2.7 第3课时 二次根式的混合运算
2.7.3 二次根式的混合运算2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件(北师大版)
(4) 解法四：原式 = = = = =
例2 计算(1)：
解(1)：原式 = == =
二次根式的混合运算要确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
解：(2) 原式
(2) 原式 = = =
解法一：把 a = 3，b = 2 代入代数式中，原式 = = =
问题：计算 ，其中 a = 3，b = 2. 你是怎么做的？
解法二：原式 = =把 a = 3，b = 2 代入代数式中，原式 =
解：(1) 原式 = = =
解：(2) 原式 = = =
例1 计算：(3) (4)
(3) 原式 = = = 3 + 5 = 8
例3 当 a > 0，b > 0 时，化简下列各式：(1) (2)
二次根式的化简求值
解：(1) 原式 = = =
你还有其他解法吗？
例1 计算：(4)
(4) 解法三：原式 = = = = =
(4) 解法二：原式 = = = =
如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化.
2.7.3 二次根式的混合运算
目 录
1. 进一步加强二次根式的运算.2. 能够对根号内含有字母的简单二次根式进行化简求值.3. 利用二次根式解决简单的数学问题.
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么?
解：(3) 原式 = = = =
解：(4) 原式 = = = = =
(3) 原式
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
2.7.3二次根式的混合运算
第二章 实数
2.7.3 二次根式的混合运算
授课人：XXXX
新课引入
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
2.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).
2 72 2- 7 2
73 2
课堂小测
（2） 1 （2 3）2 （ 7 - 3）（ 7 3）
1
4
4 4
33
84 4
3
=2+ 3
本课结束
新知探究
（3）（ a b）（ a b）型，即
（ a b）（ a b） ( a )2 ( b )2 a b (a 0,b 0) ，运用平方差公式.
（4）（ a b）2型，即（ a b）2 a 2 ab b (a 0,b 0) ，运用完全平方公式.
课堂小结
(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该 是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.
课堂小测
1.计算.
（1） 28 4
1 -（ 7 2
2）
（2） 1 （2 3）2 （ 7 - 3）（ 7 3）
解：（1） 28 4
1 2
-（
7
-
2）
2 7 2 2 -（ 7 - 2）
用 a (a≥0) 表示.
新课引入
3.平方根的性质是什么？ 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
2.7 第3课时 二次根式的混合运算
贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一
张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现 在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用. 解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长， 进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论. 解：贺卡的周长为
3. 3 5
能不能再进行计算?为什么?
答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
归纳总结
二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式
化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并.
要点提醒
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二 次根式才能进行合并.
§2.7 二次根式
宿州市鲲鹏学校 李 斌
学习目标
1. 理解二次根式的加减法算理；（重
点）
2、熟练掌握二次根式的综合运算. （难点）
导入 新课 如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm, 高为
6
4 3
cm，
cm，那么它的面积是多少？
二次根式的加减运算
同样，二次根式也可以进行加减运算，这
时，以前学习的实数的运算法则、运算律
4 (3) 3 6. 3
解：(1)原式= 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3;
5 5 4 5 5 ; (2)原式= 5 25 5 5
(3)原式=
4 6 3 6 8 18 2 2 3 2 5 2. 3
变式训练： 已知 10 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.
2.7 第3课时 二次根式的混合运算
A. 3( 3 1 ) 3 3
C. 32 1 2 2 2
2.已知 x 3 1, y
B.( 12- 27) 3 1 D. 3( 2 3) 6 2 3
3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把x 3 1, y 3 1,代入上式得
原式=
（ 3+1）+（ 3 1）2
例如：1 2
例如：1 3
例如：54
注意： 二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次 根式.
二 二次根式的化简求值
问题：化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
解法二：
哪种简便？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
1 3
2
32
1 32 232 3
2 2 3.
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2 S1
方法3：直接法
过点D作AB边的高DE，如图所
示.
S梯形ABCD
1 (CD AB) DE 2
E
1 ( 2 5 2)3 2 2
16 23 2 2
18.
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
当堂练习
1.下列计算中正确的是（ ） B
2
43 5
( 4 3 3 2 )2 2
二次根式混合运算
计算：
2 6 3 3
2
3 24 5
2
4 15 4 15
二次根式的混合运算
小结
(1)二次根式的混合运算与有理数的混合运 算、整式运算类似；
北师大版八年级上册数学 2.7 第3课时 二次根式的混合运算 优秀教案
第3课时 二次根式的混合运算1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点)一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm 、(3＋2)cm ，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算： (1)ab(a 3b ＋ab 3－ab)(a≥0，b ≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)． 解：(1)原式＝ab(a ab ＋b ab －ab)＝a ab ×ab ＋b ab ×ab －ab ab ＝a 2b＋ab 2－ab ab ；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533； (3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a ＝15－2，b ＝15＋2，求a 2＋b 2＋2的值．解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，最后代入求解．解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b ＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a ＋b ＝25，ab ＝ 1.∴a 2＋b 2＋2＝（a ＋b ）2－2ab ＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论． 解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧综合运算化简求值实际应用经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．。
2.7(3)二次根式的混合运算(教案)
3.二次根式混合运算的步骤：
a.先进行乘除运算，再进行加减运算。
b.化简二次根式，使其尽可能简单。
c.合并同类二次根式。
4.应用二次根式的混合运算解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
1.教学重点
（1）掌握二次根式的乘法×c)√b
-除法法则：a√b ÷ c√b = (a÷c)√b（其中c≠0）
（2）能够将二次根式的混合运算化简，并合并同类项。
-例如：2√3 + 3√3 = 5√3
（3）运用二次根式的混合运算解决实际问题。
2.7（3）二次根式的混合运算（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第七节（3）二次根式的混合运算。主要内容包括：
1.掌握二次根式的乘法、除法法则。
2.熟练运用二次根式的乘法、除法法则进行混合运算。
3.能够解决实际问题中涉及的二次根式混合运算。
教学内容如下：
1.二次根式的乘法法则：a√b × c√d = (a×c)√(b×d)（其中a、b、c、d为正实数）。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的混合运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或体积的情况？”（如计算长方形地的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式混合运算的奥秘。
-例题2：计算(4√5) ÷ (2√5)。
-例题3：化简并计算2√3 + 3√3 - √3。
2.7 第3课时 二次根式的混合运算 教案
一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算：(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)．解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533；(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a＝15－2，b＝15＋2，求a2＋b2＋2的值．解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计1.（1）若x ＝10－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝3＋1，求代数式x 2－2x －3的值.2.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ） A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+33.设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+++，则S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．4.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .5..先化简再求值。
2.7 第3课时 二次根式的混合运算2
2.7 二次根式第3课时二次根式的综合运算复习引入可以化简为．这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．2、复习整式的加减运算：计算：（1）；（2）；（3）。
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算。
自主探究（一）探究新知问题中的化简 1、2、解： 1、2、小结：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算。
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算。
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
3、例题解析解：略例2 计算解：例3 计算解：二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变。
（可对比整式的加减法则）例4 计算：（1）解：（2）解：（二）随堂练习：课本练习1、2题计算：（1）；（2）；（3）（三）总结、扩展1、同类二次根式的定义2、二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题（四）布置作业：课本习题7.2 A组1、2题B组1题（五）板书设计标题1．复习题2．整式的加减例题3．例题（1）、（2）4．同类二次根式5．例题（1）、（2）、（3）、（4）6．练习题7．小结（六）达标训练：本节课是二次根式加减法，目的是探索二次根式加减法运算法则，在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则。
2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力。
3.对法则的教学与整式的加减比较学习。
在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣。