数学史思考题4
数学史习题44
数学史第一讲早期的算术与几何1、数学是研究空间形式和数量关系的科学。
2、数学起源于“四大文明古国”，它们分别是古埃及、古巴比伦、古代印度和古代中国。
3、古埃及最古老的文字是象形文，大约在公元3000前就形成了。
4、埃及的纸草书为后世留下大量珍贵的历史资料，其中与数学有关的纸草书有两本，一本为莱因德纸草书，归伦敦大英博物馆所有，大约产生于公元前1650年；另一本称为莫斯科纸草书，收藏在莫斯科国立造型艺术博物馆，这本纸草书产生于公元前1850年。
5、埃及的几何学起源于尼罗河泛滥后的土地测量，这种说法最早出自古希腊历史学家希罗多德。
6、从公元前3000年到前200年，在今伊拉克和伊朗西部所创造的数学，习惯称为巴比伦数学。
7、楔形文字中的记数法是10进制和60进制的混合物。
60以下用10进的简单累数制，60以上用60进的位值制。
8、中国古代的算筹记数是最早的既是10进制又是位值制的记数方法。
用它表示一个多位数时，像现在的阿拉伯数码记数一样，把各位数码，从左到右横着排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位用横式表示。
9、13世纪，欧洲的著名数学家斐波那契写了一本书，名为《算盘书》，这是第一部向欧洲人介绍印度数码的著作。
第二讲古希腊数学第四讲、第五讲、第六讲1、2、3、费马大定理，又称费马猜想，它的具体内容是：当n>2时，x n+y n=z n没有正整数解，这个问题是在1994 年，由英国数学家维尔斯在经过8年的艰苦努力后才得以证明。
4、促使微积分产生的科学问题主要有以下四类：(1) 瞬时速度问题；(2)切线问题；(3)函数的最值问题；(4)面积、体积、曲线长、重心和引力的计算。
5、6、7、历史上最早公开发表的微分学文献，是由数学家莱布尼茨在1684年发表在《教师学报》杂志上。
8、9、最早证明了正十七边形可以用尺规作图的是数学家高斯，他被誉为数学王子。
10、11、在非欧几何里，用“同一平面上任何两条直线都不相交”代替欧氏几何中的第五公设，一般称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
数学史思考题-1
数学史思考题1一、选择题1．美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是(A)。
A．六十进制 B．十进制 C．五进制 D．二十进制2.最早采用六十进制位值记数法的国家或民族是( A )A.美索不达米亚B.埃及C.印度D.中国3．古代美索不达米亚的数学成就主要体现在（B）A．几何学领域 B．代数学领域 C．三角学领域D．体积计算方面4．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。
A．美索不达米亚 B．埃及C．阿拉伯 D．印度5．用园圈符号“○”表示零，其发明源于( B )。
A．中国B．印度C．阿拉伯D．欧洲6．关于古埃及数学的知识，主要来源于( B )。
A．埃及纸草书和苏格兰纸草书B．莱茵德纸草书和莫斯科纸草书C．莫斯科纸草书和希腊纸草书D．莱茵德纸草书和尼罗河纸草书7．对古代埃及数学成就的了解主要来源于( A)A．纸草书 B．羊皮书 C．泥版 D．金字塔内的石刻8．古埃及的数学知识常常记载在（A）。
A．纸草书上B．竹片上 C．木板上D．泥板上二、填空题1．用圆圈符号“○”表示零，可以说是_ 印度_____的一大发明，有零号的数码和十进位值记数在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至__ 欧洲____。
2．在代数和几何这两大传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在__几何____方面，特别是在__图形面积或体积____计算中达到了很高的水平。
3．最早采用位值制记数的国家或民族是__美索不达米亚__，最早采用十进位值制记数的国家或民族是___中国___。
4．古代埃及的数学知识常常记载在__纸草书__________上，在代数和几何这两大传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在____几何________方面。
现存的_ 纸草书__________书中可以找到一些图形面积或体积的正确计算公式。
5．在代数和几何这两大传统的数学领域，古代美索不达米亚的数学成就主要在__代数_______方面，他们能够卓有成效地处理相当一般的__三项二次_______方程。
数学史习题及答案
第六讲思考题解析几何产生的时代背景是什么解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。
机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题。
在数学上就需要研究求曲线的切线问题。
所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学。
作为代数与几何相结合的产物――解析几何，也就在这种背景下问世了。
解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。
生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。
可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。
第七讲思考题谈谈您对于“读读欧拉，他是我们大家的老师”（拉普拉斯语）的看法莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。
他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。
欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。
他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。
他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。
欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。
他写了三十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学论文。
数学史试题答案(简答论述)
数学史试题答案(简答论述)在数学史试题答案（简答论述）中，我们将简要探讨数学史中的一些重要问题，并给出相应的答案。
数学史作为一门学科，涵盖了数学的起源、发展和应用等方面的内容，是了解数学发展历程以及数学思想演变的重要途径。
下面，我们将就数学史中的几个关键问题进行解答。
一、早期数学的起源是什么？早期数学的起源可以追溯到古代文明的发展。
在人类历史的早期阶段，人们开始观察周围的自然现象，并试图用数字和符号来描述和解释。
早期数学主要集中在实际问题的计算以及土地测量、贸易和农业等领域的应用。
古代文明如古代埃及、巴比伦、印度和中国等，都在早期数学的发展中起到了重要的作用。
二、古希腊数学的特点是什么？古希腊数学以几何学为主要特点。
古希腊的数学家将几何学作为研究对象，并尝试用严谨的证明来建立几何学上的定理和问题。
其中最著名的数学家是欧几里德，他的《几何原本》成为了后来数学教育的典范。
古希腊数学的其他重要特点还包括：重视形式化证明、注重逻辑推理和使用严谨的推理方法等。
三、古代中国数学的贡献有哪些？古代中国数学的贡献主要体现在算术和代数方面。
中国古代数学家在古代科学技术的发展中起到了重要作用。
中国古代数学家创造了很多数学概念和方法，如无理数、负数概念以及高次方程的解法等。
古代中国在商业贸易、地理测量以及天文学方面的发展也离不开数学的应用。
四、中世纪数学的发展情况如何？中世纪数学的发展主要受到宗教和哲学思想的影响。
在这一时期，欧洲的学问主要受到天主教教会的影响，数学被视为一种法学，被广泛用于天文学和天主教历法的计算。
然而，这一时期的数学发展相对较为缓慢，主要是基于继承古希腊和古罗马的数学知识。
直到文艺复兴时期，数学的发展才开始重新蓬勃起来。
五、现代数学的特点有哪些？现代数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点。
在18世纪以后，数学逐渐脱离了实际应用的限制，开始探索抽象的数学理论和方法。
19世纪是现代数学发展的关键时期，包括微积分、数论和几何学等方面的重要突破。
数学史 答案
1.勾股定理的证明方法来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
1.关于勾股定理的证明：（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴ΔADC ∽ΔA CB.∴AD∶AC = AC ∶AB，即.同理可证，ΔCDB ∽ΔACB，从而有.∴，即】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积+ 矩形MLEB的面积∴，即.2. 论述数学史对数学教育的意义和作用.数学史进入课程是数学新课程改革的重要理念之一。
在课程变革由结构——功能视角向文化——个人视角转变的过程中，文化融入是师生对课程改革适应性的一个重要因素。
对数学学科而言，数学史是数学文化生成的文库性资源，是最具权威的课程资源，具有明理、哲思与求真三重教育价值。
明理：数学知识从何而来?数学史展示数学知识的起源、形成与发展过程，诠释数学知识的源与流；哲思：数学是一门什么样的科学?数学史明晰数学科学的思想脉络和发展趋势，让学生领悟数学科学的本质，引发学生对数学观问题自觉地进行哲学沉思，有利于学生追求真理和尊崇科学品德的形成；求真：数学科学有什么用?数学史引证数学科学伟大的理性力量，让学生感悟概念思维创生的数学模式对于解析客观物质世界的真理性，提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。
数学史思考题6
数学史思考题6一、选择题1．最早使用“函数”（function）这一术语的数学家是( A )。
A．莱布尼茨B．约翰·贝努利C．雅各布·贝努利D．欧拉2.首先引进函数符号f(x)的数学家是( A )A.欧拉B.韦达C.柯西D.莱布尼茨3．“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。
”这个函数定义在18世纪后期占据了统治地位，给出这个函数定义的数学家是( C )A．莱布尼茨 B．约翰·贝努利 C．欧拉 D．狄利克雷4．首先引进如下一批符号：f(x)－函数符号；∑－求和号；e－自然对数底；i－虚数单位的数学家是( B )A．泰勒 B．欧拉 C．麦克劳林 D．莱布尼茨5．符号“f(x)—函数，Σ—求和，e—自然对数底，i—虚数号”的引进者是( D )。
A．牛顿B．莱布尼茨C．柯西D．欧拉6．“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系。
”给出这个关于数学本质的论述的人是( B )A．笛卡尔 B．恩格斯 C．康托 D．罗素7．微积分创立于（ C ）A．15世纪 B．16世纪C． 17世纪 D．18世纪8．就微分学与积分学的起源而言( A )A．积分学早于微分学；B．微分学早于积分学；C．积分学与微分学同期；D．不确定9．以下哪一个问题与微分学发展无关?( D )A．求曲线的切线； B．求瞬时变换率；C．求函数的极大极小值 D．用无穷小过程计算特殊形状的面积10．牛顿和莱布尼茨几乎同时进入微积分的大门，他们的工作也是相互独立的，但在发表的时间上（ B ）A．牛顿先于莱布尼茨；B．莱布尼茨先于牛顿；C．牛顿和莱布尼茨同时；D．谁先谁后尚未定论11.牛顿最早公开其微积分学说的名著是( D )A.《曲线求积术》；B.《流数术》；C.《现代微积分学》；D.《自然哲学的数学原理》12．最早公开发表微积分论文的是（ B ）。
A ．牛顿B ．莱布尼茨C ．柯西D ．欧拉13．费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( C )。
北师大版高中数学选修3-1数学史选讲习题 4--2
新知练习
微积分创立的历史意义：
（1）提供了定量处理与运动、变化等有关的多 种现实问题的强有力方法； （2）解析几何与微积分的建立，标志着数学由 初等数学(常量数学)时期向变量数学时期的重要 转变； （3）以极限方法为主要特征的微积分方法蕴涵 着基本却又十分重要的数学思想；
新知练习
（4）微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数 学领域，其后数学分析大厦逐步建立； （5）微积分的建立，使得数学的基本格局发生 了变化，在这之前，数学主要有代数(包括算术) 与几何两大领 域，而微积分的建立，形成了代 数、几何与分析三足鼎立的局面。
新知练习
1．微积分学是微分学和积分学的总称。它是一 种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求 和”就是积分。十七世纪后半叶，在许多数学家 工作的基础上，__牛__顿____和_莱__布__尼__茨___分别独立 地创立了微积分学。
2．从牛顿的读书笔记可以看出，就数学思想的 形 成 而 言 ， 笛 卡 儿 的 _《__几__何__学__》_ 和 沃 利 斯 的 《__无__穷__算__数__》_对他影响最深，正是这两部著作引 导牛顿走上创立微积分的道路。
新知练习
二、微积分基本定理及其应用 牛顿在《流数简论》中提出了微积分的基本问题， 并在此基础上建立了微积分基本定理．几乎与此 同时，德国数学家莱布尼茨在其《数学笔记》中，
创立了积分符号∫和微分符号dy，dx，并明确指
出了积分和微分是互逆过程。因而，后人把微积 分基本定理也称作“牛顿—莱布尼茨定理”．微 积分基本定理揭示了导数和积分之间的内在联系， 同时它也提供了计算积分的一种有效方法。
新知学习
牛顿还开始研究重力问题，并把重力理论推广到 月球的运行轨道上去。这两年是牛顿一生的重大 科学思想孕育、萌发和形成的时期.1667年，牛 顿 重 返 剑 桥 上 学 .1668年3月1日选为三一学院的 正院侣.1669年3月16日接替巴罗教授，任卢卡斯 讲座教授。写下了光学讲稿、算术和代数讲稿、 《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)的一部 分及《宇宙体系》等手稿。
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《数学史》习题总体要求每一讲写一600字左右的读书笔记，30%,,,,,记录学期总成绩。
第一讲,,,,,,,,,,数学的起源与早期发展1、您对《数学史》课程的期望。
2、谈谈您的理解：数学是什么?3、数学崇拜与数学忌讳。
4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。
5、数的概念的发展给我们的启示。
6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。
第二讲古代希腊数学1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。
2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？3、简述欧几里得《原本》的现代意义？4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。
5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长，计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。
6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？第三讲：中世纪的东西方数学I1、简述刘徽的数学贡献。
2、用数列极限证明：圆内椄正6•2^{n}边形的周长的极限是圆周长。
3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。
5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。
6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。
第四讲：中世纪的东西方数学II1、印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要贡献？2、有关零号“0”的历史。
3、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。
4、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数学的作用。
5、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为中心的实用化数学。
6、求斐波那契数列的通项公式。
第五讲：文艺复兴时期的数学1、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。
2、简述符号“＋”、“－”的历史。
3、通过具体例子说明16世纪的意大利数学家是如何求解三、四方程的。
4、学习珠算有现实作用吗？5、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。
数学史习题
数学史思考题6一、选择题1．最早使用“函数”（function）这一术语的数学家是( A )。
A．莱布尼茨B．约翰·贝努利C．雅各布·贝努利D．欧拉2.首先引进函数符号f(x)的数学家是( A )A.欧拉B.韦达C.柯西D.莱布尼茨3．“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。
”这个函数定义在18世纪后期占据了统治地位，给出这个函数定义的数学家是( C )A．莱布尼茨 B．约翰·贝努利 C．欧拉 D．狄利克雷4．首先引进如下一批符号：f(x)－函数符号；∑－求和号；e－自然对数底；i－虚数单位的数学家是( B )A．泰勒 B．欧拉 C．麦克劳林 D．莱布尼茨6．“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系。
”给出这个关于数学本质的论述的人是( B )A．笛卡尔 B．恩格斯 C．康托 D．罗素7．微积分创立于（ C ）A．15世纪 B．16世纪C． 17世纪 D．18世纪8．就微分学与积分学的起源而言( A )A．积分学早于微分学；B．微分学早于积分学；C．积分学与微分学同期；D．不确定9．以下哪一个问题与微分学发展无关?( D )A．求曲线的切线； B．求瞬时变换率；C．求函数的极大极小值 D．用无穷小过程计算特殊形状的面积10．牛顿和莱布尼茨几乎同时进入微积分的大门，他们的工作也是相互独立的，但在发表的时间上（ B ）A．牛顿先于莱布尼茨；B．莱布尼茨先于牛顿；C．牛顿和莱布尼茨同时；D．谁先谁后尚未定论11.牛顿最早公开其微积分学说的名著是( D )A.《曲线求积术》；B.《流数术》；C.《现代微积分学》；D.《自然哲学的数学原理》12．最早公开发表微积分论文的是（ B ）。
A．牛顿B．莱布尼茨C．柯西D．欧拉13．费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( C )。
A ．求瞬时速度的方法 ；B ．求切线的方法；C ．求极值的方法；D ．求体积的方法14．由于对分析严格化的贡献而获得了“现代分析之父”称号的德国数学家是( A )A ．魏尔斯特拉斯B ．莱布尼茨C ．欧拉D ．柯西15．最先将导数定义为差商h x ,h)x (f )h x (f x y =∆-+=∆∆当h 无限趋于零时的极限的数学家是( D )。
数学史习题
数学史习题介绍数学是一门古老而又深奥的学科，它以逻辑推理和数学符号为基础，研究数量、结构、变化以及空间的关系。
通过解决问题和应用于实际情境，数学帮助我们理解世界的运行方式。
在数学史上，我们可以追溯到古代人类对数学问题的思考和解决方法。
以下是一些数学史习题，用以挑战你的数学思维能力。
1. 古代埃及的图像文字系统是一种非常有趣的表达方式，其中包含了数学符号。
请从以下线描图像中，尝试找出代表数字的符号：─────────│││─────────││───────────2. 古希腊人开创了几何学，其中最著名的问题之一是希俄斯岛上的“中值定理”。
在一个三角形中，通过连接一个角的顶点到对边的中点，将三角形划分为两个面积相等的小三角形。
请证明这个定理。
3. 著名的欧几里德几何学有着丰富的数学问题，其中之一是“平行公设”。
在几何学中，我们一直认为平行线永远不会相交。
然而，在19世纪初，这个公设被质疑，并且后来被证明是无法从其他公设中推导出来的。
请尝试找到一种方法，通过欧几里德几何学中的其他公设来证明平行线不会相交。
4. 中国古代数学在代数方面也有很大的贡献。
请试着解决以下古老的中国算术题：“有三种商品，一种每个10个卖1元，一种每个3个卖1元，一种每个2个卖1元，现在有20元，请问你最多可以买到几个商品？”5. 在17世纪，法国数学家皮埃尔·德费马提出了著名的费马大定理。
这个定理声称a^n + b^n = c^n在n大于2时没有正整数解。
这个问题困扰了数学界很长时间，直到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
请尝试提出你自己的证明或解释怀尔斯的证明。
6. 经典力学是数学和物理学的结合。
牛顿第二定律F=ma描述了力、质量和加速度之间的关系。
请使用这个公式解决以下问题：一个物体质量为2kg，施加在它上面的力为5N，求它的加速度。
7. 概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率。
数学史思考题-2
数学史思考题2一、选择题1.古希腊数学家泰勒斯创立的学派是( B )A.伊利亚学派B.爱奥尼亚学派C.诡辩学派D.吕园学派2．古希腊开论证几何学先河的是( C )A．柏拉图学派 B．欧几里得学派 C．爱奥尼亚学派 D．毕达哥拉斯学派3．发现不可公度量的是( B )。
A．爱奥尼亚学派； B．毕达哥拉斯学派； C．诡辩学派； D．伊利亚学派4．建立新比例理论的古希腊数学家是（ C ）。
A．毕达哥拉斯B．希帕苏斯C．欧多克斯D．阿基米德5．数学的第一次危机的产生是由于( B )A．负数的发现 B．无理数的发现 C．虚数的发现 D．超越数的发现6．数学的第一次危机，推动了数学的发展，导致产生了( A )A．欧几里得几何 B．非欧几里得几何 C．微积分 D．集合论7．几何《原本》的作者是( A )A．欧几里得 B．阿基米德 C．阿波罗尼奥斯 D．托勒密8．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是( D )。
A．定义 B．定理C．公设 D．公理9．以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是(D )。
A．爱奥尼亚学派；B．伊利亚学派；C．诡辩学派；D．毕达哥拉斯学派10．“代数学”一词起源于（ C ）A．阿拉伯人花拉子米的著作B．印度人婆罗摩笈多著作C．希腊人丢番图的著作D．中国人秦九韶的著作11．公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( C ) A．不可公度数B．化圆为方C．倍立方体D．三等分角《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为( B )。
12．A．托勒密B．帕波斯C．阿波罗尼奥斯D．丢番图13．古希腊数学家帕波斯的唯一传世之作《数学汇编》被认为是( C )A．古希腊论证数学的发端；B．古希腊数学的颠峰C．古希腊数学的安魂曲；D．古希腊演绎几何的最高成就二、填空题1．古希腊开论证几何学先河的是___爱奥尼亚学___________学派。
数学史思考题5
数学史思考题5
一、选择题
1．欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是(A )。
A．斐波那契B．卡尔丹C．塔塔利亚D．费罗
2．首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。
A．塔塔利亚 B．卡尔丹C．费罗 D．费拉里
3．射影几何产生于文艺复兴时期的( D )
A．音乐演奏B．服装设计C．雕刻艺术D．绘画艺术
4.首先解决了一元四次方程一般解法的是意大利数学家( C )
A.塔塔利亚
B.卡尔丹
C.费拉里
D.费罗
二、填空题
1．欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是__斐波那契________，他在其代表作《算经》中叙述了著名的“兔子问题”。
2．斐波那契数列的第一项是____1________，第七项是______13______。
28．首先将三次方程一般解法公开的是意大利数学家___卡尔丹__________，首先获得四次方程一般解法的数学家是_____费拉里________。
数学文化复习思考题
数学文化复习思考题1．什么叫数学(传统和现代)？数学作为独立而有系统的学科的产生大约在何时？说出几种你知道的数学特点？2．数学有哪些特点？举例说明数学特点的含义。
3．“白马非马”和“先有鸡还是先有蛋？”问题的实质是什么？4．数学文化的含意是怎样的？5．历史上数学危机发生了几次？简述其中一个数学危机.6．非欧氏几何产生的原由是什么？请说说罗氏几何。
7．变量数学到来的标志是什么？微积分的主要创立者是谁？8．数学发展的动力有哪几个方面？通过实例说说数学产生、发展是外部力量与内部力量结合的结果。
9．“勾股定理”在中国出现和使用至少有多少？最早记载勾股定理内容的我国古代数学著作是哪一本？10．我国最早严格证明勾股定理的是哪个朝代的哪位数学家？11．在西方国家勾股定理内容一般称为什么定理？主要记载在哪本书上？12．中国剩余定理是哪个朝代哪位数学家建立的？这种一次同余问题解决方法当时的称为什么？它比外国至少早多少年？13．用”大衍求一术”或其它方法解“一个数被3除余1，被5除少4，被7除余3，这个数最小是几？14．“大衍求一术”是哪位宋朝数学家发明的？15．为什么许多数学家反对康托尔的集合论？16．数学美的特征主要有哪些？举例说明之。
17．请写出斐波纳契数列及其通项；例举2-3个生活中的斐波纳契数列。
18．简述黄金分割（黄金比）及其黄金律的应用。
19．斐波纳契(Fibonacci)数列与黄金分割比例有何关系？20．何为黄金分割比例？何为黄金矩形？21．一笔画能画成条件是什么？奇点个数为10的图，最少需要多少笔？22．费马大定理是怎样的？费马是哪个国家的？有何称谓？23．概率论主要源于什么问题的研究？何为小概率事件？怎样处理小概率事件？24．例举一本有关“数学文化”方面的书，谈谈其中某一点（方面）的读后感。
25．例举两个你成长过程中印象最深的数学，并说明原因。
26．历史上数学危机发生了几次？简述其中一个数学危机,并谈谈自己的感想和认识。
数学史思考题4
数学史思考题4数学史思考题4一、选择题1．《墨经》是我国试图对数学进行理论探讨的著作，它的诞生时代是（ A ）A．战国时代B．三国时代C．宋元时代D．明清时代2．我国古代文献《墨经》一书中的“平”、“厚”，就是现代几何课本中所指的（ C ）A．平面与空间B．平行与高度C．平行与体积D．面积与体积3．我国古代著作《周髀算经》中的“髀”是指( B )A．太阳影子 B．竖立的表或杆子 C．直角尺 D．算筹4．在现存的中国古代数学著作中，有一部著作叙述了关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。
这部著作就是( C ) A．《缉古算经》B．《张邱建算经》C．《周髀算经》D．《孙子算经》5．最早记载勾股定理的我国古代名著是( C )。
A．《九章算术》B．《孙子算经》C．《周髀算经》D．《缀术》6．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是( B )A．周公后人荣方与陈子 B．三国时期的赵爽C．西汉的张苍、耿寿昌 D．魏晋南北朝时期的刘徽7．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D )A．《孙子算经》 B．《墨经》 C．《算数书》 D．《周髀算经》8．我国最早的一部算书――《算数学》是( D )。
A．传世本B．甲骨文算书C．钟鼎文算书D．竹简算书9．中国最古的算书《算数书》出土于( D1984年 )A．20世纪20年代B．20世纪40年代C．20世纪60年代D．20世纪80年代10．我国古代十部算经中年代最晚的一部( C ) A．《孙子算经》B．《张邱建算经》C．《缉古算经》D．《周髀算经》11．下列数学著作中不属于“算经十书”的是( A)。
A．《数书九章》 B．《五经算术》 C．《缀术》 D．《缉古算经》12．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著( D )。
A．《考工记》 B．《墨经》 C．《史记》 D．《庄子》13．在中算史上，刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是( B )。
数学史问题（优秀范文5篇）
数学史问题（优秀范文5篇）第一篇：数学史问题第一讲：数学的起源与早期发展问题1：为什么“4”表示为“鸵鸟的脚趾”？问题2：狗的脚趾有几个？猫的脚趾有几个？鸡鸭鹅的脚趾各有几个？该问引出观察能力的培养。
问题3：怎样看待菱形的演变？问题4：数与形概念是如何产生的？数的概念的发展给我们的启示？（怎么教学1234……）问题5：关于符号的历史问题6：如何认识负数问题7：如何认识九九乘法口诀表？如何用手指计算九九乘法口诀表表中乘九的部分？问题8：如何用手指表示月？请收集用身体部位计数的方法？问题9：谈谈你对中国八卦的认识？问题10：古埃及与巴比伦的数学成就？第二讲古代希腊数学问题1：古希腊有几位哲学家和数学家？简述他们的科学工作。
问题2：泰勒斯的哲学信仰是什么？如何评价泰勒斯的论证数学？问题3：如何看待泰勒斯准确预言日食和测量金字塔的高度？问题4：毕达哥拉斯学派的哲学信仰是什么？如何评价毕达哥拉斯的演绎数学？问题5：毕达哥拉斯学派已有哪些数学成果是我们现在学的？（毕达哥拉斯定理、黄金分割）问题6：什么是相亲数？什么是完全数？什么是梅森素数？寻找完全数和梅森素数有什么意义？问题7：毕达哥拉斯学派还依据几何和哲学的神秘性对“数”进行分类，按照几何图形分类，可分成“三角形数”；“正方形数”；“长方形数”；“五角形数”等等．这些数和级数有关系吗？问题8：希腊字母是谁的发明？问题9：音乐和数学有关系吗？问题9：谈谈勾股定理的发现和证明（数学史上）问题10：第一次数学危机是什么？无理数的历史？问题11：历史上三大几何难题是什么？如何看待？如果取消尺规作图限制能否做到？(汪晓勤论文：《一卷永不过期的数学狂怪档案》、《》)问题12：结合数学史，如何在数轴上表示任意一个实数（用尺规作图在数轴上作出和实数对应的点）。
问题13：芝诺四个悖论是什么？问题14：怎么看数学悖论与数学危机？问题15：结合数学史设计无理数和勾股定理的教学？（见汪晓勤：《巴比伦泥版文献中的勾股定理》、《巴比伦泥版文献中的勾股定理》、）问题16：数列的数学史有哪些？基于数学史谈谈数列如何教学？（见（1）汪晓勤：《_九章算术_均输章等差数列问题研究》、《HPM视角下的等比数列教学》、《阿拉伯数学文献中的数列求和公式》、《阿拉伯数学文献中的数列求和公式》、《斐波纳契_计算之书_中的数列问题》、《斐波纳契的_遗产分配问题_》、《泥版上的数列问题》、《文艺复兴以后西方数学文献中的数列知识》、《印度古代数学中的数列问题》、《犹太数学文献中的数列问题》、《用数学归纳法证明的第一个数学定理》、《纸草书上的数列问题》、《中国古代数学文献中的数列问题》、《》）（2）问题17：如何进行圆锥曲线教学？（见汪晓勤：《HPM视角下的数学教学设计_以椭圆为例_汪晓勤》、《HPM视角下椭圆概念教学的意义》、）问题18：如何看待柏拉图《共和国》“我们必须竭力奉劝我国未来的主人学习算术……”问题19：如何看待欧几里得的“求知无坦途”和“几何无王者之道”？问题20：欧几里得的几何原本对科学家的影响？问题21：初唐诗人陈子昂有句云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第四章
1.作为世界四大文明古国之一,中国在公元前3000年至公元前1500年间有哪些数学成就?试讲这些成就和其他文明古国做一比较.据《易．系辞》记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。
在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。
从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进位制的记数法，出现最大的数字为三万。
算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。
算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间(法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当)，并以空位表示零。
算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理(西方称毕氏定理)的特例。
战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。
著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。
墨家还给出有穷和无穷的定义。
《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。
这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
十进制是一种便捷的计数方法，而筹算是一种有效的工具，两者均是中国对世界的重大贡献。
在同时代的各古代文明中，只有中国提出了十进制。
数学史思考题3
数学史思考题3一、选择题1．印度一位数学家在其著作《肯德卡迪亚格》中，利用二次插值法构造了间隔为15度的正弦函数表，这位数学家是( B )。
A．阿耶波多； B．婆罗摩笈多； C．马哈维拉； D．婆什迦罗。
2．印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是（ C ）。
A．阿耶波多；B．婆罗摩笈多；C．马哈维拉；D．婆什迦罗3．印度数学家婆什迦罗在其数学著作中完整论述了零的运算法则，并对零作除数的问题给出了有意义的解释，认为分母为零的分数表示一个无限大量。
该数学著作是( C )。
A．《肯德卡迪亚格》；B．《计算方法纲要》；C．《算法本源》； D．《莉拉沃蒂》4.下列著作中，为印度数学家马哈维拉所著的是( B )A.《圆锥曲线论》；B.《计算方法纲要》；C.《算经》D.《算法本源》5．中世纪《代数学》一书的著作是阿拉伯人( B )A．比鲁尼； B．花拉子米； C．奥马·海亚母；D．纳尔西·丁二、填空题1．“代数学”一词起源于阿拉伯人__花拉子米_______的著作。
2．阿拉伯数学家_____花拉子米______的《还原与对消计算概要》通常被称作《____代数学_______》。
3．阿拉伯数学家花拉子米的《还原与对消计算概要》第一次给出了____一元二次______方程的一般解法，并用____几何_____方法对这一解法给出了证明。
4．阿拉伯数学家____花拉子米______的《还原与对消计算概要》第一次给出了____一元二次______方程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明。
5.阿拉伯数学的突出成就首先表现在___代数学________方面，《还原与对消计算概要》的作者是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家___花拉子米_________。
6．由于天文计算的需要，阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数表的编制，特别是比鲁尼利用二次插值法制定了_____正弦________、__正切___________函数表。
数学简史第4次作业.
数学简史第4次作业一、填空题1、四元数是历史上第一次构造不满足__________的数系。
2、非欧几何揭示了空间的_________,将平直空间的欧氏几何变成了某种特例。
3、施陶特不借助_____概念就建立了射影几何，从而是射影几何摆脱了______关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。
4、希尔伯特提出了统一几何学的另一条途径即_________方法5、克莱因对拓扑学的定义是“研究由 ____________组成的变换的不变性”。
6、魏尔斯特拉斯对分析严格化的贡献主要表现在他创造了一套______语言，正是由于他的工作才使数学分析达到了今天所具有的___________.7．魏尔斯特拉斯在在复分析研究中使用的________方法占据了主导地位。
8．在解析数论的形成过程中，________引入了后来以他的名字命名的L函数。
9．庞加莱独创的________是19世纪常微分方程研究的另一个崭新方向10．剑桥数学物理学派的开山鼻祖_________认识到函数V 的重要性，并首先赋予它“位势”的名称。
二、选择题1．五次和高于五次的一般方程的求解问题是（）解决的。
A．欧拉 B 阿贝尔 C 伽罗瓦 D 费马2、（）发现了四元数。
A．格拉斯曼 B 伽罗瓦 C 阿贝尔 D 哈密顿3、超复数是（）对复数的推广。
A．格拉斯曼 B 伽罗瓦 C 阿贝尔 D 哈密顿4、二次互反律第一个给出完全证明的是（）A．欧拉B布尔 C 阿贝尔 D 高斯5、库默尔创立了（）理论。
A．复数 B 实数 C 理想数 D 代数6、无限小变形就是（）的双方连续变换。
A．一一对应 B 多对一 C 多对多 D 一对多7、数学史上著名的“分析算术化”运动的主将是（），他和他的学生们为实现这一目标作出了艰苦努力并取得了成功。
A．柯西 B 高斯 C 魏尔斯特拉斯 D 康托尔8．（）系统发展了一般点集的理论，开拓了一个全新的数学研究领域。
A．柯西 B 高斯 C 魏尔斯特拉斯 D 康托尔9．留数得分概念和发展是（）的一个重要贡献。
数学分析思考题集
数学分析思考题集目录第一章函数 (1)第二章数列极限 (8)第三章函数极限 (22)第四章函数的连续性 (28)第五章导数与微分 (35)第六章中值定理与导数应用 (38)第七章 极限与连续性(续) (48)第八章不定积分 (52)第九章定积分 (57)第一章 函数思考题：1．何谓函数，函数关系，函数值？2．函数y=f(x)与方程y=f(x)在概念上有何区别？ 3．怎样确定函数的定义域？4．怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下面各对函数是否相等？(1)f(x)=x ，)2； (2)f(x)=x -1，g(x)=2x 1x 1−+；(3)f(x)= | x | ，；，(5)f(x)= ，2x 1,x 11,x 1−≥< x ；(6)f (，1,x 1x)x,1x 11,x 1−<−=−≤ >≤{1g(x)|1x ||1x |}2=+−−.5．若函数y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图象有什么样的特点？ 6．下列函数是否是初等函数？说明理由.(1)f(x)= | x | ； (2)f(； x cosx x)(x sin x)=+(3)f(x)=x 0,x 0>≤ 0， (4)f(x)=c,x cx,c x c c,x c−<−−≤≤ > . 7．设f(u)与u=ϕ能复合为f((x)(x)ϕ)，(1)若f(u)递增(递减)，递减，试研究f((x)ϕ(x)ϕ)的单调性.(2)若f(u)为奇(偶)函数，ϕ为偶(奇)函数，试研究f((x)(x)ϕ)的奇偶性. (3)若f(u)为任意函数，ϕ为偶函数，试研究f((x)(x)ϕ)的奇偶性.·1·(4)若f(u)为有界函数，ϕ为任意函数，试问f((x)(x)ϕ)是否一定是有界函数？ (5)若f(u)为任意函数，ϕ为周期函数，试问f((x)(x)ϕ)是否一定是周期函数？ 8．判断下列命题是否正确，为什么？(1)若f(x)在]C [βα∀(a,b)⊂上有界，则f(x)在(a, b)上有界.(2)设f(x)在[a, b]上有定义，且在(,)[a,b]∀αβ⊂上有界，则f(x)在[a, b]上有界. 9．适合下列条件的函数存在吗？为什么？ (1)在R=(-∞, + ∞)上严格递增的有界函数. (2)在R=(-∞, + ∞)上严格递增的偶函数. (3)在R=(-∞, + ∞)上严格递减的奇函数.(4)在(-,)内为偶函数，且在R=(-∞, + ∞)上又为奇函数. (5)在R 上严格递增的周期函数.10．设f(x)在R 上有定义，且满足f(x)≠0，f(x·y)=f(x)·f(y)，试求f(1990). 11．用肯定语气叙述：在(-∞, + ∞)上 (1)f(x)不是偶函数； (2)f(x)不是周期函数； (3)f(x)不是单增函数； (4)f(x)不是单调函数. 12．用肯定语气叙述： (1)f(x)在[a, b]上无下界； (2)f(x)在[a 上没有零点；,b)(3)f(x)在(a, b)上没有比中点函数值大的点.13．若f(x)是一一对应的奇函数，试证其反函数也是奇函数.14．设f(x)满足关系式2f(x)+ 1kf ()x x=(k 为常数)，证明：f(x)为奇函数.15．设f(x)为(-∞, + ∞)上的奇函数，且在[0,)+∞上严格增，求证：f(x)在(-∞, +∞)上严格增.16．设，函数f(x)及g(x)对任意的分别满足0a ≤≤12212x ,x 121f[ax (1a)x ]af (x )(1a)f (x )+−≥+−及 121g[ax (1a)x ]ag(x )(1a)g(x )+−≤+− 且g(x)为单减函数，试证：·2·121g[f (ax (1a)x )]ag[f (x )](1a)g[f (x )]+−≤+−2.17．设f(x)在(-∞, + ∞)上严格增，且恒有f[f(f(x))]=f(x)，试证：必有f(x)=x. 18．若f(x)是在(-∞, + ∞)上单增的偶函数，且f(0)=0，则f(x)≡0. 19．若f(x)满足条件：对∀∈有f(x + )=-f(x) ( >0)，x R 证明：f(x)是以为周期的函数.20．设常数a>0，函数f(x)≠，且f(x + a)=01f (x)，x R ∈，试证：f(x)是以2a 为周期的周期函数.21．若y=f(x)(x ∈)的图形关于两直线x=a 与x=b(a<b)对称，试证f(x)为周期函数. R 22．设f(x)和g(x)分别是以 1和 2为周期的函数，且12nm= (m, n 为互质的正整数)，证明：F(x)=f(x)+ g(x)， G(x)=f(x)·g(x)，是以 =m 1=n 2为周期的函数.23．证明：若f(x)是以T 为周期的周期函数，则f(ax)(a>0)是以Ta为周期的周期函数. 24．函数y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？ 25．选择填空：(1)奇、偶函数的定义域一定是________.(A)R (B)关于原点对称的区间 (C)关于原点对称的点集 (D)A 、B 、C 都不对 (2)函数f(x)=|x cosx sin x |e ,x (,)∈−∞+∞是________. (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 (3)函数 D(x)=是________. 1,x 0,x为有理数为无理数(A)非奇非偶函数 (B)有界函数 (C)非周期函数 (D)偶函数·3·(E)有界周期偶函数(4)若f(x)为奇函数，则下列________款中的函数也是奇函数. (A)f(x)+ a (a 0≠，为常数) (B)f[f(x)] (C))f(-x)+ a (，为常数) (D)f(x)+f(-x) a 0≠(5)设f(x)，=222x ,|x |2x ,|x | −≤ +> 11)x (ϕ2,|x |10,|x |1≤ > ， 则复合函数f[(x)]ϕ由_____________款表示.(A)f[]=(x ϕ)2,|x |12,|x |1−≤>(B)f[(x)ϕ]=6,|x |12,|x |1≤ >(C)f[ϕ]= (D)f[(x)1≤22x ,|x |2,|x |1 + > (x)ϕ]=222x ,|x |12x ,|x |1 +≤ −>(6)函数y=xx221+的反函数是____________. (A)22log xy log (1x)=− (B)y 22log x log (1x)=−−(C)2x y log 1x =− (D)x g 1x=y l − 补充题1．|=a |53对吗？(2)如果在 | x | >b 中去掉绝对值记号，应该怎样写？ (3)试用 | a + b |，| a -b | 表示Max{a, b}，Min{a, b}. 2．证明下列不等式： (1)n!>2n (n>3) (2)2n >n 2 (n ) ≥(3)n n ≤(n!)2 (n ≥)(4)132n 1242n −⋅<(5)n!<nn 12+(n>1)·4·(6)若x>-1，则(1 + x)n ≥(1 + nx)(n N ∈) (这个不等式称为Bernoulli 不等式) (7)设 (i=1,2, n)且i a >0,12a a ⋅ a n =1，则a 1 + a 2 + … + a n ≥n. (8)设a i >0(i=1, 2, …, n)，则12a a a n+…≤n，12nn111a a a +++ .(9)|x ) 12n 12n x x x ||x |(|x ||x ||x |++++≥−+++ (10)设a 1, a 2, …, a n ； b 1, b 2, …, b n 为两组实数，则2n n n 22i i i i i 1i 1i 1a b a b === ≤ ∑∑∑3．解下列不等式(1)| 2x + 4 | >10； (2)| x(x -1)| <0.1； (3)| x -5 | < | x + 1 | ； (4)| x + 1 | - | x -1|<1； (5)| x + 2 | + | x -2 |≤; (6)| x + 2 | - | x | >1；12(7) 2<1|x 2+|<3. 4．设f(x)=，g(x)=tgx ，求f[与. arctgx g(x)g[f (x)]5．设，0,x 0f (x)x,x 0≤ = > 20,x 0g(x)x ,x 0≤ = −> ，求f [g(x)]; g[f(x)]; f[f(x)]; g[g(x)].6．设，求f(1), f(2), f(x ln(1x),0x 2f (x)2,2x 46x,4x 6+≤= −< <≤≤≤π), f(4.5). 7．验证：1Max{f (x),g(x)}[f (x)g(x)|f (x)g(x)|]2=++−Min |])x (g )x (f |)x (g )x (f [21)}x (g ),x (f −−+={8．设f(x), g(x)在(a, b)上单增，求证：·5·(1)Max{f(x), g(x)} (2)min{f(x), g(x)} 也在(a, b)上单增.9．设f(x)在(0上有定义，x ,)+∞1>0, x 2>0，求证：若f (x x)θ单增，则f(x 1+x 2)f(x ≥1)+f(x 2). 10．一半径为a 的圆铁片，自中心剪去一角形，将剩余部分(中心角为)围成一个无底圆锥，试建立圆锥容积V 与中心角θ之间的函数关系.11．证明：函数f(x)=a x (a>0, a ≠1)，对一切实数x 1≠x 2恒有1212x x 1f ()[f (x )f (x )]22+<+. 12．设x xae be f (x)a b−+=+ (a b ≠−)，证明： f(2x)-f(-2x)=f 2(x)-f 2(-x).13．设f(x)=1x1x−+lg，试证： y zf (y)f (z)f (1yz++=+. 14．设f(x)=x 32x 1+−，解方程12)f ()x 13=−f (. 15．(1)设f(x+1x )=221x x+，求f(x). (2)设x f (sin 1cosx 2=+，求f(cos x2).16．设f(x)为(-∞, +∞)上的奇函数，f(1)=a ，且对任意x 值均有：f(x+2)-f(x)=f(2)(1)试用a 表示f(2)与f(5)；(2)问a 取什么值时，f(x)是以2为周期的周期函数？ 17．研究下列函数有界性 (1)f(x)=2x1x+； (2)f(x)=x 2分别在(a, b)及(-∞, +∞)上；·6·(3)f(x)=x 2+； (4)f(x)=21x x ++1.18．在物理及工程技术中还用到“双曲函数”，它们的定义为： 双曲正弦 x xe e x 2−−=sh 双曲余弦 x xe e x 2−+=ch 双曲正切 x xx x shx e e thx chx e e −−−==+ 双曲余切 x xx xchx e e hx shx e e ct −−+==− 试证：(1)ch22x sh x −=12(2)sh(x y)shxchy chxshy +=+(3)ch ， s 22x ch x sh x =+h2x 2shxchx = (4)2211th ch x=−x(5)1x ln(x −=sh (-∞<x<+∞)1ch x ln(x −= (x1)≥·7·第二章 数列极限思考题：1．下列说法能否表明a 是数列{}n a 的极限(与n lim a a n →∞=的定义是否等价？)(1)对，0∀ε>N ∃，当时，有n N >n a a −<ε. (2)对，存在无限多项，使0∀ε>n a n a a −<ε. 3)对∀ε，0>N ∃，当n ≥N 时，有n a a −<ε. (4)对，0∀ε>N ∃，当n >N 时，有100n a a −<ε.(5)对，0∀ε>N ∃，当n >N 时，有n a a k −<ε，(其中k 是与ε，n 无关的常数). (6)对，0∀ε>N ∃，当n >N 时，有n a a N −<ε. (7)对，0R ∀ε>A ∃∈，当n >A 时，有n a a −<ε. (8)∃，对∀ε，当n>N 时，有N 0>n a a −<ε.(9)对(a>0)，∃，当n>N 时，有(a,∀ε∈+∞)N n a a −<ε. (10)对∀ε：01<ε<，∃，当n>N 时，有N n a a −<ε. (11)对无限个ε>0，∃，当n>N 时，有N n a a −<ε. (12)对∀∈，，当n>N 时，有m N N ∃n 1a a m−<. (13)设ε→k 0()k →∞，，对每个0k >εk ε，k N ∃，当时有k n N >n a a −<εk . 2．有人说，li 定义与“对n m x a =n →∞(,)∀αβ(a (,)∈αβ)，∃N ，当n>N 时，有”等价，对吗？n x (,)∈αβ3．一个数列去掉或添加或改变有限项是否会改变它的收敛性与它的极限值？ 4．证明：设a, b 为两个定数，(1)若对∀ε都有，则0ε>a b ≤+a b ≤； (2)若对∀ε都有 ，则a=b.0ε>|a b |−<5．若{a n }收敛，{b n }发散，则{a n ±b n }、{a n b n }收敛性如何？举例说明. 6．{a n }与{b n }均发散，则{a n ±b n }、{a n b n }是否发散？举例说明.·8·7．若n n lim a a →∞=，是否必有n 1n lim a a +→∞=？又能否断定n 1n na lim1a +→∞=.8．若对，N ，当n>N 时，就有|a 0∀ε>∃n 1n a |+−<ε，则{a n }是否收敛？ 9．下列命题是否正确？为什么？(1)设，{b n lim a 0=n →∞n →∞n }为任意数列，则n n lim a b 0=.(2)若n n lim x y 0n →∞=，则可断定或n lim x 0n →∞=或n lim y 0n →∞=.(3).n n lim x 0lim |x |0→∞→∞=⇒=n n a (4)若{a n }收敛于a ，则将a n 的顺序重新排列后所得的数列{}仍收敛于a. 'n 10．下面的计算方法有无错误，原因何在？ (1)1=n n n n 11limlim (n n n →∞→∞=+++个1n =n n 11limlim 0n n→∞→∞++= . (2)n n n 111lim (1)lim[(1)(1)(1n n n →∞→∞+=+++ 1n=n n n 111lim (1)lim (1)lim (11n n n→∞→∞→∞+++ =. (3)n n 111lim(1)(1)(1)111n 1n 22n→∞−−−=⋅++ 个=1. (4)假设n n lim q a(q 1)→∞=>，则因n 1n q q q +=⋅，两边同时取极限得：q=q ，从而a=0，故有(q>1).a ⋅n 0=n lim q →∞(5)n lim 10nn limn n 1→∞==.11．若n n lim (y x )0n →∞−=，n lim x a n →∞=，求证n lim y a n →∞=，请看下面的证法是否正确？·9·n n n 0lim (y x )lim y lim x =−=−∵n n lim y a n n n →∞→∞→∞n →∞=−n lim y ∴=n a →∞1n 2.定义：在给定的数列a 1, a 2, …，a n , …中，如果任意地挑选出无穷多项，并按照原有的次序排列出a , , …, , … (n n a k n a 1<n 2<…<n k <…)就得到一个足标为k 的数列{a }，称为原数列的子数列.k n 12．若数列{a n }的两个子列{a 2n }与{a 2n -1}都收敛，则{a n }是否也收敛？ 13．举例给出满足下列要求的数列 (1)无界数列，但不趋于无穷； (2)非单调的收敛数列； (3)无收敛子列的数列.14．若把满足柯西准则条件的数列叫做柯西列(或基本列)(1)若对∀ε>0，∃，当n>N 时有|a N n N a |−<ε，能否断定{a n }为柯西列？ (2)若对∀ε>0和p ∈，当n>N 时有N,N ∃n p n |a a |+−<ε， 能否断定{a n }为柯西列？(3){a n }、{b n }为两个柯西列，能否断定{a n +b n }、{a n b n }也是柯西列？ 15．下面的证法有无错误？设n 1x 12n =+++ 1，(n=1, 2, …)，证明{x 收敛.n }证：n p n 11|x x |n 1n p +−=++++∵ <11n 1n 1n 1+…+=++p+0 ∀ε>，取pN [1]1=−+ε，则当时，就有|x n N >n p n x |+−<ε.根据柯西准则知数列{x n }收敛.16．用“ε—N ”语言叙述{a n }不是柯西列.·10·17．数列{x n }收敛的充要条件有哪几个？ 18．证明数列{x n }发散有哪些方法？ 19．用肯定语气叙述 (1){x n }不是单调数列； (2)数列{x n }无上界；(3)区间[a, b]上每个数都不是数列{x n }的极限； (4).n lim x →∞≠+∞n 020．若对任给，对0x R,∈∃ε>N ∀∈N ，0n N ∃>，使0n 0|x x |−≥ε,能说明数列{x n }具有什么性质？22．证明：若，则在{x n lim x =+∞n →∞n x n a n n }中至少有一项，使0n x 0n x ≤ (n=1,2, …). 23．选择填空(1)若{a n }有界，则{a n }_________.(A)收敛 (B)发散(C)可能收敛，也可能发散 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (2)若{a n }无界，则{a n }___________.(A)为无穷大量 (B)发散(C)可能收敛，也可能发散 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (3)若{a n +b n }发散，则____________.(A){a n }、{b n }都发散 (B){a n +b n }无界(C){a n }与{b n }中至少有一个发散 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (4)若，，则数列a n lim a →∞=n lim b a →∞=1, b 1, a 2, b 2, …, a n , b n , …_________.(A)收敛，但极限未必是a (B)一定收敛于a(C)未必收敛 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (5)设{a n }中有无穷多项a n =1，则{a n }=__________.·11·(A)可能是正无穷大量 (B)可能是无穷小量 (C)一定收敛于1 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (6)若{a n }中有无穷多个子列都趋于a ，则{a n }___________. (A)一定收敛于a (B)可能是无穷大量 (C)未必收敛，但一定不是无穷大量 (D)A 、B 、C 中结论都不对 (7)设非常数数列{a n }收敛，且n lim a a n →∞=，则___________.(A){a n }为单调有界数列 (B){a n }非单调有界数列(C)在{}n a 中必存在一个子列是单调有界数列 (D)在{}n a 中不一定存在单调有界的子列 补充题1．按定义证明下列极限(1)22n n n 5lim 33n 2n 4→∞−+=+−1(2)()[]n lim ln n 1ln n 0→∞+−= 2．求下列极限(1)n lim(2)n 12n n lim n 22→∞+++− + (3)NN n 11lim12→∞=+++∑ n (4)222n 132n 1lim n nn→∞−+++ (5)2n 132n 1lim 222→∞− +++n(6)n lim (7)()()()()n242n lim 1x 1x 1x 1x →∞++++ (|x|<1)(8)n n n a lim 1a →∞+ () (9)a 1≠−nn 1n a lim 1a a −→∞+++ (a>0)(10)n 1lim n →∞ (11)34n 33n n 1lim n 2→∞ − −(12)n lim(13)nn k lim →∞=·12·(14)(n lim →∞ (15)222n 111lim 11123n →∞ −−− (16)n lim(17)2n n lim →∞ (18)n 111lim n 1n 22n →∞+++ ++提示：利用n 11lim 1ln n C 2n →∞ +++−=C为欧拉常数(19)nn k 1lim →∞=∑(提示：利用两边夹定理)(20)m 22m n lim 1m →∞−(21)(n lim sin →∞3．设{}n a 为正项数列，且n 1n na lim0a +→∞=，证明{}n a 当n 充分大后为单调数列.4．证明：若数列{}n a 无上界，则必有严格增加且趋于+∞的子数列. 5．若nn na limb →∞= (≠0)且，则 n n lim a 0→∞=n n lim b 0→∞=.6．设数列{}n a 满足0a ，n <<1()n n 111a a 4+−>，证明{}n a 单调增加，且n 1m a 2→∞=n li .7．设{}n a 为单调数列，它的某一子列a a k n →()k →∞，试证n lim a a n →∞=.8．设，，求证n lim x →∞=n a n n n lim y b →∞=n n lim Max(x ,y )Max(a,b)→∞=.9．利用柯西收敛准则，判断下列数列{}n a 的收敛性. (1)()n cos1cos2!cos n!1223n n 1=+++⋅⋅+ a (2)()()()n a cos2bsin 2a cos3bsin 3a cos n bsin n22sin 2!33sin 3!n n sin n!a +++=++++++ (a ，b 是常数) (3)n h h 1123n =++++h1a 1 (h ≤1) (4)n 11ln 2ln 3ln n=+++1a (n=2，3，…)·13·(5)若对∀≥1，有n n 2n 1a a ++−≤n 1n 1a a 2+−，证明{}n a 收敛. 10．试证：n n x x x sin lim cos cos cos 24x 2→∞= x.11．利用单调有界定理求证下列极限 (1)求数列n n!a (2n 1)!!=− (n=1，2，…)的极限.(2)设数列{}n x 满足，且1x <1()n n 12x x 1+−=，求.n lim x n →∞(3)证明数列n 211111222 =+++ n0n →∞x 1收敛.12．设a (n=1，2，…)且n >n lim a a =，证明：(1)n 12nnlima 111a a a →∞=+++ ，(2)n lim a =.13．设a (n=1，2，…)且n >0n 1n na lim a a +→∞=，证明：n lim a =.14．设{}n a 为单增数列，12nn a a a n+++= S ，试证：若n n lim S a →∞=，则.n m a a →∞=n li 例题：例1．试证：n 11x 1ln 2n =+++− n 收敛(其极限值称为欧拉常数).证：nn n k 1k 2123n 1k 1n ln k 12n 1k 1k 1n == =−⋅⋅=−+ −−− ∑∑ x l而 ()k 11k 111ln 1ln 11ln e 0k 1k 1k 1k 1k− −=−+>−= −−−− (注意k 11k +严格增且趋于e) ∴ ，(n=1，2，…)n x >0·14·又 n 1n 1n 1n 11x x ln 1ln 10n 1n 1n 1n ++ −=+=−+< +++ (∵n ! 11n + +↘且→e(当n →∞时))可见{}n x 为单调减少，且有下界的数列，所以收敛. 记其极限值为C ，故有 n 11lim 1ln n C 2n →∞ +++−=.例2．设0a ，11<<b n 1n 1n n 1n 12a b a a b −−−−=+，n b = (n=2，3，…)，试证{}n a 单增，{}n b 单减，且有相同的极限.证：①先证a ≤n n b 由n n n a b 1n 1−−==≤1 立明. ②次证{}n a ↑2n n n n nn 1n n n n n n2a b a b a a a a a b a b +−−=−=++≥0 ∴a ≥n 1+n a ③再证{}n b↓ n 1b+=n b =从而有 ≤a ≤1n a n b ≤b 1，(n=1，2，…) {}n a ⇒，{}n b 都收敛，设n lim a a n →∞=，n lim b b n →∞=.b>0 ⇒ ④后证a=b在n b =中令得 n →∞b =0=， ∵b 0≠ ∴a b =.例3．证明施笃兹(stolz)定理.设 1) (n=1，2，…) 2)n 1y +>n y n n lim y →∞=+∞ 3)n n 1n n n 1x x limy y −→∞−−−=a·15·则 n n n 1n n n n n 1x x x limlim a y y y −→∞→∞−−==−.证：对∀ε，，当时有 0>N ∃n N >n n 1n n 1x x a y y −−−ε−<−2.于是下面的分数N 1N 1x x y y ++−−N N ，N 2N 1N 2N 1x x y y +++−−+，…，n 1n 2n 1n 2x x y y −−−−−−，n n 1n n 1x x y y −−−−都在a 和2ε−a 2ε+之间，从而 n N n N x x 2y y 2−εε−<<+−a a 即n N n N x x a y y −2ε−<−又N N N n N n n n n n N x ay y x x x a 1y y y y y −−−=+−− − a 可得nn x a y −≤N N n N n n Nx ay x x a y y y −−+−− 由上知，当时，右端第二项小于n >N 2ε. 又当n 时，第一项→0，故→∞N '∃≥N ，当n N ′>时，第一项2ε<，于是，当时，有n N ′>nnx a y −<ε. ∴ nn nx lima y →∞=.注1：若将条件3)改为n n 1n n n 1x x limy y −→∞−−=+∞−(或−∞)，结论仍然成立.注2：(型stolz 定理) ·16·设对一切充分大的n ，{}n b 严格递减，且n n n n lim a lim b 0→∞→∞==，若n n 1n n 1a a limn b b +→∞+−−存在，则n n n a limb →∞也存在，且n n n n a a a lim im n 1n 1n n l b b b +→∞→∞+−=−.证：设n n 1n n n 1a a limS b b +→∞+−=−，则对0∀ε>，N ∃，当时有n N > n n 1n n 1a a S Sb b ++−−ε<<+ε−⇒ ()()()()n n 1n n 1n n 1S b b a a S b b ++−ε−<−<+ε−+ 把上式中n 改为n+1，n+2，…，n+p -1，并把结果相加得 ()()()()n n p n n p n n p S b b a a S b b ++−ε−<−<+ε−+)n b N 当p 时，上式取极限得 →∞ ≤a ≤ (S −εn ()n S b +ε 故当n 时，有>nna Sb −≤. ε ∴ nn na limS b →∞=.注3．应用stolz 定理立得 (1)若，则n n lim a →∞=a 12nn a a a lima n→∞+++= .(2)k k k 1n 12n lim n +→∞+++ k (k ≥0)1k 1=+. (3)若()n 1n n lim a a a +→∞−=，则nn a lima n→∞=.(4)设有两个数列{}n a ，{}n b 且n b 0>，nk n k 1lim b →∞==+∞∑，则有12n n n n 12n na a a amlim li b b b →∞→∞+++=+++ b .(5)设，，k a 0>nk n k 1lim a →∞==+∞∑n n lim b b →∞=，则·17·1122n nn 12na b a b a b limb a a a →∞+++=+++ .(6)设{x 满足，则 n })∞n n 2x x 0(n −−→→n n 1n x x lim0n −→∞+=.(7)设数列{s ，令n }01nn s s s ,(n 0,1,2,)n 1+++δ==+对，再设，证明：n ≥11n 0→∞n n n a s s −=−若n lim na =，且{收敛，则{s 也收敛，且n δ}n n →∞→∞n }n n lim s lim =δ.(提示：nn n k 11s K n 1=−δ=+∑k a a ∵，再用stolz 定理)(8)若，则n n lim a →∞=12nn a 2a na lima 12n→∞+++=+++ .(9)若则n n lim a →∞=a 12n 2n a 2a na alim2n →∞+++= .例4．证明：n 111lim (1)e 1!2!n!→∞++++= . 证：记n 2n 11n(n 1)1x (1)1n ()(n n 2!n n 1n−=+=++++ =1111211k 12(1)(1)(1)(1)(1)2!n 3!n n k!n n −+−+−−++−− 112n 1(1)(1)(1)n!n n n−++−−− 11112k 12(1)(1)(1)(12!n k!n n n−>+−++−−− 固定k ，令，在上式两端取极限n →+∞11e 22!3!k!≥++++ 1 于是当k=n 时·18·n 111e 2x 2!3!n!≥++++> 而，n n lim x →∞=e n 11lim (2)e 2!n!→∞++= ∴+ 例5．证明不存在. n →∞n →∞lim sin n 证：“反证法” 假定{s 收敛，设in n}lim sin n a =. 则，有 n →∞n n →∞→∞n →∞=n →∞n n →∞→∞=a 0n n lim sin(n 2)a +=lim[sin(n 2)sin n]lim 2sin1cos(n 1)0+−=+= lim cos(n 1)0⇒+， lim cos n 0⇒=lim sin 2n lim 2sinncos n 0⇒= ⇒=从而lim sin n 0,lim cos n 0→∞→∞== n n n n lim sin →∞∴不存在. 例6．设，n lim a a →∞=n lim b b →∞=，证明： 1n 2n 1n 1n a b a b a b limab n −→∞+++= . 证：由，n a a →n b b →可得n a c,(n 1,2,)≤=12n n a a a a a a A 0n −+−++−=→ 12n n b b b b b b B 0n−+−++−=→ 故对∀ε，当时，0,N >∃n N >n n A ,B <ε<ε,·19·从而当时，有n >N 1n 2n 1n 11n n 1a b a b a b (a b ab)(a b ab)ab n n−+++−++−−= =1n 11n 1n n (a b a b a b ab)(a b a b a b ab)n−+−++−+− 1n 2n 1n 112n a (b b)a (b b)a (b b)(a a)(a a)(a a)b n n−−+−++−−+−++−≤+ n n cB b A c b (c b )≤+<ε+ε=+ε1n 2n 1n 1n a b a b a b lim ab n−→∞+++∴= . 例7．证明a n log n lim0n →∞= . (a 1)>证：对 0a ε∀ε>⇒>1n lim 1=∵，故 N ∃，当n>Na ε<从而 a 1log n n<ε 即当n>N 时有a a 11log n 0log n n n −=<ε a n 1lim log n 0n→∞∴=. 例8．若已知n lim ln p n→∞= (p>0，为常数)，求n n lim (3→∞ (a>0，b>0，c>0).解：n (3∵=3(13 +·20·=ln[(1∴原式=n 1lim 3→∞e(其中n 3h 03→∞= → ) =1[lna ln b lnc]ln e 3++e=1lnabc 3=e .·21·第三章 函数极限思考题1．函数极限定义与下列形式是否等价？为什么？ x a→lim f (x)A =(1)n 1,2δ0>∀∃，当0x a <−<δ时，n 1f (x)A 2−<. (2)10,0n >∃>∀ε，当10x a n<−<时，f (x)A −<ε. (3)∀ε，当0,0>∃δ>0x 时，a <−<εδf (x)A −<ε.(4)∀ε，当0,0>∃δ>0x 时，a<−<δf (x)A −<.(5)∀ε，当0,0>∃δ>0x 时，a <−<δf (x)A −<δε.2．f(x)在a 点极限与f(x)在a 处的情况是否有关？3．定义：称a D ∈为D 的孤立点，当且仅当存在开区间I ，使I D {a}∩=. 试问，讨论f(x)在a 点极限时，a 可否是f(x)定义域的孤立点？4．若对，当0,0∀ε>∃δ>x a −<δ时，有f (x)A −<ε，试问，是否存在？如果存在，极限值A 等于什么？x a li 0m f (x)→5．∀ε，对，当>0∀δ>0x a <−<δ时，均有f (x)A −<ε，问f(x)的变化情况如何？6．若，对，当0∃ε>0∀δ>0x a <−<δ时，有f (x)A −<ε，问f(x)的变化情况如何？7．对，当:01,:01∀ε<ε<∃δ<δ<0x a <−<δ时，有f (x)A −<ε， 问=A 成立否？ x a)→0)δlim f (x 8．设=A ，且f(x)在x x x lim f (x →0点有定义，问在x →x 0的过程中是否可以取x=x 0? f(x)能取值A 吗？又是否必有A=f(x 0)?9.试用“”语言写出当x →x ε−0+时，f(x)不以A 为极限. ·22·10．若f(x)=A ，则是否成立x 0lim →+n 1lim f (A n→∞=？反之是否成立？ 11．举出满足下列各要求的例子.(1)虽然f(x x 0→x 0→lim 2)存在，但f(x)不存在； lim (2)00x x lim f (x)→存在，但f(x)不存在； x x lim →(3)f(x)在其定义域内每一点都不存在极限；(4)f(x)在其定义域内仅在一点极限存在.12．选择填空：(1)若f(x)在点x 0的某邻域内有界，则f(x)________.x x lim → (A)存在 (B)不存在 (C)未必存在(2)若f(x)在点x 0某邻域内无界，则f(x)________.x x lim → (A)存在 (B)不存在 (C)可能存在(3)若f(x)存在，则f(x)在x x x lim →0点处 定义. (A)有 (B)无 (C)不一定有13．设f(x)在D 上有定义，则f(x)在D 上无上界的充要条件是：n x ∃∈D n →∞(n=1, 2, …)，使n lim f (x )=+∞. 14．若对∀ε使当x>M 时，有()0,M 0,>∃ε>f (2x)f (x)−<ε，则f(x)是否一定存在？ x →+∞lim 15．下列说法是否正确？(1)无穷小量是非常小的量；无穷大量是非常大的量；(2)无穷小量小于任何实数；无穷大量大于任何实数；(3)无穷大量总大于无穷小量；(4)无穷大量与有界量的乘积是无穷大量；·23·(5)两个无穷大量之和仍为无穷大量；(6)无穷大量与无穷小量的乘积为无穷小量；(7)无穷大量与无穷小量的乘积为无穷大量.16．证明f(x)在x 0点极限不存在，有哪些常用的方法？ 17．若f(x)在(x 0, x 0+)(>)上单增有上界，问ηη00x x lim +→f(x)是否存在？ 18．下列算法是否有误？错在哪里？ (1)x 0sin x 0lim 1x 0→==； (2)2x x x lim 12→∞+∞==+∞； (3)x x 1lim (111x∞→∞+==； (4)x 0x 0tgx sin x x x lim lim 0x x →→−−==； (5)x x x tgx tgx x lim lim lim 1sin x x sin x→π→π→π=⋅=； (6)22x 0x 0x 0x 011lim x sin lim x lim sin 0lim sin 0x x →→→→=⋅=⋅=1x； (7)x 0x 01sin 1x lim x sin lim 11x x→→==； (8)2x 3x 3x 3x 3x 3lim(x 3)lim(x 3)x 9lim lim(x 3)6x 3lim(x 3)→→→→→−⋅+−==−−+=1. 19.设f(x)=，证明：3x ,x 2,x 1 ≠ =()x 1limf x 1→=. 试问下面两种证法是否有错误？证法1：当x ≠1时，32f (x)1x 1x 1x x 1−=−=−⋅++ 先设 0<x −1<1，这时()x x 112f x 1x 1≤−+<⇒−=−2x x 17x 1⋅++≤− ·24·对0,7ε∀ε>δ=取，则当0<x 1−<δ时 ()f x 1−<ε()x 1limf x 1→∴=. 证法2：当x ≠1时，()2f x 1x 1x x 1−=−⋅++ 令2x 1,x x 1≤++3≤则，要使 ()f x 13x 1−≤−<ε，只要0<x 13ε−<， 对，取0∀ε>min{1,}3εδ=，则当0|x 1|<−<δ时，有 ()f x 1−<ε()x 11limf x →∴=. 补充题1．求下列极限(1)x lim x →−∞)+； (2)x →li(3)x 0lim x→ (4)x 3m →li ； (5)x 2x x lim 1x →∞ +; (6)2x 0cosx cos3x m x →li − (7)3x 0tgx sin x lim x →−； (8)()x 1x m 1x tg ;2→li π− (9)2x 01cosx cos2x cos3x lim ;sin x→− (10)x → (11) (12)()2ctg x 2x 0lim 13tg x ;→+x 01m x x →li；(13)()x a 0→> (14)()1x x x x 12n i x 0a a a lim a 0n → ++…+>.·25·2．讨论单侧极限(1)()x21,0x2x,1x22x,2x3 <≤=<<<1<f x，在在0，1，2三点.(2)()11xx x=−=在1nf x各点. 3．证明下列关系式31~x4(x→0).(2)2~nπsin(n).→∞(3)2sin x1O1x x=+2(x).→∞(4)42x21ox3x+=+(x).→∞4．设f(x)在(a,+∞)上单调上升，nnlim x→∞=+∞，若()nnlim f x A→∞=，求证：. (A可以为无穷)x→∞lim f(x)A=5．设f(x)在()上严格增，若a,+∞()()nn xlim f x lim f x→∞→∞=，求证：nlim xn→∞=+∞.6．设f(x)在[a,b]上严格递增，如果对于x n∈[a,b],(n=1, 2, …)有()()nna→∞)lim f x f a→∞=成立，则.nlim x=7．设f(x)是(,−∞+∞上的周期函数，又()x→∞lim f x0=，求证：()0≡f x.·26·8.设32x 1x ax x lim x 1→−−−++4)0有有限极限值L ，试求a=? L=? 9．设在点的某邻域(f x x ()0U x (点x 0可能例外)内有定义， 试证：如果对任意点列()()}{n n 0n 0n 10n 0x x U x ,x x n ,0|x x ||x x |+∈→→∞<−<− 都有()n n lim f x A →∞=，则0x x lim f (x)A →=. [提示：可用反证法] 10．证明：若∑，则m i i 1a ==0m i x i 1lima 0→+∞==∑.·27·第四章 函数的连续性函数f(x)在点x 0连续有下列各种等价叙述(1). ()(0x x lim f x f x →=)0(2)∀ε，0,0>∃δ>()()00x :x x f x f x ∀−<δ⇒−<ε.(3)()()()00x 0lim y 0,x x x ,y f x x f x ∆→∆=∆=−∆=+∆−其中0)00→. (4)f x .()()(000f x 0f x +=−=(5)∀，有n n x :x x ()()n 0n lim f x f x →∞=. (6)()[]()()000,0f U x ,U f x ,>∃δ>⇒δ⊂ε∀ε.引进记号：用C[a,b]表示定义在[a,b]上所有连续函数全体. 思考题：1．(1)试用“ε−δ”言语写出f(x)在x=x 0点左连续的定义.(2)如果极限存在，那么f(x)在x (x x lim f x →)0)0点是否连续，若不连续，有哪些可能的间断情况？2．能否补充定义f(0)，使得下列函数f(x)在x=0点连续？(1)f(x)=(1x 1x +, x ≠0.(2)()1x e =f x x ≠0.,(3)()=f x x ≠0. 3.证明(1)设对于所有的x ，函数f 满足()f x x ≤，则f(x)在x=0点连续.(2)设函数g 在0点连续，且g(0)=0及()()f x g x ≤，则f(x)在x=0连续.(3)设f 只可能有可去不连续点，定义g(x)=()y x lim f y ,→则g(x)为连续函数. ·28·(4)设y=f(x)在(),−∞+∞上满足f(x+t)=f(x)+f(t)，且在x=0点连续，则f(x)在()上任一点a 处连续.,+∞−∞4．设在点x 0处，f(x)连续，g(x)不连续，问f(x)+g(x)与f(x)⋅g(x)在x 0点是否连续？若f(x)与g(x)在点x 0处都不连续，结果怎样？5．试作出两个处处不连续的函数的复合函数是处处连续函数的例子.6．试作出一个定义在上只有两个连续点的函数.(,−∞+∞))7．作一函数f(x)，使它在(处处不连续，而,−∞+∞()f x 在(),−∞+∞上处处连续.8．设，()1,x g x 0,x =为有理数有无理数[]x 1,1∈−，研究函数x ⋅g(x)，x [1,1]∈−的连续性. 9．设()[]()()f x C a,b f a f b ∈且<，则它的值域是否就是()()[]f a ,f b ？若f(x)在[a,b]上还是单增的，结果如何？10．若f(x)在[a,b]上仅有一个()0x a,b ∈第一类间断点，证明f(x)在[a,b]上有界. 11．试举例说明，根的存在性定理(零值定理)对于在[a,b]上有定义，在(a,b)内连续的函数不一定成立.12．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)至少有一个根.13．设f(x)在(a, b)内连续，且恒为正，a<x 1<x 2<… <x n <b ，证明：至少存在一点()a,b ζ∈，使()f ζ=.14．设f(x)，g(x)∈C[a,b]，且f(a)>g(a), f(b)<g(b)，求证：在(a,b)内至少有一点ζ，使()()f g ζ=ζ.15．设f(x)在(),−∞+∞上连续，且f[f(x)]=x ，求证：存在，使()0x ,∈−∞+∞()00f x x =.16．若()[]f x C a,b ∈，且对任何x [a,b]∈，存在相应的()y a,b ∈使得()()1f y f x 2≤，则至少存在一点[]a,b ,ζ∈ 使()f 0ζ=. 17．设()[]f x C a,b ∈，令f x ()t f (x)t,= ,()[]()[]f x t x a,b f x t x a,b >∈≤∈的的，求证：()[]t C a,b f x ∈. 18．设f(x)，g(x)∈C[a,b]，若在一切有理点x ∈[a,b]上f(x)=g(x)，证明： ·29·在[a,b]上.()(f x g x ≡)19．研究函数()0,x 0f x 1p ,x ,p,q q q= = 当为大于的无理数当为互质的正整数 的连续性. 20．设f(x)在x=0处连续，且对()12x ,x ,∀∈−∞+∞恒有()()()12121f x x f x f x 2x x +=+−2)∞]证明：(1)f(c)=0.(2)f(x)在(上连续.,−∞+∞21．设f(x)∈，且满足f(x C(0,)+2)=f(x)，(x>0)证明：f(x)为一常数.22．设，值域为[0,1]，则至少存在一点f (x)C [0,1∈[]x 0,1∈，使.()f x x =23．若()[]f x C a,b ∈且f(x)恒为有理数，问f 应为怎样的函数？24．设f(x)满足介值性，并且对每一值，f 只取得一次，证明f 是连续的.25．设f 是连续函数，且()()n nx x f x f x lim lim 0x x →+∞→−∞==，证明： 当n 是奇数时，必有一数ζ满足()n f 0ζ+ζ=.26．设f(x)在[a,b]上递增，且有介值性，证明f (x)C[a,b]∈.27．设，且f(a)=f(b)，证明：f (x)C[a,b ∈]一定存在0a b x [a,2+∈]，使00b a x )f (x )2f (−=+. 28．下面说法是否成立？为什么？(1)若f(x)分别在[a,b]与[c,d]上都一致连续，则f(x)在[a,b]∪[c,d]上也一致连续.(2)若f(x)分别在(a,b)与(b,c)上均一致连续，则f(x)在(a,b)(b,c)上也一致连续.∪(3)若f 和g 在区间I 上一致连续，则f (x)g(x)±在I 上也一致连续.29．有人说：若f(x)在[a 上一致连续，则必存在，对吗？ ,)+∞x →+∞lim f (x)30．证明：若f(x)在(a,b)内连续，单调有界，则f(x)在(a,b)内一致连续. 若在条件中将单调去掉，结论是否还成立？·30·31．证明：设f 在上连续，且当时，y=f(x)以直线y=bx+c 为渐近线，即满足，则f(x)在[a (a,)+∞x c)]0−+x →+∞,)x →+∞lim [f (x)(b =+∞上一致连续. (提示：方法1，按一致连续定义证. 方法2，先考虑函数ϕ(x)=f(x)-(bx+c)的一致连续性)补充题：1．试决定常数a, b, c 使函数2ax bx c ,0x 1f (x)1,x 01,x 1 ++<< =−= ≥在上处处连续.(,−∞+∞))b)0 ,1]2．证明Dirichlet 函数1,x D(x)0,x = 为有理数为无理数在上处处不连续.(,−∞+∞3．用定义证明x,x f (x)0,x = 为有理数为无理数仅在x=0连续.4．证明：方程x=asinx+b (a>0,b>0)至少有一个正根，并且它不超过a+b.5．设f(x)在(a,b)上连续，极限与都存在且异号，证明：必有一点，使.x a lim f (x)+→x blim f (x)−→(a,ξ∈f ()ξ=6．已知f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，则对任意实数，必有点，使.(0,1)∈0x [0∈00f (x )f (x )=+ 7．设f(x)在(a,b)内连续，若有数列n n n n x ,y (a,b),x a,y a ∈→→,使极限，li 存在，则对A 与B 之间的任意数n lim f (x )=n A →∞n →∞n m f (y )B =µ，必可找到数列，n z a → ·31·使. n n lim f (z )→∞=µf (kf (c)f (d)8．若f(x)在[a,b]上只有第一类间断点，则f(x)在[a, b]上有界.9．证明：若f(x)在(a,b)上连续，且f(a+0), f(b -0)存在有限，则f(x)可取到f(a+0)与f(b -0)之间的所有值，但f(a+0),f(b -0)不一定能取到.10．设f(x)在区间I 上有定义，0x I ∈，则f(x)在x 0点连续⇔对，都有n n x I,x x ∀∈→0n →∞n 0lim f (x )f (x )=. 11．试证：若f(x)为连续但不等于常数的周期函数，则f(x)必有最小正周期.12．设,若数列x)C[a,b ∈]]n x [a,b ∈存在极限n lim f (x )A n →∞=，则必存在,使f(x 0x [a,b]∈0)=A.13．举例(1)有上界无下界的无界集.(2)既无上界又无下界的无界集.(3)有最小上界，无最大下界的数集.(4)含有最小上界但不含有最大下界的数集.(5)既含有最小上界又含有最大下界的数集.14．证明：若f(x),g(x)在有限的区间I 上一致连续，则f(x)·g(x)在I 上一致连续，并举例说明此命题对无限区间不成立.15．证明：若f(x)在(a, b)内连续，且f(a 0)f(b-0)+==+∞ξ)，则f(x)在(a,b)内能取得最小值.16．证明：若f(x)在(a, b)上连续：a<c<d<b ，且为正数，则至少存在一点，使.k, (a,b)ξ∈(k )f ()+=+ 17．设f(x)定义在(,上，对−∞+∞x,y (,)∀∈−∞+∞，有f (x y)f (x)f (y)+=+且f(x)在x=0点连续.(1)求f(0)=?(2)证明f(x)为奇函数.·32·(3)证明f(x)在(,上一致连续.)δ−∞+∞18．用“ε−”语言写出f(x)在(a,b)上不一致连续的涵义.19．求证：sin x f (x)x=在(-1，0)和(0，1)上都一致连续，但在0x 1<<上并非一致连续.20．证明：(1)f 在上一致连续.(x)cos =x )(,−∞+∞(2)1x)sin x =f (在(0，1)上不一致连续. (3)1(x)x cos x=f 在上一致连续. (1,)+∞(4)f (在上不一致连续.2x)sin =x )(,−∞+∞(5)ln(1x)x)xf (+=在上一致连续. (0,)+∞21．设f(x)为(,)−∞+∞上的周期连续函数，证明：f(x)在(,)−∞+∞上一致连续. 定义：设函数f(x)定义在(a,b)上，若存在常数M>0，使对一切，有12x ,x (a,b)∈212f (x )f (x )M x x −≤−1则称f(x)在(a,b)上满足李普希兹(Lipschitz)条件.22．若f(x)在(a,b)上满足lipschitz 条件，证明f(x)在(a,b)上一致连续.23．设f(x)在[a 上满足lipschitz 条件，证明,)(a 0)+∞>f (x)x在[a,)+∞上一致连续. 24．设f (,且只有唯一的最小值点x x)C[a,b ∈]0,又设n x [a,b]∈，有，求证：. n 0im f (x )f (x )→∞=n l n )n 0m x x →∞=li 定义：若对在[,[,]I,f (x ∀αβ⊂]αβ上都一致连续，则称f(x)在区间I 上内闭一致连续.25．下列说法是否正确，为什么？(1)若f(x)在有限区间I 上无界，则f(x)在I 上必非一致连续.·33·(2)若f(x)在区间I 上无界，则f(x)在I 上必非一致连续.(3)f(x)在(a, b)上一致连续在(a, b)上内闭一致连续.f (x)⇔(4)f(x)在区间I 上内闭一致连续⇔f(x)在I 上连续.(5)f(x)在区间I 上一致连续对区间I 中满足⇔n n n lim (x y )0→∞−=的任何两个数列{x , 总有. n }n {y }n n n lim[f (x )f (y )]→∞−=0 ·34·第五章 导数与微分思考题：1．是否成立？(1)f .0000'(x )[f (x )]';f '(x )f '(x 0)+==+)(2)若存在，则0f '(x 00n 1lim n[f (x )f (x )]f '(x )n→∞+−=0). 2．若连续函数f(x)在x=x 0处不可导，问曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线能否存在？ 3．设f(x)在x 0点可导，g(x)在x 0点不可导，问f(x)+g(x)及f(x)·g(x)在x 0点是否可导？4．能否说：初等函数在其定义域内都是可导的？5．若f(x)在x 0点可导，能否推出必存在点x 0的某邻域U(x 0),使f(x)在U(x 0)内可导？ 6．设f(x)在(,−∞+∞上有定义，且满足：(1)f(x)=f(x 2), ，x (,)∈−∞+∞(2)在x=0点可导,求df(0).7．设f(x)对∀有f(x 12x ,x (,)∈−∞+∞1+x 2)=f(x 1)·f(x 2),且f '(0)=1，证明：f '(x)=f(x).8．若f(x)在(,)−∞+∞上有定义，且存在常数k 与a>1，使对12x ,x (,)∀∈−∞+∞, 有a 1k(x x )−12f (x )f (x )−≤2)，证明f(x)为一常数.9．设f(x)在(,−∞+∞内有连续导函数f '(x)，且x lim f (x)0→∞=，证明：至少存在一点，使.(,ξ∈−∞+∞)f '()0ξ=10．证明：若f(x),g(x)在x=0处可导，且g'(0)≠0，又f(0)=g(0)=0，则x 0f (x)f '(0)limg(x)g'(0)→=. 补充题：1．研究函数·35·①xarctg ,x 0f (x)0,x 0 > = ≤在x=0点的可导性. ②1x 1,x 1ef (x)0,x 0≠+= = 0 在x=0的可导性.2．设 ，求f '(x). 23x ,x 0f (x)x ,x 0≥= < 3．设21x e ,x f (x)0,x 0− ≠= = 0)，你能用几种方法求出f '?(0)4．设f(x)在(,−∞+∞上二阶导数连续，且f(0)=0，对于函数f (x),x 0g(x)x a,x 0 ≠ = =(1)确定a 的值，使g(x)在(,上连续.)−∞+∞(2)证明确定的a 值，可使g(x)在(,)−∞+∞上一阶导数连续.5．设(x)当x ≤x ϕ00有定义，并且二阶导数存在，应该怎样选取系数a,b,c ，才能使函数的二阶导数存在？ 0200(x),x x f (x a(x x )b(x x )c ,x x ϕ≤ −+−+> )=6．设a 为常数，a 1x sin ,x 0x)x 0,x 0 > = f (≤，请回答下列问题： (1)在什么情况下，f(x)不是连续函数？(2)在什么情况下，f(x)是有界函数？(3)在什么情形下，f(x)连续，但不可导？(4)在什么情形下，f(x)可导，但f '(x)不连续？(5)在什么情形下，f '(x)连续？·36·。
数学史与数学思想模拟试题
数学史与数学思想模拟试题1. 请简述数学史的发展脉络及其对人类社会的影响。
数学史作为一门独立的学科，记录了自古以来人类对数学的研究与探索。
数学作为一种抽象的形式语言，具有丰富的应用价值，深刻地影响了人类社会的各个领域。
在数学史的发展脉络中，可以明显地观察到数学思想与科技进步之间的密切联系。
2. 古希腊的数学思想对现代数学有何启示？古希腊的数学思想对现代数学起到了重要的启示作用。
古希腊数学家特别注重推理和证明，广泛运用逻辑推理和几何图形。
例如，在形式化推理方面，古希腊的数学家形成了一套精细的证明体系，为后来的数学发展提供了基础。
另外，古希腊的几何学则从一系列的公设和定理开始，发展了良好的证明技巧和推理思维方式。
3. 数学史中的重要人物及其贡献。
数学史上有许多重要的人物，他们的贡献对数学的发展产生了深远的影响。
例如，古希腊的欧几里得系统化了几何学，提出了著名的《几何原本》；爱因斯坦通过相对论理论对物理学和数学的关系进行了重要的探索；高斯则在代数学、数论和几何学等领域做出了开创性的研究；牛顿和莱布尼茨等人独立地发现了微积分的理论与方法，并为其奠定了坚实的基础。
4. 数学思想与科技进步的关系。
数学思想与科技进步之间有着紧密的联系。
随着科技的发展，我们需要越来越强大的数学工具来解决各种实际问题。
数学思想为科技进步提供了理论基础和解决方案。
例如，数值计算的发展推动了各种应用领域的科技进步，包括天气预报、金融风险评估和图像处理等。
另外，数学在密码学、人工智能和数据分析等领域中的应用，都促使了科技的突飞猛进。
5. 数学的未来发展趋势与挑战。
数学作为一门基础学科，其未来发展将面临许多挑战和机遇。
随着科技的进步，人们对数学应用的需求将会增加，为数学的深入研究提供了广阔的领域。
另外，不同学科之间的交叉融合也是数学发展的重要趋势，例如计算数学、统计学和数学物理学等。
但是，数学的发展也面临着理论难题和复杂性的挑战，需要数学家们付出更多的努力。
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数学史思考题4
一、选择题
1．《墨经》是我国试图对数学进行理论探讨的著作，它的诞生时代是（ A ）
A．战国时代B．三国时代C．宋元时代D．明清时代
2．我国古代文献《墨经》一书中的“平”、“厚”，就是现代几何课本中所指的（ C ）A．平面与空间B．平行与高度C．平行与体积D．面积与体积
3．我国古代著作《周髀算经》中的“髀”是指( B )
A．太阳影子 B．竖立的表或杆子 C．直角尺 D．算筹
4．在现存的中国古代数学著作中，有一部著作叙述了关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。
这部著作就是( C )
A．《缉古算经》B．《张邱建算经》C．《周髀算经》D．《孙子算经》
5．最早记载勾股定理的我国古代名著是( C )。
A．《九章算术》B．《孙子算经》C．《周髀算经》D．《缀术》
6．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是( B )
A．周公后人荣方与陈子 B．三国时期的赵爽
C．西汉的张苍、耿寿昌 D．魏晋南北朝时期的刘徽
7．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D )
A．《孙子算经》 B．《墨经》 C．《算数书》 D．《周髀算经》
8．我国最早的一部算书――《算数学》是( D )。
A．传世本B．甲骨文算书C．钟鼎文算书D．竹简算书
9．中国最古的算书《算数书》出土于( D1984年 )
A．20世纪20年代 B．20世纪40年代 C．20世纪60年代 D．20世纪80年代10．我国古代十部算经中年代最晚的一部( C )
A．《孙子算经》B．《张邱建算经》C．《缉古算经》D．《周髀算经》
11．下列数学著作中不属于“算经十书”的是( A)。
A．《数书九章》 B．《五经算术》 C．《缀术》 D．《缉古算经》
12．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著( D )。
A．《考工记》 B．《墨经》 C．《史记》 D．《庄子》
13．在中算史上，刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是( B )。
A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.1415926
14．世界上第一个把π计算到3．1415926＜π＜3．1415927的数学家是( B )
A．刘徽 B．祖冲之 C．阿基米德 D．卡瓦列利
15．祖冲之的代表作是（ C ）
A．《考工记》B．《海岛算经》C．《缀术》D．《缉古算经》
16．世界上讲述方程最早的著作是( A )
A．中国的《九章算术》 B．阿拉伯花拉子米的《代数学》
C．卡尔丹的《大法》 D．牛顿的《普遍算术》
17．《九章算术》的作者是( D)。
A．刘徽B．张苍、耿寿昌C．秦九韶D．作者不详
18．《九章算术》是从先秦至_________的长时期里经众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。
( A ) A．西汉B．三国C．东汉D．魏晋南北朝
19.《九章算术》的“少广”章主要讨论（ D ）。
A．比例术B．面积术 C．体积术D．开方术
20. 《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( B )
A．棱柱B．棱锥C．棱台D．楔形体
21.出用以发现球体积公式的“平衡法”的数学家是( B )。
P53
A．刘徽B．阿基米德C．莱布尼茨D．牛顿
22.对于几何体的体积计算方面，不论是在种类齐全完备上，还是在逻辑推理完整上，在全世界同时期首推的是（）
A．中国B．印度C．阿拉伯D．希腊
23.“幂势既同，则积不容异”的原理在我国现行教材中称为( A )
A．祖暅原理B．祖冲之原理C．平衡法D．阿基米德原理
24．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C )
A．秦九韶 B．杨辉 C．朱世杰 D．贾宪
25.我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理”，这一方法的首创者是( D )
A.贾宪；
B.刘徽；
C.朱世杰；
D.秦九韶
26．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。
A．两汉时期B．隋唐时期C．魏晋南北朝时期D．宋元时期
二、填空题
1．在现存的中国古代数学著作中，《___周髀算经________》是最早的一部。
卷上叙述的关于荣子与陈方的对话，包含了_____勾股定理______的一般形式。
P70
2．我国古代著作《周髀算经》中的“髀”是指____竖立的表或杆子 __________。
3．中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《_周髀算经_____》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的___赵爽___。
4．《墨经》是我国试图对数学进行理论探讨的著作，它的诞生时代是__战国时代_______。
5．我国古代文献《墨经》一书中的“端”、“直”，就是现代几何的_____点_________、_____直线_________。
6．我国古代文献《墨经》一书中的“平”、”厚”，就是现代几何课本中的____平行_____、___体积_____。
7．《九章算术》是从先秦至____西汉中叶_____的长时期里经众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。
8．《九章算术》内容丰富，全书共有_____九______章，大约有_246_______个问题。
9．《九章算术》中“方程术”的关键算法是“___遍乘直除_______”，实质上这就是我们今天所使用的解线性联立方程组的___消元法______。
10．《九章算术》“方田”、“商功”、“勾股”三章处理几何问题。
其中“方田”章讨论___面积计算______，“勾股”章则是关于_____勾股定理的应用____。
11．《九章算术》中少广(第四章)主要讲_____ 已知面积、体积、求其一边长和径长等________问题，方程(第八章)主要讲_____一次方程组_________问题。
12．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”，这里的规是指____圆规_________，矩则是指__直角尺___________。
13．“幂势既同，则积不容异”的原理是我国古代数学家_____祖暅_______首先明确提出的，其现代汉语意思是__位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等_____，__则这两个立体的体积相等________。
这一原理在我国现行教材中叫做__祖式原理_______，在西方文献中被称作__卡瓦列里__________原理。
14．刘徽数学成就中最突出的是___割圆术________和____体积理论_______。
15．刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算____圆周率__________的数学家。
16．我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫_____割圆______术，用来计算面积和体积的一条原理是_____“出入相补”______原理。
17．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为_____杨辉______三角，而数学史学者常常称它为___帕斯卡________三角。
18.“杨辉三角”是我国数学家__贾宪______首先发现的，在西方则被称作“_帕斯卡_____三角”。
19．贾宪的高次开方法称为____增乘____开方法，可适用于开任意高次方，而与此相联系的“贾宪三角”，在西方文献中则称为“___帕斯卡________三角”。
20．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是___祖冲之________。
21．《海岛算经》的作者是__刘徽________，《数书九章》的作者是____秦九韶______。
22．____《缉古算经》_____是我国古代十部算经中年代最晚的一部，作者_____王孝通___是唐初人。
23．世界上最早讨论三次方程组解法的著作是____缉古算经__________。
24．我国古代数学家______朱世杰____创立的“四元术”，记录在他的著作《____四元玉鉴___》中。
25．“四元术”用“天”、__地__、__人___、“物”表示四个不同的未知数，用以解高次多元方程组。
26．中国数学从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即__两汉时期_______、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中___宋元______时期达到了中国古典数学发展的顶峰。
27？．我国的数学教育有悠久的历史，_____________隋___？____代开始在国子监中设立“算学”， _唐_代则在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”。