猜的概率为p -1。

设他乱猜而答对的概率为14，求 (1) 学生A 答对的概率；(2) 如果他答对了，而他确实知道正确答案的概率。

四、解答题（共1题，每题10分，共计10分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≥≥=--其他，且,0,21,),(2y x ke y x f y x（1）求常数k ；（2）求),(Y X 的分布函数。

五、解答题（共1题，每题10分，共计10分）随机变量X 的概率密度函数为2,0,()(0)0,0x X xe x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩，而随机变量Y 在(0,)X 内服从均匀分布。

求：(1) ,X Y 的联合概率密度函数(,)f x y ； (2) 关于Y 的边缘概率密度函数()Y f y ；六、解答题（共1题，每题10分，共计10分）随机变量X 的概率密度为1,,()220,,X x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求|sin |Y X =的数学期望与方差。

七、解答题（共1题，每题10分，共计10分）某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。

假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？（(1.28)0.90Φ=）八、解答题（共1题，每题10分，共计10分）设总体X 在区间[,]a b 上服从均匀分布，参数,a b 未知，12,,,n X X X 是来自X 的一个样本，12,,,n x x x 是样本12X ,,,n X X 的观察值。

求：(1) 参数,a b 的矩估计量； (2) 参数,a b 的最大似然估计量。

答案及评分标准一、选择题（共5题，每题2分，共计10分） 1．C ；2．D ； 3．C ；4．B ；5． C二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分） 1．0.2；0.3；0.7；0.3；2.111(0)(0);{0}0;{0};{0}222P X P X P X ϕ=Φ===<=>=；3. 1 , 1 ；4. -4 ， 48 ；5. n ， 2n 。

三、解答题（共2题，每题5分，共计10分）1. 显然 015,,,A A A L 是两两不相容事件且015A A A S ⋃⋃⋃=L ,故550150015000011()()()()()1()()16(),(),()1616i i i i i i P S P A A A P A P A P A iP A iP A P A P A P A =====⋃⋃⋃==+=+===∑∑∑L 于是……………(1分)记上面的三个事件分别为A,B, 则01()()16P A P A ==, …………………………………(2分) 50115()()1()16i i P B P A P A ===-=∑ ………………………(2分)2. 记A={学生A 知道正确答案}，则A ={学生A 不知道正确答案}={乱猜答案}，又记B={学生A 答对}，则1(|)1,(|)4P B A P B A ==。

……………(1分) （1）根据全概率公式得()()(|)()(|)1311(1)44P B P A P B A P A P B A p p p =++=⋅+-=……………(2分) （2）根据贝叶斯公式()(|)14(|)31()314P A P B A p pP A B p P B p ⋅===++…(2分)四、解答题（共1题，每题10分，共计10分） (1) 由()()24121(,)2x y k f x y dxdy ke dxe dy e +∞+∞+∞+∞----∞-∞===⎰⎰⎰⎰，……….(3分) 即124=-e k ，得42e k =。

……………………….(1分)(2) ),(Y X 的分布函数为(,)(,)y x F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰…………………….….(1分)当1≥x 且2≥y 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰--xu y v du e dv e e y x F 12242),( ))((2224------=e e e e e x y)1)(1(222x y e e ----=；…………….(2分)当1<x 或2<y 时，0),(=y x F 。

………………………………(2分)所以，⎩⎨⎧≥≥--=--.,0,21),1)(1(),(222其他且y x e e y x F x y ……….(1分)五、解答题（共1题，每题10分，共计10分）解：(1) 因为在(0)X x x =>的条件下，Y 在(0,)x 内服从均匀分布，所以，|1,0(|)0,.Y X y x f y X x x⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他 …………………（1分）因此，可用公式|()(|)(,)X Y X f x f y x f x y =求(,)f x y 。

……（1分）当0x ≤或0y ≤时，显然(,)0f x y =；…………（1分）…（1分）当0x >且0y >时，|22(,)()(|)1,0,,0,0,.0,.X Y X xxf x y f x f y x y x e y x xe xλλλλ--=⎧⎧<<<<⎪==⎨⎨⎩⎪⎩其他其他…（2分）因此，,X Y 的联合概率密度为2,0,(,)0,.x e y x f x y λλ-⎧<<=⎨⎩其他……………………（1分） (2) 2,0,,0,()(,)0,00,0x y y Y e dx y e y f y f x y dx y y λλλλ+∞--+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰（4分）六、解答题（共1题，每题10分，共计10分）⎰+∞∞-=dx x f x Y E X )(|sin |)(222021122|sin |2sin cos x dx xdx xππππππππ-====⎰⎰。

…………（4分）2222220212()|sin |()sin sin X E Y x f x dx xdx xdx πππππ+∞-∞-===⎰⎰⎰220021cos 2111sin 22222x dx x ππππ-==-=⎰，……………………（4分）所以，22222128()(|sin |)()[()]22D Y D x E Y E Y πππ-⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭………（2分）七、解答题（共1题，每题10分，共计10分）设有X 部分机同时使用外线，则有~(200,0.05),X b 设要安装N 条外线。

由题意有{}0.9P X N ≤≥， (2)){}P X N P ⎧⎫≤=≤即………………(3分)100.93.08N-⎛⎫≈Φ=Φ≥⎪⎝⎭……………(3分)…………………(1分)13.94.14,14N N≥=即取即至少要安装条外线。

…………………(1分)八、解答题（共1题，每题10分，共计10分）解：⑴记()E Xμ=，2()D Xσ=，则有22,2(),12a bb aμσ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩…………………(1分)即2a bb aμ+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，由此得到aμ=，bμ=。

……(2分) 所以，由矩估计法得,a b的估计量分别为ˆˆaμ=，ˆˆbμ=其中11ˆniiXnμ==∑，ˆσ=(2分)⑵似然函数为121,()(,,,;,)0,inna x bb aL x x x a b⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他…………(2分)为选择使似然函数L达到最大值的,a b，应使分母b a-达到最小，即应使b达到最小而a 达到最大。

由此可知应取1maxii nb x≤≤=，1minii na x≤≤=。

…………(2分)因此，未知参数的最大似然估计量为1ˆminii na X≤≤=，1ˆmaxii nb X≤≤=。