2012年北京市人大附中数学模拟试题
人大附中2012届高三十月月考
人大附中2012届高三10月份月考数学试题(理科)参考答案与评分标准一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案.) 1. 设i 是虚数单位，则6(1)i +的值是（ D ）A. 8B.－8C. 8iD. －8i2. 在下列函数中，以π为周期的函数是（ B ）A. sin cos y x x =+B. sin cos y x x =C. sin cos2y x x =+D. sin cos2y x x =3. 图中阴影部分表示的集合是（ C ）A.(())U C A B CB. ()A B CC. (())()U C A B A BD. ()(())U B C C A B4. 若02log 2log <<b a ，则（ A ）A. 10<<<a bB. 10<<<b aC. 1>>b aD. 1>>a b 5. 直角坐标方程22100x y x +-=化为极坐标方程是（ C ）A. 10sin ρθ=B. 5sin ρθ=C. 10cos ρθ=D. 5cos ρθ= 6. 下列四个命题中，是假命题的是（ B ）A. 命题“∃x ∈R ，2x +1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，2x +1≤3x ”；B. 函数()22x f x x =-在区间[0，3]上没有零点；C. 在△ABC 中，“A=B ”的充分必要条件是“sinA=sinB ”；D. 集合{}25A x x =-≤≤不可能是集合{}121B x a x a =+≤≤-的子集． 7. 定义在R 上的任意函数f (x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和. 如果)110lg()(+=x x f (x ∈R)，那么（ C ） A. (),()lg(10102)x x g x x h x -==++B. 11()[lg(101)],()[lg(101)]22x x g x x h x x =++=+-C. (),()lg(101)22x x xg x h x ==+-D. (),()lg(101)22x x xg x h x =-=++8. 下列关于函数1()(0,1)xf x a a a =>≠的说法中，正确的是（ D ）A. 函数()f x 为奇函数；B. 函数()f x 的值域为（0，+∞）；C. 当a>1时()f x 单减，当0<a<1时()f x 单增；D. 当x>0时，若a>1，则()1f x >.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上.）9. 已知α终边上一点P(－1，y)，且1sin 3α=，则tan α=________． 10. 在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =________. 120°11. 由直线2y x =-和曲线2y x =-所围成的图形的面积是__________.9212. 已知函数()y f x =是偶函数，当x ≥0时，2()(1)f x x x =-，则当x ∈R 时，()f x =_____________. 22(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩13. 若函数13()(1)f x x mx =+-在区间[0,)+∞上是单调函数，则实数m 的取值范围是____________. 13m ≥或0m ≤14. 若关于a ，b 的代数式(,)f a b 满足：（1）(,)f a a a =；（2）(,)(,)f ka kb k f a b =⋅；（3）12121122(,)(,)(,)f a a b b f a b f a b ++=+； （4）(,)(,)2a bf a b f b +=． 则(1,0)(2,0)f f +＝_________，(,)f x y ＝__________．1；23x y+ 三、解答题(本题共6小题，共80分.)15. （本题满分14分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++．（Ⅰ）求函数()f x 的最小值，并写出相应的x 取值集合； （Ⅱ）写出函数()f x 的单调递增区间．解：x x x x x x x x y 22222cos 22sin )cos (sin cos 3cos sin 2sin +++=++=1sin 2(1cos2)2sin 2cos2x x x x =+++=++2).4x π=+ ………4分（Ⅰ）当1)42sin(-=π+x 时，y 取最小值22-， ………6分使y 取最小值的x 的集合为},83|{Z k k x x ∈π-π=． ………9分（Ⅱ）当2[2,2]()422x k k k Z πππππ+∈-++∈时函数()f x 单增，………12分故()f x 的单增区间为：3[,]()88x k k k Z ππππ∈-++∈． ………14分16. （本题满分13分）某商店经销某种商品，年销售总量为6000份，每份进价为2.8元，销售价为3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 份，已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x 元．（Ⅰ）求该商店经销该商品一年的利润y （元）与每次进货量x （份）之间的函数关系式；（Ⅱ）为了使利润最大，每次应该进货多少份？ 解：（Ⅰ）600062.56000(3.4 2.8) 1.5y x x⨯=⨯---37500033600()2x x =-+，………6分 定义域为：{|06000,*}x x x N <≤∈； ………8分（Ⅱ）由均值不等式知：y ≤2100，当且仅当37500032xx =，即x=500时，等号成立，即每次进货500份时，全年可获最大利润2100元. ………13分17. （本题满分13分）在△ABC 中，已知A>B>C ，且A=2C ，b=4，a+c=8，试求ABC ∆的面积S. 解：由正弦定理：sin sin a c A C =，又A ＝2C ，代入可得：cos 2aC c=． 由余弦定理：222cos 2a b c C ab +-=＝22168a c a +-，所以221682a c aa c+-=，整理得：22(4)(16)a c c c -=-． ………6分由B>C ，知4＝b>c ，故2(4)a c c =+，即224a c c -=． 又a+c=8，所以2416,55a c ==． ………10分所以22164163cos 884a c c C a a +-+===，故sin C =． 于是S＝1sin 2ab C =． ………13分18. （本题满分13分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：24320,8a a a +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12log n n n b a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求12470n n S +-+<成立的正整数 n 的最小值.解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意，有311231208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩； 又{}n a 单调递增，∴122q a =⎧⎨=⎩，∴2n n a =.………6分（Ⅱ）依题意，122log 22n n n n b n =+=-,∴12(12)(1)(1)221222nn n n n n n S +-++=-=---， 由12470n n S +-+<得：(1)24702n n +--+<．整理得：2900n n +->．解得：n>9或n<－10（舍）． ∴使12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值为10. ………13分19. （本题满分14分）已知函数21()()ax f x x x e a=--（0a >）.(Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式3()0f x a+≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.解: 对函数()f x 求导得:()(2)(1)ax f x e ax x '=+-. ………2分(Ⅰ)当2a =时, 2()(22)(1)x f x e x x '=+-令()0f x '>解得 1x >或1x <-令()0f x '<解得11x -<<所以, ()f x 单调增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞,()f x 单调减区间为(-1,1). ………5分(Ⅱ)令()0f x '=,即(2)(1)0ax x +-=,解得2x a=-或1x =. ………7分………9分对于2x a <-时，因为220,,0x x a a >->>,所以210x x a-->，所以()f x >0.对于2x a ≥-时，由表可知函数在1x =时取得最小值1(1)0a f e a=-<所以，当x R ∈时，min 1()(1)a f x f e a==-. ………12分由题意，不等式3()0f x a+≥对x R ∈恒成立，所以得130a e a a-+≥，解得0ln 3a <≤. ………14分20. （本题满分13分）已知n 为正整数，122{(,,,)|{0,1},12}nn n i S a a a a i =∈≤≤ ，对n S 中任意两个元素122(,,,)na a a a = 和122(,,,)nb b b b = ，令21(,)ni i i d a b a b ==-∑．若n A S ⊆，满足对A 中任何两个不同的元素a 和b ，都有1(,)2n d a b -≥，则称A 为n S 的好子集．（Ⅰ）试写出2S 的一个好子集M ，使M 中任何两个不同的元素a 和b ，都有(,)2d a b =，且M 的元素个数为4；（Ⅱ）试写出S的一个好子集N，使N中任何两个不同的元素a和b，都有2d a b ，且N的元素个数为8；(,)2（Ⅲ）试求S的好子集A的元素个数A的最大值．n解：（Ⅰ）M＝{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,1,1,1)}或M＝{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,0,0,0)}或M＝{(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(1,1,1,1)}或M＝{(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,0)}或M＝{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}或M＝{(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)} ………3分（Ⅱ）N={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}或N={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,0),(1,1,1,1)}（写出6个元素给2分，写出8个元素给4分）………7分………13分。
北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷1.pdf
北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷1 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合，，则等于 A B C D 2.已知，，，当∥时，实数等于 A B 0 C D 3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若，则B 若，则C 若，则D 若，则 4.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于 A B C D 5.设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为，A -4B 4C - 8D 8 6. a=0是函数为奇函数的 A 充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知点的坐标满足条件，那么点P到直线的距离的最小值为 A B C 2 D 1 8.已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，，如果关于的方程有解，记所有解的和为S, 则S不可能为 A B C D 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数对应的点的坐标为________________________. 10. 在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为______________________. 11.在△ABC中，若b=1,c=,,则a=________,________________. 12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则____________________. 13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量 的重要指标）。
所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，由图中数据可知_______， 在抽测的100根中，棉花纤维的长度在内的有__________根。
14.给定集合A，若对于任意，有，且,则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合为闭集合，则为闭集合； 其中正确结论的序号是________________________. 三．解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15. （本小题满分13分） 已知函数， 求函数的最小正周期； （2）求f(x)在区间上的最小值及f(x)取最小值时x的值。
人大附中2012高考考前数学热身练习题(下)
人大附中2012高考考前数学热身练习题（下）-掌门1对131、解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P（ξ=3）=P（A1·A2·A3）+ P（321AAA⋅⋅）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（)()()321APAPA）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（ξ=1）=1－0.24=0.76.所以ξ的分布列为Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.（Ⅱ）解法一因为,491)23()(22ξξ-+-=xxf所以函数),23[13)(2+∞+-=ξξ在区间xxxf上单调递增，要使),2[)(+∞在xf上单调递增，当且仅当.34,223≤≤ξξ即从而.76.0)1()34()(===≤=ξξPPAP32、解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，则1111211 ()()()323 P A B P A P B=⨯=⨯=.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为1 3.(Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得ξ 1 3P 0.76 0.241112(2)()()P P A B P A A ξ==+ 2111114.3233399=⨯+⨯=+=112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++2112111211114,3223223326693=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 故4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯= 答：该考生参加考试次数的数学期望为83.33、【解】：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品， 记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种， （Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅()()P C P A B A B =⋅+⋅()()P A B P A B=⋅+⋅()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.50.40.50.6=⨯+⨯0.5=（Ⅱ）D A B =⋅()()P D P A B =⋅()()P A P B =⋅0.50.4=⨯0.2=()()10.8P D P D =-=（Ⅲ）()3,0.8B ξ ，故ξ的分布列()300.20.008P ξ===()12310.80.20.096P C ξ==⨯⨯= ()22320.80.20.384P C ξ==⨯⨯=()330.80.512P ξ===所以30.8 2.4E ξ=⨯=34、解：（I ）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥CD ，DA ⊥AB ，∵A 点移动到了P 点 ∴PD ⊥PB ，又∵P 点在平面BCD 上的射影在CD 上，∴过P 点作PF ⊥CD ， ∴PF ⊥面BCD ， ∴BC ⊥面PCD ， ∴BC ⊥PD ， ∴PD ⊥面PBC ， ∴PD ⊥PC ；（II ）解：∵PF ⊥面BCD ，∴过点F 作FE ⊥BD ，连结PE ，∴∠PEF 为二面角P —BD —C的平面角， ∵PD ⊥PC ，∴△CPD 为Rt △， 236,26P D C D P C ==∴= ∴=PF 22，又∵在Rt DPB ∆中，PD PB BD ===23643，，， ∴PE ＝3∴=s i n ∠PEF 223， ∴=∠PEF arcsin223；（III ）解：过F 点作FG ⊥PE ，由（2）可知FG ⊥面PBD ，连结GD ，∴∠GDF 为直线CD 与平面PDB 所成的角， ∵在Rt PDF ∆中，PD PF ==2322，，∴DF ＝2，∵在Rt PFE ∆中，PF PE ==223，，221,3EF FG ∴=∴=，∴==s i n ∠GDF FG DF 23， ∴=∠GDF arcsin 23．35、四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。
人大附中2012年6月高三期末数学练习题
高二第二学期期末考试模拟试题（四） 班级______姓名_____20120620一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出选项中，选出符合题目要求的一项．） 1、若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i b a +-=+，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本的方差为（ ）A ．56 B ．56C ．2D ．2 3、函数()xf x x e -=-在点(0,1)-处的切线方程为 ( ）A ．1y =-B ．1y x =-C ．21y x =-D ．1y x =--4、给出下列定义域为R 的函数①(sin )(cos )y x x ''=-，②(sin )cos y x x '=+，③cos (cos )y x x '=+， ④(sin cos )y x x '=⋅，其中值域是[的函数是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5、已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )A ．1 B ．2 C ．-1 D ． -26、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）A ．124414128C C CB ．124414128C A AC ．12441412833C C C AD ．12443141283C C C A7、设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8、已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数, ''()0,()()()(),g x f x g x f x g x ≠<()()x f x a g x =⋅(01)a <≠，(1)(1)5,(1)(1)2f f g g -+=-在有穷数列(){}()f ng n 中，任意取正整数(110)k k ≤≤，则前k 项和大于1516的概率是（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．45二、填空题（本大题共6小题，每小题 5分，共30分．把答案填在题中横线上．） 9、已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++ . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃ Z 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 6 .10、若⎰ax 0d x =1, 则实数a .11、6.若过直角三角形ABC 的直角顶点A 任作一条直线l ，则l 与斜边BC 相交的概率为 . 12、如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ； 若从乙班身高不低于170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为173cm 的同学被抽中的概率为 ． 甲班 乙班 2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 913、设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是 14、已知()f x 是定义在R 上的可导函数. 若函数()()F x xf x =，满足'()0F x >对R x ∈恒成立，给出下面四个结论中,① (1)(1)0f f +-> ； ② ()0f x ≥对R x ∈成立； ③ ()f x 是奇函数； ④ ()f x 可能有极值点. 所有正确结论的序号是_________________三、解答题（本大题共 6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15、（本小题满分 分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.16、（本小题满分 分）（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．17、（本小题满分 分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式x C 2010000+=，每日的销售额R （单位：元）与日产量x 的函数关系式321290,0120,3020400,120.x ax x x R x ìïï-++<<ï=íïï³ïî 已知每日的利润C R y -=，且当30=x 时，100-=y . （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.18、（本小题满分 分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X ，求X 的分布列和数学期望.已知函数1()ln(1),01xf x ax xx-=++≥+，其中0a>()I若()f x在x=1处取得极值，求a的值；()II求()f x的单调区间；（Ⅲ）若()f x的最小值为1，求a的取值范围设3m >，对于有穷数列{}n a (1,2,,n m =L ), 令k b 为12,,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”. 数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数1,2,,(3)m m >L 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . （Ⅰ）若m =5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{}n c ；(Ⅱ) 是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和.高二第二学期期末考试模拟试题 班级______姓名___________20120620一、）9、__6___10、、_12_____12、___169；31____，13、___2－1____14、①②④ _____,三、解答题（本大题共 3小题，共30 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15、（本小题共分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y fx =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.（Ⅰ）0x =1; （Ⅱ）2,9,12a b c ==-=.16、（本小题满分分）（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．解：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++==. -----------------------------------------------------5分 (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2. ---------------------------------------------------------2分∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，242186(2)153C P C ξ===，∴ξ的分布列为：分∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=. ---------------------------------------------13分 17、（本小题满分 分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式x C 2010000+=，每日的销售额R （单位：元）与日产量x 的函数关系式321290,0120,3020400,120.x ax x x R x ìïï-++<<ï=íïï³ïî 已知每日的利润C R y -=，且当30=x 时，100-=y . （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.解：（Ⅰ）由题意可得：32127010000,0120301040020,120.x ax x x y x x ìïï-++-<<ï=íïï- ïî，……………………………………2分因为30=x 时，100-=y ， 所以3211003030270301000030a -=-???.……………………………………4分所以3a =. ……………………………………5分（Ⅱ）当0120x <<时，32132701000030y x x x =-++-. ……………………………………6分21'627010y x x =-++. ……………………………………8分 由21'6270010y x x =-++=可得：1290,30x x ==-（舍）. ……………………………………9分所以当(0,90)x Î时，原函数是增函数，当(90,120)x Î时，原函数是减函数. 所以当90x =时，y 取得最大值14300. ……………………………………11分 当120x ³时，10400208000y x =- . ……………………………………12分 所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元.……………………………………13分18. 甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X ，求X 的分布列和数学期望.18. 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ，则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ， 解得43=p . 故p 的值为43.（2）X 的取值分别为,4,2,0.()()()()21105410P X P AB P A P B ===⋅=⨯=，()9220P X ==， ()()()()33945420P X P AB P A P B ===⋅=⨯=，∴19927()024.10202010E X =⨯+⨯+⨯=19. 已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a >()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围19.解（Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a = （Ⅱ）222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）. （Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x 在x =(0)1,f f <= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞20. 设3m >，对于有穷数列{}n a (1,2,,n m =L ), 令k b 为12,,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”. 数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数1,2,,(3)m m >L 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . （Ⅰ）若m =5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{}n c ；(Ⅱ) 是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和.解：（Ⅰ）由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列{}n c 有两个，即：（1）数列3，4，1，5，2； ---------------------------2分 （2）数列3，4，2，5，1. ----------------3分注：写出一个得2分，两个写全得3分.（Ⅱ）答：存在数列{}n c ，它的创新数列为等差数列.解：设数列{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ， 因为m e 为12,,,m c c c L 中的最大值. 所以m e m =.由题意知：k e 为12,,,k c c c L 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c +L 中最大值，期末模拟试题第 页（共11页） 11 所以1k k e e +£，且{1,2,,}k e m ÎL .若{}n e 为等差数列，设其公差为d ，则10k k d e e +=- ，且d ÎN ，------------5分当d =0时，{}n e 为常数列，又m e m =，所以数列{}n e 为,,,m m m L ，此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列； 当d =1时，因为m e m =，所以数列{}n e 为1,2,3,,m L ，此时数列{}n c 是1,2,3,,m L ； --------------------7分 当2d ³时，因为111(1)(1)222m e e m d e m m e =+-?-?-+，又13,0m e >>，所以m e m >，这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存在，即不存在{}n c 使得它的创新数列为2d ³的等差数列.综上，当数列{}n c 为：（1）首项为m 的任意符合条件的数列；（2）数列1,2,3,,m L 时，它的创新数列为等差数列. ---------------------------10分 注：此问仅写出结论（1）（2）者得2分.（Ⅲ）解：设{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ， 由(Ⅱ)知，m e m =， 由题意，得11e c =，所以当数列{}n c 的创新阶数为2时， {}n e 必然为111,,,,,,,c c c m m m L L （其中1c m <），-----10分 由排列组合知识，得创新数列为,,,,,,,()k k k m m m k m <L L 的符合条件的{}n c 的个数为 1111111111(1)!m k m k k m k k m m k k m k C A A A A m m k m k------------鬃=?---， ----------------12分 所以，在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，它们的首项的和为1111(1)!(1)!m m k k m k k m m k m k--==-?- --邋. ---------------------------14分。
北京市中国人民大学附属中学12—13上学期高三数学(理科)模拟考试试卷
人大附中2012届高考适应性练习数学试题(理科)2012.5.27一、选择题1．已知集合2{N 4}A x x =∈<，2{R 230}B x x x =∈--<，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{21<<-x x }D ．{32<<-x x }2．已知复数z 满足z ·(1－i )＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 3．一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是( ) A ．4 B ．8 C ．34D ．38 4．已知向量b a ,满足1=+==b a b a ，则向量b a ,夹角的余弦值为( ) A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 5．已知数列}{n a 是等差数列，4,843==a a ，则前n 项和n S 中最大的是( ) A ．3S B ．4S 或5S C ．5S 或6SD ．6S6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为x y 2±=，则其离心率为( )A ．5B ．25C ．5或3D ．5或25 7．已知y x ,满足222(1)x y x y y a x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且y x z +=能取到最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．1-<aB ．2≥aC ．21<≤-aD ．1-<a 或2≥a8．已知函数①21)(x x f =，②π()sin 2xf x =，③1ln 21)(+=x x f ，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是( ) 命题p ：)1(+x f 是偶函数；命题q ：)1(+x f 在(0,1)上是增函数； 命题r ：)(x f 恒过定点(1,1)； 命题s ：21)21(>f ． A ．命题p 、qB ．命题q 、rC ．命题r 、sD ．命题s 、p二、填空题9．5)1(xx -的二项展开式中x 项的系数为__________________________．10．已知直线2)1(:++=x k y l ，圆⎩⎨⎧=+=θθsin 21cos 2:y x C ，则圆心C 的坐标是________；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是________．11．如图，已知PAB 是⊙O 的割线，点C 是PB 的中点，且PA ＝AC ，PT 是⊙O 的切线，TC 交⊙O 于点D ，TC ＝8，CD ＝7，则PT 的长为________________________________．12．如图所示程序框图运行的结果是____________________．13．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 处观测到灯塔A ,B 在一直线上，并与航线成30°角，轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45°方向，灯塔B 在北偏东15°方向，则此时轮船到灯C 之间的距离CB 为_______米． 14．若)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对0≥∀x ，总存在正数T ，使得T x f T x f =-+)()(成立，则称)(x f 具有“性质P ”．已知函数)(x g 具有“性质P ”，且)(x g 在[0，T ]上的解析式为)(x g ＝2x ，则(1)常数T ＝__________________________；(2)若当]3,3[T T x -∈时，函数kx x g y -=)(恰有9个零点，则k ＝______． 三、解答题15．(本小题满分13分)已知函数34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f ． (Ⅰ)求函数)(x f 的最大值，并写出相应的x 取值集合；(Ⅱ)令f (α＋3π)＝510，且α(0,π)∈，求tan2α的值．16．(本小题满分14分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且∠DAB ＝60°，AB ＝2，E 为AD 的中点． (Ⅰ)求证：AD ⊥PB ；(Ⅱ)求二面角A －PD －C 的余弦值；(Ⅲ)在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17．(本小题满分13分)如图，某工厂2011年生产的A ,B ,C ,D 四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会． (Ⅰ)问A ，B ，C ，D 型号的产品各抽取了多少件？(Ⅱ)从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率； (Ⅲ)在50件样品中，从A ，C 两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )． 18．(本小题满分13分)已知函数)1ln(1221)(2+++-=x x mx x f ． (Ⅰ)当23-=m 时，求函数)(x f 的极值点； (Ⅱ)当1≤m 时，曲线)(:x f y C =在点P (0,1)处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m 的范围．19．(本小题满分14分)已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 经过点)23,1(M ，且其右焦点与抛物线x y C 4:22=的焦点F 重合．(Ⅰ)求椭圆1C 的方程；(Ⅱ)直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A 、B 两点，与抛物线2C 相交于C 、D 两点．求CDAB 的最大值．20．(本小题满分13分)已知集合S ＝{1,2,3,...，2011,2012}，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中的任意两个不同的元素)(,y x y x >，若y x -都不能．．．整除y x +，则称集合A 是S 的“好子集”．(Ⅰ)分别判断数集P ＝{2,4,6,8}与Q ＝{1,4,7}是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；(Ⅱ)求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值；(Ⅲ)设m A A A A ,...,,,321是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为),...,2,1(m i k i =，求证：1!(2012)!2012!miii k k =-≤∑中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题(理科)参考答案一、选择题：BAAB BACC 二、填空题： 9．－5；10．(1,0),(－∞，0]； 11．74； 12．10； 13．2500； 14．1，462- 三、解答题：15．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)因为34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f )sin 21(32sin2x x-+= 2分)3π2sin(22cos 32sin+=+=x x x 4分 因为．1)3π2sin(1≤+≤-x所以．)(x f 的最大值为2 6分相应值的集合为π{|4π(Z)}3x x k k =+∈ 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，2cos 22π21sin 23π)3π(21sin 2)3π(xx x x f =+=++=+．5102cos2=α，所以10102cos =α． 5412cos 2cos 2-=-=αα 10分 又因为)π,0(∈α 所以53cos 1sin 2=-=αα． 43cos sin tan -==ααα． 724tan 1tan 22tan 2-=-=ααα 13分 16．(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：连结EB ，在△AEB 中，AE ＝1，AB ＝2，∠EAB ＝60°，∴BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB ·cos60°＝1＋4－2＝3． ∵AE 2＋BE 2＝AB 2， ∴AD ⊥EB 2分∵△PAD 为等边三角形，E 为AB 的中点， ∴AD ⊥PE ． 又EB ∩PE ＝E ． ∴AD ⊥平面PEB ． ∴AD ⊥PB ． 4分 (Ⅱ)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD，且PE ⊥AD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴PE ⊥EB ．以点E 为坐标原点，EA ，EB ，EP 为x ，y ，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，则A (1,0,0),B (0,3,0)P (0,0,3),D (－1,0,0),)0,3,1(-==AB DC ．设平面PCD 的一个法向量为),,(z y x n =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,)(0(,,0x y z x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，∴00x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令z ＝－1，则3=x ，y ＝1，故)1,1,3(-=n ． 平面PAD 的一个法向量为)0,3,0(=．所以cos 53EB n EB n EB n⋅〈⋅〉===⋅．又二面角A －PD －C 为钝角， ∴二面角A －PD －C 的余弦值为55-． (Ⅲ)假设棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ，设F (0,m ,n )，λ=，则：)3,3,0()3,,0(-=-λn m ，∴λλ33,3-==n m ， ∴)33,3,0(λλ-=． ∵EF ∥平面PDC ，∴⊥，即)33,3,0(λλ-·)1,1,3(-＝0． ∴21,0333==+-λλλ， 故当点F 为PB 的中点时，EF ∥平面PDC ．17．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)从条形图上可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500(件)，样品比为10150050=，所以，A ,B ,C ,D 四种型号的产品分别取,20200101,10100101=⨯=⨯ 15150101,550101=⨯=⨯， 即样本中应抽取A 产品10件，B 产品20件，C 产品5件，D 产品15件 3分(Ⅱ)从50件产品中任取2件共有C250＝1225种方法，2件恰为同一产品的方法数为C210＋C220＋C25＋C215＝350种．所以2件恰好为不同型号的产品的概率为7512253501=-7分 (Ⅲ)依题意，X 的可能取值为0,1,2,3， 8分则P (X ＝0)＝4551031535=C C P (X ＝1)＝45510031525110=CC C P (X ＝2)＝45522531515210=CC C P (X ＝3)＝455120315310=C C 故X 的分布列为12分 所以EX ＝2455120345522524551001455100=⨯+⨯+⨯+⨯13分 18．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)当23-=m 时，)1ln(1243)(2+++--=x x x x f ， 其定义域为(－1,＋∞)， 1分)1(2273)('2+++-=x x x x f 令,0)('=x f 即02732=++x x 2分 解得2,3121-=-=x x ， 3分经检验，函数)(x f 的极值点为31-4分 (Ⅱ)由题设知，点P (0,1)在曲线C 上且1)0('-=f ，切线l 的方程为1+-=x y ，5分于是方程：)1ln(122112+++-=+-x x mx x 即方程0)1ln(212=++-x x mx 在(－1,＋∞)上有且只有一个实数根； 设)1ln(21)(2++-=x x mx x g ，即求m 的取值使得函数)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点 7分因为0)0(=g ，)1(1)1()('2->+-+=x x xm mx x g ， 所以分以下几种情形讨论： ①当m ＝0时，1)('+-=x xx g ，)(x g 在(－1,0)上递增，在(0,＋∞)上递减， 所以，)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 8分②当m ＝1时，01)('2≥+=x x x g ，)(x g 在(－1,＋∞)上递增， 所以，)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 9分③当m ＜0时，由01)1()('2=+-+=x xm mx x g 得01=x 或112-=m x ，且111-<-m． 当x 变化时，)('x g 和)(x g 变化如下表：故)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 10分④当0＜m ＜1时，由01)1()('2=+-+=x xm mx x g 得01=x 或112-=m x ，且011>-m． 当x 变化时，)('x g 和)(x g 变化如下表：因为，0)1ln()(,0)0()(>+==<mm g g m g ， 所以，必存在)2,1(0mm m x -∈，使0)(0=x g ． 故)(x g 在(－1,＋∞)存在两个零点0和0x ，不符合题意 12分综上，m 的取值范围为(－∞,0]∪{1} 13分19．(本小题满分14分)解：(Ⅰ)解法1：由抛物线方程，得焦点F (1,0)，∴c ＝1 1分故1222==-c b a ① 2分 又椭圆C 1经过点M (1,23)， ∴149122=+b a ② 3分 由①②消去2a 并整理，得：099424=--b b ，解得32=b ，或432-=b (舍去)， 4分 从而42=a ，故椭圆的方程为13422=+y x 5分 解法2：由抛物线方程，得焦点F (1,0)，∴c ＝1．∴4)23()11()23()11(22222=+-+++=a ， ∴3,422==b a ，故椭圆的方程为13422=+y x ． (Ⅱ)①当直线l 垂直于x 轴时，则)2,1(),2,1(),23,1(),23,1(--D C B A ， ∴43=CD AB6分 ②当直线l 与x 轴不垂直，设其斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为)1(-=x k y 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得01248)43(2222=-+-+k x k x k 显然01>∆，∴该方程有两个不等的实数根，设),(),,(2211y x B y x A2221222143)3(4,438k k x x k k x x +-=⋅+=+……8分 所以，2122122212214)(1)()(x x x x k y y x x AB -++=-+-=＝2222222243)1(1243)3(16)438(1kk k k k k k ++=+--+⋅+……10分 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得0)42(2222=++-k x k x k 显然02>∆，∴该方程有两个不等的实数根，设),(),,(4433y x D y x C∵k ≠0，∴24342kx x +=+． 由抛物线的定义，得22243)1(4442kk k x x CD +=+=++= 12分∴22222221213333344(1)3444AB k k k CD k k k k +=⋅==<++++（）. 综上，当直线l 垂直于x 轴时，ABCD 取得最大值43. 14分 20．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由于4－2＝2整除4＋2＝6，所以集合P 不是集合S 的“好子集”；由于4－1＝3不能整除4＋1＝5，7－1＝6不能整除7＋1＝8，7－4＝3不能整除7＋4＝11，所以集合Q 是集合S 的“好子集” 3分(Ⅱ)设集合)...}(,...,,,{21321n n a a a a a a a A <<<=是集合S 的一个“好子集”．令：)1,...,2,1(1-==-+n i b a a i i i ．由于A 是S “好子集”，所以)1,...,2,1(1-=≠n i b i ，从而)1,...,2,1(2-=≥n i b i ． 若存在某个2=i b ，则此时1+i a 与i a 同奇偶，从而2能整除i i a a ++1与A 是S “好子集”矛盾，故：)1,...,2,1(3-=≥n i b i 5分于是：)1(3...1211-≥+++=--n b b b a a n n从而：201112012)1(31=-≤-≤-a a n n 所以：671≤n另一方面：取}2011,2008,...,7,4,1{=A ，此时集合A 有671个元素，且是集合S 的一个“好子集”，故集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值为671 8分(Ⅲ)将S 的2012个元素1,2,3,...,2012作全排列，其不同的排法总数为2012!个；另一方面：将子集i A 的i k 个元素排在前i k 个位置，子集i A 在S 中的补集的元素排在后2012－i k 个位置，即排成),...,,,,...,,(20122121i i k k y y y x x x -，这样的排列共有i k !(2012－i k )!个，它们全包含在全排列2012!中． 10分以下还要说明：以集合S 的m 个“好子集”m A A A A ,...,,,321中的元素排在前ik个位置，以它们对应的在S 中的补集的元素排在后2012－i k 个位置的各个排列中，在题设条件下，没有两个是相同的．不妨设：f i k k ≤，由条件f i A A ,互不包含，所以f i A A ⊄，所以排列),...,,,,...,,(2012'2'1''2'1'i i k k y y y x x x -中的前面i k 个元素不可能与排列),...,,,,...,,(20122121i i k k y y y x x x -中的前面i k 个元素完全相同，否则就有f i A A ⊆而与条件矛盾．故：!2012)!2012(!1≤-∑=i i mi k k 13分。
人大附中2012-2013学年度第二学期期中初一年级数学练习2013.4.23
人大附中2012-2013学年度第二学期期中初一年级数学练习2013.4.23说明：本练习共五道大题，31道小题，共8页；满分100分，时间90分钟；请在密封线内填写个人信息．请将答案全部作答在答题纸相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、选择题：（每小题3分，共36分）1．如图，☆所盖住的点的坐标可能为（）A．()21--，B．()12-，C．()21-，D．()21-，2有意义的x的取值范围是（）A．2x>B．2x≥C．2x<D．2x≤3．下列各式正确的是（）A5±B2-C2-D．38=4．下列不是二元一次方程组的是（）A．23x yy z+=⎧⎨+=⎩B．2334m nn m=+⎧⎨-=⎩C．21xy=⎧⎨=-⎩D．()()4252123aa b a b+=⎧⎪⎨-+=+-⎪⎩5．方程组224x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（）A．12xy=⎧⎨=⎩B．31xy=⎧⎨=⎩C．2xy=⎧⎨=-⎩D．2xy=⎧⎨=⎩6()220m-=，则点()P m n，到x轴的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．6 7．如图，数轴上A、B两点之间表示整数的点的个数是（）A．3B．4C．5D．68．以下列各组线段为边，不能构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cmB．2cm，3cm，4cmC．3cm，4cm，5cmD．4cm，5cm，6cm9．线段CD是由线段AB平移得到的，点()22A-，平移后的对应点为()12C-，，则点()13B-，平移后的对应点D的坐标为（）A．()41--，B．()41-，C．()21，D．()21-，10．三角形三个外角之比为3:4:5，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定11．下列命题中，假命题的是（）A．三角形的三个外角中至少有两个是钝角B．实数与数轴上的点一一对应C．若点()212P a a--，在一、三象限的角平分线上，则1a=D．点()12P-，关于x轴的对称点坐标是()12P'，12．在平面直角坐标系中，已知点()23A，，()10B，，()12C-，，小明为了找到点D，使得ABD△与ABC△的面积相等，进行了如下几种操作：①将点B先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到点D；②将点B先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点D；③将点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到点D；④将点C先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点D．其中正确的操作是（）A．①②③④B．①②④C．①②D．②④二、填空题：（每空2分，共24分）13．8-的立方根是．14．12xy=⎧⎨=⎩二元一次方程36x y+=的一组整数解（填“是”或“不是”）．15．点()32P-，关于y轴的对称点Q的坐标是，P、Q两点之间的距离是．16．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中α∠的度数是．60°45°α17．若点()324A a a-+，在坐标轴上，则a的值是．18．若y，则x y+的算术平方根是．19．8个完全相同的小长方形可以如图1无缝隙拼成一个大长方形，也可以如图2拼成一个大正方形，但中间恰好有一个边长为2cm的小正方形漏洞，则每个小长方形的面积是2cm．图1图220．在2y ax bx c=++中，当x取0时，y的值是3，并且当x取1和3时，y的值都是0，则当2x=时，y的值是．21．等腰三角形一腰上的高与另一腰成40︒角，则这个等腰三角形的顶角为．22．如图，一个粒子在第一象限内以及两条坐标轴的正半轴上运动．它从原点出发，经过1秒时运动到()10，，接着按如图所示的横轴、纵轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么粒子运动到点()33，时经过了秒，经过2013秒时这个粒子所在位置的坐标为．三、解答题：（每题4分，共16分）23224．解方程：()22118x-=．25．解方程组：2425x yx y+=⎧⎨+=⎩26．解方程组：322 547m nm n+=⎧⎨-=⎩．四、解答题：（第27题5分，第28、29题各4分，共13）27．列二元一次方程组解应用题：某服装厂计算用600米长的布料生产一批校服，若3米长的布料可以做2件上衣或者3条裤子，一件上衣与一条裤子配成一套校服，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子，才能使得做成的上衣和裤子恰好配套？共可生产校服多少套？28．如图，CE是ABC△的外角平分线，F是CA延长线上一点，FG EC∥交AB于G，已知50DCE ∠=︒，40B ∠=︒，求FGA ∠．（写出必要的推理过程，不用注理由）GFEDC B A29．若关于x 、y 的方程组9213342x y m x y m ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩的解满足2543x y m +=-，求m 的值．五、解答题：（第30题6分，第31题各5分，共11分）30．在平面直角坐标系中，()07A ，，()180C ，，现将点C 向上平移7个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到对应点B ．（1）在所给的平面直角坐标系中描出点A 、B 、C ，并顺次连结A 、B 、C 、O 构成一个四边形；（2）点B 的坐标为（ ， ），四边形ABCO 的面积是 平方单位；（3）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向匀速移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向匀速移动．设移动时间为t 秒()07t <<，四边形OPBA 的面积是OQB △的面积的2倍，求t 的值．31．阅读理解：如图，ABC △中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，剪掉重叠部分；……，将余下部分沿11n n B A C --∠的平分线1n n A B -折叠，经过n 次折叠，若点1n B -与点C 重合，我们就称BAC ∠是ABC △的n 阶“牛”角．…A n -1B n B n -1B 3B 2A 2B 1A 1CB A探究应用：（1）ABC △中，若BAC ∠是ABC △的1阶“牛”角，则ABC △是 三角形；（2）ABC △中，B C ∠>∠，若BAC ∠是ABC △的3阶“牛”角，且第3次折叠的折痕与AB 平行，画出示意图，求BAC ∠的度数；（3）ABC △中，若三个内角都是某阶“牛”角，已知有一个角是2阶“牛”角且每个内角的度数均为大于10的整数，直接写出三角形三个内角的度数．。
人大附中2012年初二第二学期期末数学试题
人大附中2011—2012学年度第二学期期末初二年级数学练习2012.7.4 一、选择题（每小题3分，共36分）1、下列各式正确的是 （ ）A 、416±=B 、3)3(2-=- C 、24-=- D 、3327=2、下列根式中，最简二次根式是 （ ） A 、51B 、5.0C 、5D 、50 3、下列图形中不是中心对称图形的是 （ ） A 、等边三角形 B 、矩形 C 、菱形 D 、圆4、下列说法正确的个数是 （ ） ①平行四边形的邻边相等； ②矩形的两条对角线长相等；③菱形的对角线互相垂直； ④等腰梯形同一底上的两个角相等A 、4B 、3C 、2D 、15、若2-=x 是方程0822=+-ax x 的一个根，则a 的值为 （ ） A 、1 B 、1- C 、3 D 、3-6、如果最简二次根式a b b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是（ ）A 、0=a ，2=bB 、2=a ，0=bC 、1-=a ，1=bD 、1=a ，2-=b 7、方程)2(2)2(x x x -=-的根为 （ ） A 、2-=x B 、2=x C 、221==x x D 、21=x ，22-=x 8、用配方法解方程01322=--x x ，应该先把方程变形为 （ ） A 、98)31(2=-x B 、910)31(2=-x C 、98)31(2-=-x D 、0)32(2=-x 9、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，点C 在y轴上，把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90得到矩形OA B C '''，若OA =2，OC =4，则点B '的坐标为A ．(24)，B ．(24)-，C ．(42)，D ．(24)-，10、如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆和DEF ∆为等边三角形，DE AB =，点B 、C 、D 在x 轴上，点A 、E 、F 在y 轴上，下面判断正确的是 （ ） A 、DEF ∆是ABC ∆绕点O 逆时针旋转o90得到的 B 、DEF ∆是ABC ∆绕点O 顺时针旋转o 90得到的C 、DEF ∆是ABC ∆绕点O 顺时针旋转o60得到的 D 、DEF ∆是ABC ∆绕点O 顺时针旋转o120得到的CBAFE D y xOyx11、如图，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠内的一条射线，AD BE ⊥，且CH M ∆可由BEM∆旋转而得，则下列结论中错误的是 （ ）A 、M 是BC 的中点B 、EH FM 21= C 、BC FM ⊥ D 、AD CF ⊥ 12、已知反比例函数xk y 2-=的图象如图所示，则一元二次方程1)12(22-+--k x k x 的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的实根B 、有两个相等的根C 、没有实根D 、无法确定 二、填空题（每小题3分，共30分） 13、计算：=-2218_______________。
人大附中2012届数学高考适应性练习(三模)试题及答案
数学试题（理科）
一、选择题
1.
2012.5.27
已知集合 A= x ∈ N | x 2 < 4 ，B＝ x ∈ R | x 2 − 2 x − 3 < 0 ，则 A I B ＝（ B ） A. {－1，0，1} C. { x | −1 < x < 2} B. {0，1} D. { x | −2 < x < 3} B. 1 − i C. −1 + i D. −1 − i
3 . 5
……………………………13 分
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16. (本小题满分 14 分) 如图所示，在四棱锥 P − ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，△ PAD 为等边三角形， 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，且∠ DAB =60°, AB = 2 ， E 为 AD 的中点. （Ⅰ）求证： AD ⊥ PB ； （Ⅱ）求二面角 A − PD − C 的余弦值； （Ⅲ）在棱 PB 上是否存在点 F ，使 EF ∥平面 PDC ？并说明理由． 16. （Ⅰ）证明：连结 EB，在△AEB 中，AE=1，AB=2， ∠ EAB =60°，
P ( X = 2) =
2 1 3 C10 C5 C10 225 120 ， ( ) = P X = 3 = = 3 3 455 C15 C15 455
故 X 的分布列为 P X 0 1 2 3
10 455
பைடு நூலகம்
100 455
225 455
120 455
……………………………12 分 ………………………13 分
1 2
1 ． 2
B．命题 q、r C．命题 r、s D．命题 s、p
北京市人大附中2012届高三数学 尖子生专题训练 数列 新人教版
北京市人大附中2012届高三数学尖子生专题训练：数列I 卷一、选择题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于( ）A ．52B ．54C ．56D ．58 【答案】A2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 【答案】A3．设函数f (x )＝(x －1)2＋n ，(x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，则c n ＝b 2n －a n b n 是( )A ．公差不为零的等差数列B ．公比不为1的等比数列C ．常数列D ．既不是等差也不是等比数列 【答案】A4．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24 【答案】B5． 等差数列}{n a 的前n 项和为30,1191=++a a a S n 若，那么13S 值的是（ ） A ．65 B ．70 C ．130 D ．260 【答案】C6．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( )A ．1或－12 B ．1C ．－12D ．－2【答案】A7．数列{}n a 满足1211,,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则数列的第2010项为 ( ）A ．10012B ．201012C ．12010D ．1100【答案】C8．已知无穷等差数列｛a n ｝中，前n 项和是S n ，且S 7>S 6，S 7>S 8，，那么（ ）A ．数列｛a n ｝中，a 7最大B ．数列｛a n ｝中，a 3或a 4最大C ．当n ≥8时，a n <0D ．一定有S 3=S 11 【答案】C9．若n S 是等差数列{n a }的前n 项和，且2038=-S S ，则11S 的值为 ( ）A ．44B ．22C ．3200D ．88【答案】A10．已知数列﹛n a ﹜为等比数列，且2113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为（ ）A B ．C ．D ．3-【答案】A11．已知数列{}n a 满足2,11+==+n n a a a a 。
2012人大附中初二下期中数学
人大附中2010-2011八年级下期中统练一、选择1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）A ．3、4、5B ．6、8、10C ．523、、D ．5、12、13 2.如图，每个小正方形的边长是1，A 、B 、C 是小正方形的顶点， 则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 3.已知反比例函数xk y =的图像经过P （-1，2），则这个函数图像位于（ ）A ．第二、三象限B ．第一、三象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 4．已知点M （-2,3）在双曲线xk y =上，则下列各点一定在该双曲线上的是（A ．（3，-2）B ．（-2，-3）C ．（2，3）D ．（3，2） 5.一次函数y=kx+b 与反比例函数xk y =的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．它们的函数值y 随着x 的增大而增大B ．它们的函数值y 随着x 的增大而减小C ．k ＜0D ．它们的自变量x 的取值为全体实数 6．如图，双曲线xk y =（k ＞0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积是3，则双曲线的解析式为（ ） A ．x 1y =B ．x2y =C ．x3y = D ．x6y =7．如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线x3y =（x ＞0）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ ）A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小第2题图第10题图B第12题图B第13题图B第22题图8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA=2，则BD 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 9．一组数据1,2,3,4,5,5,5,的中位数和众数分别是（ ）A ．4，3B ．3，5C ．5，5 10．园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米，BC=4米， CD=12米，DA=13米，且AB ⊥BC ，这块草坪的面积是（ ） A ．24平方米 B ．36平方米 C ．48平方米D ．72平方米 11．下列说法错误的有（ ）个①一组数据的众数、中位数和平均数不可能是一个数；②一组数据的平均数既不可能大于，也不可能小于这组数据中的所有数；③一组数据的中位数可能与这组数据的任何数据都不相等；④众数、中位数和平均数从不同角度描述了一组数据的集中趋势。
人大附中初二数学期中测试(2012-2013)学生版
人大附中2012-2013学年度第二学期期中初二年级数学练习一、选择题（共12道小题，每题3分，共36分，请将答案填写在下面的表格中） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1、下列函数中，是{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT |y 关于的反比例函数的是（ ）A. B. C. D. 2、下列各点中，在双曲线上的是（ ）A. B. C. D.3、在中，分别的中点，作。
若的面积是12，则的面积是（ ）A. 6B. 4C. 3D. 2 4、二次根式中，最简二次根式有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、如图，某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是（）6、某直角三角形的面积为3，两直角边分别为，则关于的函数解析式及的取值范围分别是（ ）A. B. C. D.7、以下各组中，是同类二次根式的是（ ）A.和B.和C.和D.和8、直角三角形的两条边分别为和，则第三边的长是（ ）A. B. C. 或 D. 以上答案都不对A ．红花、绿花种植面积一定相等B ．紫花、橙花种植面积一定相等C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等9、化简二次根式的结果是（ ）A. B. C. D.10、某校办工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（ ） A. B. C. D. 11、如图，在四边形中，，,则四边形的面积是（ ）A. B. C. D.12、已知四边形中，交于点，给出条件①//且 ② ③④，其中能判定四边形是平行四边形的有（ ）A. B. C. D. 二、填空题（共12道小题，每题2分，共24分） 13、的周长为20，，则的周长是 。
人大附中2012届初三第二学期数学练习2
2012.3．30.考生须知须知 1．本试卷共8页，共五道大题，页，共五道大题，2525个小题，满分120分,考试时间90分钟分钟. .2．试题答案一律书写在答题纸上．试题答案一律书写在答题纸上. . 3-x 某学校课外兴趣小组为了了解所在学校的学生对体育运动的爱好情况，设计了四种不同图1 7．英语口语比赛中，要从35名参加比赛的学生中，录取前18名学生参加复赛．李迎同学知道了自己的分数后，想判断自己能否进入复赛，只需要再知道参赛的35名同学分数的名同学分数的 A ．最高分数．最高分数 B ．平均数．平均数 C ．众数．众数 D ．中位数．中位数8． 矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，E 从B 点出发在BA 边上，沿BA 方向以每秒1个单位的速度运动，F 到B 点距离为1，且点F 与点E 同时出发，以相同的速度沿BC 方向运动，设矩形EBFG 的面积为y ，则y 与运动时间x 之间的函数关系图象是之间的函数关系图象是二、填空题（本题共16分，每小题4分．）9．若关于x 的一元二次方程的一元二次方程 052=+-m x x 有实数根有实数根, , , 则则m 的取值范围是的取值范围是 . . 1010．若圆锥的底面半径为．若圆锥的底面半径为6cm 6cm，高为，高为8cm 8cm，则这个圆锥的侧面积是，则这个圆锥的侧面积是，则这个圆锥的侧面积是 cm cm 2.1111．如图，直线．如图，直线y=k 1x 与双曲线xk y 2=交于A 、B 两点，那么点B 的坐标是_______. 12.3012.30°角的直角△°角的直角△°角的直角△ABC ABC 中，∠中，∠B=30B=30B=30°，∠°，∠°，∠BAC=90BAC=90BAC=90°，°，°，AC=1AC=1AC=1，，............,,32211BCA A AB A A BC AA ^^^，第2个三角形的面积为个三角形的面积为 ；第；第2012个三角形的面积为个三角形的面积为 ；；题号 1 2 3 4 5 6 7 8 题号答案答案题号 9 10 11 12 题号答案答案2-图7 1717．已知关于．已知关于x 的方程x 2＝（＝（22m ＋2）x －（m 2＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．的值，并解方程．1818．．已知：已知：如图如图8，梯形ABCD 中，中，AD AD AD∥∥BC BC，，∠B=90B=90°，°，°，AD=DC=2AD=DC=2AD=DC=2，，∠ADC=120ADC=120°，°，°，求梯形求梯形ABCD 的周长的周长. .四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题５分，第21题6分，第22题5分．） 19.19.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与直线与直线 y= -2x y= -2x 关于y 轴对称，直线l 与反比例函数xk y =的图象的一个交点为M(3, m), M(3, m), 试确定反比例函数的解析式．试确定反比例函数的解析式．试确定反比例函数的解析式．20. 20. 现从我市区近期卖出的不同面积的商品房中现从我市区近期卖出的不同面积的商品房中现从我市区近期卖出的不同面积的商品房中 随机抽取随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出套进行统计，并根据结果绘出 如图所示的统计图，请结合图中的信息，如图所示的统计图，请结合图中的信息，如图所示的统计图，请结合图中的信息， 解答下列问题：解答下列问题：解答下列问题：(l (l）卖出面积为）卖出面积为110-130m 2，的商品房有，的商品房有套，并在右图中补全统计图；套，并在右图中补全统计图；套，并在右图中补全统计图； (2(2）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部 卖出的商品房的卖出的商品房的卖出的商品房的 %; %;(3(3）假如你是房地产开发商，根据以上提供的信息，你）假如你是房地产开发商，根据以上提供的信息，你会多建住房面积在什么范围内的住房？为什么？会多建住房面积在什么范围内的住房？为什么？图8 2121．如图，以等边△．如图，以等边△ABC 边为直径的半圆⊙O 交AC 、BC 于D 、E ，过D 做DF ⊥BC 于F ，FH ⊥AB 于H ，（1）猜想DF 与圆的位置关系，并证明你的结论；与圆的位置关系，并证明你的结论； （2）若AC 的长为4，求四边形DOHF 的周长．的周长．2222．小明用多种方法，把．小明用多种方法，把3030°角对的边为°角对的边为1的直角三角形纸片，裁剪成四个等腰三角形纸片（无剩余），他在图1中画出了一种剪裁方法，中画出了一种剪裁方法， （1）填空：③号三角形纸片周长为）填空：③号三角形纸片周长为= = = ；；（2）请你在图2、图3、图4中帮小明再画出三种剪裁方法；中帮小明再画出三种剪裁方法；（3）在小明的所有裁剪方法中，剪裁出的面积最大的等腰三角形纸片面积为剪裁出的面积最大的等腰三角形纸片面积为 ；；五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分．）23. 函数c bx x y ++-=21（0³x ）的图象经过点M （1，0）、N （3，0），交y 轴于C 点，顶点为A ，（1）则C 点坐标为点坐标为 C （ ， ）； （2）函数n mx ax y ++=22与c bx x y ++-=21的图象关于x 轴对称，顶点为B ，P 为1y 上一点，且△上一点，且△PCM PCM 的面积和四边形AMBN 的面积相等，求P 点到y 轴的距离；轴的距离； （3）若直线3-+=p kx y 过C 点，且与1y 、2y 共有3个交点，直接写出k 的取值范围.24．已知：已知：平行四边形平行四边形ABCD ，∠C=60°，AB=a ，BC=b ，以AD 、BD 为边作等边△ADE 和△BDF ，（1）除等边△ADE 和△BDF 外，还有外，还有 是等边三角形；是等边三角形； （2）若△BEG 面积比△CGD 面积大2433a ，a 与b 的关系为的关系为 ； （3）图中△ABH 、△BEG 和△DHF 之间的面积关系是什么，说明理由．之间的面积关系是什么，说明理由．为；7+上一动点，求。
人大附中2012年分班考试题及答案
1．5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？解答：300÷（75÷5）-5=15（箱）或5×<（300-75）÷75>=5×3=15（箱）。
2．花果山上桃树多，5只小猴分200棵.现有小猴60只，如数分后还余90棵，请算出桃树有几棵？解答：2490。
3．5台拖拉机24天耕地12000公亩。
要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？解答：需要增加25台拖拉机。
4．5个人挖3米长的沟需要用3个小时，那么用50个小时挖50米的沟需要多少名工人？解答：因为5个人挖3米长的沟需要用3个小时，那么5个人用1个小时就可以挖1米长的沟，所以5个人用50个小时也就挖了50米长的沟．5．一个工人在森林中锯木头，他用了12分钟把一根树干锯成了4段．如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？解答：把一根树锯成4段，实际上只需要锯4－l=3下，所以锯一下需要12+3=4分钟．要把每段再分成两段，还要锯4下，所以还需要4×4=16分钟．6．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5小时，6天可以完成任务。
由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。
问：每天要工作多少小时？解答：8小时。
1．母亲比儿子大27岁，3年前，母亲的年龄是儿子的4倍。
求母子今年的岁数。
解答：27÷（4－1）=9（岁），儿子：9+3=12（岁），母亲：12+27=39（岁）。
2．今年父亲38岁，儿子10岁。
在几年前父亲年龄是儿子的5倍？解答：38－10=28（岁），28÷（5－1）=7（岁），10－7=3（年）。
3．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。
问：他们二人各几岁？解答：9岁；28岁。
4．小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁。
北京中国人民大学附属中学2012-2013学年八年级质量检测数学试题(2)
中国人民大学附属中学初二数学质量检测卷(试卷二)—、选择题（每小题3分，共30分）1．分式121+x 有意义，则x 的取值范围是 （ ） A 21- x B 21 x C 21-≠x D 21≠x2．在⋅⋅⋅-021021021.0,121,9,722,2,25.03π中，无理数有（ ）个。
A 1 B 2 C 3 D 4 3．下列各式正确的是（ ）A 6)6(2-=- B 9)3(2=- C 416±= D 53259-=- 4．下列各式是最简二次根式的是（ ） Ax 21B x 18C x 3D y x 3 5．下列各式中，与48是同类二次根式的是（ ） A 8.4 B 12 C 183 D 24326．下列线段能组成三角形的是（ ）A 1，1，3B 1，2，3C 2，3，5D 3，4，5 7．下列说法正确的是 （ ）A 面积相等的两个三角形全等B 周长相等的两个三角形全等C 形状相同的两个三角形全等D 能够完全重合的两个三角形全等 8．计算xy yy x x 222-+-的结果是（ ） A 1 B 1- C y x +2 D y x -29．已知，如图：AB ∥CD ，︒=∠38A ，︒=∠80C ，M ∠的度数为（ ） A 52° B 42° C 62° D 72°10．当a<0时,化简ba 2-的结果是（ ）Ab b a - B b b a - C b b a -- D b ba 二、填空题（每题2分，共16分） 11．8116的平方根是 ，16的算术平方根是 。
12．式子x 32-有意义，则x 的取值范围是 。
13．在△ABC 中a=6，b=4,则第三边c 的取值范围是 。
14．等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则其周长为 。
15．在实数范围内因式分解：=-x x 23。
16．关于x 的方程32322=-+-xmx x 有增根，则=m 。
北京海淀人大附中初三上期中模拟数学真题卷
人大附中初三（上）数学统一练习6——期中模拟一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．一元二次方程220x x -=的解为（）．A ．2x =B ．1x =，22x =C ．1x =，22x =-D ．11x =，22x =【答案】B 【解析】根据提取公因式法解一元二次方程得：(2)0x x -=，所以1x =，22x =．故答案为B ．2．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（）．A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--【答案】A 【解析】根据二次函数的顶点式2()(0)y a x h k a =-+¹顶点坐标为(,)h k ，所以2(1)2yx =-+的顶点坐标为(1,2)．故答案为A ．3．下列图形是中心对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义可知：A、D 为轴对称图形，C 为中心对称图形，B 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故答案为C ．4．如图，四边形A B C D 内接于⊙O ，E 为C D 延长线上一点，如果120A D EÐ=°，那么B Ð等于（）．A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°【答案】B 【解析】根据圆内接四边形对角互补，可得：180A D C B Ð+Ð=°，根据邻补角定义可得：180A D CA D E Ð+Ð=°，根据同角的补角相等可得：120A D E B Ð=Ð=°，ECBAOD故答案为B ．5．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若35CÐ=°，则A O B Ð的度数为（的度数为（ ）．A ．35°B ．55C ．65°D ．70°【答案】D 【解析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，【解析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半， 故270A O BC Ð=Ð=°，故答案为D ．6．在数轴上，点A 所表示的实数为2，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为1，下列说法中不正确．．．的是（的是（ ）．A ．当3a<时，点B 在⊙A 内B ．当13a <<时，点B 在⊙A 内C ．当1a <时，点B在⊙A 外D ．当3a>时，点B 在⊙A 外【答案】A 【解析】由于圆心A 在数轴上表示的实数为2，圆的半径为1， 所以当d r =时，⊙A 与数轴交于两点：1和3，故当1a =，3时，点B 在⊙A 上；上；当d r <，即当13a <<时，点B 在⊙A 内；内； 当dr>，即当1a <或3a >时，点B 在⊙A 外，外，由以上结论可知：B 、C 、D 正确答案为A ．7．已知⊙O的半径是5，O P的长为4，则点P 与⊙O的位置关系是（的位置关系是（ ）． A ．点P 在圆内在圆内 B ．点P 在圆上在圆上 C ．点P 在圆外在圆外 D ．不能确定．不能确定 【答案】A 【解析】45<，故O P r<，所以点P 在⊙O 内部，内部，故答案为A ．8．如果关于x的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是（的取值范围是（ ）．A ．2m>B ．3m ≥C ．5m<D ．5m ≤【答案】D 【解析】由一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，可知0D ≥，则21141104m æöD =-´´-ç÷èø≥，所以5m ≤，故答案为D ．9．2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．很多学校开设了相关的课程．很多学校开设了相关的课程．某校某校8名同学参加了冰CBAO壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：c m ）如下表所示：）如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4甲组甲组 176 177 175 176 乙组乙组178175177174设两队队员身高的平均数依次为x 甲，x 乙乙，方程依次为2s 甲，2s乙，下列关系中完全正确的是（ ）．【注意有文字】意有文字】A ．x x=甲乙，22s s<甲乙B ．xx=甲乙，22s s >甲乙 C ．xx <甲乙，22ss<甲乙D ．xx >甲乙，22ss>甲乙【答案】A 【解析】(177176175176)4176x=+++¸=甲，【注意有文字】【注意有文字】(178175177174)4176x =+++¸=乙，【注意有文字】【注意有文字】2222211(177176)(176176)(175176)(176176)42séù=-+-+-+-=ëû甲，【注意有文字】【注意有文字】 2222215(178176)(175176)(177176)(174176)42séù=-+-+-+-=ëû乙，【注意有文字】【注意有文字】所以x x =甲乙，22ss<甲乙．【注意有文字】【注意有文字】故答案为A ．10．如图，点C 是以点O 为圆心，A B 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），4A B=，设弦A C 的长为x ，A B C △的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵4A B=，A C x=，O C BA4421 y xO O xy 1244O xy1244O xy1244∴22222416B C A BA Cxx=-=-=-，∴2111622A B CS A C B C x x =×=-△．∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∵此函数不是二次函数，也不是一次函数， ∴排除A 、C 选项，选项， ∵A B 为定值，当O C A B⊥时，A B C △面积最大，此时22A C=，即22x =时，y 最大，故排除D ，故答案为B ．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．关于x的一元二次方程22(2)240m x x m-++-=的一个根是0，则m 的值是__________．【答案】2-【解析】方程的一个根为0，则0x =代入得：240m -=，所以2m=±，因为20m-¹，所以2m=，故答案为2m =-．12．请写出与抛物线2y x=形状相同，且经过(0,5)-点的二次函数的解析式__________．【答案】25y x =- 【解析】根据形状相同，故1a=与y轴交点为(0,5)-，答案不唯一，，答案不唯一，故满足题意的二次函数解析为：25y x =-，故答案为25yx =-．13．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________． 【答案】3π 【解析】有2π360n rS =扇且3r =，120n =°代入得：2120π33π360C ´´==扇，【注意有文字】【注意有文字】故答案为：扇形面积为3π．14．北京市2011~2016年高考报名人数统计如图所示，根据统计图中提供的信息，年高考报名人数统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预计预计2017年北京市高考报名人数约为__________万人，你的预估理由是__________．【答案】（1）6.53 ；（2）见解析）见解析 【解析】由折线统计图可知：【解析】由折线统计图可知：20112012-年报名人数减少：8.027.600.42-=（万人）， 20122013-年报名人数减少：7.607.350.25-=（万人）， 20132014-年报名人数减少：7.357.270.08-=（万人）， 20142015-年报名人数减少：7.277.050.22-=（万人）， 20152016-年报名人数减少：7.05 6.780.27-=（万人）．由以上可预估2017年北京市高考报名人数约为6.53万人，万人，理由：最近三年减少的人数趋于平缓，减少人数基本维持在0.25万人左右．万人左右．故答案为：6.53；最近三年减少的人数趋于平缓，减少人数基本维持在0.25万人左右．万人左右．15．如图，A B 、A C 与⊙O 相切于点B 、C ，50A Ð=°，P 为⊙O 上异于B 、C 的一个动点，则B P C Ð的度数为__________．【答案】65°或115° 【解析】∵A B ，A C 为⊙O 的两条切线，的两条切线，∴90A B O A C O Ð=Ð=°，∵四边形内角和360°且50A Ð=°，∴130B O CÐ=°，当P 在优弧B C 上时，1652B PC B O C Ð=Ð=°， 当P在劣弧B C上时，18065115B P C Ð=°-°=°．故答案为：65°和115°．16．如图，小明想做⊙O 中圆弧A B 的中点E 、F ，他作图的步骤：，他作图的步骤： （1）以A O 为直径作⊙C 交A B 于点D ．年份20172016201520142013201220116.46.66.877.27.47.67.888.2报名人数/万人6.787.057.277.357.68.02ABCO（2）做直线O D 交⊙O 于点E 、F 小明作图的依据是小明作图的依据是 ①__________． ②__________．【答案】①直径所对的圆周角为直角【答案】①直径所对的圆周角为直角②垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧②垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 【解析】∵A O 为⊙C 的直径，的直径， ∴90A D O Ð=°，∵E F A B ⊥且E F 为⊙O 的直径，的直径，∴))B E A E=，故作图依据为：直径所对的圆周角为直角，垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：2432x x =--．【答案】此方程没有实数根【答案】此方程没有实数根 【解析】2432x x =--，24320x x ++=，4a =，3b =，2c =，22243442932230b a c D =-=-´´=-=-<，∴此方程没有实数根．∴此方程没有实数根．18．已知25140m m --=，求2(1)(21)(1)1m m m ---++的值．的值． 【答案】14【解析】原式22231211m m m m =-+---+251mm =-+．∵25140m m --=，∴2514mm -=， 将2514m m -=代入，代入，原式14=．故答案为14． 19．如图，已知90A B C Ð=°，分别以A B 和B C 为边向外作等边A B D△和等边B C E△，连接A E ，C D ．求证：A EC D=．FEC BAO D【答案】见解析【答案】见解析 【解析】∵A B D△，B C E△均为等边三角形，均为等边三角形，∴B DA B=，B CB E=，60A B DC B E Ð=Ð=°，∵D B C D B A A B CÐ=Ð+Ð， A B E E B C A B CÐ=Ð+Ð，∴D B C A B EÐ=Ð， 在A B E△和D B C△中，中，A B D B A B E D B C E B C B=ìïÐ=Ðíï=î，∴A B E△≌(S A S )D B C △，∴A EC D=．20．已知函数21y a x b x c=++，它的顶点坐标为(3,2)--，1y 与22y x m=+交于点(1,6)，求1y ，2y 的函数解析式．函数解析式． 【答案】115322y x x =++224y x =+【解析】将(1,6)代入22y x m=+中，中，62m =+，4m =，∴224y x =+．将顶点(3,2)--代入一次函数21()ya x h k=-+中，中，∴21(3)2y a x =+-，将(1,6)代入得：26(13)2a =+-，12a =，∴211(3)22y x =+-215322x x =++．故答案为：115322y x x =++，224y x =+．ECBAD21．如图，在平面直角坐标系xO y中，以点(2,3)A 为圆心的⊙A交x轴于点B，C ，8B C =，求⊙A的半径．的半径．【答案】5 【解析】连接A C ，过A 作A D B C⊥于D ，∵A 为圆心，且A D B C⊥，∴B D D C =，∵8B C =，∴4B D DC ==，∵(2,3)A ，∴3A D=，在R t A D C△中，222A DD CA C+=， ∴2222345A C A D D C =+=+=，则⊙A的半径为5．22．现有一块长20cm ，宽10c m 的长方形铁皮，在它的四个角分别减去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为256c m 的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．【答案】3cm【解析】设剪去的小正方形边长为c m x ， 由题意列方程：(202)(102)56x x --=，(10)(5)14x x --=，215360x x -+=， (3)(12)0x x --=， 13x =，212x =，∵1210>，∴3x=．答：小正方形边长为3cm ．1A BCx yO23．已知关于x 的一元二次方程2(31)210k x k x k ++++=．（1）求证：该方程必有两个实数根．）求证：该方程必有两个实数根．（2）若该方程只有整数根，求k 的整数值．的整数值． 【答案】（1）证明见解析）证明见解析 （2）1k=±【解析】（1）根据题意得0k¹，2(31)4(21)k k k D =+-´+2296184kk k k=++--221kk =++2(1)k =+．∵2(1)0k+≥，∴0D ≥，∴此方程必有两个实数根．∴此方程必有两个实数根． （2）(31)(1)2k k x k-+±+=，∴131112k k x k--++==-，2311122k k x kk----==--，∵方程的根为整数，且k 为整数值，为整数值， ∴1k =±．24．已知：如图，R t A B C△中，90A C BÐ=°，以A C 为直径的半圆O 交A B 于F ，E 是B C 的中点，求证：直线E F 是半圆O 的切线．的切线．【答案】证明见解析【答案】证明见解析【解析】证明：连接O E ，C E ， ∵A C 为⊙O 的直径，的直径， ∴90A F CÐ=°，∴90C F B Ð=°， ∵E 为B C 中点，中点， ∴E F C E=，∴C F EF C EÐ=Ð， ∵O FO C=，FECBAO∴F C OO F CÐ=Ð，∵90O C F F C B Ð+Ð=°， ∴90E F O O F C Ð+Ð=°，即O F E F⊥，∵O F 为⊙O 半径，半径，∴E F 为半圆O 的切线．的切线．25．如图，点A ，B 在⊙O 上，A C 是切线，O C O B⊥，求证：，求证：（1）A CC D=． （2）若2A C =，5A O=，求O D ．【答案】（1）证明见解析）证明见解析（2）1O D =【解析】（1）∵A C 为⊙O 的切线，的切线，∴90O A C Ð=°，∴90O A B B A CÐ+Ð=°，∵O C O B⊥， ∴90B O CÐ=°，∴90O D B B Ð+Ð=°，∵O A O B =， ∴O A B BÐ=Ð， ∵O D B B A C Ð=Ð， ∴A D C B A CÐ=Ð，∴A CD C=． （2）∵A C 为⊙O 的切线，的切线， ∴90O A CÐ=°，∴222O C O A A C=+，∴2222(5)23O C O A A C =+=+=，∵A C D C =，∴2D C =，∵O D O C D C =-，∴1O D =．27．在平面直角坐标系xO y中，抛物线221(0)y m x m x m m =-+->与x 轴的交点为A ，B ．（1）求抛物线的顶点坐标．）求抛物线的顶点坐标．（2）若2A B=，CBAOD①求抛物线的解析式．①求抛物线的解析式．②已知C 点的坐标为(2,1)--，D 点在抛物线在对称轴上，将抛物线在03x <<的部分记为图象G ，若直线C D 与图象G 只有1个公共点，结合函数图象，求D 点的纵坐标t 的取值范围．的取值范围．【答案】（1）(1,1)- （2）①22y x x=- ②1t=-或1725t <≤【解析】（1）221y m x m x m =-+-2(21)1m x x =-+-2(1)1m x =--，当1x =时，1y =-，∴顶点坐标为(1,1)-．（2）①∵A 、B 为抛物线与x 轴的交点，轴的交点， 且1x=，2A B =，∴与x 轴交点坐标为(0,0)，(2,0)， 将(0,0)代入221y m x m x m =-+-中，中，得1m =，∴22y x x=-．②∵(2,1)C --顶点坐标(1,1)D -， ∴C D x∥轴，轴，∵C D 与图象G 有一个公共点，有一个公共点，∴1t=-，设过C 的直线解析式(2)1(0)y k x k =+-¹，将(0,0)代入021k =-，∴12k=，∴12t=，将(3,3)代入351k=-，x y 123412345123412345∴45k =，∴75t =，∴1725t <≤．综上所述：D 点的纵坐标t 的取值范围是1t=-或1725t <≤．28．如图1，已知90D A CÐ=°，A B C△是等边三角形，点P 为射线A D 上任意一点（点P 与点A 不重合），连结C P ，将线段C P 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段C Q ，连结Q B 并延长交直线A D 于点E ． （1）如图1，猜想Q E P Ð=__________°．（2）如图2，3，若当D A C Ð是锐角或钝角时，其他条件不变，猜想Q E P Ð的度数，选取一种情况加以证明．以证明．（3）如图3，若135D A CÐ=°，15A C P Ð=°，且2A C =，求B Q 的长．的长．【答案】（1）60° （2）60°，证明见解析，证明见解析 （3）62-【解析】（1）∵A B C△为等边三角形，为等边三角形， ∴60B A C Ð=°，A C B C=，∵60P C QÐ=°，D 1D 2D 3C x=1543214321543214321 y x图1QE CBAP D 图2QECB APD图3QE CBAPD∴P C A Q C BÐ=Ð， 在P C A△和Q C B△中，中，C P C QP C A Q C B A C B C=ìïÐ=Ðíï=î，∴P C A△≌(S A S )Q C B △，∴C Q B C P AÐ=Ð，∵12Ð=Ð，∴60P E QP C Q Ð=Ð=°．（2）①证明图2， ∵A B C△为等边三角形，为等边三角形，∴60B C A Ð=°，A C B C=，∵60P C Q Ð=°， ∴A C P B C QÐ=Ð， 在A C P△和B C Q△中，中，A CB CA C PBC Q C P C Q=ìïÐ=Ðíï=î，∴A C P△≌(S A S )B C Q △，∴C Q B C P AÐ=Ð，∵12Ð=Ð，∴60Q E PQ C P Ð=Ð=°．②证明图3 ∵A B C△为等边三角形，为等边三角形，21D P AB C E Q图121DP AB C EQ图2∴60A C B Ð=°，A C B C =，∵60P C Q Ð=°， ∴P C A Q C B Ð=Ð， 在P C A△和Q C B△中，中，A CB CP C A Q C B C P C Q=ìïÐ=Ðíï=î，∴P C A△≌(S A S )Q C B △，∴C Q B C P AÐ=Ð，∵12Ð=Ð，∴60Q C AQ E P Ð=Ð=°．（3）∵135D A C Ð=°， ∴135Q B C Ð=°，∴45E B C Ð=°， ∵15A C P Ð=°， ∴15Q C B Ð=°， ∵60Q C P Ð=°， ∴45B C Q Ð=°，设B E 与C P 交于点F ，∴B C F △为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∵2A C =， ∴2B C =，∴2B FC F ==，∴6F Q =，∴62B Q=-．21DPA BCE Q图3。
北京市重点中学2012届高三第二次模拟考试数学题目
xy OAC y x=2y x =(1,1)B2011——2012学年度第二学期练习二高 三 数 学(理) 2012.04一 、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合{}260M x x x =+-<，{}13N x x =≤≤，则M N = ( )A. [)1,2B. []1,2C. (]2,3D. []2,3 2. 复数22iz i-=+在复平面内对应的点所在象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t R ∈），圆C 的参数方程为4cos 4sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[]0,2θπ∈），则直线l 被圆C 截得的弦长为 ( )A. B. 4C. D. 64．在2nx ⎛ ⎝的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ( ) A. 7- B. 7 C. 28- D. 285. 从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M ，则点M 取自阴影部分的概率为 ( )(A) 12 (B)13 (C) 14(D) 166. 设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF的斜率为PF = ( ) A. 6B. C. 8 D. 107. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业.根据计划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15；本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.设n 年内（本年度为第一年）总投入为n T 万元，旅游业总收入为n S 万元，则使0n n S T ->的最小正整数n 为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 68．在平面直角坐标系中，定义两点()11,P x y ，()22,Q x y 之间的直角距离为()()()1212,d P Q x x y y =-+-. 若点(),C x y （实数,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤）到点()1,3A 和()6,9B 的直角距离相等，则动点C 的轨迹的长度为 ( ) A. 12B. )41C. )51 D. 16二 、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上）[来源:学_科_网]9. 已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2y y x y x 则目标函数y x z +-=2的取值范围是_________.10. 在边长为1的正三角形ABC 中，若2BC BD =, 3CA CE =, 则AD BE ⋅=_________.11．如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ,D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知4AC =， 6AB =, 则MP NP ⋅= .12．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为 ； 全面积为 _____ .正(主)视图 俯视图侧(左)视图B13．已知函数()()||10()210x x f x x - >=+ ≤⎪⎩，若关于x 的方程()20f x x k +-=有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为 _____ .14．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …… 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 _____ .三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）[来源:学.科.网] 15．（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．16． （本小题共13分）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约. 乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．17．（本小题共14分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA= AB =1，AD =2， 点M 是PB 的中点，点N 在BC 边上移动．（I ）求证：当N 是BC 边的中点时，MN ∥平面PAC ； （Ⅱ）证明：无论N 点在BC 边上何处，都有PN ⊥AM ；（Ⅲ）当BN 等于何值时，PA 与平面PDN 所成角的大小为45︒．18. （本小题共13分）已知函数2(1)()a x f x x-=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.19. （本小题满分14分）已知点P 是圆122=+y x 上任意一点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点R满足=，记点R 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设A )1,0(，点M 、N 在曲线C 上，且直线AM 与直线AN 的斜率之积为32，求AMN ∆ 的面积的最大值．20. （本小题满分13分）设二次函数()f x 的图象过原点，且x R ∀∈，()23162x f x x --≤≤+.数列{}n a 满足113a =，()()1n n a f a n N *+=∈.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：n N *∀∈, 1n n a a +>；（Ⅲ）证明：n N *∀∈,11211133111222n n a a a ++++≥----.。
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人大附中2012届高考适应性练习数学试题（理科）一、已知集合A={}2|4x x ∈<N ，B ＝{}2|230x x x ∈--<R ，则A B ＝（ ）A. {－1，0，1}B. {0，1}C.{}|12x x -<<D.{}|23x x -<<1. 已知复数z 满足(1)2z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --2. 一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ） A. 4 B. 8 C.34D.833. 已知向量a ，b 满足1==+=a b a b ，则向量a ，b 夹角的余弦值为（ ）A. 12B. 12-C.2D. 2-4. 已知数列{a n }是等差数列，38a =，44a =，则前n 项和S n 中最大的是 ( )A ．S 3B ．S 4或S 5C ．S 5或S 6D ．S 65. 已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B. 2C.D.26.已知实数a ，x ，y 满足222(1)x y x y y a x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且z =x+y 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. a ≤－1B. a ≥－1C. －1≤a ≤2D. a ≤－1或a ≥2 7. 已知函数①12()f x x =，②()sin2xf x π=，③1()ln 12f x x =+，判断如下四个命题的真假：命题p ：(1)f x +是偶函数；命题q ：(1)f x +在(0)，1上是增函数； 命题r ：()f x 恒过定点(1)，1； 命题s ：11()22f >．则对于已知的三个函数都能成立的命题是（ ）侧视图俯视图正视图A ．命题p 、qB ．命题q 、rC ．命题r 、sD ．命题s 、p二、填空题 8.51)x的二项展开式中x 项的系数为______．－59. 已知直线l ：(1)2y k x =++，圆C ：2cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则圆心C 的坐标是________；若直线l 与圆C 有公共点，则 实数k 的取值范围是_______.（1，0），(,0]-∞10. 如图，已知PAB 是⊙O 的割线，点C 是PB 的中点，且PA =AC ，PT 是⊙O 的切线，TC 交⊙O 于点D ，TC =8， CD =7，则PT 的长为_________. 11. 如图所示程序框图运行的结果是_________.1212. 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 处观测到灯塔,A B 在一直线上，并与航线成30°角．轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45°方向，灯塔B 在北偏东15°方向．则轮船到灯塔B之间的距离CB 为__________米．13. 若f (x )是定义在R 上的奇函数，且对 0x ∀≥，总存在正数T ，使得f (x +T)－f (x )＝T 成立，则称f (x )满足“性质T ”.已知函数()g x 满足“性质T ”，若()g x 在[0,T]上的解析式为2()g x x =，则T=_______；若当x ∈[－3T ，3T]时，y=g (x )－kx 恰有9个零点，则k =______．1，4 15.已知函数2()2sincos444x x x f x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 取值集合；（Ⅱ）令()35f πα+=，且(0,)απ∈，求tan 2α的值.16. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且∠DAB =60°,2AB =，E 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17.如图，某工厂2011年生产的A ，B ，C ，D 四种型号的产品产量PP用条形图表示. 现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会. （Ⅰ）问A ，B ，C ，D 型号的产品各抽取了多少件? （Ⅱ）从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率；（Ⅲ）在50件样品中，从A ，C 两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件. 求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .18. （Ⅰ时，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）当1m ≤时，曲线:()C y f x =在点(0,1)P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m 的范围.19.已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>经过点3(1,)2M ，且其右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（II ）直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A 、B 两点，与抛物线2C 相交于C 、D 两点．求AB C D的最大值．20、已知集合{}1,2,3,,2011,2012S = ，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中的任意两个不同的元素,()x y x y >，若x y -都不能整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集”.（Ⅰ）分别判断数集{}2,4,6,8P =与{}1,4,7Q =是否是集合S 的“好子集”，并说明理由； （Ⅱ）求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值；（Ⅲ）设123,,,,m A A A A ⋅⋅⋅是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为(1,2,,)i k i m = ，求证：1!(2012)!2012!mi i i k k =⋅-≤∑一、B 1A 2A 3B 4B 5D 6C 7C三、15. 解：（Ⅰ）因为2()2sincos444x x x f x =-+2sin2sin )2x x =+-…………………………………2分sin2sin().2223x x x π=+=+………………………4分因为,1sin()123x π-≤+≤所以,()f x 的最大值为2. …………………………………………6分相应值的集合为|4()3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎭⎩Z ……………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，11()2sin ()2sin 2cos .3233222x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫+=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭2cos25α=, 所以cos 210α=24cos 2cos 1.25αα=-=-……………………………10分又因为(0,)απ∈所以3sin .5α==sin 3tan .cos 4ααα==-22tan 24tan 2.1tan 7ααα==-- ……………………………13分16. （Ⅰ）证明：连结EB ，在△AEB 中，AE=1，AB=2，∠EAB =60°，∴2222cos 60BE AE AB AE AB =+-⋅⋅︒＝1+4－2＝3.∵222AE BE AB +=，∴AD ⊥EB ． …………………………………………2分∵△PAD 为等边三角形，E 为AB 的中点， ∴AD ⊥PE ． 又EB∩PE=E ，∴AD ⊥平面PEB ，∴AD PB ⊥．…………………………………………4分（Ⅱ） 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，且PE ⊥AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥EB ．以点E 为坐标原点，EA ，EB ，EP 为x ，y ，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，，，D(-1,0,0)，(0)D C AB ==-．设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n D C n D P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,)(1,0)0(,,)(1,0x y z x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，∴00x x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 令z ＝－1，则xy ＝1，故1)n =-． 平面PAD的一个法向量为0)EB =，∴cos ,5EB nEB n EB n⋅〈〉===⋅又二面角A PD C --为钝角， ∴二面角A PD C --的余弦值为5-（Ⅲ）假设棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ，设F(0,m,n)，PF PB λ= ，则：(0,,m n -=(0,λ，∴,m n ==，∴)E F =．∵EF ∥平面PDC ， ∴EF n ⊥，即,)1)0-⋅-=．0-+=，12λ=． 故当点F 为PB 的中点时，EF ∥平面PDC ．17.解 :(I)从条形图上可知,共生产产品有50020015010050=+++ (件),样品比为10150050=，所以D C B A ,,,四种型号的产品分别取101错误！未找到引用源。
×10010=, 101错误！未找到引用源。
×20020=,101×505=,101×15150=,即样本中应抽取A 产品10件,B 产品20件,C 产品5件,D 产品15件. …………3分(II)从50件产品中任取2件共有1225250=C 种方法,2件恰为同一产品的方法数为35021525220210=+++C C C C 种,所以2件恰好为不同型号的产品的概率为7512253501=-错误！未找到引用源。
......................... (7)分（III ）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3， …………………… ……8分 则()45510031535===C C X P ()455100131525110===C C C X P()455225231515210===CC C X P ，()4551203315310===CC X P分所以EX =455100⨯+4551002⨯+4552252⨯+4551203⨯=91202. ………………………13分18.解：（Ⅰ）13-………………………………4分(Ⅱ)由题设知，点(0,1)P 在曲线C 上且'(0)1,f =-切线l 的方程为1y x =-+, ……5分 , (0)0g =……………7分）上递增，在(0,)+∞上递减， 所以，()g x在(1,)-+∞上有且只有一个零点0. ………………………………8分② 当1m =时，在(1,)-+∞递增,所以()g x 在(1,)-+∞有且只有一个零点0. ……………………9分 ③ 当0m <时，由10x =或21 1.x m=-当变化时，()g x '和()g x 变化如下表：故()g x 在(1,)-+∞上有且只有一个零点0. …………………………………………10分 ④ 当01m <<时，由10x =或21 1.x m=-当变化时，()g x '和()g x 变化如下表：所以，必存在012(,)m x mm-∈，使0()0g x =.故()g x 在(1,)-+∞存在两个零点0和0x ，不符合题意. ………………………12分 综上，m 的取值范围为{}(,0]1-∞ ……………………………………………………13分 19. 解：（Ⅰ）解法1：由抛物线方程，得焦点(1,0)F ， 1.c ∴=…………………………1分故1222==-c b a① ………………………………2分 又椭圆1C 经过点3(1,)2M ，∴221914ab+= ② ………………………………3分由①②消去2a 并整理，得，424990b b --=，解得23b =，或234b =-（舍去）， ………………………………4分从而24a =． 故椭圆的方程为22143xy+= ． ………………………………5分解法2：由抛物线方程，得焦点(1,0)F ， 1.c ∴=24,a ∴==224, 3.a b ∴== 故椭圆的方程为22143xy+= ．（Ⅱ）①当直线l 垂直于x 轴时，则33(1,),(1,),(1,2),(1,2)22A B C D --，3.4AB CD∴=…………………………………………6分②当直线l 与x 轴不垂直，设其斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为 (1)y k x =- 由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 2222(34)84120k x k x k +-+-=显然10∆>，∴该方程有两个不等的实数根．设),(11y x A ，),(22y x B .2122834kx x k+=+, 21224(3)34k x x k-⋅=+ ………………………………8分所以，||AB ==2212(1).34k k+==+……………10分由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 得 2222(24)0k x k x k -++= 显然20∆>，∴该方程有两个不等的实数根．设33(,)C x y ，44(,)D x y .0,k ≠ 34242x x k∴+=+,由抛物线的定义，得2342244(1)||24.k CD x x kk+=++=+=……………12分222222212(1)333.3344(1)3444A B k kkC Dkk kk+∴=⋅==<++++综上，当直线l 垂直于x 轴时，AB C D取得最大值34. ……………………………14分20. 解：(Ⅰ)由于422-=整除426+=，所以集合P 不是集合S 的“好子集”；由于413-=不能整除415+=，716-=不能整除718+=，743-=不能整除7411+=，所以集合Q 是集合S 的“好子集”.………………………3分(Ⅱ)设集合{}12312,,,()n n A a a a a a a a =<<< 是集合S 的一个“好子集”， 令：1(1,2,,1)i i i a a b i n +-==- ，由于A 是S “好子集”，所以1(1,2,,1)i b i n ≠=- ，从而2(1,2,,1)i b i n ≥=- ，若存在某个2i b =，则此时1i a +与i a 同奇偶，从而2能整除1i i a a ++与A 是S “好子集”矛盾，故：3(1,2,,1)i b i n ≥=- ……………………………………5分于是：11213(1)n n a a b b b n --=+++≥-从而：13(1)201212011n n a a -≤-≤-= 所以：671n ≤另一方面：取{}1,4,7,,2008,2011A = ，此时集合A 有671个元素，且是集合S 的一个“好子集”，故集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值为671. …………8分(Ⅲ)将S 的2012个元素1,2,3,,2012 作全排列，其不同的排法总数为2012!个；另一方面：将子集i A 的i k 个元素排在前i k 个位置，子集i A 在S 中的补集的元素排在后2012i k -个位置，即排成()12122012,,,,,,,i i k k x x x y y y - ，这样的排列共有!(2012)!i i k k ⋅-个，它们全包含在全排列2012!中。