高一数学期末复习卷必修二
高一数学必修2期末试题及答案doc
高一数学必修2期末试题及答案doc一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 若a > 0，b > 0，则a + b的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：D4. 函数y = 2^x的图象在点(1, 2)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：D5. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，则a_5的值为：A. 7B. 9C. 11D. 13答案：C6. 已知函数y = x^3 - 3x + 1，则y' =：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^2 + 3答案：A7. 已知圆C的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，则圆心C的坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A8. 若直线y = 2x + 3与抛物线y = x^2 - 4x + 5相交，则交点的个数为：A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B9. 已知向量a = (2, 3)，b = (-1, 2)，则a·b的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C10. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)：A. 3x^2 - 12x + 11B. x^2 - 4x + 11C. 3x^2 - 12x + 5D. 3x^2 - 6x + 11答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列{a_n}的首项a_1 = 2，公比q = 3，则a_3的值为______。
答案：182. 已知函数y = x^2 - 6x + 8，求函数的对称轴方程为______。
2024年高一下学期数学期末模拟卷+全解全析(新高考,必修二)
2023-2024学年高一数学期末模拟卷全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数()()()221i z a a a =−+−∈R 为纯虚数，则复数z a +在复平面上的对应点的位置在（ ） A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内 D ．第四象限内【答案】A【分析】根据纯虚数的定义解出a ，利用复数的几何意义求解． 【详解】 复数(2)(21)i(R)z a a a =−+−∈为纯虚数，20,2210a a a −=∴∴=−≠，复数3i 2z a +=+在复平面上的对应点为(2,3)，位置在第一象限．故选：A ．2．对空中移动的目标连续射击两次，设A ＝{两次都击中目标}，B ＝{两次都没击中目标}，C ＝{恰有一次击中目标}，D ＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）A ．A D ⊆B ．B D =∅C ．A CD ∪= D ．A C B D = 【答案】D【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于选项A ，事件A 包含于事件D ，故A 正确；对于选项B ，由于事件B ，D 不能同时发生，故B D =∅ ，故B 正确； 对于选项C ，由题意知C 正确；对于选项D ，由于A C ＝D ＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件； 而B D 为必然事件，所以A C B D ≠ ，故D 不正确． 故选：D.3．已知单位向量a 与b的夹角为()π,3a kab ⊥+ ，则k =（ ）A ．12B C ．12−D ． 【答案】C【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、数量的运算律，结合垂直关系的向量表示求解即得.【详解】依题意，π111cos 32a b ⋅=××= ，由()a ka b ⊥+ ，得21()02a ka b ka a b k ⋅+=+⋅=+= ，所以12k =−.故选：C4．若数据1210,,,x x x 的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ） A ．数据121041,41,,41x x x +++ 的平均数为13 B ．数据12103,3,,3x x x 的方差为12C ．10130i i x ==∑D ．1021130i i x ==∑【答案】B【分析】利用平均数、方差的定义，逐项计算判断作答.【详解】依题意，1011310i i x ==∑，21011413)(0i i x =−=∑，对于A ，10101111(4(410)4311310101)i i i i x x ===+=×++=∑∑，A 正确；对于B ，依题意，101011113(3)3391010i i i i x x ====×=∑∑，所以数据12103,3,,3x x x 的方差为：1221010111(3969)3)(9431010i i i i x x ====−×−=∑∑，B 错误； 对于C ，10130i i x ==∑，C 正确；对于D ，由10101010102222111111111(3)(69)(690)(90)410101010i i i i i i i i i i i x x x x x x =====−=−+=−+=−=∑∑∑∑∑， 解得1021130i i x ==∑，D 正确.故选：B5．已知向量,,a b c0a b c ++= ，则cos ,a c b c −−= （ ） A ．1314BC．14−D ．1314−【答案】A【分析】根据数量积的运算律求出a b ⋅、a c ⋅ 、b c ⋅ ，即可求出()()a cbc −⋅− 、a c − 、b c − ，再根据夹角公式计算可得.【详解】由题意得a b c ，则22()a b c +=有222121a b +⋅+ ，解得12a b ⋅= ， 又由a c b +=−，则22()a c b +=有222121a c +⋅+= ，解得32a c ⋅=− ， 同理可得32b c ⋅=− ， 所以()()2132a cbc a b a c b c c −⋅−=⋅−⋅−⋅+= ，a c −= ，b c −=所以()()13cos ,14a cbc a c b c a c b c−⋅−−−==−⋅−. 故选：A6．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件且1137(),(),()22424P AP B P AB AB ==+=，则()P AB =（ ） A ．18B ．1148C ．211 D ．713 【答案】A【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.【详解】因为113(),()224P A P B ==，故111(),()224P A P B ==，因为AB 与AB 为互斥事件，故()0P AB AB ⋅=， 所以()()()()()()()P AB AB P AB P AB P B P AB P A P AB +=+=−+−()1117222424P AB =+−=，故()13P AB =，故()()()11112438P AB P B P AB −−. 故选：A7．如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且AMxAB =，AN y AC =，则2x y +的最小值为（ ）A B ．3C ．4D ．2【答案】A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到11133x y+=，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可.【详解】∵G 是ABC 的重心，1133AG AB AC ∴=+ ， 又,,AM xAB AN y AC == 1133AGAM AN x y∴=+，结合题意知0,0x y >>，因为,,M G N 三点共线, 111,33x y ∴+=1122(2)()113333x y x y x y x y y x +=++=++≥=当且仅当233xy y x=即x y 2x y ∴+A 正确. 故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到11133x y+=，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．8．在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F −中，122AA AB ==，O 为棱1AA 的中点，则以O 为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）A ．1πB ．2πC ．1πD ．2π 【答案】D【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案. 【详解】因为球O 的半径为2，所以球O 不与侧而11ABB A 及侧面11AFF A 相交，连接111111,,,O E O C AC A E ．由题得11OA =，1111AC A E ==．所以12OC =，所以球O 与侧面11BCC B 交于点1C ，C ，与侧面11EFF E 交于点1E ，E ．在正六边形111111A B C D E F 中，易得1111A C C D ⊥，因为1CC ⊥平面111111A B C D E F ，11A C ⊂平面111111A B C D E F ． 所以111CC A C ⊥，又111111,C D CC C C D = ，1CC ⊂平面11CDD C ，所以11A C ⊥平面11CDD C ，即OG ⊥平面11CDD C ，且OG =1=，12OH OC OC ===． 所以球O 与侧面11CDD C 的交线为以1CC 为直径的半圆，同理可得球O 与侧面11EDD E 的交线为以1EE 为直径的半圆．由题易得111π3E A C ∠=，则球O 与上底面111111A B C D E F 及下底面ABCDEF 的交线均为16所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为12π122π2π6 ××+×× ． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：根据球O 的半径为2，判断球O 只与侧而11CDD C 及侧面11EDD E ，上底面111111A B C D E F 及下底面ABCDEF 相交.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若z 是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若0z z +=，则i zz= B ．若2z z z ⋅=，则2z = C ．若1z z =，则1z z =D ．若10z z +=，则210z z z ⋅+= 【答案】BCD【分析】利用共轭复数的定义可判定A 、C ，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B 、D. 【详解】对于A ，由0z z +=，得1zz=−，则A 错误. 对于B ，因为2z z z ⋅=，所以22z z =，解得2z =或0z =（舍去），则B 正确. 对于C ，设i z a b =+（,R a b ∈，且0ab ≠）， 则1i z z a b ==−，所以1i z a b z =+=，则C 正确.对于D ，由10z z +=，得1z z =−. 设i z a b =+（,R a b ∈，且0ab ≠），则221()z z z z a b ⋅=−⋅=−+， 222z a b =+，从而210z z z ⋅+=，则D 正确. 故选：BCD10．如图，已知直三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均为3，,,,D E F G 分别在棱1111,A B A C ，,AB AC 上，且11,,A D A EBF CG H P ===分别为1,BC A H 的中点，则（ ）A ．//DE 平面PFGB ．若,M N 分别是平面11A ABB 和11A ACC 内的动点，则MNP △周长的最小值为94C ．若13BF AB =，过,,P F G D ．过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45°的直线有且仅有1条 【答案】BC【分析】根据线面平行的定义判断A ；求出点P 关于平面11A ABB 和11A ACC 的对称点的距离判断B ；计算截面面积判断C ；找出与过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45°的直线条数判断D.【详解】直三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均为3，对于A ，由11A D A EBF CG ===，得11//////DE B C BC FG ，显然FGDE 构成一个平面，连接DF ，EG ，1A B 和1A C ，正方形11AA B B 中，1A D BF =，设11A B DF O = ，显然11A DO ≌1BFO ， 则111A O BO =，即1O 为1A B 的中点，于是11DO FO =，即1O 为DF 的中点， 同理设12A C EG O = ，则2O 为EG 的中点，因此12O O 是1A BC 中位线， 由1A H 为1A BC 中线，得P 为12O O 中点，因为12O O ⊂平面FGED ，因此P ∈平面FGED ，即平面PFG 与平面FGED 为同一个平面，则DE 在平面PFG 内，A 错误； 对于B ，显然平面11A ABB 与平面11ACC 所成锐二面角大小为60°，计算可得点H 到平面11A ABB 和11A ACC A 知，P 是AH 的中点，则点P 到平面11A ABB 和11A ACC P 关于平面11A ABB 和11A ACC 的对称点分别为1M ，1N ， 则当M ，N 分别取直线11M N 与平面11A ABB 和11A ACC 的交点时，MNP △的周长最短，由1111||||120PM PN M PN °=∠=，得119||4M N =， 所以MNP △周长的最小值为94，B 正确；对于C ，由选项A 知，D ，E 在过P ，F ，G 三点的平面内，截面为四边形FGED ，1,2,DEFG DF EG ====1(12)2+，C 正确； 对于D ，显然1AA BC ⊥，过点A 作BC 的平行线B C ′′，则1AA B C ′′⊥， 与1AA 成45°的所有直线构成以A 为顶点的两个对顶圆锥（1AA 为轴）， 同理与B C ′′成45°的所有直线构成以A 为顶点两个对顶圆锥（B C ′′为轴）， 而1AA 与B C ′′所成角90°，因此圆锥面上公共直线共有两条，所以过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45°的直线有2条，D 错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．若2BC A +=，则ABC 的外接圆的面积为3πB ．若π4A =，且ABC 有两解，则b的取值范围为 C ．若2C A =，且ABC 为锐角三角形，则c的取值范围为( D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC 的内心，则AOB【答案】ACD【分析】先由正弦定理得到3a =，选项A ，求出π3A =，进而由正弦定理得到ABC 的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到2209c b +−=，将其看做关于c 的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b 的取值范围；C 选项，由正弦定理结合3a =得到6cos c A =，再根据ABC 为锐角三角形得到ππ64A <<，从而得到c 的取值范围；D 选项，由正弦定理得到2b c =，sin 32sin C C =，结合三角恒等变换得到23cos 4C =，从而得到π6C =，π3A =，π2B =，由3a =求出b c 内切圆半径，进而求出AOB 的面积.【详解】因为23cos 3cos b C c B a +=，所以由正弦定理，得3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=， 即 ()3sin sin B C a A +=， 因为πA B C ++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以3a =. 选项A ：若2B C A +=，则π3A =，所以ABC的外接圆的直径2sin aR A==，所以R =所以ABC的外接圆的面积为2π3π×=，选项A 正确；选项B ：由余弦定理2222cos a b c bc A =+−得229b c =+，将此式看作关于c的二次方程2209c b +−=，由题意得此方程有两个正解，故()222900)490b b −>> −−>，解得b (∈，所以选项B 错误； 选项C ：由正弦定理，得sin sin 2a cA A= ，即2cos c a A =， 因为3a =，所以6cos c A =，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π02π02A B C<<<<<< ，即π02π0π32π022A A A<<<−<<<，所以ππ64A <<，所以(6cos cA ∈，故选项C 正确；选项D ：因为sin 2sin B C =，由正弦定理得2b c =， 因为2A C =，所以()sin sin sin 3BA C C =+=， 所以由正弦定理sin sin b c B C =，得2sin 3sin c cC C=，即sin 32sin C C =， 所以sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=， 即222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +−=，所以222cos 2cos 3C C +=， 所以23cos 4C =， 又因为2A C =，所以π0,2C ∈，故π6C =，π3A =，解得π2B = ，因为3a =，所以tan 30cos30abc a =°=°即ABC 是直角三角形，所以内切圆的半径为()12ra cb =+−= 所以AOB的面积为1122S cr ==D 正确. 故选：ACD.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为 分．【答案】86.25【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率估计75%即可.【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为(0.0040.0060.0200.030)100.6+++×=， 前五个小矩形的面积之和为0.60.024100.840.75+×=>，因此75%分位数位于[80,90)内，0.750.6801086.250.840.6−+×=−，所以估计这50名学生成绩的75%分位数为86.25分． 故答案为：86.2513．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，,,,,a b c d e 这5个数字未知，且,b d 为奇数，则5a b +>的概率为 .9a 7bc d4 e5【答案】23【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2共有12种等可能的结果，其中5a b +>的结果有8种， 所以5a b +>的概率为82123=. 故答案为：23.14．已知四棱锥P ABCD −的底面ABCD PA =PA ⊥平面ABCD ，M 为线段PA 的中点，若空间中存在平面α满足BD α∥，MC α⊂，记平面α与直线,PD PB 分别交于点E ，F ，则PEED= ，四边形MECF 的面积为 ．【答案】【分析】根据题意作出平面α即平面MQH ，取AD 中点G ，利用QDE QGM ∽△△和12MG PD =可求得PE ED的值；通过线面平行的性质得到EF QH ∥，23HF HM =，推理得到13QCE HCFMQH S S S == ，故可间接法求得四边形MECF 的面积.【详解】如图，过点C 作BD 的平行线QH 分别交,AD AB 的延长线于点,Q H ，易知,D B 分别为,AQ AH 的中点．连接,MQ MH ，分别交,PD PB 于点,E F ，则平面MQH 即平面α． 取AD 的中点G ，因ABCD 是正方形，则11,22GD AD QD ==连接MG ，则MG PD ∥， 易得QDE QGM ∽△△，则23QE ED QD QM MG QG ===，所以2133ED MG PD ==，所以2PE ED =． 连接EF ，因为BD α∥，平面α 平面PBD EF =，BD ⊂平面PBD ，所以BD EF ∥，所以EF QH ∥，23HF QE HM QM ==， 由图易得PD PB =,由BD EF ∥可得PE PF =，由PEM PFM ≅ 得ME MF =,从而MQ MH =， 由AC QH ⊥可得C 为QH 的中点.由AB =BD =,QH =3MC ,因121233QCE HCF MQH MQH S S S S ==×= ,故四边形MECF 的面积11111233366MQH MQH S S S QH MC =−×==×=×=（）．故答案为：2.【点睛】思路点睛：本题主要考查棱锥的截面位置和面积问题，属于难题.解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知a ，b ，c是同一平面内的三个不同向量，其中(1,2)a − ．(1)若||b = ，且a b ∥，求b的坐标；(2)若||2c = ，且||2|c c +=− c − 与c 的夹角的余弦值．【答案】(1)(4,8)b − 或(4,8)b =−(2)【分析】（1）由题意设(,2)b a λλλ−，结合模长公式即可列式求解参数λ，进而得解；（2）对已知等式两边平方并化简可得a c ⋅c − 的模，根据数量积的运算律可求得c − 与c的数量积，结合向量夹角公式即可得解.【详解】（1）因为(1,2)a − ，且a b∥，所以可设(,2)b a λλλ− ，R λ∈，所以||b =4λ=±，所以(4,8)b − 或(4,8)b =− ．................................................6分（2）因为|2|c c +=−，所以22)2)c c +=−，所以20c c ⋅−= ， 又||2c =，所以220c ⋅−=，解得a c ⋅又||a =|2|a c −=又2)242c c c c −⋅⋅−=−=− ，c − 与c 的夹角为θ，所以cos θ===，c − 与c的夹角的余弦值为..............................................13分16．（15分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成AB 、两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.85． (1)求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值且估计甲离子残留百分比的中位数；(2)从A 组小鼠和B 组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．【答案】(1)0.35,0.1a b =，甲离子残留百分比的中位数为4； (2)0.105.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中,a b ，即可求中位数；（2）先求出A 组、B 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率，由相互独立事件的概率乘法公式求概率．【详解】（1）由频率分布直方图可得：0.0510.85b +=−且0.150.20.150.85a +++=， 解得0.35,0.1a b =， 甲离子残留百分比的中位数为()0.153.54.5 3.540.3+−×=.．................................................7分 （2）A 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.15， B 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为0.150.70.105×=.．.........................................15分 17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，1PAAD CD ===，2BC =，PB E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且12PF FC =.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)在棱BP 上是否存在点G ，使得点G 到平面AEF G 的位置，不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)靠近B 的三等分点【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直；（2）根据（1）的结果，作出平面AEF 与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点P 到平面AEF 的距离，再根据比例关系，确定点G 的位置.【详解】（1）取BC 的中点S ，连结AS ，则四边形ASCD 是正方形，则1AS BS ==，AS BS ⊥，所以AB =1,PA PB ==所以222PA AB PB +=,所以PA AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD AB =，PA 在面PAB 内， 所以PA ⊥平面ABCD ；................................................6分 （2）在BC 上取点M ，使32CM =，连结PM ，在PM 上取点H ，使13MH MP =， 在PC 上取点N ，使13CN CP =，连结HN ，则//HN BC ，且23HN MC =，则1HN =， 即////HN BC AD ，且HN AD =，则四边形AHND 是平行四边形，所以//AH ND ，且AF AEFN ED=，即//EF ND ， 则//EF AH ，所以四点,,,A E F H 四点共面，连结BH ， ()22213334PH PM PB BM PB BC ==+=+()21113426PB PC PB PB PC =+−=+1122PB PF + ，因为11122+=，所以点,,H B F 三点共线，...............................................10分 所以,,,,A E F H B 五点共面，即BP 与平面AEF 交于点B ， 由（1）可知，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，且AD DC ⊥，PA AD A ∩=，且,PA AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥， 且PAD 是等腰直角三角形，点E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥，且CD PD D = ,PD CD ⊂平面PCD ， 所以⊥AE 平面PCD ，111662DEF PCD S S PD CD ==×××=,所以1113336A DEF DEF V S AE −=××== ，PE 13PF PC ==cos DPC ∠，所以22212cos 6EF PE PF PE PF DPC +−⋅⋅∠，即EF ，因为AE EF ⊥，所以1122AEF S AE EF =××=设点D 到平面AEF 的距离为h ，则D AEF A DEF V V −−=，即11336h =，所以h ，因为点E 是PD 的中点，所以点P 到平面AEF若点G 到平面AEF13BG BP =, 所以存在点G ，使得点G 到平面AEFG 为靠近点B 的三等分点.................................................15分18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，2DC AD ==2BAD π∠=，6BDC π∠=．(1)若cos ABD ∠ABD △的面积；(2)若C ADC ∠=∠，求BC ． 【答案】(1)(2)【分析】（1）根据cos ABD ∠tan ABD ∠，再结合AD = （2）设ADB θ∠=，再在BCD △中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可【详解】（1）由cos ABD ∠tan ABD ∠=AD =tan AD ABABD =∠故12ABD S AB AD =⋅= 分 （2）设ADB θ∠=，则cos θ=6C πθ∠=+，在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BD DC C DBC =∠，即=2sin 2cos sin 36ππθθθ −=⋅+，即2sin sin cos 3πθθθθ+=⋅+，利用降幂公式有11sin 2cos 2322πθθθ+=++，利用辅助角公式有1sin sin 2362ππθθ +=++，故21sin sin 23322πππθθ+=+−+，................................................11分 利用诱导公式可得2211sin cos 22sin 33232πππθθθ+=−++=+−，故212sin sin 0332ππθθ +−+−= ，又sin 03πθ +>，解得sin 3πθ +sin 6BCπ=，故BC =...............................................17分19．（17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对()()1212,,z z z z C ∈视为一个向量，记作()12,z z α=．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量()12,z z α= ，()34,z z β= 的数量积记作αβ⋅，定义为1324z z z z αβ⋅=+ ；复向量α的模定义为α= (1)设()3,4α=，()1i,i β=− ，求复向量α与β的模；(2)已知对任意的实向量α与β，都有αβαβ⋅≤，当且仅当α与β平行时取等号；①求证：对任意实数a ，b ，c ，d，不等式ac + ②求证：对任意两个复向量α与β，不等式αβαβ⋅≤仍然成立；(3)当αβαβ⋅=时，称复向量αβ 平行．设()1i,2i α=+−，(),i z β=，z C ∈，若复向量α与β平行，求复数z 的值．【答案】(1)||5α=，||β= (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)31i 22z=+【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；（2）①实向量(),a b α=，(),c d β= ，根据条件αβαβ⋅≤ ，即可得证；②因为()()''1212,,,z z z z αβ==，由复数的三角不等式''''''112211221122z z z zz z z z z z z z +≤+=+，分别计算即可得证；（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出z 和z 的值．【详解】（1）因为(3,4)α= ，所以3344334425αα⋅=×+×=×+×=，所以α的模为||5α= ；因为(1i,i)β=−，所以()(1i)1i i i (1i)(1i)i (i)213ββ⋅=−−+⋅=−++⋅−=+= ，可得β 的模为||β=................................................3分（2）①设实向量(),a b α=，(),c d β=， 则ac bd αβ⋅=+而ac bd αβ⋅=+， 根据已知αβαβ⋅≤ ，当且仅当α与β 平行时取等号，即0ad bc −=，所以ac +0ad bc −=时等号成立；................................................9分 ②因为()()''1212,,,z z z z αβ==，所以''1122z z z z αβ⋅=+ ，由复数的三角不等式''''''112211221122z z z z z z z z z z z z +≤+=+，由a b a b ⋅≤，得1≤，所以1212x x y y +≤所以''1122z z z z +≤αβ=，综上所知，||||||.a a ββ⋅≤（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数k ，使得''1122kz z z z =， 根据题意，若复向量()1i,2i α=+−与()i,z β=平行，则(1i)i 31i 2i 55k z k +⋅==− −，则|2i ||i ||1i |z−==+ 结合31i 55z k =− ，得52k =； 所以53131i i 25522z =−=− ，所以31i 22z=+．...............................................17分。
高一数学必修二期末测试题及答案解析
(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）（A ）4（B ）5 （C ）321- （D ）26图２6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531(B)532 (C) 533 (D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______． 10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则公共弦AB 所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D GAC 与三棱锥P GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．数学必修二期末测试题及答案CA一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6），……………7分∴半径22(52)(62)5R -+-=， ……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得NM BD CA16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85. (3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45， ∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．PMB DN PMB DN PMB MQ MQDN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆. …………………4分（2）MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面又因为底面ABCD 是60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥………………8分（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面P AD ，所以PMB DH 平面⊥．故DH 是点D 到平面PMB 的距离..55252a a aaDH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55.………12分。
。第一学期期末考试高一数学(必修2)试卷
D
20. （本小题满分 14 分） 已知曲线 C : x2 y2 2x 4 y m 0 .
（1）当 m 为何值时，曲线 C 表示圆；并求出圆心坐标和半径长 . （2）若曲线 C 与直线 x 2 y 4 0 交于 M , N 两点，且 OM ON ( O 为坐标原点 ) ，求 m 的值 .
2009~2010 学年度高一数学第一学期
所以 h CP - 0.5 (y DF ) - 0.5 3.5(m). 答：车辆的限制高度为 3.5m. ……………………………………………………………………
14 分
20. 解: （ 1）由判别式 D 2 E 2 4F 0，得 D2 E 2 4F 4 16 4m 0 ， ∴ m 5 ，圆心坐标为 1,2 ，半径长 r 5 m . ……………………………………… 5 分
O
F
AB
NC D
所以圆的方程是 x2 y 3 2 36 .
……………………………………………………
7分
方法二：以 EF所在的直线为 x 轴，以 MN所在的直线为 y 轴，以 1m为单位长度建立直角坐标系 .
设所求圆的圆心为 G，半径为 r ，则点 G在 y 轴上，
在 Rt △ GOE 中， OE 3 3 ， GE r ， OG r - 3 ，
（ 2）设 M x1, y1 , N x2, y2 ，由 OM ON ，
y1 y2 x1 x2
1，即 x1 x2 y1 y2 0 .
将直线方程 x 2 y 4 0 与曲线 C : x2 y2 2x 4y m 0 联立并消去 y ，
得 5x2 8x 4m 16 0，
由韦达定理，得 x1 x2 8 ① ,
BC 平面 A 1OD ，
高一数学必修2期末试题及答案
高中第一学期期末教学模块测试高一数学（必修2）试题参考公式：1)2S c c h ''+正棱台或圆台侧＝（； S ch 正棱柱或圆柱侧＝；12S ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； 13V S S S S h 下下台体上上＝（＋＋）；V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前；考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分。
在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的。
1．图为某物体的实物图；则其俯视图为（ ）2.若直线l 只经过第一、二、四象限；则直线l 的斜率k （ ）A. 大于零B.小于零 D. 大于零或小于零 D. 以上结论都有可能 3.在空间直角坐标系中Q(1；4；2)到坐标原点的距离为A.21B. 21C.3D. 74、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A B C D5．四面体A BCD，，两两互相垂直；则顶点A在底面BCD上的-中；棱AB AC AD投影H为BCD△的（）Ａ．垂心Ｂ．重心Ｃ．外心Ｄ．内心6．一个正方体的顶点都在球面上；它的棱长为2cm；则球的表面积是（）Ａ．220πcm8πcmＢ．212πcmＣ．22πcmＤ．27.一束光线从点A(－1；1)出发经x轴反射；到达圆C: (x－2)2+(y－2)2=1上一点的最短路程是A. 4B. 5C. 32－8．如下图；都不是正四面体的表面展开图的是（）Ａ．①⑥Ｂ．④⑤Ｃ．③④Ｄ．④⑥9．已知点(,2)(0)-+=的距离为1；则a等于（）a a>到直线:30l x yＡ．2Ｂ．22-Ｃ．21+-Ｄ．1210．在平面直角坐标系中；直线(32)3x y+-=的位置关-+=和直线(23)2x y系是（）Ａ．相交但不垂直Ｂ．垂直Ｃ．平行Ｄ．重合11．圆：22460+-=交于A Bx y x yx y x+-+=和圆：2260，两点；则AB的垂直平分线的方程是（）Ａ．30--=x y++=Ｂ．250x yＣ．390x y --= Ｄ．4370x y -+=12．过点(01)-，）的直线l 与半圆22:430(0)C x y x y +-+=≥有且只有一个交点；则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） Ａ．0k =或43k = Ｂ．113k <≤ Ｃ．43k =或113k <≤Ｄ．43k =或113k ≤≤二、填空题：本大题共6小题；每小题5分；共30分。
高一数学必修2期末试题及答案
S B 1C 1A 1CA1． 倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y x2． 原点在直线l 上的射影是P(－2，1)，则直线l 的方程是 （ ）A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x3． 如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面α内( )A ．不存在与l 平行的直线B ．不存在与l 垂直的直线C ．与l 垂直的直线只有一条D ．与l 平行的直线有无穷多条4． 过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（ ）A ．只有一个B ．至多有两个C ．不一定有D ．有无数个5． 直线093=-+y ax 与直线03=+-b y x 关于原点对称，则b a ,的值是 ( )A ．a =1，b = 9B ．a =－1，b = 9C ．a =1，b =－9D ．a =－1，b =－96． 已知直线b kx y +=上两点P 、Q 的横坐标分别为21,x x ，则|PQ|为 （ ）A ．2211k x x +⋅-B ．k x x ⋅-21C ．2211k x x +- D ．k x x 21-7． 直线l 通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是 （ ）A ．063=-+y xB ．03=-y xC ．0103=-+y xD ．083=+-y x8． 如果一个正三棱锥的底面边长为6） Ａ．92 Ｂ．9 Ｃ．2729． 一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( )A ．31003cm πB ．32083cm πC ．35003cm π D．33cm 10． 在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S －ABC 的体积为3，则三棱锥S －A 1B 1C 1的体积为 （ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．3 11． 已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ） A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-k D ．443≤≤k 12． 过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（ ）A ．052=-+y xB ．042=-+y xC ．073=-+y xD ．032=+-y x13． 过点)3,2(P 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．14． 过点(－6，4)，且与直线032=++y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．15． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角是 ．16． 已知两点)2,1(-A ，)1,2(-B ，直线02=+-m y x 与线段AB 相交，则m 的取值范围是 ．17． 如图，△ABC 为正三角形，且直线BC 的倾斜角是45°，则直线AB ，，AC 的倾斜角分别为：AB α=__________， AC α=____________．18． 正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是 ．三、解答题：19． 已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0， 它的对角线的交点是M (3， 0)， 求这个四边形的其它两边所在的直线方程20． 在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线的方程为012=+-y x ，∠A 的平分线所在直线的方程为0=y ，若点B 的坐标为（1，2），求点 A 和点 C 的坐标．．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知M 为棱AB 的中点．（Ⅰ）AC 1//平面B 1MC ；（Ⅱ）求证：平面D 1B 1C ⊥平面B 1MC ．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴成 45角和30角，过点)0,1(P 作直线AB 分别与OA 、OB 交于A 、B ．（Ⅰ）当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；（Ⅱ）当AB 的中点在直线x y 21=上时，求直线AB 的方程．高一数学必修2复习训练题参考答案13．x 15．30° 16．]5,4[- 17．105°；165° 18．1319．07=-+y x 和0223=--y x ．20．（Ⅰ）32h =，221()3V h a ab b =++=．（Ⅱ）3h =，'h =，127(33)'22S a b h =+== 21．由 ⎩⎨⎧=+-=0120y x y 得⎩⎨⎧==01y x ，即A 的坐标为 )0,1(-，∴ 1102+-=AB k ， 又∵ x 轴为∠BAC 的平分线，∴ 1-=-=AB AC k k ， 又∵ 直线 012=+-y x 为 BC 边上的高， ∴ 2-=BC k ．设 C 的坐标为),(b a ，则11-=+a b ，212-=--a b ， 解得 5=a ，6=b ，即 C 的坐标为)6,5(． 22．（Ⅰ）MO//AC 1；（Ⅱ）MO ∥AC 1，AC 1⊥平面D 1B 1C ，MO ⊥平面D 1B 1C ，平面D 1B 1C ⊥平面B 1MC ．23．解：（Ⅰ）由题意得，OA 的方程为x y =，OB 的方程为x y 33-=，设),(a a A ， ),3(b b B -。
高一数学必修2期末试题及答案解析
高一数学必修2期末试题及答案解析参考公式：圆台的表面积公式:S r '2 r2 r'l rl （r'、r分别为圆台的上、下底面半径，I为母线长）柱体、椎体、台体的体积公式:V柱体二Sh（S为底面积，h为柱体高）1V椎体= §Sh（S为底面积，h为椎体高）1 ________V台体二S' ,S'S S h （S',S分别为上、下底面面积，h为台体高）3、选择题A 1个C、3个2.如图所示，正方体的棱长为标系中的坐标是1，点A是其一棱的中点，贝U点B、1,1」2A在空间直角坐C、D、3.如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1 中, BAB1 30。
，贝U GD与BB所成的角是A 60B、90B、2个D、4个C 、30D 、45C 、2x y 3 0 3D 、 2x y 5 04.下列直线中，与直线x y 1 0的相交的是 A 2x 2y 6 B 、 x C 、 y x 3 D 、5.在空间四边形 ABCD 的各边 AB BC 、CD 、 DA 上的依次取点E 、F 、G 、H ,若EH 、FG 所在直线相交于点P ，则 A 、点 P 必在直线AC 上 B 、点 P 必在直线BD 上 C 、点 P 必在平面DBC 外 D 、点 P 必在平面ABC 内 6.已知直线a ，给出以下四个命题: ①若平面 II 平面 ，则直线a//平面 ②若直线a//平面，则平面 //平面 ③若直线a 不平行于平面，则平面 不平行于平面其中正确的命题是 A 、② B 、③ C 、①②D 、①③ 7.已知直线a a y 1 0与直线2x ay 1 0垂直, 则实数a 的值等于B 、C 、D > 0,28.如图所示，已知AB 平面BCD , BC CD ，则图中互相垂直的平面有 A 3对 B 、2对 1对 D 、0对9.已知P 2, 1是圆x y 225的弦AB 的中点，则弦 AB所在的直线的方程是 B 、x y 1B10.已知直线ax by c O（a,b,c都是正数）与圆x2 y2 1相切，则以a,b,c为三边长的三角形A、是锐角三角形B、是直角三角形C、是钝角三角形D、不存在二、填空题11.直线y 2x与直线x y 3的交点坐标是_________________ 。
高一数学必修二期末测试题及答案
时间：二O 二一年七月二十九日 (A) （B ） (C) (D) 图１ 高一数学必修二期末测试题之马矢奏春创作时间：二O 二一年七月二十九日（总分100分时间100分钟）班级：______________姓名：______________一、选择题（8小题,每小题4分,共32分）１．如图１所示,空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （）(A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条 3．如图2,已知E 、F 分别是正方体ABCD —A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,设α为二面角D AE D --1的平面角,则αsin ＝（）(A)32（B ）35 图２时间：二O 二一年七月二十九日4,( )B,最短 路径长度是（）（A ）4 （B ）5 （CD6．下列命题中毛病的是()ABC ．D时间：二O 二一年七月二十九日71,切,（A（B （C（D 8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点B(4,0)重合,）二、填空题（6小题,每小题4分,共24分）9．在空间直角坐标系中,之间的距离为7,．10．如图,器内灌进一些水,,再将容器倾斜,随着倾斜度的分歧,有下列四个说法： ①水的部份始终呈棱柱状；时间：二O 二一年七月二十九日其中正确说法是．11其它各棱长均为1,若把则函数12,13．在平面直角坐标系中,角是．14,G 为侧棱PB 的中点,则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC ＝．三、解答题(4年夜题,共44分)15．(本题10分)时间：二O 二一年七月二十九日 （Ⅱ）求与直线l 切于点（2,2）,圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示,在直三棱柱111C B A ABC -中,︒=∠90ABC ,1CC BC =,M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥；（Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程暗示圆,求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点,且ON OM ⊥ (O 为坐标原点),求m 的值；(3)在(2)的条件下,求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 是 60=∠A 、NMB PDCA,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN//平面PMB；（2）证明：平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．数学必修二期末测试题及谜底一、选择题（8小题,每小题4分,共32分）１C, 2Ｃ, 3B , 4C ,5A , 6D, 7B, 8D.二、填空题（6小题,每小题4分,共24分）910．①③④；111213．150°；14． 2：1．三、解答题(4年夜题,共44分)15．(本题10分)且斜率为时间：二O二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日2,2）,上的圆的方程.解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式,整理,分（Ⅱ）过点（2,2）与垂直的直线方程为分5,6）, (7)分 分 故所求圆的方程为 ………10分16．(本题10分) 如图所示,中点.时间：二O 二一年七月二十九日 （Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥；（Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中,正面C C BB 11⊥底面ABC ,且正面C C BB 11∩底面ABC =BC ,∵∠ABC =90°,即BC AB ⊥,∴⊥AB 平面C C BB 11∵⊂1CB 平面C C BB 11,∴AB CB ⊥1.……2分 ∵1BC CC =,1CC BC ⊥,∴11BCC B 是正方形,∴11CB BC ⊥,∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ,连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中,N 、F 是中点,∴1//AA NF ,121AA NF =,又分分而面,平面,∴面……10分17．(本题12分)(1)此方程暗示圆,(2)若(1)点,),(3)在(2)的条件下,解析：(1)可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m,∵此方程暗示圆,∴5－m＞0,即m＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－2x－4y＋m＝0x＋2y－4＝0时间：二O二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日 消去x 得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y ＋m ＝0, 化简得5y2－16y ＋m ＋8＝0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则⎩⎪⎨⎪⎧ y1＋y2＝165 ①y1y2＝m ＋85. ②由OM⊥ON 得y1y2＋x1x2＝0, 即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0,∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0,解之得m ＝85. (3)由m ＝85,代入5y2－16y ＋m ＋8＝0, 化简整理得25y2－80y ＋48＝0,解得y1＝125,y2＝45. ∴x1＝4－2y1＝－45,x2＝4－2y2＝时间：二O 二一年七月二十九日A 125.∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45125⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12545, C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4585. 又|MN|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1252＝855, ∴所求圆的半径为455. ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165. 18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD,且PD=CD,点M 、N 分别是棱AD、PC 的中点．（1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PAD ；（3）求点A 到平面PMB 的距离．时间：二O 二一年七月二十九日解析：（1）证明：取PB 中点Q,连结MQ 、NQ,因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点,所以QN//BC//MD,且QN=MD,于是DN//MQ ． PMB DN PMB DN PMB MQ MQ DN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆.…………………4分（2）MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面 又因为底面ABCD 是 60=∠A ,边长为a 的菱形,且M 为AD 中点,所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥………………8分（3）因为M 是AD 中点,所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H,由（2）平面PMB ⊥平面PAD,故DH是点D到平面PMB的距离.A到平面PMB的距离为分时间：二O二一年七月二十九日。
高一数学期末检测试卷2——必修2学生
期末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.以下事件是随机事件的是( )A.下雨屋顶湿B.秋后柳叶黄C.有水就有鱼D.水结冰体积变大 2.在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a 等于( ) A.1 B.322 C.233D.23.设复数z ＝2i1＋i (其中i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A.280 B.320 C.400 D.1 0005.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |等于( ) A.1 B. 2 C. 5 D.66.已知a ＝(2，－3)，b ＝(1，－2)，且c ⊥a ，b ·c ＝1，则c 的坐标为( ) A.(3，－2) B.(3,2) C.(－3，－2) D.(－3,2)7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸)( ) A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸8.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则角C 为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.60°9.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( ) A.13 B.23 C.14 D.2910.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为( ) A.12 B.32 C.33 D.6311.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是( )A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 12.在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，如图，则下列等式成立的是( )A.|AC →|2＝AC →·AB →B.|BC →|2＝BA →·BC →C.|AB →|2＝AC →·CD →D.|CD →|2＝(AC →·AB →)×(BA →·BC →)|AB →|213.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A.AC ⊥AFB.EF ∥平面ABCDC.三棱锥A －BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人都不感冒的概率是________，两人中有人患感冒的概率是________.15.已知非零向量a ，b 满足|a |＝4|b |，且b ⊥(a ＋2b )，则a 与b 的夹角为________.16.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________.17.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ＝b ，c 2＝2b 2(1－sin C )，则C ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共82分) 18.(12分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 夹角是120°. (1)求a ·b 的值及|a ＋b |的值； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b ).19.(12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，点E ，F 分别是BD ，BC 的中点，AB ＝AD ，AE ⊥BC . 求证：(1)EF ∥平面ACD ； (2)AE ⊥CD . 20.(14分)在△ABC 中，cos(A ＋C )＝0，sin A ＝13.(1)求sin C 的值；(2)设∠ABC 的平分线与AC 交于D ，若AC ＝3，求BD 的长.21.(14分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：处罚金额x (单位：元)50 100 150 200 迟到的人数y504020若用表中数据所得频率代替概率.(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A ，B 两类：A 类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B 类是其他员工.现对A 类与B 类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类员工的概率是多少？22.(15分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者有被抽中的概率.23.(15分)如图在△AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a ，b 表示OM →；(2)过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于E ，F .设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求1p ＋2q 的值.。
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高一数学期末复习卷必修2
一、选择题.
1．如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）
A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 2．几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ） A ．
3
π B ．
23
π
C ．π
D ．
43
π
3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ． 异面 D ．相交成60° 4．若三点(2,3),(5,0),(0,)(0)A B C b b ≠共线，则b =（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．1
5．与直线:2l y x =平行，且到l ）
A ．2y x =
B ．25y x =±
C ．1522y x =-
± D ．122
y x =-± 6．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点（ ） A ．(1,2)-
B ．(1,2)
C ．(1,2)-
D ．(1,2)--
7．已知菱形ABCD 的两个顶点坐标：(2,1),(0,5)A C -，则对角线BD 所在直线方程为（ ） A ．250x y +-= B ．250x y +-= C ．250x y -+=
D ．250x y -+=
8. 为（ ）
A ．
B ．
C ．6
D 9．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面α内( )
A ．不存在与l 平行的直线
B ．不存在与l 垂直的直线
C ．与l 垂直的直线只有一条
D ．与l 平行的直线有无穷多条
10．已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）
A ．34k ≥
或4k ≤- B ．34k ≥或14
k ≤- C ．434≤≤-k D ．44
3
≤≤k
11．圆心为(11)
，且与直线4x y +=相切的圆的方程是（ ） A ．22(1)(1)2x y -+-=
B ．22(1)(1)4x y -+-=
C ．22(1)(1)2x y +++=
D ．22(1)(1)4x y +++=
12．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）
A ．1
B ．
C
D ．3
二、填空题：
13. 直线0x ay a +-=与直线(23)0ax a y --=垂直，则a ＝
.
14．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角是 ． 15．一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45，腰和上底
均为1. 如图，则平面图形的实际面积为
.
16.设集合{}
22
(,)4
M x y x y =+≤，{}
222
(,)(1)(1)(0)
N x y x y r r =-+->≤.当
M
N N =时，则正数r 的取值范围
.
三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标：
(0,0),(4,0)A B C ．
⑴ 求边CD 所在直线的方程（结果写成一般式）； ⑵ 证明平行四边形ABCD 为矩形，并求其面积．
18. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，
且MN PC MN AB ⊥⊥，.证明：平面P AD ⊥平面PDC .
19. 如图，已知直线1:40l x y +=，直线2:10l x y +-=以及2l 上一点(3,2)P -．求圆心在
1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆的方程．
20. 已知正四棱锥P －ABCD 如图.
⑴ 若其正视图是一个边长分别为
2的等腰三角形，
求其表面积S 、体积V ； ⑵ 设AB 中点为M ，PC 中点为N ，证明：MN //平面P AD .
21．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，设
E 是棱1CC 的中点. ⑴ 求证：BD AE ⊥；
⑵ 求证：//AC 平面1B DE ；⑶．求三棱锥1A B DE -的体积.
22．已知圆2
2
:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．
⑴ 证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；
⑵ 当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．。