七年级数学梳理知识点：一元二次方程高端解法
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。
方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。
方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。
方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。
例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，x的解为x=-2或x=-3。
方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。
以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。
掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。
七年级一元二次方程知识点
七年级一元二次方程知识点一元二次方程是初中数学中非常重要的一部分，七年级阶段的学生需要掌握一些基本知识点。
本文将从定义、一元二次方程的一般形式、解方程的方法、常见应用等方面进行详细讲解。
一、定义一元二次方程是指一次项的系数为0，二次项的系数不为0，且只含有一个未知数x的方程。
一元二次方程一般写成ax²+bx+c=0的形式，其中a，b，c为已知常数，且a≠0。
二、一元二次方程的一般形式一元二次方程一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数且a≠0。
其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
三、解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法有两种：配方法和公式法。
配方法是指通过“配方”的方式使方程变形，将一元二次方程化为x²=常数的形式，从而求出未知数x的值。
公式法是指利用求根公式(-b±√(b²-4ac)) / 2a求出一元二次方程的解。
其中，当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程无实数根，但可以用虚数表示。
四、常见应用一元二次方程在生活中有着广泛的应用，比如用来求某些问题的解析式、计算物理问题中的加速度、情境模拟题等等。
例如，一个地面上的自行车骑行者，头戴安全帽，速度为8.8米每秒。
从他的额头和安全帽顶之间，飞过一只昆虫，昆虫的速度是3米每秒。
骑车者头上离地面的高度为2.8米。
已知昆虫经过的时间与骑车者的观察时间相同(均为0.03秒)。
求毫秒级别下昆虫与地面距离的具体数值。
解法：将昆虫飞行的竖直向量的速度分解成加速度与初速度两个向量的和。
假设昆虫距离地面高度为x，将昆虫的竖直向量的速度分解：v（昆虫）=（u² + 2as）½ ，并得到 a=250/3 ，t=0.03,find x.2.8+x=ut+1/2*a*t²，解得x=0.36733574 米五、总结在数学学习中，正确掌握一元二次方程的知识点是非常重要的。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
初中数学重点梳理：一元二次方程
一元二次方程知识定位一元二次方程是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种。
要熟练掌握一元二次方程的定义及定理以及解法和根的判别。
同时一元二次方程的实际应用题，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中一元二次方程相关问题的常见题型及其求解方法。
本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x a =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b c +=±④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+=此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b aca x c x a a a a -⇒+=-⇒+=示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
初高中衔接之一元二次方程及其解法
初高中衔接之一元二次方程及其解法【知识梳理】1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为 _____ 4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．5. 对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：_______________________；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：______________________；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
【例题精讲】 例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋3＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0例2．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3. 若3是关于方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）A 、﹣2B 、2C 、﹣5D 、5例4.已知关于x 的一元二次方程22(21)10m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是___________例5.不解方程，判别方程两根的符号例6.若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，则x 12+x 22=【当堂检测】 1．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是2.如果关于x 的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ． 3.已知x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是4. 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝05.解下列方程（1）．02522=-+）（x （直接开平方法） （2）. 0542=-+x x （配方法）（3）．210250x x -+=（因式分解法） （4）. 03722=+-x x （公式法）（5）.2x 2-9x-5=0 （因式分解法） （6）2(51)3(51)0x x ---=（因式分解法）.【课后作业】一、选择题1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+22.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 3.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、124.若关于y 的一元二次方程ky 2-7y-7=0有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>74且k ≠0 二．填空题5.()x x 6542=+-化成一般形式是___________，其中一次项系数是___________6.若()()______________054==-+x x x ，则7.已知一元二次方程022=+-mx mx 有两个相等的实数根，则m 的值为____________8.22____)(_____3-=+-x x x9.已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.10.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.11.关于x 的方程0132=+-x x _____实数根.（注：填写“有”或“没有”）12.已知一元二次方程x 2﹣3x+1=0的两个实数根分别为x 1、x 2，则（x 1﹣1）（x 2﹣1）的值为_________________三、解答题13、用适当的方法解下列方程（每小题6分，计24分）（1）()9322=-x ； （2）267x x -=；（3）051632=++x x ； （4）2(3)2(3)x x x -=-；（5）2281x x -=。
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它可以通过求解来确定方程的根或解。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、图像法等。
本文将对这些方法进行归纳总结，以便读者更清晰地理解和应用一元二次方程的解法。
一、公式法公式法是解一元二次方程最常用的方法之一，它基于一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0。
一元二次方程的解可通过求根公式得到。
求根公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
1. 判别式D = b^2 - 4ac。
- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。
- 当D = 0时，方程有两个相等的实根。
- 当D ＜ 0时，方程没有实根。
2. 根据判别式的情况，求解一元二次方程的根。
- 当D > 0时，方程的两个根为 x1 = (-b + √D)/(2a) 和 x2 = (-b -√D)/(2a)。
- 当D = 0时，方程的两个根为 x1 = x2 = -b/(2a)。
- 当D ＜ 0时，方程没有实根。
公式法适用于所有一元二次方程，但需注意的是，当D ＜ 0时，方程没有实数解，因此解为复数，需要用复数域来表示。
二、配方法对于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方差、平方差、求负等，可以通过配方法将其转化成更容易求解的方程，进而求得解。
1. 完全平方差形式对于形如(x ± a)^2 = b的方程，可利用完全平方差公式，将其转化为(x ± a) = √b的形式，然后解得解x。
2. 平方差形式对于形如x^2 - a^2 = b的方程，可通过配方法将其转化为(x + a)(x -a) = b的形式，然后选取合适的值求解。
3. 求负对于形如x^2 + px = q的方程，可通过将方程两边同乘以负一进行转化，变为x^2 - px = -q的形式，然后应用配方法解方程。
配方法是解特殊形式一元二次方程的有效方法，通过将方程转化为更简单的形式，能够简化解的过程。
七年级一元二次方程知识点总结
七年级一元二次方程知识点总结
一元二次方程是中学数学中的重要内容之一。
在七年级研究一元二次方程时，主要包括以下几个知识点：
1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c分别为已知数，而x是未知数。
2. 一元二次方程的解：解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、求根公式等方式。
其中最常用的方法是求根公式，即利用二次方程的求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
3. 一元二次方程的判别式：判别式可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。
判别式Δ = b^2 - 4ac，通过判别式的值可以分为三种情况：当Δ > 0时，方程有两个不同实数解；当Δ = 0时，方程有两个相等实数解；当Δ < 0时，方程没有实数解。
4. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线。
通过方程中的a的正负和判别式的值可以判断抛物线的开口方向和位置。
5. 一元二次方程的应用：一元二次方程在生活和实际问题中有
许多应用。
例如，可以用一元二次方程求解一个物体的抛射问题、
轨道问题、距离问题等。
以上是七年级研究一元二次方程的主要知识点总结。
通过掌握
这些知识点，可以更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题。
参考资料：
- 《数学七年级上册》教材
- 《中学数学七年级上册》辅导书。
初中数学知识归纳一元二次方程的解
初中数学知识归纳一元二次方程的解初中数学知识归纳：一元二次方程的解一元二次方程是初中数学中的重要知识点，它是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0。
解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、公式法等多种方法来完成。
在本文中，我将对一元二次方程的解的相关内容进行归纳总结。
一、因式分解法对于形如ax²+bx+c=0的一元二次方程，如果可以通过因式分解的方法将其转化为两个一次方程相乘的形式，即可求得方程的解。
例如，对于方程x²-5x+6=0，可以将其因式分解为(x-2)(x-3)=0，从而得到x=2或x=3两个解。
二、配方法当一元二次方程无法通过因式分解法进行解时，可以尝试使用配方法。
配方法的基本思想是将一元二次方程中含有x²的项与常数项c进行配对，通过添加适当的常数k，使得方程可以转化为一个完全平方的形式。
例如，对于方程x²-6x-7=0，我们可以通过添加适当的常数k，使得方程左侧成为一个完全平方，即(x-3)²=k。
经过计算可以得到k=16，进而得到方程(x-3)²=16。
通过开平方可以得到(x-3)=±4，即x=7或x=-1。
三、公式法如果一元二次方程无法通过因式分解和配方法进行解，我们可以借助一元二次方程的求根公式来求解。
一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)其中，方程ax²+bx+c=0的解为x。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，我们可以直接代入公式，得到x=(-(-5)±√((-5)²-4*2*2))/(2*2)。
经过计算可以得到两个解x=0.5或x=1。
四、判别式在使用公式法求解一元二次方程时，判别式D=b²-4ac的值可以提供额外的信息。
判别式的值可以判断方程有几个实数根，并且可以推导出方程的根的性质。
2020-2021学年七年级数学梳理知识点：一元二次方程高端解法
一元二次方程高端解法
一、直接开平方法 二、配方法 三、公式法
用配方法解关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a 0)
x1,2 b
b2 4ac 2a
b2 4ac
0
判别式为：△＝b2－4ac，则：
①△＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a 0)
知识框架重现 一、直接开平方法 二、配方法 三、公式法 四、因式分解法
幸遇•共勉：
思思
你见，或者不见我 我就在那里 不悲不喜
你念，或者不念我 课就在那里 不来不去
你爱，或者不爱我 有效期就在那里
不增不减 你跟，或者不跟我 我的手就在你手里
不舍不弃 来我的班里
或者
2
让我住进你的心里 大海，思思 寒假与你 再相聚
3
【例1】 用公式法解方程：
⑴x2－2x－2＝0
⑵ 3x2 6x 1
⑶3x－1＝-2x2
⑷ x 1x 1 2 2x
一、直接开平方法 二、配方法 三、公式法 四、因式分解法
1
【例2】 ⑴ x2－3x－28＝0
⑵ 2x2－x－15＝0
⑶(x－1)2＋2(x－1)＝0
⑷ 3(x－2)＝4x－2x2
⑸(x－1)2－2(x－1)＝-1 ⑹4(x＋3)2－(x－2)2＝0
x1,2 b 有两个不相等的实数根
b2 4ac 2a
②△＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a 0)
b 有两个相等的实数根 x1 x2 2a
③△＜0 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 没有实数根。
公式法的一般步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定a、b、c的值； ③代入b2－4ac中计算其值，判断方程是否有实数根； ④若b2－4ac≥0代入求根公式求值；否则，原方程无实数根。
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x . 例2. 解下列方程:（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x 33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x ()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x ∴232,23221-=+=x x . 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是 【 】（A ）032=-x （B ）()0412=--x （C ）022=+x （D ）()()2221-=+x 习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=ba 【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .习题5. 解下列方程:（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）二、因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:（1）移项 把方程的右边化为0;（2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;（3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;（4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.例1. 用因式分解法解方程:x x 32=.解:032=-x x()03=-x x∴0=x 或03=-x∴3,021==x x .例2. 用因式分解法解方程:()()01212=---x x x . 解:()()0211=---x x x()()()()011011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x∴1,121-==x x .例3. 解方程:121232-=-x x .解:0121232=+-x x()()023044322=-=+-x x x∴221==x x .例4. 解方程:332+=+x x x .解:()0332=+-+x x x()()()()0310131=-+=+-+x x x x x∴01=+x 或03=-x∴3,121=-=x x .因式分解法解高次方程例5. 解方程:()()0131222=---x x . 解:()()031122=---x x()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x∴2,2,1,14321=-==-=x x x x .例6. 解方程:()()0343222=+-+x x . 解:()()043322=-++x x()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x∵032>+x∴()()011=-+x x∴01=+x 或01=-x∴1,121=-=x x .用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=∆≥0且∆的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.例7. 解方程:0652=+-x x .分析:()124256452=-=⨯--=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x∴02=-x 或03=-x∴3,221==x x .例8. 解方程:03722=++x x .分析:25244932472=-=⨯⨯-=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:()()0312=++x x∴012=+x 或03=+x ∴211-=x ,32-=x . 例9. 设方程()012012201420132=-⨯-x x 的较大根为a ,方程020*******=-+x x 的较小根为b ,求b a -的值.解:()012012201420132=-⨯-x x ()()()()()()()0120131011201301201320130112013120132013222222=+-=-+-=-+-=--⨯+-x x x x x x x x x x∴01=-x 或0120132=+x ∴22120131,1-==x x ∵a 是该方程的较大根∴1=a020*******=-+x x()()020121=+-x x∴01=-x 或02012=+x∴2012,121-==x x∵b 是该方程的较小根∴2012-=b∴()201320121=--=-b a .习题1. 方程x x 22=的根是__________.习题2. 方程()022=-+-x x x 的根是__________.习题3. 方程0442=+-x x 的解是__________.习题4. 方程()()232+=-+x x x 的解是__________.习题5. 如果()0211+=--x x x ,那么x 的值为 【 】 （A ）2或1- （B ）0或1（C ）2 （D ）1-习题6. 方程()x x x =-2的根是__________.习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程0862=+-x x 的根,则该三角形的周长为__________.习题8. 解下列方程:（1）()()x x x -=-2223; （2）()1232+=+x x ;（3）()222344x x x -=+-; （4）2422-=-x x .习题9. 解下列方程:（1）0322=--x x ; （2）0452=+-x x .习题10. 解方程:()()01122122=++++x x .三、配方法解用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例1. 用配方法解方程:0142=--x x .解:142=-x x()5252414422±=-=-+=+-x x x x ∴52=-x 或52-=-x ∴52,5221-=+=x x .例2. 解方程:03232=-+x x .分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”. 解:3232=+x x910319119132132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+x x x x x 31031±=+x ∴31031=+x 或31031-=+x ∴31031,3103121--=+-=x x . 例3. 用配方法解关于x 的方程:02=++q px x （q p 42-≥0）.解:q px x -=+224244244222222q p p x q p p x p q p px x -±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++∴242,24222q p p x q p p x --=+-=+ ∵q p 42-≥0 ∴24,242221q p p x q p p x ---=-+-=. 说明: q p 42-≥0既是二次根式q p 42-有意义的条件,也是一元二次方程02=++q px x 有实数根的前提.因此把q p 42-叫做一元二次方程02=++q px x 的根的判别式.习题1. 用配方法解方程0142=++x x ,配方后的方程是 【 】（A ）()322=+x （B ）()322=-x （C ）()522=-x （D ）()522=+x 习题 2. 若方程082=+-m x x 可以通过配方写成()62=-n x 的形式,那么582=++m x x 可以配成 【 】（A ）()152=+-n x （B ）()12=+n x （C ）()1152=+-n x （D ）()112=+n x 习题3. 用配方法解方程:（1）012=-+x x ; （2）01632=+-x x ;（3）0652=--x x ; （4）011242=--x x .四、公式法一元二次方程的求根公式一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的求根公式为:aac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0） 当042<-ac b 时,一元二次方程无实数根.例1. 证明一元二次方程的求根公式.分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.证明:02=++c bx axaac b a b x a ac b a b x ab ac a b x a b x ac x a b x cbx ax 2424424422222222222-±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+-=+ ∴a ac b a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ ∴aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-= 即一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根为a ac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）. 注意:当ac b 42-≥0时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,方程无实数根.公式法解一元二次方程的一般步骤:用公式法解一元二次方程的一般步骤是:（1）把一元二次方程化为一般形式;（2）确定c b a ,,的值,包括符号;（3）当ac b 42-≥0时,把c b a ,,的值代入求根公式求解;当042<-ac b 时,方程无实数根.例1. 用公式法解方程:0622=-+x x .分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定c b a ,,的值,包括符号.解:6,1,2-===c b a∴()496241422=-⨯⨯-=-ac b ∴4714491±-=±-=x ∴2471,2347121-=--==+-=x x . 例2. 解下列方程:（1）242=+x x ; （2）x x x 8110442-=++.解:（1）0242=-+x x()24244422=-⨯-=-ac b ∴6226242244±-=±-=±-=x ∴62,6221--=+-=x x ;（2）091242=++x x014414494412422=-=⨯⨯-=-ac b ∴80128012±-=±-=x ∴2321-==x x . 说明:当042=-ac b 时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个相等的实数根. 例3. 解方程:0162=+-x x .解:()3243646422=-=--=-ac b ∴22322462326±=±=±=x ∴223,22321-=+=x x .用公式法解一元二次方程获得的启示对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）,可以用c b a ,,的值确定方程解的情况以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式ac b 42-有意义的条件即为方程有解的条件:当ac b 42-≥0时,二次根式ac b 42-,一元二次方程有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,一元二次方程无实数根.（1）当042>-ac b 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;（2）当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根.把ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式,用“∆”表示,所以ac b 42-=∆.在不解方程的前提下,可以由∆的符号确定一元二次方程根的情况.习题1. 解方程:（1）622=-x x ; （2）21342-=--x x x ;（3）0222=+-x x ; （4）()122-=+x x .习题2. 已知a 是一元二次方程0142=+-x x 的两个实数根中较小的根.（1）求201842+-a a 的值; （2）化简并求值:aa a a a a a a 112121222--+---+-.五、换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的.换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例1. 解方程:03224=--x x .分析:这是一元四次方程,可设y x =2（注意:y ≥0）,这样通过换元就把原方程转化为关于 y 的一元二次方程.解:设y x =2,则有:y ≥0∴0322=--y y()()031=-+y y∴01=+y 或03=-y∴3,121=-=y y∵y ≥0∴3=y （1-=y 舍去）∴32=x ∴3,321-==x x .用换元法解具有一定结构特点的方程例2. 解方程:()()022322=+---x x . 分析:注意到该方程中整体()2-x 出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.解:设t x =-2,则有:0232=+-t t()()021=--t t∴01=-t 或02=-t∴2,121==t t∴12=-x 或22=-x∴4,321==x x .例3. 解方程:()()0128222=+---x x x x . 分析:本题中的方程若展开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.解:设y x x =-2,则有:01282=+-y y()()062=--y y∴02=-y 或06=-y∴6,221==y y∴22=-x x 或62=-x x解方程22=-x x 得:2,121=-=x x ;解方程62=-x x 得:3,221=-=x x综上,原方程的解为3,2,2,14321=-==-=x x x x .例4. 解方程:112122=+-+x x x x . 分析:方程中21xx +与12+x x 互为倒数,若设t x x =+21,则t x x 112=+,经过这样的换元,最后可把原方程转化为关于t 的整式方程,且为一元二次方程.解:设t x x =+21,则有:12=-tt 整理得:022=--t t()()021=-+t t∴2,121=-=t t ∴112-=+x x 或212=+x x 由112-=+xx 得:012=++x x ,此时方程无解; 由212=+xx 得:0122=--x x ,解之得:1,2121=-=x x . 综上,原方程的解为1,2121=-=x x .例5. 解方程:01122=+++xx x x .分析:设y x x =+1,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+y x x x x .解:01122=+++x x x x02112=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设y x x =+1,则有:022=-+y y()()021=+-y y∴01=-y 或02=+y∴2,121-==y y ∴11=+x x 或21-=+x x 由11=+x x 得:012=+-x x ,此时方程无解; 由21-=+x x 得:0122=++x x ,解之得:121-==x x .综上,原方程的解为121-==x x .本题变式: 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是【 】 （A ）1或2- （B ）1-或2 （C ）1 （D ）2-例6. 已知()()1212222=+++y x y x ,求22y x +的值.分析:整体设元:设m y x =+22,则m ≥0,据此注意根的取舍.解:设m y x =+22,则有:m ≥0∴()121=+m m整理得:0122=-+m m解之得:4,321-==m m∵m ≥0 ∴3=m∴22y x +的值为3.习题1. 解下列方程:（1）()()6222=+++x x x x ; （2）()()061512=+---x x .习题2. 解方程:1222=---xx x x .习题3. 阅读下面的材料,回答问题:解方程04524=+-x x ,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是: 设y x =2,则原方程变形为:0452=+-y y ①解之得:4,121==y y当1=y 时,12=x ,解之得:1±=x ;当4=y 时,42=x ,解之得:2±=x .综上,原方程的解为:2,2,1,14321-==-==x x x x .（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用_________法达到_________的目的,体现了数学的转化思想;（2）解方程:()()0124222=-+-+x x x x .特殊一元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.例1. 解方程:()()7751522=++++x x x x .分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设t x x =++152,这样就能把原方程转化为关于t 的一元二次方程. 解:设t x x =++152,则原方程可转化为:()76=+t t∴0762=-+t t()()071=+-t t∴01=-t 或07=+t∴7,121-==t t∴1152=++x x 或7152-=++x x由1152=++x x 得:052=+x x ,解之得:5,021-==x x ;由7152-=++x x 得:0852=++x x ,此时方程无解.综上,原方程的解为5,021-==x x .例2. 解方程:022=-+x x .解法1:当x ≥0,原方程可化为:022=-+x x ,解之得:1=x （2-=x 舍去）;当0<x 时,原方程可化为:022=--x x ,解之得:1-=x （2=x 舍去）.综上所述,原方程的解为1,121-==x x .解法2:原方程可化为:022=-+x x ∴()()021=+-x x ∵02>+x ∴1,01==-x x∴1,121-==x x∴原方程的解为1,121-==x x .解法3:（图象法）原方程可化为:x x =+-22 设x x g x x f =+-=)(,2)(2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示.∵两个函数的图象有两个交点()1,1-和()1,1 ∴方程x x =+-22有两个实数根,且根为1,121=-=x x∴原方程的解为1,121=-=x x .习题1. 参照例2的解法,解方程:03362=+---x x x .例3. 解方程:()()()()484321=----x x x x .解:()()()()483241=----x x x x∴()()48654522=+-+-x x x x设t x x =+-552,则有:()()4811=+-t t∴49,48122==-t t∴7,721-==t t当7552=+-x x 时,解之得:2335,233521-=+=x x ; 当7552-=+-x x 时,此时方程无解.综上所述,原方程的解为2335,233521-=+=x x . 习题2. 方程027422=-+-x x 的所有根的和为_________.习题3. 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是 【 】 （A ）1或2-（B ）1-或2 （C ）1（D ）2-。
初中数学 如何解一元二次方程
初中数学如何解一元二次方程解一元二次方程是数学中的重要内容，它涉及到方程的求解和应用。
在这篇文章中，我们将详细讨论解一元二次方程的各种方法，并提供实例进行说明。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的目标是找到方程成立的x的值。
接下来，我们将介绍几种常用的解一元二次方程的方法：1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，我们可以使用因式分解法求解。
例如，考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0。
我们可以将这个方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
然后，我们令每个因式等于零，解得x = 2和x = 3。
因此，方程的解为x = 2和x = 3。
2. 配方法：配方法是一种常用的解一元二次方程的方法。
它的基本思想是通过对方程进行变形，将方程转化为一个完全平方的形式。
例如，考虑方程x^2 + 6x + 9 = 0。
我们可以将方程写成(x + 3)^2 = 0。
然后，我们令(x + 3)^2 = 0，解得x = -3。
因此，方程的解为x = -3。
3. 完全平方公式：完全平方公式是解一元二次方程的常用方法。
它是通过对一元二次方程的一般形式应用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。
我们可以将方程中的a、b、c代入完全平方公式，计算得到x = (4 ± √(16 - 12)) / 2。
进一步计算，得到x = (4 ± √4) / 2，即x = (4 ± 2) / 2。
最终，解方程，得到x = 3和x = 1。
因此，方程的解为x = 3和x = 1。
4. 公式法：公式法是解一元二次方程的一种直接方法。
它是通过对一元二次方程的一般形式应用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程的解法技巧
一元二次方程的解法技巧
1. 直接开平方法，简单又好用哦！就像解方程x²=4，那 x 不就等于正负 2 嘛，一下子就解出来啦，多爽！
2. 配方法，哇，可神奇啦！比如解方程x²+6x+5=0，把它配成完全平方的形式，就像给它穿上合适的衣服一样，然后就容易解啦！
3. 公式法，这可是个厉害的家伙呢！不管啥样的一元二次方程都能搞定。
比如面对2x²+3x-1=0，直接用公式一套，答案就出来啦，酷不酷？
4. 因式分解法，嘿嘿，这就像是拆礼物一样好玩！像解x²-5x+6=0，一下子分解成(x-2)(x-3)=0，那答案不就显而易见啦！
5. 观察对称，有时候方程就像对称的艺术品，抓住对称轴能省好多事儿呢！比如某个方程的图像是对称的，那利用这点来解题，不是很棒嘛？
6. 代入试探，就像摸着石头过河，试试这个值，试试那个值，说不定就找到答案啦！遇到一个比较难搞的方程，咱就一个个去试呀。
7. 利用图像，一元二次方程的图像可是会说话的哟！看着图像的走势，就大概能知道答案在哪个范围啦，多有趣！
8. 巧妙变形，有时候给方程变个小魔术，把它变个样子，解题就容易多啦！就好像把一个复杂的东西变简单啦，哈哈！
我觉得这些解法技巧都超有用的呀，掌握了它们，解一元二次方程就不再是难题啦！。
初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其解法
初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其
解法
知识点总结
一.一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程。
二.一元二次方程的解法：
4.分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
分解因式法的理论依据是几个数的积为0，那几个数中至少有一个0。
常见考法
一元二次方程概念和解法是中考命题的重点，一般用填空、选择题来考查概念和有关的基础知识，用解答题来考解法。
且一元二次方程的解法灵活多变，涉及的知识面广，在根的判别式、根与系数的关系淡化后，这是考查本知识的较佳出题点之一。
误区提醒
(1)对一元二次方程的概念不清，导致错误;
(2)利用配方法解方程时，弄错常数项;
(3)利用公式法解方程时，在确定各项系数时漏掉“-”号。
初中一元二次方程的解法
初中一元二次方程的解法一元二次方程是数学中的重要概念，其解法也是初中数学学习中的重点内容。
下面我将详细介绍初中一元二次方程的解法，包括基本概念、求解思路以及常用的解法方法。
一、基本概念一元二次方程是指具有形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0，x是未知数。
方程中的a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
二、求解思路求解一元二次方程的思路主要分为两步：1.将一元二次方程化为标准形式；2.根据方程的特点选择合适的解法进行求解。
三、常用解法方法1.因式分解法当一元二次方程的系数较为简单，或存在公因式时，可以使用因式分解法求解。
步骤：1）将方程移项，化为ax^2 + bx + c = 0的形式；2）对方程中的二次项、一次项和常数项进行因式分解；3）令方程中各个因式为0，解得方程的根。
例题：求解方程2x^2 - 5x + 3 = 0。
解：将方程移项，得2x^2 - 5x + 3 = 0。
观察方程的系数，发现方程中的一次项系数-5可以表示为2和-3的和，且方程中的常数项3可以表示为2和1的积。
因此，可以将方程进行因式分解，得到2x^2 - 5x + 3 = 0，即（2x - 3）(x - 1) = 0。
令（2x - 3）= 0和（x - 1）= 0，解得x = 3/2和x = 1。
所以，方程2x^2 - 5x + 3 = 0的解为x = 3/2和x = 1。
2.公式法当一元二次方程不易通过因式分解法求解时，可以使用公式法求解。
步骤：1）将方程移项，化为ax^2 + bx + c = 0的形式；2）根据公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，计算出方程的根。
例题：求解方程3x^2 - 4x - 1 = 0。
解：将方程移项，得3x^2 - 4x - 1 = 0。
根据公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，其中a=3，b=-4，c=-1，代入公式计算得：x = [-(-4) ± √((-4)^2 - 4×3×(-1))]/(2×3) = [4 ±√(16 + 12)]/6 = [4 ± √28]/6。
一元二次方程七年级知识点
一元二次方程七年级知识点在初中数学中，一元二次方程是一个重要的知识点，也是比较难理解的一部分内容。
下面我们来详细了解一下一元二次方程的相关知识点。
1. 一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，x为未知数。
一元二次方程是关于未知数x的二次方程，也就是说，未知数最高次幂是2，常数项为0。
该方程中a、b、c三个常数可以是任意实数，但是a的系数不能为0。
例如：2x²+4x-3=0就是一元二次方程的一个实例。
2. 一元二次方程的解法一元二次方程的解法有很多种，其中最常用的方法是配方法和因式分解法。
（1）配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法，它的主要思想是利用方程两边相等，将一元二次方程变形为(a±b)²的形式，然后利用开平方的方法得到未知数x的值。
例如：对于一元二次方程2x²+4x-3=0，我们可以将其变形为2(x+1)²-5=0的形式，然后再利用开平方的方法求解。
（2）因式分解法因式分解法也是解一元二次方程的常用方法，它的主要思想是将一元二次方程按照某种方式进行因式分解，然后得到未知数x 的值。
例如：对于一元二次方程x²-5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x-2)(x-3)=0的形式，进而得到x的值。
3. 一元二次方程在实际问题中的应用一元二次方程在实际问题中有很多应用，比如可以用来描述物体的运动轨迹、求解图形面积和体积等等。
例如：一颗质量为2kg的物体以4m/s的初速度从高度为10m 的位置落下，求它落地时的速度。
我们可以通过一元二次方程来描述该物体的运动轨迹：h=10-4t²/2，其中h表示物体距离地面的高度，t表示物体下落的时间。
当物体落地时，h=0，代入方程中，得到t=1秒。
然后再通过v=gt+v₀（其中v₀表示物体的初速度，g表示重力加速度）的公式求解出物体落地时的速度v，即v=9.8×1+4=13.8（m/s）。
初中数学 一元二次方程的解法有哪些
初中数学一元二次方程的解法有哪些一元二次方程是代数学中的重要概念，解决一元二次方程的问题是数学学习的基本内容之一。
下面将介绍一些常见的解一元二次方程的方法。
1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以将方程转化为两个一次方程，然后求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后得到x = 2和x = 3，所以方程的解是x = 2和x = 3。
2. 完全平方公式：当一元二次方程是一个完全平方二项式的平方时，我们可以使用完全平方公式来求解。
完全平方公式是：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以看出它是一个完全平方二项式的平方，即(x + 3)^2 = 0。
然后我们可以得到x + 3 = 0，解得x = -3，所以方程的解是x = -3。
3. 求根公式：一元二次方程有一个通用的求根公式，即求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
通过求根公式，我们可以求得一元二次方程的实数根。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以得到a = 1，b = -5，c = 6，代入求根公式得到x = 2和x = 3，所以方程的解是x = 2和x = 3。
4. 完全平方差公式：当一元二次方程可以写成完全平方差的形式时，我们可以使用完全平方差公式来求解。
完全平方差公式是：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
例如，对于方程x^2 - 16 = 0，可以写成(x + 4)(x - 4) = 0，然后得到x + 4 = 0，解得x = -4，和x - 4 = 0，解得x = 4，所以方程的解是x = -4和x = 4。
这些是一元二次方程的一些常见解法。
通过掌握这些解法，我们可以解决各种实际问题，并深入理解一元二次方程的性质和特点。
一元二次方程解法总结
一元二次方程解法总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠一元二次方程的解法总结。
先来说说直接开平方法，就好像是打开一扇神秘的门一样直接！比如说方程x²=4，那不是一下就能知道 x 等于正负 2 嘛，简单粗暴！
然后就是配方法啦，这就像是给方程精心打扮一番。
比如方程
x²+4x=5，我们就把左边加上 4 变成完全平方，这不就好解了！
还有因式分解法，哇塞，这可真是个神奇的办法！比如方程x²-
5x+6=0，可以分解成(x-2)(x-3)=0，那马上就知道 x 等于 2 或者 3 呀。
再讲讲公式法，它就像一把万能钥匙！不管啥样的一元二次方程都能试试。
比如方程2x²+3x-1=0，直接套公式，总能求出答案。
我跟你们说，这几种解法就像是我们手里的利器，对付一元二次方程那叫一个得心应手！想象一下，方程就像一个小怪兽，我们用这些方法一下就把它打败了，多牛啊！你说是不是？咱可不能被那些方程给难住了呀！
一元二次方程的解法真的很重要啊，学会了它们，我们就能在数学的海洋里畅游无阻啦！我们要把这些解法牢牢掌握，在遇到问题时能迅速找出最适合的方法来解决，别犹豫，别害怕，勇敢地去挑战那些一元二次方程吧！
这就是我对一元二次方程解法的总结啦，朋友们可得好好记住呀！。
一元二次方程解法归纳总结
一元二次方程解法归纳总结一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程基于求根公式，通过代入已知数值并进行计算，可以得到方程的解。
本文将对一元二次方程的解法进行归纳总结，并以示例来说明每种解法的具体步骤。
一、因式分解法当一元二次方程可以被因式分解时，可以利用因式分解的性质来解方程。
具体步骤如下：1. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式；2. 设方程两边分别等于0，并利用因式分解的性质，将方程的左侧分解为两个因子的乘积；3. 令每个因子分别等于0，解得每个因子的解，即得到方程的解。
例如，考虑方程：x^2 - 5x + 6 = 01. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式：(x - 2)(x - 3) = 02. 令每个因子分别等于0：x - 2 = 0 或者 x - 3 = 03. 解得x的值：x = 2 或者 x = 3所以，方程的解为x = 2或者x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法通过因式分解来解时，可以使用配方法（也称为“加法配平法”）来解方程。
具体步骤如下：1. 将方程化为一个可完全平方的形式，即将方程的左侧表示为完全平方的平方差形式；2. 根据配方法的原则，将方程的右侧与左侧进行配平，使得方程两侧相等；3. 对方程两侧进行化简，得到一个可求解的简化方程；4. 解简化方程，即可得到原方程的解。
例如，考虑方程：x^2 - 6x + 9 = 41. 将方程化为一个完全平方的形式：(x - 3)^2 = 42. 配方法的原则是：对方程的右侧加上一个适当的数，使得方程两侧相等。
在本例中，我们需要加上5。
所以，将方程两侧加上5：(x - 3)^2 + 5 = 4 + 53. 化简得到简化方程：(x - 3)^2 + 5 = 94. 解简化方程：(x - 3)^2 = 4由于平方的结果是4，所以x - 3 = ±2解得x的值：x = 3 ± 2所以，方程的解为x = 1或者x = 5。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021学年七年级数学梳理知识点
一、直接开平方法
二、配方法
三、公式法
用配方法解关于x 的一元二次方程
ax 2＋bx ＋c ＝0(a "`0)
22
1,2440b b ac
x b ac "`判别式为：△＝b 2－4ac ，则：
①△＞0 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a "`0)有两个不相等的实数根21,24b b ac
x ②△＝0 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a "`0)有两个相等的实数根122b
x x a
③△＜0 一元二次方程20(0)
ax bx c a 没有实数根。
公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定a 、b 、c 的值；
③代入b 2－4ac 中计算其值，判断方程是否有实数根； ④若b 2－4ac ≥0代入求根公式求值；否则，原方程无实数根。
【例1】
用公式法解方程：
⑴x 2－2x －2＝0 ⑵2361x ⑶3x －1＝-2x 2
⑷ 11
2x x x 一、直接开平方法
二、配方法
三、公式法
四、因式分解法
一元二次方程高端解法
【例2】
⑴ x2－3x－28＝0 ⑵ 2x2－x－15＝0⑶(x－1)2＋2(x－1)＝0
⑷ 3(x－2)＝4x－2x2 ⑸(x－1)2－2(x－1)＝-1 ⑹4(x＋3)2－(x－2)2＝0
知识框架重现
一、直接开平方法
二、配方法
三、公式法
四、因式分解法。