2018年高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第二章 函数 §2.3 指数与指数函数
(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.1 函数的概念课件
计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时
应购买19个还是20个易损零件?
解析 (1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,
所以y与x的函数解析式为y= 350(8x00∈x0,N 5) .7 0( 04, 分xx )1199,
+2=1.
1 2
2
5.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=
x
2 x
3,
x
1,
则f(f(-3))=
, f(x)的最小值是
.
lg(x2 1), x 1,
答案 0;2 2 -3
解析 ∵-3<1,∴f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,
2
当x> 1 时, 2
f(x)+f
x
1 2
=2x+ 2x
1 2
>1恒成立.
综上,x的取值范围为 14
,
.
2.(2017山东文改编,9,5分)设f(x)=
x,0 x 1, 2(x 1), x 1.
若f(a)=f(a+1),则f 1a =
.
答案 [0,1)
解析
由
x 0, 1 x
0,
解得0≤x<1.
三年模拟
A组 2015—2017年高考模拟·基础题组
(时间：25分钟 分值：40分)
填空题(每题5分,共40分)
1.(2017苏锡常镇四市教学情况调研,3)函数f(x)= ln(41x
2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第二章
1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根.2.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点.( √ )(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.( √ )1.(教材改编)函数f (x )＝12x －(12)x 的零点个数为____________.答案 1解析 f (x )是增函数，又f (0)＝－1，f (1)＝12，∴f (0)f (1)<0，∴f (x )有且只有一个零点.2.(教材改编)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点为1,3，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是________. 答案 x ＝2解析 ∵y ＝a (x －1)(x －3)＝a (x －2)2－a ， ∴对称轴为x ＝2.3.(2016·长春检测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是________.①(1e ，1); ②(1,2)； ③(2，e); ④(e,3).答案 ③解析 因为f (1e )＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在区间是(2，e).4.函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得 f (－1)f (1)<0，∴(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13<a <1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.5.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是__________.答案 (－2,0)解析 结合二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0f (1)>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a <01＋1＋a >0，所以－2<a <0.题型一 函数零点的确定 命题点1 确定函数零点所在区间例1 (1)(2016·盐城调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是________.(填序号) ①(0,1); ②(1,2); ③(2,3);④(3,4).(2)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______. 答案 (1)③ (2)(1,2)解析 (1)∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)为增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2<0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120<0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121>0， ∴x 0∈(2,3).(2)令f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0，∴x 0所在的区间是(1,2).命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________. 答案 (1)2 (2)4解析 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数.又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2. (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点.思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是________.(填序号) ①(0,1); ②(1,2)； ③(2,4);④(4，＋∞).(2)(教材改编)已知函数f (x )＝2x －3x ，则函数f (x )的零点个数为________. 答案 (1)③ (2)2解析 (1)因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4).(2)令f (x )＝0，则2x ＝3x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，如图所示，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f (x )的零点个数为2.题型二 函数零点的应用例3 (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是__________.(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (1)(0,3) (2)(0,1)∪(9，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0＜a ＜3. (2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，∴0<a <1或a >9. 引申探究本例(2)中，若f (x )＝a 恰有四个互异的实数根，则a 的取值范围是________________. 答案 (0，94)解析 作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a 的图象如下：当x ＝－32时，y 1＝94；当x ＝0或x ＝－3时，y 1＝0，由图象易知，当y 1＝|x 2＋3x |和y 2＝a 的图象有四个交点时，0<a <94.思维升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.(1)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________.(2)(2016·江苏前黄中学调研)若函数f (x )＝|x |x －1－kx 2有4个零点，则实数k 的取值范围是______________.答案 (1)(－2,0) (2)(－∞，－4) 解析 (1)∵－a ＝x 2＋x 在(0,1)上有解， 又y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，∴函数y ＝x 2＋x ，x ∈(0,1)的值域为(0,2)， ∴0<－a <2，∴－2<a <0.(2)令f (x )＝0，则方程|x |x －1＝kx 2有4个不同的实数根，显然，x ＝0是方程的一个实数根.当x ≠0时，方程可化为1k ＝|x |(x －1)，设h (x )＝1k，g (x )＝|x |(x －1)，由题意知h (x )与g (x )图象(如图所示)有三个不同的交点，由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x >0，－x (x －1)，x <0，结合图象知－14<1k<0，所以k <－4.题型三 二次函数的零点问题例4 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0， ∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围是(－2,1).思维升华 解决与二次函数有关的零点问题 (1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系. (3)利用二次函数的图象列不等式组.(2016·江苏泰州中学质检)关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m 的取值范围是______. 答案 (－∞，－214)解析 设f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f (3)<0，f (1)<0，所以m <－214.4.利用转化思想求解函数零点问题典例 (1)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________. (2)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________.思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决.解析 (1)函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，即方程a x －x －a ＝0有两个根，即函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点.当0<a <1时，图象如图(1)所示，此时只有一个交点. 当a >1时，图象如图(2)所示，此时有两个交点. ∴实数a 的取值范围为(1，＋∞).(2)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－(t ＋2t ＋1－1)＝2－[(t ＋1)＋2t ＋1]，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－22]1.(2016·江苏东海中学期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为______________. 答案 1＋2或1解析 题目转化为求方程f (x )＝x 的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x ，解得x ＝1＋2或x ＝1，所以g (x )的零点为1＋2或1.2.若函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________. 答案 2解析 由f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝1>0，知f (x )＝0的根在区间(2,3)内，即n ＝2.3.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________. 答案 a <c <b解析 方法一 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0且f (x )为R 上的递增函数.故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0). ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2；∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 且h (x )为(0，＋∞)上的增函数， ∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b . 方法二 由f (x )＝0得2x ＝－x ；由h (x )＝0得log 2x ＝－x ，作出函数y ＝2x ， y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图).由图象易知a <0,0<c <1，而b ＝2， 故a <c <b .4.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________. 答案 2解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≤0)，x －2＋ln x (x >0)的零点个数为______.答案 2解析 当x ≤0时，令f (x )＝0，得x 2－1＝0，∴x ＝－1，此时f (x )有一个零点；当x >0时，令f (x )＝0，得x －2＋ln x ＝0，在同一个坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象(图略)，观察其图象可知函数y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象在(0，＋∞)上的交点个数是1，所以此时函数f (x )有一个零点，所以f (x )的零点个数为2.6.已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是________________. 答案 ⎝⎛⎦⎤34，45∪[43，32)解析 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ；当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x－a ；…f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x 的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈(34，45]∪[43，32).7.(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________.答案 x ＝0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解. 综上，函数f (x )的零点只有0.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点， 结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1).9.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________. 答案 3解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x 在区间(0，12 015)内存在一个零点， 又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.10.若a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝loga x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n的最小值为________.答案 1解析 设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m >0，n >0).因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称，所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称.又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2，所以m ＋n ＝4.又m >0，n >0，所以1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·m ＋n 4＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2 n m ×m n )＝1. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝2时等号成立. 所以1m ＋1n的最小值为1. 11.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，115) 解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0， 解得2<a <115，所以实数a 的取值范围为(2，115). 12.关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围.解 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增， ∴y ＝x ＋1x在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)， ∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1].13.已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围.解 (1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋2x .又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. (2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解.即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解只需－1<a <1，故a 的取值范围为(－1,1).。
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义课件第二章
f(x)＝x＋2 为___________.
答案 解析
几何画板展示
由题意知f(x)在[－1，0]上为一条线段， 且过(－1，1)、(0，2)， 设f(x)＝kx＋b， 代入解得k＝1，b＝2.
所以f(x)＝x＋2.
5.(2016· 四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，
答案 解析
②y＝lg|x|；
④y＝2x.
②中，函数y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|， ∴函数y＝lg|x|是偶函数.
(2) 函数 f(x) ＝ loga(2 ＋ x) ， g(x) ＝ loga(2 － x)(a>0 且 a≠1) ，则下列关于函数 ② F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性的说法正确的是______.
§2.3 函数的奇偶性与周期性
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点
如果对于任意的x∈A，都有
偶函数
一般地，设函数
y＝f(x)的定义域
f(－x)＝f(x) ，那么称函数y 关于 y轴 对称 ＝f(x)是偶函数
如果对于任意的x∈A，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么称函数 关于原点对称 y＝f(x)是奇函数
1 3.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝_____.
答案 解析
∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立， ∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立， ∴1－a＝0，∴a＝1.
2018届江苏高考数学一轮复习课件 函数的图象
[ 变式训练 1] 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|. lg x，x≥1， [ 解] (1)∵y＝|lg x|＝ －lg x，0＜x＜1.
∴函数 y＝|lg x|的图象，如图①. (2)当 x≥0 时，y＝sin|x|与 y＝sin x 的图象完全相同，又 y＝ sin|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，其图象如图②.
1 ＝2x 的图象中
x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，即得
1 y＝2|x|的图象，如图①实
线部分．
①
②
(2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴 翻折上去，即可得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
1 1 (3)∵y＝2＋ ，故函数图象可由 y＝x图象向右平移 1 个单位，再向上平 x－1 移 2 个单位得到，如图③.
e
－x－1
[依题意，与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的曲线是 y＝e x，于是 f(x)相当
－
于 y＝e－x 向左平移 1 个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]
4．(2016· 浙江高考改编)函数 y＝sin x2 的图象是________．(填序号)
图 102
④ [∵y＝sin(－x)2＝sin x2，
第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)
第 10 课 函数的图象
1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．
2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换
(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件
3
.
22
思路分析 利用函数的奇偶性将原不等式转化为f(2|a-1|)>f( 2),结合函数f(x)在(0,+∞)上单调递 减即可求得a的取值范围.
C组 教师专用题组
1.(2013四川理改编,10,5分)设函数f(x)= ex x a (a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存
a,b,c的大小关系为
.(用“<”连接)
答案 b<a<c
解析 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g(x) 在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在 (0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c.
3.(2017江苏泰州中学第一学期第一次质量检测,10)已知函数f(x)=
x x
ln x 5,0 9 m, x
x 1
x
1
1,
的值域为R,
则实数m的取值范围为
.
答案 m≤1
解析 当0<x≤1时,f(x)=x+ln x+5∈(-∞,6],当x>1时,f(x)=x+ 9 +m=x+1+ 9 +m-1≥2
在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是
2018版高考数学江苏专用文科大一轮复习讲义：第二章
第5讲 指数与指数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.⎝ ⎛⎭⎪⎫32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋×42－＝________.解析 原式＝＝2.答案 22．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n的大小关系为________．解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n .答案 m >n3．(2017·衡水中学模拟改编)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ，b ＝x 2，c ＝x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是________(从小到大)．解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝x <0，所以c <a <b .答案 c <a <b 4.函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，给出下列结论：①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.其中判断正确的结论有________(填序号)． 解析 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.答案 ④5．(2017·南京、盐城一模)已知c ＝则a ，b ，c的大小关系是________．解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 b <c <a6．(2017·南京调研)已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝________.解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝a x 1＋x2＝a 0＝1.答案 17．(2017·南通调研)若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在[2，＋∞)上递减． 答案 [2，＋∞)8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e|x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e 2－x>e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 二、解答题 9．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 解 (1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x＋12 a x－1 >0，则a x>1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )< －f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1， 即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．解析 因为2x >0，所以由2x(x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 (－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论：①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a<2c ；④2a ＋2c<2.其中一定成立的是________(填序号)． 解析作出函数f (x )＝|2x－1|的图象如图中实线所示， ∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0,0<c <1， ∴0<2a<1,1<2c<2，∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f (c )＝|2c－1|＝2c－1，又f (a )>f (c )，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.答案 ④13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x >0.当x <0时，－x >0.∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x.答案 －2x(x <0)14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题二 函数与导数 第2讲 精品
解析
答案
(2)已知函数 f(x)＝efxx，－x1≤，1，x>1， g(x)＝kx＋1，若方程 f(x)－g(x)＝0 有 两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_(_e_－2__1_，__1_)∪__(_1_，__e_－__1_]_.
思维升华
解析
答案
跟踪演练2 (1)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是 _(_－__∞_，__2_l_n_2_－__2_]___.
专题二 函数与导数
第2讲 函数的应用
栏目索引
1 高考真题体验 2 热点分类突破 3 高考押题精练
高考真题体验
1 23 4
1.(2016·天津改编)已知函数 f(x)＝sin2ω2x＋12sin ωx－12 (ω>0，x∈R).若 f(x) 在区间(π，2π)内没有零点，则 ω 的取值范围是__0_，__18__∪__14_，__58____.
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热点分类突破
热点一 函数的零点 1.零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b) 使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图 象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.
解析答案
1 23 4
4.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经 过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度 v (假设车辆以相同速度 v 行驶， 单位：米/秒)，平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F＝v2＋76180v0＋0v20l. (1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为_1__9_0_0___辆/时；
(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 函数模型及其应用课件
|x-01|+
2
|1-y|
= 1 -1 (y-x),又y-x1> ,∴|f(x)-f(y1)|<1 -1 1× = .
22
2
22 2 4
综上所述,对所有x,y∈[0,1],都有|f(x)-f(y)|< 1 .因此,k≥1 ,即k的最小值为1 .
4
4
4
3.(2013课标全国Ⅰ理,21,12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过 点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
t3
,B
3t 2
,.0
0,
3
000 t2
故f(t)=
32=t 2
3
,t0t20∈0 [52 ,2032].
t2
4 106 t4
②设g(t)=t2+ 41,则06 g'(t)=2t- .1令6g1'(0t6)=0,解得t=10 .
t4
t5
2
当t∈(5,10 2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;
解得n> 24 ,
5
又∵n∈N*, ∴n≥5, ∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
5.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e
=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜
2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第二章第八节 函数与方程 精品
考点二 判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 1．(2016·南京学情调研)已知函数 f(x)＝－－2x，2＋xb>x0＋，c，x≤0，
若 f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数 g(x)＝f(x)＋x 的零点个数为 ______．
解析：依题意得c－＝1－－2b，＋c＝1， 由此解得 b＝－4，c＝－2. 由 g(x)＝0 得 f(x)＋x＝0， 该方程等价于x－>20＋，x＝0， ① 或x－≤x20－，4x－2＋x＝0. ② 解①得 x＝2，解②得 x＝－1 或 x＝－2. 因此，函数 g(x)＝f(x)＋x 的零点个数为 3. 答案：3
2．(2015·天津高考改编)已知函数 f(x)＝2x－－|x2|，2，x≤x>22，， 函数 g(x)＝3－f(2－x)，则函数 y＝f(x)－g(x)的零点个 数为________．
解析：由已知条件可得 g(x)＝3－f(2－x)＝
|x－2|＋1，x≥0， 3－x2，x<0.
函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函
考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
已知函数 f(x)＝l－ogx22－x＋2x1，，xx≤>00，， 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是______．
解析：函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点， 转化为 f(x)－m＝0 的根有 3 个，进而转 化为 y＝f(x)，y＝m 的交点有 3 个．画出函数 y＝f(x)的图 象，则直线 y＝m 与其有 3 个公共点．又抛物线顶点为(－ 1,1)，由图可知实数 m 的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1)
数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件：专题二 函数的图象与性质 精品
且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是________．
【导学号：91632004】
[解题指导]
(1)f
－52
＝
f
9 2
―f―x―在―周[－―期1―，为―12，―上―已―知→
建立a的等量关系 ―→ 求a ―→ 求f5a
(2)
fx＝x3＋2x
奇――偶→性
fx为奇函数
f1＋flog13＞0 ――――――a ――→
1．已知函数 f(x)＝e1x－－kk，x＋x≤k，0，x＞0 是 R 上的增函数，则实数 k 的取值范 围是________．
12，1 [由 f(x)为 R 上的增函数，则 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，1－k＞0， k＜1.同时，k≥e0－k＝1－k，即 k≥21，从而 k∈12，1.]
2．(2016·南京三模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝2x －2，则不等式 f(x－1)≤2 的解集是________．
【名师点评】 1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将 待求函数值的自变量向已知函数的定义域进行转化.
2.关于周期性的常用结论,若对于函数 fx的定义域内任意一个自变量的值 x 都有 fx＋a＝－fx或 fx＋a＝f1x 或 fx＋a＝－f1x a 是常数且 a≠0，则 fx 是以 2a 为一个周期的周期函数.
(2)∵f(x)＝x3＋2x，∴f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)， ∴f(x)为 R 上的奇函数，∴f(1)＋f(loga13)＞0 等价于 f(1)＞f(loga3)． 又 f′(x)＝3x2＋2＞0，∴f(x)在 R 上单调递增， ∴loga3＜1， 当 a＞1 时，由 loga3＜1 得 a＞3， 当 0＜a＜1 时，由 loga3＜1 得 0＜a＜1. 综上可知，a∈(0,1)∪(3，＋∞)．]
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题二 函数与导数 第1讲 精品
4 又 f －52＝f －21＝－f 12，f 12＝
1
2 ＝2，
故 f －52＝－2，从而 f －52＋f(1)＝－2.
解析答案
(2)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[ －1,1]上，f(x)＝
ax＋1，－1≤x<0，
bxx＋＋12，0≤x≤1， _－__1_0____.
解析 构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减.
因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇函数，
由此可知函数y＝g(x)是偶函数. 根据偶函数的性质，可知函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
解析
由题意得，f(1)<f(|lg
1x0|)⇒1<|lg
1x0|⇒lg
x 10>1
或 lg 1x0<－1⇒x>100 或 0<x<1.
押题依据
解析答案
1 23 4
4.已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且当 x>0 时，h(x)＝－x42，0<x≤4， 若 4－2x，x>4，
h(t)>h(2)，则实数 t 的取值范围为_(_－__2_,0_)_∪__(_0_,2_)__.
3.周期性 定义：周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足 f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|. 常见结论： (1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|(a≠0)
(2)f(x＋a)＝f1x⇒函数 f(x)的最小正周期为 2|a|(a≠0) a＋b
2018届江苏高考数学二轮专题复习讲义 函数的图像与性质
函数的图象与性质高考真题体验1．(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 要使原函数有意义，需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数的定义域为[－3,1]． 2．(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 由已知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.考情考向分析江苏高考对函数三要素的考查，主要以基础知识为主；对图象的考查主要是利用函数图象，即通过数形结合思想解决问题；对函数性质的考查主要是将函数的奇偶性、单调性、周期性等综合在一起，试题难度中等偏上．热点分类突破热点一 函数性质及其运用例1 (1)设偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)≤f (1)的x 的取值范围是______．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R )．若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1) [0，1] (2)(－∞，504)解析 (1)由题设和偶函数的单调性可知|2x －1|≤1， 解得0≤x ≤1.(2)当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上，实数a 的取值范围是a <504.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝____________. (2)(2017·江苏溧水高级中学质检)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (2)＝0，则不等式xf (x ＋1)<0的解集为________________． 答案 (1)－2 (2)(－3，－1)∪(0,1) 解析 (1)因为f (x )是周期为2的奇函数， 所以f (1)＝f (－1)＝－f (1)，即f (1)＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝124-＝－2， 从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. (2)∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0)上是增函数， 又f (2)＝0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (－2)＝－f (2)＝0， ∴当x >2或－2<x <0时，f (x )>0； 当x <－2或0<x <2时，f (x )<0(如图)， 则不等式xf (x ＋1)<0等价为⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f (x ＋1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，0<x ＋1<2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－2<x ＋1<0， 解得0<x <1或－3<x <－1，故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．热点二 函数图象及其运用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0，a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 4x ，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4，若a <b <c 且f (a )＝f (b )＝f (c )，则(ab ＋1)c 的取值范围是______________． 答案 (1)92(2)(16，64)解析 (1)由题意得f (－3)＝0，f (0)＝－2⇒b －3＝1，b ＝a －2⇒b ＝4，a ＝12⇒a ＋b ＝92.(2)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 4x ，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4的图象，如图所示．∵当a <b <c 时，f (a )＝f (b )＝f (c )，∴－log 4a ＝log 4b ，即log 4a ＋log 4b ＝0，则log 4ab ＝0， ∴14<a <1<b <4<c <6，且ab ＝1， ∴16＝24<(ab ＋1)c ＝2c <26＝64， 即(ab ＋1)c 的取值范围是(16，64).思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是利用函数图象解决此类试题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)如图是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 1＋x 2＝________.(2)已知定义在区间[0，1]上的函数y ＝f ()x 图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1，x 2给出下列结论： ①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③f ()x 1＋f ()x 22<f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.其中正确的结论是________．(把所有正确结论的序号都填写在横线上) 答案 (1)23(2)②③解析 (1)∵函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的零点有－1,0,2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋b －c ＋d ＝0，d ＝0，8＋4b ＋2c ＋d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，d ＝0，∴f (x )＝x 3－x 2－2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －2.又x 1，x 2是f (x )的两个极值点，∴x 1，x 2是方程3x 2－2x －2＝0的两个根， 即x 1＋x 2＝23.(2)由f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1，可得f ()x 2－f ()x 1x 2－x 1>1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，得f ()x 1x 1>f ()x 2x 2，即表示两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确． 热点三 指数、对数函数的图象与性质例3 (1)若4x ＋2x ＋1＋m >1对一切实数x 成立，则实数m 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 4x ＋2x ＋1＋m >1等价于(2x )2＋2·2x ＋1>2－m ，即(2x ＋1)2>2－m .∵2x ∈(0，＋∞)，∴2x ＋1∈(1，＋∞)， ∴2－m ≤1，解得m ≥1.(2)若函数f (x )＝log a (2－ax )(a >0且a ≠1)在区间[0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围． 解 ∵a >0，a ≠1，所以y ＝2－ax 是减函数． 又∵f (x )＝log a (2－ax )是减函数， ∴对数函数y ＝log a x 必是增函数，得a >1. 又由2－ax >0，得x <2a.由题意，得[0,1]⊆⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，∴1<2a ，即a <2. 故a 的取值范围是(1,2)．思维升华 指数函数、对数函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．跟踪演练3 (1)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32的大小关系是________． (2)函数f (x )＝log 2(3－a x )(a >0且a ≠1)在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1)f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 (2)(1,3]解析 (1)由题意知，当x ≤1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，且x ＝1为对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12， ∴f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a ≥0，解得1<a ≤3.1．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________________．(从小到大排序) 答案 c <a <b 解析 由f (x )＝2|x－m |－1是偶函数，可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以a ＝f (log 0.53)＝0.5log 32－1＝2log 32－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 52－1＝2log 52－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0， 所以c <a <b .2．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在惟一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫32e ，1解析 设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在惟一的整数x 0，使得g (x 0)<h (x 0)， 因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，可知g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增， 作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>g (0)，h (－1)≤g (－1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2a ≤－3e ， 所以32e≤a <1.A 组 专题通关1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 按从小到大排列为________． 答案 b <a <c解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x 在R 上单调递增，可得1.50.6>1.50＝1，∴b <a <c . 2．(2017·江苏启东中学月考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－1>0，x >0，解得0<x <12或x >2.3．(2017·江苏南京三模)已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪log 4⎝⎛⎭⎫x －32，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为____________． 答案 12解析 由函数的周期性可得f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－4＝f ⎝⎛⎭⎫－72， 由函数的奇偶性可得f ⎝⎛⎭⎫－72＝f ⎝⎛⎭⎫72＝|log 42|＝12. 4．(2017·江西九江地区七校联考改编)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－4,4)解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立，且a2≥－2，即(－2)2－a (－2)－3a >0且a ≥－4，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．5．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋2x －1，则不等式f (x )＋7<0的解集为________． 答案 (－∞，－2)解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 由f (2)＝7，得f (－2)＝－7， 所以f (x )<－7＝f (－2)． 又当x ≥0时，f (x )单调递增，从而f (x )在R 上单调递增，所以有x <－2.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．答案 －1解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a (－1＋2)＝1(1－b )，2a (－2＋2)＝2(2－b )， 解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 7．已知函数f (x )＝lg|x |. (1)判断f (x )的奇偶性； (2)画出f (x )的图象草图；(3)利用定义证明函数f (x )在(－∞，0)上是减函数． (1)解 要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0， 解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．(2)解 由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x 的图象合起来得函数f (x )的图象，如图所示．(3)证明 设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝lg|x 1|－lg|x 2|＝lg|x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2， ∵x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2， ∴|x 1|>|x 2|>0，∴⎪⎪⎪⎪x 1x 2>1，lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2>0， ∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数． 8．已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围． (1)证明 任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12log (21)x +－22log (21)x +＝log 2122121x x ++，∵x 1<x 2，∴0<12x＋1<22x＋1，∴0<122121x x ++<1，∴log 2122121x x ++<0，∴f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增． (2)解 方法一 由g (x )＝m ＋f (x )，得 m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1，当1≤x ≤2时，25≤22x ＋1≤23，∴13≤1－22x ＋1≤35， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤log 213，log 235. 方法二 解方程log 2(2x －1)＝m ＋log 2(2x ＋1)，得x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ，∵1≤x ≤2，∴1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ≤2，解得log 213≤m ≤log 235.∴m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤log 213，log 235. B 组 能力提高9．函数f (x )＝2x －12log (x －1)，x ∈(1,3]的值域为________．答案 (－∞，7]解析 ∵u 1＝12log (x －1)在(1,3]上为减函数，∴u 2＝－12log (x －1)在(1,3]上为增函数．又u 3＝2x 在(1,3]上也为增函数，∴f (x )＝u 3＋u 2＝2x －12log (x －1)在(1,3]上为增函数．故f (x )的值域为(－∞，7]．10．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在x ∈[2，＋∞)时恒有|y |>1，则a 应满足的条件是________． 答案 12<a <1或1<a <2解析 若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，∴log a x <－1， 由题意log a 2<－1，∴a ∈⎝⎛⎭⎫12，1； 若a >1，当x ≥2时，log a x >0，∴log a x >1， 由题意log a 2>1，∴a ∈(1,2)． 综上可知，12<a <1或1<a <2.11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的________条件． 答案 充分不必要解析 若3a >3b >3，则a >b >1，从而有log a 3<log b 3成立；若log a 3<log b 3，不一定有a >b >1，比如a ＝13，b ＝3.12．偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________． 答案 [－1,3]解析 因为偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2. 所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)， 即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3.13．设f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋ln x4，记a n ＝f (n －5)(n ∈N *)，则数列{a n }的前8项和为________．答案 －16解析 {a n }的前8项和为f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋(f (－3)＋f (3))＋(f (－2)＋f (2))＋(f (－1)＋f (1))＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－24－ln 44＝－16.14．(2017·江苏运河中学摸底)函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的值域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，66解析 函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的定义域为{x |x ≥－1}，则当x ＝－1时，f (－1)＝0. 当x >－1时， f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7＝x ＋1(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋4＝1x ＋1＋4x ＋1＋2， ∵x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时，等号成立，∴1x ＋1＋4x ＋1＋2≤16＝66. 故函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的值域为⎣⎡⎦⎤0，66.15．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )有最小值－1.16．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1，∴f (x )＝a x －a －x . ∵f (1)>0，∴a －1a>0， 又a >0且a ≠1，∴a >1.当a >1时，y ＝a x 和y ＝－a －x 在R 上均为增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，∴x >1或x <－4，∴不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．(2)∵f (1)＝32， ∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0. ∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， ∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2， 令t ＝h (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则φ(t )＝t 2－4t ＋2.∵t ＝h (x )在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，∴h (x )≥h (1)＝32，即t ≥32， φ(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，t ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞. ∴当t ＝2时，φ(t )取得最小值－2，即g (x )取得最小值－2，此时x ＝log 2(1＋2)，故当x ＝log 2(1＋2)时，g (x )有最小值－2.。
2018届江苏高考数学一轮复习课件 函数的图象与性质
1 0，2， cos πx，x∈ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝ 则 1 2x－1，x∈ ，＋∞， 2
象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知 k≥2 或 k＝0，即实数 k 的取值范围 为 k＝0 或 k≥2.
[ 规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系， 如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单 调性，对称性对应奇偶性． 2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利 用此法也可由解的个数求参数值或范围． 3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
|a－1|
1 1 3 ＜ 2，即|a－1|＜2，所以2＜a＜2.]
☞角度 2
奇偶性与周期性结合
(2017· 南通二模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈[0，＋∞)，满足 f(x＋2)＝f(x)，若当 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数 y ＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上的零点个数为________．
7 [由 f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期为 2 的 函数，又 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|， 且 f(x)为偶函数，故 f(x)在[ －2,4] 上的图象如图所示．由图 可知 y＝f(x)与 y＝1 有 7 个交点， 故函数 y＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上有 7 个零点． ]
－ ∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是________．
2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第二章第四节 函数的图象 精品
[小题纠偏] 1．将函数 y＝f(－x)的图象向右平移 1 个单位得到函数
________的图象．
答案：y＝f(－x＋1)
2．把函数 y＝f(2x)的图象向右平移________个单位得到函 数 y＝f(2x－3)的图象． 答案：32
_l_o_g_a_x_(a_>_0__且__a_≠__1_)__的图象．
(3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象
②y＝f(x)的图象 ――0a<>―a1― <，1―纵 ，―坐纵―标坐―伸标―长缩―为短―原― 为―来原―的来―a的倍―a―，，―横横―坐坐―标标―不不―变变―→ y ＝ _a_f_(x_)_ 的图象．
第四节 函数的图象
1．描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数 的性质(奇偶性、单调性、周期性)．
(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标 轴的交点)．
(3)描点，连线．
2．图象变换 (1)平移变换 ①y＝f(x)的图象――aa<―>00―，，―左右―移移―|aa―个|个―单单―位位―→y＝ _f_(x_－__a_)_的
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图象过点 (－1,4)，则 a＝________. 解析：∵f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得 a＝－2. 答案：－2
1．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从 f(－2x) 的图象到 f(－2x＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把 x 变成 x－12.
2018版高考数学文江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题二 函数与导数 第1讲 精品
3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，
则满足不等式 f(1)<f(lg 1x0)的 x 的取值范围是_(_0_,1_)_∪__(_1_0_0_，__＋__∞__)_.
押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，
较好地考查学生思维的灵活性.
解析
由题意得，f(1)<f(|lg
5的值为__e__.
解析
∵
5>2，∴f
f
5 ＝f log 5－1 ＝f 2 ＝e ＝e.
2
2－1
解析答案
(2)已知 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x>0 时不等式 f(x)＋
xf′(x)<0 恒成立，若 a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log319·f(log319)，
解析答案
(2)若函数
f
(
x)
log2
log
1 2
x, x (x),
0 x
0
若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围
是_(_－__1_,0_)_∪__(_1_，__＋__∞__)_.
思维升华
解析
答案
跟踪演练 3
(1)已知函数 fx＝elox－g21，x2－x≤12，，x>2，
则 f f
又x1，x2是f(x)的两个极值点， ∴x1，x2 是方程 3x2－2x－2＝0 的两个根，即 x1＋x2＝23.
解析答案
(2)
已
知
定
义
在
区
间
0，1
上
的
函
数
y＝f
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B组
考点 指数与指数函数
统一命题·省(区、市)卷题组
(用
1.(2017课标全国Ⅰ理改编,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则2x,3y,5z的大小关系为
“<”连接).
答案 3y<2x<5z
6 3 3 5 6 3 2 = 3 )3y=( 5 )5z=t,因为x,y,z为正数,所以t>1,因为 2 = 8 , 3= 解析 由2x=3y=5z,可设( 2 )2x=( 10 5 6 2 6 3 10 5 10 5 5 3 3 = 2 = 9 ,所以 2 < 3 ;因为 2 = 32 , 5 = 25 ,所以 2 > 5 ,所以 5 < 2 < 3 .分别作出y=
( f (对于 x)) x 4 所以m≤ ∈R恒成立.
2
1 2
f ( x)
2 ( f (= x)) 4 4 =4,且 =4, 4 而 f(x)+ ≥2 f ( x)
所以m≤4,故实数m的最大值为4.
f ( x)
f ( x)
f ( x)
( f (0)) 2 4 f (0)
(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g'(x)=axln a+bxln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo . a ln
2
.
数f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上为增函数,∴f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c.
C组
称,则f(x)= 答案 e
-x-1
教师专用题组
(2013北京理改编,5,5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对 .
x x 3 5 ( 2 )x,y=( 3 ) ,y=( 5 ) 的图象,如图.
则3y<2x<5z.
方法总结 指数式比较大小. 指数式比较大小一般要先将指数式转化为同底指数式或者是同幂指数式的形式.若化为同底指
数式,直接利用指数函数单调性比较大小即可;若化为同幂指数式,一般要作出不同底的指数函
因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.
下证x0=0.
0 0 0 若x0<0,则x0< <0,于是g 和loga2为 a log 2 + blog 2 -2> a log 2 -2=0,且函数g(x)在以 <g(0)=0.又g(loga2)=
x 2
x 2
a
a
a
x 2
x0 和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所 端点的闭区间上的图象不间断,所以在 2
以loga2<0.
x0 <0,所以x <0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾. 又 1 2 x0 和log 2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x =0. 若x0>0,同理可得,在 b 0 2 ln a =1,故ln a+ln b=0,所以ab=1. 于是- ln b
解析 (1)因为a=2,b= , 所以f(x)=2x+2-x. ①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0. ②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
2
2
解集为{x|-1<x<2}. 2.(2016江苏,20,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b= . ①求方程f(x)=2的根;
1 2
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
gb ln b a
令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2,
从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.
Байду номын сангаас
3 2
评析 本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想.
3.(2016浙江改编,7,5分)已知函数f(x)满足f(x)≥2x,x∈R.若f(a)≤2b,则a,b的大小关系为 答案 a≤b 解析 依题意得f(a)≥2a, 若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b, 又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.
.
4.(2015天津改编,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25), c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 答案 b>a>c
g 1 3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函 解析 ∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数,∴m=0.∵a=f(lo
数图象来比较. 2.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= 答案 - 解析
a 1 b 1, ①当a>1时, f(x)在[-1,0]上单调递增,则 0 无解. a b 0,
3 2
.
1 a 1 b 0, a , ②当0<a<1时, f(x)在[-1,0]上单调递减,则 0 解得 ∴a+ . b=-2 a b 1, b 2,
高考数学
(江苏省专用)
§2.3 指数与指数函数
五年高考
A组
2
自主命题·江苏卷题组
.
1.(2015江苏,7,5分,0.926)不等式 2 x x<4的解集为 答案 {x|-1<x<2}
2 x x <4可转化为 2 x x <22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求 解析 不等式