2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理课件

证明
1 1 在正△ABC 中，由 BD＝3BC，CE＝3CA
知△ABD≌△BCE， ∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝π. ∴四点 P，D，C，E 共圆.
要点三 例3
圆内接四边形性质与判定的综合运用
如图，已知△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 外接圆
劣弧AC上的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD 至 E. (1)求证：AD 的延长线 DF 平分∠CDE； (2)若∠BAC＝30°，△ABC 中 BC 边上的高为 2＋ 3.求 △ABC 外接圆的面积.
180° ， 符号 若四边形ABCD内接于圆O，则有∠A＋∠C＝______ 180° 语言 ∠B＋∠D＝_____ 图形 语言 作用 证明两个角互补
2.性质定理2 文字
语言 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 _________________
符号 四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，则有 ∠ADC 语言 ∠CBE＝_____ 图形 语言 作用 证明两个角相等
圆内接梯形一定是等腰梯形等.
2.判断四点共圆的基本方法
(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆； (2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四 个顶点共圆； (3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个
四边形的四个顶点共圆；
(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公 共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆.
3.圆内接四边形判定定理
互补 ，那么这个四边形的四个 文字 如果一个四边形的对角______ 语言 顶点共圆 180°(或∠A＋∠C 符号 在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝_____ 180° ，那么A，B，C，D四点共圆 语言 ＝_____) 图形
语言 作用 证明四点共圆
4.判定定理的推论
∴∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.又∠QCD＝∠A＝50°， ∴∠Q＝180°－80°－50°＝50°. 答案 50°
4.如图所示， 以锐角△ABC 的三边为边向外作三 个等边三角形 ABD， BCE， CAG.求证： △ABD， △BCE，△CAG 的外接圆⊙O1，⊙O2，⊙O3 交于一点.
证明
设⊙O1，⊙O3 交于点 F，连接 AF，BF，CF，
∵A，F，B，D 四点共圆， ∴∠AFB＋∠D＝180°. ∵△ABD 为等边三角形，∴∠D＝60°. ∴∠AFB＝120°.同理，∠AFC＝120°， 又∠AFB＋∠AFC＋∠BFC＝360°，∴∠BFC＝120°. ∵∠BFC＋∠E＝180°，∴B，E，C，F 四点共圆， 即⊙O1，⊙O2，⊙O3 交于一点.
内接四边形的判定与性质的证明和应用，最
终得到某些结论的成立.
跟踪演练 3
如图所示，已知四边形 ABCD 为
平行四边形，过点 A 和点 B 的圆与 AD，BC 分 别交于点 E，F，连接 EF.求证：E，F，C，D 四点共圆.
证明 由题意知四边形ABFE是圆内接四边形，
∴∠A＋∠BFE＝180°.又在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，∴∠BFE＝∠D， ∴E，F，C，D四点共圆.
1.对圆内接四边形的理解 (1)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，
它们的关系可以用集合形式表示：{圆内接四边
形}⊆{圆内接多边形}. (2)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在 外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外 接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；
二 圆内接四边形的性质与判定定理
[学习目标]
1.理解圆内接四边形的两条性质定理，并能应用定理 解决相关的几何问题.
2.理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及
推论解决相关的几何问题.
[知识链接]
1.判断下列各命题是否正确. (1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个； (2)矩形有唯一的外接圆；
︵
(1)证明
如图，∵A，B，C，D 四点共圆，
∴∠CDF＝∠ABC.又 AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADB＝∠CDF. 又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB， 故∠EDF＝∠CDF， 即 AD 的延长线 DF 平分∠CDE.
(2)解
设 O 为外接圆圆心，连接 AO 并延长交
规律方法 1.在本题的证明过程中，都是利用角
相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得
到比例式相等. 2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等 于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平 行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些
等量关系.
跟踪演练 1
如图所示， ⊙O1 和⊙O2 交于 A， B两
BC 于 H，则 AH⊥BC，连接 OC，由题意∠OAC ＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°， ∴∠OCH＝60°， 3 设圆半径为 r，则 r＋ 2 r＝2＋ 3，得 r＝2，外 接圆的面积为 4π .
规律方法 1.在解答本题时用到了圆内接四 边形的性质，垂径定理等知识，综合性较强. 2.此类问题考查知识较为丰富，往往涉及圆
)
解析 ∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠A＋∠C＝180°.
又∠A＝25°，∴∠C＝180°－∠A＝155°. 答案 D
Hale Waihona Puke 3.如图，点 A，B，C，D 在同一个圆上，直线 AB，DC 相交于点 P，直线 AD，BC 相交于点 Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝ ________.
解析 ∵∠A＝50°，∠P＝30°，
1.下列说法正确的个数有(
)
①平行四边形内接于圆；②梯形内接于圆；③菱形内接于
圆；④矩形内接于圆；⑤正方形内接于圆.
A.1个 C.3个 B.2个 D.4个
解析 根据圆内接四边形的判定定理知，④⑤正确. 答案 B
2.四边形ABCD内接于圆O，∠A＝25°，则∠C等于( A.25° B.75° C.115° D.155°
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆. 提示 (1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确， 因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，
只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正
多边形的中心到各顶点的距离相等.
[预习导引]
1.性质定理1 文字 语言 圆的内接四边形的对角______ 互补
要点二 例2
圆内接四边形的判定
如图，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，
AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P. 求证：E，D，P，F 四点共圆.
解 连接 PF，∵AP⊥BC，F 为 AC 的中点， 1 1 ∴PF＝2AC.∵FC＝2AC，∴PF＝FC， ∴∠FPC＝∠C.∵E，F，D 分别为 AB，AC，BC 的 中点，∴EF∥CD，ED∥FC， ∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠FED＝∠C， ∴∠FPC＝∠FED，∴E，D，P，F 四点共圆.
文字 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这 四个顶点共圆 语言 个四边形的______________ 符号 在四边形ABCD中，延长AB到E，若∠CBE＝∠ADC， A，B，C，D四点共圆 语言 则___________________ 图形 语言
作用 证明四点共圆
要点一 例1
圆内接四边形的性质
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
在 AB 上截取 PA＝AC，以 PC 为直径的圆分 PA DA 别交 AB， BC， AC 于 D， E， F.求证： PB＝DP.
证明
连接 DF，PF.∵PC 是直径，∴PF⊥AC.
PA FA ∵BC⊥AC，∴PF∥BC，∴PB＝FC. ∵四边形 PCFD 内接于⊙O， ∴∠ADF＝∠ACP，∵AP＝AC， ∴∠APC＝∠ACP.∴∠ADF＝∠APC. DA FA PA DA ∴DF∥PC，∴DP＝FC，∴PB＝DP.
点，经过 A 点的直线分别交两圆于 C，D，经过 B 点的直线分别交两圆于 E，F. 求证：CE∥DF.
证明 连接 AB，∵四边形 ABEC 内接于⊙O1，
∴∠ABF＝∠C，∵四边形 ABFD 内接于⊙O2， ∴∠ABE＝∠D.又∠ABE＋∠ABF＝180°， ∴∠C＋∠D＝180°.故可得 CE∥DF.
规律方法 1.本题证明的关键是如何使用点E、D、
F是中点这一条件.
2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或 外角与内对角的关系进行证明.
跟踪演练 2
如图，在正△ABC 中，点 D，E 分别
1 1 在边 BC，AC 上，且 BD＝3BC，CE＝3CA，AD， BE 相交于点 P，求证：四点 P，D，C，E 共圆；