2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形 含解析
2019年人教版最新高中数学三角函数复习专题及参考答案
2019年人教版最新高中数学三角函数复习专题及参考答案(附参考答案)一、知识点整理: 1、角的概念的推广：正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示：①终边为一射线的角的集合：=⇔{}|360,k k Z ββα=+⋅∈ ②终边为一直线的角的集合：；③两射线介定的区域上的角的集合：⇔{}Z k k x k x ∈+≤<+,22απβπ④两直线介定的区域上的角的集合：；⇔{}Z k k x k x ∈+≤<+,απβπ3、任意角的三角函数：（1） 弧长公式： R 为圆弧的半径，为圆心角弧度数，为弧长。
R a l =a l（2） 扇形的面积公式： R 为圆弧的半径，为弧长。
lRS 21=l（3） 三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：r=αP ),(y x r OP =||,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan 22b a +反过来，角的终边上到原点的距离为的点P 的坐标可写为：比如：公式 的证明αr ()cos ,sin P r r ααβαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（4）特殊角的三角函数值（5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。
（6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）如图，角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作轴的垂线，αx垂足为M ，则 过点A(1,0)作轴的切线，交角终边OP 于点T ，则 。
x（7）同角三角函数关系式：①倒数关系： ②商数关系：1cot tan =a a a a a cos sin tan =③平方关系：1cos sin 22=+a a（8)诱导公试三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限αα三角函数值等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号;αα即：函数名改变，符号看象限:比如sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=± 注：公式的逆用或者变形（2）二倍角公式： (3)几个派生公式：①辅助角公式：)cos()sin(cos sin 2222ϕϕ-+=++=+x b a x b a x b x a例如：sin α±cos α＝sin ＝cos ．sin α±cos α＝2sin ＝2cos 等．3⎪⎭⎫ ⎝⎛±3πα⎪⎭⎫ ⎝⎛±3πα ②降次公式：ααα2sin 1)cos (sin 2±=±③)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα⋅-+=+5、三角函数的图像和性质：（其中）z k ∈6、.函数的图像与性质：)sin(ϕω+=x A y（本节知识考察一般能化成形如图像及性质）)sin(ϕω+=x A y（1）函数和的周期都是)sin(ϕω+=x A y )cos(ϕω+=x A y ωπ2=T（2）函数和的周期都是)tan(ϕω+=x A y )cot(ϕω+=x A y ωπ=T（3）五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y 值再描点作图。
2019届高三数学(文)二轮复习：解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形 含解析
解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形考查范围;第16讲~第23讲题组一真题集训1.[2014·全国卷Ⅱ]四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.2.[2018·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos B-π6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.3.[2016·四川卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa +cosBb=sinCc.(1)证明;sin A sin B=sin C ; (2)若b 2+c 2-a 2=65bc ,求tan B.题组二 模拟强化4.[2018·湖南三湘名校三联] 如图J2-1,a ,b ,c 分别为△ABC 中角A ,B ,C 的对边,∠ABC=π3,cos ∠ADC=17,c=8,CD=2.(1)求a 的值;(2)求△ADC 的外接圆的半径R.图J2-15.[2018·四川内江一模] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b cos C+c sinB=0.(1)求C;(2)若a=√5,b=√10,点D在边AB上, CD=BD,求CD的长.6.[2018·武汉武昌区5月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.△ABC的外接圆半径R=√2,且tan B+tan C=√2sinAcosC(1)求B和b的值;(2)求△ABC面积的最大值.解答必刷卷(二)1.解;(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C=13-12cos C,①BD2=AB2+DA2-2AB·DA cos A=5+4cos C. ②由①②得cos C=1,故C=60°,BD=√7.2(2)四边形ABCD 的面积S=12AB ·DA sin A+12BC ·CD sin C=(12×1×2+12×3×2)sin 60°=2√3.2.解;(1)在△ABC 中,由正弦定理知a sinA =bsinB,可得b sin A=a sin B , 又b sin A=a cos B-π6,所以a sin B=a cos B-π6,即sin B=cos B-π6,可得tan B=√3. 又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故b=√7.由b sin A=a cos B-π6,可得sin A=√3√7.因为a<c ,故cos A=√7.因此sin 2A=2sin A cos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17. 所以sin(2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√37×12-17×√32=3√314. 3.解;(1)证明;根据正弦定理,可设asinA =bsinB =csinC=(>0), 则a=sin A ,b=sin B ,c=sin C , 代入cosA a+cosB b=sinC c中,有+=,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B ).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin(A+B )=sin(π-C )=sin C , 所以sin A sin B=sin C.(2)由已知,b 2+c 2-a 2=65bc ,根据余弦定理,有cos A=b 2+c 2-a 22bc=35,所以sin A=√1−cos 2A =45.由(1)知,sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B ,所以45sin B=45cos B+35sin B ,故tan B=sinBcosB=4.4.解;(1)因为cos ∠ADC=17, 所以sin ∠ADC=sin ∠ADB=4√37. 所以sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠ABC )=4√37×12-17×√32=3√314, 在△ABD 中,由正弦定理得BD=csin ∠BAD sin ∠ADB=3,所以a=3+2=5.(2)在△ABC 中,b=√a 2+c 2-2accos ∠ABC =7. 在△ADC 中,R=12·bsin ∠ADC=49√324.5.解;(1)因为b cos C+c sin B=0,所以由正弦定理知sin B cos C+sin C sin B=0. 因为0<B<π,所以sin B>0, 于是cos C+sin C=0,即tan C=-1. 因为0<C<π,所以C=3π4.(2)由(1)结合余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos ∠ACB=(√5)2+(√10)2-2×√5×√10×(-√22)=25, 所以c=5,所以cos B=a 2+c 2-b 22ac =2×√5×5=2√55.因为在△BCD 中, CD=BD , 所以12BC CD=cos B ,所以CD=a 2cosB =√52×2√55=54. 6.解;(1)因为tan B+tan C=√2sinAcosC, 所以sinB cosB +sinCcosC=√2sinAcosC,所以sin B cos C+cos B sin C=√2sin A cos B ,即sin(B+C )=√2sin A cos B. 因为A+B+C=π,所以sin(B+C )=sin A ,又因为sin A ≠0,所以cos B=√22,因为0<B<π,所以B=π4.由正弦定理得b sinB=2R ,得b=2R sin B=2√2×√22=2. (2)由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以4=a 2+c 2-√2ac.由基本不等式,得4=a 2+c 2-√2ac ≥2ac-√2ac (当且仅当a=c 时取等号), 所以ac ≤2−√2=2(2+√2).因为S △ABC =12ac sin B=12ac sin π4=√24ac ,所以S △ABC =√24ac ≤√24×2(2+√2)=1+√2.所以△ABC 面积的最大值为1+√2.。
(浙江专用)2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(二)小题考法——三角函数的图象与性质
课时跟踪检测（二） 小题考法——三角函数的图象与性质A 组——10＋7提速练一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. 2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：选B 将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图象，再将y ＝3sin 2x 的图象再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B.3.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.4．(2018·宁波模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选 A 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝k π＋π2，求得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，可得所得函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，令k ＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x ＝2π3，故选A.5．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝( ) A ．2 B ．－2 C ．32D ．－32解析：选B ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .∵A (a,0)，B (b ，0)是其图象上两点，|a －b |的最小值是1，∴12×2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4si n πx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 6．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.7．若把函数y ＝2cos x (cos x －3sin x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π3B.2π3C.π6D.5π6解析：选A 法一：y ＝2cos x (cos x －3sin x )＝2cos 2x －23sin x cos x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，该函数的图象向左平移m 个单位长度后，所得图象对应的函数为y ＝1＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋m ＋5π6＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋5π6，由题意知2m ＋5π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得m ＝k π2－π6，k ∈Z ，取k ＝1，得到m 的最小值为π3，故选A.法二：y ＝2cos x (cos x －3sin x )＝2cos 2x －23sin x cos x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，令2x ＋5π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2－π6，k ∈Z ，则原函数的图象在x 轴右侧且离y 轴最近的一条对称轴为直线x ＝π3.因为原函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，所以m 的最小值为π3，故选A.8．(2019届高三·温州期中)设α是三角形的一个内角，在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的值的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A ∵α是三角形的一个内角， 若0<α<π2，则0<α2<π4，0<2α<π.∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的是cos 2α与tan 2α；若α＝π2，则α2＝π4，2α＝π.∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中为负数的是cos 2α；若π2<α≤3π4，则π4<α2≤3π8，π<2α≤3π2. ∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的是cos α与cos 2α；若3π4<α<π，则3π8<α2<π2，3π2<2α<2π. ∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的是cos α与tan 2α.∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的值的个数是2个．故选A.9．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－ 2D ．－ 3解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.10．(2019届高三·浙江六校联考)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<θ<π2的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322，则φ的一个可能值是( ) A.π4 B.5π4 C.3π2D.7π4解析：选D 由函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<θ<π2的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为π，则π＝2πω，所以ω＝2，函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ个单位长度，得到g (x )＝3sin(2x ＋θ－2φ)的图象，因为f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322，所以sinθ＝22，sin(θ－2φ)＝22，又－π2<θ<π2，所以θ＝π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2φ＝22，所以π4－2φ＝2k π＋π4(k∈Z)或π4－2φ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，所以φ＝－k π(k ∈Z)或φ＝－k π－π4(k ∈Z)，因为φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是7π4.故选D. 二、填空题11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝_______.解析：函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其图象的一条对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.答案：±212．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f (2)＝1，f (4)＝－1，则ω＝________，f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3上的值域是________．解析：由题意知f (x )的最小正周期T ＝4，∴ω＝π2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.又f (2)＝sin(π＋φ)＝1， ∴π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又|φ|<π，∴φ＝－π2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2.由x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3，得π2x －π2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 即f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. 答案：π2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，113．(2018·金华模拟)已知函数f (x )＝4sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期T ＝________，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域为________．解析：函数f (x )＝4sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1， 函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6.∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0<f (x )≤3. ∴值域为(0,3]． 答案：π (0,3]14．设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|P Q|的最小值是________．解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q(x 0＋1，－1)，则|P Q|min ＝x 0＋1－x 02＋－1－12＝ 5.答案： 515．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 解析：因为f (x )＝cos x sin x ＝12sin 2x ，所以f (x )是周期函数，且最小正周期为T ＝2π2＝π，所以①②错误；由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，－π4≤x ≤π4，此时f (x )是增函数，所以③正确；由2x ＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π4＋k π2(k ∈Z)，取k ＝1，则x ＝3π4，故④正确．答案：③④16．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－33217．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos 2ωx ＋2φ2＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2＋2×2 018＝504×0－sin π2－sin π＋4 036＝0－1－0＋4 036＝4 035.答案：4 035B 组——能力小题保分练1．曲线y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4和直线y ＝12在y 轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 3P 7|＝( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解析：选B y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y ＝12在y 轴右侧与函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在每个周期内的图象都有两个交点，又P 3与P 7相隔2个周期，故|P 3P 7|＝2π，故选B.2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称 C ．若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－ 3 ]D ．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象 解析：选C 由题图可知，A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2，π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴当x ＝－2π3时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝－π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2sin(－π)＝0， 从而f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0对称，而不是关于直线x ＝－2π3对称，故A 不正确； 当x ＝－5π12时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－π2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称，而不是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称，故B 不正确； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，f (x )∈[－2, 3 ]，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－ 3 ]，故C 正确；根据图象平移变换的法则，可知应将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度得到f (x )的图象，故D 不正确．故选C.3．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数：①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x ；④f (x )＝2sin x ＋ 2. 其中互为生成函数的是( ) A ．①② B ．①④ C ．③④D ．②④解析：选B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f (x )＝sin x 不与其他函数互为生成函数；同理①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4(④f (x )＝2sin x ＋2)的图象与②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，∴①④互为生成函数，故选B.4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则( ) A ．f (1)<f (－1)<f (0) B ．f (0)<f (1)<f (－1) C ．f (－1)<f (0)<f (1)D ．f (1)<f (0)<f (－1)解析：选C 因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，故f (x )＝A sin(2x ＋φ)，因为当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，所以2×2π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ>0，故可取k ＝1，则φ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (－1)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋π6<0，f (1)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2＋π6>0，f (0)＝A sin π6＝12A >0，故f (－1)最小．又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2>sin π6，故f (1)>f (0)．综上可得f (－1)<f (0)<f (1)，故选C.5．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则函数f (x )的图象的对称轴为________，φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z.令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ，则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，k ∈Z ，即φ＝(m ＋n －k )π－π4，m ，n ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：x ＝k π2＋π8，k ∈Z －π46．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：由题意得，函数f (x )的最小正周期T ＝4×π4＝π＝2πω，解得ω＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0在函数f (x )的图象上，所以A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0， 解得φ＝k π＋π6，k ∈Z ，由0<φ<π，可得φ＝π6.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π6＝32，解得A ＝3，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以f (x )的最小值为－32. 答案：－32。
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测02三角函数的图象与性质小题练 理数(含答案)
[ ] ( ) π π
π
ωπ
2π π
区间 ， 32
上单调递减，所以 g 3
＝sin
4
＝1 且 ω ≥ 3 ，所以Error!所以 ω＝2，故
选 C.
课时跟踪检测（二） 三角函数的图象与性质 （小题练）
A 级——12＋4 提速练
一、选择题
( )π
1.函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) x ∈ R，ω > 0，|φ| < 的部 2
分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为( )
( )π
A．f(x)＝sin 2x＋ 4
( )π
B．f(x)＝sin 2x－ 4
[ ] kπ π kπ 5π
A. － ， ＋ (k∈Z) 2 12 2 12
( ) kπ π kπ 5π
B. － ， ＋ (k∈Z) 2 12 2 12
( ) π
2π
C. kπ＋ ，kπ＋ (k∈Z)
6
3
[ ] π
5π
D. kπ－ ，kπ＋ (k∈Z)
12
12
ππ
π
kπ π kπ 5π
解析：选 B 由 kπ－ <2x－ <kπ＋ (k∈Z)得， － <x< ＋ (k∈Z)，所
4
4
( )π
π
6．(2018·唐山模拟)把函数 y＝sin 2x－ 的图象向左平移 个单位长度后，所得
6
6
函数图象的一条对称轴的方程为( ) A．x＝0
π B．x＝
2
π C．x＝
6
π D．x＝－
12
( )π
π
解析：选 C 将函数 y＝sin 2x－ 的图象向左平移 个单位长度后得到 y＝sin
高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案
第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。
2019届高三高考数学三角函数专题复习(含答案)
1 三角函数专题复习例1：函数22()cos 2cos2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断.例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求cos 2θ的值．【解析】（Ⅰ）∵tan 2θ=，tantan 4tan 41tan tan 4πθπθπθ+⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭- 123112+==--⨯． （Ⅱ）解一: 22cos 2cos sin θθθ=- 2222cos sin cos sin θθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+143145-==-+ 解二:tan 2θ=，22tan 44tan 21tan 143θθθ∴===--- 又tan 2,θ=可知 ()42k k k Z πππθπ+<<+∈， 从222()2k k k Z ππθππ+<<+∈∴3cos 25θ==- 【解后反思】因此涉及到计算型问题的时候，一定不能在计算上出问题，宁可慢些.错解2是较难发现其错误的，在求角的过程中，不自觉的扩大了角的范围，从而产生增根.可以灵活的选用和使。
高三数学二轮复习专题 三角函数(公开课)
高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)一、基础知识回顾三角函数是高中数学中的重要内容之一。
在这个专题中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及相互之间的关系。
1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三角函数的概念。
对于一个角A，定义了三个比值：正弦函数sinA=对边/斜边，余弦函数cosA=邻边/斜边，正切函数tanA=对边/邻边。
2. 三角函数的周期性我们知道，三角函数具有周期性。
例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
这意味着在一个周期内，三角函数的值是重复的。
这种周期性使得三角函数在实际问题中具有广泛的应用。
3. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质。
例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即f(x)=f(-x)；正切函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。
此外，三角函数还具有增减性和界值性质。
二、三角函数的图像与性质下面我们将进一步讨论三角函数的图像与性质。
通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解三角函数的特点和性质。
1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振动范围在[-1,1]之间。
正弦函数的图像关于y轴对称，且在0点处取得最小值。
我们可以通过调整系数来改变正弦函数的振幅和周期。
2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振动范围也在[-1,1]之间。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像关于x轴对称，且在0点处取得最大值。
同样地，我们可以通过系数调整来改变余弦函数的振幅和周期。
3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的曲线，其值在整个实数轴上变化。
正切函数在某些点上没有定义，这些点是函数的奇点。
我们可以通过系数调整来改变正切函数的振幅和周期。
三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用。
在这一部分，我们将介绍一些常见的三角函数应用，并通过例题来加深理解。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(七) Word版含解析
3.[2018·浙江卷] 复数1 ‒ i(i 为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
1‒i
4.[2018·全国卷Ⅰ] 设 z=1 + i+2i,则|z|=( )
1
A.0 B.2 C.1 D. 2
1
5.[2018·北京卷] 在复平面内,复数1 ‒ i的共轭复数对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
高清试卷 下载可打印
小题必刷卷(七) 平面向量、数系的扩充与复数的引入
考查范围:第 24 讲~第 27 讲
题组一 刷真题
角度 1 复数的概念、几何意义及运算 1.[2017·全国卷Ⅰ] 下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 2.[2016·全国卷Ⅰ] 设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a= ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3
13
31
11.[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量������������= 2, 2 ,������������= 2 ,2 ,则∠ABC=
( )
A.30° B.45°
C.60° D.120° 12.[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1,则 a·(2a-b)=( )
31
A.4������������-4������������
13
B.4������������-4������������
31
C.4������������+4������������
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习解答必刷卷(一)函数与导数含答案解析
1
1.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-������.
解答必刷卷(一)
1
由题设知,f'(2)=0,所以 a=2������2.
1
11
从而 f(x)=2������2ex-ln x-1,f'(x)=2������2ex-������.
当 0<x<2 时,f'(x)<0;当 x>2 时,f'(x)>0.
2
������������ ‒ 2
[(2 ‒ ������)������ + 2](������ ‒ 1)
当 a<2 时,h(x)=f(x)-(a-2)x=������+aln x-(a-2)x(x≥1),所以 h'(x)= ������2 -a+2=
������2
,令 h'(x)=0,
2
解得 x=-2 ‒ ������<0 或 x=1,所以函数 h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以 h(x)≥h(1)=4-a>2.
当 a≤2 时,因为 f'(x)>0 对于任意 x∈(1,+∞)恒成立,所以 f(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以 f(x)>f(1)=0,此时满足题意;
������
������
当 a>2 时,易知 f(x)在 1,2 上单调递减,在 2,+∞ 上单调递增,
������
所以当 x∈ 1,2 时,有 f(x)<f(1)=0,不满足题意.
而 f(x)至多有一个零点.
( ) 又
1
f(3a-1)=-6a2+2a-3=-6
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(二) 函数概念与函数的性质 Word版含解析
小题必刷卷(二).函数概念与函数的性质考查范围:第4讲~第6讲题组一 刷真题角度1 函数的概念1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x2.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )= ( )A .-74B .-54C .-34D .-143.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=log 2(x 2+a ),若f (3)=1,则a= .4.[2018·江苏卷] 函数f (x )=√log 2x -1的定义域为 .5.[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4),则a= . 角度2 函数的性质6.[2016·北京卷] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A .y=11−x B .y=cos x C .y=ln (x+1) D .y=2-x7.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ln x+ln (2-x ),则 ( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减C .y=f (x )的图像关于直线x=1对称D .y=f (x )的图像关于点(1,0)对称8.[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( )A .-∞,12B .-∞,12∪32,+∞C.12,3 2D.32,+∞9.[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.5010.[2018·上海卷]已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.11.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.12.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.13.[2016·北京卷]函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.14.[2016·四川卷]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-52 +f(2)=.15.[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.16.[2018·江苏卷]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cosπx2,0<x≤2,|x+12|,−2<x≤0,则f(f(15))的值为.题组二刷模拟17.[2018·广西部分重点中学联考]已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是()A.(2,4]B.[2,4)C.[-4,4)D.(6,9]18.[2018·合肥联考]已知函数f(x)与g(x)=a x(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称,则“f(x)是增函数”的一个充分不必要条件是()A.0<a<12B.0<a<1C.2<a<3D.a>119.[2018·洛阳三模]下列函数为奇函数的是()A.y=x3+3x2B.y=e x+e-x 2C.y=log23−x3+xD.y=x sin x20.[2018·四川南充二模] 设f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),则f (-92)= ( ) A .34B .-34C .14D .-1421.[2019·哈尔滨三中月考] 函数f (x )=|log 3x|在区间[a ,b ]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 ( ) A .2 B .23C .13D .122.[2018·合肥二模] 已知函数f (x )=a -2xa+2x是奇函数,则f (a )= ( )A .-13B .3C .-13或3 D .13或323.[2018·昆明二模] 若函数f (x )={x 2-4x +a,x <1,lnx +1,x ≥1的最小值是1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,4]B .[4,+∞)C .(-∞,5]D .[5,+∞)24.[2018·安阳二模] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,则f(x)xg(x)的值为( )A .1B .2C .3D .1225.[2018·湖南郴州二模] 已知函数f (x )=e x -1ex ,其中e 是自然对数的底数,则关于x 的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为 ( )A .(-∞,-43)∪(2,+∞) B .(2,+∞) C .(-∞,43)∪(2,+∞) D .(-∞,2)26.[2018·河南郑州三模] 设函数f (x )={x 2+x -2,x ≤1,-lgx,x >1,则f [f (-4)]= .27.[2018·广西南宁模拟] 若函数f (x )={(a -1)x +2,x ≤1,-5-2lgx,x >1是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .28.[2018·广西梧州二模] 已知函数f (x )是奇函数,定义域为R ,且x>0时,f (x )=lg x ,则满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是 .29.[2018·福州3月质检] 已知函数f (x )对任意x ∈R 都满足f (x )+f (-x )=0,f x+32为偶函数,当0<x ≤32时,f (x )=-x ,则f (2017)+f (2018)= .小题必刷卷(二)1.D [解析] y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.A [解析] 因为2x-1-2>-2恒成立,所以可知a>1,于是由f (a )=-log 2(a+1)=-3得a=7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-74.3.-7 [解析] 由f (3)=log 2(9+a )=1, 得9+a=2,即a=-7.4.[2,+∞) [解析] 要使函数f (x )有意义,必须满足{log 2x -1≥0,x >0,解得x ≥2,则函数f (x )的定义域为[2,+∞).5.-2 [解析] 由函数图像过点(-1,4),得f (-1)=a×(-1)3-2×(-1)=4,解得a=-2.6.D [解析] 选项A 中函数y=11−x =-1x -1在区间(-1,1)上是增函数;选项B 中函数y=cos x 在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C 中函数y=ln (x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D 中函数y=2-x =12x在区间(-1,1)上是减函数.7.C [解析] 因为函数f (x )的定义域为(0,2),f (x )=ln x+ln (2-x )=ln (-x 2+2x )=ln [-(x-1)2+1],所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A ,B 错.由于函数y=-(x-1)2+1,x ∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f (x )=ln x+ln (2-x )的图像关于直线x=1对称.故选C .8.C [解析] 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f (2|a-1|)>f (-√2),f (-√2)=f (√2),可得2|a-1|<√2,即|a-1|<12,∴12<a<32.9.C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以f (0)=0,且f [-(1-x )]=-f (1-x ),即f (1-x )=-f (x-1),又由f (1-x )=f (1+x )得f (x+1)=-f (x-1),所以f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=-f (x+2)=-[-f (x )]=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=2,f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=f (1)+f (2)=2,故选C .10.-1 [解析] 因为α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,所以α是奇数且α<0,所以α=-1.11.12 [解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.6 [解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.13.2 [解析] 因为函数f (x )=x x -1=1+1x -1在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f (x )有最大值f (2)=1+1=2.14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).又f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ),所以f (0)=0.所以f (-52)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,f (2)=f (0)=0,所以f (-52)+f (2)=-2. 15.-2 [解析] 由题,f (-x )=ln (√1+x 2+x )+1.∵f (x )+f (-x )=ln (√1+x 2-x )+1+ln (√1+x 2+x )+1=ln (1+x 2-x 2)+2=2,∴f (a )+f (-a )=2,∴f (-a )=-2.16.√22[解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R ),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.17.B [解析] 因为3<x ≤27,所以1<log 3x ≤3,-3≤-log 3x<-1,则2≤f (x )<4.故选B .18.C [解析] 依题意得f (x )=log a x (a>0且a ≠1).当a>1时,f (x )是增函数,所以“2<a<3”是“f (x )是增函数”的充分不必要条件.故选C .19.C [解析] y=x 3+3x 2是非奇非偶函数,y=e x +e -x 2是偶函数,y=log 23−x3+x是奇函数,y=x sin x 是偶函数.故选C .20.B [解析] 因为函数f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),所以f (-92)=f -92+4=f (-12)=-f (12)=-12×1+12=-34,故选B .21.B [解析] 根据函数f (x )=|log 3x|的图像(图略)可知,若函数f (x )在[a ,b ]上的值域为[0,1],则a=13,1≤b ≤3或b=3,13≤a ≤1.易知当a=13,b=1时,b-a 取得最小值23.故选B . 22.C [解析] 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即a -2-xa+2-x =-a -2xa+2x 恒成立,整理可得a 2=1,所以a=±1.当a=1时,函数f (x )=1−2x 1+2x ,f (a )=f (1)=-13;当a=-1时,函数f (x )=-1-2x -1+2x ,f (a )=f (-1)=3.综上可得,f (a )=-13或3.故选C .23.B [解析] 当x ≥1时,y=ln x+1的最小值为1,所以要使f (x )的最小值是1,必有当x<1时,y=x 2-4x+a 的最小值不小于1.因为y=x 2-4x+a 在(-∞,1)上单调递减,所以当x<1时,y>a-3,则a-3≥1,即a ≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞),故选B . 24.B [解析] 因为12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以12f (-x )-g (-x )=-12f (x )-g (x )=-x -1x 2+1,可得f (x )=2xx 2+1,g (x )=1x 2+1,所以f(x)xg(x)=2,故选B .25.B [解析] 由指数函数的性质可得f (x )是增函数.因为f (-x )=e -x -1e-x =-e x -1e x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,则不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0等价于f (2x-1)>f (x+1),即2x-1>x+1,解得x>2,故选B . 26.-1 [解析] f (-4)=(-4)2+(-4)-2=10,所以f [f (-4)]=f (10)=-lg 10=-1. 27.[-6,1) [解析] 由题意可得{a -1<0,a -1+2≥-5-2lg1,则-6≤a<1.28.(-1,0) [解析] 作出函数f (x )的图像如图所示.当x>1时,f (x )<0无解;当x<1时,由f (x )>0,得-1<x<0,所以满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是(-1,0).29.-2[解析]因为f x+32为偶函数,所以f x+32=f-x+32,则f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,且图像的对称轴是直线x=32,所以f(2017)+f(2018)=f(336×6+1)+f(336×6+2)=f(1)+f(2)=2f(1)=-2.。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(六) 解三角形 Word版含解析
小题必刷卷(六)解三角形考查范围:第22讲~第23讲题组一 刷真题角度1 正弦定理1.[2017·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin B+sin A (sin C-cos C )=0,a=2,c=√2,则C=( )A .π12B .π6C .π4D .π32.[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC ,则sin A= ( ) A .310B .√1010C .√55D .3√10103.[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= . 角度2 余弦定理4.[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A .√2 B .√3 C .2 D .35.[2018·全国卷Ⅱ] 在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB= ( )A .4√2B .√30C .√29D .2√56.[2016·山东卷] △ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.已知b=c ,a 2=2b 2(1-sin A ),则A= ( )A .3π4B .π3C .π4D .π67.[2013·全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,23cos 2 A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b= ( ) A .10 B .9 C .8 D .58.[2016·北京卷] 在△ABC 中,∠A=2π3,a=√3c ,则b c= . 角度3 三角形的面积9.[2018·全国卷Ⅲ] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( )A .π2B .π3C.π4D.π610.[2013·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC的面积为()A.2√3+2B.√3+1C.2√3-2D.√3-111.[2018·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin C+c sin B=4a sin B sin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.12.[2018·北京卷]若△ABC的面积为√34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;ca的取值范围是.角度4正、余弦定理综合应用13.[2018·浙江卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sinB=,c=.14.[2016·上海卷]已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.图X6-115.[2014·全国卷Ⅰ]如图X6-1,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.题组二刷模拟16.[2018·浙江绍兴3月模拟]在△ABC中,内角C为钝角,sin C=35,AC=5,AB=3√5,则BC=()A.2B.3C.5D.1017.[2018·新疆维吾尔自治区二模]在△ABC中,“A>60°”是“sin A>√32”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件18.[2018·北京朝阳区二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,A=π6,B=π4,则c=()A .√6+√22B .√6-√22C .√62D .√2219.[2018·成都七中月考] 在△ABC 中,角B 为3π4,BC 边上的高恰为BC 边长的一半,则cos A= ( )A .2√55B .√55C .23D .√5320.[2018·广东茂名二模] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos C+c=2a ,且b=√13,c=3,则a=( )A .1B .√6C .2√2D .421.[2018·合肥三模] △ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若sin (C-A )=12sin B ,且b=4,则c 2-a 2=( )A .10B .8C .7D .422.[2018·山东潍坊二模] 在△ABC 中, a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2sinC -sinB sinB =acosBbcosA,则A=( )A .π6B .π4C .π3D .2π323.[2018·云南保山二模] 在△ABC 中,若3(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,则tan A+1tanB的最小值为( )A .√5B .2√5C .√6D .√6224.[2018·广东江门一模] 已知平面四边形ABCD 中,AB=AD=2,BC=CD ,∠BCD=90°,则四边形ABCD 面积的最大值为( )A .√6B .2+2√3C .2+2√2D .425.[2018·广西钦州三模] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a=√52b ,A=2B ,则cosB= .图X6-226.[2018·东北三省四市二模]如图X6-2,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=10√2m,并在C处测得塔顶A的仰角为45°,则塔高AB=m.27.[2018·昆明二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cos C=14,c=3,且acosA=bcosB,则△ABC的面积等于.28.[2018·马鞍山二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2A+3cos A=1,b=5,△ABC 的面积S=5√3,则△ABC的周长为.29.[2018·江西上饶二模]在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则ca的取值范围是.小题必刷卷(六)1.B [解析] 因为sin B+sin A (sin C-cos C )=sin (A+C )+sin A sin C-sin A cos C=(sin A+cos A )sin C=0,所以sin A=-cos A ,得A=34π.又由正弦定理a sinA =c sinC ,得2sin3π4=√2sinC ,解得sin C=12,所以C=π6.2.D [解析] 作AD ⊥BC 交BC 于点D ,设BC=3,则有AD=BD=1,AB=√2,由余弦定理得AC=√5.由正弦定理得√5sin π4=3sinA,解得sin A=3×√225=3√1010. 3.2113[解析] 因为cos A=45,cos C=513,且A ,C 为三角形内角,所以sin A=35,sin C=1213,sin B=sin (A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365,又因为a sinA =b sinB,所以b=asinB sinA =2113. 4.D [解析] 由余弦定理得5=b 2+4-2×b×2×23,解得b=3或b=-13(舍去),故选D .5.A [解析] 由已知得cos C=2cos 2C2-1=2×(√55)2-1=-35,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC×BC×cosC=25+1-2×5×1×(-35)=32,所以AB=4√2,故选A .6.C [解析] ∵b=c ,a 2=2b 2(1-sin A ),∴2b 2sin A=b 2+c 2-a 2=2bc cos A=2b 2cos A ,∴tan A=1,即A=π4. 7.D [解析] 由23cos 2A+cos 2A=0,得25cos 2A=1.因为△ABC 为锐角三角形,所以cos A=15.在△ABC 中,根据余弦定理,得49=b 2+36-12b×15,即b 2-125b-13=0,解得b=5或-135(舍去).8.1 [解析] 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 可得,3c 2=b 2+c 2-2bc cos 2π3,整理得b c2+b c-2=0,解得b c=1或bc=-2(舍去). 9.C [解析]由三角形的面积公式可得,a 2+b 2-c 24=12ab sin C ,由余弦定理得a 2+b 2-c 22ab=cos C ,所以cos C=sinC ,又C ∈(0,π),所以C=π4. 10.B [解析]b sinB =csinC⇒c=2√2.又A+B+C=π,∴A=712π,∴△ABC 的面积为12×2×2√2×sin 7π12=2√2×√6+√24=√3+1.11.2√33[解析] 由b 2+c 2-a 2=8 得2bc cos A=8,可知A 为锐角,且bc cos A=4.由已知及正弦定理得sin B sinC+sin C sin B=4sin A sin B sin C ,因为sin B ≠0,sin C ≠0,所以可得sin A=12,所以A=30°,所以bc cos 30°=4,即bc=8√33,所以△ABC 的面积S=12bc sin A=12×8√33×12=2√33. 12.π3(2,+∞) [解析] 由正弦定理得S △ABC =12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),即sin B=√3cos B ,∵∠B 为三角形的内角,∴∠B=π3.由正弦定理得c a =sinC sinA =sin(2π3-A)sinA =√32·1tanA +12,又∵∠C为钝角,∴π3+A<π2,即A<π6,∴0<tanA<√33,∴c a>2.13.√2173 [解析] 由正弦定理a sinA =b sinB ,得sin B=√3√7=√217.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得c 2-2c-3=0,则c=3.14.7√33[解析]利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32+52-722×3×5=-12,所以此角的正弦值为√32.设三角形外接圆的半径为R ,由正弦定理得2R=√32,所以R=7√33. 15.150 [解析] 在Rt △ABC 中,BC=100(m ),∠CAB=45°,所以AC=100√2(m ).在△MAC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有AM sin ∠MCA =ACsin ∠AMC,即AM=sin60°sin45°×100 √2=100√3(m ),于是在Rt △AMN 中,有MN=sin 60°×100√3=150(m ).16.A [解析] 因为C 为钝角,sin C=35,所以cos C=-45,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos C ,即45=25+BC 2-2×5×BC×(-45),解得BC=2(舍去BC=-10).故选A .17.B [解析] 由“A>60°”不一定推出“sin A>√32”,如A=135°>60°,但sin 135°<sin 120°=√32,反之,若sinA>√32,则有A>60°.故选B .18.A [解析] 在△ABC 中,a=1,A=π6,B=π4,由正弦定理可得b=asinB sinA =√2.由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =√32,可得c 2-√6c+1=0,所以c=√6+√22或c=√6-√22,又因为C>B ,所以c>b ,所以c=√6+√22.故选A .19.A [解析] 作AH ⊥BC ,垂足H 在CB 的延长线上,易知△AHB 为等腰直角三角形,设BC=2a ,则AB=√2a ,AH=a ,CH=3a ,由勾股定理得AC=√10a ,由余弦定理得cos A=2222×√2a×√10a =2√55,故选A .20.D [解析] 因为2b cos C+c=2a , 由正弦定理可得2sin B cos C+sin C=2sin A=2sin (B+C )=2sin B cos C+2cos B sin C ,所以sin C=2cos B sin C ,因为sin C ≠0,所以cos B=12,又0<B<π,所以B=π3. 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,又因为b=√13,c=3,所以a 2-3a-4=0,可得a=4(负值舍去).故选D .21.B [解析] sin (C-A )=12sin B=12sin (A+C ),即2sin C cos A-2cos C sin A=sin A cos C+cos A sin C ,即sin C cos A=3sin A cos C ,由正弦定理和余弦定理得c ·b 2+c 2-a 22bc =3a ·a 2+b 2-c 22ab,即b 2+c 2-a 2=3a 2+3b 2-3c 2,即4c 2-4a 2=2b 2=2×16=32,则c 2-a 2=8,故选B .22.C [解析]利用正、余弦定理将已知等式化为2c -b b =a ·a 2+c 2-b22acb ·b 2+c 2-a22bc,化简整理得b 2+c 2-a 2=bc ,所以cosA=b 2+c 2-a 22bc =12,因为A 是三角形的内角,所以A=π3.故选C .23.B [解的] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则有3(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3(-bc cos A+ac cos B )=2c 2,由正弦定理得sin A cos B=5cos A sin B ,所以tan A=5tan B ,则tan A+1tanB =5tan B+1tanB≥2√5,当且仅当tan B=√55时,等号成立,故选B .24.C [解析] 如图,设∠DAB=θ,BC=CD=x ,则BD=√2x.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos θ,即(√2x )2=4+4-8cos θ=8-8cos θ,所以x 2=4-4cos θ.所以四边形ABCD 的面积S=12×22×sin θ+12x 2=2sin θ+(2-2cos θ)=2√2sin θ-π4+2,因为0<θ<π,所以-π4<θ-π4<3π4,所以当θ-π4=π2,即θ=3π4时,S 有最大值,且S max =2√2+2.故选C .25.√54[解析] 因为△ABC 中,a=√52b ,A=2B ,根据正弦定理,得sin A=√52sin B ,又sin A=sin 2B=2sin B cos B ,所以cos B=√54.26.20 [解析] D=180°-15°-30°=135°,在△BCD 中,BC sinD =CD sin ∠CBD ,即BC sin135°=10√2sin30°,得BC=10√2sin135°sin30°=20(m ),因为△ABC是直角三角形,且∠ACB=45°,所以AB=BC=20(m ).27.3√154 [解析] 由题意得sinA cosA =sinBcosB,即tan A=tan B ,所以A=B ,即a=b ,由余弦定理得c 2=2a 2-2a 2cosC=32a 2=9,得a=√6(负值舍去),易得sin C=√154,所以S △ABC =12×6×√154=3√154. 28.9+√21 [解析] 由cos 2A+3cos A=1,得2cos 2A+3cos A-2=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去),所以sin A=√32,又因为S=5√3,b=5,所以12bc sin A=12×5×c×√32=5√3,所以c=4,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cosA=25+16-2×5×4×12=21,即a=√21,所以△ABC 的周长为5+4+√21=9+√21. 29.(1,2) [解析] 因为b 2=a (a+c ),所以cos B=a 2+c 2-b22ac=c 2-ac 2ac =c -a 2a ,由正弦定理得sinC -sinA2sinA=cos B ,又sinC=sin (A+B ),所以sin (A+B )-sin A-2sin A cos B=0,得sin (B-A )=sin A.因为A ,B 为△ABC 的内角,所以B-A=A 或B-A+A=π(舍),故B=2A.因为△ABC 为锐角三角形,所以{0<2A <π2,3A >π2,得π6<A<π4,故π3<B<π2,则0<cos B<12,即0<c -a 2a <12,解得1<c a<2.。
高中数学试题：三角函数单元复习题(二)
【分析】要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.
【解】∵π＜α＜ π， π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.
又∵cosα＝－ ，cos(α＋β)＝ ，∴sinα＝－ ，sin(α＋β)＝－
三角函数单元复习题（二）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．D2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．A9．B10．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．2－ 12．4＋ 13．－ 14．
15．【解析】∵tan(α＋ )＝tan［(α＋β)－(β－ )］＝
【分析】这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件（2）涉及到 与β的正切，所以需将条件（1）变成 ＋β＝ ，然后取正切，再与（2）联立求解.
【解】由（1）得： ＋β＝
∴tan( ＋β)＝ ＝
将（2）代入上式得tan ＋tanβ＝3－ .
三角函数单元复习题（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知x∈(－ ，0)，cosx＝ ，则tan2x等于（）
A. B.－ C. D.－
2． cos －sin 的值是（）
A.0B.－ C. D.2
3．已知α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，则α＋β的值为（）
A. 或 B. C. D.2kπ＋ (k∈Z)
14．sin( －3x)cos( －3x)－cos( ＋3x)sin( ＋3x)＝_____________.
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(五) 三角函数 Word版含解析
11
77
A.-5 B.5 C.-25D.25
18.[2018·福建泉州二模] 若 tan θ=2,则 sin 2θ= ( )
4
42
2
A.5 B.±5 C.5 D.±5
( )
π
π
19.[2018·黑龙江齐齐哈尔三模] 将函数 y=sin 2x+12 的图像向右平移6个单位长度,则平移后所得
图像的对称中心为 ( )
≥ <
������������)),,则
3
-2
1
cos2α+sin α-4
的最大值为
( )
A.4 B.3 C.2 D.1
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图 X5-3
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21.[2018·江西南昌二模] 如图 X5-3,已知函数 f(x)=
3cos(ωx+φ)
π
ω>0,-2<φ<0
的部分图像与 x 轴的
小题必刷卷(五) 三角函数
考查范围:第 16 讲~第 21 讲
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题组一 刷真题
角度 1 三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式
1.[2018·全国卷Ⅰ] 已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点
2
A(1,a),B(2,b),且 cos 2α=3,则|a-b|= ( )
5π 5π
16.[2018·合肥二模] 在平面直角坐标系中,若角 α 以 Ox 为始边,终边经过点 P sin 3 ,cos 3 ,则 sin(π+α)= ( )
3
A.- 2
1 31
B.-2 C. 2 D.2
π3
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：解答必刷卷(三) 数列 Word版含解析
解答必刷卷(三) 数列考查范围:第28讲~第32讲题组一 真题集训1.[2018·全国卷Ⅲ]等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.2.[2017·全国卷Ⅲ]设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;{a n2n+1}(2)求数列的前n项和.3.[2018·天津卷] 设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6.(1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.题组二 模拟强化4.[2018·重庆八中月考] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列b n =log 2(a n +1),求数列的前n 项和S n .{1b n ·b n +1}5.[2018·长春二模] 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-11. (1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)令b n =|a n |,求数列{b n }的前10项和S 10.6.[2018·吉林梅河口五中月考] 在数列{a n }中,a 1=1,a n+1={13a n+n ,n 为奇数,a n -3n ,n 为偶数.(1)证明:数列a 2n -是等比数列;32(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和,求S 2n .7.[2018·江西九校二联] 已知数列{a n }为等差数列,且a 2+a 3=8,a 5=3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =,设{b n }的前n 项和为S n ,求使得S n >的最小的正整数n.2a n a n +120172018解答必刷卷(三)1.解:(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n-1.由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(2)若a n=(-2)n-1,则S n =.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.1‒(‒2)n 3若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6.综上,m=6.2.解:(1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n ,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n =2,所以a n =(n ≥2).22n -1又由题设可得a 1=2,从而{a n }的通项公式为a n =.22n -1(2)记的前n 项和为S n ,{a n2n +1}由(1)知==-,a n2n +12(2n +1)(2n -1)12n -112n +1则S n =-+-+…+-=.1113131512n -112n +12n2n +13.解:(1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,所以可得q=2,故b n =2n-1.所以T n ==2n -1.1‒2n1‒2设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4.由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n ,所以S n =.n (n +1)2(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+…+2n )-n=-n=2n+1-n-2.2×(1‒2n )1‒2由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.n (n +1)2所以,n 的值为4.4.解:(1)∵a n -a n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *),∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a 2-a 1)+a 1,即a n =2n-1+2n-2+2n-3+…+22+21+1,则a n ==2n -1.1×(1‒2n )1‒2(2)b n =log 2(a n +1)=n ,则==-,1b n ·b n +11n (n +1)1n 1n +1∴S n =-+-+-+…+-=1-=.1112121313141n 1n +11n +1nn +15.解:(1)证明:∵a n =2n-11,∴a n+1-a n =2(n+1)-11-2n+11=2(n ∈N *),∴数列{a n }为等差数列.(2)由(1)得b n =|a n |=|2n-11|,∴当n ≤5时,b n =|2n-11|=11-2n ,当n ≥6时,b n =|2n-11|=2n-11.∴S 10=[55-2×(1+2+3+4+5)]+[2×(6+7+8+9+10)-55]=50.6.解:(1)证明:设b n =a 2n -,则b 1=a 2-=a 1+1-=-,3232133216因为=====,b n +1b na 2(n +1)-32a 2n -3213a 2n +1+(2n +1)‒32a 2n -3213(a 2n -6n )+(2n +1)‒32a 2n -3213a 2n -12a 2n -3213所以数列a 2n -是以-为首项,为公比的等比数列.321613(2)由(1)得b n =a 2n -=-·=-·,即a 2n =-·+,3216(13)n -112(13)n12(13)n 32由a 2n =a 2n-1+(2n-1),得a 2n-1=3a 2n -3(2n-1)=-·-6n+,1312(13)n -1152所以a 2n-1+a 2n =-·+-6n+9=-2·-6n+9,12(13)n -1(13)n(13)n故S 2n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2n-1+a 2n )=-2×++…+-6×(1+2+…+n )+9n=-2×-6·13(13)2(13)n13[1‒(13)n]1‒13+9n=-1-3n 2+6n=-3(n-1)2+2.n (n +1)2(13)n (13)n7.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意有{2a 1+3d =8,a 1+4d =3a 1+3d ,解得从而数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,n ∈N *.{a 1=1,d =2,(2)因为b n ==-,所以S n =-+-+…+-=1-.2a n a n +112n -112n +11113131512n -112n +112n +1令1->,解得n>1008.5,故使得S n >的最小正整数为1009.12n +12017201820172018。
2019届高考数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：解答必刷卷(二)三角函数、解三角形(含解析)
解答必刷卷(二)三角函数、解三角形考查范围:第16讲~第23讲题组一真题集训1.[2014·全国卷Ⅱ]四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.2.[2018·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos B-π.6(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.3.[2016·四川卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosA+cosB=sinC.a b c(1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=6bc,求tan B.5题组二模拟强化4.[2018·湖南三湘名校三联]如图J2-1,a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,∠ABC=π,cos∠ADC=1,c=8,CD=2.37(1)求a的值;(2)求△ADC的外接圆的半径R.图J2-15.[2018·四川内江一模]△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b cos C+c sin B=0.(1)求C;(2)若a=√5,b=√10,点D在边AB上,CD=BD,求CD的长.6.[2018·武汉武昌区5月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,△c,已知ABC的外接圆半径R=√2,且tan B+tanC=√2sinA.cosC(1)求B和b的值;(2)求△ABC面积的最大值.解答必刷卷(二)1.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C=13-12cos C,①BD2=AB2+DA2-2AB·DA cos A=5+4cos C.②cos A=b +c2-a 2=3, 由①②得 cos C=1,故 C=60°,BD=√7. 2(2)四边形 ABCD 的面积 S=1AB ·DA sin A+1BC ·CD sin C=(1 × 1 × 2 + 1 × 3 × 2)sin 60°=2√3. 22 2 2 2△.解:(1)在 ABC 中,由正弦定理知a =b ,可得 sinA sinB b sin A=a sin B ,又 b sin A=a cos B-π ,所以 a sin B=a cos B-π ,即 sin B=cos B-π ,可得 tan B=√3. 66 6 又因为 B ∈(0,π),所以 B=π. 3(2)在△ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B=π,有 b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故 b=√7. 3由 b sin A=a cos B-π ,可得 sin A=√3. 6√7 因为 a<c ,故 cos A= 2 .√7因此 sin 2A=2sin A cos A=4√3,cos 2A=2cos 2A-1=1. 77所以 sin(2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√3×1-1×√3=3√3. 72 7 2 143.解:(1)证明:根据正弦定理,可设 a = b = c =k (k>0), sinA sinB sinC则 a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C ,代入cosA +cosB =sinC 中,有 ab ccosA + cosB = sinC ,变形可得ksinA ksinB ksinC sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B ).在△ABC 中,由 A+B+C=π,有 sin(A+B )=sin(π-C )=sin C ,所以 sin A sin B=sin C.(2)由已知,b 2+c 2-a 2=6bc ,根据余弦定理,有 52 2bc5所以 sin A=√1 − cos 2A =4. 5由(1)知,sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B ,所以4sin B=4cos B+3sin B , 55 5故 tan B=sinB =4. cosB4.解:(1)因为 cos∠ADC=1, 7所以 sin∠ADC=sin∠ADB=4√3. 7所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠ABC )=4√3×1-1×√3=3√3, 7 2 7 2 14在△ADC 中,R= ·1 49√3= . 所以 c=5,所以a 2+c 2-b cos B= ==5+25−10 2√5. BC 2所以 =cos B ,所以 CD= a √5== .5 2cosB 2√52× 4 11 π √2因为 △S ABC = ac sin B= ac sin = ac , 所以 △S ABC = ac ≤ ×2(2+√2)=1+√2.√22sinB b=2R sin B=2√2× =2.√2,在△ABD 中,由正弦定理得 BD=csin ∠BAD =3,所以 a=3+2=5. sin ∠ADB(2)在△ABC 中,b=√a 2 + c 2-2accos ∠ABC =7.b 2 sin ∠ADC 245.解:(1)因为 b cos C+c sin B=0,所以由正弦定理知 sin B cos C+sin C sin B=0.因为 0<B<π,所以 sin B>0,于是 cos C+sin C=0,即 tan C=-1.因为 0<C<π,所以 C=3π. 4(2)由(1)结合余弦定理,得 c 2=a 2+b 2-2ab cos∠ACB=(√5)2+(√10)2-2×√5×√10×(- √2)=25, 2 2 2ac 2×√5×5 5 因为在△BCD 中, CD=BD 1 CD 5 6.解:(1)因为 tan B+tan C=√2si nA , cosC所以sinB +sinC =√2sinA , cosBcosC cosC所以 sin B cos C+cos B sin C=√2sin A cos B ,即 sin(B+C )=√2sin A cos B.因为 A+B+C=π,所以 sin(B+C )=sin A ,又因为 sin A ≠0,所以 cos B=√2,因为 0<B<π,所以 B=π. 24由正弦定理得 b =2R ,得2 (2)由余弦定理,得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以 4=a 2+c 2-√2ac.由基本不等式,得 4=a 2+c 2-√2ac ≥2ac-√2ac (当且仅当 a=c 时取等号),所以 ac ≤ 4 =2(2+√2). 2−√22 2 4 44 4 所以△ABC 面积的最大值为 1+√2.。
高三数学二轮复习查漏补缺课时练习：解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形
解答必刷卷(二)三角函数、解三角形考查范围:第16讲~第23讲题组一 真题集训1.[2014·全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C 和BD ;(2)求四边形ABCD 的面积.2.[2018·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b sin A=a cos B-π6.(1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin (2A-B )的值.3.[2016·四川卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cosA a +cosB b =sinCc. (1)证明:sin A sin B=sin C ; (2)若b 2+c 2-a 2=65bc ,求tan B.题组二 模拟强化4.[2018·湖南三湘名校三联] 如图J2-1,a ,b ,c 分别为△ABC 中角A ,B ,C 的对边,∠ABC=π3,cos ∠ADC=17,c=8,CD=2.(1)求a的值;(2)求△ADC的外接圆的半径R.图J2-15.[2018·四川内江一模]△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b cos C+c sin B=0.(1)求C;(2)若a=√5,b=√10,点D在边AB上,CD=BD,求CD的长.6.[2018·武汉武昌区5月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知△ABC的外接圆半径R=√2,且tan B+tan C=√2sinA.cosC(1)求B和b的值;(2)求△ABC面积的最大值.解答必刷卷(二)1.解:(1)由题设及余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos C=13-12cos C , ① BD 2=AB 2+DA 2-2AB ·DA cos A =5+4cos C. ②由①②得cos C=12,故C=60°,BD=√7.(2)四边形ABCD 的面积S=12AB ·DA sin A+12BC ·CD sin C=(12×1×2+12×3×2)sin 60°=2√3. 2.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理知a sinA =b sinB,可得b sin A=a sin B ,又b sin A=a cos B-π6,所以a sin B=a cos B-π6,即sin B=cos B-π6,可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故b=√7. 由b sin A=a cos B-π6,可得sin A=√3√7.因为a<c ,故cos A=√7. 因此sin 2A=2sin A cos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17. 所以sin (2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√37×12-17×√32=3√314. 3.解:(1)证明:根据正弦定理,可设a sinA =b sinB =csinC=k (k>0), 则a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C , 代入cosA a +cosB b =sinCc中,有 cosA ksinA +cosB ksinB =sinCksinC,变形可得 sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin (A+B ).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin (A+B )=sin (π-C )=sin C , 所以sin A sin B=sin C.(2)由已知,b 2+c 2-a 2=65bc ,根据余弦定理,有 cos A=b 2+c 2-a 22bc =35, 所以sin A=√1−cos 2A =45.由(1)知,sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B , 所以45sin B=45cos B+35sin B , 故tan B=sinBcosB =4.4.解:(1)因为cos ∠ADC=17, 所以sin ∠ADC=sin ∠ADB=4√37. 所以sin ∠BAD=sin (∠ADC-∠ABC )=4√37×12-17×√32=3√314, 在△ABD 中,由正弦定理得BD=csin ∠BADsin ∠ADB=3,所以a=3+2=5.(2)在△ABC 中,b=√a 2+c 2-2accos ∠ABC =7. 在△ADC 中,R=12·b sin ∠ADC =49√324.5.解:(1)因为b cos C+c sin B=0,所以由正弦定理知sin B cos C+sin C sin B=0. 因为0<B<π,所以sin B>0, 于是cos C+sin C=0,即tan C=-1. 因为0<C<π,所以C=3π4.(2)由(1)结合余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos ∠ACB=(√5)2+(√10)2-2×√5×√10×(-√22)=25,所以c=5,所以cos B=a 2+c 2-b 22ac=2×√5×5=2√55.因为在△BCD 中, CD=BD , 所以12BC CD=cos B ,所以CD=a 2cosB =√52×255=54. 6.解:(1)因为tan B+tan C=√2sinAcosC,所以sinB cosB +sinC cosC =√2sinAcosC, 所以sin B cos C+cos B sin C=√2sin A cos B ,即sin (B+C )=√2sin A cos B. 因为A+B+C=π,所以sin (B+C )=sin A ,又因为sin A ≠0,所以cos B=√22,因为0<B<π,所以B=π4.由正弦定理得bsinB=2R ,得b=2R sin B=2√2×√22=2.(2)由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以4=a 2+c 2-√2ac.由基本不等式,得4=a 2+c 2-√2ac ≥2ac-√2ac (当且仅当a=c 时取等号), 所以ac ≤2−√2=2(2+√2). 因为S △ABC =12ac sin B=12ac sin π4=√24ac ,所以S△ABC=√24ac≤√24×2(2+√2)=1+√2.所以△ABC面积的最大值为1+√2.。
(浙江专用)2019高考数学二轮复习 指导三 回扣溯源,查缺补漏,考前提醒 3 三角函数、解三角
3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的终边位置有关，而与终边上点P 的位置无关．[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－α π－α π＋α 2π－απ2－α sin －sin α sin α－sin α －sin αcos α coscos α －cos α －cos α cos αsin α[回扣问题2] 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋α＝5，则sin α的值为( )A.15 B ．－15C ．±265D.256 答案 C3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .(3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π(k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．(4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起，如[0，90°]应写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[回扣问题3] (1)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________．答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )[回扣问题4] (1)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x1－tan x ＝________．答案 (1)1 (2)－28755．在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4.[回扣问题5] 已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________． 解析 法一 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.法二 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，所以tan α＝ tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋tan 5π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.答案 326．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[回扣问题6] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b＝3，则B ＝________．(2)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________，sin A ＝________．答案 (1)π3或2π3 (2)21587．有关三角形的常见结论(1)面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(2)三个等价关系：△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 对边，则a ＞b sin A ＞sin B A ＞B .[回扣问题7] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C8．平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB →＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →. (2)向量满足三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λ＞0，λa 与a 同向；λ＜0，λa 与a 反向；λ＝0，或a ＝0时，λa ＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . ②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． [回扣问题8] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC → B.12AD →C.AD →D.12BC → 答案 C9．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，则a ∥b b ＝λa x 1y 2－x 2y 1＝0.a ⊥b (a ≠0，b ≠0)a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[回扣问题9] 已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－1)，若向量(λa ＋b )∥c ，则实数λ＝________． 答案 －2 10．向量的数量积设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则|a |2＝a 2＝a ·a ，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22， 注意 〈a ，b 〉为锐角a ·b ＞0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角a ·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角a ·b ＜0且a 、b 不反向．易错警示 投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[回扣问题10] (1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B. 3C ．0D ．－ 3(2)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞11．几个向量常用结论：①PA →＋PB →＋PC →＝0P 为△ABC 的重心；②PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →P 为△ABC 的垂心；③向量λ(AB |AB |＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|PA →|＝|PB →|＝|PC →|P 为△ABC 的外心．[回扣问题11] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为______． 答案 直角三角形。
2019年高考数学大二轮复习第三篇考前回扣查缺补漏回扣落实(三)三角函数与平面向量课件理
(2)忘掉写＋2kπ ，或＋kπ 等，忘掉写 k∈Z； (3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如 [0，90°]应写为0，π2 .
[回扣问题 2] ______．
函数 y＝12sinπ4 －23x的单调递减区间为
5．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角 与向量的数量积大于0不等价．
[回扣问题5] 已知a＝(2，1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a 与 b 的 夹 角 为 θ. 若 θ 为 锐 角 ， 则 λ 的 取 值 范 围 是 ________．
答案
λ
|λ
＞－12且λ≠2
[回扣问题 3] 已知函数 f(x)＝sin2x＋π4 ，为了得 到函数 g(x)＝cos 2x 的图像，只要将 y＝f(x)的图像
A．向左平移π8 个单位长度 B．向右平移π8 个单位长度 C．向左平移π4 个单位长度 D．向右平移π4 个单位长度 答案 A
4．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，
答案 3kπ －3π8 ，3kπ ＋9π8 (k∈Z)
3．图像平移变换把握不准．由 f(x)＝Asin ω x(ω＞0)变换到 y＝A sin(ωx＋φ)
＝Asinω
x＋ωφ 的图像．当
φ＞0
时，向左平移φω
个单位；当 φ＜0 时向右平移φω 个单位，而不是|φ|个长 度单位．
可能有一解、两解或无解，在△ABC 中，A＞B⇔sin A
＞sin B.
[回扣问题 4] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的
边分别为 a，b，c，且 a＝1，c＝ 3.
(1)若角 C＝π3 ，则角 A＝________；
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解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形
考查范围;第16讲~第23讲
题组一 真题集训
1.[2014·全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=
2.
(1)求C 和BD ;
(2)求四边形ABCD 的面积.
2.[2018·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b sin A=a cos B-π6.
(1)求角B 的大小;
(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B )的值.
3.[2016·四川卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cosA a +cosB b =sinC
c .
(1)证明;sin A sin B=sin C;
bc,求tan B.
(2)若b2+c2-a2=6
5
题组二模拟强化
4.[2018·湖南三湘名校三联]如图J2-1,a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,∠ABC=π
,cos∠
3 ADC=1
,c=8,CD=2.
7
(1)求a的值;
(2)求△ADC的外接圆的半径R.
图J2-1
5.[2018·四川内江一模]△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b cos C+c sin B=0.
(1)求C;
(2)若a=√5,b=√10,点D在边AB上, CD=BD,求CD的长.
6.[2018·武汉武昌区5月调研] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知△ABC 的外接圆半径R=√2,且tan B+tan C=√2sinA cosC .
(1)求B 和b 的值;
(2)求△ABC 面积的最大值.
解答必刷卷(二)
1.解;(1)由题设及余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos C=13-12cos C , ①
BD 2=AB 2+DA 2-2AB ·DA cos A
=5+4cos C. ②
由①②得cos C=12,故C=60°,BD=√7.
(2)四边形ABCD 的面积S=12AB ·DA sin A+12BC ·CD sin C=(12×1×2+12×3×2)sin 60°=2√3.
2.解;(1)在△ABC 中,由正弦定理知a sinA =b sinB ,可得b sin A=a sin B ,
又b sin A=a cos B-π6,所以a sin B=a cos B-π6,即sin B=cos B-π
6,可得tan B=√3.
又因为B ∈(0,π),所以B=π
3.
(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π
3,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故b=√7.
由b sin A=a cos B-π6,可得sin A=√3
√7.
因为a<c ,故cos A=√7.因此sin 2A=2sin A cos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=1
7.
所以sin(2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√3
7×12-17×√32=3√3
14.
3.解;(1)证明;根据正弦定理,可设a
sinA =b
sinB =c
sinC =(>0),
则a=sin A ,b=sin B ,c=sin C ,
代入cosA a +cosB b =sinC c 中,有
+=,变形可得
sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B ).
在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin(A+B )=sin(π-C )=sin C , 所以sin A sin B=sin C.
(2)由已知,b 2+c 2-a 2=65bc ,根据余弦定理,有
cos A=b 2+c 2-a 22bc =35,
所以sin A=√1−cos 2A =45.
由(1)知,sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B ,
所以45sin B=45cos B+35sin B ,
故tan B=sinB cosB =4.
4.解;(1)因为cos ∠ADC=17,
所以sin ∠ADC=sin ∠ADB=4√37.
所以sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠ABC )=4√37×12-17×√32=3√314,
在△ABD 中,由正弦定理得BD=csin ∠BAD
sin ∠ADB =3,所以a=3+2=5.
(2)在△ABC 中,b=√a 2+c 2-2accos ∠ABC =7. 在△ADC 中,R=12·b sin ∠ADC =49√324.
5.解;(1)因为b cos C+c sin B=0,
所以由正弦定理知sin B cos C+sin C sin B=0. 因为0<B<π,所以sin B>0,
于是cos C+sin C=0,即tan C=-1.
因为0<C<π,所以C=3π4.
(2)由(1)结合余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos ∠ACB=(√5)2+(√10)2-2×√5×√10×(-√22)=25,
所以c=5,所以cos B=a 2+c 2-b 22ac =2×√5×5=2√5
5.
因为在△BCD 中, CD=BD , 所以12BC CD =cos B ,所以CD=a 2cosB =√52×2√55
=5
4. 6.解;(1)因为tan B+tan C=√2sinA cosC ,
所以sinB cosB +sinC
cosC =√2sinA
cosC ,
所以sin B cos C+cos B sin C=√2sin A cos B ,即sin(B+C )=√2sin A cos B.
因为A+B+C=π,所以sin(B+C )=sin A , 又因为sin A ≠0,所以cos B=√22,因为0<B<π,所以B=π4.
由正弦定理得b sinB =2R ,得b=2R sin B=2√2×√22=2.
(2)由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以4=a 2+c 2-√2ac. 由基本不等式,得4=a 2+c 2-√2ac ≥2ac-√2ac (当且仅当a=c 时取等号), 所以ac ≤2−√2=2(2+√2).
因为S △ABC =12ac sin B=12ac sin π4=√2
4ac ,
所以S △ABC =√24ac ≤√24×2(2+√2)=1+√2. 所以△ABC 面积的最大值为1+√2.。