高中数学第二章概率2_5随机变量的均值和方差数学期望在生活中的应用素材苏教版选修2_3

2019最新高中数学第2章概率 2.5 随机变量的均值和方差教学案苏教版选修2-3

2.5 随机变量的均值和方差第1课时离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5 kg ，3个重6 kg ，5个重7 kg.问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 的取值是多少？提示：x ＝5，6，7.问题2：x 取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：13，14，512.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？提示：5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为离散型随机变量的均值或数学期望，也称为X 的概率分布的均值，记为E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ．其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i ＝1，2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度． 2．两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nM N． (2)二项分布：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ．1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．[例1] 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设X 为取出的4个球中红球的个数，求X 的概率分布和均值．[思路点拨] 首先确定X 的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值．[精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A ，B 相互独立，且P (A )＝C 23C 24＝12，P (B )＝C 24C 26＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝12×25＝15.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C ，D 互斥，且P (C )＝C 23C 24·C 12·C 14C 26＝415，P (D )＝C 13C 4·C 24C 6＝15.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝415＋15＝715.(3)X 可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P (X ＝0)＝15，P (X ＝1)＝715，P (X ＝3)＝C 13C 24·1C 26＝130.从而P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝310.所以X故X 的均值E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求出均值．1．(广东高考)则X 的均值E (X )＝________．解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：322．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X, 求E (X )．解：记“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B ，X 可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )·P (B ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝115， P (X ＝1)＝P (AB )＋P (AB ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×45＝25， P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝23×45＝815.所以，X故E (X )＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y . (1)求X 的概率分布； (2)求X 和Y 的均值．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．[精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38；P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的概率分布如下表：(2)由(1)知E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5，或由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (X )＝3×12＝1.5，E (Y )＝3×23＝2.[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值．3．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X 的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值．解：(1)投篮一次，命中次数则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5，0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．(1)求至少摸出一个白球的概率；(2)用X 表示摸出的黑球数，写出X 的概率分布并求X 的均值．解：记“至少摸出一个白球”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“摸出的3个球中没有白球”，则P (A )＝C 34C 36＝15，P (A )＝1－P (A )＝45，即至少摸出一个白球的概率等于45.(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13·C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23·C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120.X 的概率分布为所以E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32，即X 的数学期望为32.[例3] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的均值．[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负． (2)X 的取值为0，1，2.[精解详析] (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0，1，2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58， E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的均值等于a 的10%，公司应要求投保人交多少保险金？解：设保险公司要求投保人交x 元保险金，以保险公司的收益额X 作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：E (X )＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ，由题意可知x －ap ＝0.1a ，解得x ＝(0.1＋p )a .即投保人交(0.1＋p )a 元保险金时，可使保险公司收益的均值为0.1a .6．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X 的概率分布及均值．解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D .由题意知，P (B )＝P (C )＝34，P (D )＝23，所以P (A )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＋P (B －CD )＝P (B )P (C )P (D －)＋P (B )P (C －)P (D )＋P (B －)P (C )P (D ) ＝34×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝716. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝148，P (X ＝1)＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝18.P (X ＝2)＝P (BC D －)＋P (B －C －D )＝34×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23＝1148，P (X ＝3)＝P (B C －D )＋P (B －CD )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝14，P (X ＝4)＝P (BCD )＝34×34×23＝38.故X 的概率分布是所以E (X )＝0×148＋1×18＋2×1148＋3×14＋4×38＝176..1．求随机变量X 的均值，关键是正确求出X 的分布列，在求X 取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．课下能力提升(十五)一、填空题1则E (X )＝________．解析：由随机变量分布列的性质得，14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16，于是，X 的概率分布为所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.答案：－17302．若随机变量X ～B (n ，0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________．解析：∵X ～B (n ，0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.∴P (X ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8. 答案：0.076 83．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，能够承受600度高温，0，不能够承受600度高温，则X 的均值为________．解析：依题意X 服从两点分布，其概率分布为所以X 的均值是E (X )＝0.7. 答案：0.7 4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．解析：设取得次品数为X (X ＝0，1，2)，则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.答案：355. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________．解析：X 的取值为0，1，2，3且P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.答案：65二、解答题6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？根据均值公式，得E (X )＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1， E (Y )＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. ∵E (Y )＞E (X )，∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．7．一接待中心有A ，B ，C ，D 四部热线电话，已知某一时刻电话A ，B 占线的概率均为0.5，电话C ，D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X 部电话占线，试求随机变量X 的概率分布和它的均值．解：P (X ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (X ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52×0.4×0.6＝0.3，P (X ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2， P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到X所以E (X )＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率； (2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件D ，依题意P (A )＝12，设在x m 处击中目标的概率为P (x )，则P (x )＝k x 2，且12＝k1002，∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000x2，∴P (B )＝5 0001502＝29，P (C )＝5 0002002＝18， P (D )＝12×79×78＝49144. 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率P ＝P (A )＋P (A －·B )＋P (A －·B －·C )＝P (A )＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －)·P (C ) ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·29＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－29·18＝95144.(2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝12，P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7144，P (X ＝0)＝49144. 所以E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝8548.第2课时离散型随机变量的方差和标准差A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A 机床B 机床问题112提示：E (X 1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E (X 2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E (X 1)和E (X 2)的值说明了什么？提示：E (X 1)＝E (X 2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差和标准差 (1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X 的均值为μ，其概率分布为则(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)p 2＋…＋(x n －μ)p n (其中i ≥0，i ＝1，2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1)称为离散型随机变量X 的方差，也称为X 的概率分布的方差，记为V (X )或σ2．②变形公式：V (X )＝ i ＝1nx 2i p i －μ2．③意义：方差刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度．(2)离散型随机变量的标准差X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差 (1)若X ～0－1分布，则V (X )＝p (1－p )； (2)若X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM （N －M ）（N －n ）N （N －1）；(3)若X ～B (n ，p )，则V (X )＝np (1－p )．1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V (X )越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[例1] 已知随机变量X若E (X )＝23，求V (X )．[思路点拨] 解答本题可先根据∑i ＝1np i ＝1求出p 值，然后借助E (X )＝23，求出x 的取值，最后代入公式求方差．[精解详析] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴V (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59.[一点通] 求方差和标准差的关键是求概率分布，只要有了概率分布，就可以依据定义求得均值，进而求得方差或标准差．1．已知X则V (X )＝________．解析：∵E (X )＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3 ＝0.3＋0.4＋0.6＋1.2＝2.5.∴V (X )＝0.3×(1－2.5)2＋0.2×(2－2.5)2＋0.2×(3－2.5)2＋0.3×(4－2.5)2＝1.45. 答案：1.452．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则V (X )＝________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴V (X )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.答案：916[例2] 某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． [思路点拨] 分别计算项目一、二中获利的均值与方差后，作出判断． [精解详析] 若按“项目一”投资，设获利X 1万元，则X 1的概率分布为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X 2万元，则X 2的概率分布为∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．V (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，V (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，∴E (X 1)＝E (X 2)，V (X 1)<V (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．[一点通] 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局．谁的技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的局数，则X ～B (10，0.51)，故E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的局数，则Y ～B (10，0.49)．故E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又V (X )＝10×0.51×0.49＝2.499， V (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499. 所以他们技术的稳定性一样.[例3] 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[思路点拨]确定X 的取值→计算概率→列出概率分布表→求E （X ），V （X ）[精解详析] X 可能取的值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的概率分布为由定义知，E (X )＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， V (X )＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] 求离散型随机变量X 的均值与方差的基本步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的概率分布； (4)由均值的定义求E (X )； (5)由方差的定义求V (X )．4．把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球5次，求摸出红球的次数Y 的均值和方差．”解：由题意知Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15，∴E (Y )＝5×15＝1，V (Y )＝5×15×⎝⎛⎭⎪⎫1－15＝45.5．甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X 的均值和方差．解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2，则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，P (A ＋B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2)＝ P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92， ∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92. 则0.4P 2＝0.32，即P 2＝0.8.(2)P (X ＝0)＝P (A )·P (B )＝0.4×0.2＝0.08， P (X ＝1)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44，P (X ＝2)＝P (A )P (B )＝0.6×0.8＝0.48. X 的概率分布为E (X )V (X )＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.1728＝0.4.1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．2．已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数y ＝aX ＋b 的均值和方差，可直接用X 的均值，方差的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )．3．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算．课下能力提升(十六)1．已知X 的概率分布为则V (X )＝________．解析：∵a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. ∴E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.∴V (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81. 答案：0.812．一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X ，则V (X )的值为________．解析：由题意，次品件数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14，故V (X )＝np ·(1－p )＝4×14×34＝34.答案：343．已知X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，V (X )＝6，则p ＝________. 解析：∵E (X )＝np ＝7，V (X )＝np (1－p )＝6， ∴1－p ＝67，即p ＝17.答案：174．已知随机变量X且E (X )＝1.1，则V (X )的值为________．解析：由随机变量分布列的性质可得p ＝1－15－310＝12.又E (X )＝0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，解得x ＝2，可得V (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49. 答案：0.49 5．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．解析：设一次罚球得分为X ，服从两点分布，即所以V (X )＝p (1－p )＝0.7×0.3＝0.21.二、解答题6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X ，求E (X )和V (X )．解：这3张卡片上的数字和X 的可能取值为6，9，12. X ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P (X ＝6)＝C 38C 310＝715.X ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.X ＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，则P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.所以X所以E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.V (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.7．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为：试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X 的均值和方差为E (X )＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，V (X )＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y 的均值和方差为 E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，V (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，V (X )＞V (Y )，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．8．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X ，求V (X )．解：先求X 的分布列．X ＝0，1，2，3.X ＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，所以P (X ＝0)＝23！＝13； X ＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，所以P (X ＝1)＝33！＝12； X ＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P (X ＝2)＝0； X ＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，所以P (X ＝3)＝13！＝16. 所以X所以E (X )＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝12＋12＝1， V (X )＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(2－1)2×0＋(3－1)2×16＝1.。

【文库精品】高中数学第2章概率 2.5 随机变量的均值和方差教学案苏教版选修2-3

2.5 随机变量的均值和方差第1课时离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5 kg ，3个重6 kg ，5个重7 kg.问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 的取值是多少？提示：x ＝5，6，7.问题2：x 取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：13，14，512.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？提示：5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为离散型随机变量的均值或数学期望，也称为X 的概率分布的均值，记为E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ．其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i ＝1，2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度． 2．两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nM N． (2)二项分布：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ．1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．[例1] 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设X 为取出的4个球中红球的个数，求X 的概率分布和均值．[思路点拨] 首先确定X 的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值．[精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A ，B 相互独立，且P (A )＝C 23C 24＝12，P (B )＝C 24C 26＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝12×25＝15.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C ，D 互斥，且P (C )＝C 23C 24·C 12·C 14C 26＝415，P (D )＝C 13C 4·C 24C 6＝15.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝415＋15＝715.(3)X 可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P (X ＝0)＝15，P (X ＝1)＝715，P (X ＝3)＝C 13C 24·1C 26＝130.从而P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝310.所以X故X 的均值E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求出均值．1．(广东高考)则X 的均值E (X )＝________．解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：322．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X, 求E (X )．解：记“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B ，X 可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )·P (B ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝115， P (X ＝1)＝P (AB )＋P (AB ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×45＝25， P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝23×45＝815.所以，X故E (X )＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y . (1)求X 的概率分布； (2)求X 和Y 的均值．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．[精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38；P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的概率分布如下表：(2)由(1)知E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5，或由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (X )＝3×12＝1.5，E (Y )＝3×23＝2.[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值．3．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X 的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值．解：(1)投篮一次，命中次数则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5，0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．(1)求至少摸出一个白球的概率；(2)用X 表示摸出的黑球数，写出X 的概率分布并求X 的均值．解：记“至少摸出一个白球”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“摸出的3个球中没有白球”，则P (A )＝C 34C 36＝15，P (A )＝1－P (A )＝45，即至少摸出一个白球的概率等于45.(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13·C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23·C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120.X 的概率分布为所以E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32，即X 的数学期望为32.[例3] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的均值．[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负． (2)X 的取值为0，1，2.[精解详析] (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0，1，2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58， E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的均值等于a 的10%，公司应要求投保人交多少保险金？解：设保险公司要求投保人交x 元保险金，以保险公司的收益额X 作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：E (X )＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ，由题意可知x －ap ＝0.1a ，解得x ＝(0.1＋p )a .即投保人交(0.1＋p )a 元保险金时，可使保险公司收益的均值为0.1a .6．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X 的概率分布及均值．解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D .由题意知，P (B )＝P (C )＝34，P (D )＝23，所以P (A )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＋P (B －CD )＝P (B )P (C )P (D －)＋P (B )P (C －)P (D )＋P (B －)P (C )P (D ) ＝34×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝716. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝148，P (X ＝1)＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝18.P (X ＝2)＝P (BC D －)＋P (B －C －D )＝34×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23＝1148，P (X ＝3)＝P (B C －D )＋P (B －CD )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝14，P (X ＝4)＝P (BCD )＝34×34×23＝38.故X 的概率分布是所以E (X )＝0×148＋1×18＋2×1148＋3×14＋4×38＝176..1．求随机变量X 的均值，关键是正确求出X 的分布列，在求X 取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．课下能力提升(十五)一、填空题1则E (X )＝________．解析：由随机变量分布列的性质得，14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16，于是，X 的概率分布为所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.答案：－17302．若随机变量X ～B (n ，0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________．解析：∵X ～B (n ，0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.∴P (X ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8. 答案：0.076 83．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，能够承受600度高温，0，不能够承受600度高温，则X 的均值为________．解析：依题意X 服从两点分布，其概率分布为所以X 的均值是E (X )＝0.7. 答案：0.7 4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．解析：设取得次品数为X (X ＝0，1，2)，则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.答案：355. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________．解析：X 的取值为0，1，2，3且P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.答案：65二、解答题6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？根据均值公式，得E (X )＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1， E (Y )＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. ∵E (Y )＞E (X )，∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．7．一接待中心有A ，B ，C ，D 四部热线电话，已知某一时刻电话A ，B 占线的概率均为0.5，电话C ，D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X 部电话占线，试求随机变量X 的概率分布和它的均值．解：P (X ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (X ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52×0.4×0.6＝0.3，P (X ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2， P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到X所以E (X )＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率； (2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件D ，依题意P (A )＝12，设在x m 处击中目标的概率为P (x )，则P (x )＝k x 2，且12＝k1002，∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000x2，∴P (B )＝5 0001502＝29，P (C )＝5 0002002＝18， P (D )＝12×79×78＝49144. 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率P ＝P (A )＋P (A －·B )＋P (A －·B －·C )＝P (A )＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －)·P (C ) ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·29＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－29·18＝95144.(2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝12，P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7144，P (X ＝0)＝49144. 所以E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝8548.第2课时离散型随机变量的方差和标准差A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A 机床B 机床问题112提示：E (X 1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E (X 2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E (X 1)和E (X 2)的值说明了什么？提示：E (X 1)＝E (X 2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差和标准差 (1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X 的均值为μ，其概率分布为则(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)p 2＋…＋(x n －μ)p n (其中i ≥0，i ＝1，2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1)称为离散型随机变量X 的方差，也称为X 的概率分布的方差，记为V (X )或σ2．②变形公式：V (X )＝ i ＝1nx 2i p i －μ2．③意义：方差刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度．(2)离散型随机变量的标准差X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差 (1)若X ～0－1分布，则V (X )＝p (1－p )； (2)若X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM （N －M ）（N －n ）N （N －1）；(3)若X ～B (n ，p )，则V (X )＝np (1－p )．1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V (X )越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[例1] 已知随机变量X若E (X )＝23，求V (X )．[思路点拨] 解答本题可先根据∑i ＝1np i ＝1求出p 值，然后借助E (X )＝23，求出x 的取值，最后代入公式求方差．[精解详析] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴V (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59.[一点通] 求方差和标准差的关键是求概率分布，只要有了概率分布，就可以依据定义求得均值，进而求得方差或标准差．1．已知X则V (X )＝________．解析：∵E (X )＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3 ＝0.3＋0.4＋0.6＋1.2＝2.5.∴V (X )＝0.3×(1－2.5)2＋0.2×(2－2.5)2＋0.2×(3－2.5)2＋0.3×(4－2.5)2＝1.45. 答案：1.452．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则V (X )＝________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴V (X )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.答案：916[例2] 某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． [思路点拨] 分别计算项目一、二中获利的均值与方差后，作出判断． [精解详析] 若按“项目一”投资，设获利X 1万元，则X 1的概率分布为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X 2万元，则X 2的概率分布为∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．V (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，V (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，∴E (X 1)＝E (X 2)，V (X 1)<V (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．[一点通] 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局．谁的技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的局数，则X ～B (10，0.51)，故E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的局数，则Y ～B (10，0.49)．故E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又V (X )＝10×0.51×0.49＝2.499， V (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499. 所以他们技术的稳定性一样.[例3] 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[思路点拨]确定X 的取值→计算概率→列出概率分布表→求E （X ），V （X ）[精解详析] X 可能取的值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的概率分布为由定义知，E (X )＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， V (X )＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] 求离散型随机变量X 的均值与方差的基本步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的概率分布； (4)由均值的定义求E (X )； (5)由方差的定义求V (X )．4．把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球5次，求摸出红球的次数Y 的均值和方差．”解：由题意知Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15，∴E (Y )＝5×15＝1，V (Y )＝5×15×⎝⎛⎭⎪⎫1－15＝45.5．甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X 的均值和方差．解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2，则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，P (A ＋B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2)＝ P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92， ∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92. 则0.4P 2＝0.32，即P 2＝0.8.(2)P (X ＝0)＝P (A )·P (B )＝0.4×0.2＝0.08， P (X ＝1)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44，P (X ＝2)＝P (A )P (B )＝0.6×0.8＝0.48. X 的概率分布为E (X )V (X )＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.1728＝0.4.1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．2．已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数y ＝aX ＋b 的均值和方差，可直接用X 的均值，方差的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )．3．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算．课下能力提升(十六)1．已知X 的概率分布为则V (X )＝________．解析：∵a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. ∴E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.∴V (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81. 答案：0.812．一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X ，则V (X )的值为________．解析：由题意，次品件数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14，故V (X )＝np ·(1－p )＝4×14×34＝34.答案：343．已知X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，V (X )＝6，则p ＝________. 解析：∵E (X )＝np ＝7，V (X )＝np (1－p )＝6， ∴1－p ＝67，即p ＝17.答案：174．已知随机变量X且E (X )＝1.1，则V (X )的值为________．解析：由随机变量分布列的性质可得p ＝1－15－310＝12.又E (X )＝0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，解得x ＝2，可得V (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49. 答案：0.49 5．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．解析：设一次罚球得分为X ，服从两点分布，即所以V (X )＝p (1－p )＝0.7×0.3＝0.21.二、解答题6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X ，求E (X )和V (X )．解：这3张卡片上的数字和X 的可能取值为6，9，12. X ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P (X ＝6)＝C 38C 310＝715.X ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.X ＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，则P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.所以X所以E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.V (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.7．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为：试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X 的均值和方差为E (X )＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，V (X )＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y 的均值和方差为 E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，V (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，V (X )＞V (Y )，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．8．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X ，求V (X )．解：先求X 的分布列．X ＝0，1，2，3.X ＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，所以P (X ＝0)＝23！＝13； X ＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，所以P (X ＝1)＝33！＝12； X ＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P (X ＝2)＝0； X ＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，所以P (X ＝3)＝13！＝16. 所以X所以E (X )＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝12＋12＝1， V (X )＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(2－1)2×0＋(3－1)2×16＝1.。

高中数学-第二章-概率感悟数学期望在实际生活中的应用

感悟数学期望在实际生活中的应用离散型随机变量的期望是离散型随机变量的重要的数字特征，它从整体上描述随机变量，反映了随机变量取值的平均水平，在实际生活中有着广泛的应用。

以下几例，供参考：例1 据统计一个家庭中万元以上的财产被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内万元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元（100a >）。

问a 如何确定，可使保险公司有望获利？分析：要使保险公司获利，即()0E X >，从而将问题转化为利用不等式求a 的取值范围。

解析：设X 表示保险公司在参加保险人身上的收益，则X 的可能取值是100，100a -，(100)0.99P X ==；(100)0.01P X a =-=。

()1000.99(100)0.01E X a =⨯+-⨯1000.010a =->，∴10000a <，又∵100a >，∴10010000a <<，即当a 在100至10000之间取值时保险公司可望获利。

评注：该例与生活密切相关，由此可深切体会到数学期望的应用价值。

例2 某渔船要对下月是否出海做出决策，如果出海后遇到好天气，可收益6000元，如果出海后天气变坏，将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费。

据气象部门预测，下月好天气的概率是0.6，天气变坏的概率是0.4，请你为该船做出决定，是出海还是不出海？分析：船是出海还是不出海，关键是要看船出海的收益平均值与不出海的收益平均值1000-的大小。

解析：设该船一次出海的收益为随机变量X ，则其分布列为：∴()60000.6(8000)0.4400E X =⨯+-⨯=。

∵()4001000E X =>-，∴应该选择出海。

评注：“出海”还是“不出海”，是将实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，用它来刻画、比较措施取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值。

高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差数学期望的计算方法及其应用素材苏教版选修(1)

数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。

本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。

本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。

关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法 ABSTRACT ：第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。

推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。

试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。

高中数学第二章概率 2.2 超几何分布协方差的属性素材苏教版选修2-3

协方差的属性两个不同参数之间的方差就是协方差若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。

定义E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

协方差与方差之间有如下关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)协方差与期望值有如下关系：Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

协方差的性质：（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。

为此引入如下概念：定义称为随机变量X和Y的相关系数。

定义若ρXY=0，则称X与Y不相关。

即ρXY=0的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。

定理设ρ是随机变量X和Y的相关系数，则有XY（1）∣ρ∣≤1；XY（2）∣ρ∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）XY定义设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。

若E{[X-E(X)]k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。

若E{(X^k）（Y^p)}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+p阶混合原点矩。

若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l }，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。

高中数学第2章概率2.5.1离散型随机变量的均值讲义苏教版选修23

学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．(重点、难点) 2．掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式．(重点)3．能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题．(重点)1.经历概念构建，提升逻辑推理素养． 2．借助实际应用，培养数学抽象素养.高中数学第2章概率2.5.1离散型随机变量的均值讲义苏教版选修231．离散型随机变量的均值(数学期望)的定义若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为离散型随机变量即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i ＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.2．超几何分布、二项分布的数学期望(1)超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nM N. (2)二项分布：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .思考1：离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？[提示] ①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．思考2：随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其值随X 的变化而变化吗？ [提示] 随机变量的均值是常数，其值不随X 的变化而变化．1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16，12，13.随机变量X 表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X 的均值为( )A ．1.18B ．3.55C ．1.23D ．2.38A [因为X 的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P (X ＝1.2)＝16，P (X ＝1.18)＝12，P (X ＝1.17)＝13，所以X 的概率分布列为X 1.2 1.18 1.17 P161213则E (X )＝1.2×6＋1.18×2＋1.17×3＝1.18.]2．已知离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 P35310110则X 32 [E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.] 3．若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________．43 [E (X )＝np ＝4×13＝43.]两点分布、二项分布、超几何分布的期望学，每人3本，假设老师拿每本书是随机的，用随机变量X 表示同学甲得到的英语书的本数，则X 的数学期望为________．(2)某运动员投篮命中率为p ＝0.6. ①求投篮1次时命中次数X 的数学期望． ②求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．(1)1 [这是一个超几何分布问题，实际上是从6本书(其中英语书有2本)中取3本的问题．法一：依题意知，X 的可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2，故X 的分布列如表所示．X 0 1 2 P153515从而E (X )＝0×5＋1×5＋2×5＝1.法二：依其数学模型知，X 服从超几何分布，且n ＝3，M ＝2，N ＝6，则E (X )＝nM N ＝3×26＝1.](2)[解] ①投篮1次，命中次数X 的分布列如表：X 0 1 p0.40.6则F (②由题意得，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的数学期望． [解] 重复投篮10次，命中次数ξ服从二项分布，即ξ～B (10，0.6) ∴E (ξ)＝10×0.6＝6.2．(变设问)重复5次投篮时，命中次数为Y ，随机变量η＝5Y ＋2，求E (η)． [解] E (η)＝E (5Y ＋2)＝5E (Y )＋2＝5×3＋2＝17.1．通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便．2．超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤： (1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布； (2)找出相应的参数；(3)利用数学期望公式求E (X )．定义法求离散型随机变量的数学期望全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．[思路探究] (1)利用古典概型求解．(2)先写出X 的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解． [解] (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P111413631126E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.1．求解本题的关键是明确随机变量X 的含义，同时计算P (X ＝2)时采用了间接法． 2．定义法求数学期望的步骤： (1)确定随机变量的取值； (2)求随机变量的概率分布；(3)根据E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求数学期望E (X )．1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．[解] X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35 310110E (X )＝1×5＋2×10＋3×10＝2.离散型随机变量的均值实际应用[1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？[提示] 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P (X ＝0)＝0.3，P (X ＝1)＝0.7.2．在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？[提示] 每次平均得分为810＝0.8.3．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？ [提示] 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数．【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[思路探究]根据利润的意义、写出X 的取值→写出X 的分布列→求出数学期望E (X )→利用期望回答问题[解] (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2.P (X ＝6)＝126200＝0.63， P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1， P (X ＝－2)＝4200＝0.02. 故X 的分布列为：X 6 2 1 －2 P0.630.250.10.02(2)E (X )(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x (0≤x ≤0.29)．依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73，解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．2．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)． [解] (1)由图乙可知P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2，P (X 乙＝10)＝0.35. 所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15，P (X 甲＝9)＝0.3，所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用． 2．要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论 (1)E (C )＝C (C 为常数)；(2)E (aX 1＋bX 2)＝aE (X 1)＋bE (X 2)；(3)如果X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).1．随机变量X 的分布列为X 1 2 3P0.20.5m则X A ．2 B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化B [因为0.2＋0.5＋m ＝1，所以m ＝0.3，所以E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.] 2．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数为X ，则E (2X ＋1)等于( )A.54B.52C.3D.72D [由题可知，X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，所以E (X )＝54，所以E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝72.]。

高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_3202012251156

①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
（8）二维均匀分布
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
（6）条件分布
离散型
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
条件概率

高中数学第二章概率 25 随机变量的均值和方差数学期望在生活中的应用素材苏教版选修2-3

数学期望在生活中的应用摘要：数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。

通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括决策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价值的应用。

关键词：随机变量，数学期望，概率，统计数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。

本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。

随机变量的数学期望值：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。

（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。

期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

）单独数据的数学期望值算法：对于数学期望的定义是这样的。

数学期望E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。

在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。

1 决策方案问题决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。

高考数学第十二章第五节二项分布、随机变量的均值和方差课件理苏教

…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(2)离散型随机变量X的均值与方差
均值(数学期望)
方差
计算 E(X)=_x_1_p1___x_2p_2______x_ip_i_ 公 ____x_n_pn
式
V(X)=_i_n1__x_i __E__X___2 _pi
作反映了离散型随机变量取值刻画了随机变量X与其均值
【拓展提升】 1.求独立重复试验的概率步骤 (1)判断：依据n次独立重复试验的特征及条件，判断所给试验是否为独立重复试验. (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆. (3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解.
2.二项分布满足的条件 (1)每次试验中事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生. (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
考向 1 独立重复试验与二项分布【组典xx例 1yy】 22设不00,, 等确式定组的平0面2y区x域22为, V确.定的平面区域为U，不等式
y 0
(1)定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U内任取3个整点，
求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率.
(2)在区域U内任取3个点(不一定为“整点”)，记此3个点在区
【变式训练】设随机变量ξ ～B(2，p)，η ～B(4，p)，若
P(ξ ≥1)＝ 5 ，求P(η ≥2)的值.
9
【解析】因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又
P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝ 5 ，解得p＝ 1 ，
9
3
所以η～B(4，1 )，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)

高中数学 2.5 随机变量的均值和方差(第2课时)(二)教案

2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)课时目标1.进一步理解方差的概念，解决一些应用题.2.掌握几种特殊随机变量的方差．1．特殊随机变量的方差(1)若随机变量X ～0－1分布，则V (X )＝________.(2)若随机变量X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).(3)当X ～B (n ，p )时，V (X )＝________.2．若X 是任意一个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a 、b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (Y )＝________，V (Y )＝________.一、填空题1．若X ～B (n ，p )，E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则P (X ＝1)＝________.(用式子表示)2．某射手每次射击命中目标的概率为35，若现在连续射击3次，则击中次数X 的方差为________．3．某射手击中目标的概率为p ，则他射击一次击中目标的次数X 的期望是________，标准差是________．4．已知随机变量ξ的方差V (ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则V (η)＝________. 5．甲、乙两人同时解一道数学题，每人解出此题的概率均为0.3.设X 表示解出此题的人数，则E (X )＝________，V (X )＝________.6．假定300名同学中有20名女同学，从中抽取了3人进行体检，抽到女同学的个数为X ，则V (X )大约为________．7．已知ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝8，D (ξ)＝1.6，则n 与p 的值分别为________． 8．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．二、解答题9．同寝室的四位同学分别写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ，求：(1)随机变量X 的概率分布表；(2)X 的数学期望和方差．10．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时的误差分别为X，Y(单位：s)，其概率分布表如下表，试比较两种品牌手表的质量．X －10 1P 0.10.80.1Y －2－101 2P 0.10.20.40.20.1能力提升11．已知离散型随机变量X的概率分布如下表：X －101 2P a b c1 12若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝______，b＝________.12．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1 200 1 400 1 600 1 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1 000 1 400 1 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.11．对特殊随机变量的方差，可直接利用公式计算． 2．可以利用期望和方差对一些实际问题作出判断．2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)答案知识梳理1．(1)p (1－p ) (3)np (1－p )2．aE (X )＋b a 2Y (X ) 作业设计1．C 16×0.4×0.65解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，∴n ＝6，p ＝0.4. ∴P (X ＝1)＝C 16×0.4×0.65. 2.1825解析 X ～(3，35)，∴V (X )＝3×35×25＝1825.3．p p (1－p )4．165．0.6 0.42 6．0.123解析 X ～H (3,20,300)，则V (X )＝3×20×280×19790 000×299≈0.123.7．10,0.8解析因为ξ～B (n ，p )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝np ＝8，V (ξ)＝np (1－p )＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.8.8.125 解析 V (X )＝100p (1－p )＝100[p (1－p )]2≤100×⎣⎢⎡⎦⎥⎤p ＋(1－p )22＝25，故标准差V (X )≤5，当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时，等号成立．9．解 (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,4，则P (X ＝4)＝1A 44＝124；P (X ＝2)＝624；P (X ＝1)＝824；P (X ＝0)＝924.因此X X 0 1 2 4P 924 824 624 124(2)E (X )＝0×924＋1×24＋2×24＋4×24＝1，V (X )＝(0－1)2×924＋(1－1)2×824＋(2－1)2×624＋(4－1)2×124＝1.10．解 E (X )＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0(s)；E (Y )＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0(s)，所以E (X )＝E (Y )，所以由期望值难以判断质量的好坏．又因为V (X )＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2(s 2)V (Y )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2(s 2)，所以V (X )<V (Y )，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲质量高于乙．11.512 14解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0a ＋c ＋13＝1，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.12．解根据月工资的概率分布列，利用计算器可算得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，V (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，V (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000，因为E (X 1)＝E (X 2)，V (X 1)<V (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．。

高中数学第二章概率 2.5 随机变量的均值和方差用样

2.5 随机变量的均值和方差用样本的数字特征估计整体的数字特征典例解析用样本的数字特征估计整体的数字特征是统计的重要内容之一。

这部分内容与实际问题联系密切、思想方法独特，因此，要立足于基础知识、基本方法、基本问题的学习，要弄懂每个例题和习题解题思想方法，适当拓展思路是学习的方法。

一、用平均数估计整体（1）计算所有人员9月份的平均工资。

（2）计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？（3）去掉王某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？（4）根据以上计算，以统计的观点，你对（3）的结果有什么看法？分析计算出平均工资后，观察平均数与样本的关系，再利用王某工资的特殊性解答问题即可。

解（1）所有人员9月份平均工资为()1130004503504003203204107507x =++++++=（元）。

（2）计算出的平均工资不能反映打工人员当月的收入水平，可以看出，打工人员的工资都低于该平均工资，因为这7个值中有一个异常值，即王某的工资特别高，他的工资对平均工资的影响较大。

（3）去掉王某的工资后的平均工资为()214503504003203204103756x =+++++=（元）。

该平均工资能代表一般打工人员当月的收入水平。

（4）从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据。

说明在用平均数估计整体的时候，样本中的每一个数据一般都会影响到平均数的大小，因此，在实际操作过程中，一定要注意个别“特殊”的数据对平均数的影响。

例2 某校学生日睡眠时间的抽样频率分布如下：试估计该校学生的平均日睡眠时间。

分析要确定这100名学生的平均睡眠时间，就必须计算总日睡眠时间，由于每组中个体睡眠时间是一个范围，故可以用各组区间的组中值近似表示。

另外，也可以用频率计算。

解方法一：平均日睡眠时间为：()16.255 6.75177.25337.75378.2568.7527.39()100h ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即平均日睡眠时间约为7.39h 。

高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差数学期望与方差素材苏教版选修

随机变量的数字特征学习目的与要求：本章主要讨论随机变量的数字特征，概率分布全面地描述随机变量取值的统计规律性，而数字特征则描述这种统计规律性的某些重要特征。

本章总的要求是：理解期望与方差的概念，掌握期望与方差的性质与计算，会计算随机变量函数的期望；掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的期望与方差；了解协方差、相关系数的概念和性质，会求相关系数，知道矩与协方差阵的概念及求法。

重点内容是：期望、方差、协方差的计算，随机变量函数的数字期望；难点内容是：随机变量函数的数学期望。

3.1 数学期望与方差3.2 协方差、相关系数、协方差矩阵 3.3 条件数学期望与回归 3.4 特征函数及其性质3.1 数学期望与方差 1. 随机变量的期望１）离散型随机变量的期望设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的数学期望（简称均值或期望）为∑=iii px X E )(。

２）连续型随机变量的期望1设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，则随机变量X 的数学期望（或称期望或均值），记为)(X E ，即dx x xf X E ⎰+∞∞-=)()( 。

2连续型随机变量函数的数学期望设X 为连续型随机变量，其概率密度为)(x f X ，又随机变量)(X g Y =，则dx x f x g X g E Y E X )()())(()(⎰+∞∞-== 。

３）二维随机变量函数的期望1若),(Y X 为离散型随机变量，若其分布律为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i ，边缘分布律为2,1,}{.====∑i p x X P p jij i i 和 2,1,}{.====∑j p y Y P p iij j j则ijiijii i px p x X E ∑∑∑==.)(，ijjijiji py p y Y E ∑∑∑==.)(2 若),(Y X 为二维连续型随机变量，),(y x f ，)(x f X ，)(y f Y 分别为),(Y X 的概率密度与边缘概率密度，则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-==dxdy y x xf dx x xf X E X ),()()(，⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-==dxdy y x yf dy y yf Y E Y ),()()(。

高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差数学期望在生活中的应用素材苏教版选修(1)