高中数学北师大版选修1-1《抛物线的简单性质的应用》word导学案
北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案北师大版选修1-1学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。
练习反馈 一、选择题1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是 ( ) A.x 2=-28yB.y 2=-28yC.y 2=28xD.x 2=28x 2．若是定直线 外的一定点，则过与 相切圆的圆心轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线 3．抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a B ．1(,0)2a C ．1(,0)4a D ．0a > 时为1(,0)4a ，0a < 时为1(,0)4a- 4．若点到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x = 5．抛物线20x y += 的焦点位于（ ）A ． 轴的负半轴上B ． 轴的正半轴上C ．轴的负半轴上 D ．轴的正半轴上6．与椭圆224520x y += 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．24y x =B ．24y x =±C ．24x y =D ．24x y =± 7.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a10. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B. （2，0） C.（0，2） D. (0，－2)11. 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()22， D. (2，2)12、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为（ ） A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 13、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614、抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A 、1716 B 、1516 C 、78D 、0 15、在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P 的值为（ ） A 、12B 、1C 、2D 、418 设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A2pB pC p 2D 无法确定 19．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =（0p >）则（ ）A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没公共点 20﹑与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=21、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）422．过点（-3，2）的直线与抛物线24y x =只有一个公共点，求此直线方程。
高中数学北师大版选修1-1《抛物线及其标准方程》word导学案
第4课时抛物线及其标准方程1.掌握抛物线定义、标准方程及其几何图形.能用待定系数法求抛物线的标准方程.2.理解标准方程中“p”与抛物线的开口方向、焦点位置的关系.3.亲自体验由具体的演示实验探寻出一般数学结论的过程,体会探究的乐趣,激发学习热情.学习运用类比的思想探寻另三种标准方程.如图,把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上,截取一根绳子的长度等于AC的长度,现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用图钉固定在F处;用一支粉笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样粉笔就描出一条曲线.问题1:在上述情境中,点M到点F与点M到直线l的距离.(填相等或不相等),理由是.问题2:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,定直线l叫作抛物线的准线.如果定义中不加上条件“l不经过F”,即若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是,而不是抛物线.问题x=-y 2=-2px (p>0)x=(0,) y=-(0,-) y=问题4:已知抛物线的标准方程,如何得到焦点坐标?先观察方程的结构,一次项变量为x (或y ),则焦点在 (或y )轴上;若系数为正,则焦点在 半轴上;系数为负,则焦点在 半轴上;若一次项变量为x ,则焦点的横坐标是一次项系数的 ,纵坐标为 ;若一次项变量为y ,则焦点的纵坐标是一次项系数的 ,横坐标为0.1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( ).A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0) D .(-4,0)2.抛物线y 2=8px (p>0),F 是焦点,则p 表示( ).A.F 到准线的距离B.F 到准线距离的C.F 到准线距离的D.F 到y 轴的距离3.抛物线y=4x 2的焦点坐标为 ,准线方程为 . 4.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是y=3; (2)过点P (-2,4); (3)焦点到准线的距离为.求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).求抛物线的标准方程(1)已知抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),求抛物线的标准方程;(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点(-3,2),求它的标准方程.求动点的轨迹方程动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程:(1)y2=6x;(2)2y2+5x=0;(3)x=ay2(a≠0).如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于A、B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是.已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足·=y2-8.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+2交于C、D两点.求证:OC⊥OD(O为原点).1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是().A.直线B.抛物线C.圆D.椭圆2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为().A. B.- C.8 D.-83.已知圆x2+y2+6x+8=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p= .4.已知抛物线的方程是y=ax2,求它的焦点坐标和准线方程.(2013年·江西卷)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=().A.2∶B.1∶2C.1∶D.1∶3考题变式(我来改编):第4课时抛物线及其标准方程知识体系梳理问题1:相等由|AC|=|MC|+|AM|,|AC|=|MF|+|AM|,得|MC|=|MF|问题2:相等焦点过点F且垂直于l的直线问题3:(,0)(-,0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)问题4:x 正负0基础学习交流1.B依题意,抛物线开口向左,焦点在x轴的负半轴上,由2p=8,得=2,故焦点坐标为(-2,0),故选B.2.B化为标准形式y2=2×(4p)x(p>0),则4p就是焦点F到准线的距离,所以p表示焦点F到准线的距离的.3.(0,)y=-将抛物线方程y=4x2化为标准方程x2=y,易知:抛物线开口向上,焦点在y轴的正半轴上,由2p=,得=,故焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.4.解:(1)由准线方程为y=3知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=3,则p=6,故所求抛物线的标准方程为x2=-12y.(2)∵点P(-2,4)在第二象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),将点P(-2,4)代入y2=-2px,得p=2;代入x2=2py,得p=1.∴所求抛物线的标准方程为y2=-4x或x2=2y.(3)由焦点到准线的距离为,得p=,故所求抛物线的标准方程为y2=2x,y2=-2x,x2=2y或x2=-2y.重点难点探究探究一:【解析】(1)因为p=7,所以焦点坐标是(-,0),准线方程是x=.(2)抛物线方程化为标准形式为x2=y,因为p=,所以焦点坐标是(0,),准线方程是y=-.(3)由a>0知,p=,所以焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.【小结】1.当抛物线方程不是标准形式时,先转化为标准形式,第(3)小题规定“a>0”,如果去掉“a>0”,并不影响结果,表示是一样的.2.求抛物线焦点、准线方程的方法首先要将抛物线方程化成标准形式,求出p后根据抛物线的位置写出焦点和准线方程,注意准线与坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的.探究二:【解析】(1)∵抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),∴可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又∵点M在抛物线上,∴()2=-2p(-2),即p=,∴所求方程是x2=-y.(2)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),∵抛物线过点(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,得p=或p=,故所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.【小结】求抛物线标准方程的步骤:(1)设出抛物线的标准方程;(2)根据已知条件求得p;(3)得抛物线的标准方程.探究三:【解析】∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4.∴抛物线的方程为y2=8x,此即为所求动点M的轨迹方程.[问题]上述解答完整吗?[结论]错解只考虑了一种情况.在此题中,(2,0)到y轴的距离为2,∴x轴上原点左侧的点也满足题中条件.于是,正确解答为:∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4.∴抛物线的方程为y2=8x.又∵x轴上(0,0)点左侧的点到y轴的距离比它到(2,0)点的距离小2,∴M点的轨迹方程为y=0(x<0).综上,动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x.【小结】本题考查抛物线的定义、标准方程,判断动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等是解题的关键.思维拓展应用应用一:(1)∵2p=6,∴p=3.又∵开口向右,∴焦点坐标是(,0),准线方程为x=-.(2)将2y2+5x=0变形为y2=-x.∴2p=,p=,开口向左.∴焦点为(-,0),准线方程为x=.(3)∵原抛物线方程为y2=x,∴2p=.当a>0时,=,抛物线开口向右,焦点坐标为(,0),准线方程为x=-;当a<0时,=-,抛物线开口向左,焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.故当a≠0时,抛物线x=ay2的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.应用二:y2=3x 由题意可知直线l的斜率为,则x A-=|FA|=,y A=|FA|=,而=2px A,∴()2=2p(+),∴p=或-(舍去),∴所求抛物线的方程为y2=3x.应用三:(1)由题意可得·=(-x,-2-y)·(-x,4-y)=y2-8,化简得x2=2y.(2)将y=x+2代入x2=2y中,得x2=2(x+2),整理得x2-2x-4=0,可知Δ=20>0.设C(x1,y1),D(x2,y2),x1+x2=2,x1·x2=-4,∵y1=x1+2,y2=x2+2,∴y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4.∵·=x1x2+y1y2=0,∴OC⊥OD.基础智能检测1.A∵定点(1,1)在直线x+2y=3上,∴轨迹为直线.2.B∵y=ax2,∴x2=y,其准线为y=2,∴a<0,2=,∴a=-.3.4或8抛物线的准线方程为x=-,圆心坐标为(-3,0),半径为1,由题意知3-=1或-3=1,∴p=4或p=8.4.解:抛物线的方程y=ax2化成形式:x2=y.当a>0时,x2=2×y,p=,所以焦点坐标是F(0,),准线方程是y=-;当a<0时,x2=-2×y,p=,所以焦点坐标是F(0,-),即F(0,),准线方程是y=-.综上可知,抛物线的焦点坐标是F(0,),准线方程是y=-.全新视角拓展C如图所示,===.思维导图构建相等定点F 定直线l。
数学北师大版选修1-1导学案-2.2.2抛物线的简单性质
§3.2.2 抛物线的简单性质【学习目标】1.能准确指出抛物线的轴、顶点、离心率、通经.（重点）2.能根据抛物线的性质，求出抛物线的方程；（重点）3.会用顶点及通经的端点画出抛物线的草图.（难点）一、知识记忆与理解【自主预习】自主预习教材3736P P -内容，结合图形了解抛物线的相关性质，完成下列问题： 1、抛物线的简单性质：（1）对称性：抛物线)0(22>=p px y 关于______对称，抛物线有___条对称轴； （2）范围：抛物线)0(22>=p px y 在_____，开口_____，这条抛物线上任意一点),(y x M 满足不等式______；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线______和______无限延伸，抛物线是_______的曲线；（3）顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的_______，当抛物线的方程为标准方程时，抛物线的顶点是_______；（4）离心率：抛物线上的_______和_______的比，叫作抛物线的离心率，抛物线的离心率_______；（5）通径：通过_______且_______的直线与抛物线)0(22>=p px y 两交点的坐标分别为_______，_______，连接这两点的线段叫作抛物线的通径，通径的长为_______. 2、抛物线的四种标准方程：类型 y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py(p >0)图像 焦点准线 ______ x ＝p 2 ______ y ＝p 2范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R x ∈R ， y ≥0 x ∈R ，y ≤0对称轴x 轴 y 轴顶点O (0,0)离心率二、思维探究与创新【问题探究】探究一：求抛物线的标准方程和性质分别写出满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）顶点在原点，关于x 轴对称，过点)4,4(-M ； （2）顶点在原点，焦点是)5,0(F ； （3）焦点是)8,0(-F ，准线是8=y .变式训练1：（1）求顶点在原点，对称轴为y 轴且过点)4,1(的抛物线的方程； （2）求顶点在原点，焦点在x 轴上，且通径长为6的抛物线的方程.整理反思探究二：抛物线的性质应用斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线相交于B A ,两点，求点B A ,的坐标和线段AB 的长.变式训练2：已知抛物线x y 22=，（1）设点A 的坐标为)0,32(，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离PA ；（2）在抛物线上求一点P ，使P 到直线03=+-y x 的距离最短，并求出距离的最小值.【归纳总结】1、过抛物线的焦点的直线与抛物线相交问题，可让直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理（根于系数的关系）求解，也可以利用定义考虑问题，特别注意直线斜率不存在是否符合题意；2、抛物线上的点),(00y x P 到焦点F 之间的线段称为焦半径，记作PF r =.【当堂检测】 1.若抛物线x y 22=上有两点B A ,，且AB 垂直于x 轴，若22=AB ，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为（ ）21.A 41.B 61.C 81.D2.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM = （ ）22.A 32.B 4.C 52.D 3.若椭圆1522=+py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则p 的值为____；4.若抛物线mx y =2与椭圆15922=+y x 有一个公共的焦点，则=m _____；5.设AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦，其中),(),,(2211y x B y x A .你能总结有关焦点弦的结论吗？【拓展延伸】已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线交于B A ,两点，),(11y x A ，),(22y x B .求证：（1）4,221221p x x p y y =-=；（2）BFAF 11+为定值.整理反思。
高中数学选修1-1教学设计-抛物线及简单几何性质
一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．教学过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是．1．抛物线的几何性质（1）范围因为，由方程可知，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1．【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图）．然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为，灯深，求抛物线的标准方程和焦点位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是 .（三）随堂练习1．求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于轴对称，并且经过点②顶点在原点，焦点是③顶点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2． (要选建立坐标系)（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）布置作业1．顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A． B． C． D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.5．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B 2．C 3． 4． 5． 6．9，教案点评：本节课首先设置情境，让学生利用类比的思想，探索、归纳、总结出与椭圆、双曲线类似的性质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。
高中数学北师大版选修1-1第二章抛物线第二课时word学
抛物线的简单性质一、学习目标1.知识与技术：了解抛物线的几何性质，利用性质解决核心弦问题，掌握直线与抛物线的位置关系，利用性质解决嘴直问题2.进程与方式：通过本节新知识的讲解与练习，培育学生发觉问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培育学生抽象归纳能力和思维能力3.情感态度价值观：通过学生对知识的掌握和练习，激发学生学习数学的兴趣和踊跃性，培育他们的辨析能力和培育他们的分析问题和解决问题的能力．二、重点难点1.重点：（1）抛物线中核心弦问题； （2）直线与抛物线的位置关系．2.难点：利用性质解决抛物线的最值问题三、学习内容一．自主探讨 请大家首先温习抛物线的概念、四类标准方程和相应的核心坐标、准线方程．然后提出：为了准确而简便地画出抛物线的图形，应对抛物线的标准方程所对应的图形的位置有一个大体的估量，为此要先对抛物线的范围、对称性、截距进行讨论．还应明确，把抛物线的概念与椭圆、双曲线的第二概念加以对比，提出抛物线的离心率等于1．通径的概念:以抛物线 ：px y 22，p>0为例研究它的一些简单的几何性质 范围:1. 对称性:2. 极点:3. 离心率:例1:已知抛物线关于x 轴对称,它的极点在座标原点,而且通过M(2,-22),求其标准方程.练习:若抛物线方程x y 82-=被P(-1,1)所平分的弦所在直线方程例2:斜率1的直线l 通过抛物线x y 42=的核心F,且与抛物线交于A,B 两点,求线段AB 的长度练习:以曲线1162522=+y x 的对称中心为极点,左准线为准线的抛物线与已知直线右准线交于A,B 两点求线段AB 的长度例3:过抛物线核心F 的直线交抛物线于A,B 两点,通过点A 和抛物线的极点交抛物线的准线于D,求证:直线平行于抛物线的对称轴练习: 已知:抛物线方程)0(22>=p px y 的核心弦AB 坐标别离为),(),,(2211y x B y x A ,求2121x x y y 的值 例4已知:抛物线方程x y 42=,直线L 过定点P(-2,1),斜率为K,K 为何值时,直线L 与抛物线方程x y 42=只有一个公共点; 有两个公共点; 没有公共点练习：将直线x-2y+b=0向左移动移动1个单位，再向下移动2个单位后，若它与抛物线x y 42=仅有一个公共点求实数值例5:求极点在原点,核心在x 轴上,截直线2x-y-4=0所的弦长为53的抛物线方程练习: 求抛物线x y 82-=被点P(-1,1)所平分的弦所在直线方程达标检测:(1)若A 是定直线L 外的必然点,求A 与L 相切的的圆的圆心轨迹(2)若：极点在原点,核心在x 轴上,通径长为顶值的抛物线方程为(3)求抛物线x y 42=上直线y=4x-5的距离最近的点的坐标(4)若: 抛物线x y 42=的核心弦长为5求核心弦所在直线方程(5)已知:直线L 过抛物线方程px y 22的核心且于抛物线交于A,B 两点,求证:对于那个抛物线的任何给定弦长CD,直线L 不是它的垂直平分线知识小结。
高中数学 第二章 圆锥曲线 抛物线第一课时学案 北师大版选修1-1
抛物线的标准方程的导学案【学习目标】：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形【学习过程】：课前准备（预习教材P56-P59）复习1：点M 与定点30F （，）的距离和它到定直线的距离253x =的比是35，则点M 的轨迹是什么图形？复习2：点M 与定点0F （5，）的距离和它到定直线的距离95x =的比是53，则点M 的轨迹是什么图形？二、新课导学 学习探究：若一个动点M 到一个定点F 和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？如何才能作出满足条件的M 点的轨迹呢？●F新知1：抛物线平面内与一个定点F 和一条定直线的距离 的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的 ；直线叫做抛物线的 。
抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线的距离 的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的 ；直线叫做抛物线的 。
设定点F 到定直线的距离为p （0p >）新知2：抛物线的标准方程类比椭圆与双曲线，请建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程。
解： 建立____________________坐标系。
●F得到抛物线的标准方程：_______________________________焦点为______________ 准线为_________________在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程。
那么，抛物线的标准方程有那些不同的形式？三、知识巩固【自主展示】：（1）已知抛物线的标准方程是26y x=求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F-,求它的标准方程；（3）已知抛物线的准线方程是3y=,求它的标准方程；【自主练习，小组互批】求下列抛物线的焦点坐标与准线方程（1）228y x=（2）24x y=（3）220y x+=【自我提高】求抛物线的标准方程焦点的坐标是(3,0);准线的方程是14x=；抛物线经过(4,2) --;焦点到准线的距离是3.这节课我学到了那些新知识？中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 2.2 抛物线的简单性质(一)
2.2抛物线的简单性质(一)学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的简单性质思考1类比椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？思考2参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：类型一抛物线简单性质的应用例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB 的面积是_____________________________________________________．反思与感悟把握三个要点确定抛物线简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．类型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．反思与感悟(1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．跟踪训练2直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l 的方程为_____________________________________________________．类型三与抛物线有关的最值问题例3设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)．求|PB|＋|PF|的最小值．反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为() A.172B ．2 C.5D.921．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为() A.p2B ．pC ．2pD ．无法确定 2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是() A ．4B ．6C ．8D ．123．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为() A ．1B ．2C ．3D ．44．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为() A ．8B ．16C ．32D ．615．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．1．讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．答案精析问题导学 知识点一思考1范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．思考2因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大． 梳理(0,0)1 题型探究例1解由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点F (m 2，0)．直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为 (m 2，m )，(m2，－m )， 所以|AB |＝2|m |.因为△OAB 的面积为4， 所以12·|m 2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究4p 2解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ， 所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.跟踪训练1解设抛物线的方程为 y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)．因为点P 到对称轴距离为6， 所以y 0＝±6.因为点P 到准线距离为10， 所以|x 0＋a2|＝10.①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0，②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线的方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 例2解(1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.跟踪训练2x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意．所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知 |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.例3解(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5.(2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.因为23>2，所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |. 所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4.跟踪训练3A[如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ | ＝|P A |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值， 则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值． 又A (0,2)，F (12，0)，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.]当堂训练1．C2.B3.B4.B5．解如图OAB 为正三角形，设|AB |＝a ，则OD ＝32a ， ∴A (32a ，a2)代入y 2＝2px ， 即a 24＝2p ×32a ， 解得a ＝43p .∴正三角形的边长为43p .。
高中数学选修1-1北师大版 抛物线的简单性质 学案1
2.2 抛物线的简单性质自主整理1.抛物线的几何性质,与椭圆相比较,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线.2.不能把抛物线看作是双曲线的一支.3.抛物线的焦半径公式的推导因为点P(x 0,y 0)在抛物线y 2=2px(p>0)上,所以点P(x 0,y 0)到抛物线y 2=2px(p>0)的准线x=2p 的距离等于它到焦点F(2p ,0)的距离,故有r=|PF|=|x 0+2p |,又x 0≥0,p>0,所以有r=x 0+2p . 4.在抛物线的几何性质中,应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标,在解题时,应先注意开口方向,焦点位置,选准标准形式,然后求解.名师解惑1.给出一条抛物线的方程(能够化为标准方程的形式)如何判断其焦点处于哪条数轴上以及焦点的坐标?剖析:如果所给的抛物线的方程不是标准方程的形式,首先将其转化为标准方程的形式,然后注意观察方程中如果含的是x 的一次项,则其焦点就在x 轴上,并且焦点的横坐标恰好就是一次项系数除以4得到,曲线的开口方向朝x 轴的正方向;相应的准线方程是与对称轴垂直的一条直线,其方程:x=4m -(其中m 表示一次项系数).同理,将其方程转化为标准方程的形式后,如果含的是y 的一次项,同样有上述类似结论.2.我们知道,一条直线与一个圆相切的充分必要条件是这条直线与这个圆有且只有一个公共点,那么能否说一条直线与一条抛物线相切的充分必要条件是这条直线与这条抛物线有且只有一个公共点呢?剖析:当一条直线与一条抛物线只有一个公共点时,这条直线未必与该抛物线相切,例如当平行于抛物线的对称轴的直线与该抛物线只有一个公共点,但这条直线并不与这条抛物线相切.当直线不与抛物线的对称轴平行时,还是可以根据公共点的个数来判断直线与抛物线的相离、相切、相交的位置关系.3.我们知道,二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线,那么这条抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程如何确定?剖析:对于二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0),由于其方程不是抛物线的标准方程的形式(也不能转化为标准方程形式),因此要求其顶点坐标、焦点坐标、准线方程就不能简单地利用课本中的相关结论.但我们可以考虑通过图像的平移,从而借助于标准方程达到目的.由y=ax 2+bx+c(a≠0),得(x+a b 2)2=a 1(y a b ac 442--),由此可见要得到抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0),可以将x 2=a 1y 按向量(a b 2-,a b ac 442-)平移而得到,所以抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程分别为(a b 2-,a b ac 442-)、(a b 2-,a b ac 4142+-)、y=ab ac 4142--. 讲练互动【例1】已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x 轴,且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦长等于23,求这条抛物线的方程.解析:因为圆和抛物线都关于x 轴对称,所以它们的交点也关于x 轴对称,即公共弦被x 轴垂直平分,于是由弦长等于23,可知交点纵坐标为±3.解:设所求抛物线方程为y 2=2px 或y 2=-2px,设交点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),则|y 1|+|y 2|=23,即y 1-y 2=23,由对称性,知y 2=-y 1,代入上式得y 1=3,把y 1=3代入x 2+y 2=4得x=±1.∴点C(1,3)在抛物线y 2=2px 上,点C′(-1,3)在抛物线y 2=-2px 上.∴3=2p 或3=-2p×(-1).∴p=23. ∴所求抛物线方程为y 2=3x 或y 2=-3x.绿色通道因为抛物线是轴对称图形,所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分.变式训练1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,在此抛物线上,一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m 的值、抛物线方程和准线方程.解析:因顶点在原点,对称轴是y 轴,点M(m,-3)位于第三、四象限,故可确定所求抛物线方程为x 2=-2py(p>0).解:方法一:设所求抛物线方程为x 2=-2py(p>0),则焦点为F(0,2p -). ∵M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5, 故⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=.5)23(,6222p m p m 解得⎩⎨⎧±==.62,4m p ∴抛物线方程为x 2=-8y,m=±26,准线方程为y=2.方法二:如右图所示,设抛物线方程为x 2=-2py(p>0),则焦点F(0,2p -),准线l:y=2p,又|MF|=5,由定义知3+2p =5, ∴p=4.∴抛物线方程为x 2=-8y,准线方程为y=2.由m 2=-8×(-3)得m=±26.【例2】(经典回放)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点,点M 在抛物线的准线上,O 为坐标原点,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),(1)求证:y 1y 2=-p 2;(2)求证:直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列.解析:本题第一问涉及直线与抛物线的交点,注意联立其方程消去一个未知数,利用根与系数间的关系从而达到目的;在解决第二问的过程中应注意充分利用点A 、B 在抛物线上这个已知条件.解:(1)设MA 、MF 、MB 的斜率分别为k 1、k 、k 2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(2p -,m), 直线l 的方程为x=ty+2p , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,2,22px y p ty x 得y 2-2pty-p 2=0,故y 1y 2=-p 2.(2)由已知得y 12=2px 1,y 22=2px 2,∴x 1+2p =p 21(y 12+p 2),x 2+2p =212y p (y 12+p 2), k 1+k 2=211p x m y +-+222p x m y +-=)()(222112p y p m y p +-+)()(22211221p y p m y p y +--=p m 2-. ∵k=pm -,∴k 1+k 2=2k. ∴直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列.黑色陷阱本题在求解过程中容易简单地按固定的模式思考问题,从而将问题复杂化.变式训练2.如图所示,M 是抛物线y 2=x 上的一个定点,弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点,且MA=MB.证明直线EF 的斜率为定值.解:设M(y 02,y 0),直线ME 的斜率为k(k>0),则直线MF 的斜率为-k,方程为y-y 0=k(x-y 02).由⎪⎩⎪⎨⎧=-=-,)(2200x y y x k y y 消x 得ky 2-y+y 0(1-ky 0)=0, 解得y E =k ky 01-,。
高中数学选修1-1北师大版 抛物线及其标准方程(第1课时)抛物线的简单性质 学案1
2.1 抛物线及其标准方程～2.2 抛物线的简单性质(第1课时)1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条直线l (l 不过F )的________________的点的集合叫作抛物线．这个定点F 叫作抛物线的________，这条定直线l 叫作抛物线的__________．预习交流1“平面内动点M 到一个定点F 和一条直线l 的距离之比为1”是“动点M 的轨迹为抛物线”的______条件．2．抛物线的标准方程根据抛物线的定义，建立如图所示的平面直角坐标系，使准线l 与x 轴垂直，垂足为K ，焦点F 在x 轴上，KF 的中点为坐标原点O ，设|KF |＝p (p ＞0)，即p 为__________________，可得抛物线的标准方程为__________，焦点坐标是______，准线方程是______________．预习交流2曲线由于它在坐标平面内的位置不同，其方程也随之不同，你能否根据抛物线的不同建系方式，分别写出其方程、焦点坐标及准线方程？(注：焦点到准线的距离为p )预习交流3如何根据抛物线的标准方程判定焦点的位置？答案：1．距离相等 焦点 准线 预习交流1：提示：必要不充分条件．因为当定点在定直线上时，动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的一条直线(去掉定点)．2．焦点到准线的距离 y 2＝2px ⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2预习交流2：提示：其对应的标准方程以及焦点坐标、准线方程如表所示.提示：抛物线的焦点在其方程的一次项所表示的坐标轴上，若一次项系数为正，则在其正半轴上；若一次项系数为负，则在其负半轴上．一、抛物线定义的应用若点P 到直线x ＋4＝0的距离比它到点(5,0)的距离小1，求点P 的轨迹．思路分析：可用直接法先求出动点的轨迹方程，再判定轨迹类型；也可以通过转化条件，套用圆锥曲线的定义判定．1．平面内过点A(－2,0)，且与直线x ＝2相切的动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝－8x D ．y 2＝－16x 2．(2011～2012成都六校协作体期中考试)已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到(0,2)的距离与P 到抛物线准线的距离之和的最小值是______．抛物线的定义刻画了两种距离(两点间距离、点线间距离)之间的一种等量关系，在应用时应注意恰当的转化．二、求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点在直线3x ＋4y －12＝0上； (2)焦点是(－2,0)； (3)准线是y ＝－32；(4)焦点到准线的距离是2.思路分析：求解这类问题，应首先由已知条件设出标准方程，再根据已知条件求出参数p ，最后写出结论，根据已知条件，确定是四种形式中的哪一种是关键：(1)中直线与坐标轴有两个交点(4,0)，(0,3)，也就有两种情况，(2)开口向左，(3)开口向上，(4)有四种情况．1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．⎝⎛⎭⎫14，0C ．⎝⎛⎭⎫0，18D ．⎝⎛⎫0，14 2．经过点P (－2,4)的抛物线的标准方程是______．求抛物线的标准方程需要：①定位：判断焦点所在的坐标轴；②定量：求唯一的参数p .常见的错误就是忽视答案的多样性，只求得一解．所以要明确抛物线的四种标准方程的特征，能分类讨论进行应用．三、抛物线方程的实际应用一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口的宽恰好是拱高的4倍，若拱口的宽为a 米，求使卡车通过的a 的最小整数值．思路分析：建系求出抛物线方程，代入坐标确定a 的值即可．某抛物线型拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，求其中最高支柱的高度．解决抛物线的实际应用问题时，首先从实际背景中抽象出曲线，并建立适当的坐标系，然后提炼数据，得到点的坐标，求得方程解决相应问题，最后要还原回实际问题中．答案：活动与探究1：解：法1：设点P(x ，y)，据条件得(x －5)2＋y 2＝|x ＋4|＋1，由题意知x ≥－4，∴(x －5)2＋y 2＝x ＋5，两边平方化简得y 2＝20x ，此即为点P 的轨迹方程，∴点P 的轨迹为抛物线．法2：设点P(x ，y)，则由已知条件“到直线x ＋4＝0的距离比它到点(5,0)的距离小1”，可得“到直线x ＋5＝0的距离与它到点(5,0)的距离相等”，根据抛物线的定义知：点P 的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，则点P 的轨迹方程为y 2＝20x. 迁移与应用：1．C 解析：由于动圆圆心到点A 的距离与到切线的距离都等于圆的半径，所以圆心的轨迹为以A 为焦点的抛物线，其方程为y 2＝－8x.2.172解析：由抛物线定义知，点P 到(0,2)的距离与P 到抛物线准线的距离之和等于点P 到(0,2)的距离与P 到抛物线焦点的距离之和，所以其最小值为两点间线段的长度．活动与探究2：解：(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3)，故抛物线有两种情况：焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，∴方程为y 2＝16x ；焦点为(0,3)时，p2＝3，∴p ＝6，∴方程为x 2＝12y.故所求方程为y 2＝16x 或x 2＝12y.(2)焦点为(－2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴方程为y 2＝－8x.(3)准线为y ＝－32，∴p 2＝32，。
2.2.2抛物线的简单性质 教案(高中数学选修1-1北师大版)
2．2抛物线的简单性质●三维目标1．知识与技能：掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想．2．过程与方法：找出抛物线与椭圆、双曲线的性质之间的区别与联系，培养学生分析、归纳、推理的能力，进一步体会数形结合的思想方法．3．情感、态度与价值观：通过对椭圆、双曲线、抛物线性质的总结，体会运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义观点，提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：抛物线的简单性质．难点：简单性质的应用．引导学生类比椭圆的简单性质，不断地观察、比较、分析、发现、理解抛物线的简单性质，通过例题与练习加深对抛物线的简单性质的理解．●教学建议本节内容是在学习了抛物线的定义及标准方程后对其性质的研究，有了学习椭圆性质的基础，教学时引导学生通过类比来探究、发现抛物线的简单性质，让学生通过个人、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于抛物线性质的深入探讨．●教学流程创设问题情境，提出问题 学生通过回答问题了解、掌握抛物线的性质 通过例1及变式训练，使学生掌握由抛物线的性质求抛物线的方程 通过例2及互动探究，使学生掌握抛物线性质的简单应用 通过例3及变式训练，使学生掌握焦点弦问题归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫作抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯也是利用这个原理设计的．试问抛物线还具有什么性质？【提示】一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线．1. 抛物线的标准方程及相应的几何性质抛物线y 2＝2px (p ≥0)，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为(p 2，p )，(p2，－p )，连接这两点的线段叫作通径．，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．【思路探究】 因为顶点在原点，焦点在y 轴上，点M (m ，－3)位于第三、四象限，故可确定所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．【自主解答】 法一 由题意可设抛物线方程为 x 2＝－2py (p >0)，则焦点F (0，－p2)．∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋（－3＋p 2）2＝5， 解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.所以m 的值为±26，抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.法二 如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)， 则焦点F (0，－p 2)，准线l ：y ＝p2.过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2， ∴3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线的方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.1. 本题法二是抛物线定义的应用，因此要注意抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的相互转化．2. 抛物线的标准方程只有一个待定系数，故求抛物线的标准方程时，应设法建立参数p 的关系式．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求抛物线的方程．【解】。
北师大版选修1《抛物线的简单性质》说课稿
北师大版选修1《抛物线的简单性质》说课稿一、教材分析《抛物线的简单性质》是北师大版选修1中的一篇教材内容。
本单元是高中数学教材中的抛物线章节，是在学习二次函数的基础上进一步拓展的内容。
通过学习该单元，学生将进一步认识抛物线的一些简单性质，为后续的学习打下基础。
二、教学目标1. 知识目标•了解抛物线的定义和一般方程；•掌握抛物线的标准方程；•理解抛物线的对称性和焦点的数学定义；•能够求解抛物线的顶点、焦点和方程。
2. 能力目标•培养学生运用二次函数的知识分析抛物线问题的能力；•提高学生的数学建模和解决问题的能力；•培养学生观察和推理问题的能力。
3. 情感目标•培养学生对数学的兴趣和热爱；•培养学生解决问题和思考的乐趣；•培养学生合作和分享经验的意识。
三、教学重点与难点1. 教学重点•抛物线的定义和标准方程；•抛物线的顶点、焦点的求解方法；•抛物线的基本性质的应用。
2. 教学难点•理解和运用顶点、焦点的概念；•解决实际问题时的抽象转化能力；四、教学过程1. 导入与展示通过引入一个与抛物线相关的实际问题，例如“炮弹的抛物线轨迹”，激发学生的兴趣和好奇心，引发学生思考，并引出抛物线的定义和性质。
2. 概念解释根据教材中的内容，对抛物线的定义、标准方程等进行解释和讲解。
通过示意图和实例演示，加深学生对抛物线概念的理解和记忆。
3. 抛物线的标准方程介绍抛物线的标准方程形式，并通过几个实例的求解，引导学生掌握求解标准方程的方法和步骤。
4. 抛物线的顶点与焦点讲解抛物线的顶点和焦点的定义，并通过具体的例子进行解析，引导学生理解抛物线的对称性和焦点的数学意义。
同时，讲解求解顶点和焦点的方法及步骤。
5. 抛物线的性质及应用介绍抛物线的一些基本性质，例如对称性、焦点的位置等，并通过一些实际问题的解析，引导学生理解和应用这些性质。
6. 练习与巩固安排一些练习题和实际问题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识，并提高运用知识解决问题的能力。
选修1-1抛物线性质导学案
§1.4.2 抛物线的简单几何性质编制：黄诚祯 审核：陈李琼学习目标 ：1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．学习重点：抛物线的几何性质学习难点：利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题课前预习案教材助读：阅读教材68-69页的内容，思考并完成下列问题：2.焦点弦过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦。
直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故)(21x x p AB ++= 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程________________________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有____个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有____个公共点.【即学即练】1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点),(),,(2211y x B y x A ，126x x +=，则 ||AB = ____2. 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，它的标准方程_________________-3．已知P(8，a)在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．164．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．45．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12§2.4.2 抛物线的简单几何性质编制：黄诚祯 审核：陈李琼【课堂检测】1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为 ( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝02.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于点),(11y x A ，),(22y x B ，若10=AB ，AB 的中点M 到抛物线准线的距离___________．3．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于 ( ) A.15 B ．215 C.152D ．15 4.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．【拓展探究】1.过点)2,0(P 的直线和抛物线x y 82=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点在直线2=x 上，求线段AB 的长．2. 从抛物线)0(22>=p px y 外一点)42(--，A 引倾斜角为45的直线，与抛物线交于1P 、2P 两点，若1AP 、21P P 、2AP 成等比数列，求抛物线的方程．【当堂训练】1．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、， 求AB 的长。
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.2.2抛物线的简单性质导学案(无答案)北师大版选修1-1(1)
陕西省榆林育才中学高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2.2抛物线的简单性质导学案（无答案）北师大版选修1-1
学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能
力
重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。
自主学习
合作探究
1.抛物线的几何性质：通过和椭圆几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率要联系椭圆第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．
2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
3.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，
y2)
练习反馈
1.点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x + 6 =0的距离小2，求M得轨迹。
2.求顶点在原点，通过点（3，-6），且以坐标为轴的抛物线的标准方程。
3.某单行隧道横断面由一段抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车载一集装箱，车宽3m,车与箱总高
4.5m,此车能否安全通过隧道？说明理由。
高中数学《抛物线的简单性质的应用》导学案 北师大版选修11
高中数学《抛物线的简单性质的应用》导学案北师大版选修111.根据抛物线的几何性质进行一些简单问题的应用,会利用几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程、焦半径和通径.2.能判断抛物线与直线的位置关系,理解抛物线的焦点弦的特殊意义,结合定义得到焦点弦的公式,并利用该公式解决一些相关的问题.我们已经学习了抛物线及抛物线的简单几何性质,抛物线的几何性质应用非常广泛,通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质不难掌握,而抛物线几何性质的应用是学习的难点,学习中应注重几何模型与数学问题的转换.问题1:直线和抛物线的位置关系的判定方法联立直线和抛物线方程得:ax2+bx+c=0.当a≠0时,Δ>0⇔;Δ=0⇔;Δ<0⇔,没有公共点.当a=0时,直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线,只有一个公共点,但不能称为相切.问题2:抛物线的弦长的求解,可以利用两点间距离公式转化为弦长公式|AB|=|x1-x2|,再转化为两根之和与两根之积的形式进行求解,这与椭圆和双曲线的弦长计算是相同的.抛物线中还有一类较为特殊的弦,那就是过焦点的弦,以y2=2px(p>0)为例,根据抛物线的定义,可以将焦点弦长转化为|AB|= ,这样在求解时可以大大简化运算量.过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径.直接应用抛物线定义,得到通径:d=2p.问题3:关于抛物线的几个结论设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线的倾斜角为θ,P(x0,y0)是抛物线上任意一点,则(1)以AB为直径的圆必与准线l相切;(2)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.即x1·x2=,y1·y2=-p2;(3)焦半径(抛物线上一点与抛物线焦点F的线段)为|PF|=x0+;(4)焦点弦|AB|=x1+x2+p=,+=;(5)焦点三角形面积为S△OAB=;(6)若点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0)的内部(含焦点区域),则<2px0或<2py0.1.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是().A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=02.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为().A.2B.2C.2D.23.抛物线顶点在坐标原点,以y轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线的方程为.4.已知点P在抛物线x2=y上运动,Q点的坐标是(-1,2),O是原点,OPQR(O、P、Q、R顺序按逆时针)是平行四边形,求R点的轨迹方程.抛物线几何性质的应用已知直线y=x+1与抛物线y2=ax(a≠0)交于A、B两点,·=a2-1,求抛物线的焦点坐标和准线方程.有关焦点弦、中点弦问题抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,求抛物线的方程.直线与抛物线的位置关系过点(0,3)的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,求直线l的方程.抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求AB所在的直线方程.过点(0,-2)的直线l与抛物线y2=-12x只有一个公共点,求直线l的方程.1.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为().A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-22.若点(3,1)是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦的中点,且弦所在直线的斜率为2,则p等于().A.1B.2C.D.43.已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是.4.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.(2013年·新课标卷Ⅱ)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为().A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x考题变式(我来改编):第6课时抛物线的简单性质的应用知识体系梳理问题1:直线与抛物线相交,有两个不同的交点直线与抛物线相切,只有一个公共点直线与抛物线相离相交问题2:x1+x2+p基础学习交流1.A设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F(,0),所以3×-2×0+c=0,所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.选A.2.B不妨设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2.由直线AB斜率为-2,且过点(1,0)得直线AB的方程为y=-2(x-1),代入抛物线方程y2=8x,得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,解得x1=2+,x2=2-,∴|AB|=·|x1-x2|=2.3.x2=±16y ∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍.∴所求抛物线的方程为x2=±16y.4.解:设R(x,y),相应的P(x1,y1),则⇒由x1=-x-1>0,得x<-1.又∵点P在抛物线x2=y上,∴(-x-1)2=-y+2,即(x+1)2=-y+2(x<-1),这就是R点的轨迹方程.重点难点探究探究一:【解析】设直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由得x2+(2-a)x+1=0,①Δ=(2-a)2-4>0,即a<0或a>4.∴x1+x2=a-2,x1x2=1,∴·=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1=a+1.∴a+1=a2-1,解得a=-1或a=2(舍去).∴所求方程y2=-x,焦点坐标为(-,0),准线方程为x=.【小结】这类问题的一般方法:(1)用直线方程和抛物线方程列方程组;(2)消元化为一个一元二次方程后,利用韦达定理得到x1+x2 ,x1x2 ;(3)将x1+x2 ,x1x2代入题中的条件,从而得到关系式,使问题得到解决.探究二:【解析】若抛物线开口向右,如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义,得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+=8.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p,∴p=2,∴所求抛物线方程为y2=4x.同理,当抛物线开口向左时,可求得抛物线方程为y2=-4x.【小结】(1)在解决与焦点弦有关的问题时,一是注意焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦、焦半径公式的应用,解题时注意整体代入的思想,可使运算、化简简便.(2)在解决直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题,处理的基本方法是点差法、利用根与系数的关系快速地求出中点弦所在直线的斜率.探究三:【解析】设直线l的方程为y=kx+3,将其代入y2=4x,整理得k2x2+(6k-4)x+9=0,则Δ=(6k-4)2-4×9k2=16-48k=0,解得k=,∴直线l的方程为y=x+3.[问题]直线l的斜率一定存在吗?[结论]上述解法只考虑了直线的斜率k存在的情况,而忽视了k不存在以及直线l平行抛物线对称轴时两种情形.于是,正确解答为:当斜率k存在且k≠0时,直线l的方程为y=x+3,当k=0时,直线l:y=3,此时l平行于对称轴,且与抛物线只有一个交点(,3),当k不存在时,直线l与抛物线也只有一个公共点,此时l的方程为x=0,综上,过点(0,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的方程为y=x+3,y=3,x=0.【小结】要判断直线与抛物线的位置关系,通常是通过讨论直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来判断,对于直线与抛物线只有一个公共点的情况,应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点,但它不是切线,不能用Δ=0求解,此时应分类讨论.思维拓展应用应用一:椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上,∴抛物线的对称轴为x轴,∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,∴p=6.∴抛物线的标准方程及其准线方程分别为y2=12x,x=-3或y2=-12x,x=3.应用二:设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,得x1≠x2,则有=8x1,①=8x2,②x1+x2=8,y1+y2=2.③①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),④将③代入④,得y1-y2=4(x1-x2),即4=,∴k=4.∴所求弦AB所在直线方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.应用三:设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx-2,将其代入y2=-12x,整理得ky2+12y+24=0,当k=0时,直线l:y=-2,此时l平行于对称轴,直线与抛物线只有一个交点(-,-2),当k≠0时,由于Δ=122-4×24k=0,解得k=,∴直线l的方程为y=x-2.当k不存在时,直线l与抛物线相切与顶点,此时只有一个公共点,此时l的方程为x=0.综上,过点(0,-2)且与抛物线y2=-12x只有一个公共点的直线的方程为y=x-2,y=-2,x=0.基础智能检测1.B抛物线的焦点为F(,0),所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,代入y2=2px得y2=2p(y+)=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.2.B设弦的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两式相减得==2.又因为y1+y2=2,所以p=2.3.(1,2)或(1,-2)∵抛物线的焦点为F(1,0),设A(,y0),则=(,y0),=(1-,-y0),由·=-4,得y0=±2,∴点A的坐标是(1,2)或(1,-2).4.解:设抛物线的方程为y2=2px,则消去y,得4x2-(2p-4)x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1x2=.|AB|=|x1-x2|===.则=,p2-4p-12=0,∴p=-2或6.∴所求抛物线的方程为y2=-4x或y2=12x.全新视角拓展B设M(,y0),则|MF|=+=5,①又以MF为直径的圆过点N(0,2),∴·=×-2×(y0-2)=0,②联立①②解得p=2或8.。
高中数学第2章圆锥曲线与方程22.2抛物线的简单性质学案北师大版选修1_1
2．2 抛物线的简单性质学习目标：1.掌握抛物线标准方程的四种形式.2.掌握抛物线的简单性质．(重点)3.会用)抛物线的性质解决与抛物线有关的综合问题．(难点1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形，也是轴对称图形．( )(2)抛物线的范围是x∈R，y≥0.()(3)抛物线是二次函数的图像．( )[答案](1)×(2)×(3)×2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为( ) A．(0,1) B．(0,2)C．(1,0) D．(2,0)A [由抛物线x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p2＝－1，得p ＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．]3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为π4的直线l ，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长是________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，焦点F (2,0)，直线l 的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得x 2－12x ＋4＝0，x 1＋x 2＝12，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.[答案] 164．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． [解析] M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.[答案] 1516利用抛物线性质求标准方程【例1】 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[解] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 则|y 1|＋|y 2|＝23， 即y 1－y 2＝2 3.由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .利用抛物线的性质求抛物线的方程一般采用待定系数法，其步骤是： (1)定位置.根据条件确定抛物线的焦点在哪条对称轴上及开口方向； (2)设方程.根据所定位置，设出抛物线的标准方程； (3)寻关系.根据条件列出关于参数p 的方程； (4)得结论.解方程求得p 的值，从而得到其标准方程.1．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．[解] 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p .∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4.∴p ＝±2 2.∴抛物线方程为y 2＝±42x .抛物线性质的应用【例2】 已知正三角形AOB 的一个顶点O 位于坐标原点，另外两顶点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个三角形的边长．思路探究：设法证明三角形的另外两个顶点应满足什么关系，进而利用抛物线的性质求解边长．[解] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又因为|OA |＝|OB |， 所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0.所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＋x2＋2p≠0.所以x1＝x2. 即A，B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°，所以AB⊥x轴，所以y1＝x1tan 30°＝33x1.又因为x1＝y212p，所以y1＝23p.而|AB|＝2y1＝43p，即为所求边长．利用抛物线的性质可以解决的问题：(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题；(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题；(4)焦点：解决焦点弦问题.2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[解]根据题意可以知道，AB垂直于x轴，即A，B关于x轴对称．设AB的方程为x＝x0，则A(x0，2px0)，B(x0，－2px0)，由k OA·k BF＝－1得2px0x0·－2px0x0－p2＝－1，解得x0＝52p，故直线AB的方程为x＝52p.抛物线的焦点弦问题[探究问题]1．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝8，求抛物线的标准方程．[提示]设抛物线标准方程为y2＝2px(p≠0)，则|AB|＝|2p|＝8，∴p＝±4，故标准方程为y2＝±8x.2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，能否求|AB|的值？[提示] 如图，∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2. ∴由抛物线定义知： |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.【例3】 已知抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在直线的方程．思路探究：方法1：设出直线方程，用弦长公式求解；方法2：由于直线过抛物线的焦点，可利用抛物线定义转化为到准线的距离的和求解．[解] 法一：(代数法)焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ＜52p . 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2.法二：(几何法)如图所示，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知，|AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p ＜52p ，所以直线AB 与x 轴不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝|y 1－y 2| 1＋1k2.(2)焦点弦长设AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的一条过焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长： |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点.1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6yC [依题意，p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y .]2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 [答案] D3．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a 的值等于________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x得ax 2－x ＋1＝0，由Δ＝0得1－4a ＝0， ∴a ＝14.[答案] 144．设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝______. [解析] 设P (x,12)，代入到y 2＝16x 得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.[答案] 135．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在直线的方程及|P 1P 2|.[解] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2. 两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)， 即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝1＋1922－4×(－22)＝22303.。
北师版数学高二《抛物线的简单性质》 精品导学案 北师大
3.2.2 抛物线的简单性质学习目标：（1）能用对比的方法分析抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；；（2）能根据抛物线的几何性质，确定抛物线的方程并解决简单问题。
重点：抛物线的范围、对称性、顶点和准线。
难点：抛物线的范围、对称性、顶点和准线性质综合应用，抛物线的几何性质在解题中的灵活运用。
1 、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ B ）A ．9B ．6C ．4D ．3 2、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ C ）Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·3. 对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q,点P （a,0）都满足|PQ|≥|a|,则a 的取值范围是（ B ）A 、(,0)-∞B 、(,2]-∞C 、[]0,2D 、(0,2)4、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为（ B ）A 、18B 、18- C 、8 D 、-8 5、抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ B ）A 、1716B 、1516C 、78D 、0 6、在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P 的值为（ C ） A 、12 B 、1 C 、2 D 、47. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，若x 1+x 2=6，求|AB|的值．||8AB =8．求焦点在直线3x -4y -12=0上的抛物线的标准方程．分类讨论(4,0)F 或(0,-3) 221612y x x y ==-或。
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第6课时抛物线的简单性质的应用1.根据抛物线的几何性质进行一些简单问题的应用,会利用几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程、焦半径和通径.2.能判断抛物线与直线的位置关系,理解抛物线的焦点弦的特殊意义,结合定义得到焦点弦的公式,并利用该公式解决一些相关的问题.我们已经学习了抛物线及抛物线的简单几何性质,抛物线的几何性质应用非常广泛,通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质不难掌握,而抛物线几何性质的应用是学习的难点,学习中应注重几何模型与数学问题的转换.问题1:直线和抛物线的位置关系的判定方法联立直线和抛物线方程得:ax2+bx+c=0.当a≠0时,Δ>0⇔;Δ=0⇔;Δ<0⇔,没有公共点.当a=0时,直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线,只有一个公共点,但不能称为相切.问题2:抛物线的弦长的求解,可以利用两点间距离公式转化为弦长公式|AB|=|x1-x2|,再转化为两根之和与两根之积的形式进行求解,这与椭圆和双曲线的弦长计算是相同的.抛物线中还有一类较为特殊的弦,那就是过焦点的弦,以y2=2px(p>0)为例,根据抛物线的定义,可以将焦点弦长转化为|AB|= ,这样在求解时可以大大简化运算量.过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径.直接应用抛物线定义,得到通径:d=2p.问题3:关于抛物线的几个结论设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线的倾斜角为θ,P(x0,y0)是抛物线上任意一点,则(1)以AB为直径的圆必与准线l相切;(2)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.即x1²x2=,y1²y2=-p2;(3)焦半径(抛物线上一点与抛物线焦点F的线段)为|PF|=x0+;(4)焦点弦|AB|=x1+x2+p=,+=;(5)焦点三角形面积为S△OAB=;(6)若点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0)的内部(含焦点区域),则<2px0或<2py0.1.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是().A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=02.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为().A.2B.2C.2D.23.抛物线顶点在坐标原点,以y轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线的方程为.4.已知点P在抛物线x2=y上运动,Q点的坐标是(-1,2),O是原点,OPQR(O、P、Q、R顺序按逆时针)是平行四边形,求R点的轨迹方程.抛物线几何性质的应用已知直线y=x+1与抛物线y2=ax(a≠0)交于A、B两点,²=a2-1,求抛物线的焦点坐标和准线方程.有关焦点弦、中点弦问题抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,求抛物线的方程.直线与抛物线的位置关系过点(0,3)的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,求直线l的方程.抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求AB所在的直线方程.过点(0,-2)的直线l与抛物线y2=-12x只有一个公共点,求直线l的方程.1.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为().A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-22.若点(3,1)是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦的中点,且弦所在直线的斜率为2,则p等于().A.1B.2C.D.43.已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若²=-4,则点A的坐标是.4.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.(2013年²新课标卷Ⅱ)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为().A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x考题变式(我来改编):第6课时抛物线的简单性质的应用知识体系梳理问题1:直线与抛物线相交,有两个不同的交点直线与抛物线相切,只有一个公共点直线与抛物线相离相交问题2:x1+x2+p基础学习交流1.A设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F(,0),所以3³-2³0+c=0,所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.选A.2.B不妨设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2.由直线AB斜率为-2,且过点(1,0)得直线AB的方程为y=-2(x-1),代入抛物线方程y2=8x,得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,解得x1=2+,x2=2-,∴|AB|=²|x1-x2|=2.3.x2=±16y ∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍.∴所求抛物线的方程为x2=±16y.4.解:设R(x,y),相应的P(x1,y1),则⇒由x1=-x-1>0,得x<-1.又∵点P在抛物线x2=y上,∴(-x-1)2=-y+2,即(x+1)2=-y+2(x<-1),这就是R点的轨迹方程.重点难点探究探究一:【解析】设直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由得x2+(2-a)x+1=0,①Δ=(2-a)2-4>0,即a<0或a>4.∴x1+x2=a-2,x1x2=1,∴²=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1=a+1.∴a+1=a2-1,解得a=-1或a=2(舍去).∴所求方程y2=-x,焦点坐标为(-,0),准线方程为x=.【小结】这类问题的一般方法:(1)用直线方程和抛物线方程列方程组;(2)消元化为一个一元二次方程后,利用韦达定理得到x1+x2 ,x1x2 ;(3)将x1+x2 ,x1x2代入题中的条件,从而得到关系式,使问题得到解决.探究二:【解析】若抛物线开口向右,如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义,得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+=8.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p,∴p=2,∴所求抛物线方程为y2=4x.同理,当抛物线开口向左时,可求得抛物线方程为y2=-4x.【小结】(1)在解决与焦点弦有关的问题时,一是注意焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦、焦半径公式的应用,解题时注意整体代入的思想,可使运算、化简简便.(2)在解决直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题,处理的基本方法是点差法、利用根与系数的关系快速地求出中点弦所在直线的斜率.探究三:【解析】设直线l的方程为y=kx+3,将其代入y2=4x,整理得k2x2+(6k-4)x+9=0,则Δ=(6k-4)2-4³9k2=16-48k=0,解得k=,∴直线l的方程为y=x+3.[问题]直线l的斜率一定存在吗?[结论]上述解法只考虑了直线的斜率k存在的情况,而忽视了k不存在以及直线l平行抛物线对称轴时两种情形.于是,正确解答为:当斜率k存在且k≠0时,直线l的方程为y=x+3,当k=0时,直线l:y=3,此时l平行于对称轴,且与抛物线只有一个交点(,3),当k不存在时,直线l与抛物线也只有一个公共点,此时l的方程为x=0,综上,过点(0,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的方程为y=x+3,y=3,x=0.【小结】要判断直线与抛物线的位置关系,通常是通过讨论直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来判断,对于直线与抛物线只有一个公共点的情况,应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点,但它不是切线,不能用Δ=0求解,此时应分类讨论.思维拓展应用应用一:椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上,∴抛物线的对称轴为x轴,∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,∴p=6.∴抛物线的标准方程及其准线方程分别为y2=12x,x=-3或y2=-12x,x=3.应用二:设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,得x1≠x2,则有=8x1,①=8x2,②x1+x2=8,y1+y2=2.③①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),④将③代入④,得y1-y2=4(x1-x2),即4=,∴k=4.∴所求弦AB所在直线方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.应用三:设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx-2,将其代入y2=-12x,整理得ky2+12y+24=0,当k=0时,直线l:y=-2,此时l平行于对称轴,直线与抛物线只有一个交点(-,-2), 当k≠0时,由于Δ=122-4³24k=0,解得k=,∴直线l的方程为y=x-2.当k不存在时,直线l与抛物线相切与顶点,此时只有一个公共点,此时l的方程为x=0.综上,过点(0,-2)且与抛物线y2=-12x只有一个公共点的直线的方程为y=x-2,y=-2,x=0.基础智能检测1.B抛物线的焦点为F(,0),所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,代入y2=2px得y2=2p(y+)=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.2.B设弦的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两式相减得==2.又因为y1+y2=2,所以p=2.3.(1,2)或(1,-2)∵抛物线的焦点为F(1,0),设A(,y0),则=(,y0),=(1-,-y0),由²=-4,得y0=±2,∴点A的坐标是(1,2)或(1,-2).4.解:设抛物线的方程为y2=2px,则消去y,得4x2-(2p-4)x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1x2=.|AB|=|x1-x2|===.则=,p2-4p-12=0,∴p=-2或6.∴所求抛物线的方程为y2=-4x或y2=12x.全新视角拓展B设M(,y0),则|MF|=+=5,①又以MF为直径的圆过点N(0,2),∴²=³-2³(y0-2)=0,②联立①②解得p=2或8.。