中考数学专题突破导练案第五讲三角形试题(2)
2023年九年级中考数学专题突破——相似三角形(含答案)
2023年中考数学专题突破——相似三角形一、综合题1．如图，点E 在矩形ABCD 的边AD 上，且∠EBC ＝∠ECB ．（1）求证：AE ＝ED ；（2）连接BD 交CB 于点F ，求∠BCF 和∠DEF 的面积之比．2．如图，在 ABC 中， D 为 BC 上一点， BAD C ∠=∠ .（1）求证： ABD CBA ∽ .（2）若 63AB BD ==， ，求 CD 的长.3．如图，在Rt∠ABC 中，∠ACB=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点O 是AB 边上一点，以O 为圆心作∠O ，且经过A ，D 两点，交AB 于点E·（1）求证：BC 是∠O 的切线；（2）AC=2，AB=6，求BE 的长．4．如图，在∠ABC 中，AD 是角平分线，点E ，点F 分别在线段AB ，AD 上，且∠EFD ＝∠BDF ．（1）求证：∠AFE ∠∠ADC ．（2）若45AE AC = ， 2AE EB = ，且∠AFE ＝∠C ，探索BE 和DF 之间的数量关系．5．如图，在 ABC 中，D 是边 BC 上一点，以 BD 为直径的 O 经过点A ，且 CAD ABC ∠=∠ ．（1）请判断直线 AC 是否是 O 的切线，并说明理由；（2）若 2CD = ， 4CA = ，求半径的长．6．如图，在矩形 ABCD 中， 84AB AD ==， ，点E 是 DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作 AF AE ⊥ 交 CB 的延长线于点F ，设 DE a = ．（1）求 BF 的长（用含a 的代数式表示）；（2）连接 EF 交 AB 于点G ，连接 GC ，当 //GC AE 时，求证：四边形 AGCE 是菱形．7．如图，∠ABC 和∠ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD 、CE 的交点.（1）判断线段BD 与CE 的关系，并证明你的结论；（2）若AB ＝8，AD ＝4，把∠ADE 绕点A 旋转，①当∠EAC ＝90°时，求PB 的长；②求旋转过程中线段PB 长的最大值.8．定义：在一个三角形中，若存在两条边x 和y ，使得y ＝x 2，则称此三角形为“平方三角形”，x 称为平方边．（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为 4”是 命题； “有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是 命题；（填“真”或“假”）（2）如图，在∠ABC 中，D 是BC 上一点，若∠CAD ＝∠B ，CD ＝1，求证：∠ABC 为平方三角形；（3）若a ，b ，c 是平方三角形的三条边，平方边a ＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c 的值．9．如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， AD BD = ， AC 为直径， DE BC ⊥ ，垂足为 E .（1）求证： CD 平分 ACE ∠ ；（2）若 8AC = ， 3CE = ，求 CD 的长.10．∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点P 是直线DE 上一点，连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，连接AM ，CM ．（1）问题发现：如图（1），当点P 与点D 重合时，线段CM 与PE 的数量关系是 ，∠ACM ＝ ．（2）探究证明：当点P 在射线ED 上运动时（不与点E 重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．11．如图1，在Rt∠ABC 中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=2，点A 1，B 1为边AC ，BC 的中点，连接A 1B 1，将∠A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．（1）如图1，当α=0°时，11BB AA = ，BB 1，AA 1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；（2）将∠A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）当∠A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转过程中，①请直接写出∠ABA 1面积的最大值；②当A 1，B 1，B 三点共线时，请直接写出线段BB 1的长．12．如图，直线 l 与 O 相离，过点 O 作 OA l ⊥ ，垂足为 A ， OA 交 O 于点 B .点 C 在直线 l 上，连接 CB 并延长交 O 于点 D ，在直线 l 上另取一点 P ，使 PCD PDC ∠=∠ .（1）求证： PD 是 O 的切线；（2）已知 1AC = ， 2AB = ， 6PD = .①求 O 的半径 r ；②求 PCD ∆ 的面积.13．如图，在Rt∠ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是斜边AC 的中点，连接DB ，线段AE∠线段BD 交BC 于点E 交DB 于点G ，垂足为点G ．（1）求证：EB 2＝EG•EA ；（2）联结CG ，若∠CGE ＝∠DBC ．求证：BE ＝CE ．14．已知AC ，EC 分别是矩形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在∠ABC 内，且 AB EF BC FC= ＝k ，∠CAE ＋∠CBE ＝90°.（1）求证：∠CAE∠∠CBF ；（2）若BE ＝2，AE ＝4，CE ＝6，求k 的值.15．已知四边形ABCD 中，AB ＝AD ，对角线AC 平分∠DAB ，点F 为AB 上一点，且CF ＝CB ．（1）如图1，求证：CD ＝CF ；（2）如图2，连接DF ，交AC 于点G ，求证：∠DGC∠∠ADC ．（3）如图3，若点H 为线段DG 上一点，连接AH ，若∠ADC ＝2∠HAG ，AD ＝5，DC ＝3，求 FG GH的值． 16．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 249y x bx c =-++ 经过点 ()5,0A - 和点 ()1,0B .（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）点 P 是抛物线上 A 、 D 之间的一点，过点 P 作 PE x ⊥ 轴于点 E ， PG y ⊥ 轴，交抛物线于点 G ，过点 G 作 GF x ⊥ 轴于点 F ，当矩形 PEFG 的周长最大时，求点 P 的横坐标；（3）如图2，连接 AD 、 BD ，点 M 在线段 AB 上(不与 A 、 B 重合)，作 DMN DBA ∠=∠ ， MN 交线段 AD 于点 N ，是否存在这样点 M ，使得 DMN ∆ 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠CDE ＝90°，∵∠EBC ＝∠ECB ，∴EB ＝EC ，∴Rt∠ABE∠Rt∠DCE （HL ），∴AE ＝ED（2）解：∵BC ＝AD ，AE ＝ED ， ∴BC ＝2DE ，∵DE∠BC ，∴∠DEF∠∠BCF ， ∴214DEF BCF S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 2．【答案】（1）证明：如图所示：BAD C B B ∠=∠∠=∠， ，∴ABD CBA ∽ （2）解： ABD CBA ∽ ，AB BD BC AB ∴= ，即 636BC = ， 解得： 12BC = ，1239DC BC BD ∴=-=-=3．【答案】（1）解： 证明，∵AD 平分∠BAC ， ∴∠OAD=∠CAD ，又∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∴∠CAD=∠ODA ，∴OD∠AC ，∵∠ACB=90°，∴∠ODB=∠ACB=90°，即OD∠BC，∴BC为∠O切线.（2）解：由（1）知OD∠AC，∴∠BOD∠∠BAC，∴BO OD BA AC=，设∠O半径为r，∵AB=6，AC=2，∴BE=6-2r，∴BO=6-r，∴662r r-=，解得：r=32，∴BE=6-2r=6-2×32=3.4．【答案】（1）证明：∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴∠AFE∠∠ADC；（2）解：由（1）得，∠AFE∠∠ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵4,5AEAFE ADC AC=∆∆∽，∴45 AF AEAD AC==，∴4AF FD = ， ∵2,AE AE AF EB == ， ∴2AF AE EB EB== ， ∴EB=2FD ．5．【答案】（1）解：直线 AC 是 O 的切线，理由如下：如图，连接 OA ．∵BD 为 O 的直径，∴90BAD OAB OAD ∠=︒=∠+∠ ． ∵OA OB = ，∴OAB ABC ∠=∠ ．又∵CAD ABC ∠=∠ ，∴90OAD CAD ∠+∠=︒ ．∴AC OA ⊥ ．又∵点A 在 O 上， ∴直线 AC 是 O 的切线．（2）解：∵CAD ABC ∠=∠ ， C C ∠=∠ ， ∴CAD CBA ∽ ， ∴CA CD CB AC= ，即 2AC CD CB =⋅ ， ∴2CD = ， 4CA = ，∴162CB = ， ∴8CB = ，从而 6BD = ，即 26r = ， ∴3r = ．6．【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴90BAD ABC D ∠=∠=∠=︒ ，∵AF AE ⊥ ，∴90FAB BAE BAE EAD ∠+∠=∠+∠=︒ ，∴FAB EAD ∠=∠ ，∵90ABF D ∠=∠=︒ ， ∴ADE ABF ∽ ， ∴AD DE AB BF= ， ∵84AB AD ==， ， DE a = ， ∴2DE ABBF a AD ⋅==（2）证明：由题意可得如图所示：连接AC ，在矩形 ABCD 中， //AB CD ， 4890AD BC AB CD ABC ====∠=︒，， ， ∴90ABC FBG ∠=∠=︒ ， ∵//GC AE ，∴四边形 AGCE 是平行四边形， ∴AG CE = ，∴BG DE a == ，∵2BF a = ， ∴122GB a BF a == ， ∵12BCAB = ， ∴12BC BGAB BF == ，∵90ABC FBG ∠=∠=︒ ， ∴ABC FBG ∽ ，∴FGB ACB ∠=∠ ，∵90GFB FGB ∠+∠=︒ ，∴90GFB ACB ∠+∠=︒ ，∴AC GE ⊥ ，∴四边形 AGCE 是菱形．7．【答案】（1）证明：BD ＝CE ，BD∠CE ，∵∠ABC 和∠ADE 是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ，在∠ADB 和∠AEC 中， {AB ＝AC∠DAB ＝∠CAE AD ＝AE，∴∠ADB∠∠AEC ，∴BD ＝CE.∠ACE ＝∠ABD设CP 与AB 交于点O∵∠AOC ＝∠BOP∴∠BPC ＝∠OAC ＝90°∴BD∠CE ；（2）解：①A ：如图2中，当点E 在AB 上时，BE ＝AB ﹣AE ＝4.∵∠EAC ＝90°，∴EC ，同（1）可证∠ADB∠∠AEC.∴∠DBA ＝∠ECA.∵∠PEB ＝∠AEC ，∴∠PEB∠∠AEC. ∴PB EB AC EC＝ ， ∴PB8∴PB 5＝ ，b ：如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB+AE ＝12.∵∠EAC ＝90°，∴EC ，同（1）可证∠ADB∠∠AEC.∴∠DBA ＝∠ECA.∵∠PEB ＝∠AEC ，∴∠PEB∠∠AEC. ∴PB EB AC EC＝ ， ∴PB8 ，∴PB ，∴PB 的长为 5 或 5. ②A 、如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在∠A 下方与∠A 相切时，PB 的值最小.理由：此时∠BCE 最小，因此PB 最小，（∠PBC 是直角三角形，斜边BC 为定值，∠BCE 最小，因此PB 最小）∵AE∠EC ，∴EC ＝ ＝ ，由（1）可知，∠ABD∠∠ACE ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，BD ＝CE ＝4 ，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝﹣4.b、如图5中，以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在∠A上方与∠A相切时，PB的值最大.理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（∠PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE∠EC，∴EC＝＝，同（1）可证∠ADB∠∠AEC∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝EC＝，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD+PD＝4，∴PB最大值是4.8．【答案】（1）真；假（2）解：如图3中，∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，∴∠CAD∠∠CBA，∴AC CD BC AC=，∴AC 2＝CD•CB ，∵CD ＝1，∴AC 2＝BC ，∴∠ABC 是平方三角形（3）解：因为a ，b ，c 是平方三角形的三条边，平方边a ＝2，三角形中存在一个角为60°，只有∠B 或∠C ＝60°，∠A 不可能为60°，当∠B ＝60°，BC ＝2，如图1中，①当c ＝a 2时，∵a ＝2，∴c ＝22＝4．如图2中，当b ＝a 2＝4时，作CH∠AB 于H ．在Rt∠BCH 中，∵∠B ＝60°，∠CHB ＝90°，BC ＝2，∴BH ＝ 12 BC ＝1，CH ＝ BH ＝ ，在Rt∠ACH 中，AH ＝ ，∴c ＝AB ＝BH+AH ＝1+ ，当∠ACB ＝60°时，b ＝4，c ＝2 ．综上所述，c 的长为4或1+ 或2． 9．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是 O 内接四边形，∴180BAD BCD ∠+∠=︒ ，∵180BCD DCE ∠+∠=︒ ，∴DCE BAD ∠=∠ ，∵AD BD = ，∴BAD ACD ∠=∠ ，∴DCE ACD ∠=∠ ，∴CD 平分 ACE ∠（2）解：∵AC 为直径，∴90ADC ∠=︒ ，∵DE BC ⊥ ，∴90DEC ∠=︒ ，∴DEC ADC ∠=∠ ，∵DCE ACD ∠=∠ ，∴DCE ACD ∆∆∽ ， ∴CE CD CD CA = ，即 38CD CD = ，∴CD =10．【答案】（1）CM PE ；45°（2）解：成立．理由：如图（2）中，连接AE ．∵AB ＝AC ，BE ＝EC ，∴AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝12∠BAC ＝45°， ∵DE∠AB ，∴∠ADE ＝180°﹣∠BAC ＝90°，∴AD ＝DE ，∴AE AD ，∵AM AP ， ∴AC AM AE AP=， ∵∠PAM ＝∠CAE ＝45°，∴∠CAM ＝∠EAP ，∴∠CAM∠∠EAP ，∴CM AM PE AP==∠ACM ＝∠AED ＝45°， ∴CMPE ．11．【答案】（1）2；60°（2）解：（1）中结论仍然成立，证明：延长AA 1，BB 1相交于点D ，如图2，由旋转知，∠ACA 1=∠BCB 1，A 1C=1，B 1C=2，∵AC=2，BC=4， ∴12AC A C =，12BC B C=， ∴11AC BC AC B C =， ∴∠ACA 1∠∠BCB 1， ∴112BB BC AA AC==，∠CAA 1=∠CBB 1， ∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠CBB 1+∠BAC-∠CAA 1 =∠ABC+∠BAC=30°+90°=120°，∴∠D=180°-（∠ABD+∠BAD ）=60°；（3）解：①∠ABA 1面积的最大值=12②线段BB 112．【答案】（1）证明：如图，连接 OD .ABC OBD ODB ∴∠=∠=∠ .OA l ⊥ ，90PCD ABC ∴∠+∠=︒ .90PCD ODB ∴∠+∠=︒ .PCD PDC ∠=∠ ，90PDC ODB ∴∠+∠=︒ ，即 90ODP ∠=︒ . PD ∴ 是 O 的切线.（2）解：①PCD PDC ∠=∠ ，6PC PD ∴== .615PA PC AC ∴=-=-= .在 Rt OAP ∆ 和 Rt ODP ∆ 中，由 2222PA AO PD OD +=+ 可得 22225(2)6r r ++=+ ，解得 74r = . ②如图，延长 AO 交 O 于点 F ，连接 DF . ABC DBF ∠=∠ ， 90BAC BDF ∠=∠=︒ ， ABC DBF ∴∆~∆ .AB BC DB BF ∴= 即 272DB = .DB ∴= . 过点 D 作 DE PC ⊥ 于点 E ，CAB CED ∴∆~∆ .AB CB ED CD ∴= ，即 2ED =，解得 245ED = . 11247262255PCD S PC ED ∆∴=⋅=⨯⨯= 13．【答案】（1）证明：∵AE BD ⊥∴90BGE ︒∠=∵90ABC ︒∠=∴BGE ABE ∠=∠∵BEG AEB ∠=∠∴ABE BGE ∆∆∽ ∴BE GE AE BE= ∴2EB EG EA =⋅（2）证明：在 Rt ABC ∆ 中，点D 是斜边 AC 的中点 ∴12BD AC CD == ∴DBC DCB ∠=∠∵CGE DBC ∠=∠∴CGE DCB ∠=∠∵GEC GEC ∠=∠∴GEC CEA ∆∆∽ ∴GE EC EC EA= ∴2EC GE EA =⋅由（1）得 2EB EG EA =⋅∴22EC EB =∴.BE CE =14．【答案】（1）证明： 四边形ABCD 和EFCG 均为矩形∴ 90ABC EFC ∠=∠=︒AC EF kBC FC== ∴ ABC EFC ∽ ∴AC EC BC FC = ， ACB ECF ∠=∠ ACE BCF ∴∠=∠∴ CAE CBF ∽（2）解：CAE CBF ∽AC EF kBC FC== CBF CAE ∴∠=∠90CAE CBE ∠+∠=︒∴ 90EBF ∠=︒∴ 设 BC a = ，则 AB ka = ，设 FC b = ，则 EF kb =AC ∴==EC ∴==∴ AE AC BF BC==∵4AE = ， ∴BF = ，∵90EBF ∠=︒ ， ∴2222221641EF BE BF k b k =+=+=+ ， ∵222CE EF CF =+ ，即 ()2226kb b =+ ， ∴22361b k =+ 即 2223616411k k k =+++ ，解得 k = 或 k = （不合题意，舍去）.即 k 的值是4. 15．【答案】（1）证明：∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠BAC ，在∠ADC 和∠ABC 中：AC AC DAC BAC AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠ADC∠∠ABC （SAS ），∴CD ＝CB ，∵CF ＝CB ，∴CD ＝CF（2）解：∵∠ADC∠∠ABC ， ∴∠ADC ＝∠B ，∵CF ＝CB ，∴∠CFB ＝∠B ，∴∠ADC ＝∠CFB ，∴∠ADC ＋∠AFC ＝180°，∵四边形AFCD 的内角和等于360°， ∴∠DCF ＋∠DAF ＝180°，∵CD ＝CF ，∴∠CDG ＝∠CFD ，∵∠DCF ＋∠CDF ＋∠CFD ＝180°， ∴∠DAF ＝∠CDF ＋∠CFD ＝2∠CDG ， ∵∠DAB ＝2∠DAC ，∴∠CDG ＝∠DAC ，∵∠DCG ＝∠ACD ，∴∠DGC∠∠ADC（3）解：∵∠DGC∠∠ADC ， ∴∠DGC ＝∠ADC ， CG DG CD AD= ， ∵∠ADC ＝2∠HAG ，AD ＝5，DC ＝3，∴∠HAG ＝ 12 ∠DGC ， 35CG DG = ， ∴∠HAG ＝∠AHG ，35CG DG = ， ∴HG ＝AG ，∵∠GDC ＝∠DAC ＝∠FAG ，∠DGC ＝∠AGF ，∴∠DGC∠∠AGF ， ∴35GF CG AG DG == ， ∴35FG GH = ． 16．【答案】（1）∵抛物线 249y x bx c =-++ 经过点 ()5,0A - 和点 ()1,0B . ∴抛物线的表达式为： ()()2441620519999y x x x x =-+-=--+ ， ∴对称轴为：x= 512-+ =-2， 把x=-2代入 ()()4519y x x =-+- 得：y=4， ∴顶点 ()2,4D - .（2）设点 241620,999P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 则 241620999PE m m =--+ ， ()2242PG m m =--=-- ， 矩形 PEFG 的周长 ()2416202242999PE PG m m m ⎛⎫=+=--+-- ⎪⎝⎭ 28172259418m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ， ∵809-< ， ∴当 174m =-时，矩形 PEFG 周长最大，此时，点 P 的横坐标为 174- . （3）∵点D 为抛物线顶点，A 、B 为抛物线与x 轴的交点， ∴AD=BD ，∴∠DAB=∠DBA ，∵DMN DBA ∠=∠ ， 180BMD BDM DBA ∠+∠=-∠ ， 180NMA DMB DMN ∠+∠=-∠ ， ∴NMA MDB ∠=∠ ，∴BDM AMN ∆~∆ ， ∴AN AM BM BD= ， ∵D （-2，4），A （-5，0），B （1，0）∴6AB = ， 5AD BD === ， ①当 MN DM = 时，∵∠NAM=∠MBD ，∠NMA=∠MBD ， ∴BDM AMN ∆≅∆ ，∴5AM BD == ，∴AN MB = =AB-AM=1；②当 NM DN = 时，则 NDM NMD ∠=∠ ， ∵∠DMN=∠DBA ，∴∠NDM=∠DBA ，∵∠DAB 是公共角，∴AMD ADB ∆~∆ ， ∴AD AM AB AD= ， ∴2AD AB AM =⨯ ，即： 256AM =⨯ ， ∴256AM = ，∵AN AM BM BD = ，即 25625566AN =- ， ∴5536AN = ； ③当 DN DM = 时，∵DNM DAB ∠>∠ ，而 DAB DMN ∠=∠ ， ∴DNM DMN ∠>∠ ，∴DN DM ≠ ；综上所述： 1AN = 或 5536 .。
(名师整理)最新数学中考专题冲刺《三角形》压轴真题训练(含答案)
冲刺中考《三角形》压轴真题训练1．（2019•鄂州）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为DB、BC 的中点，连接AE、EF、AF．（1）求证：AE＝EF；（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系式．2．（2019•江西）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；1（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．3．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB 在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），24．（2019•枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN ＝AM．5．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．6．（2019•呼和浩特）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；3（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．8．（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH ＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．49．（2019•河北）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣1 2n B勾股数组Ⅰ/ 8勾股数组Ⅱ35 /510．（2019•赤峰）【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；【拓展引申】（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD 上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．611．（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G ，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF 的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．712．（2019•鸡西）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF+BH ＝BD；（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．13．（2019•铁岭）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC ＝180°．（1）如图1，当∠B＝45°时，线段AG和CF 的数量关系是．（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．（3）若AB＝6，DG＝1，cos B＝，请直接写出CF的长．814．（2019•阜新）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．①求证：CD＝CE，CD⊥CE；②求证：AD+BD ＝CD；（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．15．（2019•锦州）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．9（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．10参考答案1．（1）证明：点E、F分别为DB、BC的中点，∴EF ＝CD，∵∠DAB＝90°，∴AE ＝BD，∵DB＝DC，∴AE＝EF；（2）解：∵AF＝AE，AE＝EF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠DAB＝90°，点E、F分别为DB、BC的中点，∴AE＝DE，EF∥CD，∴∠ADE＝∠DAE，∠BEF＝∠BDC＝β，∴∠AEB＝2∠ADE＝2α，∴∠AEF＝∠AEB+∠FEB＝2α+β＝60°，∴α，β之间的数量关系式为2α+β＝60°．2．解：（1）∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，11故答案为：60°；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠FAE＝60°，∴∠FAD＝∠EAB，故答案为：＝；②当BA＜BE时，如图2，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB＝∠FMB＝90°，∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，∴∠AFN＝∠EFM，∵EF＝EA，∠FAE＝60°，∴△AEF为等边三角形，∴FA＝FE，在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上，当BA＝BE时，如图4，12∵BA＝BE，∠ABC＝120°，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，∵∠EAG＝120°，四边形AEFG为菱形，∴∠EAF＝60°，又EA＝EF，∴△AEF为等边三角形，∴∠FEA＝60°，FA＝FE，则∠FAB＝∠FEB＝90°，又FA＝FE，∴点F在∠ABC的平分线上，当BA＞BE时，同理可证，点F在∠ABC的平分线上，综上所述，点F在∠ABC的平分线上；（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠AGF＝60°，∴∠FGE＝∠AGE＝30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，∴GN＝2AN，∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，∴∠ADH＝30°，∴AD＝AH＝GE，13∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD，∴BC＝GE，∵∠HAE＝∠EAB＝30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB＝AN＝NE，∴GE＝3AB，∴＝3．3．解：（1）如图1中，作CH⊥AB．14∵T（AC，AB）＝3，∴AH＝3，∵AB＝5，∴BH＝5﹣3＝2，∴T（BC，AB）＝BH＝2，故答案为2．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，∴AH＝4，BH＝9，∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，∴∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，∴∠A＝∠BCH，∴△ACH∽△CBH，15∴＝，∴＝，∴CH＝6，∴S△ABC ＝•AB•CH ＝×13×6＝39．（3）如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．∵∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，∴AC＝2，∵∠A＝60°，∴∠ADC＝∠BDK＝30°，∴CD ＝AC＝2，AD＝2AC＝4，AH ＝AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，∵T（BC，AB）＝6，CH⊥AB，∴BH＝6，∴DB＝BH﹣DH＝3，在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，∴DK＝BD•cos30°＝，16∴CK＝CD+DK＝2+＝，∴T（BC，CD）＝CK ＝．4．（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC ＝，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，解得，DM ＝，∴AM＝AD﹣DM ＝﹣；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；17（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE ＝AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，在△BME和△NMA中，，∴△BME≌△NMA（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE ＝AM．5．解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；18（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．6．解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，∴∠A+∠B＜∠C；（2）如图，过点B作MN∥AC，∵MN∥AC，∴∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠MBA+∠ABC+∠NBC＝180°（平角的定义），∴∠A+∠ABC+∠C＝180°（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°；（3）∵＝，∴ac ＝（a+b+c）（a﹣b+c ）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，∴a2+c2＝b2，19∴△ABC是直角三角形．7．（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，∴∠AEG＝∠CFH，在△AGE和△CHF 中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，∵AG∥CH，∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．208．解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°21∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD ＝OP＝1∴OD ＝∵OH ＝+1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中22∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP9．解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：17；3710．证明：【探究发现】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DB＝DP【数学思考】23（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴BD＝DP【拓展引申】（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB＝90°∵CD∥AB，∠CDB＝90°∴∠DBM＝90°∴∠NMB+∠MNB＝90°∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH＝BQ24∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝4，AC﹣AH＝BC﹣BQ∴CH＝CQ∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM＝∠QMB∵∠ACB＝∠HMQ＝90°∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM＝∠HQM∴∠HCM＝∠QMB，且∠A＝∠CBA＝45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ ＝∴AM＝2时，BQ有最大值为2．11．教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE ＝AC，25∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝3，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE ＝BC ＝AD，BO ＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF ＝DF，∴BF ＝BD，∵BO ＝BD，∴OF＝OB﹣BF ＝BD ﹣BD ＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF ＝．26故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF ＝BD，OF ＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF 的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴△BOC 的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．12．（1）证明：连接CF，如图①所示：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，27∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF 中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AD＝DF+AF＝DF+BH，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝30°，∴AD ＝BD，∴DF+BH ＝BD；（2）解：图②猜想结论：DF+BH＝BD；理由如下：同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，28∴AD＝BD，∴DF+BH＝BD；图③猜想结论：DF+BH ＝BD；理由如下：同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝60°，∴AD ＝BD，∴DF+BH ＝BD．13．解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，∵∠AFE+∠CFE＝180°，29∴∠AGE＝∠CFE，∵∠GAE＝∠C＝45°，∴△AEG≌△CEF（AAS），∴AG＝CF；故答案为：AG＝CF；（2）AG ＝CF，理由：如图2，连接AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝90°，∠BAE＝∠C，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝180°，∵∠CFE+∠AFE＝180°，∴∠AGE＝∠CFE，∴△AGE∽△CFE，30∴，在Rt△ACE中，∵∠C＝30°，∴＝sin C ＝，∴＝，∴AG ＝CF；（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝3，AE＝BE，∵cos B ＝，∴BE ＝＝＝4，∴AE＝BE＝4，∴∠BAE＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠BAE，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，∵∠AFE+∠CFE＝180°，31∴∠CFE＝∠AGE，∴△CFE∽△AGE，∴＝，过A作AH⊥BC于点H，∵cos B ＝，cos45°＝，∵＞，∴∠B＜45°，∴E在H的左侧，∵cos B ＝，∴BH ＝AB ＝×6＝，∵AB＝AC，∴BC＝2BH＝9，∵BE＝4，∴CE＝9﹣4＝5，∵AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，∴＝，∴CF＝2.5；②当点G在BD上，如图4，同（1）可得，△CFE∽△AGE，∴＝，32∵AG＝AD+DG＝3+1＝4，∴＝，∴CF＝5，综上所述，CF的长为2.5或5．14．（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∵∠EAC+∠DAC＝180°，∴∠DBC＝∠EAC，∵BD＝AE，BC＝AC，33∴△BCD≌△ACE（SAS），∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠BCD+∠DCA＝90°，∴∠ACE+∠DCA＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE；②∵CD＝CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE ＝CD，∵DE＝AD+AE，AE＝BD，∴DE＝AD+BD，∴AD+BD ＝CD；（2）解：AD﹣BD ＝CD；理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠ADB＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，∴△CBD≌△CAE（SAS），34∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，即∠DCE＝90°，∴DE ＝＝＝CD，∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，∴AD﹣BD ＝CD．15．（1）证明：①∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵∠CDF+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠CDF；②作FH⊥BC交BC的延长线于H，则四边形FECH为矩形，∴CH＝EF，在△ACD和△DHF中，，35∴△ACD≌△DHF（AAS）∴DH＝AC，∵AC＝CB，∴DH＝CB，∴DH﹣CD＝CB﹣CD，即HG＝BD，∴BD＝EF；（2）BD＝EF，理由如下：作FG⊥BC交BC的延长线于G，∵∠CAD＝∠GDF，∠ACD＝∠DGF＝90°，∴△ACD∽△DGF，∴＝＝＝2，即DG＝2AC，GF＝2CD，∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴BC＝DG，GF＝CE，∴BD＝CG，∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，∴四边形FECG为矩形，∴CG＝EF，∴BD＝EF．3637。
2021年九年级数学中考一轮复习《解直角三角形》专题突破训练(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习《解直角三角形》专题突破训练（附答案）1．如图，已知AB 、CD 分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B 处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，那么大楼AB 的高度为（ ）A. 103米B. 203米C. 303米D. 60米2．小方发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得8CD =米， 16BC =米， CD 与地面成30︒角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆AB 的高度为（ ）．A. 9米B. ()83+米C. ()63+米D. ()1223+米3．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan C 的值为（ ）A. 12B. 55C. 53D. 255 4．如图所示是某游乐场“激流勇进”项目的示意图，游船从D 点水平运动到A 处后，沿着坡度为3:1i =的斜坡AB 到达游乐场项目的最高点B ，然后沿着俯角为030，长度为42m 的斜坡BC 运动，最后沿斜坡CD 俯冲到达点D ，完成一次“激流勇进”．如果037CDA AD ∠=，的长为()52213m +，则斜坡CD 的长约为（ ）．（参考数据： 000sin370.6cos370.8tan370.75≈≈≈，，）A. 36mB. 45mC. 48mD. 55m5．如图，在坡角为30的山坡FB 上有一座信号塔AB ，其右侧有一堵防护墙CD ，测得BD 的长度是30米，当光线AC 与水平地面的夹角为53时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE 的长为19米，则信号塔AB 的高度约为（ ）参考数据： sin370.60cos370.80tan370.753 1.73)≈≈≈≈，，，A. 35.5米B. 37.6米C. 38.6米D. 40.3米6．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝45，那么tan∠CDE 的值为（ ）A. 12B. 33C. 22D. 2－17．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，点E 为BD 的中点， 11805tan 2BAC BDC AB CD ACB ∠+∠===∠=，，，则AD = ______ ．8．在△ABC 中，AB=AC=10，cosB=35，如果圆O 的半径为210，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于__．9．如图，已知在Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒，点D 在AB 上， 5CD =， 8AC =， 3sin 5ACD ∠=，则BC =__________．10．如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B=30º．以点B为旋转中心，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么ADAC的值为．11．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D为AC上一点，若1tan4DBC∠=，则AD＝______。
中考数学专题训练(二)认识三角形 浙教版
认识三角形一、选择题（共16小题）1．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10° B．20° C．30° D．80°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°3．（襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°4．（晋江市）已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．（泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6．（河北）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20° B．30° C．70° D．80°7．（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．10°8．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°9．（2015•柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°10．（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°11．（2015•广西）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°12．（2015•甘孜州）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80° C．70° D．60°13．（黔南州）如图，点C在AB的延长线上，∠A=35°，∠DBC=110°，则∠D的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．95°14．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°15．（昆明）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85° B．80° C．75° D．70°16．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．130°D．180°二、填空题（共13小题）17．（河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是．18．（2015•枣庄）如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是．19．（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是度．20．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．21．（广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是°．22．（随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．23．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 度．24．（佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=．25．（上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．26．（怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= °．27．（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．28．（抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 度．29．（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题（共1小题）30．（六盘水）（1）三角形内角和等于．（2）请证明以上命题．浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（二）：认识三角形参考答案与试题解析一、选择题（共16小题）1．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10° B．20° C．30° D．80°【解答】解：∵∠1=100°，∠C=70°，∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．故选C．2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【解答】解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°，∴∠1=∠2﹣45°=15°，∴∠α=180°﹣∠1=165°．故选A．3．（襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．故选：C．4．（晋江市）已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°，、∴△ABC是直角三角形．故选：C．5．（泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．6．（河北）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20° B．30° C．70° D．80°【解答】解：a，b相交所成的锐角=100°﹣70°=30°．故选：B．7．（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．10°【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选A．8．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°【解答】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．9．（2015•柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1=130°﹣60°=70°．故选D．10．（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B．11．（2015•广西）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．12．（2015•甘孜州）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80° C．70° D．60°【解答】解：由三角形的外角性质得：∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°．故选C．13．（黔南州）如图，点C在AB的延长线上，∠A=35°，∠DBC=110°，则∠D的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．95°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠D=∠DBC﹣∠A=110°﹣35=75°．故选C．14．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°【解答】解：180°×==75°即∠C等于75°．故选：C．15．（昆明）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85° B．80° C．75° D．70°【解答】解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=70°×=35°，∴∠BDC=50°+35°=85°，故选：A．16．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．130°D．180°【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．二、填空题（共13小题）17．（河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．【解答】解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．18．（2015•枣庄）如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是30°．【解答】解：由三角形的外角性质得，a，b相交所成的锐角的度数是100°﹣70°=30°．故答案为：30°．19．（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是60 度．【解答】解：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为6020．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是75°．【解答】解：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．21．（广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140 °．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为：140．22．（随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．23．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 60 度．【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．24．（佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=75°．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故答案为：75°．25．（上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．26．（怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= 80 °．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．故答案为：80．27．（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 70°．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．28．（抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．【解答】解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．29．（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．三、解答题（共1小题）30．（六盘水）（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．【解答】解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．。
中考数学专项练习三角形(含解析)
中考数学专项练习三角形（含解析）一、单选题1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△AB C绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，现在点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A.30，2B.60，2C.60，D.60，2.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB、AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS3.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于M，N两点；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结D E，DF．若BD=6，AF=5，CD=3，则BE的长是（）A.7B.8C.9D.104.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作直线L的垂线，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，则AB的长为（）A.B.2C.3D.5.如图，工人师傅为了固定六边形木架ABCDEF，通常在AC，AD，D F处加三根木条，使其不变形，这种做法的依照是（）A.长方形的四个角差不多上直角B.长方形的对称性C.三角形的稳固性D.两点之间线段最短6.如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,△ABC的面积将()A.变大B.变小 C.不变 D.变大变小要看点C 向左依旧向右移动7.如图，、分别是、的中点，则（）2B.1∶3C.1∶4D.2∶38.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.49.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ÐADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为A.9B.12C.15D.1810.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）个B.6个C.8个D.10个二、填空题11.如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△A PB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=________．12.已知实数x，y满足|x﹣8|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________13.已知是关于x的方程的一个根，同时等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是那个方程的两个根，则△ABC的周长为_____ ___．14.如图，P是正△ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是________．15.已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有_____ ___①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）16.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么那个直角三角形斜边上的高为________cm．17.如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，则DE+DF=________．18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，AD⊥BC于点D，则△ACD与△ABC的面积比为________三、运算题19.依照问题进行运算：（1）运算：×﹣4××（1﹣）0；（2）已知三角形两边长为3，5，要使那个三角形是直角三角形，求出第三边的长．20.如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．21.在△ABC中，∠A=38°，∠B=70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．四、解答题22.如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东7 5°方向上，在海岛上的观看所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？23.如图，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形．求证：AC ⊥EG．五、综合题24.请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ，4 ，求：（1）画出△ABC并求出它的面积；（2）求出最长边上高．25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判定直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】含30度角的直角三角形，专门角的三角函数值，解直角三角形，旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=3 0°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2 ，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD= AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD= AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，∴S阴影= DF×CF= ×= ．故答案为：C．【分析】先依照已知条件求出AC的长及∠B的度数，再依照图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判定出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判定出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论。
中考数学《三角形》专题训练(附答案解析)
中考数学《三角形》专题训练(附答案解析)一单选题1．下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性四边形五边形六边形都具有不稳定性故选D．【点睛】本题考查三角形的特性牢记三角形具有稳定性是解题的关键．2．请你量一量如图ABC中BC边上的高的长度下列最接近的是()A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【答案】D【解析】作出三角形的高然后利用刻度尺量取即可．【详解】解：如图所示过点A作AO⊥BC用刻度尺直接量得AO更接近2cm故选：D．【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度作出三角形的高是解题关键．3．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm 则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5 而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时⊥3＋3＞5⊥3 3 5能组成三角形此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）当5是腰时⊥3＋5＞55 5 3能够组成三角形此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类进行讨论还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答这点非常重要也是解题的关键．4．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm2cm3cm B．3cm4cm5cmC．4cm5cm10cm D．6cm9cm2cm【答案】B【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边” 进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系知A1+2＝3 不能组成三角形故选项错误不符合题意B3+4＞5 能够组成三角形故选项正确符合题意C5+4＜10 不能组成三角形故选项错误不符合题意D2+6＜9 不能组成三角形故选项错误不符合题意故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3 4 8B．5 6 11C．5 6 10D．5 5 10【答案】C【解析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．【详解】+=<不能组成三角形此项不符题意解：A3478B5611+=不能组成三角形此项不符题意+=>能组成三角形此项符合题意C561110D5510+=不能组成三角形此项不符题意故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．6．如图在Rt△AB C中⊥C=90° ⊥B=56° 则⊥A的度数为（）A．34︒B．44︒C．124︒D．134︒【答案】A【解析】根据直角三角形的两个锐角互余即可得出⊥A的度数．【详解】解：⊥Rt△AB C中⊥C=90° ⊥B=56°⊥⊥A=90°-⊥B=90°-56°=34°故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余熟练掌握直角三角形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．7．若长度分别是a 3 5的三条线段能组成一个三角形则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 求出a 的取值范围即可得解．【详解】根据三角形的三边关系得5353a -<<+ 即28a << 则选项中4符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系 熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．8．（2021·山东泰安）如图 直线//m n 三角尺的直角顶点在直线m 上 且三角尺的直角被直线m 平分 若160∠=︒ 则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D 【解析】根据角平分线的定义求出⊥6和⊥7的度数 再利用平行线的性质以及三角形内角和求出⊥3 ⊥8 ⊥2的度数 最后利用邻补角互补求出⊥4和⊥5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分⊥⊥6=⊥7=45°A ⊥⊥1=60° ⊥6=45° ⊥⊥8=180°-⊥1-⊥6=180-60°-45°=75° m∥n ⊥⊥2=⊥8=75°结论正确 选项不合题意B ⊥⊥7=45° m ⊥n ⊥⊥3=⊥7=45° 结论正确 选项不合题意C ⊥⊥8=75° ⊥⊥4=180-⊥8=180-75°=105° 结论正确 选项不合题意D ⊥⊥7=45° ⊥⊥5=180-⊥7=180-45°=135° 结论错误 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义平行线的性质三角形内角和邻补角互补解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补．9．（2020·山东淄博）如图若⊥ABC⊥⊥ADE则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．⊥BAD＝⊥CAE C．AB＝AE D．⊥ABC＝⊥AED【答案】B【解析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：⊥⊥ABC⊥⊥ADE⊥AC＝AE AB＝AD⊥ABC＝⊥ADE⊥BAC＝⊥DAE⊥⊥BAC﹣⊥DAC＝⊥DAE﹣⊥DAC即⊥BAD＝⊥CAE．故A C D选项错误B选项正确故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．（2020·广东深圳）如图已知AB=AC BC=6 尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为⊥BAC的角平分线而AB=AC由等腰三角形的三线合一知D为BC重点BD =3故选B【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.11．（2020·福建）如图 面积为1的等边三角形ABC 中 ,,D E F 分别是AB BC CA 的中点 则DEF ∆的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14． 【详解】⊥,,D E F 分别是AB BC CA 的中点,且⊥ABC 是等边三角形⊥⊥ADF ⊥⊥DBE ⊥⊥FEC ⊥⊥DFE ⊥⊥DEF 的面积是14． 故选D ．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．12．（2020·四川巴中）如图 在ABC 中 120BAC ∠=︒ AD 平分BAC ∠ //DE AB 3AD = 5CE = 则AC 的长为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．7【答案】B 【解析】根据角平分线的性质可得到1602BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒ 然后由DE AB ∥可知60BAD ADE ∠=∠=︒ 从而得到60ADE EAD ∠=∠=︒ 所以ADE 是等边三角形 由AC AE CE =+ 即可得出答案．【详解】解：⊥120BAC ∠=︒ AD 平分BAC ∠ ⊥1602BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒ ⊥//DE AB⊥60BAD ADE ∠=∠=︒⊥60ADE EAD ∠=∠=︒⊥ADE 是等边三角形⊥3AE AD ==⊥5CE =⊥358AC AE CE =+=+=故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质 平行线的性质 等边三角形的判定和性质 熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键 属于基础综合题．13．（2020·广西贺州）如图 将两个完全相同的Rt ⊥ACB 和Rt ⊥A'C ′B ′拼在一起 其中点A ′与点B 重合 点C '在边AB 上 连接B ′C 若⊥ABC ＝⊥A ′B ′C ′＝30° AC ＝A ′C ′＝2 则B ′C 的长为（ ）A ．7B ．7C ．3D ．3【答案】A 【解析】先根据直角三角形的性质可得4,4,60AB A B B A C '''=''=∠=︒ 再根据勾股定理和角的和差可得3,90BC B BC '=∠=︒ 最后在Rt B BC '中 利用勾股定理即可得．【详解】解：⊥90,30,2ACB A C B ABC A B C AC A C ''''∠=∠''=︒∠=∠=︒=''=⊥4,4,60AB A B B A C '''=''=∠=︒ ⊥2223BC AB AC -= 90B BC ABC B A C ''''∠=∠+∠=︒则在Rt B BC '中 2222(23)427B C BC B B ''=+=+故选：A ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质勾股定理等知识点熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．14．（2020·四川广安）如图在五边形ABCDE中若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN则⊥l+⊥2的度数为（）A．210°B．110°C．150°D．100°【答案】A【解析】根据三角形的内角和定理可得⊥AMN＋⊥ANM=150° 根据平角的定义可得⊥1＋⊥AMN=180°⊥2＋⊥ANM=180° 从而求出结论．【详解】解：⊥⊥A=30°⊥⊥AMN＋⊥ANM=180°－⊥A=150°⊥⊥1＋⊥AMN=180° ⊥2＋⊥ANM=180°⊥⊥1＋⊥2=180°＋180°－（⊥AMN＋⊥ANM）=210°故选A．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用掌握三角形的内角和定理是解题关键．15．（2020·山东济南）如图在ABC中AB＝AC分别以点A B为圆心以适当的长为半径作弧两弧分别交于E F作直线EF D为BC的中点M为直线EF上任意一点．若BC＝4 ABC面积为10 则BM+MD长度的最小值为（）A．52B．3C．4D．5【答案】D【解析】由基本作图得到得EF垂直平分AB则MB＝MA所以BM+MD＝MA+MD连接MA DA如图利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC 然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB⊥MB＝MA⊥BM+MD＝MA+MD连接MA DA如图⊥MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）⊥MA+MD的最小值为AD⊥AB＝AC D点为BC的中点⊥AD⊥BC⊥110,2ABCS BC AD==⊥1025,4AD⨯==⊥BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质利用轴对称求线段和的最小值三角形的面积两点之间线段最短掌握以上知识是解题的关键．16．（2020·山东烟台）如图点G为ABC的重心连接CG AG并延长分别交AB BC于点E F 连接EF若AB＝4.4 AC＝3.4 BC＝3.6 则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4【答案】A【解析】由已知条件得EF是三角形的中位线进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．【详解】解：⊥点G为△ABC的重心⊥AE＝BE BF＝CF⊥EF＝12AC＝1.7故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心三角形的中位线定理关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．17．（2020·山东淄博）如图在⊥AB C中AD BE分别是BC AC边上的中线且AD⊥BE垂足为点F设BC＝a AC＝b AB＝c则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【答案】A【解析】【详解】设EF＝x DF＝y根据三角形重心的性质得AF＝2y BF＝2EF＝2x利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2 4x2+y2＝b2x2+4y2＝a2然后利用加减消元法消去x y得到a b c的关系．【解答】解：设EF＝x DF＝y⊥AD BE分别是BC AC边上的中线⊥点F为⊥ABC的重心AF＝AC＝b BD＝a⊥AF＝2DF＝2y BF＝2EF＝2x⊥AD⊥BE⊥⊥AFB＝⊥AFE＝⊥BFD＝90°在Rt⊥AF B中4x2+4y2＝c2⊥在Rt⊥AEF中4x2+y2＝b2⊥在Rt ⊥BF D 中 x 2+4y 2＝a 2 ⊥⊥+⊥得5x 2+5y 2＝（a 2+b 2） ⊥4x 2+4y 2＝（a 2+b 2） ⊥⊥﹣⊥得c 2﹣（a 2+b 2）＝0 即a 2+b 2＝5c 2．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．18．（2020·湖南益阳）如图 在ABC ∆中 AC 的垂直平分线交AB 于点D DC 平分ACB ∠ 若50A ∠= 则B 的度数为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40【答案】B 【解析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得⊥ACB 的度数 再根据三角形内角和求出⊥B 的度数．【详解】解：⊥DE 是AC 的垂直平分线⊥AD =CD ⊥ACD =⊥A =50°⊥DC 平分ACB ∠⊥⊥ACB =2⊥ACD =100°⊥⊥B =180°-100°-50°=30°故选：B ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质 角平分线的定义和三角形内角和定理 熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．19．（2021·广西河池）如图 40A ∠︒＝ CBD ∠是ABC 的外角 120CBD ∠︒＝ 则C ∠的大小是（ ）A ．90︒B ．80︒C ．60︒D ．40︒【答案】B 【解析】根据三角形的外角性质直接求解即可．【详解】CBD ∠是ABC 的外角 40A ∠︒＝ 120CBD ∠︒＝∴CBD A C ∠=∠+∠．1204080C CBD A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选B ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质 掌握三角形外角性质是解题的关键．20．（2021·黑龙江哈尔滨）如图 ABC DEC ≌△△ 点A 和点D 是对应顶点 点B 和点E 是对应顶点 过点A 作AF CD ⊥ 垂足为点F 若65BCE ∠=︒ 则CAF ∠的度数为（ ）A ．30B ．25︒C ．35︒D ．65︒【答案】B 【解析】由题意易得65ACF BCE ∠=∠=︒ 90AFC ∠=︒ 然后问题可求解．【详解】解：⊥ABC DEC ≌△△⊥ACB DCE ∠=∠⊥ACB ACE DCE ACE ∠-∠=∠-∠ 即ACF BCE ∠=∠⊥65BCE ∠=︒⊥65ACF BCE ∠=∠=︒⊥AF CD ⊥⊥90AFC ∠=︒⊥9025CAF ACF ∠=︒-∠=︒故选B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质 熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．21．（2021·广西贵港）如图 在AB C 中 ⊥ABC ＝90° AB ＝8 BC ＝12 D 为AC 边上的一个动点 连接BD E 为BD 上的一个动点 连接AE CE 当⊥ABD ＝⊥BCE 时 线段AE 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】如图 取BC 的中点T 连接AT ET ．首先证明90CEB ∠=︒ 求出AT ET 根据AE AT ET ≥- 可得结论．【详解】解：如图 取BC 的中点T 连接AT ET ．90ABC ∠=︒90ABD CBD ∴∠+∠=︒ABD BCE ∠=∠90CBD BCE ∴∠+∠=︒90CEB ∴∠=︒6CT TB ==162ET BC ∴== 22228610AT AB BT =++ AE AT ET ≥-4AE ∴≥AE ∴的最小值为4故选：B ．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质 勾股定理等知识 解题的关键是求出AT ET 的长 属于中考常考题型．22．（2021·辽宁本溪）如图 在ABC 中 AB BC = 由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E 点F 为BC 的中点 连接EF 若2BE AC == 则CEF △的周长为（ ）A 31B 53C 51D ．4【答案】C 【解析】根据作图可知BD 平分ABC ∠ AB BC = 由三线合一 解Rt BEC △ 即可求得．【详解】BD 平分ABC ∠,AB BC =,2BE AC ==BE AC ∴⊥,112AE EC AC === ∴2222215BC BE EC ++点F 为BC 的中点 ∴152EF BC FC === ∴CEF △的周长为:55151CE EF FC ++=+=+ 故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的概念 等腰三角形性质 勾股定理 直角三角形性质 求出BC 边是解题的关键．23．（2022·青海）如图 在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ D 是AB 的中点 延长CB 至点E 使BE BC = 连接DE F 为DE 中点 连接BF .若16AC = 12BC = 则BF 的长为（ ）A ．5B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】利用勾股定理求得20AB = 然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度结合题意知线段BF 是CDE △的中位线 则12BF CD =． 【详解】 解：在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 16AC = 12BC =2222161220AB AC BC ∴+=+=．又CD 为中线1102CD AB ∴==． F 为DE 中点 BE BC =即点B 是EC 的中点BF ∴是CDE △的中位线 则152BF CD ==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 三角形中位线定理 直角三角形斜边上的中线 利用直角三角形的中线性质求出线段CD 的长度是解题的关键．24．（2022·辽宁大连）如图 在ABC 中 90ACB ∠=︒ 分别以点A 和点C 为圆心 大于12AC 的长为半径作弧 两弧相交于M N 两点 作直线MN 直线MN 与AB 相交于点D 连接CD 若3AB = 则CD 的长是（ ）A ．6B ．3C ．1.5D ．1【答案】C 【解析】由作图可得：MN 是AC 的垂直平分线 记MN 与AC 的交点为G 证明,MN BC ∥ 再证明,AD BD = 可得AD BD CD == 从而可得答案．【详解】解：由作图可得：MN 是AC 的垂直平分线 记MN 与AC 的交点为G⊥,,,AG CG MNAC AD CD⊥90ACB ∠=︒,MN BC ∥ ⊥,AGAD CG BD⊥,AD BD =3,AB = 13 1.5.22CD AB 故选C【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质 平行线分线段成比例 证明AD BD CD ==是解本题的关键． 25．（2022·湖南）如图 点O 是等边三角形ABC 内一点 2OA = 1OB = 3OC = 则AOB ∆与BOC ∆的面积之和为（ ）A 3B 3C 33D 3【答案】C【解析】将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆ 连接OD 得到BOD 是等边三角形 再利用勾股定理的逆定理可得90COD ∠=︒ 从而求解．【详解】解：将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆ 连接ODOB OD ∴= 60BOD ∠=︒ 2CD OA ==BOD ∴∆是等边三角形1OD OB ∴== ∵2222134OD OC +=+= 2224CD ==222OD OC CD ∴+=90DOC ∴∠=︒ AOB ∴∆与BOC ∆的面积之和为2313311342BOC BCD BOD COD S S S S +=+=+⨯= 故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质 勾股定理的逆定理 旋转的性质等知识 利用旋转将AOB ∆与BOC ∆的面积之和转化为BOC BCD SS + 是解题的关键． 26．（2022·黑龙江）如图 ABC 中 AB AC = AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D 点E 是AB 的中点 点F 是DC 的中点 连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24 1.5PD = 则PE 的长是（ ）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．3【答案】A 【解析】连接DE 取AD 的中点G 连接EG 先由等腰三角形“三线合一“性质 证得AD ⊥BC BD =CD 再由E 是AB 的中点 G 是AD 的中点 求出S △EGD =3 然后证△EGP ⊥△FDP （AAS ） 得GP =CP =1.5 从而得DG =3 即可由三角形面积公式求出EG 长 由勾股定理即可求出PE 长．【详解】解：如图 连接DE 取AD 的中点G 连接EG⊥AB =AC AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D⊥AD⊥BC BD=CD⊥S△ABD=112422ABCS=⨯=12⊥E是AB的中点⊥S△AED=1112 22ABDS=⨯=6⊥G是AD的中点⊥S△EGD=116 22AEDS=⨯=3⊥E是AB的中点G是AD的中点⊥EG∥BC EG=12BD=12CD⊥⊥EGP=⊥FDP=90°⊥F是CD的中点⊥DF=12CD⊥EG=DF⊥⊥EPG=⊥FPD⊥⊥EGP⊥⊥FDP（AAS）⊥GP=PD=1.5⊥GD=3⊥S△EGD=12GD EG⋅=3 即1332EG⨯=⊥EG=2在Rt⊥EGP中由勾股定理得PE22222 1.5EG GP+=+故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质 三角形面积 全等三角形判定与性质 勾股定理 熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．27．（2022·四川乐山）如图 在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 5BC = 点D 是AC 上一点 连接B D ．若1tan 2A ∠= 1tan 3ABD ∠= 则CD 的长为（ ）A ．5B ．3C 5D ．2【答案】C 【解析】先根据锐角三角函数值求出25AC = 再由勾股定理求出5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E 依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE = 再由5AE BE +=得AE =2 DE =1 由勾股定理得AD 5 从而可求出C D ．【详解】解：在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 5BC = ⊥1tan 2BC A AC ∠== ⊥225,AC BC ==由勾股定理得,2222(25)(5)5AB AC BC =++=过点D 作DE AB ⊥于点E 如图⊥1tan 2A ∠=1tan 3ABD ∠= ⊥11,,23DE DE AE BE == ⊥11,,23DE AE DE BE == ⊥1123AE BE = ⊥32BE AE =⊥5,AE BE += ⊥352AE AE += ⊥2,AE =⊥1DE =在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ⊥2222215AD AE DE ++⊥25,AD CD AC +== ⊥2555,CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理 由锐角正切值求边长 正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 28．（2022·内蒙古包头）如图 在Rt ABC 中 90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒= 将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C '' 其中点A '与点A 是对应点 点B '与点B 是对应点．若点B '恰好落在AB 边上 则点A 到直线A C '的距离等于（ ）A ．33B ．23C ．3D ．2【答案】C 【解析】如图 过A 作AQ A C 于,Q 求解4,23,AB AC 结合旋转：证明60,,90,B A B C BC B C A CB 可得BB C '△为等边三角形 求解60,A CA 再应用锐角三角函数可得答案．【详解】解：如图 过A 作AQ A C 于,Q由90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒= 224,23,AB ACAB BC结合旋转： 60,,90,B A B C BC B C A CBBB C 为等边三角形60,30,BCB ACB60,A CA 3sin 6023 3.2AQ AC⊥A 到A C '的距离为3．故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质 含30的直角三角形的性质 勾股定理的应用 等边三角形的判定与性质 锐角三角函数的应用 作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．29．（2021·内蒙古鄂尔多斯）如图 在Rt ABC 中 90,8,6ACB AC BC ∠=︒== 将边BC 沿CN 折叠 使点B 落在AB 上的点B ′处 再将边AC 沿CM 折叠 使点A 落在CB '的延长线上的点A '处 两条折痕与斜边AB 分别交于点N M 则线段A M '的长为（ ）A ．95B ．85C ．75D ．65【答案】B【解析】利用勾股定理求出AB =10 利用等积法求出CN ＝245 从而得AN ＝325 再证明⊥NMC ＝⊥NCM ＝45° 进而即可得到答案．【详解】解：⊥90,8,6ACB AC BC ∠=︒==⊥AB 22226810AC BC ++⊥S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC⊥CN ＝245⊥AN 22222432855AC CN ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⊥折叠⊥AM ＝A'M ⊥BCN ＝⊥B'CN ⊥ACM ＝⊥A'CM⊥⊥BCN +⊥B'CN +⊥ACM +⊥A'CM =90°⊥⊥B'CN +⊥A'CM ＝45°⊥⊥MCN ＝45° 且CN ⊥AB⊥⊥NMC ＝⊥NCM ＝45°⊥MN ＝CN ＝245⊥A'M ＝AM ＝AN −MN ＝325-245=85． 故选B ．【点睛】本题考查了翻折变换 勾股定理 等腰直角三角形的性质 熟练运用折叠的性质是本题的关键．二 填空题30．（2022·云南）已知△ABC是等腰三角形．若⊥A=40° 则△ABC的顶角度数是____．【答案】40°或100°【解析】分⊥A为三角形顶角或底角两种情况讨论即可求解．【详解】解：当⊥A为三角形顶角时则△ABC的顶角度数是40°当⊥A为三角形底角时则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质此类题目难点在于要分情况讨论．31．（2022·青海西宁）如图在△AB C中⊥C=90° ⊥B=30° AB=6 将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′ B′C′交AB于点E则B′E=________．【答案】333【解析】根据已知可以得出⊥BAC=60° 而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15° 可知⊥C′AE=45° 可以求出AC=AC′=EC′=3 据此即可求解．【详解】解：在Rt△AB C中⊥ACB=90° ⊥B=30° AB=6则⊥BAC=60° AC=3 BC22-363将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后则⊥C′AC=15° AC= AC′=3 B′C′=BC3⊥⊥C′AE=45°而⊥AC′E=90° 故△AC′E是等腰直角三角形⊥AC=AC′=EC′=3⊥B′E= B′C′-EC33．故答案为：33．【点睛】本题考查旋转变换直角三角形30度角的性质等腰直角三角形的判定和性质勾股定理等知识解题的关键是熟练掌握基本知识．32．（2021·吉林长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放点D在边AC上//BC EF则ADE∠的大小为_______度．【答案】75︒∠利用平角为180︒即可求解．【解析】根据两直线平行得同位角相等根据三角形外角性质求得CDG【详解】、交于点G设DF BCBC EF//∴∠=∠F DGB=∠+∠=︒C CDG45∠=︒C30CDG∴∠=︒15∴∠=︒-︒-︒=︒180901575ADE故答案为75︒．【点睛】本题考查了平行线的性质三角形的外角性质平角的概念解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．△的周长为13 则33．（2020·湖北）如图在ABC中DE是AC的垂直平分线．若3AE=ABDABC的周长为______．【答案】19.【解析】由线段的垂直平分线的性质可得2,AC AE AD DC == 从而可得答案．【详解】 解： DE 是AC 的垂直平分线．3AE =26,,AC AE AD DC ∴===13,AB BD AD ++=ABC ∴的周长AB BC AC AB BD AD AC =++=+++13619.=+=故答案为：19.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质 掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．34．（2020·山东日照）如图 有一个含有30°角的直角三角板 一顶点放在直尺的一条边上若⊥2＝65°则⊥1的度数是_____．【答案】25°##25度【解析】延长EF 交BC 于点G 根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：如图 延长EF 交BC 于点G⊥直尺⊥AD ⊥BC⊥⊥2＝⊥3＝65°又⊥30°角的直角三角板⊥⊥1＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的性质熟练掌握知识点是解题的关键．35．（2020·江苏常州）如图在ABC中BC的垂直平分线分别交BC AB于点E F．若AFC△是等边三角形则B∠=_________°．【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到⊥B=⊥BCF再利用等边三角形的性质得到⊥AFC=60° 从而可得⊥B.【详解】解：⊥EF垂直平分BC⊥BF=CF⊥⊥B=⊥BCF⊥⊥ACF为等边三角形⊥⊥AFC=60°⊥⊥B=⊥BCF=30°.故答案为：30.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质等边三角形的性质外角的性质解题的关键是利用垂直平分线的性质得到⊥B=⊥BCF.36．（2020·辽宁辽宁）如图在ABC∆中M N分别是AB和AC的中点连接MN点E是CN的BC=则CD的长为_________．中点连接ME并延长交BC的延长线于点D若4【答案】2【解析】依据三角形中位线定理 即可得到MN =12BC =2 MN //BC 依据⊥MNE ⊥⊥DCE （AAS ） 即可得到CD =MN =2．【详解】解：⊥M N 分别是AB 和AC 的中点⊥MN 是⊥ABC 的中位线⊥MN =12BC =2 MN ⊥BC⊥⊥NME =⊥D ⊥MNE =⊥DCE⊥点E 是CN 的中点⊥NE =CE⊥⊥MNE ⊥⊥DCE （AAS ）⊥CD =MN =2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时 关键是选择恰当的判定条件．37．（2021·新疆）如图 在ABC 中 AB AC = 70C ∠=︒ 分别以点A B 为圆心 大于12AB 的长为半径作弧 两弧相交于M N 两点 作直线MN 交AC 于点D 连接BD 则BDC ∠=__________︒．【答案】80︒【解析】由等腰三角形 “等边对等角”求出ABC ∠ 再由垂直平分线的性质得到AD DB = 最后由三角形外角求解即可．【详解】 解：AB AC =,70C ∠=︒70ABC ∴∠=︒,40A ∠=︒ MN 垂直平分ABAD DB ∴=40ABD A ∴∠=∠=︒404080BDC A ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ．故答案为：80︒．【点睛】本题考查了等腰三角形性质 垂直平分线性质 三角形外角概念 能正确理解题意 找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．38．（2021·山东聊城）如图 在⊥AB C 中 AD ⊥BC CE ⊥AB 垂足分别为点D 和点E AD 与CE 交于点O 连接BO 并延长交AC 于点F 若AB ＝5 BC ＝4 AC ＝6 则CE ：AD ：BF 值为____________．【答案】12:15:10【解析】由题意得：BF ⊥AC 再根据三角形的面积公式 可得5432ABC SAD CE BF === 进而即可得到答案．【详解】解：⊥在⊥AB C 中 AD ⊥BC CE ⊥AB 垂足分别为点D 和点E AD 与CE 交于点O⊥BF ⊥AC⊥AB ＝5 BC ＝4 AC ＝6 ⊥111222ABC SBC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅ ⊥5432ABC S AD CE BF === ⊥CE ：AD ：BF =12:15:10故答案是：12:15:10．【点睛】本题主要考查三角形的高 掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．56．（2022·北京）如图 在ABC ∆中 AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【解析】作DF AC ⊥于点F 由角平分线的性质推出1DF DE == 再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图 作DF AC ⊥于点F⊥AD 平分BAC ∠ DE AB ⊥ DF AC ⊥⊥1DF DE == ⊥1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质 通过作辅助线求出三角形AC D 中AC 边的高是解题的关键． 39．（2022·山东青岛）如图 已知,,16,,ABC AB AC BC AD BC ABC ==⊥∠△的平分线交AD 于点E 且4DE =．将C ∠沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号） ⊥8BD =⊥点E 到AC 的距离为3 ⊥103=EM⊥EM AC ∥【答案】①④##⊥⊥【解析】根据等腰三角形的性质即可判断⊥ 根据角平分线的性质即可判断⊥ 设DM x = 则8EM x =- Rt EDM △中 222EM DM DE =+ 4DE =．继而求得EM 设AE a = 则4,8AD AE ED a BD =+=+= 根据AE AB ED BD = 进而求得a 的值 根据20443tan 83AD C DC +===4tan 3EDEMD DM ∠== 可得C EMD ∠=∠ 即可判断⊥【详解】解：⊥,,16,,ABC AB AC BC AD BC ==⊥△ ⊥182BD DC BC === 故⊥正确 如图 过点E 作EF AB ⊥于F EH AC ⊥于H,AD BC AB AC ⊥=AE ∴平分BAC ∠EH EF ∴=BE 是ABD ∠的角平分线,ED BC EF AB ⊥⊥EF ED ∴=4EH ED ∴== 故⊥不正确 .将C ∠沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合 ,8EM MC DM MC DM EM CD ∴=+=+== 设DM x = 则8EM x =-Rt EDM △中 222EM DM DE =+ 4DE =． ()22284x x -=+解得3x =5EM MC ∴==故⊥不正确设AE a = 则4,8AD AE ED a BD =+=+= ()22248AB a =++11221122ABE BDE AB EF AE BD SS BD ED ED BD ⨯⨯==⨯⨯ AE AB ED BD∴= 48a AB = 2AB a =∴()2248a ++()22a = 解得203a =或4a =-（舍去） 20443tan 83AD C DC +∴=== 4tan 3ED EMD DM ∠== C EMD ∴∠=∠EM AC ∴∥ 故⊥正确故答案为：①⊥【点睛】本题考查了解直角三角形 三线合一 角平分线的性质 掌握以上知识是解题的关键．40．（2022·河南）如图 在Rt ⊥AB C 中 ⊥ACB ＝90° 22AC BC == 点D 为AB 的中点 点P 在AC 上 且CP ＝1 将CP 绕点C 在平面内旋转 点P 的对应点为点Q 连接AQ DQ ．当⊥ADQ ＝90°时 AQ 的长为______．513135【解析】连接CD 根据题意可得当⊥ADQ ＝90°时 分Q 点在线段CD 上和DC 的延长线上 且1CQ CP == 勾股定理求得AQ 即可．【详解】如图 连接CD在Rt ⊥AB C 中 ⊥ACB ＝90° 22AC BC ==4AB ∴= CD AD ⊥122CD AB ∴== 根据题意可得 当⊥ADQ ＝90°时 Q 点在CD 上 且1CQ CP ==211DQ CD CQ ∴=-=-=如图 在Rt ADQ △中 2222215AQ AD DQ ++在Rt ADQ △中 2,3AD CD QD CD CQ ===+=22222313AQ AD DQ ∴=+=+513【点睛】本题考查了旋转的性质 勾股定理 直角三角形斜边上中线的性质 确定点Q 的位置是解题的关键． 41．（2022·青海西宁）矩形ABC D 中 8AB = 7AD = 点E 在AB 边上 5AE =．若点P 是矩形ABCD边上一点 且与点A E 构成以AE 为腰的等腰三角形 则等腰三角形AEP 的底边长是________． 【答案】245【解析】分情况讨论：⊥当AP =AE =5 点P 在边AD 上时 由勾股定理可求得底边PE 的长 ⊥当PE =AE =5 点P 在边BC 上时 求出BE 由勾股定理求出PB 再由勾股定理求出底边AP 即可．【详解】解：⊥矩形ABCD⊥⊥A =⊥B =90°分两种情况：当AP =AE =5 点P 在边AD 上时 如图所示：⊥⊥BAD =90°⊥PE 222255AP AE ++2当PE =AE =5 点P 在边BC 上时 如图所示：⊥BE =AB -AE =8-5=3 ⊥B =90°⊥PB 222253PE BE --⊥底边AP 22228445AB PB ++=综上 等腰三角形AEP 的底边长是5245【点睛】本题考查了矩形的性质 勾股定理 熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定 进行分类讨论是解决问题的关键．42．（2022·辽宁锦州）如图 在ABC 中 ,30AB AC ABC =∠=︒ 点D 为BC 的中点 将ABC 绕点D 逆时针旋转得到A B C ''' 当点A 的对应点A '落在边AB 上时 点C '在BA 的延长线上 连接BB ' 若1AA '= 则BB D '△的面积是____________．33【解析】先证明A AD ' 是等边三角形 再证明AO BC '⊥ 再利用直角三角形30角对应的边是斜边的一般分别求出A B ''和A O ' 再利用勾股定理求出OD 从而求得BB D '△的面积．【详解】解：如下图所示 设A B ''与BD 交于点O 连接A D '和AD⊥点D 为BC 的中点 ,30AB AC ABC =∠=︒⊥AD BC ⊥,A D B C '''⊥ A D '是B A C '''∠的角平分线 AD 是BAC ∠⊥120B A C ︒'''∠= 120BAC ︒∠=⊥60BAD B A D ︒'∠'=∠=⊥A D AD '=⊥A AD ' 是等边三角形⊥1A A AD A D ''===⊥18060BA B B A C ︒︒'''''∠=-∠=⊥BA B A AD '''∠=∠⊥//A B AD ''⊥AO BC '⊥ ⊥1122A O A D ''==⊥1314OD =-=⊥22A B A D '''==⊥30A BD A DO ︒''∠=∠=⊥BO OD = ⊥13222OB '=-= 23BD OD ==⊥113333222BB DS BD B O ''=⨯⨯==． 【点睛】本题考查等腰三角形 等边三角形和直角三角形的性质 证明A AD ' 是等边三角形是解本题的关键． 43．（2022·广西贵港）如图 将ABC 绕点A 逆时针旋转角()0180αα︒<<︒得到ADE 点B 的对应点D 恰好落在BC 边上 若,25DE AC CAD ⊥∠=︒ 则旋转角α的度数是______．【答案】50︒【解析】先求出65ADE ∠=︒ 由旋转的性质 得到65∠=∠=︒B ADE AB AD = 则65ADB ∠=︒ 即可求出旋转角α的度数．【详解】解：根据题意⊥,25DE AC CAD ⊥∠=︒⊥902565ADE ∠=︒-︒=︒由旋转的性质 则65∠=∠=︒B ADE AB AD =⊥65ADB B ∠=∠=︒⊥180665550BAD ︒-∠=︒=︒-︒⊥旋转角α的度数是50°故答案为：50°．【点睛】本题考查了旋转的性质 三角形的内角和定理 解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．44．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图⊥ 四边形ABCD 中 AB AD = 180B D ∠+∠=︒ 点E F 分别在BC CD 上 若2BAD EAF ∠∠= 则EF BE DF =+．【解决问题】如图⊥ 在某公园的同一水平面上 四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB == 60D ∠=︒ 120ABC ∠=︒ 150BCD ∠=︒ 道路AD AB 上分别有景点M N 且100m DM = )5031m BN = 若在M N 之间修一条直路 则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m （结果取整数 3 1.7≈）．【答案】370【解析】延长,AB DC 交于点E 根据已知条件求得90E ∠=︒,进而根据含30度角的直角三角形的性质 求得,EC EB ,AE AD 从而求得AN AM +的长 根据材料可得MN DM BN =+ 即可求解．【详解】解：如图 延长,AB DC 交于点E 连接,CM CN60D ∠=︒ 120ABC ∠=︒ 150BCD ∠=︒30A ∴∠=︒ 90E ∠=︒100DC DM ==DCM ∴是等边三角形60DCM ∴∠=︒90BCM ∴∠=︒。
备战中考数学分点透练真题三角形(解析版)
第十四讲三角形命题点1 三角形及边角关系1．（2021•宜宾）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．（2021•南京）下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2【答案】D【解答】解：A、∵1+1+1＝3＜5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；B、∵1+1+5＝7＜8，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；C、∵1+2+2＝5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；D、∵2+2+2＝6＞5，∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意；故选：D．3．（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是．【答案】4【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，又∵第三边的长是偶数，∴a为4．故答案为：4．4．（2021•大庆）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为．【答案】﹣3＜a＜﹣2【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，∴3＜1﹣a＜1﹣2a，∴a＜﹣2，∵这三个数为边长能构成三角形，∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，∴a＞﹣3，∴﹣3＜a＜﹣2，故答案为﹣3＜a＜﹣2．命题点2 三角形的内角和及内外角关系5．（2021•梧州）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（）A．32°B．36°C．40°D．128°【答案】A【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，20°+4∠C+∠C＝180°，5∠C＝160°，∠C＝32°．故选：A．6．（2021•湖北）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】D【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．7．（2021•陕西）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（）A．60°B．70°C．75°D．85°【答案】B【解答】解：∵∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C）＝180°﹣（25°+35°+50°）＝180°﹣110°＝70°，故选：B．8.（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【答案】B【解答】解：如图，∵∠2＝90°﹣30°＝60°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠1＝∠3＝75°，故选：B．9．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（）A．90°B．80°C．60°D．40°【答案】B【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．故选：B．10．（2021•盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．105°【答案】C【解答】解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：C．11．（2021•河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．证法1：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器测量所得）又∵135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．下列说法正确的是（）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，∴A的说法不正确，不符合题意；∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，∴B的说法正确，符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，∴C的说法不正确，不符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，∴D的说法不正确，不符合题意；综上，B的说法正确．故选：B．命题点3 三角形的重要线段类型一与中点有关的问题12．（2018•贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG【答案】B【解答】解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选：B．13．（2021•泰州）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N 分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是．【答案】0＜S≤2【解答】解：作ME⊥PN，如图所示，∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，∴S△PMN＝＝ME，∵AB与CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0∵ME≤MP＝2∴0＜S△≤2．故答案是：0＜S≤2．类型二与角平分线有关的问题14．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为．【答案】2.4【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.415．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定【答案】B【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．类型三与高有关的问题16．（2021•罗湖区）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．【答案】3﹣2【解答】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2OD•cos30°＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．命题点4 等腰三角形17．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．3【答案】B【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．15．（2021•赤峰）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D 的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B．18．（2021•青海）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．8B．6或8C．7D．7或8【答案】D【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，∴，解得：，当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D．19．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝．【答案】1【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1＝AC×PF+AB×PE，即1＝×2×PF+×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案为：1．20．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为．【答案】（，4）或（，4）或（10，4）【解答】解：设点P的坐标为（x，4），分三种情况：①PM＝P A，∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴PM＝x，P A＝，∵PM＝P A，∴x＝，解得：x＝，∴点P的坐标为（，4）；②MP＝MA，∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴MP＝x，MA＝＝，∵MP＝MA，∴x＝，∴点P的坐标为（，4）；③AM＝AP，∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴AP＝，MA＝＝，∵AM＝AP，∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），∴点P的坐标为（10，4）；综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．故答案为：（，4）或（，4）或（10，4）．21．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC ＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．【答案】（1）∠EBC＝60°，∠ABE＝20°（2）∠BEC+∠BDC＝110°【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°．命题点5 等边三角形22．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4【答案】C【解答】解：根据等边三角形：三线合一，设它的边长为x，可得：，解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故选：C．23．（2019•天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）【答案】B【解答】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH＝1，BH＝．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．24．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（）A．40°B．30°C．20°D．15°【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，∵△ACE为等边三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．故选：C．命题点6 直角三角形类型一勾股定理及其应用25．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【答案】C【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．26．（2020•广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸【答案】C【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．27．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．【答案】26【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．28．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为．【答案】（x﹣6.8）2+x2＝102【解答】解：设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，依题意得：AB2+BC2＝AC2,即（x﹣6.8）2+x2＝102．故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．类型二直角三角形的性质及计算29．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中点,AB＝4，∴CE＝BE＝,∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD＝,故选：A．30．（2018•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝65°，∵CE＝EB，∴DE＝CE＝EB，∴∠EDC＝∠ECD＝65°，∴∠DEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：D31．（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，32．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．【答案】北偏东50°【解答】解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．33．（2020•黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为．【答案】2．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝2CD，∵BC＝3，∴CD+2CD＝3，∴CD＝，∴DB＝2，故答案为：2．34．（2010•镇江）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD ＝50°，则∠A＝度，∠B＝度．【答案】50°，40°【解答】解：∵DE∥AB，∠ACD＝50°，∴∠A＝∠ACD＝50°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°．命题点7 等腰直角三角形35．（2019•成都）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC＝30°，又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，∴∠1＝45°﹣30°＝15°，故选：B．36．（2020•玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】A【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，∴∠DCA＝∠EAC＝35°，∵AE∥BF，∴CD∥BF，∴∠BCD＝∠CBF＝55°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，∴△ABC是直角三角形．∵∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAD＝45°，∴CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：A．37．（2021•扬州）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．故共有3个点，故选：B．38．（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）A．25cm2B．cm2C．50cm2D．75cm2【答案】C【解答】解：如图：设OF＝EF＝FG＝xcm，∴OE＝OH＝2x（cm），在Rt△EOH中，EH＝2x（cm），由题意EH＝20cm，∴20＝2x，∴x＝5，∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2）故选：C．39．（2020•德阳）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2+2D．2【答案】B【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4，∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故选：B．40.（2021•绵阳）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（）A．22°B．23°C．25°D．27°【答案】A【解答】解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN 于H，∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，∴四边形CMGN是矩形，∴CH＝CG＝MN，∵PC＝MN，存在两种情况：如图，CP＝CP1＝MN，①P是MN中点时，∴MP＝NP＝CP，∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMC＝∠PCM＝90°﹣50°＝40°，∴∠CPM＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵∠CPB＝117°，∴∠BPM＝117°﹣100°＝17°，∵∠PMC＝∠PBM+∠BPM，∴∠PBM＝40°﹣17°＝23°，∴∠ABP＝45°﹣23°＝22°．②CP1＝MN，∴CP＝CP1，∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，∵∠BP1C＝117°，∴∠BP1M＝117°﹣80°＝37°，∴∠MBP1＝40°﹣37°＝3°，而图中∠MBP1＞∠MBP，所以此种情况不符合题意．故选：A．。
中考数学总复习 第二篇 专题突破 专题五 三角形课件
BG＝4 2，则△ CEF 的周0
D．11.5
解析：由 AE 平分∠BAD 可知∠BAE＝∠DAE. 又 AD∥BC，有∠DAE＝∠BEA，则∠BAE＝∠BEA， 即△ ABE 为等腰三角形，AB＝BE＝6.又 BG⊥AE，在 Rt△ BGE 中，BE＝6，BG＝4 2，由勾股定理可得 GE ＝ BE2－BG2＝ 36－32＝2，所以 AE＝2GE＝4.由题 意可得△ ABE∽△FCE，又 CE＝BC－BE＝9－6＝3， ∴AEEF＝BEEC＝63，即 EF＝2，所以△ CEF 的周长为 CE ＋CF＋EF＝3＋3＋2＝8.
解析：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE.又 ∵CE∥AD，∴四边形 ACED 是平行四边形．∴DE＝ AC＝2.在 Rt△ CDE 中，DE＝ 2，CE＝4，由勾股定 理得 CD＝ CE2－DE2＝2 3.∵D 是 BC 的中点，∴ BC ＝2CD＝4 3.在△ ABC 中，∠ACB＝90°，由勾股定理 得 AB＝ AC2＋BC2＝ 2 13.∵D 是 BC 的 中 点 ， DE⊥BC，∴EB＝EC＝4.∴四边形 ACEB 的周长＝AC ＋CE＋EB＋BA＝10＋2 13.
＝12BC，则△ ABC 底角的度数为( C )
A．45°
B．75°
C．45°或 75° D．60°
9．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12， 则点 C 到 AB 的距离是( A )
A.
36 5
B.
12 25
C.
9 4
D.
33 4
10．如图，在钝角三角形
ABC 中，AB＝6 cm，AC＝
(2013·烟台)如图，一艘 海上巡逻船在 A 地巡航，这时接 到 B 地海上指挥中心北偏西 60° 方向的 C 地，有一艘渔船遇险， 要求马上前去救援，此时 C 地位于 A 地北偏西 30°方 向上，A 地位于 B 地北偏西 75°方向上，A，B 两地之 间的距离为 12 海里．求 A，C 两地之间的距离．(参考 数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45，结果精确到 0.1)
2024年中考数学一轮复习《解直角三角形及其应用》解答题专题突破训练
2024年春九年级数学中考一轮复习《解直角三角形及其应用》解答题专题突破训练（附答案）1．小明A，小刚B和小红C三人在水平地面上观察一棵大树D上的小鸟E（三人与大树在一条直线上，且树与水平地面垂直）．如图所示，∠EBC＝60°，∠ECB＝45°，求小红与小鸟的距离CE．2．如图，一楼房AB后有一假山，山坡斜面CD与水平面夹角为30°，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝10米，与亭子距离CE＝20米（结果保留根号）．3．如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，电力部门在公路的另一边竖立了一根为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线．已知两根杆子之间的距离为8m（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．4．如图，城A到城B之间有一座小山，它们之间的交通往往绕过小山到城C，B之间的直达公路，已知∠A＝45°，AC＝40千米，请计算AB的直线距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414，≈1.732）5．根据《YC城市总体规划（2021﹣2030年）》的要求，该市将推进YC轨道交通一号线的建设．如图，为加快施工进度，需在小山的另一边的点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）6．如图所示，我县某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量怀安河的宽度，小明同学在A处观测对岸C点，小英同学在距A处20米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（结果保留根号）7．数学兴趣小组利用所学知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据sin67，cos67°，tan67°，cos37°，sin37°，tan37°）8．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角1表示小红身高1.5米．当她从点A跑动米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，风筝的水平移动距离CF＝米，这一过程中风筝线的长度保持不变1D．9．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志着我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，经测量，∠BAC＝71.6°（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．10．古代为了保护家园，在城池的四周修护护城河，为了方便交通，图②是图①的平面图，其中BD为城墙，AD为吊绳，当收紧吊绳时，若DB⊥AB，AB＝8m，∠DBC＝30°，求此时CD的长度．（结果保留小数点后一位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，≈1.73）11．某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管AE与支架所在直线相交于点F，FB＝FD＝25cm，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝37°，∠DEC＝53°（参考数据sin37°≈0.6，sin53°≈0.8，结果精确到0.1m）．12．为了让乘客有良好的候车环境，某市在公交站牌旁投放大量的候车亭（如图1），其结构示意图的侧面如图2所示，且支柱DC垂直于地面DG，顶棚横梁AE长为1.5m，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，此时测量得镶接点B 与点E的距离为0.35m．根据以上测量数据，求点A到地面DG的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）13．汉书《淮南万毕术》记载：取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻．如图1，利用高挂上面的镜子所成的像，再反射到水盆中，用几何图形表示如图2，已知点E，B，N，点C 在围墙MN的正上方，MN⊥BD于点N，∠ABE＝∠CBN＝60°，∠BCD＝80°，BN＝3BE，求点D到墙脚N的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.73）14．冬天的阳光在这样寒冷的季节深受人们的喜爱，繁华的城市里高楼林立，小丽家住在一楼太阳很少能光顾她家．如图所示，小丽家住在B楼，B楼坐落在A楼的正北面（1）如果A，B两楼相距20m，冬至中午12时住在B楼的人多少米以上才能晒到太阳？（2）为了打造更舒适的小区环境，让住在一楼的小丽在冬至中午12时也正好能晒到太阳，两楼的距离至少应是多少米？（结果保留根号）15．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，鱼线BO＝5.46m，点O 恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）16．如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图，已知台灯灯管DE长40cm，灯杆CD长50cm，灯杆CD与写字台AB的夹角即∠DCB＝75°．（1）求台灯灯管DE与水平线的夹角（锐角）？（2）求灯管顶端E到写字台AB的距离，即EF的长？（台灯底座的宽度、高度都忽略不计，A，F，C，B在同一条直线上，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73；结果精确到0.1cm）17．如图是测温员使用测温枪的侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm （即MP的长度）（1）求∠PMB的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）18．如图，警务员甲骑电瓶车从A出发，以20km/h的速度沿A→B→C方向巡逻，∠BDC ＝45°，BD＝10km（1）警务员甲需要多少分钟到达C处？（2）警务员甲出发15min后，警务员乙开警车以50km/h的速度沿A→D→C方向巡逻．试问：甲、乙两人谁先到达C处？（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.499）19．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°（1）求扶手前端D到地面的距离；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，DF＝20cm，EF∥AB，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）20．如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅．把折叠椅完全平躺时如图2，长度MC＝180厘米，B是CM上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，AB∥ME，椅背BC与水平线成30°角，其与地面的夹角不得小于30°．（1）若点B恰好是MC的黄金分割点（MB＞BC），人躺在上面才会比较舒适，求此时点C与地面的距离．（结果精确到1厘米）（2）午休结束后，老师会把和伸缩支架BP收起紧贴AB，在（1）的条件下（结果精确到1厘米）（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）参考答案1．解：∵∠EBD是△ABE的一个外角，∠EAC＝30°，∴∠AEB＝∠EBC﹣∠EAC＝30°，∴AB＝BE＝20（米），在Rt△BED中，∠EBC＝60°，∴ED＝BE sin60°＝20×＝10，在Rt△EDC中，∠ECD＝45°，∴EC＝＝＝10，∴小红与小鸟的距离CE为10米．2．解：过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，CE＝20∴EF＝10，CF＝EF＝10，过点E作EH⊥AB于点H．则HE＝BF．在Rt△AHE中，∠HAE＝45°，∴AH＝HE，又∵BC＝10米，∴HE＝（，∴AB＝AH+BH＝10+10+10＝20+10答：楼房AB的高为（20+10） 米．3．解：作DF⊥AE于点F，则四边形ABDF是矩形，EF＝AE﹣AF＝AE﹣BD＝12﹣6＝6（m）．在直角△DEF中，DE＝＝．在直角△BCD中，sin∠DCB＝，则DC＝＝BD＝8．则电线CDE的总长L＝DE+DC＝10+4（m）．答：电线CDE的总长L是（10+4）m．4．解：过C作CD⊥AB于D，∵∠A＝45°，∠C＝98°，∴∠B＝180°﹣45°﹣98°＝37°，在Rt△ACD中，∵AC＝40，∠A＝45°，∴DC＝AD＝AC•sin45°＝20≈28.28，在Rt△BCD中，BD＝＝≈37.7，∴AB＝AD+DB＝28.28+37.8≈66.0（千米）答：AB的直线距离约为66.0千米．5．解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠D＝50°，∴∠E＝∠ABD﹣∠D＝140°﹣50°＝90°，在Rt△BDE中，BD＝560米，∴DE＝BD•cos∠D＝560×cos50°≈560×0.64＝358.4（米），答：点E与点D间的距离是358.4米．6．解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x，在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝x，∴x＝x+20，解之得：x＝10+10（米）．答：河宽为（10+10）米．7．解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH．设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝，∴AE＝，BE＝．∵AE﹣BE＝AB，∴﹣＝10，即﹣，解得：x＝7，∴DE＝8m，∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+6m＝10m．答：GH的长为10m．8．解：设AF为x米，在Rt△BEF中，BE＝＝x+18）米，由题意得：BE＝AD＝（x+18）米，在Rt△ADC中，cos30°＝＝＝，∴x＝3+2，∴AD＝18+×（3）＝（24+2）米，∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴DC＝AD＝（12+，∴C8D＝DC+CC1＝12++5.5＝（13.5+，∴风筝原来的高度C1D为（13.5+）米．9．解：作EF⊥AC于F，设AF＝x，∴FCDE是一个矩形，∴FC＝ED＝6m，EF＝DC，在Rt△AEF中，∠EAC＝80.6°，∴tan∠EAC＝，∴EF＝AF•tan∠EAC＝x•tan80.6°＝6.04x，在Rt△ABC中，∠BAC＝71.6°，tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝（x+2°＝3.01（x+2）＝3.01x+18.06，∵BC+CD＝BC+EF＝BD＝315，∴3.01x+18.06+4.04x＝315，即9.05x＝296.94，x≈32.81≈33，∴AC＝AF+FC＝AF+ED＝33+6＝39（m），答：舰岛AC的高度是39m．10．解：作DE⊥BC于E，如图所示：∵∠DBC＝30°，∴DE＝BD DE，由题意得：BC＝AB＝8，设DE＝x，则BE＝x x，∵tan∠DCB＝tan37°＝，∴≈8.75＝，解得：x≈6.61，即DE≈2.61，又∵sin∠DCB＝sin37°＝，∴CD≈≈4.4（m）；答：此时CD的长度约为4.4m．11．解：∵CD⊥AE，CD＝85cm，∴sin E＝＝＝0.8，解得：CD＝68cm，∴CF＝CD+DF＝93cm，在Rt△ACF中，sin A＝＝，解得：AF＝155cm，∴AB＝AF﹣BF＝130cm．答：真空集热管AB的长度为130cm．12．解：连接EC，根据题意知，∠EBC＝45°，∠ECB＝30°，过点E作EP⊥BC于点P，∴EP＝BE×sin45°≈0.25m，∴CE＝2EP＝7.5m，过点A作AF⊥DG于点F，过点E作EM⊥AF于点M，∴AM＝AE×sin15°，∴AF＝AM+CE+DC＝AE×sin15°+2BE×sin45°+6.1≈0.39+5.50+2.1＝2.99≈3.0（m），∴点A到地面DG的距离为6.0m．13．解：延长NM，点C在NM的延长线上，在Rt△AEB中，BE＝AB•cos∠ABE＝0.8（米），∴BN＝2BE＝2.4（米），在Rt△BNC中，CN＝BN•tan∠CBN＝7.4×，在Rt△NCD中，∠NCD＝80°﹣30°＝50°，答：D到墙脚N的距离约为4.9米．14．解：（1）如图，过D作DE⊥CG于E，∵ED＝20，∠CDE＝30°，∴CE＝DE•tan30°＝20×＝20m．故DF＝EG＝CG﹣CE＝32﹣20＝12m．（2）A楼的影子刚好不落在B楼上，GH＝m．15．解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，垂足为E，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣7.4＝4.6（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝3.8+1.5＝3（m），又，∴，即CF＝3m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.6＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为6.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝7.88﹣0.4＝3.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+3.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即点O到岸边的距离为4.58m．16．解：（1）如图，过点D作DH∥AB，则DH⊥EF，∵DH∥AB，∴∠CDH＝∠DCB＝75°，∵∠EDC＝105°，∴∠EDH＝105°﹣75°＝30°，答：台灯灯管DE与水平线的夹角为30°．（2）过点D作DG⊥AB于G，由题意得，四边形DHFG是矩形，∴DG＝HF，在Rt△DCG中，∵sin∠DCG＝，∴DG＝DC•sin75°＝50×0.97＝48.5，在Rt△EDH中，∵sin∠EDH＝，∴EH＝DE•sin30°＝40×＝20，∴EF＝EH+HF＝20+48.5＝68.6（cm）．答：灯管顶端E到写字台AB的距离是68.5cm．17．解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，得矩形ABHP，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.6cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝3.4，∴∠BMH＝66.4°，∴∠PMB的度数为66.4°；（2）延长PM交FG于点I于点K，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.2°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴MI＝MN＝14，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝6.90≈4.9（cm），∵2.9＜5，∴此时枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．18．解：（1）如图，过点E作CE⊥BD于E，∴∠BEC＝∠DEC＝90°，设AB＝x，则BC＝2x，在Rt△BCE中，∠CBD＝30°，∴BE＝BC•cos30°＝x，CE＝x，在Rt△DCE中，∠EDC＝45°，∴DE＝＝x，∵BE+DE＝BD＝10km，∴x+x＝10，解得：x＝AB＝5（﹣2）km，∴BC＝2AB＝10（﹣6）km，∴≈32.94（min），∴警务员甲需要32.94分钟到达C处；（2）警察乙先到达C处．理由：如图，过点A作AF⊥BD于F，∴∠BFA＝∠DFA＝90°，在Rt△BFA中，∠ABF＝30°，∴AF＝AB•sin30°＝（km），BF＝AB•cos30°＝（km），∴DF＝10﹣＝（km），在Rt△DFA中，AD＝＝5，在Rt△CDE中，∠EDC＝45°，由（1）知CE＝5（﹣1）km，∴CD＝＝4（，∴＝≈29.694＜32.94，∴警察乙先到达C处．19．（1）如图2，过C作CM⊥AB，又过D作DN⊥AB，垂足为N，垂足为G．∵AC＝BC＝60cm，AC、60°，∴∠A＝∠B＝30°，则在Rt△AMC中，CM＝．∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝，∴DG＝CD⋅sin∠DCG＝50⋅sin60°＝＝（cm）．又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5 ，∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5＝+30+5＝35+；（2）∵EF∥CG∥AB，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，∴FH＝20cm，如图8，过E作EQ⊥FH，设FQ＝x，在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝，在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，∴HQ＝EQ＝，∵HQ+FQ＝FH＝20cm，∴+x＝20，解得x＝．∴EF＝2（）＝．答：坐板EF的宽度为（）cm．20．解：（1）∵点B是MC的黄金分割点（MB＞BC），∴＝≈0.6，＝，∵MC＝180厘米，∴BC≈3.4×180≈72厘米，CE＝CD+DE＝MA•sin45°+BC•sin30°＝50×+72×．答：此时点C与地面的距离约为71厘米．（2）∵30°＜∠BPM，且∠BPM＜90°（物理力学知识得知），∴sin∠BPM在其取值范围内为单调递增函数，又∵BP＝，∴当∠BPM接近30°时，BP最大＝≈70厘米．答：伸缩支架BP可达到的最大值约为70厘米．。
2019中考数学 专题突破导练案 第五讲 三角形试题.doc
2019中考数学专题突破导练案第五讲三角形试题【专题知识结构】【专题解题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.【典型例题解析】例题1: (2017山东东营)如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴=（）2=，∴EC：BC=1：，∵BC=，∴EC=，∴BE=BC﹣EC=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与阴影部分为相似三角形．例题2: ( 2017宁夏)在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为8 ．【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，∴DM=AC=3，∵ME=DM，∴ME=1，∴DE=DM+ME=4，∵D是AB的中点，DE∥BC，∴BC=2DE=8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例题3：(2017上海)一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是45 ．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．例题4：(2017上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD 高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得===，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，∴AB===3，∴sinB===．（2）∵EF∥AD，BE=2AE，∴===，∴==，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt△DEF中，DE===5．【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例题5：(2017年湖南郴州)如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．【解答】解：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，∵∠PBH=∠PAB+∠APB，∴BA=BP=120，在Rt△PBH中，sin∠PBH=，∴PH=PBsin60°=120×≈103.80，∵103.80＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．例题6：(2017年湖南郴州)如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【达标检测评估】一、选择题：1.（2016·山东省滨州市·3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】计算题．【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．3.（2016·山东省德州市·3分）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．45°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB于点E，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=BC=3．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．5. (2017哈尔滨)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：（A）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；（B）∵DE∥BC，∴，故B错误；（C）∵DE∥BC，，故C正确；（D））∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴=，故D错误；故选（C）二、填空题：6.（2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．7. (2017上海)如图，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设=， =，那么向量用向量、表示为+2 ．【分析】根据=+，只要求出即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴==，∴ED=2AE，∵=，∴=2，∴=+=+2．【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题．8. (2017山东威海)如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，求出∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，∵∠PAB=∠ACP，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，如图所示：此时PA=PC，则AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，∴PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，∴PB=BD﹣PD=﹣=；故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．9. (2017山东东营)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米．【分析】在Rt△BCD中有BD=，在Rt△ACD中，根据tan∠A==可得tanα=，解之求出CD即可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴BD=，在Rt△ACD中，∵tan∠A==，∴tanα=，解得：CD=，故答案为：．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据两直角三角形的公共边利用三角函数建立方程求解．三、解答题：10. (2017年湖南郴州)已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．【解答】证明：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵点D、E分别是AB、AC的中点．∴AD=AE，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．11.．(2017哈尔滨)已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）12.(2017杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．13.．(2017山东东营)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠B AC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x，x=2﹣2，代入y=x+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．。
(中考数学二轮强化专题)第05讲 三角形综合题
知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半知识点二：三角形全等的性质与判定1.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.知识梳理第5讲三角形综合题2.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.3.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.知识点三：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点四：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.2.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB. （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点五：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc精讲精练【类型1】：三角形中有关角的综合问题【例题解析】：（1）如图①，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；（2）如图②，求证：∠AGF=∠AEF+∠F；（3）如图③，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F的度数．【名师点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．【变式练习】已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC= ，∠BQC= ；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．【类型2】：全等三角形的综合问题【例题解析】：在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）【变式练习】如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用的代数式表示PC的长度；（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【名师点拨】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．【类型3】：等腰三角形的综合问题【例题解析】：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．【名师点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练地应用等腰三角形的性质是解决问题的关键．【变式练习】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【类型4】：等边三角形的性质与判定综合应用【例题解析】：如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF．（1）证明：△DEF是等边三角形；（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求的值．【变式练习】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【名师点拨】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．【类型5】：平面展开——最短路径问题【例题解析】：如图，长方体底面是长为2cm 宽为1cm的长方形，其高为8cm．（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少？（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要多少？【名师点拨】本题考查平面展开图、最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，灵活运用勾股定理解决问题．【变式练习】如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm ，底面圆的直径为cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）【名师点拨】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式解出．1.全等三角形解决问题的常见技巧：（1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．方法总结2.等腰三角形解题技巧：（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3.等边三角形常用方法与思路：（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．1. 如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．72. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为（ ）A ．40°B ．36°C ．80°D ．25°Rt ABC ∆90C∠=ABC ∆ABC ∆巩固练习 A B C D3.如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（）A． B．C. D．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．605.在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠F AE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（）A．7°B．21°C．23°D．24°6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A．5B．6C．7D．8,ABC AB AC=B BCAC EAE EC=AE BE=EBC BAC∠=∠EBC ABE∠=∠12127. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68.如图△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，则DE 的长为 ．9.在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD=2cm ，OE=4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．10.如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．11. △ABC 中，AB =5，AC =3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是 ．()221a b +=1OB =OB 1A BO 1OA 21A AO n OA12. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE =∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC =8，AB =10，则CD 的长为 ．13. 如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，ME AD ⊥且交AC 的延长线于E ，12CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．14. 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．M DC B A15. 在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．C D B PA。
近年中考数学 专题突破导练案 第五讲 三角形试题(2021年整理)
2018中考数学专题突破导练案第五讲三角形试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018中考数学专题突破导练案第五讲三角形试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第五讲三角形【专题知识结构】【专题解题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段;全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理,线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割,相似三角形的性质及判定,相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想;常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等。
【典型例题解析】例题1: （2017山东东营）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（)A． B． C． D．﹣【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴=（）2=，∴EC：BC=1：，∵BC=，∴EC=，∴BE=BC﹣EC=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与阴影部分为相似三角形．例题2：（ 2017宁夏）在△ABC中,AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E,点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时,则BC的长为8 ．【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点,∴DM=AC=3,∵ME=DM,∴ME=1，∴DE=DM+ME=4,∵D是AB的中点,DE∥BC，∴BC=2DE=8,故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例题3:（2017上海）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 )，如果EF∥AB,那么n的值是45 ．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解答】解:①如图1中,EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°,∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型．例题4:（2017上海)如图,一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米,中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．(1）求sinB的值；（2)现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE,且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE 的长．【分析】(1）在Rt△ABD中,利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可;（2）由EF∥AD，BE=2AE,可得===，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题;【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，∴AB===3，∴sinB===．（2）∵EF∥AD,BE=2AE，∴===，∴==，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt△DEF中，DE===5．【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例题5：(2017年湖南郴州）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路(即线段AC），经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据:≈1.73)【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．【解答】解:结论;不会．理由如下：作PH⊥AC于H．由题意可知：∠EAP=60°,∠FBP=30°，∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，∵∠PBH=∠PAB+∠APB，∴∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=120,在Rt△PBH中，sin∠PBH=,∴PH=PBsin60°=120×≈103。
三角形中的数量和位置关系-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练02三角形中的数量和位置关系1.如图1，AC⊥CH于点C ，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）．（1）延长ED交CH于点F ，求证：FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM ，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明．【答案】（1）如图1中，∵△ADE由△ABC旋转得到，∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，AF=AF∴△ACF≌△ADF(HL)，∴∠AFC=∠AFD，FA平分∠CFE；（2）结论：2DM+√3AD=DE，理由如下：如图2中，延长AD交BC于F，连接CD，∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∠CAF＝60°，∴∠AFC＝30°，∴AD＝AC＝1AF，2∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AB的中点，FB，即FB=2DM∴DM＝12在Rt△AFC中，FC＝√3AC= √3AD，∵DE=CB=FB+FC，∴FB+FC=2DM+√3AD∴2DM+√3AD=DE．2.在ΔABC中，∠ACB=45°，D（与点B，C不重合）为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，直线DE与AC相交于点F，连接CE．（1）如图1，如果AB=AC．①直线CE与BD之间的位置关系是________；②线段AF，CF，DF，EF的数量关系是________．（2）如图2，如果AB≠AC，（1）中的结论是否还成立，为什么？（3）若AC=4，AD=3√2，求AF的长．【答案】（1）解：①CE与BD位置关系是垂直；证明如下：∵AB=AC，∠ACB=45°，∴∠ABC=45°．由等腰直角三角形ADE得AD=AE，∠AED=45°∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ACE=∠ABC=45°．∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°．即CE⊥BD．②线段AF，CF，DF，EF的数量关系是AF·FC=EF·DF 理由：∵∠AED=∠ACB=45°，∠AFE=∠DFC∴△AFE∽△DFC∴AFDF =EFFC∴AF·FC=EF·DF（2）解：（1）中的结论还成立，理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG，∠AGC=45°，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，∴∠GAD=∠CAE，又∵DA=EA，∴△GAD≌△CAE，∴∠ACE=∠AGD=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BD．∵∠AED=∠ACB=45°，∠AFE=∠DFC ∴△AFE∽△DFC∴AFDF =EFFC∴AF·FC=EF·DF（3）解：过A作AM⊥BC于M,∵∠ACB=45°，∴△AMC是等腰直角三角形，∴AM=CM=√22AC=2√2∴DM=√AD2−AM2=√(3√2)2−(2√2)2=√10∴CM=√AC2−AM2=√42−(2√2)2=2√2∴CD=CM-DM= √10−√2∵△AFE∽△DFC∴AEDC =AFFC∴√210−2=AF4−AF∴FA=12√5−24；3.回答下列问题．（1）（问题提出）如图1，ΔABC与ΔADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD=CE；图1（2）（类比延伸）如图2，ΔACB与ΔDCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE填空：∠AEB的度数为________，线段EB与AD之间的数量关系为________．图2（3）（拓展研究）如图3，ΔACB与ΔDCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM⊥DE 于点M，连接BE．请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．图3【答案】（1）解：∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE在ΔBAD和ΔCAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴ΔBAD≌ΔCAE(SAS)，∴BD=CE．（2）60°，EB=AD；∵ΔACB和ΔDCE均为等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB 即∠ACD=∠BCE，在ΔACD和ΔBCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴ΔACD≌ΔBCE(SAS)，∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180−60=120°∴∠BEC=120°，∠AEB=∠BEC−∠CED=120−60=60°；（3）解：∵ΔACB和ΔDCE均为等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在ΔACD和ΔBCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴ΔACD≌ΔBCE(SAS)，∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180−45=135°∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，∴CM=DM=EM，∴DE=DM+EM=2CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM，即线段CM，AE，BE之间的数量关系为AE=BE+2CM．4.八年级数学课上，老师出示了如图框中的题目．小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答（1）特殊情况入手探索：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE________ DB（填“ >”，“ <”或“ =”）（2）一般情况进行论证：对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与ΔEBD全等来证明．以下是他们的部分证明过程：证明：如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F．（请完成余下的证明过程）（3）应用结论解决问题：在边长为3的等边三角形ABC中，点E在直线AB上，且AE=1，点D在直线BC上，ED= EC．则CD=________（直接写出结果）【答案】（1）当点E为AB的中点时，如图1，结论：AE=DB，理由：∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，∴∠BCE=30°，∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°，∵∠ABC=60°，∴∠D=∠BED=30°，∴BD=BE，∵AE=BE，∴AE=DB；（2）解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB，理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠AEF=∠AFE=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∵DE=CE，∴∠D=∠BCE，∴∠D=∠CEF，∵∠ABC=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，在△DBE和△EFC中，{∠D＝∠CEF∠DBE＝∠EFCDE＝CE，∴△DBE ≅△EFC（AAS），∴EF=DB，∴AE=DB；（3）∵AE=1，ΔABC的边长为3，∴E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，当点E在AB时，由（2）可知BD=AE=1，则CD=BC+BD=1+3=4，当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF//BC，交CA的延长线于点F，∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵EF//BC，∴∠F=∠FCB=∠B=60°，∠FEC+∠ECD=∠EDC+∠EDB=180°∴∠EDB=∠FEC，ΔAEF是等边三角形，∴AE=EF．在ΔBDE和ΔFEC中，{∠F=∠B∠FEC=∠EDBEC=DE∴ΔBDE≅ΔFEC(AAS)∴EF=BD∴BD=EF=AE=1∴CD=BC−BD=3−1=25.如图，在四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O.（1）若点O在四边形ABCD的内部，①如图，若AD//BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE=（）；②如图，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来.（2）如图，若点O是四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系.【答案】（1）①∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，∴∠AEC=110°，∴∠DOE=360°-110°-70°-55°=125°；故答案为125；②∵AE平分∠BAD∴∠DAE=12∠BAD∵DO平分∠ADC∵∠ADO=12ADC∴∠DAE+∠ADO=12∠BAD+12ADC=12(∠BAD+∠ADC)∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°∴∠BAD+∠ADC=360°−∠B−∠C∴∠DAE+∠ADO=12(360°−∠B−∠C)=180°−12∠B−12∠C∴∠AOD=180°−(∠DAE+∠ADO)=12∠B+12∠C∴∠DOE=180°−∠AOD=180°−12∠B−12∠C.（2）∠DOE=12∠B+12∠C6.如图1，在四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC，∠ABC=2∠EBF，它的两边分别交AD、DC点E,F．且AE≠CF．（1）求证：EF=AE+CF.（2）如图2，当∠MBN的两边分别交AD,DC的延长线于点E,F，其余条件均不变时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）证明：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，如图所示：∵AB⊥AD,BC⊥CD，∴∠A=∠BCH=90°，在ΔBCH和ΔBAE中{BC=BA∠BCH=∠ACH=AE，∴ΔBCH≌ΔBAE(SAS)，∴BH=BE,∠CBH=∠ABE，∵∠ABC=2∠EBF，∴∠ABE+∠CBF=∠EBF，∴∠HBC+∠CBF=∠EBF，∴∠HBF=∠EBF在ΔHBF和ΔEBF中{BH=BE∠HBF=∠EBFBF=BF，∴ΔHBF≌ΔEBF(SAS)∴HF=EF，∵HF=HC+CF=AE+CF∴EF=AE+CF；（2）解：不成立，AE=CF+EF，理由如下：在AE上截取AH=CF，连接BH，如图所示：∵AB⊥AD,BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，∵AB=CB，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，∵∠ABC=2∠EBF，∠EBF=∠CBF+∠CBE，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH，∴∠EBF=∠EBH，∵EB=EB，∴△EBF≌△EBH（SAS），∴CF=AH，EF=EH，∵AE=AH+HE，∴AE=CF+EF．7.如图①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB="AC," AE是过A的一条直线, 且B、C在AE的异侧, BD⊥AE 于D, CE⊥AE于E.（1）求证: BD=DE+CE.（2）若直线AE绕A点旋转到图②位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请给予证明；（3）若直线AE 绕A 点旋转到图③位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达BD 与DE,CE 的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90° ∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE {∠ADB =∠CEA ∠ABD =∠CAE AB =AC∴△ABD ≌△ACE ∴BD=AE,AD=EC ∴BD=DE+CE（2）解：∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90° ∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE {∠ADB =∠CEA ∠ABD =∠CAE AB =AC∴△ABD ≌△ACE ∴BD=AE,AD=EC ∴BD=DE –CE（3）解：同理：BD=DE –CE（4）解：归纳：由（1）（2）（3）可知：当B,C 在AE 的同侧时，BD =DE –CE ；当B,C 在AE 的异侧时，∴BD=DE+CE 8.综合与实践如图1所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外部作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，∠CAD＝∠CBE＝90°，过点D作DF⊥l于点F，过点E作EG⊥l于点G．（1）如图2，当点E恰好在直线l上时（此时G与E重合），试证明：DF=AB；（2）在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DF、EG、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DF、EG、AB之间的数量关系．（不需要证明）【答案】（1）证明：∵∠DAC＝∠CBE＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝90°，∴∠DAF＋∠CAB＝180°﹣∠DAC＝90°，∠ACB＋∠CAB＝90°，∴∠DAF＝∠ACB，∵DF⊥AB，∴∠DFA＝∠ABC＝90°，∵AD＝AC，∴△DFA≌△ABC，∴DF＝AB；（2）解：AB＝DF＋EG；证明：过C作CM⊥AB于M，∵DF⊥AB，∴∠DFA＝∠AMC＝90°，又∠CAD＝90°∴∠ADF＋∠DAF=90°，∠CAM＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝∠CAM，∵AD＝AC，∠DFA＝∠AMC＝90°，∴△DFA≌△AMC，∴DF＝AM，同理：△CMB≌△BGE，可得BM＝EG，∴AB＝AM＋BM＝DF＋EG；（3）AB＝DF﹣EG理由为：如图3，过点C作CH⊥直线l于H，∴∠DFA＝∠AHC＝90°，又∠CAD＝90°∴∠ADF＋∠DAF=90°，∠CAH＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝∠CAH，∴AD＝AC，∠DFA＝∠AHC＝90°，∴△DFA≌△AHC，∴DF＝AH，同理：BH＝EG，∴AB＝AH﹣BH＝DF＋EG．9.请阅读下列材料：问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°（1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD 与AD之间的数量关系，并证明．【答案】（1）解：∵AB与CD不平行根据题意,延长DM使DM=EM，连接BE，AE，EC，BD由于M是BC的中点，故BM=MC∴四边形BECE是平行四边形∴CD=BE又∵EM=DM，且∠AMD=90°∴△AED是等腰三角形∴AD=AB在△ABE中，AB+BE>AE∴AB+CD>AD（2）解：若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD则（1）的结论不成立关系为：AB+CD=AD证明：由于M是BC的中点，故BM=MC∴四边形BECE是平行四边形∴CD=BE又∵EM=DM,且∠AMD=90°∴△AED是等腰三角形∴AD=AE又∵AM平分∠BAD∴点A.B.E必然共线∴AB+CD=AD10.已知四边形ABCD中，AB⊥AD ，BC⊥CD ，AB=BC ，∠ABC=120゜，∠MBN=60゜，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD ，DC（或它们的延长线）于E ，F ．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为________．（不需要证明）；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，AE=CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=12BE,CF=12BF，∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，∴AE+CF=12BE+12BF=BE=EF，故答案为AE+CF=EF；（2）解：如图2，（1）中结论成立；理由如下：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCH=90°，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，∴∠HBC+∠CBF=60°，∴∠HBF=∠MBN=60°，∴∠HBF=∠EBF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴HF=EF，∵HF=HC+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF，如图3，（1）中的结论不成立，为AE=EF+CF，理由如下：在在AE上截取AQ=CF，连接BQ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，∵AB=BC，∴△BCF≌△BAQ（SAS），∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60°，∵∠ABC=120°，∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，∴∠FBE=∠QBE，∴△FBE≌△QBE（SAS），∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CE，∴AE=EF+CF．11.在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=度；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．① 如图2，当点D 在线段CB 上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；② 如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【答案】 （1）解：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ， 又AB=AC ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∴∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，故答案为90；（2）解：①α与β之间的数量关系是β=180°-α，证明如下：与（1）类似有△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，②∴β=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD=180°-∠BAC=180°-α；由已知，可把图3补充如下：则此时有β=α.②由已知，可把图3补充如下：则此时有β=α，理由如下：与（1）类似仍有△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE-∠DCA=∠ABD-∠DCA=∠BAC，即β=α．12.如图1所示，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D是线段CA延长线上一点，且AD = AB，F是线段AB上一点，连结DF，以DF为斜边作等腰直角三角形DFE，连结EA，EA满足条件EA⊥AB.（1）若∠AEF = 20°，∠ADE = 50°，BC = 2，求AB的长度.（2）求证:AE = AF + BC.（3）如图2所示，F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，探究AE，AF，BC之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】（1）解：如答图1所示,在等腰直角三角形DEF中,∠DEF=90°，∵∠1=20°∴∠2=∠DEF-∠1=70°.∵∠EDA ＋∠2+∠3=180°,∴∠3=60°.∵EA ⊥AB,∴∠EAB=90°.∵∠3＋∠EAB ＋∠L4=180°,∴∠4=30°.∵∠C=90°,∴AB=2BC=4.（2）证明：如答图1所示,过点D 作DM ⊥AE 于点M,则在△DEM 中,∠2＋∠5=90°. ∵∠2＋∠1=90°,∴∠1=∠5在△DEM 和△EFA 中，∵ {∠DME =∠EAF ∠5=∠1DE =EF∴△DEM ≅ △EFA ∴AF=EM.∵∠4＋∠B=90°,∠3＋∠EAB ＋∠4=180°∴∠3十∠4=90°∴∠3=∠B.在△DAM 和△ABC 中,∵ {∠3=∠B ∠DMA =∠C AD =AB∴△DAM ≅ △ABC∴BC=AM∴AE=EM ＋AM=AF ＋BC.（3）解：AE 十AF=BC.证明:如答图2所示过点D 作 DM ⊥AE 交AE 的延长线于点M. ∵∠C=9o°,∴∠1+∠B=90°.∵∠2＋∠MAB ＋∠1=180°,∠MAB=90°，∴∠2＋∠1=90°∴∠2=∠B.在△ADM 和△BAC 中，∵ {∠M =∠C ∠2=∠B AD =AB∴△ADM ≅ △BAC∴BC=AM.∵EF=DE,∠DEF=90°,∠3+∠DEF ＋∠4=180°, ∴∠3＋∠4=90°.∵∠3＋∠5=90°,∴∠4=∠5.在△MED 和△AFE 中,∵ {∠M =∠EAF ∠5=∠4DE =EF∴△MED ≅△AFE ∴ME =AF:.AE 十AF=AE 十ME=AM=BC, 即AE 十AF=BC.。
2018中考数学 专题突破导练案 第五讲 三角形试题
第五讲三角形【专题知识结构】【专题解题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.【典型例题解析】例题1: (2017山东东营)如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴=（）2=，∴EC：BC=1：，∵BC=，∴EC=，∴BE=BC﹣EC=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与阴影部分为相似三角形．例题2: ( 2017宁夏)在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为8 ．【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，∴DM=AC=3，∵ME=DM，∴ME=1，∴DE=DM+ME=4，∵D是AB的中点，DE∥BC，∴BC=2DE=8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例题3：(2017上海)一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是45 ．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．例题4：(2017上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD 高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得===，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，∴AB===3，∴sinB===．（2）∵EF∥AD，BE=2AE，∴===，∴==，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt △DEF 中，DE===5．【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例题5：(2017年湖南郴州)如图所示，C 城市在A 城市正东方向，现计划在A 、C 两城市间修建一条高速公路（即线段AC ），经测量，森林保护区的中心P 在A 城市的北偏东60°方向上，在线段AC 上距A 城市120km 的B 处测得P 在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P 为圆心，100km 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）【分析】作PH ⊥AC 于H ．求出PH 与100比较即可解决问题．【解答】解：结论；不会．理由如下：作PH ⊥AC 于H ．由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，∵∠PBH=∠PAB+∠APB ，∴BA=BP=120，在Rt△PBH中，sin∠PBH=，∴PH=PBsin60°=120×≈103.80，∵103.80＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．例题6：(2017年湖南郴州)如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【达标检测评估】一、选择题：1.（2016·山东省滨州市·3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51° C．51.5°D．52.5°【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】计算题．【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．3.（2016·山东省德州市·3分）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．45°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB于点E，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=BC=3．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．5. (2017哈尔滨)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：（A）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；（B）∵DE∥BC，∴，故B错误；（C）∵DE∥BC，，故C正确；（D））∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴=，故D错误；故选（C）二、填空题：6.（2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．7. (2017上海)如图，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设=， =，那么向量用向量、表示为+2 ．【分析】根据=+，只要求出即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴==，∴ED=2AE，∵=，∴=2，∴=+=+2．【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题．8. (2017山东威海)如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，求出∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，∵∠PAB=∠ACP，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，如图所示：此时PA=PC，则AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，∴PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，∴PB=BD﹣PD=﹣=；故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．9. (2017山东东营)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米．【分析】在Rt△BCD中有BD=，在Rt△ACD中，根据tan∠A==可得tanα=，解之求出CD即可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴BD=，在Rt△ACD中，∵tan∠A==，∴tanα=，解得：CD=，故答案为：．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据两直角三角形的公共边利用三角函数建立方程求解．三、解答题：10. (2017年湖南郴州)已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．【解答】证明：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵点D、E分别是AB、AC的中点．∴AD=AE，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．11.．(2017哈尔滨)已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）12.(2017杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．13.．(2017山东东营)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x，x=2﹣2，代入y=x+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．。
中考数学专题突破(解直角三角形的应用)测试题(含答案)
中考数学专题突破(解直角三角形的应用)测试题(含答案)1．如图1，某施工队要测量隧道长度BC ，AD ＝600米，AD ⊥BC ，施工队站在点D 处看向B 处，测得仰角为45°，再由点D 走到E 处看向C 处，测得仰角为37°，DE ∥AC ，ED ＝500米，求隧道BC 的长．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43图12．如图2，航母由西向东航行，到达B 处时，测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行20海里到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，小岛A 周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．图23．如图3，某学校体育场看台的顶端C 到地面的垂直距离CD 为2 m ，看台所在斜坡CM 的坡比i ＝1∶3，在点C 处测得旗杆顶点A 的仰角为30°，在点M 处测得旗杆顶点A 的仰角为60°，且B ，M ，D 三点在同一水平线上，求旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1 m ．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图3中考数学专题突破(解直角三角形的应用)测试题参考答案1．解：如图1，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，则AM ＝ED ＝500米． 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°－45°＝45°，图1∴AB ＝AD ＝600米． ∴BM ＝AB －AM ＝100米．在Rt △CEM 中，∠CEM ＝90°－37°＝53°，tan ∠CEM ＝CM EM ＝CM 600≈43，∴CM ≈600×43＝800(米)．∴BC ＝CM －BM ＝800－100＝700(米)． 答：隧道BC 的长约为700米．图22．解：没有触礁的危险．理由如下： 如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D. 根据题意可知∠ABC ＝30°，∠ACD ＝60°. ∵∠ACD ＝∠ABC ＋∠BAC ， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝30°. ∴CB ＝CA ＝20. 在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠ACD ＝60°，sin ∠ACD ＝ADAC，∴AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝20×sin 60°＝20×32＝10 3＞10. ∴如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．图33．解：如图3，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，易得四边形CDBE 为矩形． ∵CD ＝2，tan ∠CMD ＝CD MD ＝13，∴MD ＝3CD ＝6. 设BM ＝x ，则BD ＝x ＋6. 在Rt △ABM 中，∠AMB ＝60°， tan ∠AMB ＝ABBM，∴AB ＝BM ·tan ∠AMB ＝3x.∵四边形CDBE 是矩形，∴BE ＝CD ＝2，CE ＝BD ＝x ＋6. ∴AE ＝AB －BE ＝3x －2.在Rt △ACE 中，∠ACE ＝30°，tan ∠ACE ＝AE CE ，∴33＝3x －2x ＋6.解得x ＝3＋ 3.∴AB ＝3x ＝3 3＋3≈8.2. 答：旗杆AB 的高度约为8.2m.。
(全国通用)中考数学几何专项突破等腰三角形和直角三角形(含)
中考数学几何专项打破等腰三角形和直角三角形〔含答案〕典例研究例1 如图，△A ．70°ABC中， AB=AC，∠ B=70°，那么∠ A 的度数是〔B． 55°C．50°D． 40°〕例 2等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，那么这个等腰三角形的周长为〔〕A．16 B ．20 或 16C．20D． 12例 3△ ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至 E，使 CE=CD=1，连接 DE，那么 DE ＝．例 4 如图 1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在 AD上．(1)求证： BE＝ CE；(2)假设 BE的延长线交 AC于点 F，且 BF⊥ AC，垂足为 F，如图2，∠ BAC＝45°，原题设其他条件不变．求证：△ AEF≌△ BCF．A AE FEBDC BDC图 1图 2坚固练习1、假设等腰三角形的一个内角为50°，那么这个等腰三角形顶角的度数为.2．在△A． 30°ABC中， AB＝ AC， D 为 AC边上一点，且BD＝ BC＝AD．那么∠ A等于〔B．36°C．45°D．72°〕3.：如图，AC和 BD订交于点O，AB∥ CD，OA=OB，求证： OC=OD4.如图，P、 Q是△ ABC边 BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠ BAC的度数。
5.：如图，在△ ABC中，∠ B=∠ C，D、 E、 F 分别为 AB， BC， AC上的点，且 BD=CE，∠DEF=∠ B。
求证：△ DEF是等腰三角形。
6. 假设三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形的形状是．7.在直角三角形中，假设一锐角为30°，而斜边与 30°角所对的边的和为 15cm，那么斜边的长为〔〕A、 3cmB、C、10cmD、12cm8.如图，△ ABC为等边三角形， D、E、 F 分别在边 BC、 CA、 AB上，且△ DEF是等边三角形〔1〕除相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。
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中考数学专题突破导练案第五讲三角形试题(2)【专题知识结构】【专题解题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.【典型例题解析】例题1: (20__山东东营)如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴=（）2=，∴EC：BC=1：，∵BC=，∴EC=，∴BE=BC﹣EC=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与阴影部分为相似三角形．例题2: ( 20__宁夏)在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥B M时，则BC的长为8 ．【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，∴DM=AC=3，∵ME=DM，∴ME=1，∴DE=DM+ME=4，∵D是AB的中点，DE∥BC，∴BC=2DE=8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例题3：(20__上海)一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是45 ．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．例题4：(20__上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得===，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，∴AB===3，∴sinB===．（2）∵EF∥AD，BE=2AE，∴===，∴==，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt△DEF中，DE===5．【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例题5：(20__年湖南郴州)如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．【解答】解：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，∵∠PBH=∠PAB+∠APB，∴∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=120，在Rt△PBH中，sin∠PBH=，∴PH=PBsin60°=120_≈103.80，∵103.80＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．例题6：(20__年湖南郴州)如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=B E+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠B DE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【达标检测评估】一、选择题：1. （20__·山东省__市·3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】计算题．【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．3. （20__·山东省__市·3分）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB于点E，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=BC=3．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．5. (20__哈尔滨)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：（A）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；（B）∵DE∥BC，∴，故B错误；（C）∵DE∥BC，，故C正确；（D））∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴=，故D错误；故选（C）二、填空题：6. （20__·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=_4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．7. (20__上海)如图，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设=， =，那么向量用向量、表示为+2 ．【分析】根据=+，只要求出即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴==，∴ED=2AE，∵=，∴=2，∴=+=+2．【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题．8. (20__山东威海)如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，求出∠APC=120°，当PB⊥AC 时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，∵∠PAB=∠ACP，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，如图所示：此时PA=PC，则AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，∴PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，∴PB=BD﹣PD=﹣=；故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．9. (20__山东东营)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米．【分析】在Rt△BCD 中有BD=，在Rt△ACD 中，根据tan∠A==可得tan α=，解之求出CD 即可得．【解答】解：在Rt△BCD 中，∵tan∠CBD=，∴BD=，在Rt△ACD 中，∵tan∠A==，∴tan α=，解得：CD=，故答案为：．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据两直角三角形的公共边利用三角函数建立方程求解． 三、解答题：10. (20__年湖南郴州)已知△ABC 中，∠ABC=∠ACB，点D ，E 分别为边AB 、AC 的中点，求证：BE=CD ．【分析】由∠ABC=∠ACB 可得AB=AC ，又点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得到AD=AE ，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果． 【解答】证明：∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC ，∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点． ∴AD=AE ，在△ABE 与△ACD 中，，∴△ABE ≌△ACD ， ∴BE=CD ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．11. ．(20__哈尔滨)已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）12. (20__杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．13. ．(20__山东东营)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=_，AE=y，求y关于_的函数关系式并写出自变量_的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣_；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣_，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=_+2（0＜_＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣_，_=2﹣2，代入y=_+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．。