线面所成角的求法
线面角的求法总结
线面角的求法总结一．直接法：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,图1∴SC⊥平面SAB 故SB是斜线BC 在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC∴CH即为SC 在面ABC的射影。
∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。
sin ∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）二利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面AB1C1D 所成的角。
解：设点B 到AB1C1D的距离为h,=V A﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5∵V B﹣AB1C1设AB 与面A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5图2∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5三. 利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α的射影，OC为面α的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，图3θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ1·cosθ2（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC所成的角的余弦值。
第十讲线面角的求解方法完整版课件
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
高中几何线面角的经典求解方法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC =60°, M 为AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。
（2）SC 与平面 ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H,则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2.利用公式sin θ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2（如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,AB=3,BC=2,A 1A=4，求AB 与面AB 1C 1D所成的角的正弦值。
A1C 1D1H4CB123BAD解：设点B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3S △AB 1C 1·h=1／3S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h／AB=4／5图23.利用公式cos θ=cosθ1·cosθ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
线面角的求法总结
线⾯⾓的求法总结线⾯⾓的三种求法1．直接法：平⾯的斜线与斜线在平⾯内的射影所成的⾓即为直线与平⾯所成的⾓。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平⾯内的射影所组成的直⾓三⾓形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作⽤。
例1 （如图1 ）四⾯体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平⾯SAB 所成的⾓。
（2）SC 与平⾯ABC 所成的⾓。
解:（1）∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平⾯SAB 故 SB 是斜线BC 在平⾯SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平⾯SAB 所成的⾓为60°。
（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,⼜∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平⾯SCM, ∴⾯ABC ⊥⾯SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平⾯ABC ∴CH 即为 SC 在⾯ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平⾯ABC 所成的⾓。
sin∠SCH=SH ／SC∴SC 与平⾯ABC 所成的⾓的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是⾯ SAB 的垂线，⼜是⾯ ABC 的斜线. 作⾯的垂线常根据⾯⾯垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平⾯垂直的平⾯，然后⼀⾯内找出或作出交线的垂线，则得⾯的垂线。
） 2. 利⽤公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平⾯所成的⾓， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到⾯的距离）既是关键⼜是难点，为此可⽤三棱锥的体积⾃等来求垂线段的长。
例2 （如图2）长⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与⾯ AB 1C 1D 所成的⾓。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与⾯ A B 1C 1D 所成的⾓为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4C123BAD图2∴AB 与⾯AB 1C 1D 所成的⾓为arcsin 4／5 3. 利⽤公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平⾯的⼀条斜线，O 为斜⾜，OB 为OA 在⾯α内的射影，OC 为⾯α内的⼀条直线，其中θ为OA 与OC 所成的⾓，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的⾓，即线⾯⾓，θ2为OB 与OC 所成的⾓，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可⾃⼰证明），它揭⽰了斜线和平⾯所成的⾓是这条斜线和这个平⾯内的直线所成的⼀切⾓中最⼩的⾓（常称为最⼩⾓定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的⾓为60°, ，求直线OA 与⾯OBC 所成的⾓的余弦值。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D所成的角的正弦值。
A 1C 1D 1H4CB 123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B MHSCA 图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H 4C123B A D图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／53. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， BαO AC 图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
线面角的求法总结
线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。
一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。
例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。
2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。
由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。
解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。
设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。
解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。
线面角的三种求法
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
高中几何线面角的经典求解方法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC =60°, M 为AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。
（2）SC 与平面 ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H,则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2.利用公式sin θ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2（如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,AB=3,BC=2,A 1A=4，求AB 与面AB 1C 1D所成的角的正弦值。
A1C 1D1H4CB123BAD解：设点B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3S △AB 1C 1·h=1／3S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h／AB=4／5图23.利用公式cos θ=cosθ1·cosθ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
线面所成角的求法
线面所成角的求法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊线面成角那些事儿。
你想想看啊，一条线和一个平面碰到一块儿，它们之间形成的那个角，就好像两个人站在一起，有个特别的“姿势”一样。
这可不是随随便便就能搞定的哦！
那怎么求这个角呢？这就好比你要找到进入一个神秘城堡的钥匙。
有时候啊，你得动点小脑筋。
比如说，咱可以先找到这条线在平面上的投影。
这就好像是这条线在平面上留下的影子，嘿，是不是有点神奇？然后呢，再去看看这条线和它的投影之间的夹角，这个夹角往往就和线面成角有着密切的关系。
你说这像不像侦探破案呀？一点点地找线索，最后解开谜团。
还有哦，有时候我们可以借助一些特殊的图形或者模型来帮忙。
就好比你有个超级厉害的工具，一下子就能把问题变得简单明了。
举个例子吧，一个正方体，那里面的线面关系可多了去了。
你就可以在那里面找啊找，看看能不能找到我们想要的那个角。
哎呀呀，这线面成角的求法可真是有趣又充满挑战呢！就好像你在玩一个智力游戏，每解开一个难题，就会特别有成就感。
有时候可能会遇到一些复杂的情况，线弯弯绕绕的，平面也奇奇怪怪的，但别怕呀！咱就一步一步来，慢慢地分析，总能找到答案的。
你说，要是生活中的问题都像线面成角这么明确就好了，哈哈！不过呢，也正是因为有这些挑战，我们才会不断进步，变得更聪明嘛。
反正啊，我觉得线面成角这玩意儿，就像是一个隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现，去探索。
只要我们有耐心，有方法，就一定能把它拿下！这就是我对线面成角求法的看法，你们觉得呢？。
线面角的求法
03
线面角的应用
平面几何中的应用
01
直线和平面的交点
02
三角形的高线
通过线面角，可以确定一条直线和一 个平面的交点位置。
在三角形中，可以使用线面角确定高 线的位置，从而求得三角形的面积。
03
圆和直线的位置关系
通过线面角，可以确定一条直线和一 个圆的位置关系。
空间几何中的应用
确定空间中点的位置
通过线面角，可以确定一个点在 三个平面上的位置。源自空间几何体的表面积 和体积
通过线面角，可以确定一个几何 体的表面积和体积。
异面直线的距离
通过线面角，可以确定两条异面 直线之间的距离。
物理学中的应用
弹性碰撞
在弹性碰撞中，可以通过线面 角确定入射和反射的角度。
光的反射和折射
在光学中，可以通过线面角确定 光的反射和折射角度。
波的传播
在波的传播过程中，可以通过线面 角确定波的方向。
利用圆的性质
在圆中，利用圆的性质可以求出圆的半径和 圆心坐标等。
利用向量求解的技巧
01
02
03
向量的数量积
利用向量的数量积可以求 出两个向量的夹角，进而 求出线面角。
向量的向量积
利用向量的向量积可以求 出两个向量的外积，进而 求出线面角。
向量的模长
利用向量的模长可以求出 线段或平面的长度等。
06
计算点的坐标
根据题目所给条件，计算出线 段或平面上的点的坐标。
计算向量
利用向量的坐标运算性质，计 算出线段或平面上的向量的坐
标。
利用几何定理求解的技巧
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线 段或平面上的点到原点的距离。
线面成角公式
线面成角公式
自古以来，几何知识对人类的发展有着重要意义，因为几何为科学、工程和技术服务。
在几何中，“线面成角”公式是一个重要的理论，它可以帮助我们了解几何世界的结构和形状，进而实现目的或解决问题。
“线面成角”公式基于平行线和平行面的基本定义，强调给定平面内的平行线和平行面之间的关系。
其中，平行线指的是两条相交的线段，它们在同一平面上，且其他任何点和线段都无法从这两条线中穿过；平行面指的则是两个平行的空间面，它们拥有同一法线，符合同一方向，其他空间中的任何点和面都无法穿过这两个平行面。
“线面成角”公式告诉我们，任何一条经过给定平面内任何一点的直线都可以与一个平行面组合成一个角。
这个角的度数可以计算出来，公式如下：
α＝arctan（m1m22）
其中，α表示这个角的大小，m1和m2分别表示经过给定平面内任何一点的直线和平行面的斜率。
通过这个公式，科学家们可以计算出几何图形的结构、形状以及其他属性，从而实现特定的目的或解决特定问题。
比如，在数学建模中，可以利用“线面成角”公式计算出体系中物体之间的关系和角度，来判断其在某种条件下的运动变化，从而帮助科学家们更好地模拟这个体系。
另外，在工程技术中，“线面成角”公式也被广泛应用，比如在
机械加工中，需要仔细测量金属零件的角度以便进行再加工。
此时，就可以利用“线面成角”公式判断出被加工零件的这个角度，从而准确进行加工。
总之，“线面成角”公式在科学、工程和技术中都有着重要地位，可以被广泛应用。
了解几何世界的结构与形状，计算几何图形的角度，是相关研究的基础，“线面成角”的公式就提供了一种极好的方式来达成上述目的。
线面所成角的正弦值公式
线面所成角的正弦值公式
正弦值公式是一种通过线面所成角来求出正弦值的方法。
它是一个数学工具，常用于计算曲线和曲面的角度和长度。
正弦值公式是数学中一种非常重要的概念，它可以用来计算角度和长度，并能够提供准确的结果。
正弦值公式可以通过三角函数来计算。
在三角函数中，正弦函数就是根据给定的角度求出正弦值的函数。
因此，正弦值公式就是根据给定的角度求出正弦值的公式。
它的公式为：sinθ=a/b，其中θ为线面所成的角度，a为线段的长度，b为线段的宽度。
正弦值公式在很多领域中都有应用。
它可以用来计算复杂的几何图形的角度和长度，也可以用来计算地理学中的曲线和曲面的角度和长度。
此外，正弦值公式还可以用于物理学中的力学计算，以及电磁学、声学和光学等领域的应用。
正弦值公式是一种简单有效的数学工具，可以用来计算线面所成角的正弦值。
它提供了一种可靠的方法来计算角度和长度，并可以应用于多个领域。
因此，正弦值公式在数学中具有重要的作用，并且在很多领域中都有广泛的应用。
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★线面所成角的求法：]2,0[ ⒈作图——证明——计算 求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。
一般地通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线来找角。
角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的问题。
3.向量法：
如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法
向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝
|a ·n ||a ||n |
.
1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中对角线B 1D 与平面
A 1BC 1所成的角大小为 ( )
2．如图，在棱长均为1的三棱锥S －ABC 中，E 为棱SA 的中点，F 为△ABC 的中心，则直线EF 与平面ABC 所成角的正切值是 ( )
3．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( )
A.64
B.104
C.22
D.32
4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1
所成的角为π2
，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.63
B.12
C.155
D.32
5.．正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________．
6.如图，已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.
(1)求DP 与CC ′所成角的大小；
(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．
7．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12
AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB 、BC 的中点．
(1)证明：CM ⊥SN ；
(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．
8．如图，在五棱锥P -ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC ＝45°，AB ＝22，BC ＝2AE ＝4，三角形P AB 是等腰三角形．
(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；
(3)求四棱锥P -ACDE 的体积．
9.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱
DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
10.如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．
(1)求证：EF⊥平面P AB；
(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的
正弦值．
11．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝1，AD ＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面P AC
的位置关系. 并说明理由；
(2)证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
(3)当BE等于何值时，P A与平面PDE所成角的大
小为45°？。