【成才之路】-学年高中数学 综合素质检测3 北师大版选修1-1
【成才之路】2021学年高中数学 第一章综合素养检测 北师大版选修1-1(1)
第一章综合素养检测时刻120分钟，总分值150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设a ∈R ，那么“a >1”是“1a<1”的( ) A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件[答案] A[解析] a >1⇒1a <1，1a<1⇒/ a >1，应选A. 2．(2021·辽宁理，5)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：假设a ·b ＝0，b ·c ＝0，那么a ·c ＝0；命题q ：假设a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ，那么以下命题中真命题是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．(¬p )且(¬q )D ．p 或(¬q )[答案] A[解析] 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题；∵a ∥b ，b ∥c ，∴∃λ，μ∈R ，使a ＝λb ，b ＝μc ，∴a ＝λμc ，∴a ∥c ，∴命题q 是真命题．∴p 或q 为真命题．3．有以下四个命题①“假设b ＝3，那么b 2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“假设c ≤1，那么x 2＋2x ＋c ＝0有实根”；④“假设A ∪B ＝A ，那么A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A [解析] “假设b ＝3，那么b 2＝9”的逆命题：“假设b 2＝9，那么b ＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c ≤1，那么方程x 2＋2x ＋c ＝0中，Δ＝4－4c ＝4(1－c )≥0，故方程有实根；“假设A ∪B ＝A ，那么A ⊆B ”为假，故其逆否命题为假．4．“假设a ⊥α，那么a 垂直于α内任一条直线”是( )A ．全称命题B ．特称命题C ．不是命题D ．假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．5．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的概念域为R ，命题q ：x 2<1是x <a 的充分没必要要条件，那么( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．¬p 且q 为真命题D ．¬p 或¬q 为真命题 [答案] A[解析] ∵a >1，∴Δ＝4－4a <0，∴x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴p 为真命题；由x 2<1得－1<x <1，∴－1<x <1时，x <a 成立，但x <a 时，－1<x <1不必然成立，∴q 为真命题，从而A 正确．6．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( )A ．充分而没必要要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也没必要要条件[答案] B[解析] 在△ABC 中，假设B ＝60°，那么A ＋C ＝120°，∴2B ＝A ＋C ，那么A 、B 、C 成等差数列；假设三个内角A 、B 、C 成等差，那么2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，B ＝60°.7．“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0，即(x －1)2＋y 2＝2表示圆，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，那么应知足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠02a 2－4a 3>0，解得a ＝－1，应选C. 8．假设集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，那么“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件[答案] A[解析] 由“m ＝2”可知A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，因此能够推得A ∩B ＝{4}，反之，若是“A ∩B ＝{4}”能够推得m 2＝4，解得m ＝2或－2，不能推得m ＝2，因此“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分没必要要条件．9．以下命题中的真命题是( )A ．∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3[答案] D[解析] ∵对任意x ∈R ，有sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，∴A 假；∵x ∈(π2，π)时，tan x <0，sin x >0，∴B 假；∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴方程x 2＋x ＝－1无解，∴C 假；∵x 2＋2x －(4x －3)＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴对任意x ∈R ，x 2＋2x －(4x －3)>0恒成立，故D 真．10．以下命题错误的选项是( )A ．命题“假设m >0，那么方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“假设方程x 2＋x －m ＝0无实根，那么m ≤0”B ．关于命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”，那么¬p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”C ．假设p 且q 为假命题，那么p 、q 均为假命题D ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分没必要要条件[答案] C[解析] 若p 且q 为假命题，那么p 、q 均为假命题，或p 、q 一真一假，应选C.二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．命题“∀x ∈[－2,3]，－1<x <3”的否定是________．[答案] ∃x ∈[－2,3]，x ≤－1或x ≥3[解析] 全称命题的否定是特称命题，将“∀”改成“∃”，将“－1<x <3”改成“x ≤－1或x ≥3”．12．命题“∃x ∈(－1,1)，2x ＋a ＝0”是真命题，那么a 的取值范围为________．[答案] (－2,2)[解析] 设f (x )＝2x ＋a ，由题意得函数f (x )在(－1,1)内有零点，∴(a ＋2)(a －2)<0，∴－2<a <2.13．给出命题：“假设函数y ＝f (x )是幂函数，那么函数y ＝f (x )的图像只是第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．[答案] 1[解析] 因为命题：“假设函数y ＝f (x )是幂函数，那么函数y ＝f (x )的图像只是第四象限”是真命题，其逆命题“假设函数y ＝f (x )的图像只是第四象限，那么函数y ＝f (x )是幂函数”是假命题，如函数y ＝x ＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.14．在以下所示电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件．[答案] 充分没必要要必要不充分充要既不充分也没必要要[解析] (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不必然闭合，故A是B的充分没必要要条件．(2)A闭合，B不必然亮；而B亮，A必需闭合，故A是B的必要不充分条件．(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，因此A是B 的充要条件．(4)A闭合，B不必然亮；而B亮，A不必然闭合，因此A是B的既不充分也没必要要条件．15．给出以下四个命题：①∀x∈R，x2＋2x>4x－3均成立；②假设log2x＋log x2≥2，故x>1；③命题“假设a>b>0，且c<0，那么ca>cb”的逆否命题是真命题；④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0相互垂直”的充分没必要要条件．其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．[答案] ①②③[解析] ①中，x2＋2x>4x－3⇔x2－2x＋3>0⇔(x－1)2＋2>0，故①正确．②中，显然x≠1且x>0，假设0<x<1，那么log2x<0，log x2<0，从而log2x＋log x2<0，与已知矛盾，故x>1，故②正确③中，命题“假设a>b>0，且c<0，那么ca>cb”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0相互垂直的充要条件，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．判定以下命题的真假：(1)∀x∈R,2x>0；(2)∀x∈Q，x2－3x－1是有理数；(3)∃x∈N,2x＝x2；(4)∃x 、y ∈Z ，x 2＋y 2＝10.[答案] (1)(2)(3)(4)都是真命题[解析] (1)真命题，对任意的x,2x >0恒成立．(2)真命题，关于任意的有理数x ，x 2－3x －1都是有理数．(3)真命题，x ＝2,4时，2x ＝x 2成立．(4)真命题，x ＝1，y ＝3时，x 2＋y 2＝10成立．(1)(2)(3)(4)都是真命题．17．写出命题“假设x 2＋7x －8＝0，那么x ＝－8或x ＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并别离判定它们的真假．”[答案] 逆命题：假设x ＝－8或x ＝1，那么x 2＋7x －8＝0.逆命题为真．否命题：假设x 2＋7x －8≠0，那么x ≠－8且x ≠1.否命题为真．逆否命题：假设x ≠－8且x ≠1，那么x 2＋7x －8≠0.逆否命题为真．18．判定以下命题是全称命题仍是特称命题，并判定其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2； (4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题[解析] (1)此题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．19．关于以下命题p ，写出¬p 的命题形式，并判定¬p 命题的真假：(1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})；(2)p ：有一个素数是偶数；(3)p ：任意正整数都是质数或合数；(4)p ：一个三角形有且仅有一个外接圆．[答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题[解析] (1)¬p ：91∉A 或91∉B ；假命题．(2)¬p ：所有素数都不是偶数；假命题．(3)¬p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)¬p ：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．20．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，假设¬p 是¬q 的充分而没必要要条件，求实数m 的取值范围．[答案] [2,4][解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.∴¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵¬p 是¬q 的充分而没必要要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4. 经查验m ＝2，m ＝4适合条件，即实数m 的取值范围为2≤m ≤4.∴m 的取值范围为[2,4]．21．(2021·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，假设(¬p )且q 为真，试求实数m 的取值范围．[答案] m >1[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3， ∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 假设(¬p )且q 为真，那么p 假q 真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习：第1章 §2 第1课时 充分条件与必要条件]
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第一章 §2 第1课时一、选择题1．“x >1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 本题主要考查了充要条件．判定不是充分(或必要)条件，可用“特例法”． 当x >1时，一定有|x |>1成立，而|x |>1时，不一定有x >1，如x ＝－5.所以“x >1”⇒“|x |>1”而“|x |>1” ⇒/ x >1.2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查两条直线垂直的充要条件．当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直； 当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0， ∴a ＝1，故选C.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，所以x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A.4．(2014·郑州市质检)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则“a ∥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]a∥b⇔x2－4＝0⇔x＝±2，故a∥b是x＝2的必要不充分条件．5．(2014·甘肃省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析](a－b)a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b，a＝0时(a－b)·a2＝0，∴a<b⇒/(a－b)a2<0∴选A.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知数列{a n}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由a1<a2<a3可知等比数列{a n}为递增的，所以a4<a5，充分性成立，但a4<a5时，不能确定{a n}为递增数列，也可能是正负交替数列，例如a n＝2·(－1)n－1，所以必要性不成立．二、填空题7．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．[答案]充分不必要[解析]∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的______条件．[答案]充分不必要[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列时却不一定有a n＝2n＋1.9．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]sinα＝sinβ⇒/ α＝β，α＝β⇒sinα＝sinβ，故填必要不充分．三、解答题10．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．[答案] p ≥4[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，x <－p4⇒x <－1⇒x 2－x －2>0. 所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件.一、选择题11．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由于直线方程中含有字母m ，需对m 进行讨论．(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0，所以m ＝－2或m ＝12.显然m ＝12只是m 取值的一种情况．故为充分不必要条件．12．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] “tan x ＝1”的充要条件为“x ＝k π＋π4(k ∈Z )”，而“x ＝2kx ＋π4(k ∈Z )”是“x＝kx ＋π4(k ∈Z )”的充分不必要条件，所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件，故选A.13．(2013·浙江文，3)设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.14．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.二、填空题15．“a ＝12”是“y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 由a ＝12，得y ＝cos 212x －sin 212x ＝cos x ，T ＝2π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝2π，得a ＝±12.故是充分不必要条件． 16．下列说法正确的是________． ①x 2≠1是x ≠1的必要条件； ②x >5是x >4的充分不必要条件； ③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充要条件； ④x 2<4是x <2的充分不必要条件． [答案] ②④[解析] “若x 2≠1，则x ≠1”的逆否命题为“若x ＝1，则x 2＝1”，易知x ＝1是x 2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中，由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则③不正确．②④正确．三、解答题17．对于实数x 、y ，判断“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．[答案] 充分不必要条件[解析] 可从集合角度判断，考虑集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≠8}与B ＝{(x ，y )|x ≠2或y ≠6}的包含关系，A 是平面直角坐标系内除去直线y ＝－x ＋8上所有点的集合；B ＝{(x ，y )|x ≠2}∪{(x ，y )|y ≠6}是直角坐标平面内除去直线x ＝2上的所有点或除去直线y ＝6上的所有点的集合，即除点(2,6)的所有点的集合，知A B ，所以“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的充分不必要条件．18．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [答案] a ≤1[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a>0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0.解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版-选修1-1)练习试题：第4章-§1-1.2-函
第四章§1 1.2一、选择题1．(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[答案] C[解析]∵x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即q⇒p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/ q，故选C.2．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值[答案] C[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当x∈(－2，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,2)时，f′(x)<0.∴当x＝－1时，f(x)有极大值，且f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为()A．1，－3 B．1,3C．－1,3 D．－1，－3[答案] A[解析]因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0. ① 又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2. ②由①②解得a ＝1，b ＝－3. 4．设函数f (x )＝x e x ，则 ( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 [答案] D[解析] f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )， 令f ′(x )>0，得x >－1， 令f ′(x )<0，得x <－1，∴函数f (x )在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x ＝－1时，f (x )取得极小值． 5．(2014·湖北重点中学期中联考)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则( )A ．a <－1eB ．a >－1C ．a <－1D ．a >－1e[答案] C[解析] y ′＝e x ＋a ，由题意知a <0. ∵函数有大于零的极值点x ＝x 0， ∴e x 0＋a ＝0，且x 0>0， ∴a <－1，故选C.6．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像是( )[解析] 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x ＋f (x )e x ， ∵x ＝－1为函数g (x )的一个极值点， ∴g ′(－1)＝f ′(－1)e －1＋f (－1)e －1＝0. ∴f ′(－1)＝－f (－1)． D 选项中，f (－1)>0，∴f ′(－1)＝－f (－1)<0，这与图像不符． 二、填空题7．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取得极小值时，x 的值是________．[答案] －1[解析] f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)，令f ′(x )>0得－1<x <2，令f ′(x )<0，得x <－1或x >2，∴函数f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．8．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． [答案] 6[解析] f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，令f ′(2)＝0解得c ＝2或6. 当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)， 故f (x )在x ＝2处取得极小值，不合题意舍去； 当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12) ＝3(x －2)(x －6)，故f (x )在x ＝2处取得极大值．9．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．[答案] 1，－1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1， 令y ′<0得x >1或x <－1，∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.10．设y ＝f (x )为三次函数，且图像关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求函数f (x )的解析式．[答案] f (x )＝4x 3－3x[解析] 设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，因为其图像关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，得ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝ax 3－bx 2＋cx －d ，∴b ＝0，d ＝0，即f (x )＝ax 3＋cx . 由f ′(x )＝3ax 2＋c ，依题意，f ′⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋c ＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝18a ＋c 2＝－1， 解之，得a ＝4，c ＝－3.故所求函数的解析式为f (x )＝4x 3－3x.一、选择题11．设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋a 在x ＝±1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝－1，b ＝0，c ＝－1B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－32C ．a ＝－3，b ＝0，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝0，c ＝3 [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴由题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0f ′(－1)＝0f (－1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝03－2b ＋c ＝0－1＋b －c ＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝0，c ＝－3.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝01－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.14．(2014·郑州一中期中)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2013，对任意x ∈R ，都有f ′(x )<2x 成立，则不等式f (x )>x 2＋2009的解集为( )A ．(－2,2)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，＋∞) [答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )－x 2－2009，则F ′(x )＝f ′(x )－2x <0，∴F (x )在R 上为减函数， 又F (－2)＝f (－2)－4－2009＝2013－2013＝0， ∴当x <－2时，F (x )>F (－2)＝0，∴不等式f (x )>x 2＋2009的解集为(－∞，－2)． 二、填空题15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，由3x 2－3＝0得x ＝1或－1，当x <－1，或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴x ＝－1时，f (x )取到极大值f (－1)＝2，x ＝1时，f (x )取到极小值f (1)＝－2，∴欲使直线y ＝a 与函数f (x )的图像有相异的三个公共点，应有－2<a <2.三、解答题16．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数的单调递减区间； (2)求函数的极值．[答案] (1)(－1,3) (2)极大值为16；极小值－16 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：(1)由表可得函数的单调递减区间为(－1,3)(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.17．(2014·韶关市曲江一中月考)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y ＝f ′(x )的简图，它与x 轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间． (2)求实数a 的值．[答案] (1)极小值点3，减区间(1,3) (2)a ＝1[解析] (1)由图像可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数； 当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数； 当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)上为增函数；∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)． (2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0且⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0.∴a ＝1.。
北师大版高中数学选修1-1模块综合测评
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．【答案】 D2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b时⇒/(a－b)·a2<0，必要性不成立．【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．－3C ．9D ．15【解析】 y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.【答案】 C4．如果命题“﹁p 且﹁q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( )【导学号：63470097】A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“﹁p ”为真命题D ．以上都有可能【解析】 若“﹁p 且﹁q ”是真命题，则﹁p ，﹁q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题．【答案】 C5．下列命题的否定为假命题的是( ) A ．对任意x ∈R ，都有－x 2＋x －1<0成立 B ．对任意x ∈R ，都有|x |>x 成立C ．对任意x ，y ∈Z ，都有2x －5y ≠12成立D ．存在x ∈R ，使sin 2 x ＋sin x ＋1＝0成立【解析】 对于A 选项命题的否定为“存在x ∈R ，使－x 2＋x －1≥0成立”，显然，这是一个假命题．【答案】 A6．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，则准线与渐近线交点为(－3，－3)、(－3, 3)．∴所围成三角形面积S ＝12×3×23＝3 3. 【答案】 A7．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|的值为y 1＋y 2＋2＝8.【答案】 C8．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 23＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，则|PF 1|·|PF 2|有( )【导学号：63470098】A ．最大值16B ．最小值16C ．最大值4D ．最小值4【解析】 由椭圆的定义知a ＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×4＝8.由基本不等式知|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝4时等号成立，所以|PF 1|·|PF 2|有最大值16.【答案】 A9．如图1所示，四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是()图1A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【解析】因为三次函数的导函数为二次函数，其图像为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数；当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．【答案】 B10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为()A．[2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(1,2] D．(1，2]【解析】由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，∴|PF2|＝a.即双曲线的右支上存在点P使得|PF2|＝a.设双曲线的右顶点为A，则|AF2|＝c－a.由题意知c－a≤a，∴c≤2a.又c>a，∴e＝ca≤2且e>1，即e∈(1,2]．【答案】 C11．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图2所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()图2A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2) D．f(2)与f(－2)【解析】由图像知，f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增；在(－2,2)上单调递减．∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C. 【答案】 C12．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【解析】a >0时，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l 方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴S △OAF ＝12·a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4. 解得a ＝8.同理a <0时，得a ＝－8. ∴抛物线方程为y 2＝±8x . 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则右焦点坐标为________.【导学号：63470099】【解析】 由x 24－y 2b 2＝1得渐近线方程为y ＝±b2x ， ∴b 2＝12，b ＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴右焦点坐标为(5，0)． 【答案】 (5，0)14．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )增加； 当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )减少． 【答案】 (－1,11)15．已知命题p ：对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x 成立，命题q ：存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是____________.【导学号：63470100】【解析】 因为对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x 成立，所以a ≥e.由存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4.若命题“p 且q ”是真命题，所以p 、q 同为真，所以e ≤a ≤4.【答案】 [e,4]16．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，|PF |＝53.则椭圆C 1的方程为________．【解析】 抛物线C 2的焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，依据抛物线的定义，由|PF |＝53，得1＋x 0＝53，解得x 0＝23.因为点P 在抛物线C 2上，且在第一象限，所以y 0＝263.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.因为点P 在椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以49a 2＋83b 2＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，联立解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 x 24＋y 23＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求与⊙C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1相外切，且与⊙C 2：(x －1)2＋y 2＝9相内切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 由题意得，|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ， ∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2，由椭圆定义知，动圆圆心P 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为2a ＝4的椭圆，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．【解】 f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .∵曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，∴⎩⎨⎧f ′(1)＝g ′(1)f (1)＝g (1)， 即⎩⎨⎧ 2a ＝3＋b a ＋1＝1＋b ＝c ，解得⎩⎨⎧a ＝3b ＝3. ∴a ，b 的值分别为3,3.19．(本小题满分12分)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p 的否定是一个真命题，求a 的取值范围．【解】 考虑命题p 为真命题时a 的取值范围，因为f ′(x )＝3x 2＋a ，令f ′(x )＝0，得到x 2＝－a 3，当a ≥0时，f ′(x )≥0，函数f (x )在区间(－2,1)上是增加的，不合题意； 当a <0时，由x 2＝－a3，得到x ＝±－a3，要使函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，则－a3<1或－－a3>－2，即a >－12，综上可知－12<a <0，故命题p 的否定是一个真命题时，a 的取值范围是a ≤－12或a ≥0. 20．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N ＋)．(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？【解】 (1)由题意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )．因为次品率p ＝3x4x ＋32， 当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32 ＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N ＋)．(2)T ′＝－25·(x ＋32)(x －16)(x ＋8)2，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)． 当0<x <16时，T ′>0； 当x >16时，T ′<0； 所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－2tx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3，其中x ∈R ，t ∈R ，将f (x )的最小值记为g (t )．(1)求g (t )的表达式；(2)讨论g (t )在区间[－1,1]内的单调性；(3)若当t ∈[－1,1]时，|g (t )|≤k 恒成立，其中k 为正数，求k 的取值范围． 【解】 (1)f (x )＝(x －t )2＋4t 3－3t ＋3，当x ＝t 时，f (x )取得其最小值g (t )，即g (t )＝4t 3－3t ＋3.(2)∵g ′(t )＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)， 列表如下：t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 －12 ⎝⎛ －12，⎭⎪⎫12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 g ′(t )＋0 －0 ＋g (t )极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12极小值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12由此可见，g (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减．(3)∵g (1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，g (－1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，∴g (t )最大值＝4，g (t )最小值＝2， 又∵|g (t )|≤k 恒成立，∴－k ≤g (t )≤k 恒成立，∴⎩⎨⎧k ≥4，－k ≤2，∴k ≥4.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为23，右焦点F 与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点D (－4,0)，且满足DA →＝λDB →，若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12，求直线AB 的斜率的取值范围． 【解】 (1)由已知得b ＝3，c ＝1，a ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵DA →＝λDB →，∴D ，A ，B 三点共线，而D (－4,0)，且直线AB 的斜率一定存在，所以设AB 的方程为y ＝k (x ＋4)，与椭圆的方程x 24＋y 23＝1联立得(3＋4k 2)y 2－24ky ＋36k 2＝0， 由Δ＝144k 2(1－4k 2)>0，得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＋y 2＝24k3＋4k 2，y 1·y 2＝36k 23＋4k 2，①又由DA →＝λDB →得：(x 1＋4，y 1)＝λ(x 2＋4，y 2)， ∴y 1＝λy 2②将②式代入①式得：⎩⎪⎨⎪⎧(1＋λ)y 2＝24k3＋4k 2，λy 22＝36k 23＋4k 2，消去y 2得：163＋4k 2＝(1＋λ)2λ＝1λ＋λ＋2. 当λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12时，h (λ)＝1λ＋λ＋2是减函数， ∴92≤h (λ)≤12124，∴92≤163＋4k 2≤12124，解得21484≤k 2≤536， 又因为k 2<14，所以21484≤k 2≤536， 即－56≤k ≤－2122或2122≤k ≤56. ∴直线AB 的斜率的取值范围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，－2122∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，56.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ） A ．164-B ．149-C ．164D ．1492．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．03．已知函数()()221ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．24．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ） A ．()()()π2f f e f << B ．()()()2πf f e f '''<< C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-7．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++8．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．32D ．29．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e=或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 10．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5311．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．15．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．16．已知函数()()2f x f '1e x 1x =+-，其()f 'x 是()f x 的导函数，则曲线y f (x)=在点（1，f (1)）处的切线方程为____________________17．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______． 18．函数()1ln x f x ex -=+的图象在1x =处的切线方程为__________.19．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．20．曲线ln y a x =有一条切线方程为y kx =（a 、k 为常数，且a ≠0、k ≠0），则ak的值为_______.三、解答题21．已知函数3()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）求曲线()y f x =过点(2,6)-的切线方程. 22．已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++∈. （1）若0a =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，讨论函数()()211ln 2f x ax a x x =-++的单调区间. 23．设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.24．已知函数f (x )=In(1+x )-x +22k x (k ≥0)． (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间． 25．设函数()()32xf x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围.26．已知三次函数32()(,,)f x x bx cx d a b c R =+++∈过点(3,0)，且函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线恰好是直线0y =.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ） 设函数()91g x x m =+-，若函数()()y f x g x =-在区间[2,1]-上有两个零点，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11xf x x =+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x=+， 所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.2．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.3．A解析：A 【分析】求得()f x 的导函数，令1x =求出(1)f '，则求得曲线()y f x =在1x =处的切线斜率． 【详解】()()221ln f x x f x '=+的导数为()()212f f x x x''=+令1x =可得()()121f f ''=+，解得()12f '=-， 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为2- 故选A 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键是明确切点处的导函数值即为斜率，属于一般题．4．D解析：D 【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.5．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--， 故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由导数的几何意义0(1)(1)li )m'(1x f x f xk f →+-==，结合题设0(1)(1)lim12x f f x x →-+=，找到倍数关系，即得解. 【详解】由导数的几何意义，可知：0(1)(1)(1)(1)lim2lim 21212'()x x f x f k f f xf x x →→+--+=-=-⋅==-=故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++，因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++.故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题8．A解析：A 【分析】根据题意，对函数求导，且过A B 、两点的切线互相垂直，则有21()()1f x f x ''⋅=-，构造()2112122222x x x x -=-+++⎡⎤⎣⎦根据基本不等式，即可求解最值. 【详解】()22f x x '=+120x x <<，过,A B 两点的切线互相垂直，()()1222221x x ∴++=-，12220,220x x ∴+<+>，()21121222212x x x x ⎡⎤∴-=-+++≥=⎣⎦， 当且仅当()1222221x x -+=+=， 即1231,22x x =-=-时等号成立，21x x ∴-的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.9．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.10．D解析：D 【分析】由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】()323212f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，由题意得()1310f a '=-=，解得13a =，()32132132f x x x x ∴=-++，()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()283522221323f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.11．B解析：B 【分析】对函数求导，设切点()00,x y ，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于a 和0x 的方程组，解出a 的值. 【详解】 设切点()00,x y ，因为ln y ax x =+，所以1y a x'=+ 所以切线斜率01k a x =+则切线为()()00001ln y ax x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭整理得001ln 1y a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭又因为切线方程为31y x =-所以得0013ln 11a x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩故选B 项. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先求得函数的导数，根据导函数的奇偶性和正负，判断出正确选项. 【详解】()cos f x x x '=，()cos f x x x '=为奇函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有()0f x '>，故选C.【点睛】本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.二、填空题13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=【分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，即20x y π+-=． 故答案为：20x y π+-=14．6【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】解：当直线平移到与曲线相切位置时切点即为点到直线的距离最小由得（负值舍去）即切点则切点Q 到直线的距离为故答案解析：6 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】解：当直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时， 切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2911y x '=-=-，得x =y =，即切点22Q ⎛ ⎝⎭， 则切点Q 到直线0x y +=6=，故答案为：6． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题，是中档题.解题的关键在于直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.15．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=，所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【分析】求导计算再计算根据切线公式得到答案【详解】解析：220e 1x y ++=-. 【分析】求导计算2(1)1f e '=-，再计算2e (1)(1)e 1ef f '==-，根据切线公式得到答案. 【详解】()(1)e 2x f x f x ''=+,故(1)(1)2f ef ''=+，即2(1)1f e '=-,2e (1)(1)e 1ef f '==- .切线方程为2e 2(1)1e 1ey x -=--- 即,2201x y e ++=- 故答案为2201x y e ++=- 【点睛】本题考查了切线问题，先计算出2(1)1f e'=-是解题的关键，属于常考题型. 17．【详解】由题意设切点为由导数的定义可得即又∴【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义考查基本求解能力属基础题解析：14【详解】由题意，设切点为00,x y ，由导数的定义，可得()22000000()11lim lim 22x x a x x ax k a x ax ax x∆→∆→+∆+--==∆+=∆切线,即021ax =． 又2001ax x +=，∴012,4x a ==. 【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.18．【分析】由函数的解析式求得根据导数求得结合直线的点斜式即可求解【详解】由题意函数可得又由可得即切线的斜率为根据直线的点斜式方程可得即所求切线方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方 解析：210x y --=【分析】由函数()f x 的解析式，求得()11f =，根据导数求得()12k f '==，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意，函数()1ln x f x ex -=+，可得()11f =，又由()11x f x e x-'=+，可得()12f '=，即切线的斜率为2k =， 根据直线的点斜式方程，可得12(1)y x -=-， 即所求切线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=. 【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程的求解，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.19．【分析】先求与直线平行且与相切的切线切点再根据点到直线距离公式求结果【详解】由题意的最小值为与直线平行且与相切的切线切点到直线的距离设切点为因为单调递增因此的最小值为故答案为：【点睛】本题考查导数几【分析】先求与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y因为()22000221ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=∴=∴+==+单调递增，01x ∴=因此PQln1|11|-+=【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.20．e 【分析】设切点坐标对求导后表示出切线方程即可计算出结果【详解】设切点为由可得则则曲线在切点处的切线方程为把代入可得则则切点为即故答案为：【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程根据题意即可得到结果解析：e【分析】设切点坐标，对ln y a x =求导后表示出切线方程，即可计算出结果. 【详解】设切点为()00,ln x a x ，由ln y a x =可得a y x'= 则0x x a y x ='=则曲线ln y a x =在切点处的切线方程为()000ln ay a x x x x -=- 把()0,0代入可得0ln a x a -=-，则0x e = 则切点为(),e a ，,a k e =即a e k= 故答案为：e 【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程，根据题意即可得到结果，本题较为基础.三、解答题21．（1）20y +=；（2）30x y +=或24540x y --=.【分析】（1）先对函数求导，再把1x =代入导函数中可求出切线的斜率，再求出(1)f 的值，可得切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程；（2）设切点为3000(,3)x x x -，则32000036332x x x x -+=--，从而可求出00x =或3，进而可求得切线方程 【详解】解：(1)由已知得2()33f x x '=-,则()01f '=，所以切线斜率0k =， 因为()311312f =-⨯=-所以切点坐标为(1,2)-，所以所求直线方程为20y +=， 故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为20y +=. (2)由已知得2()33f x x '=-，设切点为3000(,3)x x x -,则32000036332x x x x -+=--，即3200260x x -=，得00x =或3， 所以切点为(0,0)或(3,18)，切线的斜率为3-或24， 所以切线方程为3y x =-或1824(3)y x -=- 即切线方程为30x y +=或24540x y --=， 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，求曲线的切线方程，解题的关键是注意过某点和在某点处的切线方程的求法的区别，考查计算能力，属于中档题 22．（1）10y +=；（2）见解析. 【分析】（1）根据题意，由0a =即可得函数的解析式，进而求出函数的导数，据此计算可得()1f 与()1f '的值，由导数的几何意义分析可得切线的方程，变形即可得答案；（2）根据题意，求出函数的导数，对a 的值进行分情况讨论，分析函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】（1）若0a =，()ln f x x x =-，导函数为()11f x x'=-，则()11f =-，()10f '=. 则所求切线方程为()101y x +=⨯-，即10y +=； （2）当0a >时，()()()()1111ax x f x ax a x x--'=-++=， 令()0f x '=，可得1x a=或1x =. ①当101a<<时，即当1a >.令()0f x '>，可得10x a<<或1x >；令()0f x '<，可得11x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； ②当11a=时，即当1a =时，对任意的()0,x ∈+∞，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； ③当11a>时，即当01a <<时. 令()0f x '>，可得01x <<或1x a>；令()0f x '<，可得11x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当1a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当01a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算切线的方程，注意函数的定义域以及对a 的范围进行讨论．23．(1) (1)y e =- (2) (),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【分析】（1）先求出函数的导函数()()()21110x e x f x x x x⋅-'=-+>，再求出切线的斜率(1)f '，再由直线的点斜式方程求解即可；（2）函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点等价于方程0x e ax -=在()0,1内存在唯一解，再构造函数()(),0,1xe g x x x =∈，求其值域，则可得a 的范围，再利用导数确定0x x =是极大值点或者极小值点.【详解】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>，所求切线的斜率()01f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：(1)y e =-.（2）()()()()221111xx x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭， 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x --'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x=与y a=在()0,1范围内有唯一交点，设函数()(),0,1x e g x x x =∈，则()()210x x e g x x-'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为0x ，当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0xe ax ->，则()()()210x x e ax f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xeax -<，则()()()210x x e ax f x x--'=>，()f x 在()0,1x 为增函数，即0x x =为函数()f x 的极小值点，综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，重点考查了导数的应用，属中档题. 24．（I ）322ln 230x y -+-=（II ）见解析 【详解】 （I ）322ln 230x y -+-=（II ）当0k =时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-. 当1k =时()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k- 25．（1）()1y e x =-；（2）a e ≥ 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，把1x =代入导数得斜率，把1x =代入()f x 即可得1x =时的坐标。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习：第3章 §2 导数的概念及其几何意义]
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第三章 §2一、选择题1．设函数f (x )在x ＝1处存在导数，则lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)[答案] C [解析] lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)． 2．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2 D.12[答案] C[解析] ∵切线的斜率为－2，∴f ′(3)＝－2，故选C.3．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B.4．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°[答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －Δx 2＋13Δx 3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13Δx 2，lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13Δx 2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°.5．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是( )A ．2 B.52 C ．1 D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.6．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 由已知点(0，b )是切点． Δy ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b ＝(Δx )2＋aΔx ， ∴Δy Δx ＝Δx ＋a ，y ′|x ＝0＝lim Δx →0 Δy Δx＝a . ∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1，∴a ＝1. 又切点(0，b )在切线上，∴b ＝1. 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0(2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝________. [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)， 又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上， 故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1. 9．若f ′(x )＝3，则lim Δx →f (x ＋2Δx )－f (x )Δx＝________.[答案] 6 [解析] lim Δx →f (x ＋2Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →02·f (x ＋2Δx )－f (x )＝2lim Δx →f (x ＋2Δx )－f (x )2Δx＝2f ′(x )＝6.三、解答题10．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1) (2)3227[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．一、选择题11．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab的值为( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.12.已知函数y ＝f (x )的图像如图，f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0 [答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0. 13．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·Δx －2ΔxΔx＝lim Δx →(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2－2) ＝3x 2－2，∴f ′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y ＝x －1. 二、填空题14．函数y ＝f (x )的图像在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝2.15．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f [f (0)]＝________；lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)[答案] 2 －2[解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义．易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2<x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)＝－2.16．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________．[答案] y ＝2x －1[解析] 设P (x 0，x 20)，则k ＝y ′＝2x 0＝2，故x 0＝1，∴P (1,1)，k ＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.三、解答题17．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2，－1)，求(1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [答案] (1)1 (2)x －y －3＝0 (3)y ＝4x [解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1，∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴lim Δx →Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x .18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴围成的三角形的面积 [答案] (1)y ＝－13x －229 (2)12512[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →0 2xΔx ＋Δx 2＋ΔxΔx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.∴f ′(1)＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.故直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。
【成才之路】高中数学 本册综合测试1 北师大版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学 本册综合测试1 北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了了解高一1 500名新生的年龄情况，从中抽取100名新生．就这个问题，有下列说法：①1 500名新生是总体； ②每个新生是个体；③所抽取的100名新生是一个样本； ④样本容量为100；⑤每个新生被抽到的概率相等． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 1500名新生的年龄情况是总体；每个新生的年龄是个体；因而④、⑤正确，其它错误．解决本题的前提是正确理解总体、个体、样本、样本容量的概念．2．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．有放回抽样C ．随机数表法D ．系统抽样 [答案] D[解析] 因为抽取样本时间隔的距离相等，所以是系统抽样．3．(2014·湖南文，5)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B ．35 C.25 D ．15[答案] B[解析] 利用几何概型公式求解，在区间为[－2,3]上随机选取一个数x ，则x ≤1，即－2≤x ≤1的概率为P ＝35.4．甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A.22,20 B ．24,18 C ．23,19 D ．23,20[答案] C[解析] 甲命中个数：8、12、13、20、22、24、25、26、27、37，中位数为12(22＋24)＝23，同理乙的中位数为12(18＋20)＝19.5．甲、乙、丙、丁4人分乘两辆车，每辆车乘两人，则甲、乙同车的概率是( ) A.12 B ．13 C.14 D ．23[答案] B[解析] 乘车的所有可能情况是甲、乙→丙、丁；甲、丙→乙、丁；甲、丁→乙、丙，所以甲、乙同车的概率为13.6．(2014·福建理，5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A．18 B．20C．21 D．40[答案] B[解析] 本题考查程序框图，当n＝1时，S＝3，当n＝2时，S＝3＋22＋2＝9，当n＝3时，S＝9＋23＋3＝10>15，故输出S＝20.对于较为简单的循环结构的框图问题，可直接令n＝1,2,3……进行求解．7．某中学高一、高二、高三三个年级共有学生3 000人，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知高一年级学生为1 200人，则该年级抽取的学生数为( )A．20 B．30C．24 D．25[答案] C[解析] 抽样比：603 000＝150，∴高一抽取：1 200×150＝24.8．在箱子中装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为( )A.12B．14C.15D．110[答案] D[解析] 先后两次抽取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个，因为x＋y是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)，共10对数，故x＋y是10的倍数的概率P＝10100＝110.9．(2014·湖北文，6)根据如下样本数据A．a>0，b<0 B．a>0，b>0C．a<0，b<0 D．a<0，b>0[答案] A[解析] 本题考查散点图的应用． 作出散点图如下：由图像不难得出：回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.所以a >0，b <0.解答本题若没有想到画出散点图，直观通过数据来判断系数b ，a 与0的大小好像无头绪，容易造成错解．10．一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是( )A.12s 2 B ．2s 2C ．4s 2D ．s 2[答案] C[解析] 设一组数据x 1，x 2，…，x n ， 则s 2＝x 2－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2n，将每一个数乘以2，则x ′＝2x .所以s ′2＝x 1－2x2＋x 2－2x2＋…＋x n －2x2n＝4n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4s 2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．[答案] 160[解析] 本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为280560＋420＝27，所以男生数应为560×27＝160.分层抽样是按比例抽取，一定要先找出抽样比．12．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)[答案] 0.3[解析] 在五个数字1,2,3,4,5中，随机取出三个数字，剩下两个数字，基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，其中事件“两个数字都是奇数”＝{(1,3)，(1,5)，(3,5)}，故概率为0.3.13．(2014·辽宁文，13)执行下面的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝________.[答案] 20[解析] 考查程序框图的循环结构．i ＝1时，S ＝1，T ＝1；i ＝2时，S ＝3，T ＝4；i ＝3时，S ＝6，T ＝10；i ＝4时，S ＝10，T ＝20，i ＝4>3，∴输出T ＝20.注意：找准i 与n 的关系．14．下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．[答案] 9[解析] 本题考查频率分布直方图，考查阅读图表的能力．平均气温不低于25.5℃的城市T 数设为x ， 则0.12＋0.1011＝0.18x. ∴x ＝9.本题也可以利用矩形面积求解．15．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为________．[答案] 78[解析] 设电子元件接通记为1，不通记为0.设A 表示“3个电子元件至少有一个接通”，显然A 表示“3个电子元件都没有接通”，Ω表示“3个电子元件的状态”，则Ω＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)，(0,0,0)}．Ω中由8个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.A ＝{(0,0,0)}．事件A 由一个事件组成，因此P (A )＝18，又因为P (A )＋P (A )＝1，所以P (A )＝1－P (A )＝1－18＝78.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)某公司在过去几年使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的概率． [解析] (1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6.17．(本小题满分12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.(1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得二分，为黑球得一分，为红球不得分．现从袋子中取出1个小球，求总得分为二分的概率．[解析] (1)由题意可知n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋中取出2个小球的所有等可能基本事件为(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共6个，记事件A 为“总得分为二分”，包含的基本事件为(a ，c 1)，(a ，c 2)，共2个． ∴P (A )＝26＝13.18．(本小题满分12分)已知算法如下所示：(这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…)S1 输入x ；S2 若x <－2，执行S3；否则，执行S6； S3 y ＝2x ＋1； S4 输出y ； S5 执行S12；S6 若－2≤x <2，执行S7；否则执行S10； S7 y ＝x ； S8 输出y ； S9 执行S12； S10 y ＝2x －1； S11 输出y ； S12 结束．(1)指出其功能(用数学式子表达)； (2)画出该算法的算法框图．[解析] (1)该算法的功能是：x 已知时，求函数 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <－2，x ，－2≤x <2，2x －1，x ≥2的值．(2)算法程序图如下．19．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[分析] (1)根据条件可画出图；(2)用求平均数与方差的公式可求；(3)算出不低于95的频率可求得本题．[解析] (1)(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06×＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．20．(本小题满分13分)某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样的方法从这1 000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(2)若已知树干周长在30 cm至40 cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．[解析] (1)因为用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，所以应该抽取银杏树100×4001 000＝40株．所以在4＋18＋x＋6＝40，所以x＝12.(2)记这4株树分别为树1，树2，树3，树4，且不妨设树4为患虫害的树，记“恰好在排查到第二株时发现患虫害树”为事件A，则A是指第二次排查到的是树4，因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件空间为：Ω＝{(树1，树2)，(树1，树3)，(树1，树4)，(树2，树1)，(树2，树3)，(树2，树4)，(树3，树1)(树3，树2)，(树3，树4)，(树4，树1)，(树4，树2)，(树4，树3)}，共12个基本事件．又事件A 中包含的基本事件有3个，所以恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率P (A )＝312＝14.21．(本小题满分14分)(2014·新课标Ⅱ理，19)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ＝n i ＝1t i －ty i －yn i ＝1t i －t2，a ＝y －b t[解析] (1)∵t ＝1＋2＋…＋77＝4，y ＝2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.97＝4.3，设回归方程为y ＝bt ＋a ，代入公式，经计算得b ＝3×14＋2＋0.7＋0＋0.5＋1.8＋4.8＋4＋＝1414×2＝12.a ＝y －b t ＝4.3－12×4＝2.3所以，y 关于t 的回归方程为y ＝0.5t ＋2.3.∵b ＝12>0，∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收入y ＝0.5×9＋2.3＝6.8(千元)所以，预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元左右．。
北师大版高中数学选修1-1章末综合测评(三) 变化率与导数.docx
章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t＝4 s时的瞬时速度为( )A．12 B．－12C．4 D．－4【解析】S(t)＝2(1－t)2＝2t2－4t＋2，则S′(t)＝4t－4，所以S′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2 x －(1＋cos x )cos x sin 2 x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b )在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )【解析】 f ′(x )＝2x ＋b ，因为f (x )顶点⎝⎛⎭⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b <0，则f ′(x )图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24 B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，所以sin⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]． 【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)．则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2) B ．22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】 将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P (x 0，y 0)，由x 2－y －2ln x ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x )′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x. 【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________．①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x )′＝x ln a ；③加速度是质点的位移s 对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x )＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f (x )在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________． 【解析】 设切点为M (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2，① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.【解析】 因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.【答案】 － 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x . 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23. ∴所求直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 【解】 (1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎨⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3.故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎨⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋94与l 平行，求f (x )的图像上的点到直线g (x )的最短距离．【解】 因为f (x )＝x ，所以f ′(x )＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0.因为切线l 与直线g (x )＝kx ＋94平行，所以k ＝1，即g (x )＝x ＋94.f (x )的图像上的点到直线g (x )＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎨⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。
【成才之路】-学年高中数学 综合素质检测4 北师大版选修1-1
第四章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递减区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[答案] A[解析]f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)<0，解得x<2，即函数f(x)的单调递减区间是(－∞，2)．2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2[答案] B[解析]f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.3．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－3 B．－6C．－2 D．0[答案] B[解析]f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3，∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，即f(x)在[－1,1]上是单调递增的，故当x＝1时，f(x)max＝－6.4．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5[答案] D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f′(x)＝0的实数根，∴a ＝5.5．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( ) A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.6．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3] [答案] D[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图像是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D.7．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图像，给出下面四个判断：①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②③④[答案] B[解析] 由函数y ＝f (x )的导函数的图像可知：(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； (2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．8．(2014·银川九中二模)已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图像是( )[答案] A[解析] f (x )＝14x 2＋cos x ，f ′(x )＝12x －sin x ，∵－1≤sin x ≤1，且f ′(－x )＝－f ′(x )， ∴f ′(x )为奇函数，排除B 、D ；令g (x )＝12x －sin x ，则g ′(x )＝12－cos x ，当x ∈(0，π3)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(0，π3)上为减函数，即f ′(x )在(0，π3)上为减函数，排除C ，故选A.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1 <0，f 2 >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.10．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图像关于点(π，0)对称B ．偶函数且图像关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图像关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图像关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图像关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为________．[答案] c <14[解析] ∵f ′(x )＝x 2－x ＋c 且f (x )有极值， ∴f ′(x )＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c >0. 解得c <14.12．函数y ＝f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________． [答案] －1[解析] f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，即x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由于max13．(2014·沈阳质检)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．[答案] 8 2[解析] ∵f (x )＝x (x －a )(x －b )，∴f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋x [(x －a )(x －b )]′， ∴f ′(0)＝ab ＝4，∴a 2＋2b 2≥22ab ＝8 2.14．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________． [答案] －19[解析] y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.15．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图像关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图像向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图像，∴函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f x ＋3 >0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f x ＋3 <0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1)三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ∈R ，b ∈R )．若a >0，且f (x )的极大值为5，极小值为1，求f (x )的解析式．[答案] f (x )＝x 3＋3x 2＋1[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋b ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2a3.又∵a >0，∴－2a3<0.∴当x <－2a3或x >0时，f ′(x )>0；当－2a3<x <0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，－2a 3)和(0，＋∞)上是增函数，在(0，2a3)上是减函数．∴f (－2a3)是f (x )的极大值，f (0)是f (x )的极小值，即f (－2a 3)＝(－2a 3)3＋a (－2a 3)2＋b ＝5；f (0)＝b ＝1，解得a ＝3，b ＝1.∴所求的函数解析式是f (x )＝x 3＋3x 2＋1.17．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )(1)若函数f (x )的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． [答案] (1)a ＝－3或a ＝1，b ＝0 (2)(－5，－12)∪(－12，1)[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， 由于函数f (x )的图像过原点，则f (0)＝0，从而b ＝0， 又函数图像在原点处的切线斜率是－3，则f ′(0)＝－3， 所以－a (a ＋2)＝－3，解得a ＝－3或a ＝1.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.由于函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1a ≠－a ＋23，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1a ≠－12.所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．(2015·北京文，19)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[答案] (1)f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)；极小值k 1－ln k2(2)略[解析] (1)由f (x )＝x 22－k ln x ，(k ＞0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k 1－ln k2.(2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k 1－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k 1－ln k2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点． 当k ＞e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减， 且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k 2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间( 1，e]上仅有一个零点.19．在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子如图，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[答案] 箱底的边长是40cm 时，容积最大，最大容积16000cm 3[解析] 设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝60－x 2cm ，得箱子容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <60)，V ′(x )＝60x －3x22(0<x <60)．令V ′(x )＝60x －3x22＝0，解得x ＝0(舍去)，x ＝40，并求得V (40)＝16000.由题意可知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小， 故当x ＝40cm 时，箱子的容积最大，最大容积是16000cm 3. 20．已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图像在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在[1e ，e]上有两个零点，求实数m 的取值范围．[答案] (1)y ＝2x －1 (2)(1,2＋1e2][解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2 x ＋1 x －1 x.∵x ∈[1e ，e]，∴当g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，g ′(x )>0；当1<x <e 时，g ′(x )<0.故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g (1e )＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g (1e )＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g (1e )．∴g (x )在[1e ，e]上的最小值是g (e)．而g (x )在[1e，e]上有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1 ＝m －1>0g 1e＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是(1,2＋1e2]．21．(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．[答案] (1)f (x )＝x 3－3x (2)增区间(－∞，－1)，(1，＋∞)；减区间(－1,1) 极大值2 (3)略[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝－2，f ′ 1 ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-4．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ）A ．1712-B ．29-C ．14-D ．05．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．(](),11,-∞-+∞6．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A．4B．4C．10D．10-7．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12>8．已知函数3()2(1)f x x f x '=--，则函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为（ ） A ．-21B ．-27C ．-24D ．-259．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点10．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞11．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或4二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.15．过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______． 16．已知函数()2sinxf x cosx=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是________ .17．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为___________． 18．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 19．已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________.20．已知函数(),()xf x eg x kx ==：① 函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；② 若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，则1k =±；③ 若(1,)(,)k e e ∈+∞，则b R ∃∈，使得函数()0f x b -=恰有2个零点1x ，2x ，()0g x b -=恰有一个零点3x ，且123x x x ≠≠，1231x x x ++=.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题21．设函数423401234()(12)f x x a a x a x a x a x =-=++++.（Ⅰ）求1234234a a a a +++的值；（Ⅱ）设3131()()8g x a x a x =-，若过点(2,)(30)M t t ≠可作曲线()y g x =的三条切线，求实数t 的取值范围．22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围．23．已知函数()()321453f x x ax ax a a R =+-+∈． ()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围；()2若0a >且()()313g x f x x =-，()2x ax ϕ=+，当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 24．已知函数在处取得极值. （1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.25．已知函数()()ln f x x a x =-()a R ∈． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．26．设函数()()ln 1f x x a x =++,曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线l 与直线30x y -+=垂直.(1)求()y f x =的解析式; (2)求证:()0.f x >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．D解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数 ∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.3．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.4．B解析：B 【分析】由题意结合函数零点的概念可得(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx =与()11g x x=-相切时的斜率及经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时的斜率，即可得解.【详解】当01x <≤时，令()0f x =得x e e kx -=；当13x <≤时，令()0f x =得1xkx x -=即11kx x-=， 设(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，在同一坐标系中作出()y g x =与y kx =的图象，如图所示：函数()f x 有且仅有3个不同的零点等价于函数()y g x =的图象与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点， 当直线y kx =与()11g x x =-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为001,1A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由()21g x x '=-可得此时直线y kx =的斜率()0201k g x x '==-， 所以0200111x x x -=-，解得02x =，14k =-； 当直线y kx =经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时22339k -==-. 所以实数k 的最大值为29-.故选：B. 【点睛】本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.5．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴2112x a x +=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．6．C解析：C 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =，所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =， 所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===，所以1tan 2α=，所以sin α，所以1sin(3)tan()sin (tan )sin tan 5210+⋅-=-⋅-=⋅==παπααααα． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．7．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．8．A解析：A 【分析】由导数的运算可得：2()6(1)f x x f ''=--，再由导数的几何意义，即函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为()2f '，求解即可. 【详解】由题得2()6(1)f x x f ''=--，所以()()161f f ''=--，解得()13f '=-，所以()221f '=-.故选A. 【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。
高中数学 综合素质检测1 北师大版选修1-1
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x<y ，则x 2<y 2[答案] A [解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x ＝－1时，B 是假命题；当x ＝y ＝－1时，C 是假命题；当x ＝－2，y ＝－1时，D 是假命题．易知A 是真命题．2．设a ∈R ，则“a>1”是“1a<1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] a>1⇒1a <1，1a<1⇒/a>1，故选A. 3．“若a ⊥α，则a 垂直于α内任一条直线”是( )A ．全称命题B ．特称命题C．不是命题D．假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．4．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的( )A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．6．(2014·辽宁理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p或q B．p且qC．(¬p)且(¬q) D．p或(¬q)[答案] A[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p或q为真命题．7．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析] “若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；。
【成才之路】高中数学 综合素质检测3 北师大版选修1-1
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝2x ＋6从x ＝2到x ＝2.5的平均变化率是( ) A ．0 B ．0.5 C ．2 D ．2.5[答案] C[解析] y ＝2x ＋6从x ＝2到x ＝2.5的平均变化率是Δy Δx ＝2×2.5＋6－＋2.5－2＝2，故选C.2．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s＋Δt －sΔt，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8m/s ，则9.8m/s( )A ．是物体从0s 到1s 这段时间的平均速度B ．是物体从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度C ．是物体在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 [答案] C[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．3．物体运动方程为s ＝14t 4－3t 2，则t ＝4时的瞬时速度为( )A ．4B ．64C ．16D ．40[答案] D[解析] ∵s ′＝(14t 4－3t 2)′＝t 3－6t ，∴s ′(4)＝43－6×4＝40.4．f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )A ．－43B ．－3C ．－1D ．3[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.5．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图像过原点，且满足lim Δx →0f ΔxΔx＝－1，则f ′ (0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图像过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0f ΔxΔx＝－1， ∴选B.6．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定 [答案] A[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， ∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.7．曲线y ＝x 3，x >0在点P 处的切线的斜率为k ，当k ＝12时，P 点坐标为( ) A ．(－8，－2) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0)， ∴k ＝3x 20＝12，∴x 0＝±2，∴x ＝2， ∴P 点坐标为(2,8)，故选C.8．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B ．333C ． 3D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 9．(2013·烟台质检)已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图像为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′ ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′(π3)＝________.[答案] －23＋2 3[解析] f ′(x )＝(1sin x ＋1cos x )′＝－cos x sin 2x ＋sin xcos 2x，∴f ′(π3)＝－12322＋32122＝－23＋2 3.12．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x＝2·x ＋x －x，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．13．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2，令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.14．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝____________.[答案] 6[解析] ∵f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)． ∴f ′(2)＝－12. ∴f ′(x )＝6x －24. ∴f ′(5)＝30－24＝6.15．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是________．(填上正确的序号)①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，⑤f (x )＝x ＋1x.[答案] ①③⑤[解析] ①中的函数f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则x 20＝2x 0，解得x 0＝0或2，故①中函数存在巧值点；对于②中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则e －x 0＝－e－x 0，易知此方程无解，故②中函数不存在巧值点；对于③中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则ln x 0＝1x 0，由于函数y ＝ln x 与y ＝1x的图像有交点，因此方程有解，故③中函数存在巧值点；对于④中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则tan x 0＝1cos 2x 0，即sin x 0cos x 0＝1，显然无解，故④中函数不存在巧值点；对于⑤中的函数，要使f (x 0)＝f (x 0)，则x 0＋1x 0＝1－1x 20，即x 30－x 20＋x 0＋1＝0，设函数g (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，则g ′(x )＝3x 2－2x ＋1>0且g (－1)<0，g (0)>0，显然函数g (x )在(－1,0)上有零点，故⑤中函数存在巧值点．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列函数的导数： (1)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)； (2)f (x )＝2－2sin 2x2；(3)f (x )＝e x＋1e x －1；(4)f (x )＝2tan x .[答案] (1)f ′(x )＝3x 2＋2x －1 (2)f ′(x )＝－sin x (3)f ′(x )＝－2e x－(4)f ′(x )＝2cos 2x[解析] (1)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(2)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x .(3)f ′(x )＝x＋x－－x＋x－x －2＝－2e xx －2.(4)因为f (x )＝2tan x ＝2sin xcos x ，所以f ′(x )＝x x －x xcos 2x＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＝2cos 2x.17．求曲线y ＝f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x 在(3，f (3))处切线的斜率及切线方程．[答案] 斜率23 切线方程y ＝23x －132＋2ln3[解析] 由已知x >0， ∴f ′(x )＝x －3＋2x.曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.又f (3)＝92－9＋2ln3＝－92＋2ln3.∴方程为y －(－92＋2ln3)＝23(x －3)，即y ＝23x －132＋2ln3.18．求过原点作曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x －1的切线方程． [答案] x ＋y ＝0或23x －4y ＝0 [解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0) ∵切点在曲线C ， ∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1， ①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)， ②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1， ∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12)即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0.19．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．[答案] (1)16℃ (2)1.6℃ (3)t ＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min[解析] (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23， 故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均变化率为T－T 10＝－1610＝－1.6(℃)．它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.(3)T ′(5)＝lim Δt →0120＋Δt ＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2，它表示t ＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min.20．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )，g (x )的表达式．[答案] f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16 [解析] ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8，∴f (x )＝2x 3－8x . ∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16.∴g (x )＝4x 2－16. 综上，可知f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16. 21．求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是一元三次函数，且f (0)＝0，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(3)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [答案] (1)f (x )＝12x 3－94x 2 (2)f (x )＝2x 2＋2x ＋1[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0＝d f＝0＝cf＝3a ＋2b ＋c ＝－3f＝0＝27a ＋6b ＋c，解之，得a ＝12，b ＝－94，c ＝0，d ＝0.故f (x )＝12x 3－94x 2.(2)由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数． 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1中，x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， 由多项式恒等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0b －2c ＝0c －1＝0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。
【成才之路】2018-2019学年高中数学 3.3计算导数练习 北师大版选修1-1
【成才之路】2018-2019学年高中数学3.3计算导数练习北师大版选修1-1一、选择题1．设y＝e3，则y′等于( )A．3e2B．e2C．0 D．以上都不是[答案] C[解析] ∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )A．1条B．2条C．3条D．不确定[答案] B[解析] ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．3．f(x)＝1x 3x2，则f′(－1)＝( )A.52B．－52C.53D．－53[答案] D[解析] ∵f(x)＝x－5 3，∴f′(x)＝－53x－83，∴f′(－1)＝－53(－1)－83＝－53.4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )A．4 B．－4C．5 D．－5[答案] A[解析] f(x)＝xα，f′(x)＝α·xα－1，所以f′(－1)＝α·(－1)α－1，当α＝4时，f′(－1)＝4×(－1)3＝－4，符合题意，另三个选项都不能满足f′(－1)＝－4，故选A.5．若f(x)＝sinx，则f′(2π)和(f(2π))′的值分别为( )A．1和0 B．－1和0C．0和1 D．cosx和－1[答案] A[解析] (si nx)′＝cosx，∴f′(2π)＝cos2π＝1.又f(2π)＝sin2π＝0，∴(f(2π))′＝0，故选A.6．(2018·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( )A ．y ＝sinxB ．y ＝e xC ．y ＝lnxD ．y ＝cosx －12 [答案] D[解析] 由y ＝sinx 得y′＝cosx 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝lnx 的定义域x>0，∴C 错；D 中y ＝cosx －12时，y′＝－sinx 为奇函数，∴选D. 二、填空题7．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________．[答案] 180[解析] ∵s′＝(5t )′＝(t 15 )′＝15t －45 ， ∴质点在t ＝32时的速度为15×32－45 ＝15×(25) －45 ＝180. 8．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________． [答案] (2,1)[解析] 设P(x 0，y 0)，∵y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x 7；(2)y ＝x 10.[解析] (1)y′＝7x 6；(2)y′＝10x 9.10．求证：双曲线y ＝1x上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值． [答案] 定值为2，证明略[解析] 设双曲线上任意一点P(x 0，y 0)，∵y′＝－1x 2， ∴点P 处的切线方程y －y 0＝－1x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0；令y ＝0，得x ＝x 0＋x 20y 0＝2x 0.∴S △＝12|x|·|y|＝2. ∴三角形面积为定值2.一、选择题1．(2018·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1B ．－π4 C.π4 D ．5π4 [答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4. 2．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4； ②y ＝3x ，则y′＝133x ； ③y ＝log 2x ，则y′＝1x； ④y ＝cosx ，则y′＝sinx ；⑤已知f(x)＝3x ，则f ′(2)＝[f(2)]′.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] y ＝1x 3＝x －3，y′＝－3x －4＝－3x 4，故①正确；y ＝3x ＝x 13，y′＝13x －23＝133x2，故②不正确；y ＝log 2x ，y′＝1xln2；故③不正确；y ＝cosx ，y′＝－sinx ，故④不正确； ∵f(2)为常数，∴[f(2)]′＝0，又f ′(2)＝32ln3，∴⑤错误．3．正弦曲线y ＝sinx 上切线的斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32) D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32) [答案] D[解析] 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P(x 0，y 0)，∵y′|x＝x 0＝cosx 0＝12， ∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32. 4．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f′n (x)，n ∈N ，则f 2018(x)＝( )A ．sinxB ．－sinxC ．cosxD ．－cosx [答案] D[解析] f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)＝(sinx)′＝cosx ，f 2(x)＝f 1′(x)＝(cosx)′＝－sinx ，f 3(x)＝f 2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx ，f 4(x)＝f 3′(x)＝(－cosx)′＝sinx ，∴4为最小正周期．∴f 2018(x)＝f 3(x)＝－cosx.二、填空题5．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________． [答案] y ＝2x －1[解析] 设P(x 0，x 20)，则k ＝y′＝2x 0＝2，故x 0＝1，∴P(1,1)，k ＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.6．两曲线y ＝1x与y ＝x 在交点处的两切线的斜率之积为________． [答案] －12[解析] 两曲线y ＝1x与y ＝x 的交点坐标为(1,1)， ∴k 1＝(1x )′|x ＝1＝－1x2|x ＝1＝－1， k 2＝(x )′|x ＝1＝12x |x ＝1＝12. ∴k 1·k 2＝－12. 三、解答题7．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(－1，－1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？[答案] (1)3x －y －2＝0 (2)其他公共点有(1,1)和(－2，－8)[解析] (1)∵y′＝3x 2，∴切线斜率k ＝3，∴切线方程y ＋1＝3(x ＋1)，即3x －y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －2＝0y ＝x3消去y 得，3x －x 3－2＝0， ∴(x －1)2(x ＋2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝－2.∴其他公共点为(1,1)及(－2，－8)．8．已知函数y ＝asinx ＋b 的图像过点A(0,0)，B(3π2，－1)，试求函数在原点处的切线方程． [答案] y ＝x[解析] ∵y ＝asinx ＋b 的图像过点A(0,0)，B(3π2，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝asin0＋b －1＝asin 3π2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝0. ∴y ＝sinx.又∵y′＝cosx ，∴y′|x ＝0＝1.∴切线方程为y ＝x.。
【成才之路】2021年高中数学 3.3计算导数练习 北师大版选修1-1
【成才之路】2021 -2021学年高中数学 3.3计算导数练习 北师大版选修1 -1一、选择题1．设y ＝e 3,那么y ′等于( ) A ．3e 2B ．e 2C ．0D ．以上都不是[答案] C[解析] ∵y ＝e 3是一个常数 ,∴y ′＝0.2．函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3 ,那么切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3 ,解得x ＝±1.切点有两个 ,即可得切线有两条． 3．f (x )＝1x 3x 2,那么f ′(－1)＝( )A.52 B ．－52C.53 D ．－53[答案] D[解析] ∵f (x )＝x －53 ,∴f ′(x )＝－53x －83 ,∴f ′(－1)＝－53(－1) －83 ＝－53.4．f (x )＝x α,假设f ′(－1)＝－4 ,那么α的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5[答案] A[解析] f (x )＝x α ,f ′(x )＝α·xα－1,所以f ′(－1)＝α·(－1)α－1,当α＝4时 ,f ′(－1)＝4×(－1)3＝－4 ,符合题意 ,另三个选项都不能满足f ′(－1)＝－4 ,应选A.5．假设f (x )＝sin x ,那么f ′(2π)和(f (2π))′的值分别为( ) A ．1和0 B ．－1和0 C ．0和1 D ．cos x 和－1[答案] A[解析] (sin x )′＝cos x ,∴f ′(2π)＝cos2π＝1. 又f (2π)＝sin2π＝0 ,∴(f (2π))′＝0 ,应选A.6．(2021·合肥一六八高二期中)以下函数中 ,导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e xC ．y ＝ln xD ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数 ,故A 错；又y ＝e x时 ,y ′＝e x为非奇非偶函数 ,∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0 ,∴C 错；D 中y ＝cos x －12时 ,y ′＝－sin x 为奇函数 ,∴选D.二、填空题7．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ,那么质点在t ＝32时的速度等于____________．[答案]180[解析] ∵s ′＝(5t )′＝(t 15 )′＝15t －45 ,∴质点在t ＝32时的速度为15×32－45 ＝15×(25) －45＝180. 8．在曲线y ＝4x2上求一点P ,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135° ,那么P 点坐标为________．[答案] (2,1) [解析] 设P (x 0 ,y 0) ,∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x2′＝(4x －2)′＝－8x －3,tan135°＝－1 ,∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2 ,y 0＝1. 三、解答题9．求以下函数的导数． (1)y ＝x 7；(2)y ＝x 10.[解析] (1)y ′＝7x 6；(2)y ′＝10x 9.10．求证：双曲线y ＝1x上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．[答案] 定值为2 ,证明略[解析] 设双曲线上任意一点P (x 0 ,y 0) , ∵y ′＝－1x2 ,∴点P 处的切线方程y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令x ＝0 ,得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0；令y ＝0 ,得x ＝x 0＋x 20y 0＝2x 0. ∴S △＝12|x |·|y |＝2.∴三角形面积为定值2.一、选择题1．(2021·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3,∴y ′|x ＝1＝1 ,∴切线的倾斜角α满足tan α＝1 ,∵0≤α<π ,∴α＝π4.2．给出以下结论：①假设y ＝1x 3 ,那么y ′＝－3x4；②y ＝3x ,那么y ′＝133x ；③y ＝log 2x ,那么y ′＝1x；④y ＝cos x ,那么y ′＝sin x ； ⑤f (x )＝3x,那么f ′(2)＝[f (2)]′. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] y ＝1x 3＝x －3 ,y ′＝－3x －4＝－3x 4 ,故①正确；y ＝3x ＝x 13 ,y ′＝13x －23＝133x 2,故②不正确；y ＝log 2x ,y ′＝1x ln2；故③不正确；y ＝cos x ,y ′＝－sin x ,故④不正确； ∵f (2)为常数 ,∴[f (2)]′＝0 ,又f ′(2)＝32ln3 , ∴⑤错误．3．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A ．(π3 ,32)B ．(－π3 ,－32)或(π3 ,32)C ．(2k π＋π3 ,32)D ．(2k π＋π3 ,32)或(2k π－π3 ,－32)[答案] D[解析] 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0 ,y 0) ,∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12 ,∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3 ,∴y 0＝32或－32.4．设f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f 0′(x ) ,f 2(x )＝f 1′(x ) ,… ,f n ＋1(x )＝f ′n (x ) ,n ∈N ,那么f 2021(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x , f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x , f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ,∴4为最|小正周期． ∴f 2021(x )＝f 3(x )＝－cos x . 二、填空题5．P 是抛物线y ＝x 2上一点 ,假设过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直 ,那么过点P的切线方程为________．[答案] y ＝2x －1[解析] 设P (x 0 ,x 20) ,那么k ＝y ′＝2x 0＝2 ,故x 0＝1 ,∴P (1,1) ,k ＝2 ,∴切线方程为y －1＝2(x －1) ,即y ＝2x －1.6．两曲线y ＝1x与y ＝x 在交点处的两切线的斜率之积为________．[答案] －12[解析] 两曲线y ＝1x与y ＝x 的交点坐标为(1,1) ,∴k 1＝(1x )′|x ＝1＝－1x2|x ＝1＝－1 ,k 2＝(x )′|x ＝1＝12x|x ＝1＝12.∴k 1·k 2＝－12.三、解答题7．曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(－1 ,－1)处的切线方程； (2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点 ?[答案] (1)3x －y －2＝0 (2)其他公共点有(1,1)和(－2 ,－8) [解析] (1)∵y ′＝3x 2, ∴切线斜率k ＝3 ,∴切线方程y ＋1＝3(x ＋1) , 即3x －y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0y ＝x3消去y 得 ,3x －x 3－2＝0 ,∴(x －1)2(x ＋2)＝0 ,∴x 1＝1 ,x 2＝－2.∴其他公共点为(1,1)及(－2 ,－8)．8．函数y ＝a sin x ＋b 的图像过点A (0,0) ,B (3π2 ,－1) ,试求函数在原点处的切线方程．[答案] y ＝x[解析] ∵y ＝a sin x ＋b 的图像过点A (0,0) ,B (3π2 ,－1) ,∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝a sin0＋b －1＝a sin 3π2＋b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.∴y ＝sin x .又∵y ′＝cos x ,∴y ′|x ＝0＝1. ∴切线方程为y ＝x .。
高中数学阶段质量评估3北师大版选修1_1word版本
第三章 变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2 B ．(log 2x )′＝1xln 2C ．(5x)′＝5xlog 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2；(5x )′＝5xln 5；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ∴B 选项正确． 答案： B2．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则lim Δx→0Δy Δx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2解析：∵ΔyΔx ＝＋Δ－Δx＝＋Δ＋1－2Δx＝2＋Δx∴lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx→0(2＋Δx ) ＝2. 答案： A3．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A.π2 B ．0 C ．－1D ．1解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2cos π2＝0.答案： B4．一个物体的运动方程是s ＝1－t ＋t 2，s 的单位是米，t 的单位是秒，该物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒解析：∵s ′＝－1＋2t ，∴s ′(3)＝5，故选C. 答案： C5．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( ) A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：∵A 、B 、C 、D 满足f ′(x )＝4x 3， ∴只要验证f (1)＝－1即可． 答案： B6．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：y ′＝1x ，则1x ＝k .∴直线x ＝1k y 过⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1. ∴1＝ln 1k ，∴k ＝1e .答案： C7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A.94e 2B ．2e 2C ．e 2D ．e22解析：∵y ＝e x，∴y ′＝e x，∴y ′|x ＝2＝e 2＝k ，∴切线为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，∴S 三角形＝12×|－e 2|＝e22.答案： D8．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2解析： 由y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，求导得y ′＝－2－，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝3＝－12，则直线ax ＋y ＋1＝0的斜率为2，所以－a ＝2，即a ＝－2. 答案： D9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间(1,2]上切线的倾斜角都是钝角，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：g ′(x )＝－a ＋，要使g (x )在(1,2]上切线的倾斜角为钝角， 则有g ′(x )＝－a ＋＜0，所以a ＞0.而f (x )＝－x 2＋2ax 的对称轴为x ＝a ，由f (x )在(1,2]上切线的倾斜角为钝角知a ≤1，故0＜a ≤1.答案： D10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 解析：y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.解析：f ′(x )＝(x 3－ax 2－4x ＋4a )′＝3x 2－2ax －4， 由f ′(－1)＝0，得a ＝12.答案：1212．设f (x )为偶函数，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为________．解析：∵f (x )为偶函数，∴f ′(x )为奇函数． 又∵f ′(1)＝1，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－1. 答案： －113．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为________． 解析： 点(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，则k ＝2. ∴2＝f ′(1)＝3×12＋a ⇒a ＝－1，∴f (x )＝x 3－x ＋b . ∵点(1,3)又在曲线上，∴b ＝3. 答案： 314．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x ＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0) 答案： (－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)求下列函数的导数： (1)y ＝x5＋x ＋sin x x2；(2)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (3)y ＝1－sin x 1＋cos x.解析： (1)y ＝x5＋x ＋sin x x2＝x 3＋x －32 ＋x －2sin x .∴y ′＝3x 2－32x －52 －2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5) ＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5， ∴f ′(x )＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋cos x ′＝－＋－－＋＋＝sin x －cos x －1＋.16．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程． 解析： (1)f ′(x )＝2ax －43a由已知得⎩⎪⎨⎪⎧＝2a －43a ＝1，＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.17．(12分)已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都经过点P (2,0)，且在点P 处有公共的切线，求函数f (x )和g (x )的解析式．解析： 由f (x )的图像经过点P (2,0)， 得a ＝－8，从而f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8. 由g (x )的图像经过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0，又g ′(x )＝2bx ，且f (x )、g (x )的图像在点P 处有公共的切线， 所以g ′(2)＝f ′(2)，即4b ＝16，b ＝4，所以c ＝－16. 综上f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.18．(14分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．解析： 由f (2x ＋1)＝4g (x )，得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝2c ， ①a ＋b ＋1＝4d. ②由f ′(x )＝g ′(x )，得2x ＋a ＝2x ＋c . ∴a ＝c . ③ ∴由①③可得a ＝c ＝2.由f (5)＝30，得25＋10＋b ＝30. ④ 由④得b ＝－5.再由②得d ＝－12.∴g (x )＝x 2＋2x －12.故g (4)＝16＋8－12＝472.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =3．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-14．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 5．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 6．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k的取值范围是（ ） A ．(0,]eB ．21,e e e -⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦ 8．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞9．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--10．已知函数()ln 2f x x x =+，则其在1x =处的切线方程是（ ） A ．20x y -= B ．20x y += C ．10x y -+= D ．10x y +-= 11．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=-二、填空题13．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数已知函()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是___________.14．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________． 15．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．16．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．17．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数) 18．已知函数()2sinxf x cosx=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是________ .19．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________． 20．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题21．已知函数()()()32231610f x x m x mx m m R =---+∈. （1）若0m =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若0m >，且当[]13,x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围. 22．已知()()4431sin cos 30443x x f x x xf '=-++. （1）求()0f '；（2）设()21sin 22xg x x =+，求证：()g x 在(),0-∞内有且只有一个零点； （3）求证：当0x >时，()1f x >-.23．已知函数()ln 1f x ax x =+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）讨论()f x 的单调性.（3）若()0f x =有两个不相等的实根，求a 的取值范围.24．已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间和极值. 25．已知曲线()3:C f x x x =-.(1)求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程. 26．已知函数()1ln f x x x=-. （1）求函数()f x 在点()1,1-处的切线方程；（2）若函数()()1g x xf x =+，直线1:2l y ax e =+与函数()g x 在x e =处的切线2l 互相垂直，求直线12,l l 与x 轴围成的封闭图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．C解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e =+∈为奇函数，则()000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．D解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数 ∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.4．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x -恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0，∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数. 5．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.6．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.7．D解析：D 【分析】采用数形结合的方法，作出()f x 图像，根据直线y kx e =+过定点()0,e 以及两函数图像有3个交点，可得结果. 【详解】由方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解 等价于函数()f x ，y kx e =+图像有3个交点 且直线y kx e =+过定点()0,e 如图根据图形可知：0k < 当直线y kx e =+与()11g x e x=+-相切时 设切点001,1P x e x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 又()'21g x x =-，所以()'0201g x x =- 在点P 处的切线方程：()0200111y x x e x x =--++- 又过定点()0,e ，代入上式，可得02x = 所以()'124k g ==-当直线y kx e =+过点1,1A e e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭时则21110e ee e k e e +---==- 所以可知2114ek e--<≤故选：D 【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.8．B解析：B 【分析】由题意可知，当0x ≤时显然方程有一个根，问题转化为当0x >时，12x e a x-+=有2个根，即1x y e-=与(2)y a x =-的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解.当0x ≤时，()20f x -=即为320x +-=， 即1x =-， 所以方程有1根，又方程()20f x -=恰有3个不同的根， 所以当0x >时，()20f x -=有2个根， 即1(2)x ea x -=-有2个根，所以1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，设过原点与1x y e-=相切的直线切点为010(,)x x e-，则切线斜率0011000()0x x e k f x e x ---'===-， 解得01x =， 所以1k =，所以(2)y a x =-与1x y e -=有2个交点则需21a ->，即1a <， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.9．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切.故选：C.本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.10．C解析：C 【分析】求导得到()'ln 1f x x =+，计算()'11f =，()12f =得到切线方程. 【详解】()ln 2f x x x =+，则()'ln 1f x x =+，()'11f =，()12f =.故切线方程为：1y x =+，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.11．B解析：B 【分析】对函数求导，设切点()00,x y ，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于a 和0x 的方程组，解出a 的值. 【详解】 设切点()00,x y ，因为ln y ax x =+，所以1y a x'=+ 所以切线斜率01k a x =+则切线为()()00001ln y ax x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭整理得001ln 1y a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭又因为切线方程为31y x =-所以得0013ln 11a x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩故选B 项. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.12．D解析：D【解析】 【分析】对A ，B ，C ，D 四个选项逐个进行二次求导，判断其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可得选项. 【详解】若()sin cos f x x x =+，则()sin cos f x x x ''=--，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()ln 2f x x x =-，则21()f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若3()21f x x x =-+-，则()6f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()xf x xe -=-，则()2(2)xx x f x exe x e ''---=-=-.在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''>，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．二、填空题13．【分析】根据题目给出的定义可得即方程在区间有两个解结合二次函数的图象和性质可构造关于的不等式组求解可得的取值范围【详解】因为在区间存在满足方程在区间有两个不相等的解令则解得：故答案为：【点睛】关键点解析：3655t <<【分析】根据题目给出的定义可得()()()()212065t t f f f x f x t t -''===-，即方程22126355x x t t -=-在区间()0,t 有两个解，结合二次函数的图象和性质可构造关于t 的不等式组，求解可得a 的取值范围． 【详解】 因为()3265f x x x =-，()21235f x x x '=-在区间[]0,t 存在1x ，2x ()120,x x t <<< 满足()()()()212065t t f f f x f x t t -''===-∴方程22126355x x t t -=-在区间()0,t 有两个不相等的解 令()22126355g x x x t t =--+，()0x t << 则()()222144612025520560056205t t t g t t g t t t ⎧⎛⎫∆=--+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎪⎪=->⎪⎩，解得：3655t <<故答案为：3655t << 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的运算问题，关键是能够通过定义将问题转化为方程在区间内根的个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求得结果．14．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点解析：1[e -，21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点， 利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解， 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点，设()ln g x x =，则1()g x x'=， 设过原点的直线与()ln g x x =相切的切点坐标为：(,)x y ''，则切线方程为：1()y y x x x ''-=-'， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=，即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e''=， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有：11eke-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e， 故答案为：1[e -，21]e【点睛】本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.15．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-, 设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.16．【解析】【分析】通过判断函数为偶函数即可得到在的解析式从而求导求出直线的斜率再求出切线方程【详解】由于函数的图像关于直线对称故为偶函数令则从而因此则切线斜率为因此切线方程为【点睛】本题主要考查函数的 解析：2y x =【解析】 【分析】通过判断函数为偶函数即可得到()f x 在0x >的解析式，从而求导求出直线的斜率，再求出切线方程. 【详解】由于函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，故()f x 为偶函数，令0x >，则0x -<，从而1()()x f x f x ex -=-=+，因此(1)2f =，1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)112f '=+=，因此切线方程为2y x =.【点睛】本题主要考查函数的对称性，奇偶性，利用奇偶性求函数解析式，导数的几何意义，综合性强；意在考查学生的转化能力及逻辑分析能力.17．【解析】【分析】求导计算斜率计算切点坐标结合直线点斜式计算方法即可【详解】故切点为故切线方程为即【点睛】本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法关键结合导数计算斜率计算切点的坐标计算直线方程难度中等 解析：2y x e =-【解析】 【分析】求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)
一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B 5C ．55D ．63．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --5．若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ） A ．1nn + B ．()121n n -+C ．()22nn +D ．()()12nn n ++7．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．32D ．28．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-39．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=10．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或e B ．1或e C ．0或1 D ．e 12．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________．14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________.15．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．16．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 17．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______．18．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____. 19．若函数()()3'2211f x x f x =++，则f(-1)=____.20．已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()ln f x x x a =+在0x x =处的切线方程为2y x e =-. （1）求实数a 及0x 的值; （2）若1()()kg x f x x x x=--有两个极值点,求实数k 的取值范围. 22．已知曲线31433y x =+ （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程 23．设函数()()32xf x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围. 24．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.25．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。
【成才之路】2021年高中数学 1.1命题练习 北师大版选修1-1
【成才之路】2021 -2021学年高中数学 1.1命题练习北师大版选修1 -1一、选择题1．以下语句中命题的个数为( )①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]①④是命题 ,②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．给定以下命题：①假设k>0 ,那么方程x2＋2x－k＝0有实数根；②假设a>b>0 ,c>d>0 ,那么ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④假设xy＝0 ,那么x、y中至|少有一个为0.其中是真命题的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案] B[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0 ,所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确 ,所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等 ,不是矩形 ,所以③是假命题；④由等式性质知命题正确 ,所以④是真命题 ,应选B.3．(2021·山东文 ,5)设m∈R ,命题 "假设m＞0 ,那么方程x2＋x－m＝0有实根〞的逆否命题是( )A．假设方程x2＋x－m＝0有实根 ,那么m＞0B．假设方程x2＋x－m＝0有实根 ,那么m≤0C．假设方程x2＋x－m＝0没有实根 ,那么m＞0D．假设方程x2＋x－m＝0没有实根 ,那么m≤0[答案] D[解析]一个命题的逆否命题 ,要将原命题的条件、结论都加以否认 ,并且加以互换位置 ,应选D.4． "假设x、y∈R且x2＋y2＝0 ,那么x、y全为0”的否命题是( )A．假设x、y∈R且x2＋y2≠0 ,那么x、y全不为0B．假设x、y∈R且x2＋y2≠0 ,那么x、y不全为0C．假设x、y∈R且x ,y全为0 ,那么x2＋y2＝0D．假设x、y∈R且xy≠0 ,那么x2＋y2≠0[答案] B[解析] "全为0”的否认是 "不全为0” ,应选B.5．命题 "如果a、b都是奇数 ,那么ab必为奇数〞的逆否命题是( )A．如果ab是奇数 ,那么a、b都是奇数B．如果ab不是奇数 ,那么a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数 ,那么ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数 ,那么ab不是奇数[答案] B[解析]命题 "如果a、b都是奇数 ,那么ab必为奇数〞的逆否命题是 "如果ab不是奇数 ,那么a、b不都是奇数〞．6．在平面直角坐标系中 ,给出命题p： "如果两直线平行 ,那么它们的斜率相等〞 ,那么( )A．p的逆命题是真命题B．p的否命题是真命题C．p的逆否命题是真命题D．p的四种命题都不是真命题[答案] D[解析]在平面直角坐标系中 ,两直线平行 ,它们的斜率可能不存在 ,所以命题p是假命题；两直线斜率相等 ,它们可能重合 ,因此命题p的逆命题也是假命题；而原命题与逆否命题同真假 ,逆命题与否命题同真假 ,所以p的四种命题都是假命题．二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面 ,那么该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 ,那么该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等 ,那么该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等 ,那么该四棱柱为直四棱柱．其中 ,真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．[答案]②④[解析]②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行 ,可知命题成立 ,④中由题意 ,可知对角面均为长方形 ,即可证命题成立．①、③错误 ,反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线 ,下面给出四个命题：①假设a⊥b ,b⊥c ,那么a∥c；②假设a、b是异面直线 ,b、c是异面直线 ,那么a、c也是异面直线；③假设a和b相交 ,b和c相交 ,那么a和c也相交；④假设a和b共面 ,b和c共面 ,那么a和c也共面．其中真命题的个数是________．[答案]0[解析]∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行 ,∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面 ,也可以异面 ,∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交 ,也可以平行或异面 ,∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时 ,两平面内分别可以作出直线a与c ,即直线a与c 不一定共面 ,∴命题④不正确．综上所述 ,真命题的个数为0.9．给出以下命题：(1)平行四边形的对角线互相平分；(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(3)假设一个四边形不是平行四边形 ,那么这个四边形的对角线不能互相平分；(4)假设一个四边形的对角线不能互相平分 ,那么这个四边形不是平行四边形．①假设(1)为原命题 ,那么(2)为(1)的________命题 ,(3)为(1)的________命题 ,(4)为(1)的________命题．②假设(4)为原命题 ,那么(1)为(4)的________命题 ,(2)为(4)的________命题 ,(3)为(4)的________命题．[答案]①逆否逆否②逆否否逆三、解答题10．把以下命题写成 "假设p ,那么q〞的形式 ,并判断其真假．(1)对顶角相等；(2)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(3)弦的垂直平分线经过圆心 ,并平分弦所对的弧．[答案] "假设p那么q〞形式略 ,全为真[解析](1)假设两个角是对顶角 ,那么这两个角相等．是真命题．(2)假设一个数能被6整除 ,那么它既能被3整除也能被2整除．是真命题．(3)假设一条直线是弦的垂直平分线 ,那么这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．是真命题.一、选择题1．a、b、c∈R ,命题 "假设a＋b＋c＝3 ,那么a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．假设a＋b＋c≠3 ,那么a2＋b2＋c2<3B．假设a＋b＋c＝3 ,那么a2＋b2＋c2<3C．假设a＋b＋c≠3 ,那么a2＋b2＋c2≥3D．假设a2＋b2＋c2≥3 ,那么a＋b＋c＝3[答案] A[解析]确定原命题的条件和结论后 ,同时进行否认 ,即可写出否命题．原命题的条件是：a＋b＋c＝3 ,结论是：a2＋b2＋c2≥3 ,所以否命题是：假设a＋b＋c≠3 ,那么a2＋b2＋c2<3.2．设a是的平面向量且aa的分解 ,有如下四个命题：①给定向量b ,总存在向量c ,使a＝b＋c；②给定向量b和c ,总存在实数λ和μ ,使a＝λb＋μc；③给定向量b和正数μ ,总存在单位向量c ,使a＝λb＋μc.④给定正数λ和μ ,总存在单位向量b和单位向量c ,使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b、c和a在同一平面内 ,且两两不共线 ,那么真命题的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]对于① ,由向量的三角形加法法那么可知其正确；由平面向量根本定理知②正确；对③ ,可设e与b是不共线单位向量 ,那么存在实数λ,y使a＝λb＋y e,假设y>0 ,那么取μ＝y ,c＝e ,假设y<0 ,那么取μ＝－y ,c＝－e ,故③正确；④显然错误 ,给定正数λ和μ ,不一定满足 "以|a| ,|λb| ,|μc|为三边长可以构成一个三角形〞 ,这里单位向量b和c就不存在．可举反例：λ＝μ＝1 ,b与c垂直 ,此时必须a的模为2才成立．3．假设命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,p的逆命题为t,那么s是t的( ) A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[答案] C[解析]特例：△ABC中 ,角A、B、C的对边分别为a、b、c.p：假设∠A＝∠B ,那么a＝b ,r：假设∠A≠∠B ,那么a≠b ,s：假设a≠b ,那么∠A≠∠B ,t：假设a＝b ,那么∠A＝∠B.故s是t的否命题．4．命题p： "假设a>b>0 ,那么log12a<log12b＋1” ,那么命题p及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．4 [答案] C[解析]对于命题p ,当a>b>0时 ,有log12a<log12b ,那么必有log12a<log12b＋1 ,因此原命题正确 ,逆否命题也正确；但当log12a<log12b＋1时 ,得log12a<log12b2,即a>b2>0 ,此时不一定有a>b>0 ,因此逆命题不正确 ,那么命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题 ,应选C.二、填空题5．原命题：在空间中 ,假设四点不共面 ,那么这四个点中任何三点都不共线 ,其逆命题为________命题(填真、假)．[答案]假[解析]逆命题为：在空间中 ,假设四个点中任何三点不共线 ,那么这四点不共面 ,假命题．如：正方形ABCD的四个顶点 ,任意三点不共线 ,但这四点共面．6．命题 "假设实数a满足a≤2 ,那么a2<4”的否命题是________命题．(填 "真〞或 "假〞)[答案]真[解析]原命题的否命题为：假设实数a满足a>2 ,那么a2≥4 ,这是一个真命题．三、解答题7．写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题 ,并分别判断其真假．(1)如果两圆外切 ,那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)平面内 ,两条平行直线不相交．[解析](1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和 ,那么两圆外切 ,真；否命题：如果两圆不外切 ,那么两圆心距不等于两圆半径之和 ,真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和 ,那么两圆不外切 ,真．(2)原命题：在同一平面内 ,假设两条直线是平行直线 ,那么它们不相交 ,真；逆命题：在同一平面内 ,假设两条直线不相交 ,那么它们平行 ,假；否命题：在同一平面内 ,假设两条直线不是平行直线 ,那么它们相交 ,假；逆否命题：在同一平面内 ,假设两条直线相交 ,那么它们不平行 ,真．8．证明： "假设a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0 ,那么a＋b≠1”为真命题．[证明] 原命题等价为：假设a＋b＝1 ,那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0 ,a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝(a＋b)2＋(a＋b)－2＝(a＋b＋2)(a＋b－1) ,∵a＋b＝1 ,∴(a＋b＋2)(a＋b－1)＝0 ,∴a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0.∴命题 "假设a＋b＝1 ,那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”为真命题 ,即证明原命题为真命题．。
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第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝2x ＋6从x ＝2到x ＝2.5的平均变化率是( ) A ．0 B ．0.5 C ．2 D ．2.5[答案] C[解析] y ＝2x ＋6从x ＝2到x ＝2.5的平均变化率是Δy Δx ＝2×2.5＋6－＋2.5－2＝2，故选C.2．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s＋Δt －sΔt，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8m/s ，则9.8m/s( )A ．是物体从0s 到1s 这段时间的平均速度B ．是物体从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度C ．是物体在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 [答案] C[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．3．物体运动方程为s ＝14t 4－3t 2，则t ＝4时的瞬时速度为( )A ．4B ．64C ．16D ．40[答案] D[解析] ∵s ′＝(14t 4－3t 2)′＝t 3－6t ，∴s ′(4)＝43－6×4＝40.4．f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )A ．－43B ．－3C ．－1D ．3[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.5．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图像过原点，且满足lim Δx →0f ΔxΔx＝－1，则f ′ (0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] B[解析] ∵f (x )图像过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0f ΔxΔx＝－1， ∴选B.6．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定 [答案] A[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， ∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.7．曲线y ＝x 3，x >0在点P 处的切线的斜率为k ，当k ＝12时，P 点坐标为( ) A ．(－8，－2) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0)， ∴k ＝3x 20＝12，∴x 0＝±2，∴x ＝2， ∴P 点坐标为(2,8)，故选C.8．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B ．333C ． 3D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 9．(2013·烟台质检)已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图像为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′ ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′(π3)＝________.[答案] －23＋2 3[解析] f ′(x )＝(1sin x ＋1cos x )′＝－cos x sin 2x ＋sin xcos 2x，∴f ′(π3)＝－12322＋32122＝－23＋2 3.12．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x＝2·x ＋x －x，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．13．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2，令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.14．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝____________.[答案] 6[解析] ∵f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)． ∴f ′(2)＝－12. ∴f ′(x )＝6x －24. ∴f ′(5)＝30－24＝6.15．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是________．(填上正确的序号)①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，⑤f (x )＝x ＋1x.[答案] ①③⑤[解析] ①中的函数f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则x 20＝2x 0，解得x 0＝0或2，故①中函数存在巧值点；对于②中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则e －x 0＝－e－x 0，易知此方程无解，故②中函数不存在巧值点；对于③中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则ln x 0＝1x 0，由于函数y ＝ln x 与y ＝1x的图像有交点，因此方程有解，故③中函数存在巧值点；对于④中的函数，要使f (x 0)＝f ′(x 0)，则tan x 0＝1cos 2x 0，即sin x 0cos x 0＝1，显然无解，故④中函数不存在巧值点；对于⑤中的函数，要使f (x 0)＝f (x 0)，则x 0＋1x 0＝1－1x 20，即x 30－x 20＋x 0＋1＝0，设函数g (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，则g ′(x )＝3x 2－2x ＋1>0且g (－1)<0，g (0)>0，显然函数g (x )在(－1,0)上有零点，故⑤中函数存在巧值点．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列函数的导数： (1)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)； (2)f (x )＝2－2sin 2x2；(3)f (x )＝e x＋1e x －1；(4)f (x )＝2tan x .[答案] (1)f ′(x )＝3x 2＋2x －1 (2)f ′(x )＝－sin x (3)f ′(x )＝－2e x－(4)f ′(x )＝2cos 2x[解析] (1)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(2)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x .(3)f ′(x )＝x＋x－－x＋x－x －2＝－2e xx －2.(4)因为f (x )＝2tan x ＝2sin xcos x ，所以f ′(x )＝x x －x xcos 2x＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＝2cos 2x.17．求曲线y ＝f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x 在(3，f (3))处切线的斜率及切线方程．[答案] 斜率23 切线方程y ＝23x －132＋2ln3[解析] 由已知x >0， ∴f ′(x )＝x －3＋2x.曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.又f (3)＝92－9＋2ln3＝－92＋2ln3.∴方程为y －(－92＋2ln3)＝23(x －3)，即y ＝23x －132＋2ln3.18．求过原点作曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x －1的切线方程． [答案] x ＋y ＝0或23x －4y ＝0 [解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0) ∵切点在曲线C ， ∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1， ①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)， ②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1， ∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12)即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0.19．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．[答案] (1)16℃ (2)1.6℃ (3)t ＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min[解析] (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23， 故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均变化率为T－T 10＝－1610＝－1.6(℃)．它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.(3)T ′(5)＝lim Δt →0120＋Δt ＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2，它表示t ＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min.20．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )，g (x )的表达式．[答案] f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16 [解析] ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8，∴f (x )＝2x 3－8x . ∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，得4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16.∴g (x )＝4x 2－16. 综上，可知f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16. 21．求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是一元三次函数，且f (0)＝0，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(3)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [答案] (1)f (x )＝12x 3－94x 2 (2)f (x )＝2x 2＋2x ＋1[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0＝d f＝0＝cf＝3a ＋2b ＋c ＝－3f＝0＝27a ＋6b ＋c，解之，得a ＝12，b ＝－94，c ＝0，d ＝0.故f (x )＝12x 3－94x 2.(2)由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数． 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1中，x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， 由多项式恒等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0b －2c ＝0c －1＝0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。