§6.4 数列的综合应用
高三数学复习第六章数列第四讲数列的综合应用理省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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考情精解读 2
考纲解读
考点 • 全国
命题规律 命题趋势
• 等差、 等比
• 数列综 合
• 应用
• 【15%】
• 全国
• 全国
自主命题区域
• ·四 川,19,12 分
• ·四 川,16,12 分
• ·山 东,19,12 分
• ·天津,11,5
分
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数列综合应用
1
考法一 等差、等比数列综合应用
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数列综合应用
考法示例1 数列{an}前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1). (1)求{an}通项公式; (2)等差数列{bn}各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求 Tn. 思绪分析 (1)依据已知递推关系求通项公式;(2)依据等比关系列方程求公差,则前n项 和易求. 解析 (1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n≥2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n≥2). 又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1. 故{an}是首项为1,公比为3等比数列,所以an=3n-1. (2)设{bn}公差为d.
数列的综合应用与实际应用
2007年12月
中学数学研究·代数
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数列的综合应用与实际应用 高考题型⑵
解：⑴动点p行进路线依次为 所以
2007年12月
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数列的综合应用与实际应用 高考题型⑵
⑵设动点p与平面上
点无限接近，则
故动点p与平面上点
无限接近。
量的10%，那么经过几年后，鱼的总重量开始下 降？
2007年12月
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课堂思考
解： ⑴设每年底鱼的重量为 ，则
故四年后，鱼的总重量预计是原来的11.25倍。
2007年12月
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课堂思考
⑵设预计损失后每年底鱼的重量为
2007年12月
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课堂思考
2007年12月
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数列的综合应用与实际应用 高考题型⑴
例1 某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保 险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费 平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千 元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少 年后报废最合算？（即年平均费用最少？）
2007年12月
2007年12月
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数列的综合应用与实际应用 高考题型⑶
⑵当
时，若发生水土流失，则森林木材存量
必需小于
即
经8年该地区就开始水土流失。
2007年12月
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课堂思考
据统计测算，某养鱼场第一年鱼的总重量增长率为 200%，以后每年的增长率为前一年的一半。
数列的综合应用教学设计
数列的综合应用教学设计数列的综合应用一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》（人教A版），第二章内容结束之后的综合练习。
在课本中没有专设章节。
内容从教材习题2.5中A组的第4题中体现。
本章五节内容分别讲授了等差数列、等比数列以及这两种数列的性质、通项公式、前N项和等基础内容。
让学生在此基础之上，了解高考中出现频率较多的一些特殊数列。
在实际教学中，本节内容应该分为五个阶段：第一阶段学生要充分掌握基本数列的知识点，可用提问的方式进行复习回顾。
第二阶段，对于特殊数列有关例题首先要引导学生观察，找到与基本数列的相似处，从而决定构造为基本数列中的等差数列或等比数列，大胆提出猜想。
第三阶段从猜想入手，开始构造。
运用基本数列的形式和性质得到新的数列。
构造出的新数列必须满足基本数列成立的条件。
验证猜想的正确性。
第四阶段根据题目要求从构造出的新数列找出所求项。
第五阶段，老师和学生一起归纳题型。
学生在老师的引导下结题，提高主动性，学习的灵活性。
从而提高对本节知识的兴趣。
二、学情分析对于高一年级的学生来说。
之前的学习中已经接触到了函数内容。
以及在本节内容的学习之前，已经有了数列的基础。
学生已经具备了一定的分析能力，函数构造基础等。
对于本节授课内容来说，学生在一般很难自己分析出来，有一定的难度。
所以需要老师的正确引导，但是在复习的基础上不宜直接灌输解题方法。
应该带领学生一起观察、分析、猜想、证明。
从而加深学生对本节内容的理解，也可让学生自己尝试找到新的解法，建立自己的思维模式。
三、设计思想在授课中，必须要求学生掌握基本数列（等差数列和等比数列）的内容。
以此引导学生，分析特殊数列。
并且根据之前学习三角函数时用到的“构造”理念。
将特殊数列构造为基本数列，再运用基本数列的知识点来解题。
课堂中，以例题分析为主，让学生学会观察特殊数列的结构，分析如何构造出适合的基本数列的形式。
讲课过程中，以启发性为主，让学生主动分析。
2016届新课标高三数学(文)一轮复习习题 §6.4数列求和、数列的综合应用 2年模拟
§ 6。
4 数列求和、数列的综合应用A 组 2014-2015年模拟·基础题组限时：35分钟1。
（2014河南安阳二模,6）已知数列｛a n }中，a n =—4n+5,等比数列｛b n }的公比q 满足q=a n —a n —1(n≥2)且b 1=a 2，则|b 1｜+|b 2|+｜b 3|+…+|b n ｜=（ ）A.1-4n B 。
4n —1 C.1-4n3 D.4n-132。
(2014辽宁五校协作体联考,15)已知数列｛a n ｝满足a n =1+2+3+…+nn,则数列{1a n a n+1}的前n 项和为 。
3.（2014广东揭阳3月模拟,13)对于每一个正整数n,设曲线y=x n+1在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lg x n ，则a 1+a 2+…+a 99= 。
4。
（2015河北石家庄调研)在数列{a n ｝中,已知a 1=14,a n+1a n=14,b n +2=3lo g 14a n (n∈N ＊). （1)求数列｛a n }的通项公式； (2)求证：数列｛b n ｝是等差数列;(3)设数列{c n }满足c n =a n +b n ，求｛c n ｝的前n 项和S n .5.（2014广东湛江二模,19）已知等差数列｛a n｝的首项a1=1，公差d>0，且a2,a5，a14分别是等比数列{b n｝的b2，b3,b4。
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2）设数列｛c n}对任意正整数n均有c1b1+c2b2+…+c nb n=a n+1成立,求c1+c2+…+c2 014的值。
B组2014—2015年模拟·提升题组限时:50分钟1.（2015长春外国语学校期中）若数列｛a n}满足1a n+1—pa n=0，n∈N＊，p为非零常数,则称数列{a n｝为“梦想数列”.已知正项数列{1b n}为“梦想数列”,且b1b2b3…b99=299,则b8+b92的最小值是（）A。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
高中数学-数列综合应用
数列综合应用知识精要一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和；①等差数列的前n 项和公式：②等比数列的前n 项和公式：（2）一些常见的数列的前n 项和：○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=； ○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=； ○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。
2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如(1)()n n a f n =-类型，可采用两项合并求解。
二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。
2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。
6.4 数列求和、数列的综合运用-5年3年模拟北京高考
6.4 数列求和、数列的综合应用五年高考考点1 数列求和1．（2012大纲全国．5,5分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为 ( )101100.A 10199.B 10099.C 100101.D 2．（2011天津，4，5分）已知}{n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n s 为}{n a 的前n 项和，*,N n ∈则10S 的值为( )110.-A 90.-B 90.C 110.D3．（2013辽宁．14,5分）已知等比数列}{n a 是递增数列，n S 是}{n a 的前n 项和，若31,a a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S4．（2013重庆．12，5分）已知}{n a 是等差数列，,11=a 公差=/d n s ,0为其前n 项和，若521,,a a a 成等比数列，则8s =5．（2013湖南，15，5分）设n s 为数列}{n a 的前n 项和，=n s ,,21)1(⋅∈--N n a nn n则 =3)1(a=+++10021)2(S S S6．（2010上海，10）在n 行n 列矩阵中，记位于第i 行第J 列的数为).,,2,1(n j i a ij =、当n=9时，+++332211a a u =+99a7．（2013四川，16,12分）在等差数列}{n a 中，,831=+a a 且4a 92a a 和为的等比中项，求数列}{n a 的首项、公差及前n 项和．8．（2013浙江，1814分）在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知,101=a 且3215,22,a a a +成等比数列． (1)求;,n a d(2)若d<0，求.||||||||321n a a a a ++++智力背景蝴蝶效应（二） 这一天，Lorenz 想更避．步了解某段纪录的后续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果当时，电脑处理数据资料的速度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵．回来后，结果出来了，不过令他目瞪口呆，结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0:1000127，而这细微的差异却造成天壤之别，所以长期地准确预测天气是不可能的．9．（2012江西．16,12分）已知数列}{n a 的前n 项和221n s n -=kn +（其中*),N k ∈且n s 的最大值为8． (1)确定常数k ，并求,n a (2)求数列}229{nna -的前n 项和⋅n T 10.（2012湖北．18,12分）已知等差数列}{n a 前三项的和为-3，前三项的积为8．(1)求等差数列}{n a 的通项公式；(2)若132,,a a a 成等比数列，求数列|}{|n a 的前n 项和．11.（2011山东．20，12分）等比数列}{n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足：,ln )1(n n n n a a b -+=求数列}{n b 的前n 项和⋅n s考点2 数列的综合应用1．（2013课标全国112.5分）设n n n C B A ∆的三边长分别为,n a n n n n n C B A c b ∆,,的面积为.,3,2,1, =n s n 若1111,c b c b +>==+11,2n a a ,2,1n n n n a c b a +=+,21nn n a b c +=+则 ( ) }.{n s A 为递减数列 }.{n s B 为递增数列}{1~2n s C ⋅为递增数列，}{2n s 为递减数列}.{12-n s D 为递减数列，}{2n s 为递增数列2．（2012华约联盟自主招生．9）已知数列}{n a 的通项公式为n a ),321lg(2nn ++=n S n ,.2.1 =是数列 }{n a 的前n 项和，则=n S ( )0.A 3lg 31lg+++⋅n n B 2lg 2lg ++⋅n n C 3lg 11lg ++-⋅n n D 3．（2012卓越联盟自主招生．6）设}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，记}{},{n n b a 的前n 项和分别为⋅n n T S ,若==433,a b a ,4b 且,52435=--T T S s 则=++3535b b a a 4．（2012课标全国．16.5分）数列}{n a 满足=-++n n n a a )1(1,12-n 则}{n a 的前60项和为 5．（2011陕西．14,5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．6．（2013江西，17,12分）正项数列}{n a 的前n 项和n s 满足：2n S )1(2-+-n n .0)(2=+-n n s n(1)求数列}{n a 的通项公式,n a (2)令,)2(122nn a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为⋅n T 证明：对于任意的*,N n ∈都有⋅<645n T 7．（2013广东，19,14分）设数列}{n a 的前n 项和为⋅n s 已知1a 12,1+==n n a n s ,32312---n n .⋅∈N n(1)求2a 的值；(2)求数列}{n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有⋅<+++471.111n a a a 8．（2013湖北．22,14分）设n 是正整数，r 为正有理数． (1)求函数)1(1)1()1()(1->-+-+=+x x r x x f r 的最小值；(2)证明：;1)1(1)1(1111+-+<<+--++++r n n n r n n r r r r r 智力背景运筹学（一) 在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马的故事，这个故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效 果．可见，筹划、安排是十分重要的，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决，前者提供模型，后者提供理论和方法．(3)设,R x ∈记[x]为不小于x 的最小整数，例如][,2]2[π=⋅-=-=.1]23[,4 令,1258382813333++++= s 求[S]的值．（参考数据：≈≈≈≈34343434126,3.618124,5.35081,7.34480)7.6319．（2012大纲全国．22,12分）函数.32)(2--=x x x f 定义数列}{n x 如下：11,2+=n x x 是过两点))(,()5,4(n n n x f x Q p 、的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：;321<<≤+n n x x (2)求数列}{n x 的通项公式．10.（2012广东，19,14分）设数列}{n a 的前n 项和为,n s 满足*,,12211N n a S n n n ∈+-=++且321,5,a a a + 成等差数列． (1)求1a 的值；(2)求数列}{n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有⋅<+++2311121n a a a 11.（2012天津．18,13分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为}{,n n b S 是等比数列，且,211==b a.10,274444=-=+b S b a(1)求数列}{}{1n n b a 与的通项公式；(2)记*,,1211N n b a b a b a T n n n n ∈+++=- 证明=+12n T ⋅⋅∈+-)(102N n b a n n12.（2012陕西．17,12分）设}{n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为,n S 且435,,a a a 成等差数列． (1)求数列}{n a 的公比；(2)证明：对任意12,,,++⋅∈k k k S S S N k 成等差数列．13.（2012四川．20,12分）已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且n n s s a a +=22对一切正整数n 都成立．(1)求21,a a 的值；(2)设,01>a 数列}10{lg 1na a的前n 项和为⋅n T 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．14.（2010上海，20,13分）已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且n S .*,855N n a n n ∈--=(1)证明：}1{-n a 是等比数列；(2)求数列}{n s 的通项公式．请指出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由．智力背景运筹学（二） 运筹学的思想在古代就已经产生了，但作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最 优方法的选择安排，却晚多了，可以说，运筹学是在20世纪40年代才开始兴起的一门分支．运筹学主要 研究经济和军事活动中能用数量来表达的有关策划等方面的问题，当然，随着客观实际的发展，运筹学 的内容已经深入到日常生活中去了．运筹学可根据问题，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结 果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果.解读探究知识清单1．当已知数列}{n a 满足),(1n f a a n n =-+且++)2()1(f f )(n f + 可求，则可用① 求数列的通项⋅n a2．当已知数列}{n a 满足),(1n f a ann =+且.).2()1( f f ⋅)(n f 可求，则可用② 求数列的通项⋅n a3．等差数列前n 项和③=n s ④= ，推导方法：⑤等比数列前n 项和⎩⎨⎧≠===,1______,)8(_______)7(,1_______6q q S n ）（推导方法：错位相减法． 4．常见数列的前n 项和：=++++n 321)1(⑨⑩=++++n 2642)2(=-++++)12(531)3(n=++++2222321)4(n=++++3333321)5(n5．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和；(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (4)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 6．常见的拆项公式：;111)1(1)1(+-=+n n n n);121121(21)12)(12(1)2(+--=+-n n n n.111)3(n n n n -+=++【知识拓展】数列应用题的求解策略(1)构造等差、等比数列的模型（有时也会是其他较特殊的数列）． (2)运用相关概念、性质及求和公式进行运算．(3)通过“归纳一猜想一证明”的思路探索规律，并尝试应用规律解题，等价转化和分类讨论的思想方法在求解中起重要作用，复杂的数列问题总是要通过转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题来解决．·知识清单答案智力背景运筹学（三） 运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以 下几个步骤：确定目标、制订方案、建立模型、制定解法．虽然不大可能存在能处理极其广泛对象的运筹 学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题，随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用，运筹学本身也在不断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了.突破方法万法1错位相减求和例1 （2012吉林延边二模．17，12分）已知数列}{n a 的前n 项和为,3n n S =数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n n ().⋅∈N(1)求数列}{n a 的通项公式,n a (2)求数列}{n b 的通项公式;n b (3)若,n b a c nn n ⋅=求数列}{n c 的前n 项和⋅n T解题思路解析 ,3)1(n n s =),2(311≥=∴--n S n n⋅≥⨯=-=-=∴---)2(3233111n s s a n n n n n n （2分）当n=1时， ,32321111===/=⨯-a S⎩⎨⎧≥⨯==∴-.2,32,1,31n n a n n （4分） ),12()2(1-+=+n b b n n.32,,5,3,11342312-=-=-=-=-∴-n b b b b b b b b n n以上各式相加得=-+-=-++++=-2)321)(1()32(5311n n n b b n .)1(2-n.2,121n n b b n -=∴-= （8分）(3)由题意得 ⎩⎨⎧≥⨯-=-=-.2,3)2(2,1,31n n n c n n当n≥2时， +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-=3213223123023n T ,3)2(21-⨯-+n n （10分）-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-=∴n T n （232231230293432 ,3)2n ⨯相减得)2(232323262132--⨯++⨯+⨯+=--n T n n .3n⨯)3333(3)2(132-++++-⨯-=∴n n n n T⋅+-=--⨯-=233)52(2333)2(n n nn n⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-=∴.2,233)52(,1,3n n n T n n *).(233)52(N n n T n n ∈+-=∴ （12分）【方法点拨】1．用错位相减法求和时；应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出””与““n n qs s 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出”“n n qs S -的表达式． 2．利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和， 方法2裂项相消求和例 2 （2012陕西西安八校二模，侣．12分）已知等差数列}{n a 的公差为2，其前n 项和*).(22N n n pn s n ∈+=(1)求p 的值及,n a (2)若,)12(2nn a n b -=记数列}{n b 的前n 项和为,n T 求使109>n T 成立的最小正整数n的值．解题思路解析 (1)解法一：}{n a 是公差为2的等差数列，.)1(2221211n a n na d na S n -+=⨯+=+=∴ （2分） 又由已知,3,21,1,2112=∴=-=∴+=a a p n pn S n,12)1(1+=-+=∴n d n a a n .12,1+==∴n a p n （4分）解法二：由已知,44,2211+=+==p S p s a 即.23,44221+=∴+=+p a p a a （2分）又此等差数列的公差为,1,22,2,..212=∴=∴=-p p a a,321=+=∴p a,12)1(1+=-+=∴n d n a a n .12,1+==∴n a p n （4分）解法三：由已知,211+==p S a∴ 当n≥2时，-+--+=-=-n n p n pn s s a n n n (2)1([2221,22)]1+-=p pn,232+=∴p a （2分）由已知 ,1,22,212=∴=∴=-p p a a,12)1(,3211+=-+=∴=+=∴n d n a a p a n .12,1+==∴n a p n （4分）(2)由(1)知,121121)12)(12(2+--=+-=n n n n b n （6分）n n b b b b T ++++=∴ 321++-+-+-= )7151()5131()3111()121121(+--n n （8分） ⋅+=+-=1221211n nn （9分）,91820,109122,109+>∴>+∴>n n n n T n （10分）智力背景逻辑学的用处 有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用.爱因斯坦问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？” “当然是脏的那个，”学生说.“不对，脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡？”即,,29⋅∈>N n n 又 ∴ 使109>n T 成立的最小正整数n 的值为5． （12分）【方法点拨】 1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，将通项裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．2．-般情况如下，若}{n a 是等差数列，则=+11n n a a ),11(11+-n n a a d ⋅-=++)11(21122n n n n a a d a a 此外，根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和．3．常见的拆项公式：);11(1)(1)1(kn n k k n n +-=+);21121(21)12)(12(1)2(+--=+-n n n n];)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3(++-+=++n n n n n n n⋅-+=++)(11)4(n k n kkn n 三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：50分钟 分值：60分 一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013山东日照一模．10）已知数列}{n a 的前n 项和-=2n s n ,6n 则|}{|n a 的前n 项和=n T ( )26.n n A - 186.2+-n n B ⎩⎨⎧>+-≤≤-)3(186)31(6.22n n n n n n C ⎩⎨⎧>-≤≤-)3(6)31(6.22n n n n n n D2．（2012河南焦作4月模拟．4）已知数列}{n a 满足+=+211n a ,n n a a -且,211=a 则该数列的前2012项的和等于( )23015.A 3015.B 1509.C 2010.D 二、填空越（每题5分，共10分）3．（2013河南商丘二模．13）在等差数列}{n a 中，满足,7374a a =且n S a ,01>是数列}{n a 前n 项的和，若n s 取得最大值，则n=4．（2012江西盟校二联，13）下面给出一个“直角三角形数阵” 41 41,21 163,83,43 ……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为j i j i a ij ,,≥（*),N ∈则83a 等于三、解答题（共40分）5．（2013北京东城高三上学期期末）已知}{n a 为等比数列，其前n 项和为,n s 且*).(2N n a S n n ∈+=(1)求a 的值及数列}{n a 的通项公式；(2)若,)12(n n a n b -=求数列}{n b 的前n 项和⋅n T6．（2013安徽风阳二模，21）已知数列}{n a 的前n 项和为1,a s n -==n n a n S 2,21.,2,1),1( =-n n n (1)证明：数列}1{n s nn +⋅是等差数列，并求,n s (2)设,323n n s b n n +=求证：⋅<+++12521n b b b 7．（2013浙江嘉兴5月．19）已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且*).()12(2N n a n s n n ∈+-= (1)求证：数列}{n an ⋅是等比数列； (2)设数列}2{n n a 的前n 项和为++++= 321111,T T T A T n n ,1n T 试比较n A 与nna 2的大小． 智力背景数学老师收到的短信 忧愁是可微的，快乐是可积的，从现在起到正无穷的日子里，幸福是连续的， 且我对你们祝福的导数是严格大于零的，随着时间的前进趋向于正无穷．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：40分钟 分值：45分一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013江西南昌一模．7）已知等比数列}{n a 的各项均为不等于1的正数，数列}{n b 满足,12,18,lg 63===b b a b n n 则数列}{n b 的前n 项和的最大值等于( )2．（2013青海玉树3月，11）已知数列}{},{n n b a 满足21,1a a =,2,21==b 且对任意的正整数,,,,l k j i 当l k j i +=+时，都有,l k j i b a b a +=+则)(2013120131i i i b a +∑=（注： ++=∑=211a a a i n i )n a +的值为( )2012.A 2013.B 2014.C 2015.D二、填空题（每题5分，共10分）3．（2013北京海淀一模，14）设关于x 的不等式∈<-n nx x x (22*)N 的解集中整数的个数为,n a 数列}{n a 的前n 项和为,n s 则100S 的值为4．（2011四川成都五校联考．14）正项数列}{n a 中，,32=a 且n s *),(422N n p a a n n ∈++=则实数p= 三、解答题（共25分）5．（2013四川攀枝花二模．20）已知数列}{n a 为等比数列，其前n 项和为,n S 已知,16741-=+a a 且对于任意的+∈N n 有,n s 12,++n n s S 成等差数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)已知),(+∈=N n n b n 记++++= ||||||332211a b a b a b T n |,|nn a b 若)1()1(2--≤-n T m n n 对于n≥2恒成立，求实数m 的范围．6．（2013山东聊城二模．20）已知函数k x x f k (log )(=为常数，k>0且k≠1），且数列)}({n a f 是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列}{n a 是等比数列；(2)若),(n n n a f a b ⋅=当2=k 时，求数列}{n b 的前n 项和,n s(3)若,lg n n n a a c =问是否存在实数k ，使得}{n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．智力背景似是而非的数学 父：上次你考了20分，我打了你20下．看这次你考多少分，子：那这次您就别打我了．父：为什么？子：因为我考了0分，父：……——这真是个聪明的儿子，他发现了考试分数与被打数量之间的正比例函数关系．。
数列的综合应用
数列的综合应用1、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥。
⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
（2）形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
2、数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式； ②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； ③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+L222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332n(n+1)1+2+3++n =[]2L .（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性 ，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ； ⑤2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-.（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
数列的综合运用新
解析：对于A，即若{an}>M，an与an＋1中至少有一个 不小于M，则数列{an}的各项不一定都大于M，错误；对于 B，若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，{bn}>M， bn与bn＋1中至少有一个不小于M，但它们不一定是同一个n 值，则{an＋bn}>2M不成立；对于C，若{an}>M，数列各项 的正负及M的正负不确定，则{a}>M2不成立；则只有D成立，
(4)数列的实际应用：现实生活中涉及利率，产品利润， 工作效率，人口增长，常常考虑用数列知识加以解决．
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分
裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 ( )
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
解析：由题意知，细菌繁殖过程可以看作一个首项为
1，公比为2的等比数列模型，所以a10＝a1q9＝29＝512.故应 选B.
答案：B
2 ． 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 关 于 x 的 不 等 式 x2 －
x<nx(n∈N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn
＝
()
A．n2
B．n(n＋1)
C.
D．(n＋1)(n＋2)
解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)， 因此an＝n， Sn＝
故选D.
答案：D
1．在解决数列综合问题时要注意以下方面 (1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式 与求和公式都看作自变量为正整数的函数． (2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公 式 看作列方程的等量关系． (3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等 差数列或等比数列问题． (4)用猜想与递推的思想去解决数学问题．
数列的综合应用
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对数列综合应用的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 等差数列的应用：等差数列的求和公式、等差数列的通项公式等。
2. 等比数列的应用：等比数列的求和公式、等比数列的通项公式等。
3. 数列的极限：数列极限的定义、数列极限的性质等。
4. 数列的收敛性：收敛数列的定义、收敛数列的性质等。
5. 数列的应用举例：如数列在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的基本概念、性质和应用。
2. 运用案例分析法，分析数列在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4. 设置课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
四、教学步骤1. 引入数列的基本概念，讲解等差数列和等比数列的定义和性质。
2. 引导学生运用数列知识解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
3. 讲解数列的极限和收敛性，分析数列在实际中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论，分享数列在实际问题中的应用案例。
5. 通过课后习题，检查学生对数列知识的掌握程度。
五、教学评价1. 课后习题的完成情况，检验学生对数列知识的掌握。
2. 课堂讨论的参与度，评估学生的团队协作能力和思维水平。
3. 学生对数列应用案例的分析，评估学生的实际应用能力。
4. 定期进行教学质量调查，了解学生的学习需求，调整教学方法。
六、教学资源1. 教学PPT：制作数列综合应用的教学PPT，包含数列的基本概念、性质、应用案例等内容。
2. 案例素材：收集数列在实际问题中的应用案例，如人口增长、放射性衰变等。
3. 课后习题：编写具有代表性的课后习题，检验学生对数列知识的掌握。
4. 教学视频：寻找相关的教学视频，如数列的极限、收敛性的讲解等，辅助学生理解难点内容。
数列综合应用
数列求和求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式(ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解选择题：数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( ) A ．9 B ．8 C ．17 D ．16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100解析 ∵S nn ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N ＋)，则S 2 016＝( )A ．22 016－1B ．3·21 008－3C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2 解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2015＋a 2016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2016)＝1－21 0081－2＋2(1－21 008)1－2＝3·21008－3已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2017等于( )A ．31009－2B ．2×31007C.32014－12D.32014＋12解析 由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，∴S 2017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2016)＝1－310091－3＋3(1－31008)1－3＝31009－2设函数()f x ＝x m＋ax 的导函数为()f x '＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1 D.n ＋1n 解析 ()f x '＝mx m －1＋a ，∴a ＝1，m ＝2，∴()f x ＝x 2＋x ，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为( )A ．1－n ＋22n ＋1 B ．2－n ＋42n ＋1 C ．2－n ＋42n D ．2－n ＋22n ＋1解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∵S 3＝6，S 5＝252，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，d ＝12，∴a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，∴T n ＝2－n ＋42n ＋1.数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80 D ．82解析 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10200解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100填空题：若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为S n ＝________ 解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________解析 由题意知所求数列的通项为1－2n1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2017＝________解析 因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4. 故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，∴S 2017＝S 2016＋a 2017＝20164×2＋2017·cos 20172π＝1008数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________ 解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ， 则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3(1－4n )1－4＝4n－1已知函数f (x )＝x a 的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2017＝________.解析 f (4)＝2可得4a＝2，得a ＝12，则()12f x x =，∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2017－2016)＋(2018－2017)＝2018－1在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 4＝1，a 12＝3，a 95＝5，则数列{a n }的前100项和S 100＝________.解析 由题意可得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，则a n ＝a n ＋3，∴a 4＝1＝a 1，a 12＝3＝a 3，a 95＝5＝a 2，∴数列{a n }的前100项和S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝33×9＋1＝198解答题：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋ (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝na 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n ，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，①；当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.② ①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2 (n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③；2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1＝(2n －1)2n ＋1＋2.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.(1)解 由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2，即a 1＝－3或2，又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋可得，(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3，又数列{a n }的各项均为正数，∴S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)． ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n 又a 1＝2＝2×1，∴a n ＝2n (3)证明 当n ＝1时，1a 1(a 1＋1)＝12×3＝16＜13成立；当n ≥2时，1a n (a n ＋1)＝12n (2n ＋1)＜1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋1＜16＋16＝13 ∴对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12 (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1(2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值（二次函数性质）， 即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n (2)∵9－2a n 2n ＝n2n －1， ∴T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，①；2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②②－①得：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1，故T n ＝4－n ＋22n －1已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )． 令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1，∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2n a ，求数列{b n }的前n 项和T n 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，∴a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，∴a 2a 3＝15解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1，经检验，符合题意 (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ， ∴T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ， ∴4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43∴T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19.专项能力提升已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1 B.4n n ＋1 C.3n n ＋1 D.5n n ＋1解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4n n ＋1已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16解析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，∴此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0， 又∵16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7已知数列2008，2009，1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和S 2016等于( ) A ．2008 B ．2010 C ．1 D ．0 解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2008，2009，1，－2008，－2009，－1，2008，2009 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0 ∵2016＝6×336，∴S 2016＝0在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________解析 由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n ＞0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1a n －1＝－2－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1(n ∈N ＋)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2016中，有理数项的项数为( )A ．42B ．43C ．44D ．45解析 a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1＝(n ＋1)n －n n ＋1[(n ＋1)n ＋n n ＋1][(n ＋1)n －n n ＋1]＝nn －n ＋1n ＋1∴S n ＝1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫n n －n ＋1n ＋1＝1－n ＋1n ＋1， ∵S 3，S 8，S 15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n 2－1(n ≥2)，∴n 2－1≤2016，且n ≥2， ∴2≤n ≤44，∴有理项的项数为43设()f x ＝4x4x ＋2，若S ＝122014201520152015f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则S ＝________ 解析 ∵()f x ＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，①S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015，②①＋②得，2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝2 014，∴S ＝2 0142＝1007整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2015项的和为________解析 由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a n ＋2＝a n －a n －1－a n ＝－a n －1，即3n n a a +=-，则该数列是周期为6，又a n11＋2＋a n －1＝0，即30n n a a ++=，1234560a a a a a a +++++=，那么S 800＝a 1＋a 2＝2013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2000，∴⎩⎨⎧ a 3＝a 2－a 1＝－13，a 2＋a 1＝2013，∴⎩⎨⎧a 1＝1013，a 2＝1000， 由此可得：S 2015＝S 5＝12345313a a a a a a ++++==-已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1的值等于________ 解析 由a n ＋1＝a 2n ＋a n ，得1a n ＋1＝1a n (a n ＋1)＝1a n －1a n ＋1，∴11n a +＝1n a －1a n ＋1，∴1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 2015－1a 2016＝2－1a 2016，又a n ＋1＝a 2n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a 2n >0， ∴{a n }是正项递增的数列．又∵a 3＝2116>1，∴a 2016>1，即0<1a 2016<1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1a 2016＝1。
数列综合应用教案
数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。
教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。
检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。
二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。
三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。
等差数列的前n项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
第六章 数列6-4数列的综合问题与数列的应用
Am＝am1＋am2＋am3＋…＋amn 1 2 3 n nn＋1 ＝2m＋2m＋2m＋…＋2m＝ m＋1 ， 2 nn＋1 ∴数列{Ak}的通项公式 Ak＝ k＋1 (1≤k≤n)． 2
已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此 等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 … … … … … 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是 ________．
B．2000 D．1998
分析：公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的 项数就越多(即 n 越大)，故 P1 与 Pn 取长轴两端点时 n 取最 1 大值，可依据公差大于1000列不等式解．
解析：∵|PnF|max＝a＋c＝3，|PnF|min＝a－c＝1， an－a1 3－1 1 d＝ ＝ ＞1000，n∈N，∴nmax＝2000，故选 B. n－1 n－1
(2)由已知得 bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)2n， ∴Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)2n① 2Tn＝3×22＋1×23＋(－1)×24＋…＋(－2n＋5)2n 1② ②－①可得 Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)2n＋1 231－2n－1 ＝ ＋(－2n＋5)2n＋1－6 1－2 ＝(－2n＋7)2n＋1－14.
1 am1＝2m，
第4项
1 － 1 － m 1 am4＝2×2 ＝2m 2，
11m－2 1m 公差 d＝32 －2 1 1m 1m 1m ＝342 －2 ＝2 ，
1 － 1 1 2 ＝1＋2＋2 ＋…＋2n 1 1 － m－8 ＝2－2n 1> 4 对于任意的
高三数学数列的综合应用知识精讲
高三数学数列的综合应用【本讲主要内容】数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）。
2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的。
3. 用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等。
要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项n a ，还是各项和n S ，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决。
【解题方法指导】例1. （2005年全国卷三）在等差数列}{n a 中，公差d ≠0，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列 ，，，，，，n k k k a a a a a 2131成等比数列，求数列}{n k 的通项n k 。
解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可。
解：依题意得41221)1(a a a d n a a n ⋅=-+=，)3()(1121d a a d a +=+∴，整理得d a d 12= 10a d d =∴≠， ，得nd a n =所以，由已知得 ，，，，，，d k d k d k d d n 213是等比数列 由d ≠0，所以数列1，3，21k k ，，…，n k ，…也是等比数列 首项为1，公比为q=3，由此得91=k等比数列{n k }的首项91=k ，公比q=3，所以)21(33911 ，，==⨯=+-n k n n n即得到数列{n k }的通项*)(31N n k n n ∈=+例2. （2005年上海卷）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解题思路分析：这是一道实际应用题，依题意，先分析出中低价房面积逐年增长后，每年的面积数成等差数列，首项为250（万平方米），公差为50（万平方米）；而每年新建住房面积逐年增长后，每年的面积数成等比数列，首项是400（万平方米），公比为（1+8%），然后再依据题中条件列式，而第（1）问中，指的是中低价房的累计面积，所以应为数列的前n 项和；而第（2）问中，指的是该年建造的住房面积，应为数列的第n 项。
等比数列及数列的综合应用
等比数列及数列的综合应用等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
数列的综合应用是指将数列的概念和性质应用到实际问题中，解决具体的实际问题。
下面我会详细介绍等比数列的性质以及数列的综合应用。
首先，我们先来了解等比数列的性质。
等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，记作：a，ar，ar²，ar³，...，其中a为首项，r为公比。
等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an为数列的第n项。
一般来说，等比数列的公比r可以是正数、负数或零。
如果公比r大于1，则数列是递增的，每一项大于前一项；如果公比r介于0到1之间，则数列是递减的，每一项小于前一项；如果公比r小于-1，则数列交替增减；如果公比r介于-1到0之间，则数列也是交替增减的。
在数列的综合应用中，等比数列可以帮助我们求解一些与实际生活相关的问题。
下面我将通过几个例子来说明等比数列的应用。
例1：小明每个月养鱼，第一个月养了2条鱼，从第二个月起，每个月的鱼的数量是前一个月的2倍。
问第n个月养了多少条鱼？这个问题可以用等比数列来解决。
首先，我们知道第一个月养了2条鱼，所以首项a=2，公比r=2。
根据等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)，我们可以求得第n个月养的鱼的数量。
例如，求解第5个月养的鱼的数量，我们可以代入n=5得到an = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2^4 = 2 * 16 = 32，所以第5个月养了32条鱼。
例2：某商场的招待所有100个房间，第一个房间的价格是200元，从第二个房间起，每个房间的价格都是前一个房间的80%。
问最后一个房间的价格是多少？这个问题也可以用等比数列来解决。
首先，我们知道第一个房间的价格是200元，所以首项a=200，公比r=0.8。
根据等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)，我们可以求得最后一个房间的价格。
例如，求解最后一个房间的价格，我们可以代入n=100得到an = 200 * 0.8^(100-1) ≈0.00029元，所以最后一个房间的价格约为0.00029元。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。
通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。
通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。
通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。
3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。
第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。
通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。
通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。
通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
数列的综合运算
数列的综合运算数列是数学中常见的一种数学表达形式，它是按照一定规律排列的数的集合。
数列的综合运算是指对数列中的元素进行加减乘除等运算，从而得出数列的和、差、积等结果。
本文将介绍数列的综合运算，并给出相关的例子和解题步骤。
一、等差数列的综合运算等差数列是指数列中的相邻两个数之差恒定的数列。
常用的等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an 表示第 n 个数，a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。
1. 等差数列的和等差数列的和可使用求和公式来计算。
求和公式如下：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn 表示前 n 项的和。
例如：求等差数列 2, 5, 8, 11, 14 的和。
首先确定首项 a1 = 2，公差 d = 5 - 2 = 3，项数 n = 5。
代入求和公式，得到：S5 = (5/2)(2 + 14) = 40因此，等差数列 2, 5, 8, 11, 14 的和为 40。
2. 等差数列的差等差数列的差可以通过相邻两项的差值来计算。
对于等差数列，任意两项之差都相等。
例如：对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，相邻两项之差均为 3。
3. 等差数列的积等差数列的积可以通过将所有项相乘来计算。
例如：求等差数列 2, 5, 8, 11, 14 的积。
将所有项相乘，得到：2 × 5 × 8 × 11 × 14 = 6160因此，等差数列 2, 5, 8, 11, 14 的积为 6160。
二、等比数列的综合运算等比数列是指数列中的相邻两个数之比恒定的数列。
常用的等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)其中，an 表示第 n 个数，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。
1. 等比数列的和等比数列的和可使用求和公式来计算。
求和公式如下：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn 表示前 n 项的和。
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§6.4 数列的综合应用挖命题 【考情探究】考点 内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列求和 掌握数列的求和方法 2014课标Ⅰ,17,12分 数列求和(错位相减法) 等差数列通项公式★★★2017课标全国Ⅲ,17,12分 数列求和(裂项相消法) 由S n 求a n数列的综 合应用能综合应用等差、等比数列解决相应问题2016课标全国Ⅰ,17,12分数列通项公式及求和等差数列的判定 ★★★分析解读 综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.破考点 【考点集训】考点一 数列求和1.(2017湖南湘潭三模,9)已知T n 为数列{2n +12n}的前n 项和,若m>T 10+1 013恒成立,则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023 答案 C2.(2017福建福州八中第六次质检,17)在等比数列{a n }中,公比q ≠1,等差数列{b n }满足b 1=a 1=3,b 4=a 2,b 13=a3. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记c n =(-1)nb n +a n ,求数列{c n }的前2n 项和S 2n . 解析 (1)设等差数列{b n }的公差为d.则有{3+3d =3q,3+12d =3q 2,解得{q =3,d =2或{q =1,d =0(舍去), 所以a n =3n,b n =2n+1.(2)由(1)知c n =(-1)n (2n+1)+3n,则S 2n =(3+32+33+…+32n)+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=3(1-32n )1-3+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]=32n+1-32+2n.3.(2017湖南郴州二模,17)已知等差数列{a n }满足:a n+1>a n (n ∈N *),a 1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,a n +2log 2b n =-1.(1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)设d 为等差数列{a n }的公差,则d>0.由a 1=1,a 2=1+d,a 3=1+2d 分别加上1,1,3后成等比数列, 得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2(舍负),所以a n =1+(n-1)×2=2n -1(n ∈N *),又因为a n +2log 2b n =-1,所以log 2b n =-n,则b n =12n (n ∈N *).(2)由(1)知a n ·b n =(2n-1)·12n , 则T n =121+322+523+…+2n -12n①,12T n =122+323+524+…+2n -12n+1②, ①-②,得12T n =12+2×(122+123+124+…+12n )-2n -12n+1. ∴12T n =12+2×14(1-12n -1)1-12-2n -12n+1, ∴T n =1+2-22n -1-2n -12n=3-4+2n -12n =3-3+2n2n .考点二 数列的综合应用1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项均为1,公差与公比均为3,则a b 1+a b 2+a b 3=( ) A.64 B.32C.38D.33答案 D2.(2018河南商丘第二次模拟,6)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1-a n ≥2(n ∈N *),且S n 为{a n }的前n 项和,则( )A.a n ≥2n+1B.S n ≥n 2C.a n ≥2n-1D.S n ≥2n-1答案 B3.(2018福建福州八校联考,17)已知公差不为0的等差数列{a n }的前三项和为6,且a 2,a 4,a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n+1,数列{b n }的前n 项和为S n ,求使S n <1415的n 的最大值.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d(d ≠0),依题意可得 {a 1+a 2+a 3=6,a 42=a 2a 8,即{a 1+d =2,d 2-a 1d =0, ∵d≠0,∴a 1=1,d=1,∴a n =n. (2)由(1)可得b n =1n(n+1)=1n -1n+1. ∴S n =(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=1-1n+1. 令1-1n+1<1415,得n<14,∴n 的最大值为13.4.(2018广东佛山一中期中考试,17)在等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n ,等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,公比为q,且b 2+S 2=12,q=S 2b 2. (1)求a n 与b n ;(2)证明:13≤1S 1+1S 2+…+1S n <23. 解析 (1)设数列{a n }的公差为d. 因为{b 2+S 2=12,b 1=1,q =S 2b 2,所以{q +6+d =12,q =6+d q .解得q=3或q=-4(舍),d=3.故a n =3+3(n-1)=3n,b n =3n-1. (2)证明:因为S n =n(3+3n)2, 所以1S n =2n(3+3n)=23(1n -1n+1).故1S 1+1S 2+…+1S n=23[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n -1n+1)]=23(1-1n+1).因为n ≥1,所以0<1n+1≤12,所以12≤1-1n+1<1, 所以13≤23(1-1n+1)<23, 即13≤1S 1+1S 2+…+1S n <23.炼技法 【方法集训】方法 数列求和的方法1.(2018河南中原名校11月联考,10)设函数f(x)满足f(n+1)=2f(n)+n 2(n ∈N *),且f(1)=2,则f(40)=( )A.95B.97C.105D.392答案 D2.(2019届吉林长春模拟,7)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n,则数列{1a n ·a n+1}的前6项和为( )A.215B.415C.511D.1011答案 A3.(2018广东珠海二中期中,18)已知数列{a n }与{b n }满足a n+1-a n =2(b n+1-b n ),n ∈N *,b n =2n-1,且a 1=2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设c n =a nn b nn -1,T n 为数列{c n }的前n 项和,求T n .解析 (1)因为a n+1-a n =2(b n+1-b n ),b n =2n-1,所以a n+1-a n =2(b n+1-b n )=2(2n+1-2n+1)=4,所以{a n }是等差数列,首项a 1=2,公差为4,所以a n =4n-2. (2)c n =a n nb nn -1=(4n -2)n (2n -1)n -1=(2n-1)·2n.∴T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n①, 2T n =1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)·2n+1②, ①-②得-T n =1×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)·2n+1=2+2×4(1-2n -1)1-2-(2n-1)·2n+1=-6-(2n-3)·2n+1, ∴T n =6+(2n-3)·2n+1.4.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n,S n )在函数f(x)=x 2+Bx+C-1(B,C ∈R )的图象上,且a 1=C. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =a n (a 2n -1+1),求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d, 则S n =na 1+n(n -1)2d=d 2n 2+(a 1-d2)n, 又S n =n2+Bn+C-1,两式对照得{d 2=1,C -1=0,解得{d =2,C =1,又因为a 1=C,所以a 1=1,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1.(2)由(1)知b n =(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,则T n =1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,2T n =1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1, 两式相减得T n =(2n-1)·2n+1-2(22+23+ (2))-2 =(2n-1)·2n+1-2×22(1-2n -1)1-2-2 =(2n-3)·2n+1+6.过专题A 组 统一命题·课标卷题组考点一 数列求和1.(2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{a n2n+1}的前n 项和.解析 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n, 故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)a n =2. 所以a n =22n -1(n ≥2). 又由题设可得a 1=2, 从而{a n }的通项公式为a n =22n -1(n ∈N *). (2)记{a n2n+1}的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n+1=2(2n+1)(2n -1)=12n -1-12n+1. 则S n =11-13+13-15+…+12n -1-12n+1=2n 2n+1.2.(2014课标Ⅰ,17,12分)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的根. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{an 2n }的前n 项和.解析 (1)方程x 2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a 2=2,a 4=3.设数列{a n }的公差为d,则a 4-a 2=2d,故d=12,从而a 1=32. 所以{a n }的通项公式为a n =12n+1.(2)设{a n 2n }的前n 项和为S n ,由(1)知a n2n =n+22n+1,则S n =322+423+…+n+12n +n+22n+1, 12S n =323+424+…+n+12n+1+n+22n+2. 两式相减得12S n =34+(123+…+12n+1)-n+22n+2=34+14(1-12n -1)-n+22n+2.所以S n =2-n+42n+1.考点二 数列的综合应用(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.解析 (1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分)所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分) (2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=b n 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分) 记{b n }的前n 项和为S n , 则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 数列求和1.(2018浙江,20,15分)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,数列{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1)求q 的值;(2)求数列{b n }的通项公式.解析 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28, 解得a 4=8.由a 3+a 5=20得8(q +1q)=20, 解得q=2或q=12,因为q>1,所以q=2.(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }的前n 项和为S n . 由c n ={S 1, n =1,S n -S n -1,n ≥2,解得c n =4n-1.由(1)可知a n =2n-1,所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)n -1, 故b n -b n-1=(4n-5)·(12)n -2,n ≥2, b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1) =(4n-5)·(12)n -2+(4n-9)·(12)n -3+…+7·12+3.设T n =3+7·12+11·(12)2+…+(4n-5)·(12)n -2,n ≥2, 12T n =3·12+7·(12)2+…+(4n-9)·(12)n -2+(4n-5)·(12)n -1(n ≥2), 所以12T n =3+4·12+4·(12)2+…+4·(12)n -2-(4n-5)·(12)n -1(n ≥2), 因此T n =14-(4n+3)·(12)n -2,n ≥2, 又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)n -2.2.(2017山东,19,12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n .已知S 2n+1=b n b n+1,求数列{bn a n}的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题意知:a 1(1+q)=6,a 12q=a 1q 2,又a n >0,解得a 1=2,q=2,所以a n =2n.(2)由题意知:S 2n+1=(2n+1)(b 1+b 2n+1)2=(2n+1)b n+1,又S 2n+1=b n b n+1,b n+1≠0,所以b n =2n+1. 令c n =b n a n,则c n =2n+12n. 因此T n =c 1+c 2+…+c n =32+522+723+…+2n -12n -1+2n+12n , 又12T n =322+523+724+…+2n -12n +2n+12n+1, 两式相减得12T n =32+(12+122+…+12n -1)-2n+12n+1,所以T n =5-2n+52n.3.(2017北京,15,13分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (1)求{a n }的通项公式;(2)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 2+a 4=10,所以2a 1+4d=10. 解得d=2.所以a n =2n-1.(2)设等比数列{b n }的公比为q. 因为b 2b 4=a 5,所以b 1qb 1q 3=9.解得q 2=3.所以b 2n-1=b 1q 2n-2=3n-1.从而b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1=1+3+32+…+3n-1=3n -12.4.(2016天津,18,13分)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1-1a 2=2a 3,S 6=63. (1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)nb n2}的前2n 项和. 解析 (1)设数列{a n }的公比为q.由已知,有1a 1-1a 1q =2a 1q2,解得q=2,或q=-1.又由S 6=a 1·1-q 61-q=63,知q ≠-1,所以a 1·1-261-2=63,得a 1=1.所以a n =2n-1.(2)由题意,得b n =12(log 2a n +log 2a n+1)=12(log 22n-1+log 22n)=n-12, 即{b n }是首项为12,公差为1的等差数列.设数列{(-1)nb n 2}的前n 项和为T n,则 T 2n =(-b 12+b 22)+(-b 32+b 42)+…+(-b 2n -12+b 2n 2)=b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n-1+b 2n =2n(b 1+b 2n )2=2n 2.考点二 数列的综合应用1.(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 答案 272.(2018北京,15,13分)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n . 解析 (1)设{a n }的公差为d. 因为a 2+a 3=5ln 2, 所以2a 1+3d=5ln 2. 又a 1=ln 2,所以d=ln 2. 所以a n =a 1+(n-1)d=nln 2. (2)因为e a 1=e ln 2=2,e a n e a n -1=e a n -a n -1=e ln 2=2, 所以{e a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 所以e a 1+e a 2+…+e a n =2×1-2n 1-2=2(2n-1). 3.(2017天津,18,13分)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *).解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8①. 由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16②, 联立①②,解得a 1=1,d=3, 由此可得a n =3n-2.所以,{a n }的通项公式为a n =3n-2,{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,有T n =4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2T n =4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n +(6n-2)×2n+1, 上述两式相减,得-T n =4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=12×(1-2n )1-2-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得T n =(3n-4)2n+2+16.所以,数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n-4)2n+2+16.4.(2016浙江,17,15分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.解析 (1)由题意得{a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,则{a 1=1,a 2=3.又当n ≥2时,由a n+1-a n =(2S n +1)-(2S n-1+1)=2a n ,得a n+1=3a n .又因为a 2=3=3a 1,所以数列{a n }是首项为1,公比为3的等比数列. 所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-1,n ∈N *.(2)设b n =|3n-1-n-2|,n ∈N *,则b 1=2,b 2=1.当n ≥3时,由于3n-1>n+2,故b n =3n-1-n-2,n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3.当n ≥3时,T n =3+9(1-3n -2)1-3-(n+7)(n -2)2=3n -n 2-5n+112,经检验,n=2时也符合.所以T n ={2, n =1,3n -n 2-5n+112,n ≥2,n ∈N *.C 组 教师专用题组考点一 数列求和1.(2015湖北,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q.已知b 1=a 1,b 2=2,q=d,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d>1时,记c n =an b n,求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意有,{10a 1+45d =100,a 1d =2,即{2a 1+9d =20,a 1d =2,解得{a 1=1,d =2,或{a 1=9,d =29.故{a n =2n -1,b n =2n -1,或{a n =19(2n +79),b n=9·(29)n -1.(2)由d>1,知a n =2n-1,b n =2n-1,故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .② ①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n+32n , 故T n =6-2n+32n -1.2.(2015安徽,18,12分)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =a n+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由题设知a 1·a 4=a 2·a 3=8, 又a 1+a 4=9,可解得{a 1=1,a 4=8或{a 1=8,a 4=1(舍去).由a 4=a 1q 3得公比为q=2,故a n =a 1q n-1=2n-1.(2)S n =a 1(1-q n )1-q=2n-1,又b n =a n+1S n S n+1=S n+1-S n S n S n+1=1S n -1S n+1, 所以T n =b 1+b 2+…+b n =(1S 1-1S 2)+(1S 2-1S 3)+…+(1S n -1S n+1)=1S 1-1S n+1=1-12n+1-1.3.(2015山东,19,12分)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d. 令n=1,得1a 1a 2=13, 所以a 1a 2=3. 令n=2,得1a 1a 2+1a 2a 3=25, 所以a 2a 3=15. 解得a 1=1,d=2, 所以a n =2n-1.(2)由(1)知b n =2n ·22n-1=n ·4n,所以T n =1·41+2·42+…+n ·4n, 所以4T n =1·42+2·43+…+n ·4n+1,两式相减,得-3T n =41+42+…+4n -n ·4n+1=4(1-4n )1-4-n ·4n+1=1-3n 3×4n+1-43. 所以T n =3n -19×4n+1+49=4+(3n -1)4n+19. 4.(2014湖北,19,12分)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,a n =2;当d=4时,a n =2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n-2. (2)当a n =2时,S n =2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n >60n+800成立. 当a n =4n-2时,S n =n[2+(4n -2)]2=2n 2. 令2n 2>60n+800,即n 2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n >60n+800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n;当a n =4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.5.(2014安徽,18,12分)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *. (1)证明:数列{an n}是等差数列;(2)设b n =3n·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可得a n+1n+1=a n n +1,即a n+1n+1-an n=1. 所以{a n n}是以a 11=1为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)得a n n=1+(n-1)·1=n,所以a n =n 2.从而b n =n ·3n.∴S n =1·31+2·32+3·33+…+n ·3n,①3S n =1·32+2·33+…+(n-1)·3n +n ·3n+1.②①-②得-2S n =31+32+…+3n -n ·3n+1=3·(1-3n )1-3-n ·3n+1=(1-2n)·3n+1-32. 所以S n =(2n -1)·3n+1+34.6.(2014山东,19,12分)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n(n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n .解析 (1)由题意知(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),即(a 1+2)2=a 1(a 1+6), 解得a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n. (2)由题意知b n =a n(n+1)2=n(n+1).所以b n+1-b n =2(n+1),所以当n 为偶数时,T n =(-b 1+b 2)+(-b 3+b 4)+…+(-b n-1+b n ) =4+8+12+…+2n =n2(4+2n)2=n(n+2)2,当n 为奇数时, 若n=1,则T 1=-b 1=-2, 若n>1,则T n =T n-1+(-b n ) =(n -1)(n+1)2-n(n+1) =-(n+1)22, n=1时,满足上式. 所以T n ={-(n+1)22,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.7.(2013重庆,16,13分)设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=3a n ,n ∈N +. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ;(2)已知{b n }是等差数列,T n 为其前n 项和,且b 1=a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,求T 20. 解析 (1)由题设知{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1,S n =1-3n 1-3=12(3n-1). (2)b 1=a 2=3,b 3=1+3+9=13,b 3-b 1=10=2d,所以公差d=5, 故T 20=20×3+20×192×5=1 010. 8.(2013安徽,19,13分)设数列{a n }满足a 1=2,a 2+a 4=8,且对任意n ∈N *,函数f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cos x-a n+2sin x 满足 f '(π2)=0. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =2(a n +12a n),求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)由题设可得, f '(x)=a n -a n+1+a n+2-a n+1sin x-a n+2·cos x. 对任意n ∈N *,f '(π2)=a n -a n+1+a n+2-a n+1=0,即a n+1-a n =a n+2-a n+1,故{a n }为等差数列.由a 1=2,a 2+a 4=8,解得{a n }的公差d=1,所以a n =2+1·(n-1)=n+1. (2)由b n =2(a n +12a n )=2(n+1+12n+1)=2n+12n +2知,S n =b 1+b 2+…+b n =2n+2·n(n+1)2+12[1-(12)n]1-12=n 2+3n+1-12n .9.(2013湖南,19,13分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n -a 1=S 1·S n ,n ∈N *. (1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解析 (1)令n=1,得2a 1-a 1=a 12, 即a 1=a 12.因为a 1≠0, 所以a 1=1. 令n=2,得2a 2-1=S 2=1+a 2.解得a 2=2.当n ≥2时,2a n -1=S n ,2a n-1-1=S n-1,两式相减得2a n -2a n-1=a n .即a n =2a n-1. 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列.因此,a n =2n-1.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)由(1)知na n =n ·2n-1.记数列{n ·2n-1}的前n 项和为B n ,于是 B n =1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2B n =1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②得-B n =1+2+22+…+2n-1-n ·2n=2n-1-n ·2n.从而B n =1+(n-1)·2n.考点二 数列的综合应用1.(2018江苏,20,16分)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1,√2m],证明:存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示). 解析 本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)由条件知a n =(n-1)d,b n =2n-1.因为|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立.即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得73≤d ≤52. 因此,d 的取值范围为[73,52].(2)由条件知:a n =b 1+(n-1)d,b n =b 1q n-1.若存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b 1+(n-1)d-b 1q n-1|≤b 1(n=2,3,…,m+1).即当n=2,3,…,m+1时,d 满足q n -1-2n -1b 1≤d ≤q n -1n -1b 1. 因为q ∈(1,√2m], 所以1<q n-1≤q m≤2,从而q n -1-2n -1b 1≤0,q n -1n -1b 1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.因此,取d=0时,|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立. 下面讨论数列{q n -1-2n -1}的最大值和数列{q n -1n -1}的最小值(n=2,3,…,m+1). ①当2≤n ≤m 时,q n -2n -q n -1-2n -1=nq n -q n -nq n -1+2n(n -1)=n(q n -q n -1)-q n +2n(n -1),当1<q ≤21m 时,有q n≤q m≤2,从而n(q n-q n-1)-q n+2>0.因此,当2≤n ≤m+1时, 数列{q n -1-2n -1}单调递增, 故数列{q n -1-2n -1}的最大值为q m -2m. ②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x<0.所以f(x)单调递减, 从而f(x)<f(0)=1. 当2≤n ≤m时,q n n q n -1n -1=q(n -1)n ≤21n (1-1n )=f (1n )<1. 因此,当2≤n ≤m+1时,数列{q n -1n -1}单调递减, 故数列{q n -1n -1}的最小值为q mm. 因此,d 的取值范围为[b 1(q m -2)m ,b 1q mm].2.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n }满足:a n-k +a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k =2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n }是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P(3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n }是等差数列. 证明 (1)证明:因为{a n }是等差数列,设其公差为d,则a n =a 1+(n-1)d,从而,当n ≥4时,a n-k +a n+k =a 1+(n-k-1)d+a 1+(n+k-1)d=2a 1+2(n-1)d=2a n ,k=1,2,3, 所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n , 因此等差数列{a n }是“P(3)数列”.(2)数列{a n }既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此, 当n ≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n ,① 当n ≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n .② 由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n +a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n ).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n ,其中n ≥4, 所以a 3,a 4,a 5,…是等差数列,设其公差为d'. 在①中,取n=4,则a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4,所以a 2=a 3-d', 在①中,取n=3,则a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3,所以a 1=a 3-2d', 所以数列{a n }是等差数列.3.(2016四川,19,12分)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *. (1)若a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率为e n ,且e 2=2,求e 12+e 22+…+e n2. 解析 (1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3,所以a 3=2a 2,故q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率e n =√1+a n 2=√1+q 2(n -1).由e 2=√1+q 2=2解得q=√3.所以,e 12+e 22+…+e n2 =(1+1)+(1+q 2)+…+[1+q 2(n-1)]=n+[1+q 2+…+q 2(n-1)]=n+q 2n -1q 2-1 =n+12(3n -1).4.(2015天津,18,13分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =a n b n ,n ∈N *,求数列{c n }的前n 项和.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,数列{b n }的公差为d,由题意知q>0.由已知,有{2q 2-3d =2,q 4-3d =10,消去d,整理得q 4-2q 2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,n ∈N *;数列{b n }的通项公式为b n =2n-1,n ∈N *.(2)由(1)有c n =(2n-1)·2n-1,设{c n }的前n 项和为S n ,则S n =1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n =1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-S n =1+22+23+…+2n -(2n-1)×2n =2n+1-3-(2n-1)×2n =-(2n-3)×2n-3, 所以,S n =(2n-3)·2n+3,n ∈N *.5.(2015浙江,17,15分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+ (1)b n =b n+1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n . 解析 (1)由a 1=2,a n+1=2a n ,得a n =2n(n ∈N *). 由题意知,当n=1时,b 1=b 2-1,故b 2=2.当n ≥2时,1n b n =b n+1-b n ,整理得b n+1n+1=b nn, 所以b n =n(n ∈N *).(2)由(1)知a n b n =n ·2n,因此T n =2+2·22+3·23+…+n ·2n, 2T n =22+2·23+3·24+…+n ·2n+1,所以T n -2T n =2+22+23+…+2n -n ·2n+1. 故T n =(n-1)2n+1+2(n ∈N *).6.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足S n 2-(n 2+n-3)S n-3(n 2+n)=0,n ∈N *. (1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+…+1a n (a n +1)<13.解析 (1)∵S n 2-(n 2+n-3)S n -3(n 2+n)=0, ∴令n=1,得a 12+a 1-6=0,解得a 1=2或a 1=-3. 又a n >0,∴a 1=2.(2)由S n 2-(n 2+n-3)S n -3(n 2+n)=0,得[S n -(n 2+n)](S n +3)=0, 又a n >0,所以S n +3≠0,所以S n =n 2+n,所以当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-[(n-1)2+n-1]=2n,又由(1)知,a 1=2,符合上式, 所以a n =2n. (3)证明:由(2)知,1a n (a n +1)=12n(2n+1),所以1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+…+1a n (a n +1)=12×3+14×5+…+12n(2n+1)<12×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n+1) =16+12[(13-15)+(15-17)+…+(12n -1-12n+1)]=16+12(13-12n+1)<16+12×13=13.7.(2013课标Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.解析 (1)设{a n }的公差为d.由题意得,a 112=a 1a 13,即(a 1+10d)2=a 1(a 1+12d).于是d(2a 1+25d)=0.又a 1=25,所以d=0(舍去)或d=-2. 故a n =-2n+27.(2)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.由(1)知a 3n-2=-6n+31,故{a 3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而 S n =n2(a 1+a 3n-2)=n 2(-6n+56) =-3n 2+28n.8.(2013山东,20,12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+…+b n a n=1-12n ,n ∈N *,求{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得{4a 1+6d =8a 1+4d,a 1+(2n-1)d =2a 1+2(n-1)d +1,解得a 1=1,d=2.因此a n =2n-1,n ∈N *.(2)由已知b 1a 1+b 2a 2+…+b n a n=1-12n ,n ∈N *,得当n=1时,b 1a 1=12; 当n ≥2时,b n a n=1-12n -(1-12n -1)=12n .所以b n a n =12n ,n ∈N *.由(1)知,a n =2n-1,n ∈N *,所以b n =2n -12n ,n ∈N *, 又T n =12+322+523+…+2n -12n, 12T n =122+323+…+2n -32n +2n -12n+1, 两式相减得12T n =12+(222+223+…+22n )-2n -12n+1 =32-12n -1-2n -12n+1,所以T n =3-2n+32n.【模拟】时间:50分钟 分值:65分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018福建厦门第一学期期末质检,7)已知数列{a n }满足a n+1+(-1)n+1a n =2,则其前100项和为( ) A.250 B.200 C.150 D.100答案 D2.(2017山西孝义模考,9)已知数列{a n },{b n },其中{a n }是首项为3,公差为整数的等差数列,且a 3>a 1+3,a 4<a 2+5,a n =log 2b n ,则{b n }的前n 项和S n 为( ) A.8(2n-1) B.4(3n-1) C.83(4n -1) D.43(3n-1)答案 C3.(2017陕西渭南二模,9)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2=3,S 5=25,若{1a n a n+1}的前n 项和为1 0082 017,则n 的值为( )A.504B.1 008C.1 009D.2 017 答案 B4.(2018河北衡水中学八模,8)已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a ≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当n ∈N *时,a n =f(n)-1f(n)·f(n+1),记数列{a n }的前n 项和为S n ,当S n =1033时,n 的值为( ) A.7B.6C.5D.4答案 D5.(2019届河南信阳模拟,6)已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1+m,且a 1,a 4,a 5-2成等差数列,b n =a n(a n -1)(a n+1+1),数列{b n }的前n 项和为T n ,则满足T n >2 0172 018的最小正整数n 的值为( )A.11B.10C.9D.8答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2019届江苏南京模拟,15)已知数列{a n }的通项公式为a n ={1n(n+2),n 为奇数,n -7,n 为偶数,则数列{a n }前15项和S 15的值为 .答案127177.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n },{b n }满足a n b n =1,a n =n 2+3n+2,则{b n }的前2 018项和为 . 答案 1 0092 020三、解答题(共30分)8.(2019届广东模拟,17)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 5=40,a 4=16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =n a n,S n 是数列{b n }的前n 项和,对任意正整数n,不等式S n +n 2n >(-1)n·a 恒成立,求a 的取值范围. 解析 (1)由{a 3+a 5=40,a 4=16,得{a 3(1+q 2)=40,a 3·q =16,因为等比数列{a n }的公比q>1,所以q=2,a 3=8,所以a n =a 3·q n-3=2n.(2)由于a n =2n,b n =n a n, 所以b n =n a n =n 2n ,则S n =121+222+323+…+n2n ①,12S n =122+223+324+…+n2n+1②, ①-②得12S n =(121+122+…+12n )-n 2n+1,所以S n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =1-12n 1-12-n 2n =2-2+n 2n ,所以S n +n 2n >(-1)n·a 即2-22n >(-1)n·a.设f(n)=2-22n (n ∈N *),由于f(n)=2-22n 单调递增,故当n 为奇数时,f(1)=1为最小值,所以-a<1,则a>-1, 当n 为偶数时,f(2)=32为最小值,所以a<32. 所以a 的取值范围为(-1,32).9.(2018云南昆明一中调研,17)在等差数列{a n }中,公差d ≠0,前5项和S 5=15,且a 1,a 3,a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求a 2+a 8+a 26+…+a 3k -1(k ∈N *)的值.解析 (1)根据题意得{5a 1+5×42d =15,(a 1+2d)2=a 1(a 1+6d),解得{a 1=32,d =34.所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)d=34n+34. (2)解法一:由(1)得a 3n -1=34(3n-1)+34=34×3n, 所以a 2+a 8+a 26+…+a 3k -1 =34×(31+32+33+ (3))=34×3(1-3k )1-3=98(3k-1). 解法二:设b n =a 3n -1=34(3n-1)+34=34×3n,则b n+1b n=3(n ∈N *). 所以数列{b n }是首项为94,公比为3的等比数列, 所以数列{b n }的前k 项和T k =94(1-3k )1-3=98(3k-1).10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,17)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,a 1=b 1=1,且b 3S 3=36,b 2S 2=8(n ∈N *). (1)求a n 和b n ; (2)若a n <a n+1,求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{q 2(3+3d)=36,q(2+d)=8.解得{d =2,q =2,或{d =-23,q =6. ∴a n =2n-1,b n =2n-1或a n =13(5-2n),b n =6n-1.(2)若a n <a n+1,由(1)知a n =2n-1, 则1a n a n+1=1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1),∴T n=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=n2n+1.。