第一次作业

David
X (0) 1 2 3 4 10 X (1) ................... (1 2 ) (3 3 2 ) j X (2) ................... 2 2 j X (3) ................... (1 2 ) (3 2 ) j

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DTFT [ x(2n)]
n
x(2n)e jwn

m为偶数
x(m)e jwm / 2
1 [ x(n) (1) n x(n)]e jwn / 2 n 2
w j ( ) n 1 1 x(n)e jwn / 2 x(n)e 2 2 n 2 n w w j j 1 1 X (e 2 ) X ( e 2 ) 2 2
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5. 知x(n) X (e jw )，试求下列序列的DTFT。 n (1) x(2n)； (2) x( )； (3) x * (n)。 2
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解： (1) DTFT [ x(n)] X (e jw )
n
x(n)e jwn
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2. 已知x1 (n) (n) 2 (n 2) (n 4)；x2 (n) 3 (n 1) (n 3)，试分别用直接计算法和线 性卷积法计算y (n) x1 (n) x2 (n)。
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(3) DTFT [ x(n)] X (e jw ) DTFT [ x (n)]

n
x(n)e jwn


n
x (n)e jwn [ x(m)e jwm ]
m
X (e jw )
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X (0) 1 2 3 4 10 X (1) ................... 2 2 j X (2) ................... 2 X (3) ................... 2 2 j
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7. 知x(n) a nu (n)， a 1 0 ，现对X ( z )在单位圆上 N等分采样，采样X (k ) X ( z ) | z W k , 求有限长
N
序列IDFT [ X (k )]。
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解： 频域抽样对应时域周期延拓 IDFT [ X (k )]
n
| u (n) | 非稳定系统

系统是因果不稳定系统。
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(4)h(n) u (3 n) u (3 n)包含n 0项 非因果系统
n
| u (3 n) | 非稳定系统

系统是非因果不稳定系统。
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1. 试分析下列系统的因果性和稳定性。 (1)h(n) (n)； (3)h(n) u (n)； (2)h(n) (n n0 )； (4)h(n) u (3 n)；
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判断依据： 因果系统 — 输出序列一定在加入输入序列 之后才出现的系统。即系统输出只取决于 此刻及此刻以前的输入，而与未来的输入 无关。 稳定系统 — 输入信号有界，输出信号也必 有界的系统。
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n
| (n n ) | 1 稳定系统
0

n0 0时系统是因果稳定系统； n0 0时系统是非因果稳定系统。
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(3)h(n) u (n) 当n 0时 u (n) 0 因果系统
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解：
kn (1) X (k ) x(n)WN n 0 kn [ (n) 2 (n 1) 3 (n 2) 4 (n 3)]WN n 0 N 1 N 1
1 2W4k 3W42 k 4W43k
0k 3
r
x(n rN )
r

a n rN u (n rN ) n 0,1,..., N 1
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n rN 0 u (n rN ) 1 0 n N 1 r只能取正值，即r 0 IDFT [ X (k )] a n rN
r 0
an 1 aN
n 0,1,..., N 1
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8. 设有两个序列{1 2， 4， 0，}和{1 1 1 1 0， 0} ， 3， 5， 0 ， ， 0， ， ，， 试求： (1)它们的周期卷积(周期长N 7)； (2)它们的圆周卷积(序列长N 7)。
X2(-m)
X2(-1-m) X2(1-m) 1
1
3 1
3
3
Y(0)=0
Y(-1)=2*3=6 Y(1)=1*2+3*1=5
X2(2-m)
X2(3-m) X2(4-m) X2(5-m) X2(6--m) X2(7-m)
1
1
3
3 1 1 1 1 3 3 3 3
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Y(2)=0
Y(3)=1*1=0 Y(4)=0 Y(5)=3*(-1)=-3 Y(6)=0 Y(7)=1*(-1)=-1
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解： ~ (1) w(n) ~ (m) ~ (n m) x y
m 0 N 1
N 7
~ w(n) {..., 6,3,6,10,14,12,9,...} ~ w(n)是周期序列 运算过程如下 :
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kn (2) X (k ) x(n)WN n 0 kn [ (n) 2 (n 1) 3 (n 2) 4 (n 3)]WN n 0 N 1
N 1
1 2W8k 3W82 k 4W83k
0k 7
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解： (1)h(n) (n) 当n 0时 (n) 0 因果系统
n
| (n) | 1Байду номын сангаас 稳定系统

系统是因果稳定系统。
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(2)h(n) (n n0 ) 1 n n0 (n n0 ) 0 n n0 n0 0 时为因果系统 n0 0 时为非因果系统
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(2)系统因果稳定 ROC ：z | a | 极点z p a；零点z0 a 1
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j Im[ z ]
0
a
a
1
Re[ z ]
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e jw a 1 (cos w a 1 ) j sin w (3) H (e jw ) jw e a (cos w a) j sin w (cos w a 1 ) 2 sin 2 w 1 | H (e jw ) | | | (常数) 2 2 (cos w a) sin w a 该系统是全通系统。
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X (4) ................... 2 X (5) ................... (1 2 ) (3 3 2 ) j X (6) ................... 2 2 j X (7) ................... (1 2 ) (3 2 ) j
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6. 试求下列序列的DFT。 (1) N 4，x(n) (n) 2 (n 1) 3 (n 2) 4 (n 3)； (2) N 8，x(n) (n) 2 (n 1) 3 (n 2) 4 (n 3)。
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(2)线性卷积法 X 1 ( z ) 1 2 z 2 z 4；X 2 ( z ) 3z 1 z 3 Y ( z) X1 ( z) X 2 ( z) 6 z 5 z 1 z 3 3z 5 z 7 y (n) 6 (n 1) 5 (n 1) (n 3) 3 (n 5) (n 7)
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3. 如图所示系统，写出系统的差分方程。若初始条件 y (n) 0，n 0，求x(n) (n)时的y (n)。
x(n)
y (n)
延时T
2
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解： 系统的差分方程：y (n) x(n) 2 y (n 1) y (n) 0，n 0 y (n)是左序列 Y ( z) 1 H ( z) X ( z ) 1 2 z 1 1 X ( z) 1 Y ( z) 1 2 z 1 y (n) 2 n u (n 1)
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1 a 1 z 1 4. 设一个线性时不变系统H ( z ) (a为实数)。 1 1 az (1)若要求系统稳定，求a的范围； (2)若0 a 1 ，绘出零积极点图及收敛域； (3)证明系统为全通系统。
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解： 1 a 1 z 1 z a 1 (1) H ( z ) 1 1 az za 极点z p a；零点z0 a 1 系统稳定 极点在单位圆内 0 | a | 1 当 | a | 1时，系统因果稳定。 当0 | a | 1时，系统因果稳定。
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(2) DTFT [ x(n)] X (e jw )
n
x(n)e jwn

n n jwn DTFT [ x( )] x( )e x(m)e j 2 wm 2 2 n为偶数 m
X (e j 2 w )
解： (1)直接计算法 y (n) x1 (n) x2 (n)
m
x ( m) x ( n m)
1 2

方法一： 计算过程如下：
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线性卷积运算过程
m X1(m) X2(m) … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 … 2 1 3 -1 1 Y(n)
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y(n) x1 (n) x2 (n) {6,0,5,0,1,0,3,0,1}
方法二： y (n) [ (n) 2 (n 2) (n 4)] [3 (n 1) (n 3)] 3 (n 1) (n 3) 6 (n 1) 2 (n 1) 3 (n 5) (n 7) 6 (n 1) 5 (n 1) (n 3) 3 (n 5) ( n 7)