4静电场习题课

R
E
作业中出现的答案：
R E
2
R 2 E
例5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
=Ar (r≤R) ， =0 (r＞R) ，A为一常量．
试求：球体内外的场强分布． 解：在球内取半径为r (r≤R) 、厚为dr的 薄球壳，该壳内所包含的电荷为
d
d q dV Ar 4r 2 d r
一、一个实验定律：库仑定律
F 12
二、两个物理概念：场强、电势；
q1q2 e 12 2 4 0 r12
三、两个基本定理：高斯定理、环流定理
E dl 0
L
1 E dS qi （ qi 所有电荷代数和）
0
有源场
（与
VA VB E dl 等价）
S
E d S E 4r 2 Q d V / 0
V
r


Q
a b
要使 E 的大小与r无关，则应有
Q Aa 2 0 2 2 4 0 r 2 0 r
r A 2 2Ar 2 a 2 其中： v dV a 4r d r 4A0 r d r r Q A Aa 2 Q 1 E 2A r 2 a 2 2 2 2 4 0 r 2 0 2 0 r 2 4 0 r 4 0 r
1 E 1 r
E 2 0 a
1 E 0 r
E 2 0
叠加法
Ei
dE
1
场强的计算
高斯定理法
E dS
S
0
q
i
梯度法
E U
六、电势 1.
WA 定义: U A q E d l 0 A

2. 静电场力作的功与电势差、电势能之间的关系： b
5. 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总 电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P 点的电场强度． 解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿 直杆方向．带电直杆的电荷线密度为 =q / L，在x处取一电荷元dq = dx = qdx / L，它在P点的场强：
qd x dq dE 2 2 4π 0 L d x 4π 0 LL d x
B A
（保守场）
四、电场强度的Biblioteka 算1. 点电荷的电场的计算
E
2. 点电荷系的电场的计算
q r 2 0 4 0 r 1
设真空中有n个点电荷q1,q2,…qn，则P点场强
1 qi E Ei r 2 i0 i i 4 r 0 i
典型例子：电偶极子
延长线上
1 2p EA 3 4 0 r


即：A
Q 2a 2
易错点：
1、e EdV
s
2、 E dS E dS 4r 2 E
s
3、q
b
a
A 4r 2 dr r
r
4、q A 4rdr
r 0
a
2. 如图所示，半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q， 设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处 的电场强度的大小和电势为： (A) E=0，
1 q1 q2 1 U0 4 0 r1 r2 4 0
特例：无限长均匀带电直线的场强
E 2 0 a
（2）一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场
E
xq 4 0 ( x a )
2 2 3 2
i
E 2 0
（3）无限大均匀带电平面的场强
五、高斯定理可能应用的情况：
1、球面对称：
E q 40 r
2
E
q
S内
i 2
-
- -
dE-
dE+
-
- -
dE+
x
思路：
1、上半段电荷在O点的E+y：
dE y
rd dE 2 40 r
rd cos 2 40 r

E y
r cosd 2 40 r 40 r 0
2
y + + d O
O点：E 2 E y 20 r 方向：y轴反向。
讨论
若电荷非均匀分布，则O点 的电势为多少？
1. 有两个电荷都是＋q的点电荷，相距为2a．今以左边 的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯 面 ． 在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如 图所示． 设通过S1和S2的电场强度通量分别为F1和F2， 通过整个球面的电场强度通量为FS，则
____________，通过N面的电场强度通量F2＝ (S) /0 ________________．
0
e E dS
S
+ M N
-
n 对于闭合曲面， 取外法向为正
4.半径为R的半球面置于场强为的均匀电场中， 其对称轴与场强方向一致，如图所示．则通过 该半球面的电场强度通量为 R2E __________________．
4 0 r2 带电体

dq
r
0
应用标量叠加原理 qi uP i 4 0 ri ｄq U 4 0 r 带电体
先求 E 再求 U 。
U A E dl
A
（静电场 一）
3.静电场中某点的电场强度，其大小和方向与 单位正试验电荷置于该点时所受到的电场力 ___________________________________相同． 4.电荷为-5×10-9 C的试验电荷放在电场中某点 时，受到 20×10-9 N的向下的力，则该点的电 场强度大小为_______________，方向 4 N/C ____________． 向上
七、求解 E和U的方法比较：
求 E
1、 根据对称性应用高斯定理
求U
1 qi r 2 i0 ri
2、应用矢量叠加原理
不连续分布： 连续分布：
E
i
4 0
E
3、 先求 U,再求 E E gradU 。
U U U gradU x i y j z k
(A) F1＞F2，FS＝q /0． (B) F1＜F2，FS＝2q /0． (C) F1＝F2，FS＝q /0． （D) F1＜F2，FS＝q /0
S2 q O S1 q 2a x
（静电场二）
2.图示为一具有球对称性分布的静电场的E～r关系曲 线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．
q 将 1 代入 4 2r
由对称性知 Ex=0
+
+ +
-
E
- q
2
dE+
x
0r
2
2、O点处电势 根据电势叠加原理:
U U dq 40 r dq 40 r
上半段
+ +
+
+ +
O

q 4 0 r q 4 0 r
-
x
- -
下半段
UO U U 0
穷远处为电势零点) r2
提示： 根据高斯定理求场强 根据定义法求电势
R
r1
4.一半径为R的均匀带电圆环，电荷线密度为． 设无 穷远处为电势零点，则圆环中心O点的电势U＝ / (20) ______________________
思路:
标量叠加
dq 40 R q 40 R
U dU
在半径为 r 的球面内包含电荷为
q
R
q

dV
V

r
Ar 4r 2 d r Ar 4
r
高斯面
(本题选自静电场练习二)
0
以该球面为高斯面，按高斯定理有
F E1 4 r A r / 0
2 4
易错点：
4 3 1、q V Ar . r 3
2、q dV
q dx 总场强为 ： q E 2 4 0 d L d 4 0 L 0 ( L d－x)
L
x O L d dq (L+d－x)
Ｐ
dE x
方向沿x轴，即杆的延长线方向．
例3：有一半径为r 绝缘细环如图，上半段均 匀带+q,下半段均匀带-q, 求：细环中心处的电场强度和电势。 y + + + + + + + + + + d O O x
(B) E=0，
Q U 4 0 r
U
Q O R r P
(C)
Q E 4 0 r 2
Q ，U 4 π 0r
Q 4 0 R
(D) E
Q 4 0 r 2
，U
Q 4 0 R
静电场练习三
3.把一个均匀带有电荷+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀
到r2，则半径为R(r1＜R＜r2)的球面上任一点的场强大 0 Q / (40R2) 小E由______________变为______________；电势U由 Q / (40r2) Q / (40R) _____________________变为________________(选无
dq 3、dE 40 r 2
搞清各种方法的 基本解题步骤
4、q dV Ar 4r 2 dr
6.有一带电球壳，内、外半径分别为a和b，电荷 体密度 = A / r，在球心处有一点电荷Q，证明 当A = Q / ( 2a2 )时，球壳区域内的场强的大小 与r无关．
证：用高斯定理求球壳内场强：