成才之路·北师大版数学必修1-1.1
【成才之路】2021学年高中数学 第一章综合素养检测 北师大版选修1-1(1)
第一章综合素养检测时刻120分钟，总分值150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设a ∈R ，那么“a >1”是“1a<1”的( ) A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件[答案] A[解析] a >1⇒1a <1，1a<1⇒/ a >1，应选A. 2．(2021·辽宁理，5)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：假设a ·b ＝0，b ·c ＝0，那么a ·c ＝0；命题q ：假设a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ，那么以下命题中真命题是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．(¬p )且(¬q )D ．p 或(¬q )[答案] A[解析] 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题；∵a ∥b ，b ∥c ，∴∃λ，μ∈R ，使a ＝λb ，b ＝μc ，∴a ＝λμc ，∴a ∥c ，∴命题q 是真命题．∴p 或q 为真命题．3．有以下四个命题①“假设b ＝3，那么b 2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“假设c ≤1，那么x 2＋2x ＋c ＝0有实根”；④“假设A ∪B ＝A ，那么A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A [解析] “假设b ＝3，那么b 2＝9”的逆命题：“假设b 2＝9，那么b ＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c ≤1，那么方程x 2＋2x ＋c ＝0中，Δ＝4－4c ＝4(1－c )≥0，故方程有实根；“假设A ∪B ＝A ，那么A ⊆B ”为假，故其逆否命题为假．4．“假设a ⊥α，那么a 垂直于α内任一条直线”是( )A ．全称命题B ．特称命题C ．不是命题D ．假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．5．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的概念域为R ，命题q ：x 2<1是x <a 的充分没必要要条件，那么( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．¬p 且q 为真命题D ．¬p 或¬q 为真命题 [答案] A[解析] ∵a >1，∴Δ＝4－4a <0，∴x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴p 为真命题；由x 2<1得－1<x <1，∴－1<x <1时，x <a 成立，但x <a 时，－1<x <1不必然成立，∴q 为真命题，从而A 正确．6．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( )A ．充分而没必要要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也没必要要条件[答案] B[解析] 在△ABC 中，假设B ＝60°，那么A ＋C ＝120°，∴2B ＝A ＋C ，那么A 、B 、C 成等差数列；假设三个内角A 、B 、C 成等差，那么2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，B ＝60°.7．“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0，即(x －1)2＋y 2＝2表示圆，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，那么应知足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠02a 2－4a 3>0，解得a ＝－1，应选C. 8．假设集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，那么“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件[答案] A[解析] 由“m ＝2”可知A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，因此能够推得A ∩B ＝{4}，反之，若是“A ∩B ＝{4}”能够推得m 2＝4，解得m ＝2或－2，不能推得m ＝2，因此“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分没必要要条件．9．以下命题中的真命题是( )A ．∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3[答案] D[解析] ∵对任意x ∈R ，有sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，∴A 假；∵x ∈(π2，π)时，tan x <0，sin x >0，∴B 假；∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴方程x 2＋x ＝－1无解，∴C 假；∵x 2＋2x －(4x －3)＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴对任意x ∈R ，x 2＋2x －(4x －3)>0恒成立，故D 真．10．以下命题错误的选项是( )A ．命题“假设m >0，那么方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“假设方程x 2＋x －m ＝0无实根，那么m ≤0”B ．关于命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”，那么¬p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”C ．假设p 且q 为假命题，那么p 、q 均为假命题D ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分没必要要条件[答案] C[解析] 若p 且q 为假命题，那么p 、q 均为假命题，或p 、q 一真一假，应选C.二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．命题“∀x ∈[－2,3]，－1<x <3”的否定是________．[答案] ∃x ∈[－2,3]，x ≤－1或x ≥3[解析] 全称命题的否定是特称命题，将“∀”改成“∃”，将“－1<x <3”改成“x ≤－1或x ≥3”．12．命题“∃x ∈(－1,1)，2x ＋a ＝0”是真命题，那么a 的取值范围为________．[答案] (－2,2)[解析] 设f (x )＝2x ＋a ，由题意得函数f (x )在(－1,1)内有零点，∴(a ＋2)(a －2)<0，∴－2<a <2.13．给出命题：“假设函数y ＝f (x )是幂函数，那么函数y ＝f (x )的图像只是第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．[答案] 1[解析] 因为命题：“假设函数y ＝f (x )是幂函数，那么函数y ＝f (x )的图像只是第四象限”是真命题，其逆命题“假设函数y ＝f (x )的图像只是第四象限，那么函数y ＝f (x )是幂函数”是假命题，如函数y ＝x ＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.14．在以下所示电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件．[答案] 充分没必要要必要不充分充要既不充分也没必要要[解析] (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不必然闭合，故A是B的充分没必要要条件．(2)A闭合，B不必然亮；而B亮，A必需闭合，故A是B的必要不充分条件．(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，因此A是B 的充要条件．(4)A闭合，B不必然亮；而B亮，A不必然闭合，因此A是B的既不充分也没必要要条件．15．给出以下四个命题：①∀x∈R，x2＋2x>4x－3均成立；②假设log2x＋log x2≥2，故x>1；③命题“假设a>b>0，且c<0，那么ca>cb”的逆否命题是真命题；④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0相互垂直”的充分没必要要条件．其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．[答案] ①②③[解析] ①中，x2＋2x>4x－3⇔x2－2x＋3>0⇔(x－1)2＋2>0，故①正确．②中，显然x≠1且x>0，假设0<x<1，那么log2x<0，log x2<0，从而log2x＋log x2<0，与已知矛盾，故x>1，故②正确③中，命题“假设a>b>0，且c<0，那么ca>cb”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0相互垂直的充要条件，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．判定以下命题的真假：(1)∀x∈R,2x>0；(2)∀x∈Q，x2－3x－1是有理数；(3)∃x∈N,2x＝x2；(4)∃x 、y ∈Z ，x 2＋y 2＝10.[答案] (1)(2)(3)(4)都是真命题[解析] (1)真命题，对任意的x,2x >0恒成立．(2)真命题，关于任意的有理数x ，x 2－3x －1都是有理数．(3)真命题，x ＝2,4时，2x ＝x 2成立．(4)真命题，x ＝1，y ＝3时，x 2＋y 2＝10成立．(1)(2)(3)(4)都是真命题．17．写出命题“假设x 2＋7x －8＝0，那么x ＝－8或x ＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并别离判定它们的真假．”[答案] 逆命题：假设x ＝－8或x ＝1，那么x 2＋7x －8＝0.逆命题为真．否命题：假设x 2＋7x －8≠0，那么x ≠－8且x ≠1.否命题为真．逆否命题：假设x ≠－8且x ≠1，那么x 2＋7x －8≠0.逆否命题为真．18．判定以下命题是全称命题仍是特称命题，并判定其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2； (4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题[解析] (1)此题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．19．关于以下命题p ，写出¬p 的命题形式，并判定¬p 命题的真假：(1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})；(2)p ：有一个素数是偶数；(3)p ：任意正整数都是质数或合数；(4)p ：一个三角形有且仅有一个外接圆．[答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题[解析] (1)¬p ：91∉A 或91∉B ；假命题．(2)¬p ：所有素数都不是偶数；假命题．(3)¬p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)¬p ：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．20．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，假设¬p 是¬q 的充分而没必要要条件，求实数m 的取值范围．[答案] [2,4][解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.∴¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵¬p 是¬q 的充分而没必要要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4. 经查验m ＝2，m ＝4适合条件，即实数m 的取值范围为2≤m ≤4.∴m 的取值范围为[2,4]．21．(2021·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，假设(¬p )且q 为真，试求实数m 的取值范围．[答案] m >1[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3， ∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 假设(¬p )且q 为真，那么p 假q 真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。
数学成才之路必修1.1.1的题目及答案
1.1 第1课时一、选择题1．与600°角终边相同的角可表示为(k∈Z)()A．k·360°＋220°B．k·360°＋240°C．k·360°＋60°D．k·360°＋260°[答案] B[解析]与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.∴选B.2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α[答案] C[解析]特例法，取α＝30°，可知C正确．[点评]作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．3．集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}与P＝{x|x＝k·45°，k∈Z}之间的关系是()A．M P B．M PC．M＝P D．M∩P＝∅[答案] A[解析]∵x＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，k∈Z∴M P.[点评]k·45°(k∈Z)是45°的整数倍，(2k＋1)·45°(k∈Z)是45°的奇数倍，故M P.在角的集合中，{α|α＝k·180°＋45°(k∈Z)}＝{α|α＝(k＋2)·180°＋45°，(k∈Z)}．{α|α＝2k·90°＋30°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°＋30°，k∈Z}＝{α|α＝k·90°＋30°，k∈Z}．这一部分是最容易出错的地方，应当从集合意义上理解．4．给出下列四个命题，其中正确的命题有()①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z[答案] B[解析]解法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.解法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.6．(2009～2010·北京通州高一期末)下列各角中，与60°角终边相同的角是()A．－300°B．－60°C．600°D．1380°[答案] A[解析]与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.7．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝C B．A CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C[答案] D[解析]第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°，由三者之间的关系可知，选D.8．如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}[答案] C9．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}[答案] C[解析] 由－180°<k ·90°－36°<180°(k ∈Z )得－144°<k ·90°<216°(k ∈Z )，所以－14490<k <21690(k ∈Z )，所以k ＝－1,0,1,2， 所以A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.10．在(－360°，0°)内与角1250°终边相同的角是( )A ．170°B ．190°C ．－190°D ．－170° [答案] C[解析] 与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k ·360°，∵－360°<α<0°，∴－16136<k <－12536， ∵k ∈Z ，∴k ＝－4，∴α＝－190°.二、填空题11．－1445°是第________象限角．[答案] 四[解析] ∵－1445°＝－5×360°＋355°，∴－1445°是第四象限的角．12．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x 轴对称：________________.[答案] α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) α＝k ·360°－β(k ∈Z )[解析] 据终边相同角的概念，数形结合可得：(1)α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，(2)α＝k ·360°－β(k ∈Z )．13．若集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z }，则A ∩B __________.[答案] {α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }[解析] 集合A 、B 所在区域如图，显然A ∩B ＝{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z }．三、解答题14．已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.[解析] 在0°到360°的范围里找出与α终边相同的角，可用除以360°求余数的办法来解，也可以考虑把问题转化为求某个不等式的最大整数解问题．解答(1)、(2)的关键都是能正确写出与其角终边相同的角．(1)设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.15．已知有锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，求角α.[解析] 与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．∵锐角α的10倍角的终边与其终边相同，∴10α＝α＋k ·360°，α＝k ·40°，k ∈Z .又α为锐角，∴α＝40°或80°.16．若角α的终边和函数y ＝－|x |的图象重合，试写出角α的集合．[解析] 由于y ＝－|x |的图象是三、四象限的平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为S ＝{α|α＝k ·360°＋225°或α＝k ·360°＋315°，k ∈Z }．17．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，求角α.[解析] 由条件知，2α＝α＋k ·360°，∴α＝k ·360° (k ∈Z )，∵α∈[0°，360°)，∴α＝0°.。
成才之路·北师大版数学必修1-3.1
[规律总结]
正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组
成的．当0<a<1时，函数y＝ax(x∈N＋)是减函数；当a>1时，函 数y＝ax(x∈N＋)是增函数．
3．我国工农业总产值从1990年到2010年的20年间翻了两
番，设平均每年的增长率为x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 [答案] D ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
[解析] 本题为增长率模型函数，为指数函数形式：
设1990年总产值为1，则(1＋x)20＝4.
第三章 第一章 § § 11
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正整数指数函数的概念
下列函数哪些是正整数指数函数？哪些不是？ 为什么？ (1)y＝4x(x∈N＋)； (2)y＝x4(x∈N＋)； (3)y＝－4x(x∈N＋)； (4)y＝(－4)x(x∈N＋)； (5)y＝xx(x∈N＋)； (6)y＝(2a－1)
＋
1x 式； D 中 y＝3×2 ， 均不符合； C 中 y＝3 ＝(3) 符合题目要求．
x
－x
第三章 第一章 § § 11
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1x 2．函数 y＝(2) ，x∈N＋的图像是( A．一条上升的曲线 C．一系列上升的点
第三章
指数函数和对数函数
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这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，97年后
成才之路·北师大版数学必修
[答案] B
[解析] 由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋
675可知，当x＝15时，y取最大值．
第二章第一§章4 第§21课时
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4．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最 小值是________．
第二章第一§章4 第§21课时
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销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得 最大利润？
第二章第一§章4 第§21课时
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3．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为
y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )
A．10件
B．15件
C．20件
D．30件
④抛物线有最低点，
④抛物线有最高点，
当4acx－＝b－2 2ba时，y 有最小值，ymin＝ ___4_a_______
当 x＝4－ac2b－a时b2，y 有最大值，ymax ＝______4_a_____
第二章第一§章4 第§21课时
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【成才之路】高中数学 第一章 集合归纳总结1课件 北师大版必修1
3．集合的三类
按照集合中元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集 和空集三类．其中，空集是一个特殊的集合，它不含有任何元
素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集
合之间关系的问题时，它往往易被忽视而导致解题出现失误． [例3] 设U＝R，A＝{x|x2－3x－10>0}，B＝{x|a＋1≤x≤2a －1}，且B⊆(∁UA)，求实数a的取值范围．
解得 2≤a≤3.
4．集合与集合的三种关系 在一般情况下，集合与集合的关系有两种，即包含与不包 含．若将相等从包含中区分出来，则两集合可以有三种关系． [例 4] 则( ) A．A B C．A＝B B．A B D．A 与 B 无公共元素 k k 已知集合 A＝{x|x＝3， k∈Z}， B＝{x|x＝6， k∈Z}，
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
集 合
第一章 本章归纳总结
1
知 识 结 构
2
知 识 梳 理
3
专 题 探 究
4
即 时 巩 固
知识结构
知识梳理
本章主要学习了集合的概念，元素与集合、集合与集合间
的关系，以及子集的性质与集合间的运算性质等． 1．集合是“某些指定对象的全体” 构成集合的元素除了常见的数或点等数字对象外，还可以 是其他对象．
2．元素与集合，集合与集合间的关系 元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等 关系． 元素与集合间用“∈”或“∉”表示．
集合与集合之间有包含关系，如子集、全集的关系，相等
关系，真子集关系． 熟练掌握集合的图形表示，会借助韦恩图、数轴解决集合
问题，树立数形结合解题的意识．
成才之路·北师大版数学必修1-本章归纳总结3
(3)对数的性质
根据对数的定义，可以证明：loga1＝0，logaa＝1(a>0， a≠1)，即1的对数为零，底的对数等于1.对数恒等式alogaN＝ N(a>0，a≠1，N>0)． (4)常用对数和自然对数
通常将以10为底的对数叫作常用对数，为了简便，N的常
用对数log10N简记为lgN；在科学技术中常常使用无理数e＝ 2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫作自然对数，为了简 便，N的自然对数logeN简记作lnN.
第三章 本章归纳总结 第一章 §1
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2．指数函数的概念与性质
(1)指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数． (2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像 0<a<1 a>1
第三章 本章归纳总结 第一章 §1
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(6)对数换底公式 logaN logbN＝ log b (a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)．利用对数换 a 底公式可以将不同底数的对数化为同底数的对数，将一般的对 数化为自然对数或常用对数便于查表和计算．
第三章 本章归纳总结 第一章 §1
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(5)对数的运算性质 ①loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)． M ②loga N ＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)． ③logaMn＝n· logaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R)． ④loga n 1 M＝nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈N＋，n>1)．
高中新课程：成才之路-数学
第一章 §3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修3
1．下面哪种统计图没有信息的损失，所有的原始数据都
可以从该图中得到( )
A．条形统计图
B．茎叶统计图
C．扇形统计图
D．折线统计图
[答案] B
[解析] 由统计图特点知，茎叶图无信息损失．
第一章 §3
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第一章 §3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修3
1．统计图表 统计图表是__表__达____和___分__析___数据的重要工具，它不仅 可以帮助我们从数据中获取有用的信息，还可以帮助我们直 观、准确地理解相应的结果． 常 用 的 统 计 图 表 有 _条__形__统__计__图___ 、 __扇__形__统__计__图_____ 、 _折__线__统__计__图____和__茎__叶__图___．
(1)试作出条形统计图； (2)统计出 1～15 个字及 16～30 个字的句子个数所占百分 比，作出条形统计图； (3)统计出 1～10 个字，11～20 个字，21～30 个字的句子 个数所占百分比，作出条形统计图．
第一章 §3
成才之路·北师大版数学必修1-4.2
1 1 2 (2)令 y1＝y2，即5x＋29＝2x，则 x＝963. 2 当 x＝963时，y1＝y2，两种卡收费一致； 2 当 x<963时，y1>y2，即“便民卡”便宜； 2 当 x>963时，y1<y2，即“如意卡”便宜．
第一章 第四章 § § 12
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第一章 第四章 § § 12
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预习效果展示 1.一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示， 那么图像所对应的函数模型是( A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 )
[解析] 散点图如图所示：
由散点图可知，此函数图像不是直线，排除A；此函数图 像是上升的，是增函数，排除C，D，故选B.
第一章 第四章 § § 12
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x 4．长为 3，宽为 2 的矩形，当长增加 x，宽减少2时，面积 达到最大，此时 x 的值为________．
第一章 第四章 § § 12
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[思路分析] (1)月租金增加时，未租出的车辆数也随之增
加，只需求出现在有多少辆车未租出，就可求出能租出多少辆 车． (2)公司的月收益＝租出的车辆数×(租金－租出车辆的维 护费)－未租出的车辆数×未租出的车辆维护费．
成才之路·北师大版数学必修1-本章归纳总结1
关系，真子集关系．
熟练掌握集合的图形表示，会借助韦恩图、数轴解决集合 问题，树立数形结合解题的意识．
第一章 本章归纳总结 第一章 §1
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3．“交、并、补”都是集合的运算，对于两个集合而 言，交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，并集是指由 这两个集合的全部元素组成的集合(要注意集合元素的互异 性)．补集必须相对于指定的全集而言，一个集合的补集是指
合之间关系的问题时，它往往易被忽视而导致解题出现失误．
第一章 本章归纳总结 第一章 §1
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[例3] 设U＝R，A＝{x|x2－3x－10>0}，B＝{x|a＋1≤x≤2a －1}，且B⊆∁UA，求实数a的取值范围． [解析] 由题意知A＝{x|x<－2，或x>5}， 则∁UA＝{x|－2≤x≤5}．
第一章 本章归纳总结 第一章 §1
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专 题 探 究
第一章 本章归纳总结 第一章 §1
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[例1]
下列说法：
①地球周围的行星能构成一个集合； ②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合； ③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合． 其中正确的个数是( )．
【成才之路】高中数学 33指数函数课件 北师大必修1
[解析] ①y＝10x 符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1 是 由 y＝10x 和 y＝10 这两个函数相乘得到的函数，不是指数函 数；③y＝10x＋1 是由 y＝10x 和 y＝1 这两个函数相加得到的 函数；④y＝2·10x 是由 y＝2 和 y＝10x 这两个函数相乘得到的 函数；⑤y＝(－10)x 的底数是负数，不符合指数函数的定义； ⑥由于 10＋a>0，且 10＋a≠1，即底数是符合要求的常数， 故 y＝(10＋a)x(a>－10，且 a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10 的底 数不是常数，故不是指数函数．
[解析] 因为(1)中 y＝31x＝13x； (5)中 y＝(π－1)x； (7)中 y＝(2a＋1)xa>－12，且a≠0. 它们都符合指数函数的定义， 所以(1)、(5)、(7)是指数函数．
(2)中 y＝x3 的底数不是不等于 1 的正实数； (3)中 y＝－13x 的“－”不符合定义； (4)中的底数－13<0，不符合定义； (6)中的指数是 x2，不符合定义． 所以(2)、(3)、(4)、(6)都不是指数函数.
三、指数函数图像的变化规律 1．平移规律 若已知 y＝ax 的图像，把 y＝ax 的图像向左平移 b(b>0)个 单位，则得到 y＝ax＋b 的图像；把 y＝ax 的图像向右平移 b(b>0) 个单位，则得到 y＝ax－b 的图像；把 y＝ax 的图像向上平移 b(b>0) 个单位，则得到 y＝ax＋b 的图像；把 y＝ax 的图像向下平移 b(b>0)个单位，则得到 y＝ax－b 的图像．
[方法总结] 在指数函数的定义表达式 y＝ax 中，参数 a 必须大于 0，且不等于 1，ax 前的系数必须是 1，自变量 x 必 须在指数的位置上，否则，就不是指数函数．
【成才之路】高中数学 第1章 集合测试题 北师大版必修1
【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章集合测试题北师大版必修1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·全国新课标Ⅱ文，1)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B ＝( )A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}[答案] B[解析] ∵B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，∴A∩B＝{2}．2．下列集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[答案] B[解析] A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．若集合M＝{y|y＝1x2}，P＝{y|y＝x－1}，那么M∩P＝( ) A．(0，＋∞)B．[0，＋∞) C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)[答案] A[解析] M＝{y|y＝1x2}＝{y|y>0}，N＝{y|y≥0}，故M∩P＝(0，＋∞)，故选A.4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是( ) A．－1 B．0C．1 D．1或－1[答案] A[解析] 由M∪N＝M知N⊆M.∴a2＝0或1，∴a＝0,1，－1.而当a＝0,1时，不满足集合中元素的互异性．∴a＝1.5．下列集合中，只有一个子集的是( )A．{x∈R|x2－4＝0} B．{x|x>9，或x<3}C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x>9，且x<3}[答案] D[解析] A、B、C均为非空集合，任何非空集合本身和空集都是它的子集．D为空集，空集只有一个子集即为本身，故选D.6．满足{a，b A⊆{a，b，c，d，e}的集合A的个数是( )A．5 B．6C．7 D．8[答案] C[解析] ∵{a，b A，∴集合A中含有元素a和b，且包含c、d、e三个元素中的一部分．∵A⊆{a，b，c，d，e}，∴A＝{a，b，c}，A＝{a，b，d}，A＝{a，b，e}，A＝{a，b，c，d}，A＝{a，b，c，e}，A＝{a，b，d，e}，A＝{a，b，c，d，e}，故选C.7．设S＝R，M＝{x|－1<x<13}，N＝{x|x≤－1}，P＝{x|x≥13}，则P等于( )A．M∩N B．M∪N C．∁S(M∪N) D．∁S(M∩N) [答案] C[解析] ∵M∪N＝{x|－1<x<13}∪{x|x≤－1}＝{x|x<13}，∴∁S(M∪N)＝{x|x≥13}＝P.8．设U是全集，M、P、S是U的三个子集，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪(∁U S)C．(M∩P)∪S D．(M∩P)∩(∁U S)[答案] D[解析] 阴影部分不属于S，属于P，属于M，故选D.9．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合{x∈Q|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0[答案] D[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，∴①不正确． ②当a ＝0时，0∈N ，∴②不正确． ③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1， ∴{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}， ∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时6x∈N ，∴{x ∈Q |6x∈N }是无限集，∴④不正确．10．设集合M ＝{x |x ≤23}，a ＝11＋b ，其中b ∈(0,1)，则下列关系中正确的是( ) A ．a M B ．a ∉M C ．{a }∈M D ．{aM[答案] D[解析] 由集合与集合及元素与集合之间的关系知，显然A 、C 不正确．又因为23＝12，所以当b ＝0时，a ＝11，可知11<12，而当b ＝1时，a ＝12，可知D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集． [答案] 8[解析] 共8个子集，分别为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}． 12．设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N ＝________. [答案] {x |x <－2}[解析] ∵M ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴∁R M ＝{x |x <－2或x >2}． 又N ＝{x |x <1}，∴(∁R M )∩N ＝{x |x <－2}．13．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． [答案] 1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B . 又∵a 2＋4≥4， ∴a ＋2＝3，解得a ＝1.14．设集合A ＝{x ，y 2,1}，B ＝{1,2x ，y }，且A ＝B ，则x ，y 的值分别为________． [答案] 2,2[解析] 由集合相等可知，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x y 2＝y 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝yy 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2.由集合中元素的互异性知只有x ＝2，y ＝2适合题意．15．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3l ＋1，l ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }之间的关系是________．[答案] S P ＝M[解析] M 、P 是被3除余1的数构成的集合，则P ＝M ，S 是被6除余1的数，则S P . 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |x <－3或x >1}． 求：(1)A ∩B ； (2)(∁U A )∩(∁U B )； (3)∁U (A ∪B )．[解析] ∁U A ＝{x |x ≤0或x >2}，∁U B ＝{x |－3≤x ≤1}，A ∪B ＝{x |x <－3，或x >0}． ∴(1)A ∩B ＝{x |1<x ≤2}；(2)(∁U A )∩(∁U B )＝{x |－3≤x ≤0}； (3)∁U (A ∪B )＝{x |－3≤x ≤0}．17．(本小题满分12分)设集合U ＝{1,2,3,4}，且M ＝{x ∈U |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{1,4}，求实数p 的值．[解析] ∵U ＝{1,2,3,4}， ∁U M ＝{1,4}，∴M ＝{2,3}，即方程x 2－5x ＋p ＝0有两实根2和3，由根与系数的关系得p ＝2×3＝6. 18．(本小题满分12分)设数集A ＝{a 2,2}，B ＝{1,2,3,2a －4}，C ＝{6a －a 2－6}，如果C ⊆A ，C ⊆B ，求a 的取值的集合．[解析] ∵C ⊆A ，C ⊆B ，∴C ⊆(A ∩B )． 又C 中只有一个元素，∴6a －a 2－6＝2，解得a ＝2或a ＝4.当a＝2时，a2＝4,2a－4＝0满足条件；当a＝4时，a2＝16,2a－4＝4也满足条件．故a的取值集合为{2,4}．19．(本小题满分12分)已知M＝{x|x2－5x＋6＝0}，N＝{x|ax＝12}，若N⊆M，求实数a所构成的集合A，并写出A的所有非空真子集.[解析] ∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．20．(本小题满分13分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B，且A∩C＝∅，求a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．[解析] (1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B，即x2－ax＋a2－19＝x2－5x＋6，∴a＝5.(2)由已知有B＝{2,3}，C＝{－4,2}．∵∅A∩B，A∩C＝∅，∴3∈A，而－4,2∉A.由32－3a＋a2－19＝0，解得a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{3，－5}，符合题意，当a＝5时，A＝{3,2}，与A∩C＝∅矛盾，∴a＝－2.(3)若A∩B＝A∩C≠∅，则有2∈A.由22－2a＋a2－19＝0，得a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{3,2}，不符合条件，当a＝－3时，A＝{－5,2}，符合条件．∴a＝－3.21．(本小题满分14分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析] (1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．。
成才之路北师大数学必修1同步测试：第一章集合1
第一章 §3 3.1一、选择题1．(2015·广东高考)若集合M ＝{－1,1}，N ＝{－2,1,0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1,1}[答案] B[解析] M ∩N ＝{1}，故选B.2．已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{－1≤x ≤2}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2} D ．{x |－1≤x ≤2} [答案] A[解析] 借助数轴，易知A ∪B ＝{x |x ≥－1}．3．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝( ) A ．{2,1} B ．{x ＝2，y ＝1} C ．{(2,1)} D ．(2,1) [答案] C[解析] 由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1解得x ＝2，y ＝1， 所以A ∩B ＝{(2,1)}．4．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] D[解析] ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16a ＝4，∴a ＝4.故选D.5．设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2}D ．∅[答案] A[解析]A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．6．设集合M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A．[1,2) B．[1,2]C．(2,3] D．[2,3][答案] A[解析]利用数轴分别画出集合M、N，如图：∴M∩N＝{x|1≤x<2}．二、填空题7．(2015·江苏高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．[答案] 5[解析]A∪B＝{1,2,3}∪{2,4,5}＝{1,2,3,4,5},5个元素．8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，则2a－b＝________.[答案]－4[解析]如图所示，可知a＝1，b＝6，∴2a－b＝－4.三、解答题9．集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．[解析](1)由题意得B＝{x|x≥2}，又A＝{x|－1≤x<3}，如图．∴A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)由题意得，C ＝{x |x >－a2}，又B ∪C ＝C ，故B ⊆C ，∴－a2<2，∴a >－4.∴实数a 的取值范围为{a |a >－4}．10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2－ax ＋2＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ， 由已知得A ＝{1,2}．(1)若1∈B ，则2×12－a ×1＋2＝0，得a ＝4，当a ＝4时，B ＝{1}⊆A ，符合题意． (2)若2∈B ，则2×22－2a ＋2＝0，得a ＝5. 此时B ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12⃘A ，所以a ＝5不符合题意． (3)若B ＝∅，则a 2－16<0， 得－4<a <4，此时B ⊆A ，综上所述，a 的取值范围为－4<a ≤4.一、选择题1．集合A ＝{a 2，a ＋1，－1}，B ＝{2a －1，|a －2|,3a 2＋4}，A ∩B ＝{－1}，则a 的值是( ) A ．－1 B ．0或1 C ．2 D ．0[答案] D[解析] 由A ∩B ＝{－1}，得－1∈B .因为|a －2|≥0,3a 2＋4>0，所以2a －1＝－1，这时a ＝0，这时A ＝{0,1，－1}，B ＝{－1,2,4}，则A ∩B ＝{－1}成立．2．设集合A ＝{x |y ＝x 2－4}，B ＝{y |y ＝x 2－4}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2－4}给出下列关系式：①A ∩C ＝∅；②A ＝C ；③A ＝B ；④B ＝C ，其中不正确的共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 事实上A ＝R ，B ＝{y |y ≥－4}，C 是点集，只有①是正确的，其余3个均不正确． 二、填空题3．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＝0}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________. [答案] {2} {－3,0,2}[解析] ∵A ＝{－3,2}，B ＝{0,2}， ∴A ∩B ＝{2}，A ∪B ＝{－3,0,2}．4．已知A ＝{x |a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．[答案] －3≤a <－1[解析] 由题意A ∪B ＝R 得下图，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8≥5，得－3≤a <－1. 三、解答题5．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，求A ∪B . [解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ， 即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解．所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)2－p ＋q ＝0，(－1)2＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2.所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}． 所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．6．设集合A ＝{－2}，B ＝{x |mx ＋1＝0，x ∈R }，若A ∩B ＝B ，求m 的值． [解析] ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅， ∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程mx ＋1＝0无解，此时m ＝0.当B ≠∅时，此时m ≠0，则B ＝{－1m }，∴－1m ∈A ，即有－1m ＝－2，得m ＝12.综上，得m ＝0或m ＝12.7．已知A ＝{x |a ≤x ≤－a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围． [解析] (1)①当A ＝∅时，A ∩B ＝∅， ∴a >－a ＋3，∴a >32.②当A ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，必须满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤32－a ＋3≤5a ≥－1，解得－1≤a ≤32.综上所述，a 的取值范围是a ≥－1.(2)∵A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥5a ≤－1，解得a ≤－2.故所求a 的取值范围为a ≤－2.。
成才之路·北师大版数学必修1-1.1
第第一一章章 §§11
成成才才之之路路 ··高高中中新新课课程程 ·学习指导 ·北北师师大大版版··数数学学··必必修修11
4．集合的表示方法 (1)列举法 把集合中的元素_一__一__列__举__出__来__写在_大__括__号___内的方法． (2)描述法 用确定的条件表示某些对象_____属__于__一__个__集_，合并写在 _大__括__号____内的方法．
第第一一章章 §§11
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问题1：数学家说的集合是指什么？ 问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
第第一一章章 §§11
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综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
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[规律总结] 判断元素能否构成集合，关键看这些元素是 否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可 以构成集合，否则不能构成集合．
1∈A.
第第一一章章 §§11
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3．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )
A．{(1,2)}
B．{(2,1)}
C．{1,2}
D．{x2－3x＋2＝0}
【成才之路】高中数学 21、21函数概念课件 北师大必修1
第1课时 函数概念
学习方法指导 思路方法技巧 课堂巩固训练
方知法能警自示主探梳究理 探索延拓创新 课后强化作业
知能目标解读
1．会从生活中的实际问题抽象出变量间的函数关系． 2．理解函数的概念，掌握函数的三要素，即定义域、值 域、对应法则，会求一些函数的定义域和值域． 3．理解区间的概念，并会用区间表示函数的定义域、值 域．
成才之路·数 学
北师大版 ·必修1
本章概述
课程目标
1．能用集合语言表达函数． 2．会求出简单函数的定义域和值域． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 4．了解映射的概念． 5．能根据具体的情境，用图像法、列表法、解析法表示 函数．
重点难点
重点：1.集合观点下的函数概念以及对函数概念的理解和 认识；
课堂巩固训练
课后强念
2.区间的概念 (1)一般区间的表示(a，b 为实数，且 a<b)
(2)特殊区间的表示
思路方法技巧
探索延拓创新
名师辨误做答
求函数 y＝ x－2· x＋2的定义域． [误解] 因为 y＝ x－2· x＋2＝ x2－4， 所以 x2－4≥0，即 x≤－2 或 x≥2， 所以函数 y＝ x－2· x＋2的定义域为(－∞，－2]∪[2， ＋∞)．
重点难点点拨
重点：理解函数的概念，会求简单函数的定义域、值域． 难点：函数值域及复合函数定义域求法．
学习方法指导
知能自主梳理
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/192022/1/192022/1/191/19/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/192022/1/19January 19, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/192022/1/192022/1/192022/1/19
【成才之路】2021-2021学年高中数学 1.3.2 全集与补集课后强化作业 北师大版必修1(1)
【成才之路】2021-2021学年高中数学全集与补集课后强化作业北师大版必修1一、选择题1．(2021·辽宁理，1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，那么集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}[答案] D[解析] A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．2．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤5}，A＝{1,2,5}，B＝{x∈N|－1<x<4}，那么B∩∁U A＝( )A．{3} B．{0,3}C．{0,4} D．{0,3,4}[答案] B[解析] ∵U＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3}，∴∁U A＝{－1,0,3,4}，∴B∩∁U A＝{0,3}．3．如下图，U是全集，A，B是U的子集，那么阴影部份所表示的集合是( )A．A∩B B．A∪BC．B∩(∁U A) D．A∩(∁U B)[答案] C[解析] 由Venn图可知阴影部份为B∩(∁U A)．4．假设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，那么集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] 此题要紧考查集合的运算．(∁U M)∩(∁U N)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．5．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，那么(∁R M)∩N等于( )A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}[答案] A[解析] ∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁R M＝{x|x>2或x<－2}，∴(∁R M)∩N＝{x|x<－2}．应选A.6．已知全集U＝R，那么正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( ) [答案] B[解析] ∵M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，∴N⊆M，应选B.二、填空题7．已知集合A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1,1，－3,3}，∁U B＝{－1,0,2}，那么集合B＝________.[答案] {1,4,6，－3,3}[解析] ∵∁U A＝{－1,1，－3,3}，∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}，又∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝{1,4,6，－3,3}．8．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，假设∁U A＝{1,2}，那么实数m＝________.[答案] －3[解析] ∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根．∴0＋3＝－m.∴m＝－3.三、解答题9．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，当a为何值时，(1)A∩B≠∅；(2)A∩B＝A；(3)A∪(∁R B)＝∁R B.[解析] (1)A∩B≠∅，因为集合A的区间长度为3，因此由图可得a<－1或a＋3>5解得a<－1或a>2，∴当a<－1或a>2时，A∩B≠∅.(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.由图得a＋3<－1或a>5.即a<－4或a>5时，A∩B＝A.(3)由补集的概念知：∁R B＝{x|－1≤x≤5}，∵A ∪(∁R B )＝∁R B ，∴A ⊆∁R B .由右图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1a ＋3≤5，解得：－1≤a ≤2.一、选择题1．(2021·山东高考)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，那么A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ [答案] A[解析] 由A ∪B ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，U ＝{1,2,3,4}知A ∩∁U B ＝{3}．2．如下图，用集合A 、B 及它们的交集、并集、补集表示阴影部份所表示的集合，正确的表达式是( )A ．(A ∪B )∩(A ∩B )B ．∁U (A ∩B )C ．[A ∩(∁U B )]∪[(∁U A )∩B ]D ．∁U (A ∪B )∩∁U (A ∩B )[答案] C[解析] 阴影有两部份，左侧部份在A 内且在B 外，转换成集合语言确实是A ∩(∁U B )；右边部份在B 内且在A 外，转换成集合语言确实是(∁U A )∩B .应选C.二、填空题3．设全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x ＋a <0}，B ∁R A ，实数a 的取值范围为________．[答案] a ≥－1[解析] ∵A ＝{x |x >1}，如下图，∴∁R A ＝{x |x ≤1}．∵B ＝{x |x <－a }，要使B ∁R A ，那么－a ≤1，即a ≥－1.4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或2≤x <3}，B ＝{x |－2≤x <4}，那么(∁U A )∪B ＝__________.[答案] {x |x ≥－2}[解析]由数轴得，∁U A ＝{x |－1≤x <2或x ≥3}，再由数轴得，(∁U A )∪B ＝{x |x ≥－2}．三、解答题5．已知全集U ＝{1,3，x 3＋3x 2＋2x }，集合A ＝{1，|2x －1|}，若是∁U A ＝{0}，那么如此的实数x 是不是存在？假设存在，求出x ；假设不存在，请说明理由．[解析] ∵∁U A ＝{0}，∴0∈U ，但0∉A ，∴x 3＋3x 2＋2x ＝0，∴x (x ＋1)(x ＋2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝－1，x 3＝－2.当x ＝0时，|2x －1|＝1，A 中已有元素1，故舍去；当x ＝－1时，|2x －1|＝3，而3∈U ，故成立；当x ＝－2时，|2x －1|＝5，而5∉U ，故舍去，综上所述，实数x 存在，且它只能是－1.6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝{x |x ≤0，或x ≥52}， (1)求A ∩B ；(2)求(∁U B )∪P ；(3)求(A ∩B )∩(∁U P )．[解析] 借助数轴，如图(1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}．(2)∵∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0，或x ≥52}． (3)∁U P ＝{x |0<x <52}． (A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x ≤2}∩{x |0<x <52} ＝{x |0<x ≤2}．7．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈R |a ≤x ≤2}，B ＝{x ∈R |2x ＋1≤x ＋3，且3x ≥2}．(1)假设B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(2)假设a ＝1，求A ∪B ，(∁U A )∩B .[解析] (1)B ＝{x |x ≤2，且x ≥23} ＝{x |23≤x ≤2}， 又∵B ⊆A ，∴a ≤23. (2)假设a ＝1，那么A ＝{x |1≤x ≤2}，现在A ∪B ＝{x |1≤x ≤2}∪{x |23≤x ≤2} ＝{x |23≤x ≤2}． ∵∁U A ＝{x |x <1或x >2}，∵(∁U A )∩B ＝{x |x <1，或x >2}∩{x |23≤x ≤2} ＝{x |23≤x <1}．。
成才之路_北师大版数学必修1-12.doc
课后强化作业基础巩固一、选择题1. 己知 A = {x^R\-2<x<4}, B={x\x-5<0}1 则/与 3之间的关系是（ ）A B B. A BC. A=BD.不确定［答案］A［解析］用数轴把力，3表示出来如图所示，一 >—•—■—■—•—i—A —-2 0 4 5 x Vx —5<0, .*.x<5,因此〃中元素不能都属于力，但/中元素都小于5（即都在E 中），由真子集定义知/是B 的真子集.2. 若集合A = {x\~2<x^2, xeN},则/的子集的个数是（）A. 2B. 4C. 8D. 16［答案］C［解析］由于 A = {x\-2<x^2t X EN} = {0,1 ,2},所以集合/共有 8 个子集,分别为：0, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}.3. 集合力=抄少=/, xE R}, B={y\y=（x~l ）2f x^R},则下列关系正确的是（）A. A = BB. A 8C. A B［答案］A［解析］•:A = {y ［y=x 29 x^R} = {y\y^0},B={y\y=(x~l)\ xER} = {y ［y>0},・・・A = B.4. 设A = {X \2<X <3}9 B= {x\x<m},若4 B. m23C. m<3 D ・ M W3［答案］B［解析］9：A={x\2<x<3}, B={x\<m}t A B, 第一章§2B,则〃7的取值范围是（A. m>3•••将集合4 B表示在数轴上,如图所示,••心3.A2 3 m x5.己知集合/ = {1,2,3}, 3={3,若A=B,则x的值是()A. 1B. -1C. ±1D. 0［答案］C［解析］由A=B得(=1, ・・・x=±l,故选C.6.己知集合M {2,3,5},且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有()A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个［答案］C［解析］当M中奇数只有3时:{3}, {2,3}；当M中奇数只有5时：{5}, {2,5}；当M中奇数有3,5时：{3,5},・•・共5个集合.二、填空题7.下列关系中正确的是_______ .①0丘{0}；②0 {0}；③{0,1}匸{(0,1)}；④{(a, b)} = {(b, a)}.［答案］②［解析］0 {0},・•・①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a, b)}与{(4 a)}是两个不同的点集，④错误，故正确的是②.8.已知0 {x\x2+x+a = 0}f则实数Q的取值范围是___________ .［答案］W［解析］因为0 {x\x2+x+a = 0},故集合{X『+X+G =0}为非空集合，即方程有实根，所以/20,即卩一4°$0,解得禺.三、解答题9.已知集合/ = {x|,—5x+6 = 0}, B={x|F+ax+6=0},且求实数a 的取值范围.［解析］由已知力={2,3},①若BH0,由BJA,・・・B={2}或3={3}或3={2,3},当B={2}时，方程x2+ax+6=0有两个相等实根，即XI=X2=2, X］X2=4H6,二不合题意.同理3H{3}・当B={2,3}时，。
【2022成才之路】(北师大版)数学必修1同步测试：第1、2章测试题
第一、二章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·新课标Ⅰ)已知集合M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |－2<x <1}，则M ∩N ＝( ) A ．(－2,1) B ．(－1,1) C ．(1,3) D ．(－2,3)[答案] B[解析] 由M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |－2<x <1}，得M ∩N ＝(－1,1)，选B. 2．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，则下列结论正确的是( ) A ．2.5∈M B ．0⊆MC ．∅∈MD ．集合M 是有限集 [答案] A[解析] 由于－2<2.5<3，所以2.5是集合M 中的元素，即2.5∈M . 3．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) [答案] A[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5) ∴x －1∈(－∞，0)∪[1,4)当x －1∈(－∞，0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1,4)时，2x －1∈⎝⎛⎦⎤12，2. 4．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则( )A ．f (x )是奇函数且f (1x )＝－f (x )B ．f (x )是奇函数且f (1x)＝f (x )C ．f (x )是偶函数且f (1x )＝－f (x )D ．f (x )是偶函数且f (1x )＝f (x )[答案] C[解析] f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )，又f (1x )＝1＋(1x )21－(1x)2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C. 5．抛物线y ＝2x 2－x ＋1的对称轴和顶点坐标分别是( ) A ．x ＝12，⎝⎛⎭⎫12，78 B ．x ＝14，⎝⎛⎭⎫14，78 C ．x ＝12，⎝⎛⎭⎫12，74 D ．x ＝14，⎝⎛⎭⎫14，74 [答案] B[解析] ∵y ＝2x 2－x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78， ∴对称轴为x ＝14，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫14，78. 6．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∪N ＝M 成立的a 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．1或－1 [答案] A[解析] 由M ∪N ＝M 知N ⊆M . ∴a 2＝0或1，∴a ＝0,1，－1.而当a ＝0,1时，不满足集合中元素的互异性． ∴a ＝－1.7．生产确定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c (x )＝20＋2x ＋12x 2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为猎取最大利润，应生产这种商品的数量为( )A ．18件B ．36件C ．22件D ．9件 [答案] A[解析] y ＝20x －c (x )＝20x －20－2x －12x 2＝－12x 2＋18x －20.∴x ＝18时，y 有最大值．8．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．3 B ．3x C ．6x ＋3 D ．6x ＋1[答案] B[解析] 由f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝6x ＋3＝3(2x ＋1)，知f (x )＝3x . 9．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}． 10．已知集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N＋}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N＋}，试推断M 与P 的关系是( )A ．M PB ．PMC ．M ＝PD ．M ⃘P ，且P ⃘M[答案] A[解析] 由题设可知M 、P 都是整数的集合，为确定它们之间的关系，可从元素与集合的关系入手，对于任意x ∈M ，则x ＝1＋a 2＝(a ＋2)2－4(a ＋2)＋5. ∵a ∈N ＋，∴a ＋2∈N ＋，∴x ∈P .这说明集合M 中的任何一个元素1＋a 2(a ∈N ＋)都是集合P 的元素，∴M ⊆P . 又1∈P ，此时a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1＝1，即a ＝2. 而1∉M ，由于此时1＋a 2＝1在a ∈N ＋时无解． ∴综合知M P .11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，在[0，＋∞)上单调递减，且f (2－a )＋f (1－a )<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(32，2]B ．(32，＋∞)C ．[1，32)D ．(－∞，32)[答案] D[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)单调递减且f (x )为奇函数，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，从而f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (2－a )<f (a －1)， ∴2－a >a －1，∴a <32，故选D.12．假如奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)上，满足f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0成立的x 的取值范围是( )A ．x <0B ．1<x <2C ．x <2且x ≠0D ．x <0或1<x <2[答案] D[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x <0)x －1 (x >0)，∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎨⎧x －1<0x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2<0. ∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或2≤x <3}，B ＝{x |－2≤x <4}，则(∁U A )∪B ＝__________. [答案] {x |x ≥－2}[解析]由数轴得，∁U A ＝{x |－1≤x <2或x ≥3}，再由数轴得，(∁U A )∪B ＝{x |x ≥－2}．。
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知能自主梳理 1．集合、元素 (1)集合定义 某些对象 的全体称为集合． 一般地，指定的_________ (2)集合的记法 集合通常用________________________ 大写字母A，B，C，D… 标记． (3)元素 每个对象 叫作集合的元素． 集合中的___________
第一章 第一章 § § 11
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2．元素与集合的关系
知识点 元素与 集合的 关系
关系 属于 不属 于
概念 如果____________ a在集合A中 ， 就说a属于A
记法 ______ a∈A
读法 “a属于 A”
整数集 Z _____
有理数集 Q ______
实数集 R ______
第一章 第一章 § § 11
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4．集合的表示方法 (1)列举法 一一列举出来 写在________ 大括号 内的方法． 把集合中的元素_____________ (2)描述法 属于一个集合 用确定的条件表示某些对象______________ ，并写在 大括号 内的方法． _________
确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．
综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
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[规律总结]
判断元素能否构成集合，关键看这些元素是
)
[解析] 3－3x>0可化为x<1,0<1，－1<1，所以0∈A，－
1∈.
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3．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( A．{(1,2)} C．{1,2} [答案] C B．{(2,1)}
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5．集合的分类
∅ 空集：不含任何元素，记作 按含有元素 有限集：含有有限个元素 集合 非空集合：的个数分为 无限集 ：含有无限个元素
9．1________C.
[答案] (1)∉ (2)∉ (3)∈ ∉
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[解析] 3,2}，∴3∉B.
(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴－1∉A.
如果a ____________ 不在集合A中， ______ “a不属 a∉A 就说a不属于A 于A”
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3．常用数集及表示符号
定义 记法
自然数集 正整数集 N ______ N＋ ______
美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
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2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集，则有( A．3∈A C．0∈A [答案] C B．1∈A D．－1∉A
第一章 第一章 § § 11
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预习效果展示 1．下列各组对象中不能构成集合的是( A．《成才之路》教育集团的全体员工 B．2014年全国经济百强县 C．2015年考入北京大学的全体学生 D．美国NBA的篮球明星 [答案] D )
种无穷集合的情形．为了描述这种集合，他首先定义了点集的
极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概 念．这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开始，并为点集 论奠定了理论基础．以后，康托尔又在《数学年鉴》和《数学 杂志》两刊上发表了许多文章．
第一章 集 合
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位数学家怎样才算作著名，故不能构成集合.
第一章 第一章 § § 11
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元素与集合的关系 若2∉{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是 ________． [思路分析] 由题意可知，2不具备集合中元素的共同特 征，因此建立不等式即可求出a的取值范围．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
集 合
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集
合
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康托尔与集合论的建立
康托尔(1845～1918)，德国数学家，集合论的创始人，生 于俄国圣彼得堡．康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗 教．他早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级 数并由此取得19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合
课堂典例讲练
第一章 第一章 § § 11
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集合的基本概念 考察下列每组对象能否构成一个集合： ①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的 正数；④直角坐标系中，第一象限内的点． [思路分析] 要判断每组对象能否构成集合，关键是分析
否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可 以构成集合，否则不能构成集合．
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下列各组对象不能构成集合的是( A．著名的中国数学家 B．北京四中2014级新生 C．奇数的全体
第一章
§1 集合的含义与表示
第一章
集
合
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课前自主预习
易错疑难辨析
课堂典例讲练
课后强化作业
第一章 第一章 § § 11
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5．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是 ________． [答案] m≠0
[解析] 由集合元素的互异性，得m＋1≠1，即m≠0.
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民：“这就是集合！”
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问题1：数学家说的集合是指什么？ 问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
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(2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－ (3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
∴8∈C,9.1∉C.
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[解析]
根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因
为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合； 而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位
论和超穷数理论的建立．康托尔是在寻找函数展开为三角级数
表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性， 并开始从事无穷集合的一般理论研究．
第一章
集
合
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早在 1870 年和 1871 年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论
文，证明了函数 f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明 了即使函数f(x)在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立.1872 年康托尔在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个 定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某
他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能 意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体．康托
尔指出：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，这个