从万有引力定律推导开普勒第三定律

从万有引力定律推导开普勒第三定律

在“万有引力与航天”这章中，第一节介绍了行星的运动的规律，即著名的开普勒三大定律，其中第三条是这样的表述的：“所有行星的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方比值都相等”。写成等式：

其中k是一个对所有行星都相同的常量，并且只与中心天体有关，也就是与太阳有关。在中学阶段，我们把行星的轨道按圆轨道处理，定律中的“半长轴”也就修改为“半径r”。

在之后的万有引力定律的学习过程中，如在第四节“万有引力理论的成就”中，计算天体质量这一部分内容里面，有关于对太阳的质量的求解，具体过程是：

设M是太阳的质量，m是绕太阳做匀速圆周运动的的某个行星的质量，r是行星到太阳中心的距离，T是行星绕太阳的公转周期，那么由于行星做匀速圆周运动，那么它需要的向心力由太阳对它的万有引力提供。写成等式：

从而得出太阳的质量：

如果测出行星公转周期T和它到太阳的距离r，就可以算出太阳的质量了。

现在，我们把上面的式子整理得：

令常量等于k，于是有：

证毕